青海省师大附中2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年青海省师大附中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）
1．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知全集U=R，设集合A={x|y=lg（x﹣1）}，集合B={y|y=2x，x≥1}，则A∩（C U B）=（）
A．[1，2]B．[1，2）C．（1，2）D．（1，2]
3．函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）
A．（0，1）B．（1，0）C．（2，1）D．（0，2）
4．已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）
A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}
5．设函数f（x）=．若f（a）=4，则实数a=（）
A．﹣4 或﹣2 B．﹣4 或2 C．﹣2 或4 D．﹣2 或2
6．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
7．已知函数f（x）=若f（x0）＞3，则x0的取值范围是（）
A．x0＞8 B．x0＜0或x0＞8 C．0＜x0＜8 D．x0＜0或0＜x0＜8
8．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5
9．已知对数函数f（x）=log a x是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（）A．B．
C．D．
10．已知a=2，b=log2，c=log，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
11．已知函数f（x）=是R上的减函数则a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3]C．（0，2）D．（0，2]
12．若函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0则＜
0的解集为（）
A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+3）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号后的横线上）13．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数f（2x+1）的定义域为．
14．计算：e ln3+log9+0.125=．
15．已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则x2014+y2015=．
16．已知函数y=log a（2﹣ax），（a＞0，a≠1）在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B=A，求a的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点．
19．（12分）设a＞0，f（x）=+是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．
20．（12分）已知函数f（x）=1﹣
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）试判断函数f（x）的奇偶性．
21．（12分）经济学中，函数f（x）的边际函数M（x）定义为M（x）=f（x+1）﹣f（x），利润函数p（x）边际利润函数定义为M1（x）=p（x+1）﹣p（x），某公司最多生产100 台报系统装置，生产x台的收入函数为R（x）=3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000x（单位：元），利润是收入与成本之差．
（1）求利润函数p（x）及边际利润函数M1（x）；
（2）利润函数p（x）与边际利润函数M1（x）是否具有相等的最大值？
22．（12分）定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，
（1）求f（1）和f（﹣1）的值；
（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）若x≥0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0的x取值集合．
2016-2017学年青海省师大附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）
1．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】根据集合并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行反向求解即可．
【解答】解：∵M∪{1}={1，2，3}
∴M={2，3}或{1，2，3}
故选C．
【点评】本题主要考查了集合中并集的运算，是求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．
2．已知全集U=R，设集合A={x|y=lg（x﹣1）}，集合B={y|y=2x，x≥1}，则A∩（∁U B）=（）
A．[1，2]B．[1，2）C．（1，2）D．（1，2]
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】先求出A、B，然后求解，从而求出∁U B，即可求解集合A∩（∁U B）．
【解答】解：全集U=R，设集合A={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，
集合B={y|y=2x，x≥1}={y|≥2}，∁U B={y|y＜2}
则A∩（∁U B）=（1，+∞）∩（﹣∞，2）=（1，2）．
故选：C．
【点评】本题考察了集合的运算，求出补集是解题的关键，本题是一道基础题．
3．函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）
A．（0，1）B．（1，0）C．（2，1）D．（0，2）
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】已知函数f（x）=a x+1，根据指数函数的性质，求出其过的定点．
【解答】解：∵函数f（x）=a x+1，其中a＞0，a≠1，
令x=0，可得y=1+1=2，
点的坐标为（0，2），
故选：D
【点评】本题主要考查指数函数的性质及其特殊点，是一道基础题．
4．已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）
A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}
【考点】交集及其运算．
【分析】N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求
【解答】解：⇔2﹣1＜2x+1＜22⇔﹣1＜x+1＜2⇔﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}
又M={﹣1，1}
∴M∩N={﹣1}，
故选B
【点评】本题考查指数型不等式的解集和集合的交集，属基本题．
5．设函数f（x）=．若f（a）=4，则实数a=（）
A．﹣4 或﹣2 B．﹣4 或2 C．﹣2 或4 D．﹣2 或2
【考点】函数的值．
【专题】计算题；分类讨论；分类法；函数的性质及应用．
【分析】当a＞0时，f（a）=a2=4；当a≤0时，f（a）=﹣a=4．由此能求出实数a的值．【解答】解：∵f（x）=，f（a）=4，
∴当a＞0时，f（a）=a2=4，解得a=2或a=﹣2（舍）；
当a≤0时，f（a）=﹣a=4，解得a=﹣4．
∴a=﹣4或a=2．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
6．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．
【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，
故选C．
【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．
7．已知函数f（x）=若f（x0）＞3，则x0的取值范围是（）
A．x0＞8 B．x0＜0或x0＞8 C．0＜x0＜8 D．x0＜0或0＜x0＜8
【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题；压轴题；分类讨论．
【分析】通过对函数f（x）在不同范围内的解析式，得关于x0的不等式，从而可解得x0的取值范围．
【解答】解：①当x≤0时，f（x0）=＞3，
∴x0+1＞1，
∴x0＞0 这与x≤0相矛盾，
∴x∈∅．
②当x＞0时，f（x0）=log2x0＞3，
∴x0＞8
综上：x0＞8
故选A．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性，及分段函数，在解不等式时注意分类讨论，是个基础题．
8．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．
【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2
其对称轴为：x=1﹣a
∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数
∴1﹣a≥4
∴a≤﹣3
故选A
【点评】本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键．
9．已知对数函数f（x）=log a x是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（）A．B．
C．D．
【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象与图象变化．
【专题】数形结合．
【分析】先导出再由函数f（x）=log a x是增函数知，a＞1．再由对数函数的图象进行判断．
【解答】解：
由函数f（x）=log a x是增函数知，a＞1．
故选B．
【点评】本小题主要考查了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能力．这类试题经常出现，要高度重视．
10．已知a=2，b=log2，c=log，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；函数的性质及应用．
【分析】由于1＜a=2＜，c=log=log23＞=，进而得出．
【解答】解：∵1＜a=2＜=，b=log2＜0，c=log=log23＞=，
∴c＞a＞b．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．已知函数f（x）=是R上的减函数则a的取值范围是（）
A．（0，3）B．（0，3]C．（0，2）D．（0，2]
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由f（x）为R上的减函数可知，x≤1及x＞1时，f（x）均递减，且（a﹣3）×1+5≥，由此可求a的取值范围．
【解答】解：因为f（x）为R上的减函数，
所以x≤1时，f（x）递减，即a﹣3＜0①，
x＞1时，f（x）递减，即a＞0②，且（a﹣3）×1+5≥③，
联立①②③解得，0＜a≤2．
故选D．
【点评】本题考查函数单调性的性质，本题结合图象分析更为容易．
12．若函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0则＜
0的解集为（）
A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+3）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．
【分析】根据题意和偶函数的性质画出符合条件的图象，利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．
【解答】解：由题意画出符合条件的函数图象：
∵函数y=f（x）为偶函数，
∴＜0转化为xf（x）＜0，
由图得，
当x＞0时，f（x）＜0，则x＞3；
当x＜0时，f（x）＞0，则﹣3＜x＜0；
综上得，＜0的解集是：
（﹣3，0）∪（3，+∞），
故选C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号后的横线上）13．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数f（2x+1）的定义域为（﹣1，0）．【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣1，1），
∴由﹣1＜2x+1＜1，得﹣1＜x＜0，
则函数f（2x+1）的定义域为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．
14．计算：e ln3+log9+0.125=11．
【考点】对数的运算性质．
【专题】转化思想；函数的性质及应用．
【分析】利用指数幂与对数的运算法则即可得出．
【解答】解：原式=3++=3+4+2﹣1×（﹣2）=11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了指数幂与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则x2014+y2015=1．
【考点】集合的相等．
【专题】计算题；方程思想；演绎法；集合．
【分析】根据集合的性质得到x≠0，1，分别求出x，y的值，代入x2014+y2015，求出即可．【解答】解：∵集合{x2，x+y，0}={x，，1}，
由题意得：x≠0，1，∴=0，则y=0，
∴x+y=1，x2=1，解得：x=﹣1，
∴x2014+y2015=（﹣1）2014+02015=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了集合的运算，考查集合的性质，是一道基础题．
16．已知函数y=log a（2﹣ax），（a＞0，a≠1）在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2）．
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】先将函数f（x）=log a（2﹣ax）转化为y=log a t，t=2﹣ax，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．
【解答】解：令y=loga t，t=2﹣ax，
（1）若0＜a＜1，则函y=loga t，是减函数，
由题设知t=2﹣ax为增函数，需a＜0，故此时无解；
（2）若a＞1，则函数y=loga t是增函数，则t为减函数，
需a＞0且2﹣a×1＞0，可解得1＜a＜2
综上可得实数a 的取值范围是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B=A，求a的取值范围．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】由A与B的交集为A，得到A为B的子集，分A为空集与A不为空集两种情况求出a的范围即可．
【解答】解：∵A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，且A∩B=A，
∴A⊆B，
当A=∅时，则有2a＞a+3，即a＞3，满足题意；
当A≠∅时，则有2a≤a+3，即a≤3，且a+3＜﹣1或2a＞5，
解得：a＜﹣4或＜a≤3，
综上，a的范围为{a|a＜﹣4或a＞}．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
18．（12分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点．
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）问题转化为解方程x2+2x﹣2=0，从而求出函数的零点即可．
【解答】解：（1）要使函数由意义，则有，
解得：﹣3＜x＜1，所以函数的定义域为（﹣3，1）．
（2）函数化为f（x）=log a（﹣x2﹣2x+3），
由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，
即x2+2x﹣2=0，解得：x=﹣1±，
∵﹣1±∈（﹣3，1），
∴f（x）的零点是﹣1±．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查函数的零点问题，是一道基础题．19．（12分）（2001•江西）设a＞0，f（x）=+是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．
【考点】函数单调性的判断与证明；偶函数．
【分析】（1）根据偶函数的定义f（﹣x）=f（x）即可得到答案．
（2）用定义法设0＜x1＜x2，代入作差可得．
【解答】解：（1）依题意，对一切x∈R，有f（﹣x）=f（x），即
∴=0对一切x∈R成立，则，∴a=±1，∵a＞0，∴a=1．（2）设0＜x1＜x2，则
=，
由x1＞0，x2＞0，x2﹣x1＞0，
得，
得，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
【点评】本题主要考查偶函数的定义和增函数的判断方法．
20．（12分）已知函数f（x）=1﹣
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）试判断函数f（x）的奇偶性．
【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法；函数的值域．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）求使解析式有意义的x范围；并结合指数函数的值域求f（x）的值域．（2）利用奇偶函数的定义判断奇偶性．
【解答】解：（1）要使f（x）有意义，只要使2x+1≠0．由于对任意的x都成立，即函数的定义域为R．
设y=f（x）=1﹣，2x＞0，2x+1＞1，0＜＜2，所以﹣1＜1﹣＜1，所以
函数的值域为（﹣1，1）；
（2）对任意的x∈R，则有﹣x∈R，．
∵f（﹣x）=1﹣=1﹣==﹣f（x），
∴f（x）为奇函数．
【点评】本题考查了函数的定义域和值域的求法以及奇偶性的判断；属于经常考查题型．
21．（12分）经济学中，函数f（x）的边际函数M（x）定义为M（x）=f（x+1）﹣f（x），利润函数p（x）边际利润函数定义为M1（x）=p（x+1）﹣p（x），某公司最多生产100 台报系统装置，生产x台的收入函数为R（x）=3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000x（单位：元），利润是收入与成本之差．
（1）求利润函数p（x）及边际利润函数M1（x）；
（2）利润函数p（x）与边际利润函数M1（x）是否具有相等的最大值？
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】转化思想；配方法；函数的性质及应用．
【分析】（1）P（x）=R（x）﹣C（x），M1（x）=P（x+1）﹣P（x）．（1≤x≤100，x∈N*）．
（2）由P（x）=﹣20+74125，利用二次函数的单调性可得，P（x）max．利用
一次函数的单调性可得M1（x）max．
【解答】解：（1）P（x）=R（x）﹣C（x）=3000x﹣20x2﹣（500x+4000）
=﹣20x2+2500x﹣4000（1≤x≤100，x∈N*），
M1（x）=P（x+1）﹣P（x）=2480﹣40x．（1≤x≤100，x∈N*）．
（2）∵P（x）=﹣20+74125，
∴当x=62 或63 时，P（x）max=74120．
又∵M1（x）是减函数，∴当x=1 时，M1（x）max=2440．
故利润函数p（x）与边际利润函数M1（x）不具有相等的最大值．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．（12分）定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，
（1）求f（1）和f（﹣1）的值；
（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）若x≥0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0的x取值集合．【考点】抽象函数及其应用．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用赋值法即可求f（1）、f（﹣1）的值；
（2）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是偶函数；
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．
【解答】解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（﹣1）=2f（﹣1）=0，
∴f（﹣1）=0，
（2）令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x），
∴f（﹣x）=f（x）
∴f（x）是偶函数．
（3）由式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0得式f（x+1）≤f（2﹣x），
由（2）函数是偶函数，
则不等式等价为f（|x+1|）≤f（|2﹣x|），
∵x≥0时f（x）为增函数，
∴不等式等价为|x+1|≤|2﹣x|，
平方得x2+2x+1≤x2﹣4x+4，
即6x≤3，即x≤，
即满足不等式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0的x取值集合为（﹣∞，]．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及不等式的求解，根据抽象函数的关系，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，。