集合中的求参数的取值范围
已知函数的值域(或最值)求参数的取值范围
已知函数的值域（或最值）求参数的取值范围顺德容山中学 马崇元已知函数的值域（或最值）求参数的取值范围，是高考的一个亮点，在近年的高考和各地的高三模拟试题中经常出现，下面谈谈此类问题的解法．一． 利用函数的单调性如果题中所给函数的单调性易判断出来，我们可利用单调性建立方程组或不等式，从而加以求解．例1．（2008年天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}解：由log log 3a a x y +=可得xa y 3=，利用其在[,2]x a a ∈上是单调减函数可得23max 23min ,22a aa y a a a y ====，则由题目条件可得2max min ,a y a y ≤≥解得选B ． 例2．（2008年深圳模拟试题）已知函数f(x)＝x 11-． (1)是否存在实数a 、b(a ＜b)，使得函数f(x)的定义域和值域都是[a 、b]？若存在，请求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．(2)若存在实数a 、b ()a b <，使得函数f(x)的定义域是[a 、b]，值域是[ma 、mb](m ≠0)，求实数m 的取值范围．解：(1)不存在实数a 、b ()a b < 满足条件．事实上，若存在实数a 、b ()a b < 满足条件，则有x ≥a ＞0．故f(x)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-10,111,11x xx x (i)当a 、b ∈(0，1)时，f(x)＝11-x 在(0，，1)上为减函数，所以⎩⎨⎧==,)(,)(a b f b a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11a bb a由此推得a ＝b ，与已知矛盾，故此时不存在实数a 、b(a ＜b)满足条件． (ii)当a 、b ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 11-在[1，+∞)上为增函数，所以⎩⎨⎧==,)(,)(b b f a a f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11b ba a 于是a 、b 为方程x 2－x ＋1＝0的实根．而此时方程无实根，故此时也不存在实数a 、b(a ＜b)满足条件(iii)当a ∈(0，1)，b ∈[1，＋∞)时，显然1∈[a ，b]，而f(1)＝0，所以0∈[a ，b]，矛盾．综上可知，不存在实数a 、b(a ＜b)满足条件．(2)若存在实数a 、b(a ＜b)满足f(x)定义域是[a 、b]，值域是[ma 、mb](m ≠0)，易得m ＞0，a ＞0．仿(1)知，当a 、b ∈(0，1)或a ∈(0，1)，b ∈[1，＋∞)时，满足条件的实数a 、b 不存在．只有当a 、b ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 11-在[1，＋∞)上为增函数，有⎩⎨⎧==,)(,)(mb b f ma a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11mb bma a 于是a 、b 为方程mx 2－x ＋1＝0的两个大于1的实根． ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-±=>-=∆,12411,041m m x m 只须⎪⎩⎪⎨⎧>-->->,2411,041,0m m m m 解得0＜m ＜41，所以m 的取值范围为0＜m ＜41．例3．（广东省2008届第一次六校（广州深圳中山珠海惠州）联考）设bx ax x f +=2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。
集合知识点及题型归纳总结(含答案)
集合知识点及题型归纳总结知识点精讲一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2．集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集*N 或N +一正整数集 C 一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种． 空集：不含有任何元素的集合，记作∅． 2．集合与集合之间的关系 （1）包含关系．子集：如果对任意a A A B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇，显然A A ⊆．规定：A ∅⊆．（2）相等关系．对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =． （3）真子集关系．对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB 或B A ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示．IA{|IA x x =1．交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．2．并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．3．补集已知全集I ，集合A I ⊆，由I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作IA ，即{}|I A x x I x A =∈∉且．四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系 （1）交集的运算性质．A B B A ⋂=⋂，A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆ A I A ⋂=，A A A ⋂=，A ⋂∅=∅． （2）并集的运算性质．A B B A ⋃=⋃，A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃ A I I ⋃=，A A A ⋃=，A A ⋃∅=． （3）补集的运算性质．()II A A =，I I ∅=，I I =∅ ()I A A ⋂=∅，()I A A I ⋃．补充性质：II I A B A A B B A B B A A B ⋂=⇔⋃=⇔⊆⇔⊆⇔⋂=∅．（4）结合律与分配律．结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂． 分配律：()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃． （5）反演律（德摩根定律）．()()()II I A B A B ⋂=⋃()()()II I A B A B ⋃=⋂．即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”． 2．由*(N )n n ∈个元素组成的集合A 的子集个数A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．3．容斥原理()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂．题型归纳及思路提示I AA题型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 例1.1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-解析：由题意知{}01,,a b a ∈+，又0a ≠，故0a b +=，得1ba=-，则集合{}{}1,0,0,1,a b =-，可得1,1,2a b b a =-=-=，故选C 。
集合的基本运算例题讲解
1集合的基本运算例题讲解题型一 并集运算一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的并集,记作B A ,读作“A 并B ”.即{}B x A x x B A ∈∈=或, .求并集的方法（1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性.（2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.例1. 已知集合{}31≤≤∈=x N x A ,{}5,4,3,2=B ,则=B A 【 】 （A ）{}2 （B ）{}3,2（C ）{}5,4,3,2 （D ）{}5,4,3,2,1 分析:将一个用描述法表示的集合转化为用列举法表示时,一定要弄清代表元素的含义或特征.求两个集合的并集运算时,可以按照并集的定义进行,也可以用Venn 图求解或借助于数轴求解.解:∵{}{}3,2,131=≤≤∈=x N x A∴=B A {}{}{}5,4,3,2,15,4,3,23,2,1= . 选择【 D 】.例2. 已知集合{}1≥=x x A ,{}0322<--=x x x B ,则=B A ____________. 分析:先解一元二次不等式0322<--x x ,求出集合B ,然后把集合A 、B 在数轴上画出来,它们对应图形所覆盖的全部范围即为B A . 解:∵{}{}310322<<-=<--=x x x x x B ∴=B A {}{}{}1311->=<<-≥x x x x x x .例3. 已知集合{}m A ,3,1=,{}m B ,1=,若A B A = ,则m 等于【 】 （A ）0或3 （B ）0或3 （C ）1或3 （D ）1或3分析:{}m B ,1=,由集合元素的互异性,得1≠m ,排除C 、D 选项. 因为A B A = ,根据并集的性质,所以A B ⊆,这样就将两个集合的并集运算转化为了这两个集合之间的关系,从而可以确定参数的值或取值范围. 解:∵A B A = ,∴3=m 或m m =当m m =时,解之得:0=m （1=m 不符合题意,舍去） 综上,3=m 或0=m .例 4. 已知集合{}012≤-=x x P ,{}a M =,若P M P = ,则实数a 的取值范围是__________.分析:∵P M P = ,∴P M ⊆. 解:{}{}11012≤≤-=≤-=x x x x P ∵P M P = ,∴P M ⊆,∴P a ∈ ∴实数a 的取值范围是{}11≤≤-a a .例5. 已知集合{}x A ,3,2,1=,{}2,3x B =,且{}x B A ,3,2,1= ,求x 的值. 分析:由题意可知:A B A = ,所以A B ⊆,从而A x ∈2,且32≠x . 解:分为三种情况:①当12=x 时,解之得:1-=x （1=x 不符合题意,舍去）; ②当22=x 时,解之得:2±=x ; ③当x x =2时,解之得:0=x . 综上所述,x 的值为0或2±或1-.注意:在求参数的值时,参数的值要满足集合元素的互异性.例6. 已知集合{}32>-=x x A ,{}a x x x B ->-=332,求B A . 分析:对于含参集合参与的集合运算,要注意分类讨论.解:{}{}532>=>-=x x x x A ,{}{}3332-<=->-=a x x a x x x B . 当3-a ≤5,即a ≤8时,{}53>-<=x a x x B A 或 ; 当53>-a 时,即8>a 时,=B A R .a例7.（易错题）已知集合{}1,1-=A ,{}1==mx x B ,且A B A = ,求由m 的取值构成的集合.分析:因为A B A = ,所以A B ⊆.由于集合B 是一个含参集合,所以要对集合B 分∅=B 和∅≠B 两种情况进行讨论. 解:∵A B A = ,∴A B ⊆. 当0=m 时,∅=B ,满足A B ⊆;当0≠m 时,{}11-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==m x x B 或{}1=B :①若{}1-=B ,则11-=m,解之得:1-=m ; ②若{}1=B ,则11=m,解之得:1=m . 综上所述,m 的取值构成的集合为{}1,0,1-.例8. 设集合{}52<<-=x x M ,{}122+<<-=t x t x N ,若M N M = ,则实数t 的取值范围是__________.分析:先将并集运算的结果M N M = 转化为两个集合M , N 之间的关系M N ⊆,从而列出关于参数t 的不等式（组）求解.注意含参集合的分类讨论. 解:∵M N M = ,∴M N ⊆. 分为两种情况:①当∅=N 时,有t -2≥12+t ,解之得:t ≤31;②当∅≠N 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+<-51222122t t t t ,解之得:t <31≤2. 综上所述,实数t 的取值范围是{}2≤t t .警示:在解决本题时,任意忽略∅=N 的情况,另外要注意端点值能否取到.例9. 已知集合{}2,1-=A ,{}01>+=mx x B ,若B B A = ,求实数m 的取值范围. 分析:注意本题与例7的区别. 解:∵B B A = ,∴B A ⊆. 分为三种情况:①当0=m 时,01>恒成立,∴{}=>+=01mx x B R ,满足B A ⊆;②当0>m 时,{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧->=>+=m x x mx x B 101,有11-<-m ,解之得:1<m∴10<<m ;③当0<m 时,{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<=>+=m x x mx x B 101,有21>-m ,解之得:21->m∴021<<-m . 综上所述,实数m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-121m m .题型二 交集运算一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的交集,记作B A ,读作“A 交B ”.{}B x A x x B A ∈∈=且, .求交集的方法（1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素.（或可借助于Venn 图）（2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的解集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围.例10. 设集合{}01>+∈=x Z x A ,集合{}02≤-=x x B ,则=B A 【 】 （A ）{}21<<-x x （B ）{}21≤<-x x （C ）{}2,1- （D ）{}2,1,0分析:在进行集合的运算之前,要先弄清楚各个集合的本质.本题中集合A 的代表元素x 为整数,所以集合A 为1->x 范围内的整数集.解:∵{}{}101->∈=>+∈=x Z x x Z x A ,{}{}202≤=≤-=x x x x B ∴=B A {}{}2,1,021=≤<-∈x Z x . 选择【 D 】.例11. 设集合{}21<≤-=x x A ,{}a x x B <=,若∅≠B A ,则实数a 的取值范围是__________.分析:∅≠B A 说明集合A 、B 有公共元素,在数轴上集合A 、B 所对应的图形覆盖的区域有公共部分. 解:{}1->a a .1例12. 设集合{}52<<-=x x M ,{}122+<<-=t x t x N ,若N N M = ,求实数t 的取值范围.分析:若N N M = ,则由交集的性质知M N ⊆,在得到这两个集合之间的关系后借助于数轴就可以列出不等式（组）进行求解了. 解:∵N N M = ,∴M N ⊆. 分为两种情况:①当∅=N 时,满足M N ⊆,有t -2≥12+t ,解之得:t ≤31;②当∅≠N 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+<-51222122t t t t ,解之得:t <31≤2.综上所述,实数t 的取值范围是{}2≤t t .★例13.（易错题）设集合{}R x x y y A ∈+==,12,{}R x x y y B ∈+==,1,则B A 等于【 】（A ）{}1≥y y （B ）{}2,1 （C ）()(){}2,1,1,0 （D ）∅错解:解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得:⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧==21y x ,故选【 C 】.错因分析:这里好多学生认为是求抛物线12+=x y 和直线1+=x y 的交点坐标所构成的集合,根源在于没有搞清楚集合A , B 的本质,没有弄清楚集合的代表元素的特征.分析:本题中的两个集合都是由函数值构成的,它们的代表元素是函数值y .B A 表示函数12+=x y 和函数1+=x y 的函数值的交集. 解:∵{}{}1,12≥=∈+==y y R x x y y A ,{}=∈+==R x x y y B ,1R . ∴{} 1≥=y y B A R {}1≥=y y . 选择【 A 】.变式: 设集合(){}1,2+==x y y x A ,(){}1,+==x y y x B ,则B A 等于【 】 （A ）{}1≥y y （B ）{}2,1 （C ）()(){}2,1,1,0 （D ）∅例14. 已知集合(){}1,22=+=y x y x A ,集合(){}x y y x B ==,,则B A 中元素的个数为【 】（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0解:解方程组⎩⎨⎧==+xy y x 122得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2222y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2222y x ∴B A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22,22,22,共有2个元素.选择【 B 】. 方法二:由后面的学习可以知道,方程122=+y x 是单位圆的方程（以原点为圆心,以1为半径的圆）.集合A 是由圆122=+y x 上的所有点构成的,集合B 是由直线x y =上的所有点构成的,所以B A 就是由单位圆与直线的交点构成的,如图所示,交点有两个,故B A 中元素的个数为2.例15.（2018沈阳重点高中）设集合{}52≤≤-=x x A ,{}121-≤≤+=m x m x B . （1）若{}52≤≤-∈=x Z x A ,求A 的非空真子集的个数; （2）若B B A = ,求实数m 的取值范围. 分析:（1）子集、真子集个数的确定 若集合A 含有n 个元素,则集合A : （1）含有n 2个子集; （2）含有12-n 个非空子集; （3）含有12-n 个真子集; （4）含有22-n 个非空真子集.（2）若B B A = ,则A B ⊆,注意分类讨论. 解:（1）{}{}5,4,3,2,1,0,1,2-52-=≤≤-∈=x Z x A∵集合A 中含有8个元素∴集合A 的非空真子集的个数为2542-28=; （2）∵B B A = ,∴A B ⊆. 分为两种情况:①当∅=B 时,满足A B ⊆,有121->+m m ,解之得:2<m ; ②当∅≠B 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m ,解之得:2≤m ≤3. 综上所述,实数m 的取值范围是{}3≤m m .例16. 设{}042=+=x x x A ,(){}011222=-+++=a x a x x B ,其中∈x R ,如果B B A = ,求实数a 的取值范围. 解:{}{}4,0042-==+=x x x A ∵B B A = ,∴A B ⊆ 分为两种情况:①当∅=B 时,满足B B A =∴()[]()0141222<--+=∆a a ,解之得:1-<a ;②当∅≠B 时,{}0=B 或{}4-=B 或{}4,0-=B .若{}0=B 或{}4-=B ,则有()[]()0141222=--+=∆a a ,解之得:1-=a经检验,此时{}0=B ;若{}4,0-=B ,则由根与系数的关系定理可得:()⎩⎨⎧=--=+-014122a a ,解之得:1=a . 综上所述,实数a 的取值范围是{}11-≤=a a a 或.例17. 设集合{}3+≤≤=a x a x A ,{}51>-<=x x x B 或,若∅=B A ,求实数a 的取值范围.分析:对于任意实数a ,都有3+<a a ,所以本题中集合A 不会是空集. 解:∵3+<a a ,∴∅≠A . ∵∅=B A∴⎩⎨⎧≤+-≥531a a ,解之得:1-≤a ≤2. ∴实数a 的取值范围是{}21≤≤-a a .★★例18.（综合性强）已知集合()(){}011222>++++-=a a y a a y y A ,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==30,25212x x x y y B ,若∅=B A :（1）求实数a 的取值范围;（2）当ax x ≥+12恒成立时,求a 的最小值.分析:（1）求集合A 时要解含参一元二次不等式,可借助于因式分解:()()()()()()()()()[]11111122222222+--=-+--=++-+-=++++-a y a y a y a a y y a a ay a y y a a y a a y对于集合B ,代表元素是y ,所以集合B 是函数值的集合,通过配方得:()2121252122+-=+-=x x x y ∵0≤x ≤3,∴2≤y ≤4,∴{}42≤≤=y y B ;（2）这是与二次函数有关的恒成立问题,使用数形结合方法.解:（1）()(){}()()[]{}010112222>+--=>++++-=a y a y y a a y a a y y A∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+a a a （这里作差比较12+a 与a 的大小）∴a a >+12∴{}12+><=a y a y y A 或.{}4230,25212≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==y y x x x y y B∵∅=B A∴⎩⎨⎧≥+≤4122a a ,解之得:a ≤3-或3≤a ≤2. ∴实数a 的取值范围是{}233≤≤-≤a a a 或; （2）∵ax x ≥+12恒成立,即12+-ax x ≥0恒成立. ∴()42--=∆a ≤0,解之得:2-≤a ≤2.∴a 的最小值为2-.（雅慧,通过这道题你勇敢地挑战一下自己）题型三 补集运算全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作U .补集 对于一个集合A ,由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集,简称集合A 的补集,记作C U A ,即C U A {}A x U x x ∉∈=且,.补集的性质①(C U A )U A = ; ②(C U A )∅=A ; ③ C U (C U A )A =; ④ C U U ∅=; ⑤ C U U =∅.例19. 已知全集{}60<<=x x U ,集合{}a x x A <<=1,若C U A U ≠,则实数a 的取值范围是__________.分析: C U A U ≠说明∅≠A ,且U A ⊆. 解:∵C U A U ≠,∴∅≠A ,且U A ⊆. ∴实数a 的取值范围是{}61≤<a a .例20. 已知全集{}5,4,3,2,1=U ,集合{}042=++=px x x A ,求C U A . 分析:集合A 是由方程042=++px x 的解构成的,而方程042=++px x 可能无解、有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根,需要分类讨论. 解:由题意可知:U A ⊆.分为两种情况:①当∅=A 时,方程无实数根,∴0162<-=∆p ,解之得:44<<-p ∴C U A =C U ∅{}5,4,3,2,1==U ;②当∅≠A 时,则有162-=∆p ≥0,解之得:p ≤4-或p ≥4. 设方程042=++px x 的两个实数根分别为21,x x 由根与系数的关系定理可得:421=x x :若4,121==x x ,则5-=p ,符合题意,此时{}4,1=A ,C U A {}5,3,2=; 若221==x x ,则4-=p ,符合题意,此时{}2=A ,C U A {}5,4,3,1=. 综上所述,当44<<-p 时,C U A ={}5,4,3,2,1;当5-=p 时,C U A {}5,3,2=;当4-=p 时,C U A {}5,4,3,1=.例21. 已知{}31≤<-=x x A ,{}m x m x B 31+<≤=. （1）当1=m 时,求B A ;（2）若⊆B C R A ,求实数m 的取值范围.分析:（1）求两个连续型实数集合的并集时,借助于数轴进行求解能将抽象的问题直观化,但要特别注意端点的实心和空心以及端点值的取舍;（2）求连续型实数集合的补集也是借助于数轴进行.解:（1）当1=m 时,{}{}4131<≤=+<≤=x x m x m x B ∴{}{}{}414131<<-=<≤≤<-=x x x x x x B A ; （2）∵{}31≤<-=x x A ,∴C R A {}31>-≤=x x x 或 ∵⊆B C R A ,∴分为两种情况:①当∅=B 时,有m ≥m 31+,解之得:m ≤21-; ②当∅≠B 时,则有:⎩⎨⎧-≤++<13131m m m 或⎩⎨⎧>+<331m mm解之得:无解或3>m .综上,实数m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-≤321m m m 或.★例22. 设全集(){}R y R x y x I ∈∈=,,,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=123,x y y x A ,(){}1,+==x y y x B ,求C I A B .解:()(){}2,1,123,≠+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=x x y y x x y y x A ∴集合A 是由直线1+=x y 上除点()3,2外的所有点构成的集合 ∴C I A =(){}3,2 ∵(){}1,+==x y y x B∴集合B 是由直线1+=x y 上所有的点构成的集合 ∴C I A =B (){}3,2. 附:函数123=--x y ,即1+=x y ()2≠x 的图象如图所示.例23. 设全集{}32,3,22-+=a a U ,{}2,12-=a A ,C U A {}5=,求实数a 的值. 分析:∵C U A U ⊆,∴U ∈5,∴5322=-+a a .还要注意U A ⊆. 解:∵{}32,3,22-+=a a U ,C U A {}5= ∴5322=-+a a整理得:0822=-+a a ,解之得:4,221-==a a .U4321B A 852917643B AU当2=a 时,{}3,2=A ,满足题意; 当4-=a 时,{}9,2=A ,不满足题意. 综上,实数a 的值为2.例24. 设全集{}*,10N x x x U ∈<=,U B U A ⊆⊆,,( C U B ){}9,1=A ,{}3=B A , ( C U A ) ( C U B ){}7,6,4=,求集合A , B . 分析:本题条件较多,考查集合的综合运算.重要结论如图所示,集合A , B 将全集U 分成了四部分,这四部分用集合表示如下: （1）①表示B A ; （2）②表示 A (C U B ); （3）③表示 B (C U A ); （4）④表示(C U A ) (C U B ).德·摩根定律（1）C U ()=B A (C U A ) (C U B ); （2）C U ()=B A (C U A ) (C U B ).解法一:{}{}9,8,7,6,5,4,3,2,1*,10=∈<=N x x x U ∵( C U A ) ( C U B ){}7,6,4=,∴C U ()=B A {}7,6,4∴{}9,8,5,3,2,1=B A ∵( C U B ){}9,1=A ∴=B {}8,5,3,2∵{}3=B A ,∴{}9,3,1=A . 解法二:由题意作出Venn 图如图所示:由图可知:{}9,3,1=A ,{}8,5,3,2=B .例25. 已知全集=U R ,集合{}0,,32≠∈-==x R x x y y A 且,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-==x x y x B 522,集合{}a x a x C <<-=5.（1）求集合 A ( C U B );（2）若()B A C ⊆,求实数a 的取值范围.分析:先来确定集合A , B 的本质:集合A 是函数()032≠-=x x y 的函数值构成的集合,即函数()032≠-=x x y 的值域;集合B 是使函数xx y -+-=522有意义的自变量的值构成的集合.解:{}{}{}330,,32<=<=≠∈-==x x y y x R x x y y A 且.{}52522<≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-==x x x x y x B .∴C U B {}52≥<=x x x 或 ∴ A ( C U B ){}53≥<=x x x 或; （2）由（1）可知:{}32<≤=x x B A ∵()B A C ⊆,∴分为两种情况:①当∅=C 时,满足()B A C ⊆,有a -5≥a ,解之得:a ≤25; ②当∅≠C 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<-3255a a aa ,解之得:a <25 ≤3.综上所述,实数a 的取值范围是{}3≤a a .例26. 若{}0232=+-=x x x A ,{}012=-+-=a ax x x B ,{}022=+-=mx x x C ,且C C A A B A == ,,求a 的值和m 的取值范围.分析:设置本题的目的是帮助雅慧复习由集合间的基本关系确定参数的值或取值范围.本题要先将三个集合之间的运算及其结果转化为集合之间的关系:因为C C A A B A == ,,∴A C A B ⊆⊆,.本来由A B ⊆需要对集合B 分两种情况进行讨论,但考虑到集合B 中的方程结构比较复杂,所以先判断一下方程012=-+-a ax x 的根的情况: ∵()()()22224414-=+-=---=∆a a a a a ≥0∴方程012=-+-a ax x 总有两个实数根.也因此,在处理关系A B ⊆时,一定有∅≠B ,不再对集合B 进行分类讨论. 解:{}{}2,10232==+-=x x x A{}()()[]{}011012=---==-+-=a x x x a ax x x B ∴集合B 中必含有元素1,∴∅≠B . ∵A B A = ,∴A B ⊆.①当11=-a ,即2=a 时,{}1=B ,符合题意;②当21=-a ,即3=a 时,{}2,1=B ,符合题意. 综上,a 的值为2或3.∵C C A = ,∴A C ⊆,分为两种情况:①当∅=C 时,满足A C ⊆,有()082<--=∆m ,解之得:2222<<-m ;②当∅≠C 时,则{}1=C 或{}2=C 或{}2,1=C :若{}1=C 或{}2=C ,则()082=--=∆m ,解之得:22±=m .经检验,当22±=m 时,{}2=C 或{}2-=C ,不符合题意,舍去;若{}2,1=C ,则由根与系数的关系定理可得:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=+=21221m ,解之得:3=m ,符合题意.综上所述,m 的取值范围是2222<<-m 或3=m .题型四 补集思想的应用（正难则反）对于某些问题,如果从正面求解比较困难,则可考虑先求解问题的反面,采用“正难则反”的解题策略.具体地说,就是将研究对象的全体实为全集,求出使问题反面成立的集合A ,则A 的补集即为所求.补集思想的原理或依据是:C U (C U A )A =.例27. 已知集合{}R x m mx x x A ∈=++-=,06242,{}0<=x x B ,若∅≠B A ,求实数m 的取值范围.分析:集合A 是方程06242=++-m mx x 的实数根构成的集合,∅≠B A 意味着方程有负根,则方程的根有以下三种情况:①两负根;②一负根,一零根;③一负根,一正根.分别求解相当麻烦.如果考虑∅≠B A 的反面∅=B A ,先求方程无实数根或两根均非负时m 的取值范围,然后再用补集思想求解∅≠B A 时m 的取值范围解:若∅=B A ,则分为两种情况:①当∅=A 时,()()062442<+--=∆m m ,解之得:231<<-m ; ②当∅≠A 时,方程06242=++-m mx x 的两个实数根均为非负数,则有:()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥+--=∆06204062442m m m m ,解之得:m ≥23. 综上所述,当1->m 时,∅=B A .∴当∅≠B A 时,实数m 的取值范围是{}1-≤m m .结论:一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个非负实数根的条件是:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=⋅≥-=+≥∆0002121ac x x a b x x .例28. 已知集合{}a y a y y A <+>=或12,{}42≤≤=y y B ,若∅≠B A ,求实数a 的取值范围.解:当∅=B A 时,则有:⎩⎨⎧≥+≤4122a a ,解之得:a ≤3-或3≤a ≤2. ∴当∅=B A 时,实数a 的取值范围是{}233≤≤-≤a a a 或. ∴当∅≠B A 时,实数a 的取值范围是{}332<<->a a a 或.例29. 若集合{}0232=++=x ax x A 中至多有1个元素,则实数a 的取值范围是__________.分析:题目要求“至多有1个元素”,若采取分类讨论的方法,求解比较麻烦,可考虑用补集思想解决问题.本题中集合A 至多有1个元素的反面是集合A 有两个元素,即方程0232=++x ax 有两个不相等的实数根.解:当集合A 中有两个元素时,方程0232=++x ax 有两个不相等的实数根,则有:⎩⎨⎧>-=∆≠0890a a ,解之得:89<a 且0≠a ∴集合A 中有两个元素时实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<089a a a 且.∴集合A 中至多有1个元素时实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≥089a a a 或.总结:求集合运算中参数的思路（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系;（2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解、或解集为怎样的范围; （3）解方程（组）或不等式（组）来确定参数的值或取值范围. 题型五 集合中元素的个数若集合A 为有限集,则用card(A )表示集合A 中元素的个数. 如果集合A 中含有m 个元素,那么有card(A )m =. （1）一般地,对于任意两个有限集合A , B ,有 card ()=B A card(A )+card(B )－card ()B A . （2）一般地,对于任意三个有限集合A , B , C ,有card ()=C B A card(A )+card(B )－card ()B A －card ()C A －card ()C B ＋ card ()C B A .。
突破01 集合中的含参问题(举一反三)-2019-2020学年高一数学必修一举一反三系列(新课标人
姓名，年级：时间：突破1 集合中的含参问题【举一反三系列】【考查角度1 元素与集合的关系中的含参问题】【例1】已知集合A＝{a+2，(a+1)2,a2+3a+3｝，若1∈A，求实数a的取值集合．【思路分析】利用元素和集合的关系,因为1∈A，所以分别讨论三个式子,然后求解a．【答案】因为1∈A，所以①若a+2＝1，解得a＝﹣1，此时集合为{1,0，1},元素重复，所以不成立,即a≠﹣1．②若（a+1）2＝1,解得a＝0或a＝﹣2,当a＝0时，集合为｛2，1，3｝，满足条件,即a ＝0成立．当a＝﹣2时，集合为{0，1,1}，元素重复，所以不成立，即a≠﹣2．③若a2+3a+3＝1，解得a＝﹣1或a＝﹣2，由①②知都不成立．所以满足条件的实数a的取值集合为｛0}．【练1.1】设集合A中含有三个元素3，x，x2﹣2x．（1）求实数x应满足的条件；（2)若﹣2∈A,求实数x．【思路分析】（1)由集合元素的互异性直接求解．（2）若﹣2∈A，则x＝﹣2或x2﹣2x＝﹣2．由此能出x．【答案】解：（1）由集合元素的互异性可得：x≠3，x2﹣2x≠x且x2﹣2x≠3，解得x≠﹣1，x≠0且x≠3．（2）若﹣2∈A，则x＝﹣2或x2﹣2x＝﹣2．由于x2﹣2x＝（x﹣1)2﹣1≥﹣1，所以x＝﹣2．【练1.2】设集合A＝｛2，3，a2+2a﹣3｝，集合B＝｛|a+3|,2 },已知5∈A，且5∉B．求a的值．【思路分析】本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在答案时由于5∈A,且A＝{2，3，a2+2a﹣3}即可得到有关a的方程，解得a的结果后要注意对a的结果进行逐一验证，看是否满足集合中元素的特点:互异性，以此来获得最终答案．【答案】解：由于5∈A，且A＝{2，3，a2+2a﹣3｝，∴a2+2a﹣3＝5,即a2+2a﹣8＝0解得a＝2或﹣4，又当a＝2时,B＝｛5,2}不符合条件5∉B,所以a＝2不符合题意；当a＝﹣4时，B＝{1，2}，符合条件5∉B，所以a＝﹣4为所求．故答案为a＝﹣4．【练1。
导数专题(一)参数的取值范围
太原市新希望双语学校 钱大平
（一）、概述：求参数的取值范围是数学 中普遍存在的问题（如函数、解析几何、 向量等）。宏观地讲，求参数的取值范围， 就是通过寻求参数所满足的不等量关系 （特殊地也可以是等量关系，一般地是不 等式或不等式组）而得到参数的取值范围 （特殊地范围可以夹挤为一个常数，也可 以无解）。应用导数求参数的取值范围就 是在求范围的过程中，采用了导数的方法 和手段。这类问题有一定的特定数学背景 （首先是函数问题的大背景）。
（二）、预备知识：
一、恒成立、能成立问题的化归（参考《成功密 码》9月刊P14）
1、利用分离参数确定不等式 f ( x, a ) 0 ( x D, a为实参数） 恒成立中参数a的取值范围的基本步骤： （1）将参数与变量分离，即化为 g ( a ) 恒成立的形式
f ( x) (或g (a) f ( x)）
（2）求 f ( x)在x D 上的最大（或最小）值 （3）解不等式 g (a) f ( x) max (或g (a) f ( x) min ) ，得到a的取值范 围
例：已知两函数 f ( x) 8 x 2 16 x k , g ( x) 2 x 3 5 x 2 4 x ， 其中k为实数。 （1）对任意 x 3, 3 ，都有 f ( x) g ( x) 成立，求k的取 值范围； （2)存在 x 3, 3 ，使 f ( x) g ( x) 成立，求k的取值范围 （3）对 x1 , x2 3, 3 ，都有 f ( x1 ) g ( x2 ) ，求k的取值范 围；
二、参数满足的条件与参数取值范围的逻辑关系 （集合观点理解：即用充分条件得到的参数范围是 用充要条件得到的范围的子集，用必要条件得到的 参数范围含盖用充要条件得到的范围）
集合中参数问题的解答方法(部分答案)
集合中参数问题的解答方法集合中的参数问题主要包括：①集合与集合关系中的参数问题；②集合运算过程中的参数问题；每类问题又涉及到求参数的值和求参数的取值范围两种情况。
那么在实际解答这类问题时，到底应该怎样展开思路，寻求解答方法呢？下面通过对典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、含有三个元素的集合可以表示为｛a,b a ,1｝,也可以表示为｛2a ,a+b,0｝. 求：20092010a b +的值。
2、设A=｛x|2x -3x+2=0｝，B=｛x|x+2＞a ｝,如果A ⊆ B,求实数a 的取值范围；3、已知集合A=｛x|0＜ax+1≤5｝,B=｛x|-12＜x ≤2｝. ①若A ⊆ B, 求实数a 的取值范围；②若B ⊆ A, 求实数a 的取值范围；③A 、B 能否相等？若能求出实数a 的值；若不能说明理由。
4、已知集合A=｛x|a 2x -3x+2=0,a ∈R ｝.①若A 是空集，求实数a 的取值范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素求出来；③若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值 【解析】1、【知识点】①集合相等的定义与性质；②集合元素的定义与特性；③参数值的求法；④代数式的值的意义与求法；【解答思路】根据集合相等的定义与性质，结合结合元素的特性求出参数a ，b 的值，再把求得的值代入代数式通过计算得出结果；【详细解答】Q ｛a,b a ,1｝=｛2a ,a+b,0｝，0∈｛a,b a ,1｝，a ≠0，∴b a=0，⇒b=0，2a =1， ⇒a=±1，Q a ≠1，∴a=-1，∴20092010a b +=2009(1)-+20100=-1+0=-1。
2、【知识点】①集合的表示方法；②一元二次方程的定义与解法；③一元一次不等式的定义与解法；④数轴的定义与运用；⑤子集的定义与性质；【解答思路】根据一元二次方程的定义与解法把集合A 用列举法表示出来，由一元一次不等式的定义与解法把集合B 用描述法表示出来，运用A B 结合数轴得到关于a 的不等式，求解不等式就可得出结果；【详细解答】如图，Q A ⊆B ，∴a-2≤1，⇒a ≤3 0 1 2∴当A ⊆B ，实数a 的取值范围是（-∞，3］。
浅谈集合中参数取值范围问题
185神州教育浅谈集合中参数取值范围问题董佳辽宁省实验中学东戴河分校随着新课改进程的加快，教材在内容及结构上也日益变化，以达到素质教育的要求。
高中数学应注重提高学生的数学思维能力，同时也是新课改中重要组成部分。
可是无论怎样变更，对于数学问题而言，解题方法永远是重要的一点，而众多问题中，含参问题的讨论则是高中数学的重中之重，它也是历年考试中的必考内容，并且对最近几年的试题分析情况来看，分值略有上升趋势。
纵观整个中学数学，参数问题是一条贯穿其中的脉络，参数与函数的定义域，值域(最值)相结合；与单调性结合；与方程问题相结合；与恒成立问题相结合。
可谓参数问题在高中数学中无处不在。
含参数问题的讨论，是训练和检查学生逻辑推理能力和分析问题能力的一种综合题型.求解这类问题的方法不复杂，但在一定程度上反映了学生数学素养的高低，因此，一直为人们所重视。
作为中学数学的重要内容，参数问题在课程教学中占有重要地位。
按照高中数学的教学脉络，这部分知识与集合、简易逻辑、函数思想、微积分应用、立体几何、数列等都有紧密的联系。
其中新课改之后，更是把导数中的参数问题的讨论和解决，变为重中之重。
学生们学习中的思维和视野角度都变宽泛了。
代数方法中关于参数问题解析和讨论，大多运用分离参数方法，多和分类讨论思想相结合。
在运用分类讨论思想的时候，少有著作详细分析常规的步骤。
在代数分析的时候，大多要注意导函数图象的大致形状，导函数对应方程的根，以及要注重根的大小的比较。
教者们在讲解时也因为知识点多，方法多，与其他知识交汇点众多，从而使得学生接受起来困难重重。
关于参数讨论，多和函数思想结合，这方的著作例如白建华[3]的《函数与方程思想在解题中的运用》提出了可以把函数中参数问题转换成方程有解问题来解决。
集合是高中数学的重要基础知识，它贯穿于整个中学数学教学之中，并且作为一种数学语言和工具在其他数学问题中有广泛的运用。
在高考中，它也是年年必考内容之一。
考点05 根据充分、必要条件求参数的取值范围的“两”关键(解析版)
2021-2022学年《高考数学方法研究》（人教A 版2019） 专题一 集合与常用逻辑用语考点5 根据充分、必要条件求参数的取值范围的“两”关键【方法点拨】1. 把充分、必要转化为集合之间的关系2. 根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解。
【高考模拟】1．已知:p 40x m -<，:q 220x x -->，若p 是⌝q 的一个必要不充分条件，则m 的取值范围为（ ） A ．[8,)+∞ B ．(8,)+∞C ．(4,)-+∞D ．[4,)-+∞【答案】B 【解析】 【分析】 根据p 是⌝ q 的一个必要不充分条件，可得p q ⌝⇒，然后得到m 的取值范围【解析】:40p x m -<，即:4m p x <2:20q x x -->2:20q x x ∴⌝--≤，即12x -≤≤p 是q ⌝的一个必要不充分命题，∴可得q p ⌝⇒即q ⌝的范围比p 的范围小，故24m>，即()8,m ∈+∞ 故选B 项. 【点睛】本题考查逻辑联结词，必要不充分条件，属于简单题. 2．已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．2-【答案】C【分析】先解出命题所对应的集合，再将条件之间的关系转化为集合间的关系，即可得解. 【解析】因为x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥， 所以p 对应的集合()0,1A =，q 对应的集合1B x a x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭， 又p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，当0a =时，集合{}100B x x x x ⎧⎫=≥=>⎨⎬⎩⎭，满足题意；当>0a 时，集合110B xa x x x a ⎧⎫⎧⎫=≥=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，此时需满足11a≥即01a <≤； 当0a <时，集合()11,0,B x a x a ⎧⎫⎛⎤=≥=-∞⋃+∞⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦，满足题意； 所以实数a 的取值范围为(],1-∞. 所以实数a 的取值不可能是2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把命题间的关系转化为集合间的关系及分类求解命题q 对应的集合. 3．已知:40p x m -<，:134q x ≤-≤，若p 是q 的一个必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）． A ．{}8m m ≥ B ．{}8m m > C ．{}4m m >- D ．{}4m m ≥-【答案】B 【分析】先解不等式，化简p ，q ，再由p 是q 的一个必要不充分条件，列出不等式，求解，即可得出结果. 【解析】由40x m -<，得4mx <．由134x ≤-≤，得12x -≤≤． ∵p 是q 的一个必要不充分条件， ∴24m>，即8m >. 故选B 【点睛】本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数的问题，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.4．若0,0a b c <<>，则下列不等式不可能成立的是（ ） A ．11a b> B ．22a b > C ．0a b +< D ．ac bc >【答案】D 【分析】按照不等式的性质逐一判断即可. 【解析】因为0,0a b c <<>，故0b a ->，0ab >，所以110b a a b ab--=>， 即11a b>成立，即A 正确； 由于0,0a b a b -<+<，所以()()220a b a b a b -=-+>，即B 正确； 由于0a b <<，所以0a b +<，即C 正确； 由于,0a b c <>，所以ac bc <，即D 错误； 故选：D. 5．若“13x ”是“23x a >-”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】B 【分析】根据题中条件，得到()1,3-是()23,a -+∞的真子集，列出不等式，即可得出结果. 【解析】 因为“13x”是“23x a >-”的充分不必要条件，所以()1,3-是()23,a -+∞的真子集，则231a --≤，解得1a ≤， 故选：B. 【点睛】 结论点睛：由充分条件和必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．6．若条件:|1|1p x -，条件:q x a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．2a B ．2aC ．2a -D ．2a -【答案】A 【分析】转化成两个集合之间的包含关系求解即可. 【解析】:|1|1p x -解之得02x ≤≤设{}|02A x x =≤≤，{}|B x x a =，p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集 则2a 故选：A 7．已知命题2:11xp x <-，命题:()(3)0q x a x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．[3,)+∞【答案】C 【分析】化简命题q ，分类讨论a 解不等式()(3)0x a x -->，根据p 是q 的充分不必要条件列式可解得结果. 【解析】因为211xx <-，所以2101x x x -+<-，所以(1)(1)0x x -+<，所以11x -<<， 当3a <时，由()(3)0x a x -->得x a <或3x >， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以1a ≥，所以13a ≤<， 当3a =时，由()(3)0x a x -->得3x ≠，满足题意， 当3a >时，由()(3)0x a x -->得3x <或x a >，满足题意， 综上所述：1a ≥. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．8．已知命题p ：2230x x +->，命题q ：x a >，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞-【答案】A 【分析】先求出命题p 对应的x 取值范围，再由题得出集合包含关系，即可求出. 【解析】将2230x x -->，化为(1)(3)0x x -+>， 即p ：1x >或3x <-，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件， 即(,)(,3)(1,)a +∞⊂-∞-⋃+∞， 故1a ≥. 故选：A. 【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．9．设x ∈R ，若“3x >”是“221x m >-”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．()1,1-C ．(D ．[]1,1-【答案】C 【分析】根据充分不必要条件，转化为子集问题，求实数m 的取值范围. 【解析】由“3x >”是“221x m >-”的充分不必要条件，可得，2213m -<m <<故选:C10．若“x a >”是“13x<”的一个充分不必要条件，则下列a 的范围满足条件的是（ ） A ．2a > B ．102a <<C ．13a <-D ．13a -<<【答案】A 【分析】由充分不必要条件的性质转化条件为{}x x a > 13x x ⎧>⎨⎩或}0x <，即可得解. 【解析】由题意，不等式13x <的解集为13x x ⎧>⎨⎩或}0x <，因为“x a >”是“13x<”的一个充分不必要条件，所以{}x x a > 13x x ⎧>⎨⎩或}0x <，即13a ≥. 对比选项，仅有A 满足要求. 故选：A.11．若()2:140p a x +-=是2:60q x x +-=的充分不必要条件，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．3-或3D ．1或1-【答案】D 【分析】由充分条件、必要条件的定义可得2421a =+，即可得解. 【解析】由题意，命题()2:140p a x +-=即为241x a =+， 命题2:60q x x +-=即为3x =-或2x =， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以2421a =+或2431a =-+（舍去）， 所以1a =±. 故选：D.12．已知条件p ：()()30x m x m --->﹔条件q ：22760x x -+->，若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．[)3,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．()3,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简p 、q ，再根据q 是p 的充分不必要条件，由q 是p 的真子集求解. 【解析】解不等式()()30x m x m --->，解得x m <或3x m >+.解不等式22760x x -+->，即22760x x -+<，即()()2320x x --<，解得332x <<. 所以，:0p x <或3x m >+，3:32q x <<. 因为q 是p 的充分不必要条件，所以，322xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{|x x m <或}3x m >+， 可得2m ≥或332m +≤，所以[)3,2,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦，故选：B.13．若不等式()(2)0a x x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1a ≤- B ．1a <-C ．2a ≤-D ．2a <-【答案】B 【分析】由题可知21x -<<对应的集合真包含于不等式()(2)0a x x ++<对应的集合，即可求出. 【解析】设不等式()(2)0a x x ++<的解集为A ，21x -<<对应集合为B ， 则由题可知B A ，1a ∴->，解得1a <-. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 14．已知“x k >”是“311x <+”的充分不必要条件，则k 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．[)2,+∞D ．()2,+∞【答案】C【分析】 根据“x k >”是“311x <+”的充分不必要条件，可知(),k +∞是311x <+解集的真子集，然后根据真子集关系求解出k 的取值范围. 【解析】 因为311x <+，所以13x +>或10x +<， 所以解集为()(),12,-∞-+∞，又因为“x k >”是“311x <+”的充分不必要条件， 所以(),k +∞是()(),12,-∞-+∞的真子集，所以[)2,k ∈+∞，故选：C. 【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断充分、必要条件：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）若p 是q 的既不充分也不必要条件，则p 对应集合与q对应集合互不包含.15．已知命题:12p x +>；命题:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围（ ） A ．3a <- B ．3a ≤-C ．1a <D ．1a ≥【答案】D 【分析】先化简命题p ，再由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件求解. 【解析】命题:12p x +>，即为:1p x >或3x <-；命题:q x a >， 因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， 所以q 是p 的充分不必要条件， 所以1a ≥ 故选;D16．设x ∈R ，若“log 2(x -2)＜1”是“x ＞m 2-1”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3,3)-B ．(-1，1)C ．[3,3]-D ．[-1，1]【答案】C 【分析】解对数不等式得24x <<，结合已知条件即可得关于m 的不等式，从而可求出实数m 的取值范围. 【解析】解：()22log 21log 2x -<=，解得24x <<，则“24x <<”是“x ＞m2-1”的充分不必要条件，即212m -≤，解得33m -≤≤， 故选:C 【点睛】本题考查了对数不等式的求解，考查了已知充分不必要条件求参数的取值范围，属于基础题.本题的易错点是求对数不等式时忽略了真数大于零.17．已知p :1x >或2x <-，q :x a >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．{}2a a <- B ．{}2a a >-C ．{}21a a -<≤D ．{}1a a ≥【答案】D 【分析】由条件q 是p 的充分不必要条件，即q 表示的集合B 是p 表示的集合A 的真子集，再借助数轴表示集合的包含关系，即可得解. 【解析】设p 表示的集合为{|1A x x =>或}2x <-，q 表示的集合为{}|B x x a =>， 由q 是p 的充分不必要条件，可得B 是A 的真子集，利用数轴作图如下：所以1a ≥ 故选：D. 【点睛】本题考查充分不必要条件的应用，集合的包含关系求参数，考查学生的数形结合能力，属于基础题. 18．已知条件:()(3)0p x m x m --->；条件2:340q x x +-<，若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．{|7m m ≤-或1}m ≥ B ．{|7m m <-或1}m > C ．{|71}m m -<< D ．{|71}m m -≤≤【答案】A 【分析】分别求解一元二次不等式化简p 与q ，再由已知转化为两不等式解集的关系，进一步转化为关于m 的不等式求解． 【解析】解：由()(3)0x m x m --->，得x m <或3x m >+， 即:p x m <或3x m >+；由2340x x +-<，解得41x -<<．q 是p 的充分不必要条件，1m ∴或43m -+，即7m -或1m ．∴实数m 的取值范围是{|7m m ≤-或1}m ≥．故选：A ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断及其应用，考查一元二次不等式的解法，考查数学转化思想方法，属于基础题．19．已知命题p ：20010x R mx ∃∈+≤，，命题q ：210.x R x mx ∀∈++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围为（ ） A ．22m -≤≤ B ．2m ≤-或2m ≥ C ．2m ≤- D ．2m ≥【答案】D 【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用及真值表的应用求出结果． 【解析】解：命题0:p x R ∃∈，210mx +为假命题，所以0m ，命题:q x R ∀∈，210x mx ++>， 所以△240m =-<，解得22m -<<， 由于该命题为假命题， 所以2m 或2m -． 当p ，q 为假命题时，故02m m ⎧⎨⎩或02m m ⎧⎨-⎩，整理得2m ． 故选：D ．20．若命题“x R ∀∈，||10x m -+>”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】D 【分析】由原命题为假命题可知其否定x R ∃∈，使得||10x m -+≤成立是真命题，转化为||10x m -+≤对于x ∈R 有解，分离m 可得()max 1||m x ≤-，即可求解. 【解析】若命题“x R ∀∈，||10x m -+>”是假命题， 所以x R ∃∈，使得||10x m -+≤成立是真命题， 即||10x m -+≤对于x ∈R 有解， 所以1||m x ≤-，所以()max 1||m x ≤-， 因为0x ≥，所以0x -≤，11x -≤， 所以()max 1||1x -=，所以1m ≤， 所以实数m 的取值范围是(,1]-∞， 故选：D 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()min g x λ≥或()()max g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.21．已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】(]3,0- 【分析】分0k =与0k ≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围. 【解析】已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题. 当0k =时，则有308-<恒成立，合乎题意； 当0k ≠时，则有22030k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<. 综上所述，实数k 的取值范围是(]3,0-. 故答案为：(]3,0-. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则0a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩；③()0f x ≥在R 上恒成立，则0a >⎧⎨∆≤⎩；④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩.22．若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】参变分离，即可得到1a x≤对[]1,2x ∀∈都成立，求出()g x 的最小值，即可得解． 【解析】解：因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦23．已知命题“对于任意x R ∈，210x ax ++≥”是假命题，求实数a 的取值范围____ 【答案】(,2)(2,)-∞-+∞【分析】根据“R x ∀∈，210x ax ++≥ ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围． 【解析】∵命题“R x ∀∈，210x ax ++≥ ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++<是真命题， 即R x ∃∈使不等式210x ax ++<有解； 所以240a ∆=->，解得：2a <-或2a >. ∴实数a 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞.故答案为：(,2)(2,)-∞-+∞.24．已知函数()2f x ax =+()0a >，()21g x x =-，若[]11,2x ∃∈-，[]22,3x ∀∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[1,)+∞ 【分析】根据函数的单调性，分别求得函数()f x 和()g x 的值域构成的集合,A B ，结合题意，得到B A ⊆，列出不等式组，即可求解. 【解析】由题意，函数()21g x x =-在[]2,3为单调递减函数，可得()12g x ≤≤， 即函数()g x 的值域构成集合[1,2]B =，又由函数()2(0)f x ax a =+>在区间[]1,2-上单调递增，可得()222a f x a -+≤≤+， 即函数()f x 的值域构成集合[2,22]A a a =-++，又由[]11,2x ∃∈-，[]22,3x ∀∈，使()()12f x g x =成立，即B A ⊆,则满足21222a a -+≤⎧⎨+≥⎩，解得1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞. 故答案为：[1,)+∞. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ． 25．已知命题2:,10p x R ax ax ∀∈--≤是真命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[4,0]- 【分析】分两种情况讨论，结合抛物线的图象，列不等式求解即可. 【解析】当0a =时，10-≤为真命题，符合题意；当0a ≠时，要使x R ∀∈，210ax ax -≤-为真命题， 则对应的抛物线开口向上且与x 轴没有交点，可得24040a a a a <⎧⇒-≤<⎨+≤⎩， 综上可得实数a 的取值范围是[4,0]-， 故答案为：[4,0]-. 【点睛】方法点睛：本题主要考查全称命题的定义，以及一元二次不等式恒成立问题，属于简单题. 一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.26．已知命题“2,40x R x ax ∀∈++>”是假命题，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】4a ≥或4a ≤-， 【分析】若命题“2,40x R x ax ∀∈++>”是真命题，则∆<0，求出a 的取值范围，再求补集即可.【解析】若命题“2,40x R x ax ∀∈++>”是真命题，则2440a ∆=-⨯<， 解得：44a -<<，若命题“2,40x R x ax ∀∈++>”是假命题，则4a ≥或4a ≤-， 故答案为：4a ≥或4a ≤-，27．已知命题p ：0R x ∃∈，使得20010ax ax +-≥．若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为________．【答案】(]1,0- 【分析】由p 得出p ⌝，然后分0a =和0a ≠讨论即可得结果. 【解析】解：由于2000:,210p x R ax ax ∃∈+-≥，则200020:,1p x R ax ax ∀∈+-<⌝， 当0a =时，10-<，显然满足题意；当0a ≠时，2440a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得10a -<<， 综上可知：实数a 的取值范围是(]1,0-.28．若命题“22,210x R x x m ∀∈-+->”为真命题，则实数m 的取值范围为________________________【答案】(),-∞⋃+∞【分析】根据全称命题是真命题可知判别式小于零，即得结果. 【解析】全称命题是真命题，即22210x x m -+->在R 上恒成立，则判别式()24410m ∆=--<，解得m <m >，故答案为：(),-∞⋃+∞.29．已知():lg 1p x +>，()23:12x mq m R x m+-<∈-，若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围是______. 【答案】0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】分别求出关于,p q 成立的x 的范围，根据集合的包含关系判断即可． 【解析】():lg 1p x +>，则10101x x x ⎧+>⎪->⎨⎪+>⎩解得：21130x x x x >-⎧⎪<⎨⎪+>⎩，所以:01p x <<，()23:12x mq m R x m +-<∈-，即()02x m m R x m+-<∈-，所以():2q m x m m R +<<∈，若p 是q 的必要不充分条件，则(),2m m 为()0,1的真子集，即0212m m m m≥⎧⎪≤⎨⎪<⎩，解得：10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：0,12⎛⎤⎥⎝⎦.30．已知:1p x ≤，:q x a ，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是_________.【答案】(),1-∞ 【分析】根据必要不充分条件的概念，结合题中条件，可直接得出结果. 【解析】 ∵:1p x ≤，:q xa ，p 是q 的必要不充分条件，∴(],a -∞是(],1-∞的真子集，因此1a <，即a 的取值范围为(),1-∞. 故答案为：(),1-∞. 【点睛】 结论点睛：根据命题的充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．。
用由集合关系求参数范围
y＝ y＝
x x
22 a
x
,
消去y，得 x2+x-a=0，
∴△=1+4a≥0
a1, 4
∴实数a的取值范围是 [ 1 , ). 4
练习
7.已知M={(x,y)|x2+2x+y=0},N={(x,y)|y=x+a},且M∩N ∅,求实数a的取值范围. （ ，9 ] 4
练 习
8.已知集合A={x|x2-a2≤0，a＞0}，B={x|x2-3x-4＞0} （1）若A∪B=R，求实数a的取值范围；
解得：a≤-3或a≥6，
∴实数a的取值范围（-∞，-3]∪[6，+∞）．
题型三、由集合关系求参数的取值(范围).
已知集合A={x||x-a|≤4，x∈R，a∈R}，集合 B{x| 6 ＜1}．
（1）若A∩B=（5，7]，求实数a的值；
x1
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．
解：由|x-a|≤4有-4≤x-a≤4， 解得a-4≤x≤a+4， 即A={x|a-4≤x≤a+4}．
当a<1时， B={x|a<x<1}，
当a>1时，B={x|1<x<a}，
此时B⊆A不成立.
A∩B≠∅, 合题意，
综上，a的范围为{a|0≤a≤1}.
题型三、由集合关系求参数的取值(范围). 已知全集U=R,集合A={x|x≤a-1},集合B={x|x＞a+2},集合C={x|x＜0或x≥4}.
若∁U(A∪B)⊆C,求实数a的取值范围． 解：显然a-1＜a+2， ∴∁U(A∪B)=(a-1，a+2]， ∵∁U(A∪B)⊆C，
x
6
集合间的基本关系例题讲解
集合间的基本关系例题讲解说明 所选例题题型、难易程度顺序不分先后题型一 根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围对于两个集合A 与B ,A 或B 中含有待定的参数（字母）,若已知集合A 与B 的关系,求参数的值或取值范围时,常采用分类讨论和数形结合的方法.（1）分类讨论:若,在未指明集合A 非空时,应分为和两种情况B A ⊆∅=A ∅≠A 进行讨论.（2）数形结合:在对这种情况进行参数的确定时,要借助于数轴来完成.将∅≠A 两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心,根据两个集合之间的基本关系,列不等式（组）求解.例1. 已知集合,,若,求实数的{}43≤≤-=x x A {}112+≤≤-=m x m x B A B ⊆m 取值范围.分析:需要知道的是由集合间的基本关系可以确定参数的取值范围. 本题在分类讨论时要用到下面的结论:关于集合为空集的重要结论（1）若集合,则;{}∅=≤≤=n x m x A n m >（2）若集合,则≥;{}∅=<<=n x m x A m n （3）若集合或,则≥. {}∅=<≤=n x m x A {}∅=≤<=n x m x A m n 最后,实数的取值范围最好写成集合的形式.m 解:∵,A B ⊆{}112+≤≤-=m x m x B ∴分为两种情况:①当时,,解之得:;∅=B 112+>-m m 2>m ②当时,则有:,解之得:≤≤2.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-41312112m m m m 1-m 综上,实数的取值范围为. m {}1-≥m m例2. 已知集合,,若,求实数⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<->+=0102063x x x A {}121-≤≤+=m x m x B A B ⊆m 的取值范围.解:解不等式组得: ⎩⎨⎧<->+0102063x x 52<<-x ∴{}52<<-=x x A ∵,∴分为两种情况:A B ⊆①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:,解之得:2≤.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m 3<m 综上,实数的取值范围是. m {}3<m m 例3. 设集合,,若,则实数{}042=+=x x x A (){}011222=-+++=a x a x x B A B ⊆的值取值范围为__________.a 分析:在进行分类讨论时要做到不重不漏,特别注意不能漏掉对的讨论.解∅=B 决本题还要明白以下两点:（1）空集是任何集合的子集;（2）空集是任何非空集合的真子集.解:{}{}4,0042-==+=x x x A ∵,A B ⊆(){}011222=-+++=a x a x x B ∴分为两种情况:（1）当时,方程没有实数根∅=B ()011222=-+++a x a x ∴,解之得:; ()[]()0141222<--+=∆a a 1-<a （2）当时,则有或或∅≠B {}0=B {}4-=B {}4,0-=B ①当或时,方程有两个相等的实数根 {}0=B {}4-=B ()011222=-+++a x a x ∴,解之得: ()[]()0141222=--+=∆a a 1-=a ∴符合题意;{}0=B②当时,由根与系数的关系定理可得: {}4,0-=B ()⎩⎨⎧=--=+-014122a a 解之得:.1=a 综上,实数的值取值范围为. a {}11-≤=a a a 或★例4. 已知集合,.{}52≤≤-=x x A {}121-≤≤+=m x m x B （1）若,求实数的取值范围;A B ≠⊂m （2）若,求实数的取值范围.B A ⊆m 分析:（1）本题中集合A 为非空集合,因为空集是任何非空集合的真子集,所以要对含参集合B 进行分类讨论;（2）由可知集合B 为非空集合.B A ⊆解:（1）∵,A B ≠⊂{}121-≤≤+=m x m x B ∴分为两种情况:①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:或∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m ⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m 解之得:2≤≤3.m 综上所述,实数的取值范围为; m {}3≤m m （2）∵,且B A ⊆∅≠A ∴,则有:解之得:实数不存在.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-<+51221121m m m m m ∴不存在实数,使得.m B A ⊆注意:在第（1）问中,当时,结果是不正确的.如下图的数轴∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m所示,应有:或.这一点雅慧你要特别注意了.⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m ⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m m m + 1 22m 1在第（2）问中,虽然得出,但不是,应是,见∅≠B 121-≤+m m 121-<+m m 如下图所示的数轴,应从整体上把握题目.鉴于此题的重要性和代表性,雅慧,建议你整理此题,并尝试独立解决.例5. 已知集合,,若,求实数的取{}51<<=x x A {}3423-<<-=a x a x C A C ⊆a 值范围.解:∵,∴分为两种情况:A C ⊆①当时,≥,解之得:≤1;∅=C 23-a 34-a a ②当时,则有:,解之得:≤2.∅≠C ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥--<-5341233423a a a a a <1综上所述,实数的取值范围是.a {}2≤a a 例6. 已知集合.{}52≤≤-=x x A （1）若,,求实数的取值范围;A B ⊆{}121-≤≤+=m x m x B m （2）若,,求实数的取值范围;B A ⊆{}126-≤≤-=m x m x B m （3）若,,求实数的取值范围.B A ={}126-≤≤-=m x m x B m 解:（1）∵,,∴分为两种情况:A B ⊆{}121-≤≤+=m x m x B ①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:∅≠B,解之得:2≤≤3. ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m m 综上所述,实数的取值范围是; m {}3≤m m （2）∵,,∴B A ⊆{}52≤≤-=x x A ∅≠B 则有:,解之得:3≤≤4⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--<-51226126m m m m m ∴实数的取值范围是; m {}43≤≤m m （3）∵B A =∴,无解,即不存在实数,使得. ⎩⎨⎧=--=-51226m m m B A =题型二 集合间关系的判断判断集合间关系的常用方法（1）列举观察法当集合中元素较少时,可以列出两个集合中的全部元素,然后通过定义得出两个集合之间的关系.（2）集合元素特征法首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合代表元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.一般地,设,: (){}x p x A =(){}x q x B =①若由可推出,则；()x p ()x q B A ⊆②若由可推出,则;()x q ()x p A B ⊆③若与可互相推出,则。
集合的关系求参数范围
1．定义集合A*B={x|x∈A，且x∉B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则A*B的子集个数为（）A．1B．2C．3D．42．设集合I={1，2，3，4，5，6}，集合A、B⊆I，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合A、B有（）A．146组B．29组C．28组D．16组3．已知A⊆B，A⊆C，B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，则A可以是（）A．{1，2} B．{2，4} C．{2} D．{4}4．集合时M={x|x=，k∈Z}与N={ x|x=，k∈Z}之间的关系是（）A．M⊊N B．N⊊M C．M=N D．M∩N=φ5．已知集合P={y=x2+1}，Q={y|y=x2+1}，E={x|y=x2+1}，F={（x，y）|y=x2+1}，G={x|x≥1}，则（）A．P=F B．Q=E C．E=F D．Q=G6．设集合A={x|x=+，k∈Z}，B={x|x=+，k∈Z}，则（）A．A=B B．A⊊B C．B⊊A D．A∩B=∅7．设集合A={x|x≥a}，集合B={x||x﹣3|＜1}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．2＜a＜4 D．a＞48．已知集合A={x|mx2﹣2x+3=0，m∈R，x∈R }．（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围．9．已知集合A={x|x2﹣2x﹣a=0，x∈R}，B={x|x2﹣4x+a+6=0，x∈R}（1）若A=B=∅，求a的取值范围；（2）若A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围；（3）若A和B中有且只有一个是∅，求a的取值范围．10．已知集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={a，2，2a﹣1}（I）求集合A；（II）若A⊆B，求实数a的值．11．已知集合P={x|x2+4x=0}，集合Q={x|x2+2（m+1）x+m2﹣1=0}，（1）若P⊆Q，求实数m的取值范围；（2）若Q⊆P，求实数m的取值范围．12．设A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}．（1）若，试判定集合A与B的关系；（2）若B⊆A，求实数a组成的集合C．13．已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．（Ⅰ）若M⊆N，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若M⊇N，求实数a的取值范围．14．已知集合A={x||x﹣a|＜2，x∈R }，B={x|＜1，x∈R }．（1）求A、B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．15．已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}．（1）若A⊊B，求a的取值范围；（2）若A⊆B，求a的取值范围；（3）若A=B，求a的取值范围．2014年07月23日郭杜军1的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2014•市中区二模）定义集合A*B={x|x∈A，且x∉B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则A*B的子集个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：由定义A*B即A中的元素除去B中元素构成的集合．写出A*B，再判断子集个数即可．解答：解：由题意：A*B={1，7}，故其子集为∅，{1}，{7}，{1，7}，个数为4故选D点评：本题考查集合的运算、集合子集个数问题，属基础知识、基本运算的考查．2．（2012•泸州二模）设集合I={1，2，3，4，5，6}，集合A、B⊆I，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合A、B有（）A．146组B．29组C．28组D．16组考点：子集与真子集．专题：分类讨论．分析：根据集合A中只含有3个元素，则可对集合A进行分类讨论，逐一求出集合B的所以情况即可．解答：解：当集合A={1，2，3}时，集合B若两个元素有6种，如3个元素有4种，若4个元素有1种，当集合A={1，2，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种当集合A={1，3，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种当集合A={2，3，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种当集合A={1，2，5}时，集合B若两个元素有1种，当集合A={1，3，5}时，集合B若两个元素有1种，当集合A={1，4，5}时，集合B若两个元素有1种，当集合A={2，3，5}时，集合B若两个元素有1种，当集合A={2，4，5}时，集合B若两个元素有1种，当集合A={3，4，5}时，集合B若两个元素有1种，合计29组，故选B点评：本题主要考查了集合子集的运算，分类讨论的数学思想，属于基础题．3．（2013•浙江模拟）已知A⊆B，A⊆C，B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，则A可以是（）A．{1，2} B．{2，4} C．{2} D．{4}考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：先根据A⊆B，A⊆C可知A⊆（B∩C），然后求出B∩C，最后求出所求满足条件的A，最后得到结论．解答：解：∵A⊆B，A⊆C，∴A⊆（B∩C）∵B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，∴B∩C={2}而A⊆（B∩C）则A={2}或∅故选C点评：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，以及函数子集的运算，同时考查了分析问题的能力，属于集合的基础题．4．集合时M={x|x=，k∈Z}与N={ x|x=，k∈Z}之间的关系是（）A．M⊊N B．N⊊M C．M=N D．M∩N=φ考点：集合的包含关系判断及应用．专题：常规题型．分析：先将集合M进行化简，然后根据2k±1（k∈Z）表示所有的奇数，而k∈Z，即可判定集合M与集合N的关系．解答：解：M={x|x=，k∈Z}={x|x=，k∈Z}N={ x|x=，k∈Z}∵2k±1（k∈Z）表示所有的奇数，k∈Z∴M⊊N故选A点评：本题主要考查集合的包含关系判断及应用，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．5．已知集合P={y=x2+1}，Q={y|y=x2+1}，E={x|y=x2+1}，F={（x，y）|y=x2+1}，G={x|x≥1}，则（）A．P=F B．Q=E C．E=F D．Q=G考点：集合的相等．专题：计算题．分析：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．解答：解：∵P={y=x2+1}是单元素集，集合中的元素是y=x2+1，Q={y|y=x2+1≥1}={y|y≥1}，E={x|y=x2+1}=R，F={（x，y）|y=x2+1}，集合中的元素是点坐标，G={x|x≥1}．∴Q=G．故选D．点评：本题考查集合相等的概念，解题时要注意集合中的元素是什么．6．（2010•和平区一模）设集合A={x|x=+，k∈Z}，B={x|x=+，k∈Z}，则（）A．A=B B．A⊊B C．B⊊A D．A∩B=∅考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：从元素满足的公共属性的结构入手，首先对集合B中的k分奇数和偶数讨论，易得两集合的关系．解答：解：法一：当k=2m（为偶数）时，B={x|x=+，k∈Z}；当k=2m﹣1（为奇数）时，B={x|x=+，k∈Z}={x|x=+，k∈Z}=A．∴A⊊B．法二：由于A={x|x=+，k∈Z}={x|x=，k∈Z}，B={x|x=+，k∈Z}={x|x=，k∈Z}，当k是奇数时，B=A；当k是偶数时，B∩A=∅．∴A⊊B．故选B．点评：本题主要考查集合表示方法中的描述法，考查集合的包含关系判断及应用．7．（2008•普陀区二模）设集合A={x|x≥a}，集合B={x||x﹣3|＜1}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．2＜a＜4 D．a＞4考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：根据B求得B，由A，B之间的包含关系，求出此时满足题干的a应满足的条件，解不等式即可求得实数a 的范围．解答：解：∵集合A={x|x≥a}，集合B={x||x﹣3|＜1}={x|2＜x＜4}，B⊆A，a≤2，故选B点评：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，属于以不等式为依托，求集合的子集的基础题，本题是一个基础题．二．解答题（共8小题）8．已知集合A={x|mx2﹣2x+3=0，m∈R，x∈R }．（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：（1）当m=0时，集合A={x|﹣2x+3=0}={}≠∅，不合题意；当m≠0时，须△＜0，解次不等式即可．（2）由（1）当m=0时符合题意，若当m≠0还须△=0．（3）至多只有一个元素包括A中只有一个元素和A是空集两种情况．为（1），（2）的合并．解答：解：集合A是方程mx2﹣2x+3=0在实数范围内的解集．（1）当m=0时，集合A={x|﹣2x+3=0}={}≠∅，不合题意；当m≠0时，须△＜0，即△=4﹣12m＜0，即m＞．故若A是空集，则m＞（2）∵A中只有一个元素，∴方程mx2﹣2x+3=0只有一个解．若m=0，方程为﹣2x+3=0，只有一解x=，符合题意若m≠0，则△=0，即4﹣12m=0，m=．∴m=0或m=．（3）A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m=0或m≥．点评：本题考查含参数的方程的解法、空集的概念、集合的表示方法、分类讨论的思想方法．本题的易错点是忽视对m是否为0进行讨论．9．已知集合A={x|x2﹣2x﹣a=0，x∈R}，B={x|x2﹣4x+a+6=0，x∈R}（1）若A=B=∅，求a的取值范围；（2）若A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围；（3）若A和B中有且只有一个是∅，求a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）首先，结合条件A=B=∅，即方程x2﹣2x﹣a=0和方程x2﹣4x+a+6=0无实根，从而得到a的取值范围；（2）可以求解A≠∅，B≠∅的情形，然后，求解它的补集即可；（3）分情况进行讨论，分为：A=∅，B≠∅；A≠∅，B=∅两种情形．解答：解：（1）∵A=B=∅，∴方程x2﹣2x﹣a=0和方程x2﹣4x+a+6=0无实根，∴，∴，∴﹣2＜a＜﹣1，∴a的取值范围为（﹣2，﹣1）．（2）当A≠∅，B≠∅时，∴方程x2﹣2x﹣a=0和方程x2﹣4x+a+6=0都有实根，∴∴，∴a∈∅，∴A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围为（﹣∞，+∞）；（3）根据（1）若A=∅，B≠∅；∴，∴a≤﹣2，若A≠∅，B=∅∴，∴a≥﹣1，∴a∈（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）．点评：本题重点考查集合的基本运算，结合一元二次方程根进行分类讨论，属于中档题．10．已知集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={a，2，2a﹣1}（I）求集合A；（II）若A⊆B，求实数a的值．考点：集合关系中的参数取值问题；集合的确定性、互异性、无序性；集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：（I）解一元二次方程求得x的值，即可得到集合A．（II）若A⊆B，即{2，3 }⊆{a，2，2a﹣1}，可得a=3，或2a﹣1=3，分别求得a的值，再代入条件检验．解答：解：（I）求集合A={x|x2﹣5x+6=0}={x|（x﹣2）（x﹣3）=0}={2，3 }．（II）若A⊆B，即{2，3 }⊆{a，2，2a﹣1}．∴a=3，或2a﹣1=3．当a=3 时，2a﹣1=5，B={3，2，5 }，满足A⊆B．当2a﹣1=3时，a=2，集合B不满足元素的互异性，故舍去．综上，a=3．点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，集合间的关系，以及集合中元素的互异性，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．已知集合P={x|x2+4x=0}，集合Q={x|x2+2（m+1）x+m2﹣1=0}，（1）若P⊆Q，求实数m的取值范围；（2）若Q⊆P，求实数m的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：（1）化简P，利用P⊆Q，可得Q={0，﹣4}，利用韦达定理，即可得出结论；（2）根据Q⊆P，可得Q=∅，{0}，{﹣4}，{0，﹣4}，分类讨论，即可得出结论．解答：解：（1）P={0，﹣4}，∵P⊆Q，∴Q={0，﹣4}，∴0，﹣4是x2+2（m+1）x+m2﹣1=0的两个根，∴，∴m=1（2）∵Q⊆P，P={0，﹣4}，∴Q=∅，{0}，{﹣4}，{0，﹣4}，∴△=4（m+1）2﹣4（m2﹣1）＜0或或或，∴m≤﹣1或m=1．点评：本题考查集合之间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．12．设A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}．（1）若，试判定集合A与B的关系；（2）若B⊆A，求实数a组成的集合C．考点：集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：（1）若，B={5}的元素5是集合A={5，3}中的元素，集合A={5，3}中除元素5外，还有元素3，3在集合B中没有，所以B⊊A．（2）先对B集合进行化简，再根据A集合的情况进行分类讨论求出参数的值，写出其集合即可解答：解：（1）∵B={5}的元素5是集合A={5，3}中的元素，集合A={5，3}中除元素5外，还有元素3，3在集合B中没有，∴B⊊A．故答案为：B⊊A．（2）当a=0时，由题意B=∅，又A={3，5}，B⊆A，当a≠0，B={}，又A={3，5}，B⊆A，此时或5，则有a=或a=故答案为：．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，求解问题的关键是正确理解A⊆B的意义及对其进行正确转化，本题中有一个易错点，即A是空集的情况解题时易漏掉，解答时一定要严密．13．已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．（Ⅰ）若M⊆N，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若M⊇N，求实数a的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题；数形结合；转化思想．分析：（Ⅰ）本题考查集合包含关系中参数取值的问题，由包含关系转化出参数的不等式，解出其范围即可；（Ⅱ）本题考查集合包含关系中参数取值的问题，由包含关系转化出参数的不等式，解出其范围即可，求解时要分两类，N是空集与不是空集．解答：解：（Ⅰ）由于M⊆N，则，解得a∈Φ（4分）（Ⅱ）①当N=Φ时，即a+1＞2a﹣1，有a＜2．（6分）②当N≠Φ，则，解得2≤a≤3，综合①②得a的取值范围为a≤3．（10分）点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是掌握由集合的包含关系得出参数所满足的不等式的方法﹣﹣比较端点法，求解此类题时，如本题的第二小题，易因为忘记讨论空集的情况导致失解，谨记！14．（2013•金山区一模）已知集合A={x||x﹣a|＜2，x∈R }，B={x|＜1，x∈R }．（1）求A、B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：阅读型．分析：（1）通过解绝对值不等式与分式不等式求出集合A、B即可；（2）利用数轴表示集合，再根据集合关系分析求解即可．解答：解：（1）由|x﹣a|＜2，得a﹣2＜x＜a+2，∴A={x|a﹣2＜x＜a+2}，由＜1，得＜0，即﹣2＜x＜3，∴B={x|﹣2＜x＜3}．（2）若A⊆B，∴⇒0≤a≤1，∴0≤a≤1．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，利用数形结合思想分析求解，直观、形象．15．已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}．（1）若A⊊B，求a的取值范围；（2）若A⊆B，求a的取值范围；（3）若A=B，求a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；集合的相等．专题：集合．分析：（1）首先，化简集合A，然后对集合B中a的取值情况进行讨论，最后，结合条件A⊊B进行求解；（2）根据（1），直接进行求解即可，注意等号问题；（3）直接根据集合的相等运算进行求解．解答：解：由集合A得：A={x|1≤x≤2}，由集合B得：当a=1时，B={1}，当a＜1时，B={x|a≤x≤1 }，当a＞1时，B={x|1≤x≤a }，（1）∵A⊊B，且A={x|1≤x≤2}，∴当a≤1时，显然不满足条件，当a＞1时，∵B={x|1≤x≤a }，∴a＞2，∴a的取值范围是（2，+∞）．（2）∵A⊆B，且A={x|1≤x≤2}，∴当a≤1时，显然不满足条件，当a＞1时，∵B={x|1≤x≤a }，∴a≥2，∴a的取值范围是[2，+∞）．（3）∵A=B，∴B的集合为B={x|1≤x≤2}，∴a=2．点评：本题重点考查集合与集合之间的关系，集合的相等等知识，属于基础题，难度小．。
根据集合间的关系求参数的取值范围 高中数学教案
难点教学方法 利用数轴，以形助数，直观形象的处理实数集之间的关系 。
教学环节
教学过程
导入
例题讲解 （难点突破）
解：
●
0
4
a
解：（1）
如图所示：
●
●
1-2m -2 3 m-1
（2）
●
●
-2 1-2m m-1 3
1、根据集合间的关系求参数的方法 （1）利用集合的关系求参数问题，常涉及两个集合，其中 一个是动集合（含参数），另一个是静集合（具体的）， 解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需要特别注意端 小结 点问题。 （2）空集是任何集合的子集，因此在解含参的问题时，要 进行讨论 2.主要数学素养：数形结合、分类讨论
教师姓名 学科
课题名称 难点名称
刘倩 数学
单位名称 年级/册
哈密市第八中学 高一年级必修一
填写时间 教材版本
2020 年 7 月 人教版 A 版
第一章第一节 根据集合间的关系求参数的取值范围
关系的转化、端点的确定
难点分析
从知识角度分析为 集合中的两种隶属关系是正确掌握和解答集合问题的条件，也是正确掌握集合
集合关系中的参数取值问题-高中数学知识点讲解(含答案)
集合关系中的参数取值问题（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2012•房山区一模）已知集合{M a =，0}，2{|250N x x x =-<，}x Z ∈，若M N ≠Φ，则a 等于( )A ．1B ．2C ．1或2.5D ．1或22．（2011•北京）已知集合2{|1}P x x =，{}M a =．若P M P =，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．[1，)+∞C ．[1-，1]D ．(-∞，1][1-，)+∞3．（2009•朝阳区二模）已知集合{(,)||1|A x y y x ==-，x ，}y R ∈，{(,)|2B x y y ax ==+，x ，}y R ∈，若集合A B有且只有一个元素，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1)(0-⋃，1] B ．(1,0)[1-，)+∞C ．(-∞，1][1-，)+∞D ．(-∞，1](1,)-+∞二．填空题（共4小题）4．（2014•北京模拟）若2{A a =，1a +，3}-，{3B a =-，21a -，21}a +，{3}AB =-，则a = ．5．（2011•顺义区二模）给定集合A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合{4A =-，2-，0，2，4}为闭集合； ②集合{|3A n n k ==，}k Z ∈为闭集合； ③若集合1A ，2A 为闭集合，则12A A 为闭集合；其中正确结论的序号是 ．6．（2010春•朝阳区期中）已知集合{|1}A x x =，{|}B x x a =，若AB R =，则实数a 的取值范围是 ；若AB =∅，则实数a 的取值范围是 ．7．（2007•北京）已知集合{|||1}A x x a =-，2{|540}B x x x =-+．若A B =∅，则实数a 的取值范围是 ． 三．解答题（共1小题）8．（2014春•西城区校级期末）已知全集U R =，集合{|(2)0}P x x x =-，{|26}Q x a x a =<<+． （Ⅰ）求集合UP ；（Ⅱ）若UP Q ⊆，求实数a 的取值范围．集合关系中的参数取值问题（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2012•房山区一模）已知集合{M a =，0}，2{|250N x x x =-<，}x Z ∈，若M N ≠Φ，则a 等于( )A ．1B ．2C ．1或2.5D ．1或2【分析】解二次不等式2250x x -<结合x Z ∈，我们可以用列举法表示出集合N ，进而根据M N ≠Φ，可得a N ∈，进而得到答案． 【解答】解：2{|250N x x x =-<，}{1x Z ∈=，2}，又{M a =，0}， 又MN ≠Φ，1a ∴=，或2a =故选：D ．【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，一元二次不等式的解法，其中解二次不等式，求出集合N 是解答本题的关键．2．（2011•北京）已知集合2{|1}P x x =，{}M a =．若P M P =，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．[1，)+∞C ．[1-，1]D ．(-∞，1][1-，)+∞【分析】通过解不等式化简集合P ；利用P M P M P =⇔⊆；求出a 的范围．【解答】解：2{|1}P x x =，{|11}P x x ∴=- PM P =M P ∴⊆a P ∴∈11a -故选：C ．【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件PM P M P =⇔⊆是解题关键．3．（2009•朝阳区二模）已知集合{(,)||1|A x y y x ==-，x ，}y R ∈，{(,)|2B x y y ax ==+，x ，}y R ∈，若集合A B有且只有一个元素，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，1)(0-⋃，1]B ．(1,0)[1-，)+∞C ．(-∞，1][1-，)+∞D ．(-∞，1](1,)-+∞【分析】先画出两集合表示的曲线，集合A 为定曲线，集合B 为动曲线，即绕点(0,2)旋转的直线，故本题转化为两曲线有且只有一个交点时，动直线的斜率的取值范围问题，数形结合即可【解答】解：集合A 中的点构成函数|1|y x =-的图象，集合B 中的点是一条过定点(0,2)，斜率为a 的直线，如图 集合AB 有且只有一个元素∴函数|1|y x =-的图象与直线2y ax =+有且只有一个交点，数形结合可得1a 或1a -故选：C ．【点评】本题考查了集合的表示方法及其几何意义，数形结合解决曲线交点个数问题，将集合问题转化为图形问题是解决本题的关键 二．填空题（共4小题）4．（2014•北京模拟）若2{A a =，1a +，3}-，{3B a =-，21a -，21}a +，{3}A B =-，则a = 1- ．【分析】根据题意，由{3}AB =-可得3B -∈，由于B 中有3个元素，则分三种情况讨论，①33a -=-，②213a -=-，③213a +=-，分别求出a 的值，求出A B 并验证是否满足{1AB =，3}-，即可得答案，【解答】解：{3}AB =-，则3B -∈，分3种情况讨论：①33a -=-，则0a =，则{3B =-，1-，1}，{0A =，1，3}-，此时{1A B =，3}-，不合题意，②213a -=-，则1a =-，此时{1A =，0，3}-，{4B =-，3-，2}，此时{3}A B =-，符合题意，③213a +=-，此时a 无解，不合题意； 则1a =-， 故答案为1-．【点评】本题考查集合的交集运算与性质，注意集合中元素的特征：互异性、确定性、无序性．5．（2011•顺义区二模）给定集合A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合{4A =-，2-，0，2，4}为闭集合； ②集合{|3A n n k ==，}k Z ∈为闭集合； ③若集合1A ，2A 为闭集合，则12A A 为闭集合；其中正确结论的序号是 ② ．【分析】分析：本题考查的是新定义和集合知识联合的问题．在解答时首先要明确闭集合是什么，然后严格按照题目当中对“闭集合”的定义逐一验证即可．【解答】解：对于①：4(2)6A -+-=-∉，故不是闭集合，故错；对于②：由于任意两个三的倍数的和、差仍是3 的倍数，故是闭集合，故正确；对于③：假设1{|3A n n k ==，}k Z ∈，2{|5A n n k ==，}k Z ∈，13A ∈，25A ∈，但是，1235A A +∉，则12A A 不是闭集合，故错． 正确结论的序号是②， 故答案为：②【点评】本题考查的是集合知识和新定义的问题．在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数、子集构成的规律．此题综合性强，值得同学们认真总结和归纳． 6．（2010春•朝阳区期中）已知集合{|1}A x x =，{|}B x x a =，若A B R =，则实数a 的取值范围是 (-∞，1] ；若AB =∅，则实数a 的取值范围是 ．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集． 【解答】解：{|1}A x x =，{|}B x x a =，且A B R =，如图，故当1a 时，命题成立． 若A B =∅，如图，1a >故答案为(-∞，1]；(1,)+∞．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．7．（2007•北京）已知集合{|||1}A x x a =-，2{|540}B x x x =-+．若A B =∅，则实数a 的取值范围是 (2,3) ．【分析】化简A 与B 两个集合，A B =∅，本题不用分类，由形式可以看出，A 不是空集，由此，比较两个端点的大小就可以求出参数的范围了【解答】解：集合{|||1}{|11}A x x a x a x a =-=-+，2{|540}{|4B x x x x x =-+=或1}x ． 又AB =∅，∴1411a a +<⎧⎨->⎩，解得23a <<，即实数a 的取值范围是(2,3)． 故应填(2,3)．【点评】考查集合之间的关系，通过数轴进行集合包含关系的运算，要注意端点的“开闭”． 三．解答题（共1小题）8．（2014春•西城区校级期末）已知全集U R =，集合{|(2)0}P x x x =-，{|26}Q x a x a =<<+． （Ⅰ）求集合UP ；（Ⅱ）若UP Q ⊆，求实数a 的取值范围．【分析】()I 分析可得，P 是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得P ，进而可得UP 可得答案．()II 根据UP Q ⊆，利用区间端点值建立不等关系，最后解不等式组即可求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为全集U R =，集合{|(2)0}P x x x =-， 所以{|(2)0}UP x x x =-<，⋯（4分） 即集合{|02}UP x x =<<⋯（6分）（Ⅱ）因为UP Q ⊆，所以0262a a ⎧⋯⎨+⎩（10分） 解得02.a a ⎧⎨-⎩所以[2a ∈-，0]．⋯（13分） 注：第（Ⅱ）小问没有等号扣（2分）．【点评】本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可．。
高一数学专题讲解：集合问题中求参数取值范围(一)
高一数学专题讲解集合问题中求参数的取值范围（一）主编：宁永辉老师主编单位：永辉中学生教育学习中心高考数学研究中心一、第一种题型： 【题型】：已知集合}|{b x a x A ≤≤=（其中a ，b 为实数，在具体题目中a ，b 两个实数的值是已知的），集合)}()(|{m g x m f x B ≤≤=（其中m 为参数，在具体的题目中参数m 是未知的，)(m f 、)(m g 都是关于参数m 的代数式），且满足B A ⊆。
求：参数m 的取值范围。
【解法】：第一步：画出数轴，在数轴上标出集合A 的区间，如下图所示：第二步：解析：B A ⊆：（1）、B A ⊆，表示集合A 中的所有元素都在集合B 中；（2）、B A ⊆，表示在数轴上集合B 的区间包含集合A 的区间，如下图所示：第三步：根据条件：B A ⊆在数轴上画出集合B 的区间，如下图所示：第四步：初步确定关于参数m 的不等式组。
根据数轴中各个数字的大小得到以下两个不等式： a m f <)(（1） b m g >)(（2）第五步：确定两个不等式是否可以取等号。
（1）、当a m f =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：a m f =)(成立。
（2）、当b m g =)(时：在数轴上画出集合A 和集合B 的区间，如下图所示：如上图可以知道：B A ⊆成立，所以：b m g =)(成立。
第六步：最终确定关于参数m 的两个不等式。
因为：题目已知)}()(|{m g x m f x B ≤≤=； 所以：得到第三个不等式：)()(m g m f ≤。
根据第四步、第五步和第六步的结论得到以上两个不等式： a m f ≤)( （1） b m g ≥)( （2） )()(m g m f ≤（3）第七步：解不等式组，得到参数m 的取值范围。
首先解每一个不等式，然后对三个不等式的解在数轴上求交集。
高一数学求a取值范围知识点
高一数学求a取值范围知识点数学作为一门基础学科，是我们学习和探索世界的重要工具。
在高一数学课程中，求解变量的取值范围是一个重要的内容。
掌握这一知识点，不仅能够帮助我们解决问题，还能够培养我们的逻辑思维和分析能力。
在数学中，我们常常会遇到一些不等式或者方程，需要求解其中的变量的取值范围。
这些问题具有一定的难度，但通过学习一些基本知识点，我们可以轻松解决这些问题。
首先，我们需要了解一些基本的数学符号和概念。
在不等式中，我们经常会遇见“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号，它们分别表示大于、小于、大于等于、小于等于的关系。
同时，我们还需要了解绝对值、开方等数学概念，这些知识是解决不等式问题的基础。
接下来，我们需要学习如何分析和解决不等式问题。
首先，我们可以通过图像法来求解一元一次不等式。
例如，对于一个简单的不等式3x-1<5，我们可以将其转化为对应的方程3x-1=5，找到其解x=2。
然后，我们可以根据方程的解，将数轴分为几个区间，再通过试验法来确定变量的取值范围。
在这个例子中，由于不等式中的不等号为“<”，所以我们可以得出x<2。
除了图像法，我们还可以运用代入法、换元法等方法来解决不等式问题。
代入法是指根据已知条件，将其中一个不等式转化为等式，然后再代入另一个不等式中求解。
换元法是指通过引入一个新的变量，将原来的不等式转化为一种更易解的形式。
这些方法可以灵活运用，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
在高一数学课程中，我们还需要学习一些特殊函数的取值范围。
例如，高一阶段我们会遇到指数函数、对数函数等。
对于这些函数，我们需要了解它们的性质和图像特点，进而确定其取值范围。
例如，对于指数函数f(x)=a^x，当a>1时，函数的取值范围为(0,+∞)；当0<a<1时，函数的取值范围为(0,1)。
类似地，对于对数函数g(x)=loga(x)，当a>1时，函数的取值范围为(-∞,+∞)；当0<a<1时，函数的取值范围为(-∞,0)。
根据充要条件求解参数的取值范围_答题技巧
根据充要条件求解参数的取值范围_答题技巧
一、方法点拨
求参数的值或取值范围是最常见的题型，解决此类题的关键是合理转化条件、有关性质定理等得到关于参数的方程或不等式，然后通过解方程或者不等式求解问题。
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二、例题
1.题面：设命题p：-14x -3命题q：x2-(2a+1)x+a(a+1)0.若┐p是┐q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。
2.解题思路：先求出p,q为真命题时所对应的条件，然后表示出┐p与┐q所对应集合之间的关系，列出参数a所满足的条件，解之即可。
集合中常见的几类问题
集合中常见的几类问题题型1：元素的互异性常见出错点：求出参数范围忘记带回检验，导致增根 1、已知A={a+2，（a+1）2，a 2+3a+3}且1∈A ，求实数a 的值； 2、已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b 2}且M=N ，求a ，b 的值. 集合元素的“三性”及其应用3、设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 已知集合{,,2}A a a b a b =++，2{,,}B a ac ac =，若A B =，求c 的值4、已知集合 =A {2，3,2a +4a +2}， B ＝{0,7, 2a +4a -2,2-a }，且A B={3,7},求a 值题型2、有限集之间的关系用韦恩图1、全集U={x|x<10，x ∈N +}，A ⊆U ，B ⊆U ，且（C U B ）∩A={1,9}，A ∩B={3}，（C U A)∩(C U B)={4,6,7}，求A 、B 。
题型3：证明、判断两集合的关系1、设集合{|32,A a a n n ==+∈Z }，集合{|31,B b b k k ==-∈Z }，试判断集合A 、B 的关系。
题型4、无限集之间的关系用数轴2、集合A={x||x-3|＜a ，a ＞0}，B={x|x 2-3x+2＜0}，且B ⊆A ，则实数a 的取值范围是 .搞不清楚是否能取得边界值：例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ⊆A ，求m 的范围.题型5、集合之间的关系（在方程、不等式中的考查）常见出错点：1、集合的关系判断中遗忘空集的情况2、集合所表示的是点集还是数集（点集多从图形的角度去考虑）3、集合中所涉及到的方程或不等式最高次数如果是字母要讨论0的情况1、设集合{}0232=+-=x x x A ，{}0)5()1(222=-+++=a x a x x B （1）若{}2=B A ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围若{}2=B A 。
集合求参数的取值范围技巧
集合求参数的取值范围技巧以集合求参数的取值范围技巧为题，我们将探讨在数学问题中如何利用集合的概念来确定参数的取值范围的技巧。
在数学问题中，我们经常会遇到需要确定参数的取值范围的情况。
这些参数可以是实数、整数、自然数等。
利用集合的概念可以帮助我们更清晰地描述参数的取值范围，并且可以通过对集合的运算来得到最终的结果。
我们需要明确问题中所涉及的参数以及它们的取值范围。
如果参数是实数，我们可以用集合来表示其取值范围。
例如，假设我们要求解一个方程的解集，其中的参数为实数x，我们可以用集合{x | x > 0}来表示x的取值范围，表示x大于0。
在确定参数的取值范围时，我们需要考虑到问题的各种限制条件。
这些限制条件可以通过集合的交、并、差等运算来表示。
例如，假设我们要求解一个不等式的解集，其中的参数为实数x，且要求x 满足两个不等式条件：x > 0和x < 1。
我们可以通过对这两个不等式条件的解集取交集得到最终的结果，即{x | 0 < x < 1}。
在一些复杂的问题中，我们可能需要利用集合的运算来表示多个参数的取值范围。
例如，假设我们要求解一个方程组的解集，其中的参数为实数x和y，且要求x和y满足一些不等式条件。
我们可以分别通过集合来表示x和y的取值范围，然后通过对这两个集合的运算来得到最终的结果。
除了利用集合的运算来确定参数的取值范围外，我们还可以利用集合的性质来简化问题的求解过程。
例如，假设我们要求解一个方程的解集，其中的参数为整数x，且要求x是一个偶数。
我们可以利用集合的性质来确定x的取值范围，即{x | x是偶数}。
这样，我们就可以将问题简化为求解偶数的集合。
在解决实际问题时，我们还可以利用集合的概念来表示一些特殊的取值范围。
例如，假设我们要求解一个方程的解集，其中的参数为自然数x，且要求x是一个素数。
我们可以利用集合来表示素数的集合，即{x | x是素数}。
这样，我们就可以通过对素数集合的运算来得到最终的结果。
交集和并集取值范围的解法
交集和并集取值范围的解法交集和并集是集合运算中常用的操作，可以帮助我们找出两个集合之间的共同元素和所有元素的总和。
本文将以交集和并集的取值范围为主题，介绍这两种操作的具体解法和应用。
一、交集的取值范围解法交集是指两个集合中共同存在的元素的集合。
为了求出交集的取值范围，我们可以采用以下步骤：1. 分别列出两个集合的所有元素；2. 找出两个集合中相同的元素；3. 将这些相同的元素组成一个新的集合。
例如，设有两个集合A和B，分别为A={1, 2, 3, 4, 5}和B={4, 5, 6, 7, 8}，求它们的交集。
列出集合A和B的所有元素，得到A={1, 2, 3, 4, 5}和B={4, 5, 6, 7, 8}。
然后，找出两个集合中相同的元素，即4和5。
将相同的元素4和5组成一个新的集合，得到交集为{4, 5}。
因此，集合A和B的交集为{4, 5}。
二、并集的取值范围解法并集是指两个集合中所有元素的总和。
为了求出并集的取值范围，我们可以采用以下步骤：1. 分别列出两个集合的所有元素；2. 将两个集合的元素合并成一个新的集合；3. 去除新集合中重复的元素。
例如，设有两个集合A和B，分别为A={1, 2, 3, 4, 5}和B={4, 5, 6, 7, 8}，求它们的并集。
列出集合A和B的所有元素，得到A={1, 2, 3, 4, 5}和B={4, 5, 6, 7, 8}。
然后，将两个集合的元素合并成一个新的集合，得到新集合为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}。
去除新集合中重复的元素，得到并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}。
因此，集合A和B的并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}。
三、交集和并集的应用交集和并集在数学和计算机科学中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用场景：1. 数据库查询：在数据库查询中，交集可以用来找出满足多个条件的记录，而并集可以用来组合多个表的记录。
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集合中的求参数的取值范围
题组一 子集中的求参数取值范围 1. 已知集合{
}
01032
≤--=x x x A .
（1）若{}121,-≤≤+=⊆m x m x B A B ，求实数m 的取值范围；（3≤m ） （2）若{
}
126,-≤≤-==m x m x B A B ，求实数m 的取值范围；（43≤≤m ）
2. 已知集合{}12<≤-=x x A ，{}
,m x x B >=若B A ⊆，求m 的取值范围.（2-<m ）
3. 已知{}
{}01|,023|2
=+==+-=ax x B x x x A ，满足B B A = ,求a
4. 已知{
}{
}
03|,023|2
2
=+-==+-=a x x x B x x x A ，满足B B A = ,求a
5. 已知{
}{
}
02|,023|2
2
=-+==+-=x ax x B x x x A ，满足B B A = ,求a
6. 已知集合{}02=++=q px x x A ，集合{}
0232=+-=x x x B ，且B B A = ，求q p ,的值或其关系式.（q p 42
<或1,2=-=q p 或4,4=-=q p 或2,3=-=q p ）
题组二 方程或不等式有解问题中的求参数取值范围
1. 方程()01452
=---x x a 有实数根，求实数a 的取值范围.（1≥a ）
2. 若关于x 的不等式()()02112
>+-+-x m x m 的解集为R ，求m 的取值范围.（91<≤m ）
3. 若方程0)1(2
=-++k x x k 有且仅有一个实数根，求实数k 的取值范围.（1-=k 或2
1-=k ）
题组三 集合运算中的求参数取值范围
1. 已知两个集合{}
{}
32,022+<<=≤--=a x a x B x x x A ，且满足φ=B A ，求实数a 的取值范围.（4-≤a 或1≥a ）
2. 对于实数集{}
03422=-+-=a ax x x A 和{
}
02222
2=+++-=a a ax x x B ，是否存在实数a ，使φ=B A ？若不存在，请说明理由；若存在，求出a 的取值范围.（21<<a ）
3. 已知集合{}01922=-+-=a ax x x A ，{}
0652=+-=x x x B ，
{}
0822=-+=x x x C ，且φφ=≠C A B A ,，求实数a 的值.（2-=a ）。