3第三讲——第二章 逻辑代数基础1
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数字逻辑———第二章逻辑代数基础
A BC A BC
A BC A BC
ABC ABC
ABC ABC
最小项(续)
对任意最小项，只有一组变量取值使它的值 为1，其他取值使该最小项为0 为方便起见，将最小项表示为mi n=3的8个最小项为：
m0 ABC m ABC m ABC m ABC 1 2 3 m ABC m ABC m ABC m ABC 4 5 6 7
第二章
逻辑代数基础
2.1 逻辑代数的基本概念 2.2逻辑代数的公理、定理及规则 2.3 逻辑函数表达式的形式与转换 2.4逻辑函数的化简 （重点）
2.1 逻辑代数的基本概念
逻辑代数：二进制运算的基础。 应用代数方法研究逻辑问题。由英国数学家布 尔(Boole)和德.摩根于1847年提出，又叫布尔代数， 开关代数。 逻辑值：0或1。 逻辑变量：用字母表示，取值为逻辑值。 逻辑代数的基本运算：与、或、非 (1) “与”运算，逻辑乘 (2) “或”运算，逻辑加 (3) “非”运算，取反
∑m(0,1,2,3,4,5,6,7)=1
最小项(续)
任何逻辑函数均可表示为唯一的一组最小项之 和的形式，称为标准的与或表达式 某一最小项不是包含在F的原函数中，就是包 含在F的反函数中 例：F AB BC ABC
AB(C C ) ( A A) BC ABC ABC ABC ABC ABC m3 m2 m7 m4 m(2,3,4,7)
A、B是输入，F是输出
1+0=1
A +U B
1+1=1
A 0 1 0 1
B 0 0 1 1
F 0 1 1 1
F
逻辑代数的基本运算（续）
逻辑代数入门基础
第2章逻辑代数基础2.1 概述一、算术运算和逻辑运算在数字电路中,二进制数码不仅可以表示数值的大小，而且可以表示事物的状态,当两个二进制数码表示两个数值大小时，它们之间可进行数值运算，即算术运算。
当两个二进制数码表示不同逻辑状态时，它们之间的因果关系可进行逻辑运算。
算术运算与逻辑运算有本质的差别,下面重点介绍逻辑运算的各种规则。
二、几个基本概念1、逻辑状态表示法一种状态高电位有真是美生 1 0另一种状态低电位无假非丑死 0 12、两种逻辑体制1 高电位低电位0 低电位高电位正逻辑负逻辑3、高低电平的规定正逻辑负逻辑2.2 逻辑代数中的三种基本运算1、与逻辑（与运算）(逻辑乘)与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。
表达式为：Ｙ＝ＡＢＣ2、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y ）发生的各种条件（A ，B ，C ，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y ）就发生。
表达式为：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…开关A ，B 并联控制灯泡YA 、B 都断开，灯不亮。
A 断开、B 接通，灯亮。
A 接通、B 断开，灯亮。
A 、B 都接通，灯亮。
两个开关只要有一个接通，灯就会亮。
逻辑表达式为：Ｙ＝Ａ+Ｂ真 值 表实现或逻辑的电路称为或门。
或门的逻辑符号：3、非逻辑（非运算）非逻辑指的是逻辑的否定。
当决定事件（Y ）发生的条件（A ）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。
表达式为：Y =A +BＹ＝Ａ开关A功 能 表4、复合逻辑运算（1）与非运算：逻辑表达式为：（（3（5）同或运算：逻辑表达式为：2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1定理和恒等式一. 定理二 .常用恒等式2.4 逻辑运算的基本定理1、代入定理：任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现A 的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。
这个规则称为代入定理。
，用函数Y =AC 代替等式中的A0-1律：⎩⎨⎧=⋅=+A A A A 10 ⎩⎨⎧=⋅=+0011A A 等幂律：A A A A A A =⋅=+交换律：⎩⎨⎧+=+⋅=⋅A B B A A B B A 结合律：⎩⎨⎧++=++⋅⋅=⋅⋅)()()()(C B A C B A C B A C B A 分配律：⎩⎨⎧+⋅+=⋅+⋅+⋅=+⋅)()()(C A B A C B A C A B A C B A（2）反演定理：对于任何一个逻辑表达式Y ，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y 的反函数Y （或称补函数）。
第2章逻辑代数基础
同时，函数F的值为“0”。
便于获得逻辑电路图
逻辑表达式的简写:
1.“非”运算符下可不加括号，如
，
等。
2.“与”运算符一般可省略，如A·B可写成AB。
3.在一个表达式中，如果既有“与”运算又有“或”运 算，则按先“与”后“或”的规则进行运算，可省去括号,如 (A·B)+(C·D)可写为AB+CD。
注意:(A+B)·(C+D)不能省略括号,即不能写成A+B·C+D！
A
FA
1
FA
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 非门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.3 逻辑代数的复合运算
“与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算按不同的方 式组合，还可以构成“与非”、“或非”、“与或非”、 “同或”、“异或”等逻辑运算，构成复合逻辑运算。对应 的复合门电路有与非门、或非门、与或非门、异或门和同或 门电路。
能实现基本逻辑运算的电路称为门电路，用基本的门电 路可以构成复杂的逻辑电路，完成任何逻辑运算功能，这些 逻辑电路是构成计算机及其他数字系统的重要基础。
实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。
A
A
A
&
B
F B
F B
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 与门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.2 逻辑代数的基本运算
2．逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪 的形式符号，无大小、正负之分。
2.1.1 逻辑代数的定义
逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集 K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所 构成，记为L={K,+,·,-,0,1}。该系统应满足下列公理。
第2章逻辑代数基础
A A 0
非
FA
A 1 F 01
A A
10
A＋A 1
2.2.2复合逻辑运算 由上面三种基本逻辑关系组合而成的复合逻辑关系有：
与非、或非、与或非、异或、同或等，如表1所示。
1、 与非逻辑
与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将 输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。
能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门。
A接通、B断开，灯不亮。
A、B都接通，灯亮。
Ｙ＝ＡＢ 两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表
达式为：
假设：
开关闭合为 1 开关断开为 0
灯亮为 1 灯不亮为 0
AB
~ 220V 有0为F 0 全1为1
用四个式子表示：
0 ·0 = 0 0 ·1 = 0 1 ·0 = 0 1 ·1 = 1
与逻辑的表示方法：（四种）
逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分 析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有０和１ 两种逻辑值，有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、 与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。
逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系， 这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数 来描述。
A
1
F
F
逻辑符号： 把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。
逻辑运算 逻辑表达式 逻辑符号 真值表 基本运算规则
AB F
A A A
与
F AB
A B
&
F
000 010
A1 A
100
A0 0
111
A B F A＋A A
或
F AB
A B
≥1
F
第2章 逻辑代数基础(完整版)
2
A BC ( A B)( A C )
方法二：真值表法
[解]
方法一：公式法
右式 ( A B)( A C ) A A A C A B B C
A AC AB BC A(1 C B) BC
A BC 左式
A (B C) A B A C 分配律： C ( A B) ( A C ) A B 缓一缓 ( A B)' A'B' ( A B)' A' B' 反演律(摩根定理）：
( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C ' ( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C '
互补律： A A' 1
A 1 1 A 0 0
A A' 0
等幂律： A A A
A A A
双重否定律: ( A' )' A
20
CopyRight @安阳师范学院物电学院_2013
2
3）基本运算规则
A B B A 交换律： A B B A ( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
A E 电路图 B Y
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合 功能表
灯Y 灭 灭 灭 亮
5
L=ABCopyRight @安阳师范学院物电学院_2013
第2章逻辑代数基础
自等律：A·1=A
重叠律：A·A=A
A+0=A
A+A=A
互补律：A· A=0
A+A=1
第2章 逻辑代数基础
2. 与普通代数相似的定律 交换律 A·B=B·A 结合律 (A·B)·C=A·(B·C) 分配律 A·(B+C)=AB+AC A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+BC=(A+B)(A+C)
任何逻辑函数式都存在着对偶式。 若原等式成立， 则 对偶式也一定成立。即，如果F=G, 则F′=G′。这种逻辑推
理叫做对偶原理，或对偶规则。
必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能 改变， 且式中的非号也保持不变。 观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出它们都 是成对出现的， 而且都是互为对偶的对偶式。 例如，已知乘对加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC， 根据对偶规则有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加对乘的分配律
第2章 逻辑代数基础
逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变 化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示
某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可以
用逻辑函数来描述。 数字电路的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高、 低电平也可以用二值逻辑1和0来表示。同时数字电路的输出 与输入之间的关系是一种因果关系， 因此它可以用逻辑函数 来描述，并称为逻辑电路。对于任何一个电路，若输入逻辑 变量A、 B、 C、 … 的取值确定后，其输出逻辑变量F的值也 被惟一地确定了，则可以称F是A、 B、 C、 … 的逻辑函数， 并记为
第2章逻辑代数基础
卡诺图是真值 表的一种特殊形式， 是化简逻辑函数的 重要工具。
1、卡诺图的构成
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且 使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序 排列，这样构成的图形就是卡诺图。
项小 每 与项 个 它有 2 相两 变 邻个 量
最的 小最
A
AB
B
0 1C
0 m0 m2
Y(A, B,C, D) m(1,3,4,6,7,11,14,15)
AB
CD
00
01
11
10
00 0
1
0
0
m4
m1
01 1
0
0
0
m3
11 1
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
m11
10 0
1
1
0
m6 m7
m14
m15
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不 必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那 些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。
ABC
DE
000 001 011 010
110 111 101 100
变量数 n = 5 在卡诺图
m m m m m m m m 00
0
4 12 8
24 28 20 16
上有 25 = 32 个小方格，对 应32个最小项。每个小方格 有5个相邻格。
m m m m m m m m 01
1
5 13 9
25 29 21 17
0
1 m1 m3
1
2 变量卡诺图
00 01 11 10 m0 m2 m6 m4 m1 m3 m7 m5
1、卡诺图的构成
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且 使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序 排列，这样构成的图形就是卡诺图。
项小 每 与项 个 它有 2 相两 变 邻个 量
最的 小最
A
AB
B
0 1C
0 m0 m2
Y(A, B,C, D) m(1,3,4,6,7,11,14,15)
AB
CD
00
01
11
10
00 0
1
0
0
m4
m1
01 1
0
0
0
m3
11 1
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
m11
10 0
1
1
0
m6 m7
m14
m15
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不 必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那 些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。
ABC
DE
000 001 011 010
110 111 101 100
变量数 n = 5 在卡诺图
m m m m m m m m 00
0
4 12 8
24 28 20 16
上有 25 = 32 个小方格，对 应32个最小项。每个小方格 有5个相邻格。
m m m m m m m m 01
1
5 13 9
25 29 21 17
0
1 m1 m3
1
2 变量卡诺图
00 01 11 10 m0 m2 m6 m4 m1 m3 m7 m5
第二章 逻辑代数基础
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第2章
2.3 复 合 逻 辑
1.与非逻辑
F = AB
2.或非逻辑 F = A+B
3. 与或非逻辑
F = AB+CD
A &F
A
F
B
B
与非门
A
F
≥1
B
或非门
A
B&
F
C
D
与或非门
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第2章
2.3 复 合 逻 辑
4.异或逻辑—相同为‘0’，相异为‘1’
F = A B =A B + A B
A） F1= [( A+ B) •C + D]( A+ C)
B） F2= A•B •C •D •E
[例2] 求下列函数的对偶函数 A）F1= AB+ C •D + AC B） F2= A+ B + C + D + E
A） F1*=[( A+ B) •C + D]( A+ C)
B） F2*=A•B •C •D •E
n个变量有2n个最小项，记作mi 3个变量有23（8）个最小项
n个变量的最小项，有n个相邻项
最小项 ABC ABC ABC ABC A BC A BC AB C ABC
二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
十进制数 0 1 2
3
45 67
编号
m0 m1 m2
m3
m4 m5
A⊕A⊕A⊕A⊕…⊕A = ? A (A的个数为奇数）
An-1⊕An-2⊕…⊕A0 = ?
0 (Ai中‘1’的个数为偶数) 1 (Ai中‘1’的个数为奇数）
第2章逻辑代数基础共65页
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二、逻辑函数的最小项之和形式
利用基本公式 A+A=1 可以把任何逻辑函数化为最小项 之和 的标准形式。
例1：Y=AB+B 可化为 Y= AB +（A+A）B = AB +AB +AB
= m 3 + m 2 + m 0 =∑（m0，m2，m3） 例2：Y=AB+C 可化为 Y=AB(C+C) + (A+A)(B+B)C
1）在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最小项的值为1； 2）全体最小项之和为1； 3）任意两个最小项的乘积为0； 4）具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。
只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。 例如: ABC 和 ABC 具有逻辑相邻性。
将它们合并，可消去因子: ABC+ABC =（A+A）BC = BC
B B断开
灯灭
L
描述：只有条件都具备，结果才发 生。（逻辑乘）
功能表
真值表
逻辑表达式：L=A• B=AB A B L
旧法：用 ∧或∩表示与运算 开 开 灭
ABL 000
逻辑符号
开合灭
实现与逻辑的电路称为与门 合 开 灭
010 100
A＆ B
旧符号 A B
返回
L=AB
Y A B
合合亮
L
描述：只有条件都具备，结果才发 生。（逻辑乘）
功能表
真值表
逻辑表达式：L=A• B=AB A B L
旧法：用 ∧或∩表示与运算 开 开 灭
ABL 000
逻辑符号
开合灭
实现与逻辑的电路称为与门 合 开 灭
第二章 逻辑代数基础
• 卡诺图
• EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language)
VHDL (Very High Speed Integrated Circuit …) Verilog HDL
EDIF DTIF 。。。
举例：举重裁判电路
Y A(B C)
AB 00 00 01 01 10 10 11 11
变换顺序 先括号， 然后乘，最后加
-------对任一逻辑式 Y Y
• ， •，0 1，1 0，
原变量 反变量
反变量 原变量
不属于单个变量的 上的反号保留不变
2.4.2 反ห้องสมุดไป่ตู้定理
• 应用举例：
Y A(B C) CD Y ( A BC)(C D)
AC BC AD BCD
2.5 逻辑函数及其表示方法
4. 把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式 中求出Y，列表
• 逻辑式 逻辑图 1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。
Y A(B C)
• 逻辑式 逻辑图
1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。
2. 从输入到输出逐级写出每个图形符号对应 的逻辑运算式。
( A B)
(( A B) ( A B)) ( A B)(A B)
2.3.1 基本公式
证明方法：推演 真值
表
• 根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
公式
0A=0 1A = A AA=A A A′= 0 AB=BA A (B C) = (A B) C A (B +C) = A B + A C (A B) ′ = A′ + B′ (A ′) ′ = A
第二章 逻辑代数基础(Logic Base)
从上图可以看出，当开关有一个断开时，灯泡处于灭的状态，仅当两个开关同时合上时，灯泡才会亮。
于是我们可以将与逻辑的关系速记为：“有0出0,全1出1”。
图(b)列出了两个开关的所有组合，以及与灯泡状态的情况，我们用0表示开关处于断开状态，1表示开关处于合上的状态；同时灯泡的状态用0表示灭，用1表示亮。
图(c)给出了与逻辑关系的逻辑符号(Logic 上图(a)为一并联直流电路，当两只开关都处于断开时，其灯泡不会亮；当A,B两个开关中有一个或两个一起合上时，其灯泡就会亮。
如开关合上的状态用1表示，开关断开的状态用0表示；灯泡的状态亮时用1表示，不亮时用0表示，则可列出图(b)所示的真值表。
这种逻辑关系就是通常讲的“或逻辑”，从表中可看出，只要输入A,B两个中有一个为1，则输出为1，否则为0。
所以或逻辑可速记为：“有1出1，全0出0”。
上图(c)为或逻辑的逻辑符号，后面通常用该符号来表示或逻辑，其方块中的“≥1”表示输入中有一个及一个以上的1，输出就为1。
逻辑或的表示式为：F=A+B3、非逻辑(NOT Logic) 非逻辑又常称为反相运算(Inverters)。
下图(a)所示的电路实现的逻辑功能就是非运算的功能，从图上可以看出当开关A合上时，灯泡反而灭；当开关断开时，灯泡才会亮，故其输出F的状态与输入A的状态正好相反。
非运算的逻辑表达式为。
图(c)给出了非逻辑的逻辑符号。
复合逻辑运算 在数字系统中，除了与运算、或运算、非运算之外，常常使用的逻辑运算还有一些是通过这三种运算派生出来的运算，这种运算通常称为复合运算，常见的复合运算有：与非、或非、与或非、同或及异或等。
4、与非逻辑(NAND Logic) 与非逻辑是由与、非逻辑复合而成的。
其逻辑可描述为：“输入全部为1时，输出为0；否则始终为1”。
下图(a)为与非运算的逻辑符号。
多输入的与非逻辑表达式可写为：5、或非逻辑（NOR Logic) 上图(b)为或非的逻辑符号，从与非的逻辑可以推出或非的逻辑关系：“输入中有一个及一个以上1，则输出为0,仅当输入全为0时输出为1”。
2 逻辑代数基础
与或非门的逻辑符号：
异或逻辑运算
用先“非”再“与”后“或”的逻辑运算，实 现如下逻辑函数式的，称为异或逻辑运算：
异或门的逻辑符号：
异或逻辑的真值表：
同或逻辑运算
同或和异或相反，同或逻辑的逻辑函数式为：
同或门的逻辑符号：
同或逻辑的真值表：
2.3逻辑代数的基本公式和常用公式
逻辑代数的基本公式和常用公式
逻辑代数的基本公式和常用公式
2.4逻辑代数的基本定理
2.4.1代入定理 任何一个含有逻辑变量 X 的逻辑等式中，如 果将式中所有出现 X 的位置，都代之以一个 逻辑函数式F，则等式仍然成立。这个定理就 称为代入定理。 例，因为：A(A+B)=A 所以：(A+B)(A+B+C+D)=A+B
第二章 逻辑代数基础
v
2.1概述 2.2逻辑代数中的三种基本运算 2.3逻辑代数的基本公式和常用公式 2.4逻辑代数的基本定理 2.5逻辑函数及其表示方法 2.6逻辑函数的化简方法 2.7具有无关项的逻辑函数及其化简
2.1概述
逻辑代数又称布尔代数，是19世纪中叶英国 数学家布尔首先提出来的。 它是研究数字逻辑电路的数学工具。换而言 之，掌握逻辑代数是为了分析和设计数字逻 辑电路的需要。 因而，在这里我们是从应用的角度来介绍逻 辑代数的一些基本概念、基本理论及逻辑函 数的化简。
逻辑代数的基本定理
2.4.2反演定理 对于任意一个逻辑函数式F，如果将式中所有 的“ ·” 换成“ +” ，“ +” 换成“ ·” ，“ 0” 换成 “ 1” ，“ 1” 换成“ 0” ，原变量换成反变量， 反变量换成原变量，运算顺序保持不变，即 可得到函数F的反函数。这个规律叫做反演定 理。 例1，求下式Y的反函数：
[高等教育]第二章逻辑代数基础_1
![[高等教育]第二章逻辑代数基础_1](https://img.taocdn.com/s3/m/922ed7150912a21614792970.png)
F = A＋B
逻辑功能：“有1出0，全0出1”
NJUPT
3. 与或非运算：
1
2
(1) 逻辑表达式： (2) 逻辑符号
D
F = AB＋CD
1 F
A B C D
&
A B C D
+
F
A B C D
F
C
NJUPT
4.异或运算(A、B取值不同时，F才为1)： (1) 逻辑表达式： (2) 异或逻辑真值表 F = A⊕B = AB + AB A B F
与非-与非式
或与式
或非-或非式
其中，Xi可以是逻辑原变量，也可以是逻辑反变量。
NJUPT
二､逻辑函数的标准表达式
逻辑表达式1 逻辑表达式2 …… 真值表 逻辑函数 标准表达 式
最大项表达 式(自学)（标 准或与式）
最小项表达 式(标准与或) 一个逻辑函数的真值表是唯一的,但表达式不唯一。 一个真值表可能对应多个一般的与或式，但只对应一个 标准与或式。
(4) 逻辑符号
NJUPT
2､ 或运算 (1) 算符 “＋ ”（或者“∨”、“∪”、“OR”) (2) 运算规则 0 ＋ 0 = 0, 0 ＋ 1 = 1, 1 ＋ 0 = 1, 1 ＋ 1 = 1
(3) 逻辑表达式: F = A ＋ B
(4) 逻辑符号
NJUPT
3 ､非运算 (1)算符 “— ” (2) 运算规则
NJUPT
2.5 逻辑函数的表达式
一､常用表达式 (五种形式)
与或式 与或非式
F X1 X 2 X 3 X 4 F X1 X 2 X 3 X 4 F X1 X 2 X 3 X 4 F X1 X 2 X 3 X 4 F ( X1 X 2 ) ( X 3 X 4 )
第2章-逻辑代数基础1
对 2.3.3 逻辑代数的3个重要规则
偶
规 3.对偶规则： 将F中所有“”换成“+”， “+”换成“”，
则
“1”换成“0”，“0”换成“1”，
而变量都保持不变，
得到函数是F的对偶式，记作 F’ 或 FD
注意事项： ① 不能破坏原表达式的运算顺序； ② 表达式中的非运算符不能改变
若某逻辑表达式是正确的，则其对偶式也是正确的
逻 辑 代 数 的 公 式 与 规 则
10 吸收律
21
A(A+B)=A A(A+B)=AB
A+AB=A A+AB=A+B
2.3
2.3.1 基本公式
以上公式可通过真值表证明，如反演律证明
逻
辑
代
数
的
公
式
与 规
由表2.6可见，无论逻辑变量A和B的取值如何，都有：
则
ABAB A B A B
推广到三个逻辑变量则有：
第二章 数字逻辑基础
2.1 逻辑变量与逻辑函数 2.2 基本逻辑运算与基本逻辑门 2.3 逻辑代数的公式与规则 2.4 逻辑函数的表示方法 2.5 逻辑函数的标准形式 2.6 逻辑函数的化简方法
1
2.1
2.1 逻辑变量与逻辑函数
逻辑变量：逻辑代数中的变量
逻 辑
逻辑变量的命名方式：单个英文字母
变 逻辑变量的取值：0和1（逻辑值）
辑 为因变量。
运
算
与
基
本
逻
辑
逻辑代数中将符合图2.2的函数关系定义为
门 逻辑与，又叫逻辑乘，所以逻辑函数表达式中
的与项也叫乘积项，运算符号为“·”，2变量
的逻辑与运算表达式为： F = A·B
第二章 逻辑代数基础(1)
逻辑表达式：
Y＝ A +B + C
表2-10 A 0 0 0 0 1 1 1 1
或(A+B+C)’
或非逻辑的真值表 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 0 0 0 0 0 0 0
图2-5 或非逻辑的逻辑符号
“有1必0，全0才1”
2019/3/31
11
（3） 与或非运算 “与”、“或”和“非”的复合运算称为与或非 运算。 逻辑表达式： Y＝AB+CD 或 (AB+CD)’
33
1
逻辑函数的表示方法
真值表（四输入变量）
A B C D Y 0 0 0 0 1 A B C D Y
1 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0
1
1 1 1 1 1 1
0 0
0 0 0 0 0 1 0 1
0 1
1 0 1 1 0 0 0 1
逻辑表达式：
Y＝A’
或 A
符号“ ’ ” 或“—”读作“ 非 ” 。 实现非逻辑的电路称作非门，非逻辑和非门 的逻辑符号如图1-3(b)所示。 逻辑符号中用小圆圈“ 。”表示非运算，符号 中的“1”表示缓冲。
2019/3/31
图2-3(b) 非逻辑的逻辑符号
9
2. 复合逻辑运算 在数字系统中，除应用与、或、非三种基本 逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的不同组 合，最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或 非、异或和同或等。 （1） 与非运算 “与”和“非”的复 合运算称为与非运算。 逻辑表达式： Y＝ABC
一.真值表
A 0 1 Y 1 0 一输入变 量，二种 组合
Y＝ A +B + C
表2-10 A 0 0 0 0 1 1 1 1
或(A+B+C)’
或非逻辑的真值表 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 0 0 0 0 0 0 0
图2-5 或非逻辑的逻辑符号
“有1必0，全0才1”
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11
（3） 与或非运算 “与”、“或”和“非”的复合运算称为与或非 运算。 逻辑表达式： Y＝AB+CD 或 (AB+CD)’
33
1
逻辑函数的表示方法
真值表（四输入变量）
A B C D Y 0 0 0 0 1 A B C D Y
1 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0
1
1 1 1 1 1 1
0 0
0 0 0 0 0 1 0 1
0 1
1 0 1 1 0 0 0 1
逻辑表达式：
Y＝A’
或 A
符号“ ’ ” 或“—”读作“ 非 ” 。 实现非逻辑的电路称作非门，非逻辑和非门 的逻辑符号如图1-3(b)所示。 逻辑符号中用小圆圈“ 。”表示非运算，符号 中的“1”表示缓冲。
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图2-3(b) 非逻辑的逻辑符号
9
2. 复合逻辑运算 在数字系统中，除应用与、或、非三种基本 逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的不同组 合，最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或 非、异或和同或等。 （1） 与非运算 “与”和“非”的复 合运算称为与非运算。 逻辑表达式： Y＝ABC
一.真值表
A 0 1 Y 1 0 一输入变 量，二种 组合
第二章 逻辑代数基础
26
2.2.2 三个重要规则
代入规则 反演规则 对偶规则
27
代入规则
任一包含变量A的逻辑等式中，如果用另外一个逻辑式代 入所有A的位置，等式仍成立。
例：三变量狄摩根定律的证明
狄摩根定律：A D A D和A D A D
A (B C) A(B C) ABC A(BC) A (BC) A B C
(3) A B A B A 证明：A B A B A(B B) A1 A 两乘积项相加时，若分别包含B和B两因子而其他因子相同， 则两项可消去B和B后合并。
32
常用公式证明
(4)A(A B) A 证明：A (A B) A A A B A A B A (1 B) A 变量A和包含A的或项相与时，其结果等于A，即将或项消去。
37
逻辑函数的变换－－例子
F AB AC －－ 与或式 或与式 F (A B) (A C) A(A B) C(A B) AB AC BC AB AC F (A B)(A C) 与非与非式和或与非式 F AB AC AB AC AB AC (A B) (A C)
16
逻辑真值表
B A
C F
E
F A(BC)
ABCF 0000 0010 0100 0110 1000 1011 1101 1111
将输入变量所有组合的状态及对应的逻辑结果一一列出， 即为真值表。
17
逻辑图
将逻辑函数中的各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图 形符号表示出来。
F A(B C)
1011
1101
1111
22
3、逻辑式 → 逻辑图
2.2.2 三个重要规则
代入规则 反演规则 对偶规则
27
代入规则
任一包含变量A的逻辑等式中，如果用另外一个逻辑式代 入所有A的位置，等式仍成立。
例：三变量狄摩根定律的证明
狄摩根定律：A D A D和A D A D
A (B C) A(B C) ABC A(BC) A (BC) A B C
(3) A B A B A 证明：A B A B A(B B) A1 A 两乘积项相加时，若分别包含B和B两因子而其他因子相同， 则两项可消去B和B后合并。
32
常用公式证明
(4)A(A B) A 证明：A (A B) A A A B A A B A (1 B) A 变量A和包含A的或项相与时，其结果等于A，即将或项消去。
37
逻辑函数的变换－－例子
F AB AC －－ 与或式 或与式 F (A B) (A C) A(A B) C(A B) AB AC BC AB AC F (A B)(A C) 与非与非式和或与非式 F AB AC AB AC AB AC (A B) (A C)
16
逻辑真值表
B A
C F
E
F A(BC)
ABCF 0000 0010 0100 0110 1000 1011 1101 1111
将输入变量所有组合的状态及对应的逻辑结果一一列出， 即为真值表。
17
逻辑图
将逻辑函数中的各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图 形符号表示出来。
F A(B C)
1011
1101
1111
22
3、逻辑式 → 逻辑图
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• 代入规则举例
A+B+C=A BC;B+C=A BC
• 反演规则举例
F=A+B+C+D+E • ＋ 0 1
＋
原变量
• 1
反变量 原变量 反变量
0
F=A B C D E
两个或者两个以上长非号不变
• 对偶规则举例
F=A B + A ●（C+0） • ＋ 0 1
2.2 逻辑代数的基本定律和规则
反演律 吸收律
A B A B
A A B A
A B A B A A A B A B
A B A B A ( A B) A
( A B) ( A B) A A( A B) AB
冗余律
AB A C BC AB A C
证明：
AB AC BC AB AC ( A A) BC
1 吸收
AB AC ABC ABC AB AC
推广之： AB AC BCD(G+E) AB AC BC BCD (G+E) AB AC BC AB AC 吸收
A B＝A ⊙B
例2 ： 证明 证：用真值表法证明。
A B A B A B＋A B 0 + 0 ＝0 1 + 0 ＝1 0 + 1 ＝1 0 + 0 ＝0
A⊙B＝A
B
0 0 1 1
0 1 0 1
A⊙B A B＋A B 0 + 1 ＝1 0 + 0 ＝0 0 + 0 ＝0 1 + 0 ＝1
证毕
AB=AC A+B=A+C
( A＋B )(A＋C)(B C) ( A＋B )(A＋C)
在两个乘积项中，若有一个变量是互反的，那么由这 两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的，可以 消去。 公式可推广： AB
AC BCDE AB AC
证明方法
真值表法：检查等式两边函数的真值表是否相等。 代数法：应用已证明的公式、定理来推导。
A A 1
A A 0
AA
A B B A A B B A
结合律
分配律
A B C A B C
A B C ( A B) ( A C )
A B C A B C A B C A B A C
0 0 0
0
1 0
0
1
0
1
1
1
波形图注意事项：
1、输入波形要穷举所有可能的输入组合(n个输入变量由2n种可能)
2、输出波形与输入变化对应
2.2 逻辑代数的基本定律和规则
0-1 律 重叠律 互补律 还原律 交换律
1 A 1
1 A A
0 A A
A A A
0 A 0
A A A
2.1 逻辑代数的三种基本运算
3. 非运算（逻辑反）
R
A具备时 ，事件F不发生；
A不具备时，事件F发生。
A 0 1
1 ○
逻辑式：F=A 非门：
a. 国际流行
F 1 0
○
b. IEEE 标准
c. 中国标准
基本逻辑关系波形
A B F=A· B F=A+B F=A
0
0 0
1
0
0 1
1 1 1 1 0
0
例1 证明 摩根定理: A＋B＝A B 证：用真值表法证明。
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 0 0 0 1
A B
A B ＝A＋B
A
1 1 0 0
B
A B
1 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 0
同理可证 A＋B ＝A B
例2：证明冗余律
AB AC BC AB AC
3.异或逻辑
F A B AB AB
A
=1
F
B
A 0 0 1 1
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
B 0 1 0 1
F
0 1 1 0
4.同或逻辑 F=A ⊙ B= AB AB
A B
=
F
1 0 0 1
F
• 作业： 2-1 （1）（3）（5） 2-2 （1）（3）（5） 2-3 （1）（3）（5）（7）
当已知某一逻辑函数F，将F中的所有“· ”号变为 “+”
号,将“+”号变为“ · ”、 号F ,与 常量“ 0”变为“1”,“1”变为“0” ,原 性质： 1 F*互为对偶函数 1 、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或 变量变为反变量 ,反变量变为原变量 ,便可求得F的反演式。 2、任何函数均存在对偶函数 2、不属于单变量上的非号应保留 3、若F=G成立，则F*=G*成立 用于逻辑关系的证明 对偶规则 设F是一个逻辑函数式，将F中所有“· ”号变为“+”号,将“+” 号变为“·”号,“1”变为“0”,“0”变为“1”,而变量保持不变,那么 就得到一个新的逻辑函数F*,通常将它称为F的对偶式。
＋
• 1
0
F=（A＋ B） ● （A ＋C ● 1）
两个或者两个以上长非号不变
2.2 逻辑代数的基本定律和规则
[例1] 求下列函数的反函数 A）F AB C D AC B） F A B C D E
A）
F [( A B) C D ]( A C) F AB C D E
5. 与或非逻辑
B
F
或非门
&
F AB CD
2.3 复合逻辑运算
1.常用形式
（1）与或式 （2）或与式 （3）与非与非式 （4）或非或非式 （5）与或非式
F=AB+CD F=(A+B)(C+D)
F AB CD
F ( A B) C D
F AB CD
异或逻辑与同或逻辑
第二章 逻辑代数基础
一：逻辑代数的三个基本运算 二：逻辑代数的基本定律 三：复合逻辑运算 四：逻辑函数表达式的常用形式 五：逻辑函数的代数法化简 六：逻辑函数的K诺图化简 七：非完全描述逻辑函数的化简
2.1逻辑代数的三个基本运算
一. 逻辑命题和逻辑变量
1.逻辑命题：反映事物因果关系规律的命题。
2.逻辑变量：决定事物原因和结果的变量。
逻辑关系
语句描述 VHDL 逻辑表达式 F=f(A、B、C…) 表格 真值表 图形符号 逻辑符号
2.1 逻辑代数的三种基本运算
1. 与运算（逻辑乘）
A、B都具备时，事件F才发生。
真值表
逻辑式： 与门：
A B
F=A •B=AB F
A B
&
A 0 0 1 1
A B
B 0 1 0 1
F 0 0 0 1 F
逻辑自变量：决定事物原因的变量。（输入变量） 逻辑因变量：决定事物结果的变量。 （输出变量）
二．逻辑函数
逻辑函数反映数字输出与输入之间的因果关系。
如：
F=f(A、B、C…)
2.1逻辑代数的三个基本运算
逻辑代数：数字电路分析和设计使用的数学工具 在逻辑代数中 与 （AND ）
或 （OR） 非 （NOT） 3种基本逻辑运算
B）
[例2] 求下列函数的对偶函数 A）F AB C D AC B） F A B C D E
A）
F* [( A B) C D ]( A C)
F* AB C D E
B）
2.3 复合逻辑运算
1.与非逻辑
F AB
2.或非逻辑
A
&
F
B
与非门
A
F A B
F
a. 国际流行
b. IEEE 标准
c. 中国标准
2.1 逻辑代数的三种基本运算
2. 或运算（逻辑加） A、B有一个具备，事件F就发生。 A 0 0 1 1
≥1
逻辑式：F=A +B 或门： A F A B B
a. 国际流行
B 0 1 0 1
＋
F 0 1 1 1
F
A B
F
b. IEEE 标准
c. 中国标准
? ?
B=C
B=C
请注意与普通代数的区别！
逻辑代数中的三个重要规则
可以扩大基本定律的应用
代入规则
任何一个含有变量X的等式，如果将所有出现X的 位置 1、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或 都代之以一个函数 F,则等式仍然成立。 2、不属于单变量上的非号应保留 用于快速的求一个函数的反函数 反演规则