导数与函数的零点讲义.docx

【题型一】函数的零点个数

【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。

【例 1】已知函数 f ( x) x33ax 1,a0

求 f ( x) 的单调区间；

若 f (x) 在x 1 处取得极值，直线y=m 与y f (x) 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。

变式：已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间 [0,2]上是增函数，若方程

f ( x) m (m 0) 在区间 [ 8 , 8]上有四个不同的根，则

【答案】 -8

【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足，所以，所以,由为奇函数，所以函数图象关于直

线对称且，由知，所以函数是以8 为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上是增函数，所以在区间 [-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知，．所以．

y

f(x)=m

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6x

【题型二】复合函数的零点个数

复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。

【解题技巧】函数h( x) f ( f ( x))c的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想

分两步进行。即令f (x) d ，则 h(x) f (d ) c

第一步：先判断 f (d ) c 的零点个数情况

第二步：再判断 f ( x) d 的零点个数情况

【例 2】已知函数 f (x) x33x 设 h(x) f ( f ( x)) c ，其中 c [ 2 ，2] ，求函数 y h(x) 的零点个数

1 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数

f ( x) x33ax 29a2 x(a 0) .若方程 f ' ( x) 121nx 6ax 9a2 a 在[l,2]恰好有两

个相异的实根, 求实数 a 的取值范围 ( 注:1n2 ≈:

【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点

【解题技巧】（ 1）要求证一个函数存在零点，只须要用“ 函数零点的存在性定理” 即可证明。

即：

如果函数 f ( x) 在区间a， b 上是一条连续不断曲线，并且 f ( a) f (b)0 ，则函数

f (x) 在区间a， b上至少有一个零点。即存在一点x0a， b，使得 f (x0)0 ，

这个 x0也就是方程 f (x)0 的根.

（2）要求证一个函数“ 有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“ 函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为：

如果函数 f ( x) 在区间a， b 上是单调函数，并且 f (a) f (b) 0 ，则函数 f ( x) 在区间

a， b 上至多有一个零点。

【例 3】设函数f ( x) x39 x26x a ．

2

（ 1）对于任意实数x，f(x) m 恒成立，求 m 的最大值；

（ 2）若方程 f ( x) 0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围．

变式：设函数 f ( x)

ln x ，g( x)

a

，F ( x) f (x) g ( x) 。若方程 f ( x) mx

x

在区间

[1 ,

e 2 ] 上有唯一实数解，求实数

m 的取值范围；

解析：方程 f ( x)

mx 在区间 [1 , e 2 ] 上有唯一实数解等价于

方程 m

ln x

在区间 [1 , e 2 ] 上有唯一实数解。

x

记

h(x)

ln x [1 , e 2

] ，则 h ( x)

1 ln x ， 令 h ( x) 0 ，得： x e ，

x

x

x 2

当 x

[1 , e] 时， h ( x) 0 ， h(x) 递增；

当 x [e ,

e 2

] 时， h (x) 0 ， h(x) 递减。所以 h(x)max h(e)

1 。

e

易求得： h(1) 0 ， h(e

2

)

2 。

e

2

为使方程 m

ln x

在区间 [1 , e 2

] 上有唯一实数解，

x

则直线 y

m 与函数 y h( x)

ln x 的图象有唯一交点，

x

根据 h(x) 的图象可知： m

1

0 m

2 。

或

e

2

e

2

1

故

m

的取值范围是

0 , e 2 U e 。

【例 4】已知函数

f x

e x mx 在上没有零点，求的取值范围；

【题型四】如何运用导数来判断与求证含参函数的零点

【例 5】（2013·江苏卷）设函数，，其中为实数．若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．

基础练习：

1．己知 f (x)e x aln x a ，其中常数a0 ．

（ 1）当a e时，求函数 f ( x)的极值；

2．已知函数

1

f （ x）＝2m（x－1）2－2x＋3＋ln x， m∈R．当m＞0时，若曲线y＝ f （ x）在

点 P（1，1）处的切线l与曲线y＝ f （x）有且只有一个公共点，求实数m的值．

3 ．已知函数

1

f ( x) x 1e x ( a R , e为自然对数的底数). 若直线l : y kx 1与曲线y f ( x) 没有公共点,求k的最大值.