2015年上海市闵行区高考数学一模试卷(理科)
2015年上海高考数学理科含答案word版
2015年上海高等学校招生数学试卷（理工农医类）一. 填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分）1．设全集U=R ，若集合{}A=12,3,4，，{}23B x x =≤≤，则U AC B = ；2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ； 3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩ ，则12c c -= ； 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a = ；5．抛物线22(p 0)y px =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ； 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角大小为 ； 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ；8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 ；（结果用数值表示） 9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为1C 和2C ，若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ； 10．设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ；11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 ；（结果用数值表示）12．赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）；若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元； 13．已知函数()sin f x x =，若存在12,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231++=122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+--≥∈，则m 的最小值为 ；14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD 与ACD 的面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF = ； 二. 选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）15．设12z z C∈、，则“12z z、中至少有一个数是虚数”是“12z z-是虚数”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16．已知点A的坐标为()43,1，将OA绕坐标原点O逆时针旋转3π至OB，则点B的纵坐标为（）A.33B.53C.112D.13217．记方程①：2110x a x++=；方程②：2210x a x++=；③：2310x a x++=；其中123a a a、、是正实数，当123a a a、、成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（）A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根18．设(),n n nP x y是直线()*21nx y n Nn-=∈+与圆222x y+=在第一象限的交点，则极限1lim1nxnyx→∞-=-（）A. 1-B.12- C. 1 D. 2三.解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
2015上海高考理科数学真题及答案
2015上海高考理科数学真题及答案一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁U Β=．2．（4分）若复数z 满足3z+=1+i，其中i 是虚数单位，则z=．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c 1﹣c 2=．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）抛物线y 2=2px（p＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分）方程log 2（9x﹣1﹣5）=log 2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2．若C 1的渐近线方程为y=±x，则C 2的渐近线方程为．10．（4分）设f ﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f ﹣1（x）的最大值为．11．（4分）在（1+x+）10的展开式中，x 2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f（x 1）﹣f（x 2）|+|f（x 2）﹣f（x 3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m ）|=12（m≥2，m∈N *），则m 的最小值为．14．在锐角三角形A BC 中，tanA=，D 为边BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E⊥A B 于E，DF⊥AC 于F，则•=．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z 1，z 2∈C，则“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）已知点A 的坐标为（4，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB，则点B 的纵坐标为（）A．B．C．D．17．记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根18．（5分）设P n （x n ，y n ）是直线2x﹣y=（n∈N *）与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1B．﹣C．1D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E、F 分别是AB、BC 的中点，证明A 1、C 1、F、E 四点共面，并求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．20．（14分）如图，A，B，C 三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待．设t=t 1时乙到达C 地．（1）求t 1与f（t 1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t 1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）已知椭圆x 2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S．（1）设A（x 1，y 1），C（x 2，y 2），用A、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；（2）设l 1与l 2的斜率之积为﹣，求面积S 的值．22．（16分）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n∈N *．（1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式；（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即a≥a n （n∈N *），求证：数列{b n }的第n 0项是最大项；（3）设a 1=λ＜0，b n =λn （n∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）对于定义域为R 的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T 为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知f（x）是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin 是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x 0∈[a，b]，使得f（x 0）=c；（3）证明：“u 0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u 0+T 为方程cosf （x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f （T）．2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁Β={1，U 4}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】5J：集合．【分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁B）={x|x＞3或x＜2}，UB）={1，4}，∴A∩（∁U故答案为：{1，4}．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．2．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c 1﹣c 2=16．【考点】ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】5R：矩阵和变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c 1﹣c 2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a 的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a 的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．7．（4分）方程log 2（9x﹣1﹣5）=log 2（3x﹣1﹣2）+2的解为x=2．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log 2（9x﹣1﹣5）=log 2（3x﹣1﹣2）+2，∴log 2（9x﹣1﹣5）=log 2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x ）2﹣12•3x +27=0，因式分解为：（3x ﹣3）（3x ﹣9）=0，∴3x =3，3x =9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：x=2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；5O：排列组合．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C 95=126种；其中只有女教师的有C 65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2．若C 1的渐近线方程为y=±x，则C 2的渐近线方程为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设C 1的方程为y 2﹣3x 2=λ，利用坐标间的关系，求出Q 的轨迹方程，即可求出C 2的渐近线方程．【解答】解：设C 1的方程为y 2﹣3x 2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y 2﹣3x 2=λ，可得4y 2﹣3x 2=λ，∴C 2的渐近线方程为4y 2﹣3x 2=0，即．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（4分）设f ﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f ﹣1（x）的最大值为4．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f ﹣1（x）在[]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f ﹣1（x）的最大值．【解答】解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1（x）在[]上为增函数，因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函数，∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4．故答案为：4．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．11．（4分）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．【解答】解：∵（1+x+）10=，∴仅在第一部分中出现x2项的系数．再由，令r=2，可得，x2项的系数为．故答案为：45．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．【解答】解：赌金的分布列为ξ112345P所以Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种，若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种，若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，则P （ξ2=1.4）==，P （ξ2=2.8）==，P （ξ2=4.2）==，P （ξ2=5.6）==ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6P所以Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元．故答案为：0.2【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f（x 1）﹣f（x 2）|+|f（x 2）﹣f（x 3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m ）|=12（m≥2，m∈N *），则m 的最小值为8．【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i ，x j （i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i ）﹣f（x j ）|≤f（x）max ﹣f（x）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m 值．【解答】解：∵y=sinx 对任意x i ，x j （i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i ）﹣f（x j ）|≤f （x）max ﹣f（x）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，|f（x 1）﹣f（x 2）|+|f（x 2）﹣f（x 3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f （x m ）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i ，x j （i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i ）﹣f（x j ）|≤f （x）max ﹣f（x）min =2是解答该题的关键，是难题．14．在锐角三角形A BC 中，tanA=，D 为边BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E⊥A B 于E，DF⊥AC 于F，则•=﹣．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵△ABD 与△ACD 的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立sin 2A+cos 2A=1，得，cosA=．由，得．则．∴•==．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z 1，z 2∈C，则“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：设z 1=1+i，z 2=i，满足z 1、z 2中至少有一个数是虚数，则z 1﹣z 2=1是实数，则z 1﹣z 2是虚数不成立，若z 1、z 2都是实数，则z 1﹣z 2一定不是虚数，因此当z 1﹣z 2是虚数时，则z 1、z 2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．16．（5分）已知点A 的坐标为（4，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB，则点B 的纵坐标为（）D．C．B．A．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA 的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点A 的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB，则OB 的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B 的纵坐标为y=|OB|sin （θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．17．记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据方程根与判别式△之间的关系求出a 12≥4，a 22＜8，结合a 1，a 2，a 3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a 12﹣4≥0，△2=a 22﹣8＜0，即a 12≥4，a 22＜8，∵a 1，a 2，a 3成等比数列，∴a 22=a 1a 3，即a 3=，则a 32=（）2=，即方程③的判别式△3=a 32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B．【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．18．（5分）设P n （x n ，y n ）是直线2x﹣y=（n∈N *）与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限=（）D．2C．1B．﹣A．﹣1【考点】6F：极限及其运算．【专题】53：导数的综合应用．【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n （x n ，y n ）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x 2+y 2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E、F 分别是AB、BC 的中点，证明A 1、C 1、F、E 四点共面，并求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】利用长方体的几何关系建立直角坐标系．利用向量方法求空间角．【解答】解：连接AC，因为E，F 分别是AB，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A 1C 1，所以EF∥A 1C 1，所以A 1、C 1、F、E 四点共面．以D 为坐标原点，DA、DC、DD 1分别为x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，易求得，设平面A 1C 1EF 的法向量为则，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小arcsin ．【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出空间角的方法，属高考常考题型．20．（14分）如图，A，B，C 三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待．设t=t 1时乙到达C 地．（1）求t 1与f（t 1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t 1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（1）由题意可得t 1==h ，由余弦定理可得f （t 1）=PC=，代值计算可得；（2）当t 1≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t ≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，可得结论．【解答】解：（1）由题意可得t 1==h，设此时甲运动到点P，则AP=v 甲t 1=5×=千米，∴f（t 1）=PC===千米；（2）当t 1≤t≤时，乙在CB 上的Q 点，设甲在P 点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，∴f（t）=PQ===，当＜t≤1时，乙在B 点不动，设此时甲在点P，∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t∴f（t）=∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，故f（t）的最大值没有超过3千米．【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．21．（14分）已知椭圆x 2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S．（1）设A（x 1，y 1），C（x 2，y 2），用A、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；（2）设l 1与l 2的斜率之积为﹣，求面积S 的值．【考点】IT：点到直线的距离公式；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）依题意，直线l 1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C 到直线l 1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；当l 1与l 2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l 1的斜率为k，则直线l 2的斜率为﹣，可得直线l 1与l 2的方程，联立方程组，可求得x 1、x 2、y 1、y 2，继而可求得答案．方法二：设直线l 1、l 2的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x 1，y 1）、C（x 2，y 2）在椭圆x 2+2y 2=1上，可求得面积S 的值．【解答】解：（1）依题意，直线l 1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C 到直线l 1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；当l 1与l 2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l 1的斜率为k，则直线l 2的斜率为﹣，设直线l 1的方程为y=kx，联立方程组，消去y 解得x=±，根据对称性，设x 1=，则y 1=，同理可得x 2=，y 2=，所以S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|=．方法二：设直线l 1、l 2的斜率分别为、，则=﹣，所以x 1x 2=﹣2y 1y 2，∴=4=﹣2x 1x 2y 1y 2，∵A（x 1，y 1）、C（x 2，y 2）在椭圆x 2+2y 2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即﹣4x 1x 2y 1y 2+2（+）=1，所以（x 1y 2﹣x 2y 1）2=，即|x 1y 2﹣x 2y 1|=，所以S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．22．（16分）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n∈N *．（1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式；（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即a≥a n （n∈N *），求证：数列{b n }的第n 0项是最大项；（3）设a 1=λ＜0，b n =λn （n∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m，且∈（﹣2，2）．【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】2：创新题型；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）把b n =3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n =6，由此得到{a n }是等差数列，则a n可求；（2）由a n =（a n ﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1，结合递推式累加得到a n =2b n +a 1﹣2b 1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M 和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），b n =3n+5，∴a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n }是等差数列，首项为a 1=1，公差为6，则a n =1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n =（a n ﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2（b n ﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b 2﹣b 1）+a 1=2b n +a 1﹣2b 1，∴，∴．∴数列{b n }的第n 0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a 1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a 2n =3，a 2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a 2n →+∞，无最大值；当n→+∞时，a 2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．23．（18分）对于定义域为R 的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T 为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知f（x）是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin 是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x 0∈[a，b]，使得f（x 0）=c；（3）证明：“u 0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u 0+T 为方程cosf （x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f （T）．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据余弦函数的周期定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x 0，使得f（x 0）=c，而根据f（x）在R 上单调递增即可说明x 0∈[a，b]，从而完成证明；（3）只需证明u 0+T 为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u 0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x ∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T 时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k 1π，k 1∈Z，根据f （x）单调递增便能得到k 1＞2，然后根据f （x）的单调性及方程cosf （x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k 1=3，和k 1≥5是不存在的，而k 1=4时结论成立，这便说明x=T 时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf （x）=c 的解得到f （x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【解答】解：（1）g（x）=x+sin ；∴==cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）的值域为R；∴存在x 0，使f（x 0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x 0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x 0≤b；即存在x 0∈[a，b]，使f（x 0）=c；（3）证明：若u 0+T 为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u 0+T）=1，T≤u 0+T≤2T；∴cosf（u 0）=1，且0≤u 0≤T；∴u 0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u 0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u 0+T 为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T 时，cosf（2T）=cosf（T）=1；∴f（2T）=2k 1π，（k 1∈Z），f（T）=4π，且2k 1π＞4π，∴k 1＞2；1）若k 1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x 0∈（0，T），使f（x 0）=2π；cosf（x 0+T）=cosf（x 0）=1⇒f（x 0+T）=2k 2π，k 2∈Z；∴f（T）＜f（x 0+T）＜f（2T）；∴4π＜2k 2π＜6π；∴2＜k 2＜3，无解；2）若k 1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x 1＜x 2＜2T，使得f（x 1）=6π，f（x 2）=8π；则T，x 1，x 2，2T 为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k 1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c 在（0，T）上的解；设其解为f（x 1），f（x 2），…，f（x n ），（x 1＜x 2＜…＜x n ）；则f（x 1+T），f（x 2+T），…，f（x n +T）为方程cosf（x）=c 在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x 1）+4π，f（x 2）+4π，…，f（x n ）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c 在（T，2T）上的解；∴f（x i +T）=f（x i ）+4π=f（x i ）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf （x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．。
2015高考试题——数学理(上海卷)解析版
19.（本题满分12分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==AD AB ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面FE C A 11所成的角的大小.【答案】设平面EF C A 11的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•00111E A n C A n ，所以⎩⎨⎧=-•=-•0)1,1,0(),,(0)0,2,2(),,(z y x z y x ，即⎩⎨⎧=-=+-0022z y y x ，令1=z 得1=x ，1=y ，所以)1,1,1(=n ， 所以151512111)1,2,0()1,1,1(||||||||,cos |22222111=+⋅++-•=⋅⋅=><C D n C D n C D n ，所以直线1CD 与平面FE C A 11所成的角的大小1515arcsin . 考点：20.（本题满分14分）本题共2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=187,558783,184225)(2t t t t t t f .所以当 183≤≤t 时,]8413,0[)(∈t f ，故)(t f 的最大值超过了3千米. 考点：21.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值. 【答案】（2）方法一：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为k21-， 设直线1l 的的方程为kx y =，联立方程组⎩⎨⎧=+=1222y x kx y ，消去y 解得2211k x +±=，根据对称性，设21211kx +=，则2121kk y +=，即1)(24212222212121=++-y x y x y y x x ， 所以21)(21221=-y x y x ，即22||1221=-y x y x ，所以2||21221=-=y x y x S .考点：22.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n .（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；（3）设01<=λa ，n n b λ=)N (*∈n ，求λ的取值范围，使得}{n a 有最大值M 与最小值m ，且)2,2(-∈mM. 【答案】 【解析】试题分析：（1）因为)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ， 所以)(211n n n n b b a a -=-++6)5383(2=--+=n n ，所以}{n a 是等差数列，首项为11=a ，公差为6，即56-=n a n .（3）由（2）可得λλ-=n n a 2，①当01<<-λ时，λλ-=n n a )(222单调递减，有最大值λλ-==222a M ；λλ-=--12122n n a 单调递增，有最小值λ==a a m ，所以)2,2(12-∈-=λmM， 所以)23,21(-∈λ，所以)0,21(-∈λ.②当1-=λ时，32=n a ，112-=-n a ， 所以3=M ，1-=m ， 所以)2,2(3-∉-=mM，不满足条件. ③当1-<λ时，当+∞→n 时n a 2+∞→，无最大值； 当+∞→n 时12-n a -∞→，无最小值. 综上所述，)0,21(-∈λ时满足条件. 考点：23.（本题满分18分）本题共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数)(x g ，若存在正常数T ，使得)(cos x g 是以T 为周期的函数，则称)(x g 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知)(x f 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设)(x f 单调递增，0)0(=f ，π4)(=T f .00②若若0)(≠a ϕ或0)(≠b ϕ，则)(0)(b a ϕϕ<<， 所以)(x ϕ在],[b a 上有解0x ， 所以存在0x 使得c x f =)(0.综上所述，存在],[b a x ∈使得c x f =)(0.（3）必要性：若],0[0T u ∈，且1)(cos 0=u f ， 所以1)(cos )(cos 00==+x f T u f ，所以]2,[0T T T u ∈+是)(cos x f 在]2,[T T 上的解； 充分性：若]2,[0T T T u ∈+，且1)(cos 0=+T u f ， 则1)(cos )(cos 00=+=T u f x f ， 所以],0[0T u ∈是)(cos x f 在],0[T 上的解.。
15年高考真题——理科数学(上海卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。
1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则UAB =_________。
2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。
3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。
4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。
5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。
7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。
28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。
若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。
10．设()1fx -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。
11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。
12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。
2015年高考上海卷理科数学【答案加解析】
一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =ð ．【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B = 【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ． 【答案】45、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,333112x t t t t x x -⇒-+==⇒=⇒-=⇒=【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】1209、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】2y x =±【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为2y x =± 【考点定位】双曲线渐近线10、设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】411、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）． 【答案】0.2【解析】赌金的分布列为所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望13、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为 ． 【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m= 【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则DDF E⋅= ． 【答案】1615-【解析】由题意得：1sin sin 242A AAB AC A AB AC==⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()(15DE DF A π⋅⋅-==-【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B16、已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A ．2 B ．2C ．112D ．132【答案】D【解析】113(cossin ))()3322OB OA i i i ππ=⋅+=⋅+=+，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ， 3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【考点定位】不等式性质18、设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15年高考真题——理科数学(上海卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。
1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则U A B = ð_________。
2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。
3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。
4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。
5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。
7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。
28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。
若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。
10．设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。
11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。
12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。
2015年上海高考数学理科含答案word版
2015年上海高考数学理科含答案word版2015年上海高等学校招生数学试卷（理工农医类）一. 填空题（本大题共有14题，每题4分，满 分56分）1 •设全集U=R ，若集合A= 1,2,3,4 , BAIC UB _________________________ ； 2 •若复数z 满足3z z 1 i ，其中XJ ，则 q C2y 54.若正三棱柱的所有棱长均为1673，则 a 5 •抛物线 最小值为1,贝y p ____________________ ；6.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 , 则其母线与轴的夹角大小为 ________ 7 .方程 log 29x15 log 2 3x 1 2 2的解为 _______________ ,8•在报名的3名男教师和6名女教师中，选取 5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不 同的选取方式的种数为；（结果用数x 3，则i为虚数单位，则------------ ?3 •若线性方程组的增广矩阵为 0 3：，解为，且其体积为---------- ?y 22px （p 0）上的动点Q 到焦点的距离的值表示）9.已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为C i和C 2，若C i的 渐近线方程为y 、3x ，则C 2的渐近线方程 为—10・设f 1x为 __________ ;（结果用数值表示）12•赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客 先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一 张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）； 随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡 片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单 位：元）；若随机变量1和2分别表示赌客在一局 赌博中的赌金和奖金，则E !E2 __________________________________________________________________________元；13 •已知函数f x sinx ，若存在x“X 2,L X m满足0 x 1 X 2 L x m 6—?为f X 2xy f x f11・在f x1 f x2 f X2f x3 +L + f x m的最小值为___14•在锐角三角形ABC中, f x m =12 m 2,m N ,贝卩mtanA 1, D为边BC上的点，VABD与VACD的面积分别为2和4,过D作DE ABuuur uuir于 E , DF AC 于F，贝J DEgDF __________________ ；二.选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）15•设N、Z2 C,则“ N、Z2中至少有一个数是虚数” 是“ N Z2是虚数”的（）A.充分非必要条件B. 必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.已知点A的坐标为4 3,1，将OA绕坐标原点O逆时针旋转-至OB，则点B的纵坐标为（)A.辽B. 5忑C. uD.22213217.记方程①：x2a-|X 10 ；方程②：x2护 1 0；③：x2 a3X 1 0 ; 其中玄伫?、、a3是正实数，当4、a“ a3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（）A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根i8・设P nX n，y n是直线2x y nN *与圆x 2y 22在第三. 解答题（本大题共有5题，满分74分）解 答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤。
2015年高考数学上海卷含答案(理科)
1．设全集U=R ，若集合{}A=12,3,4，，{}23B x x =≤≤，则U A C B = ；2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ； 3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩ ，则12c c -= ； 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a = ；5．抛物线22(p 0)y px =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ； 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角大小为 ；7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ；8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 ；（结果用数值表示）9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为1C 和2C ，若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ； 10．设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ；11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 ；（结果用数值表示）13．已知函数()sin f x x =，若存在12,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231++=122,m m f x f x f x f xf x f x m m N --+--≥∈，则m 的最小值为 ；14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD 与ACD 的面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF = ； 15．设12z z C ∈、，则“12z z 、中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16．已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A.B.C.112D.13217．记方程①：2110x a x ++= ；方程②：2210x a x ++=；③：2310x a x ++=；其中123a a a 、、是正实数，当123a a a 、、成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（ ） A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根18．设(),n n nP x y 是直线()*21nx y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n x n y x →∞-=-（ ）A. 1-B. 12-C. 1D. 219. (本题满分12分)如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，11,2,AA AB AD E F ===、分别是棱AB BC 、的中点.证明11A C F E 、、、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，A B C 、、三地有直道相通，5AB =千米，3AC =，4BC =千米，现甲乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()t f (单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时. 乙到达B 地后在原地等待. 设1=t t 时，乙到达C 地. (1)求1t 与()1f t 的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米. 当11≤≤t t 时，求()t f 的表达式，并判断()t f 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由.21. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、记得到的平行四边形ABCD 的面积为S .(1)设()()1122,,C ,y A x y x . 用A C 、的坐标表示C 到直线1l 的距离，并证明12212y x y x S -=；(2)设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112(),*n n n n a a b b n N ++-=-∈. (1)若35,n b n =+且11a =,求{}n a 的通项公式;(2)设{}n a 的第0n 项是最大项,即0(*)n n a a n N ≥∈,求证:{}n b 的第0n 项是最大项; (3)设10a λ=<,(*)n n b n N λ=∈,求λ的取值范围,使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2).Mm∈-23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期，已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0,()4.f f T π==（1）验证()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （2）设a b <，证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （3）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+。
2015上海理科数学试题及标准答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． （1）【2015年上海，理1】设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则U A B =ð ． 【答案】{}1,4【解析】根据题意，可得{}|32U B x x x =><或ð，故{}1,4U A B =ð．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．（2）【2015年上海，理2】若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】11i 42+【解析】设()i ,z x y x y R =+∈，根据题意，有i z x y =-，可把31i z z +=+化简成33i i 1i x y x y ++-=+，对于系数相等可得出11,42x y ==，11i 42z ∴=+．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．（3）【2015年上海，理3】若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组12230x y c y c +=⎧⎨+=⎩把35x y =⎧⎨=⎩代入，可得1221,5c c ==，1216c c ∴-=．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键． （4）【2015年上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = ． 【答案】4【解析】根据正三棱柱的体积计算公式31=42V h S a a a =⋅⨯⨯===底．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题． （5）【2015年上海，理5】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．【答案】2【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有min 1,22pQP p ==⇒=．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． （6）【2015年上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π【解析】设这个圆锥的母线长为'h ，底面半径为r ，母线与轴的夹角为θ，所以'1=2S l h ⋅⋅侧，而过轴的截面是一个三角形，故122S r h =⋅⋅轴，有h ='122122l h S S r h π⋅⋅==⋅⋅侧轴，''2,h h h h r ⇒=，'sin 3r h πθθ=∴=． 【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．（7）【2015年上海，理7】方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【解析】由条件可得()111195032095432x x x x ----⎧->⎪⎪->⎨⎪-=-⎪⎩()()()2111134330,33310x x x x ----⇒-⋅+=--=，1133,2,31,1x x x x --=⇒==⇒=，所以1x =或2x =，检验后只有2x =符合．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题． （8）【2015年上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 ．（结果用数值表示） 【答案】120【解析】解法一：这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4，所以有142332363636456015120C C C C C C ++=++=． 解法二：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C 95=126种；其中只有女教师的有C 65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算． （9）【2015年上海，理9】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】y = 【解析】设点P 和Q 的坐标为(),x y 、()00,x y ，则有002x x y y =⎧⎨=⎩，又因为1C 的渐近线方程为y =，故设1C 的方程为223x y λ-=，把P 点坐标代入，可得22034x y λ-=，令0λ=，20y ⇒±=即为曲线2C 的渐近线方程，即y x =． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（10）【2015年上海，理10】设()1f x -为()[]22,0,22x xf x x -=+∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4【解析】通过分析，我们可得函数()222x x f x -=+在定义域[]0,2上是单调递增的，且值域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，由反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，可得()1f x -的定义域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，值域为[]0,2，又原函数与反函数的公共定义域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故()()1m a x m a x m a x 224y f f -=+=． 【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．（11）【2015年上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 ．（结果用数值表示）【答案】45【解析】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中要得到2x 项的系数，肯定不能含有20151x 项，故只有()()010100102015111C x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，而对于()101x +，2x 项的系数为28210145C x =． 【点评】本题考本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．（12）【2015年上海，理12】赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则12E E ξξ-= ．（元） 【答案】0.2【解析】由题可知，()()()()222222255544332211.4,2.8, 4.2, 5.610101010P P P P C C C ξξξξ===========，所以，ξ和的分布列分别为：()121123453, 1.40.4 2.80.3 4.20.2 5.60.1 2.85E E ξξ=++++==⨯+⨯+⨯+⨯=，即有120.2E E ξξ-=．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键． （13）【2015年上海，理13】已知函数()sin f x x =，若12,,,m x x x 存在满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，则m 的最小值为 ．【答案】8【解析】对任意的,i j x x ，()()()()max min 2i j f x f x f x f x -≤-=，欲使m 取最小值，尽可能多的让()1,2,,i x i m =取最值点，考虑到1206m x x x π≤<<<≤，()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，按照右图所示取值可以满足条件，所以m 的最小值为8． 【点评】本题主要考察正弦函数的图像，数形结合是本题关键．（14）【2015年上海，理14】在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD ∆与ACD ∆面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．【答案】1615-【解析】由题可知，cos cos EDF A ∠=-，122ABD S AB DE ∆==，142ACD S AC DF ∆==，1sin 62ABC S AB AC A ==，所以4DE AB =，8DF AC =，12sin AB AC A = 4832cos cos cos DE DF DE DF EDF A A AB AC AB AC⋅=⋅∠=-=-，化简可得28442tan 16sin cos sin 23331tan 15A DE DF A A A A ⋅=-=-=-=-+． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分． （15）【2015年上海，理15】设12,z z C ∈，则“12,z z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】充分性不成立，如11i z =+，22i z =+，121z z -=-不是虚数；必要性成立，采用反证法，若12,z z 全不是虚数，即12,z z 均为实数，则12z z -比为实数，所以12z z -是虚数，则12,z z 中至少有一个数是虚数，故选B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键． （16）【2015年上海，理16】已知点A的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针转3π至OB ，则B 的纵坐 标为（ ）（A（B（C ）112 （D ）132【答案】D【解析】以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设(),A ρθ，则,3B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且s i n 1ρθ=，cos ρθ=，B的纵坐标为：1113sin sin cos 3222πρθρθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，故选D ． 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键． （17）【2015年上海，理17】记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数．当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） （A ）方程①有实根，且②有实根 （B ）方程①有实根，且②无实根（C ）方程①无实根，且②有实根 （D ）方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】方程③无实根，则233160a ∆=-<，又2114a ∆=-，2228a ∆=-，当123,,a a a 成等比数列时，2213a a a =，即有2231a a a =，由30∆<得22223116160a a a ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，即422116a a <，当方程①有实根，且②无实根时，214a >，228a <，可以推出42216416416a a <<⨯<，故选B ．【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．（18）【2015年上海，理18】设(),n n n P x y 是直线()*21nx y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极 限1lim 1n n n y x →∞-=-（ ） （A ）1- （B ）12- （C ）1 （D ）2【答案】A【解析】采用极限思想求解当n →∞时，直线()*21nx y n N n -=∈+趋向于21x y -=，直线与圆的交点趋向于()1,1P ，1lim 1n n n y x →∞--可以理解为过点()1,1P 所作的圆的切线的斜率k ，设切线方程为()11y k x -=-，结合d r ==1k =-，即1lim11n n ny x →∞-=--，故选A ．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． （19）【2015年上海，理19】（本小题满分12分）如图，在长方体中1111ABCD A B C D -，11AA =，2AB AD ==，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，证明1A 、1C 、F 、E 四点 共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小．解：由于E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，所以//EF AC ，又11//AC AC ，所以11//EF AC ，由公理三的推论，可知1A 、1C 、F 、E 四点共面．连接1A F 、1A B 由于11//CD A B ，所 以直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小与1A B 与平面11A C FE 所成角的大小相等．设1A B与平面11A C FE 所成角为θ，点B 到平面1A EF 的距离为d ，则1sin dA Bθ=，在三棱锥1A EFB -中，体积1A EFB B A EF V V --=，所以111133EFB A EF S AA S d ∆∆⋅=⋅，即11EFB A EF S AA d S ∆∆⋅=，结合题中的数据，可以计算出12EFB S ∆=，1AF A B ==1A F EF ==1A F =1A EF S ∆=，所以d =，所以1sin d A B θ==，即θ=，所以直线1CD 与平面11A C FE所成角的大小为． 【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法，属高考常考题型；本题也可采用空间向量解决．（20）【2015年上海，理20】（本小题满分14分）如图，A 、B 、C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米，现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）．甲的路线是AB ，速度是5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待，设1t t =时，乙到达C 地． （Ⅰ）求1t 与()1f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离为3千米．当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由．解：（Ⅰ）由题中条件可知138t =小时，此时甲与A 点距离为158千米，由余弦定理可知()2211515336992388564f t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以()18f t =． ……6分 （Ⅱ）易知，当78t =时乙到达B 位置，所以①当3788t ≤≤时，()()()()()2222147855278552542185f t t t t t t t =-+--⋅-⋅-⋅=-+⎡⎤⎣⎦； ②当718t ≤≤时，()55f t t =-；综合①②，()13788755,18t f t t t ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩当321825t ≤≤时，()f t单调递减，此时函数的值域为3,58⎡⎢⎣⎦；当217258t ≤≤时，()f t 单调递增，此时函数的值域为35,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当718t ≤≤时，()f t 单调递减，此时函数的值域为50,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 由此，函数()f t 在[]1,1t上的值域为⎡⎢⎣⎦，而29<⎝⎭3<， 所以()f t 在[]1,1t 上的最大值没有超过3． ……14分【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题． （21）【2015年上海，理21】（本小题满分14分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,C x y ．用A C 、坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-； （Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值．解：（Ⅰ）由题易知A C 、两点的横坐标不能同时为零，下面分两种情况：①当A C 、两点的横坐标有一个为零时，不妨设10x =，20x ≠不失一般性，此时1l 与y 轴重合，C 到直线1l 的距离为2x ，平行四边形ACBD 的面积为212S x y =；②当A C 、两点的横坐标均不为0时，即1l 和2l 的斜率均存在时，设1l 的方程为y kx =，其中11y k x =2221y kxx y =⎧⎨+=⎩可得()222110k x +-=，所以弦长AB ===点C 到直线1l的距离d =所以四边形ACBD 的面积为12212S AB d x y x y =⋅=-综合①②点C 到直线1l，平行四边形ACBD 的面积为12212x y x y -． ……6分（Ⅱ）解法一：易知两直线的斜率分别为：111l y k x =，222l y k x =，由1l 与2l 的斜率之积为12-可得：12122x x y y =-， 又221112x y =-，222212x y =-，所以()()2222222121212122124x x y y y y y y =-=-++，即221212y y +=，()()()()222222222222122112211221211212242412124S x y x y x y x y x y x y y y y y y y ⎡⎤=-=+-=-+-+⎣⎦化简得()2221242S y y =+=． ……14分 解法二：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为12k -，设直线1l 的方程为y kx =，联立方程组2221y kx x y =⎧⎨+=⎩，消去y 解得x =1x =1y =，同理可得2x=，2y =，所以12212S x y x y =-=． ……14分 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题． （22）【2015年上海，理22】（本小题满分16分）已知数列与满足．（Ⅰ）若，且，求的通项公式；（Ⅱ）设的第项是最大项，即，求证：的第项是最大项；（Ⅲ）设，求的取值范围，使得有最大值与最小值，且． 解：（Ⅰ）由可得：，又，所以数列为以1为首项，6为公差的等差数列，即有． ……4分 （Ⅱ）由可得：将上述式子累加可得，当时，也成立，所以，由此可得，由于为常数，所以当的第项是最大项时，最大，即的第项是最大项． ……10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，即，结合可得，分三种情况进行讨论：①当时，则为偶数时，为奇数时，即有，，此时，由此，此情况不符合条件；{}n a {}n b ()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈35n b n =+11a ={}n a {}n a 0n ()0*N n n a a n ≥∈{}n b 0n ()*10,N n n a b n λλ=<=∈λ{}n a M m ()2,2Mm∈-35n b n =+()()*1126N n n n n a a b b n ++-=-=∈11a ={}n a ()*65N n a n n =-∈()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈()21212a a b b -=-()32322a a b b -=-()()1122n n n n a a b b n ---=-≥()()1122n n a a b b n -=-≥1n =()()*112N n n a a b b n -=-∈111122n n b a b a =+-1112b a -{}n a 0n 111122n a b a +-{}n b 0n ()()*112N n n a a b b n -=-∈1122n n a b a b =+-1,n n a b λλ==2n n a λλ=⋅-1λ=-n 3n a =n 1n a =-3M =1m =-()32,2Mm=-∉-②当时，则为偶数时，，由于，所以，从而随着增 大值减小，此时，，无最小值（无限靠近0）；为奇数时，，此时，由于，所以，从而随着增大值减小，结合，可知随着增大值增大，此时()minn λλ=，无最大值（无限靠近0）；由此可知数列{}n a 的最大值22M λλ=-，最小值2m λλλ=-=，2221M m λλλλ-==-，又()2,2M m ∈-，所以21221210λλλ-<⎧⎪->-⎨⎪-<<⎩，解之102λ-<<；③当1λ<-时，则n 为偶数时，()nn λλ=-，由于1λ<-，所以()1,λ-∈+∞，从而n λ随着n 增大值增大，此时0n λ>，()2minn λλ=，无最大值（无限靠近+∞）；n 为奇数时，0n λ<，此时()nn λλ=--，由于1λ<-，所以1λ->，从而()nλ-随着n 增大值增大，结合()nn λλ=--，可知随着n 增大n λ值减小，此时()maxn λλ=，无最小值（无限靠近-∞）；由此可知，在1λ<-条件下，数列{}n a 无最值，显然不符合条件；综上，符合条件的实数λ的取值范围为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． ……16分【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（Ⅲ）的求解运用了极限思想方法，是中档题．（23）【2015年上海，理23】（本小题满分18分）对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为，设单调递增，()00f =，()4f T π=．（Ⅰ）验证是以为余弦周期的余弦周期函数； （Ⅱ）设，证明对任意，存在，使得；（Ⅲ）证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有．解：（Ⅰ）()cosh cos sin 3x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()6cosh 6cos 6sin cos 6sin cos sin cosh 333x x x x x x x x ππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()sin 3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数． ……4分（Ⅱ）当()c f a =或者()c f b =时，由于()f x 单调递增，所以存在0x a =或0x b =使得()0f x c =成立；当()()(),c f a f b ∈，构造函数()()p x f x c =-，则()0p a <，()0p b >，从而()()0p a p b ⋅<，所以存在()0,x a b ∈，使得()00p x =，即存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =成立，证毕． ……10分（Ⅲ）先证必要性：0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解，即0cos ()1f u =，由[]00,u T ∈可得[]0,2u T T T +∈，由于函数()f x是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00()cos cos ()1f u T f u +==，即0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解；再证充分性：0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解，即0c 1s ()o f u T +=，由[]0,2u T T T +∈可得[]00,u T ∈，由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00cos cos ()()1f u f u T =+=，即0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解；下证：对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+．()1,0λ∈-n ()nn λλ=-()1,0λ∈-()0,1λ-∈n λn 0n λ>()2maxn λλ=n 0n λ<()nn λλ=--()1,0λ∈-()0,1λ-∈()nλ-n ()nn λλ=--n n λR ()g x T ()cos g x T ()g x T ()f x T R ()f x ()sin3xh x x =+6πa b <()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦[]0,x a b ∈()0f x c =0u cos ()1f x =[]0,T 0u T +cos ()1f x =[],2T T []0,x T ∈()()()f x T f x f T +=+由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以cos ()cos ()f x f x T =+，即有cos ()cos ()0f x f x T -+=， 所以()()()()2sin sin022f x f x T f x f x T ++-+-=，即()()2f x f x T k π++=或()()()Z 2f x f x T k k π-+=∈，所以()()2f x T f x k π++=或()()()2Z f x T k f x k π+=+∈．①若()()2f x T f x k π++=，由()00f =，()4f T π=，可得2k =． 所以()()4f x T f x π++=，这与函数()f x 为增函数矛盾，舍去； ②若()()()2Z f x T k f x k π+=+∈，由()00f =，()4f T π=，可得2k =， 所以()()4f x T f x π+=+，即()()()f x T f x f T +=+．由此，对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+． ……18分【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由()cos 1f x =能得出()2,f x kx k Z =∈，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．。
2015年上海高考数学(理科)试题(解析版)
2015年上海高考数学（理科）试题一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分）1、设全集U R =，若集合{}4,3,2,1=A ，{}32|≤≤=x x B ，则=B C A U _________. 分析：本题考查了学生的集合运算，属于基础题目和常考题目 。
答案：{1,4}2、若复数z 满足i z z +=+13_，其中i 为虚数单位，则z =___________. 分析：考查复数基本形式及共轭复数的概念，属于基础题目和常规题目。
答案：1142i+3、若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211302c c ，解为⎩⎨⎧==53yx ，则=-21c c ___________.分析：考查了二元一次方程组增广矩阵的概念，属于基础知识，但考前这个小知识点被遗漏的学校较多。
答案：164、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a ___________.分析：首先考查了学生对于正三棱柱的认识，其次考查了棱柱的体积公式，题型和知识点较为常规。
答案：45、抛物线()022>=p px y 上的动点Q 到其焦点距离的最小值为1，则=p ___________. 分析：考查了抛物线上的点到焦点的距离问题，可以通过第一定义，将到焦点的距离转化成到准线的距离，这样题目就非常容易解决掉。
答案：26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为1:2π，则其母线与轴的夹角的大小为 _______.7、方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为___________.分析：考查了对数方程的知识点，通过对数运算，去掉对数符号，解出方程的根，易错点为根的验证。
答案：28、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）分析：排列组合知识点出现在第十题这个位置，相比较模拟卷和往年高考卷，难度不算大，可以用容易来形容。
2015年上海高考理科数学部分试题word版
19.(本题满分12分)
如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB =AD =2，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点.证明A 1、C 1、F 、E 四点共面，并求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小.
20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，A 、B 、C 三地有直道相通，AB =5千米，AC =3千米，BC =4千米，现甲乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()t f (单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时. 乙到达B 地后在原地等待. 设t =t 1时，乙到达C 地.
(1)求t 1与()t f 的值；
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米. 当11≤≤t t 时，求()t f 的表达式，并判断()t f 在[t 1,1]上的最大值是否超过3？说明理由.
21. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线l 1和l 2分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D 记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .
(1)设A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2). 用A 、C 的坐标表示C 到直线l 1的距离，并证明12212y x y x S -=；
(2)设l 1与l 2的斜率之积为21
-，求面积S 的值.
薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。
莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。
2015年上海市闵行区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝．2．（4分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝．3．（4分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝．4．（4分）计算＝．5．（4分）设f（x）＝4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）＝．6．（4分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．7．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．8．（4分）已知集合M＝{1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．9．（4分）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．10．（4分）函数y＝|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．11．（4分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则函数F（x）＝h（x）+x﹣5所有零点的和为．12．（4分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．13．（4分）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2S sin A＜（•）sin B，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cos B cos C＞sin B sin C；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是．14．（4分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256 17．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点18．（5分）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据的方差为λ2，k＝．则（）A．k＝4．B．k＝2．C．k＝1．D．k的值与公差d的大小有关．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．20．（14分）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．21．（14分）椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•＝0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．22．（16分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立，请说明理由．23．（18分）已知数列{a n}为等差数列，a1＝2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝2020成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝[﹣1，4]．【解答】解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U＝R，∴∁U A＝[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]2．（4分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝﹣1+i．【解答】解：由（z+2）（1+i）＝2i，得，∴z＝﹣1+i．故答案为：﹣1+i．3．（4分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝﹣．【解答】解：∵f（x）＝x cos x，f（a）＝，∴f（a）＝a cos a＝，∴f（﹣a）＝﹣a cos（﹣a）＝﹣a cos a＝．故答案为：﹣．4．（4分）计算＝．【解答】解：∵＝，∴＝．∴原式＝＝．故答案为：．5．（4分）设f（x）＝4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）＝1．【解答】解：由4x﹣2x+1＝0，得（2x）2﹣2•2x＝0，即2x＝0（舍）或2x＝2，解得x＝1．∴f﹣1（0）＝1．故答案为：1．6．（4分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．【解答】解：∵θ∈（，π），sin﹣cos＝，∴1﹣sinθ＝，∴sinθ＝，∵θ∈（，π），∴cosθ＝﹣＝﹣．故答案为：．7．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π＝．故答案为．8．（4分）已知集合M＝{1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．【解答】解：集合M＝{1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n＝23＝8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m＝5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p＝．故答案为：．9．（4分）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．【解答】解：如图，＝＝3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径为3×＝，则当且同向时，则取得最大值．所以3||cos∠BAM＝3（+OM）＝；故答案为：．10．（4分）函数y＝|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．【解答】解：y＝|2x|+|x|＝|1+log 2x|+|log2x|＝f（x）．当x≥1时，f（x）＝1+2log2x≥1，当且仅当x＝1时取等号；当0＜x1时，f（x）＝﹣1﹣2log2x≥1，当且仅当x＝时取等号；当时，f（x）＝1，因此时等号成立．综上可得：函数f（x）取最小值1时x的取值范围是．故答案为：．11．（4分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则函数F（x）＝h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，关于直线y＝x对称，记函数h（x）＝，∴可知h（x）关于直线y＝x对称．∵y＝x与y＝5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y＝5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2＝2×＝5∴函数F（x）＝h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y＝5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）＝h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）＝h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．12．（4分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．【解答】解：设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c＝2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2＝s2+t2﹣2st cos60°即s2+t2﹣st＝16，由椭圆的定义可得s+t＝2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t＝2n（n＞0），解得s＝m+n，t＝m﹣n．即有16＝（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）＝m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m＝n，取得最大值．故答案为：．13．（4分）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2S sin A＜（•）sin B，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cos B cos C＞sin B sin C；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是④．【解答】解：∵2S sin A＜（•）sin B，∴2×bc sin A×sin A＜ca cos B sin B，∴可得：bc sin A sin A＜ac sin B cos B，又由正弦定理可得：b sin A＝a sin B＞0，则cos B＞sin A＞0，可得：B是锐角，①若A为锐角，而cos B＝sin（90°﹣B），故有sin（90°﹣B）＞sin A，即90°﹣B＞A，则A+B＜90°，∠C＞90°，∴由余弦定理可得：cos∠C＝＜0，即有：c2＞a2+b2，故②正确，∴由余弦定理可得：cos∠A＝＞0，可得a2＜b2+c2，故①正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cos B cos C﹣sin B sin C＝cos（B+C）＝﹣cos A＜0，故③不正确；②若A为钝角，∠C＜90°，∴由余弦定理可得：cos∠C＝＞0，即有：c2＜a2+b2，故②不正确，∴由余弦定理可得：cos∠A＝＜0，可得a2＞b2+c2，故①不正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cos B cos C﹣sin B sin C＝cos（B+C）＝﹣cos A＞0，故③正确；综上可得：④正确．故答案为：④．14．（4分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．【解答】解：（1）取a2＝﹣19，a3＝﹣7时，﹣7＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝，a4＝不成立；（2）取a2＝﹣19，a3＝﹣3时，﹣3＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3；（3）取a2＝﹣19，a3＝5时，5＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝5×（﹣）+3×（﹣）﹣3＝﹣7，，不成立；（4）取a2＝﹣19，a3＝10时，10＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝10×（﹣）+3×（﹣）﹣3＝﹣，不成立；（5）取a2＝﹣19，a3＝29时，29＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝﹣2，a4＝29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3＝﹣67，不成立；（6）取a2＝﹣7，a3＝﹣3时，﹣3＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a3＝﹣3；（7）取a2＝﹣7，a3＝5时，得5＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣2，∴a4＝﹣2×5﹣3×2﹣3＝﹣19，a5＝﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3＝29，∴﹣7＝﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1＝﹣1；（8）取a2＝﹣7，a3＝10时，10＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣，，不成立；（9）取a2＝﹣7，a3＝29时，29＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣8，a4＝29×（﹣8）+3×（﹣8）﹣3＝﹣259，不成立；（10）取a2＝﹣7，a3＝﹣19时，﹣19＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝4，a4＝﹣19×4+3×4﹣3＝﹣67，不成立；（11）取a2＝﹣3，a3＝﹣19时，﹣19＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（12）取a2＝﹣3，a3＝﹣7时，﹣7＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（13）取a2＝﹣3，a3＝5时，5＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（14）取a2＝﹣3，a3＝10时，10＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（15）取a2＝﹣5，a3＝29时，29＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（16）取a2＝5，a3＝﹣19时，﹣19＝5p+3p﹣3，解得p＝﹣2，a4＝﹣19×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3＝29，a5＝29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3＝﹣67，不成立；（17）取a2＝5，a3＝﹣7时，﹣7＝5p+3p﹣3，解得p＝﹣，＝﹣1，不成立；（18）取a2＝5，a3＝﹣3时，﹣3＝5p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3；（19）取a2＝5，a3＝10时，10＝5p+3p﹣3，解得p＝，，不成立；（20）取a2＝5，a3＝29时，29＝5p+3p﹣3，解得p＝4，a4＝29×4+3×4﹣3＝125，不成立；（21）取a2＝10，a3＝﹣19时，﹣19＝10p+3p﹣3，解得p＝﹣，，不成立；（22）取a2＝10，a3＝﹣7时，﹣7＝10p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝﹣7×（）+3×（﹣）﹣3＝﹣，不成立；（23）取a2＝10，a3＝﹣3时，﹣3＝10p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3；（24）取a2＝10，a3＝5时，5＝10p+3p﹣3，解得p＝，a4＝＝，不成立；（25）取a2＝10，a3＝29时，29＝10p+3p﹣3，解得p＝，a4＝29×+3×﹣3＝，不成立；（26）取a2＝29，a3＝﹣19时，﹣19＝29p+3p﹣3，解得p＝﹣，＝5，，29＝﹣﹣3×，解得a1＝﹣67；（27）取a2＝29，a3＝﹣7时，﹣7＝29p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝﹣7×（﹣）+3×（﹣）﹣3＝﹣，不成立；（28）取a2＝29，a3＝5时，5＝29p+3p﹣3，解得p＝，a4＝5×+3×﹣3＝1，不成立；（29）取a2＝29，a3＝10时，10＝29p+3p﹣3，解得p＝，a4＝10×＝，不成立；（30）取a2＝29，a3＝﹣3时，﹣3＝29p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3．综上所述，a的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．故答案为：{﹣1，﹣3，﹣67}．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，∴k＝±1，∴k＝1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．16．（5分）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256【解答】解：令二项式（2﹣）8中的x＝1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8＝1∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．17．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【解答】解：①y＝x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A 不正确，②y＝x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）＝﹣1，f（b）＝1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选：D．18．（5分）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据的方差为λ2，k＝．则（）A．k＝4．B．k＝2．C．k＝1．D．k的值与公差d的大小有关．【解答】解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2015的平均数为＝a1008，所以λ1＝[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2015﹣a1008）2]＝•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2＝[（﹣a1﹣d）2+（﹣a1﹣d）2+…+（﹣a1﹣d）2]＝•（12+22+…+10072）．所以k＝＝2，故选：B．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．【解答】解法一：∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，B1C1∩C1C＝C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．设CC1＝y，，∴，∴．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1＝y．得点B（0，2，0），C1（0，0，y），A1（2，0，y）．则，平面BB 1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，则，∴．20．（14分）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【解答】解：（1）当10＜x＜100时，W＝xR（x）﹣（40+16x）＝4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x＝50．21．（14分）椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•＝0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．【解答】解：（1）由于椭圆Γ过点，即有，解得a2＝2，又•＝0，则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，又，得，，即有，而b2＝a2﹣c2＝2﹣c2，所以c2﹣2c+1＝0得c＝1，故椭圆Γ的方程是．（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，且x1+x2＝2，y1+y2＝1，由，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即，所以CD所在直线的方程为，将，代入x2+2y2＝2得，即有x1+x2＝2，x1x2＝．．法二：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（2﹣x1，1﹣y1），则，两等式相减得，将，代入x2+2y2＝2得，则有．22．（16分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立，请说明理由．【解答】解：（1）＝，函数f（x）的最小正周期T＝π，（2）当时，，，存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（3）存在唯一的，使f（x1）•f（x2）＝1成立．当时，，，设，则a∈[﹣1，1]，由，得．所以x2的集合为，∵，∴x2在上存在唯一的值使f（x1）•f（x2）＝1成立．23．（18分）已知数列{a n}为等差数列，a1＝2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝2020成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解（1）法1：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q．∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4，令n＝1，2，3分别得a1b1＝4，a1b1+a2b2＝20，a1b1+a2b2+a3b3＝68，又a1＝2，∴，即，解得：或．经检验d＝2，q＝2符合题意，不合题意，舍去．∴．法2：∵①则（n≥2）②①﹣②得，，又a1b1＝4，也符合上式，∴，由于{a n}为等差数列，令a n＝kn+b，则，∵{b n}为等比数列，则（为常数），即（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb＝0恒成立，∴q＝2，b＝0，又a1＝2，∴k＝2，故；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，则（4p+4）2﹣2q＝2020，化简得4p2+8p﹣501＝2q﹣2，由p∈N*得，4p2+8p﹣501为奇数，∴2q﹣2为奇数，故q＝2．得4p2+8p﹣501＝1，即2p2+4p﹣251＝0，故，这与p∈N*矛盾，∴不存在满足题设的正整数p，q；（3）由a n＝2n，得，设，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n.，∵b n＞0，∴b n+1＞b n，数列{b n}单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，则①当n为奇数时，得；②当n为偶数时，得，即．综上，，由λ是非零整数，知存在λ＝±1满足条件．。
上海市闵行区高三数学上学期期末质量调研考试(一模)试
闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足i 3i z =-（i 为虚数单位），则||z = .22．若全集U =R ，函数21x y =的值域为集合A ，则U A =ð .)0,(-∞ 3．方程4260xx--=的解为 .2log 3x = 4．函数()cos()sin sin()cos x x f x x xπ-=π+的最小正周期T = .π5．不等式x x>4的解集为 .)2,0( 6．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .15π7．已知ABC △中，43AB i j =+u u u r r r ，34AC i j =-+u u u r r r，其中i j r r 、是基本单位向量，则ABC △的面积为 .2528．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.109．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且861086S S =+，则2lim n n Sn →∞= . 5 10．若函数()2x af x -=()a ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于 . 111．若点P 、Q 均在椭圆2222:11x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-u u u r u u u u r u u u r的最大值为 .2a12．已知函数14cos 042()log (3)1 4x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，若实数a b c 、、互不相等，且满足)()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是 .(8 23)，13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （*,,,a b c d ∈N ）,则b d a c++是x 的更为精确的不足近似学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为 .22714．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈*N ，1(1)32nn n n S a n =-++-且1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是 .311,44⎛⎫-⎪⎝⎭二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若,a b ∈R ，且0ab >，则“a b =”是“2b aa b+≥等号成立”的（ A ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 16．设2345()2510105f x x x x x x =+++++，则其反函数的解析式为（ C ）.(A) 511y x =+-511y x =- (C) 511y x =-+-511y x =--17．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，满足a b c cb a b c-+≤+-，则角A 的范围是（ B ）. (A)0,π⎛⎤ ⎥6⎝⎦ (B) 0,π⎛⎤ ⎥3⎝⎦ (C) ,π⎡⎫π⎪⎢6⎣⎭ (D) ,π⎡⎫π⎪⎢3⎣⎭18．函数()f x 的定义域为[]1,1-，图像如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图像如图2所示.{}(())0A x f g x ==,{}(())0B x g f x ==,则A B I 中元素的个数为（ C ）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，12AA AB ==，1BC =,BAC π∠=6，D 为棱1AA 中点，证明异面直线11B C 与CD 所成角为π2，并求三棱柱111ABC A B C -的体积． CDA 1B 1C 1x y -1 O 1 2 1图2 x y -1 O 1 1 -1 图1[证明]Q 在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，11//BC B C ，BCD ∴∠或它的补角即为异面直线11B C 与CD 所成角，…………………………2分 由2AB =，1BC =,BAC π∠=6以及正弦定理得sin ACB ∠=1，ACB π∴∠=2即BC AC ⊥，…………4分又1BC AA ∴⊥，11BC ACC A ∴⊥面，…………6分BC CD ∴⊥………………8分所以异面直线11B C 与CD 所成角的为2π．…………………… 10分 三棱柱111ABC A B C -的体积为1131232ABC V S AA =⋅=⋅⋅⋅=△． …………12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点，02βαπ<<<<π． （1）若3=4απ，()2cos 3αβ-=，求sin 2β的值；（2）证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．[解]（1）方法一:Θ()2cos 3αβ-=，1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=91- …3分Θ3=4απ，即91)223cos(-=-βπ， ………………………………6分912sin =∴β． ………………………………8分方法二:Θ()2cos 3αβ-=，3=4απ，即32sin 22cos 22=+-ββ， …………3分 322cos sin =-∴ββ，两边平方得，982sin 1=-β ……………………………6分 912sin =∴β． …………………………………8分 （2）[证明]由题意得，)sin ,(cos αα=OA ，)sin ,(cos ββ=OB OB OA ⋅∴=βαβαsin sin cos cos + ………………10分又因为与夹角为βα-1==OB OA⋅∴)cos()βαβα-=-OB OA ………………………12分 综上cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立． ……………………………14分OxyAB21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路1l 、2l ，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数ay x=图像的一段，点M 到1l 、2l 的距离分别为8千米和1千米，点N 到2l 的距离为10千米，以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标为p .（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线OAP 比沿折线OBP 的路程更近，求p 的取值范围.[解]（1）由题意得(1,8)M ，则8a =，故曲线段MPN 的函数关系式为8y x=，4分 又得4(10,)5N ，所以定义域为[]1,10. ……………………………6分（2）8(,)P p p ，设8:()AB y k x p p -=-由8()8y k x p p y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得22(8)80kpx kp x p +--=，22222(8)32(8)0kp kp kp ∆=-+=+=, …………8分22880,kp k p ∴+=∴=-，得直线AB 方程为288()y x p p p-=--， ………10分 得16(0,)(2,0)A B p p、，故点P 为AB 线段的中点， 由2168220p p p p--=⋅>即280p -> …………………………12分 得22p >时，OA OB <，所以，当2210p <≤时，经点A 至P 路程最近. 14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点(1,)2，它的一个焦点与抛物线2:4y x E =的焦点重合． （1）求椭圆Γ的方程；（2）斜率为k 的直线l 过点()1,0F ，且与抛物线E 交于A B 、两点，设点(1,)P k -，PAB △的面积为3k 的值；xyAB MNPO大海1l2l（3）若直线l 过点()0,M m （0m ≠），且与椭圆Γ交于C D 、两点，点C 关于y 轴的对称点为Q ，直线QD 的纵截距为n ，证明：mn 为定值.[解]（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，由题设得222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，…2分 2243a b ⎧=∴⎨=⎩，∴椭圆Γ的方程是22143x y += …………………………4分 （2）设直线:(1)l y k x =-，由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++= l 与抛物线E 有两个交点，0k ≠，216(1)0k ∆=+>，则4242224(44)44(1)1k k k k AB k k++-+=⋅+= …………………………6分 (1,)P k -到l 的距离231k d k =+，又43PABS =△,222314(1)4321kk k k +∴⋅⋅=+ 22433k k =+，故3k =±． ………………………10分（3）Q ()()1122,,,C x y D x y ，点C 关于y 轴的对称点为11(,)Q x y -， 则直线211121:()y y CD y y x x x x --=--，设0x =得121211212121()x y y x y x ym y x x x x --=-=--直线211121:()y y QD y y x x x x --=++，设0x =得121211212121()x y y x y x yn y x x x x -+=+=++14分222221122221x y x y mn x x -∴=-，又2211143x y +=，2222143x y +=22113(4)4y x ∴=-，22223(4)4y x =- 22222222211221122222212133(4)(4)443x x x x x y x y mn x x x x ⋅--⋅--∴===--．………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知数列{}n a 的各项均为整数，其前n 项和为n S ．规定：若数列{}n a 满足前r 项依次成公差为1的等差数列，从第1r -项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{}n a 为“r 关联数列”． （1）若数列{}n a 为“6关联数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出n S ，并证明：对任意n ∈*N ，66n n a S a S ≥；（3）已知数列{}n a 为“r 关联数列”，且110a =-，是否存在正整数,()k m m k >，使得121121?k k m m a a a a a a a a --++++=++++L L 若存在，求出所有的,k m 值；若不存在，请说明理由．[解]（1）Θ{}n a 为“6关联数列”，∴{}n a 前6项为等差数列，从第5项起为等比数列,4,51516+=+=∴a a a a 且256=a a ， 即24511=++a a ，解得31-=a …………2分 54,42,5n n n n a n --≤⎧∴=⎨≥⎩（或554,54,62,62,7n n n n n n n a n n --⎧-≤-≤⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩）． ……………………4分 （2）由（1）得2417,42227,5n n n n n S n -⎧-≤⎪=⎨⎪-≥⎩（或22441717,5,6222227,627,7n n n n n n n n n S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≥-≥⎩⎩） …………………………………6分{}2345:3,2,1,0,1,2,2,2,2,2,n a ---L ，{}:3,5,6,6,5,3,1,9,25,n S ------L {}:9,10,6,0,5,6,4,72,400,n n a S --L，可见数列{}n n a S 的最小项为666a S =-，证明：541(4)(7),522(27),6n n n n n n n n a S n --⎧--≤⎪=⎨⎪-≥⎩，列举法知当5n ≤时，min 55()5n n a S a S ==-； ………………………………………8分当6n ≥时，)6(27)2(2525≥⋅-⋅=--n S a n n n n ，设52n t -=，则{}22,2,,2,m t ∈L L，222749272()2272648n n a S t t t =-=--≥⋅-⋅=-． ……………………10分（3）Q {}n a 为“r 关联数列”，且110,1,2a d q =-==11(2)12,11r r a a r d r a r -∴=+-=-=-，1213rr a r a -=∴=Q2121112111,12,12,222,13256,13n n n n n n n n n a S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪∴==⎨⎨≥⎪⎪-≥⎩⎩…………………………12分 ①当12k m <≤时，由221211212222k k m m -=-得(k )(k )21(k )m m m +-=- 21,,12,k m k m m k +=≤>，129m k =⎧∴⎨=⎩或1110m k =⎧⎨=⎩．②当12m k >>时，由1111256256k m ---=-得m k =，不存在 ………………14分③当12,12k m ≤>时，由21112125622m k k --=-，102221112m k k -=-+ 当1k =时，10*292,m m N -=∉；当2k =时，10*274,m m N -=∉； 当3k =时，10*258,m m N -=∉；当4k =时，10*244,m m N -=∉； 当5k =时，105*22,15m m N -==∈；当6k =时，10*222,m m N -=∉； 当7k =时，10*214,m m N -=∉；当8k =时，103*22,13m m N -==∈； 当9k =时，10222,12m m -==舍去；当10k =时，1022,11m m -==舍去当11k =时，1022,11m m -==舍去；当12k =时，10222,12m m -==舍去……16分综上所述，∴存在155m k =⎧⎨=⎩或138m k =⎧⎨=⎩或129m k =⎧⎨=⎩或1110m k =⎧⎨=⎩． …………………18分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）（2015•闵行区一模）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则∁U A=[﹣1，4]．【考点】：补集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集即可．【解析】：解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U=R，∴∁U A=[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]【点评】：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（4分）（2015•闵行区一模）若复数z满足（z+2）（1+i）=2i（i为虚数单位），则z=﹣1+i．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由（z+2）（1+i）=2i，得，∴z=﹣1+i．故答案为：﹣1+i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（4分）（2015•闵行区一模）函数f（x）=xcosx，若f（a）=，则f（﹣a）=﹣．【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知得f（a）=acosa=，由此能求出f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．【解析】：解：∵f（x）=xcosx，f（a）=，∴f（a）=acosa=，∴f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．故答案为：﹣．【点评】：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．（4分）（2015•闵行区一模）计算=．【考点】：极限及其运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：利用极限的运算法则即可得出．【解析】：解：∵=，∴=．∴原式==．故答案为：．【点评】：本题考查了极限的运算法则，属于基础题．5．（4分）（2015•闵行区一模）设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=1．【考点】：反函数．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系得到4x﹣2x+1=0，求解x的值得答案．【解析】：解：由4x﹣2x+1=0，得（2x）2﹣2•2x=0，即2x=0（舍）或2x=2，解得x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了反函数，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系，是基础题．6．（4分）（2015•闵行区一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．【考点】：二倍角的余弦．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由θ∈（，π），sin﹣cos=，求出sin2θ，然后求出cos2θ．【解析】：解：∵θ∈（，π），sin﹣cos=，∴1﹣sinθ=，∴sinθ=，∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．【点评】：本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取．7．（4分）（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题．【分析】：求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解析】：解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．【点评】：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．8．（4分）（2015•闵行区一模）已知集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，由此能求出“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率．【解析】：解：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p=．故答案为：．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．（4分）（2015•闵行区一模）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：画出图形，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径，则当且同向时，则取得最大值．【解析】：解：如图，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径为3×=，则当且同向时，则取得最大值．所以3||cos∠BAM=3（+OM）=；故答案为：．【点评】：本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，考查了推理能力和计算能力，属于难题．10．（4分）（2015•闵行区一模）函数y=|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．【考点】：对数的运算性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：y=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．对x分类讨论：当x≥1时，f（x）=1+2log2x；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x；当时，f（x）=1，即可得出．【解析】：解：y=|2x|+|x|=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．当x≥1时，f（x）=1+2log2x≥1，当且仅当x=1时取等号；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x≥1，当且仅当x=时取等号；当时，f（x）=1，因此时等号成立．综上可得：函数f（x）取最小值1时x的取值范围是．故答案为：．【点评】：本题考查了绝对值函数、对数函数的单调性、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（4分）（2015•闵行区一模）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：运用函数f（x）=（）x与g（x）=x关于直线y=x对称，可知h（x）关于直线y=x对称．利用y=x与y=5﹣x的交点，结合图求解即可．【解析】：解：∵函数f（x）=（）x，g（x）=x，关于直线y=x对称，记函数h（x）=，∴可知h（x）关于直线y=x对称．∵y=x与y=5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y=5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2=2×=5∴函数F（x）=h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y=5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．【点评】：本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题，12．（4分）（2015•闵行区一模）已知F1、F2是椭圆Γ1：=1和双曲线Γ2：=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则mn的最大值为．【考点】：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】：解三角形；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设|PF1|=s，|PF2|=t，求出焦点，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由椭圆和双曲线的定义可得m，n的关系，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可求得最大值．【解析】：解：设|PF1|=s，|PF2|=t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c=2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=s2+t2﹣2stcos60°即s2+t2﹣st=16，由椭圆的定义可得s+t=2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t=2n（n＞0），解得s=m+n，t=m﹣n．即有16=（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）=m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m=n，取得最大值．故答案为：．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查椭圆和双曲线的定义，同时考查三角形的余弦定理和重要不等式的运用，属于中档题．13．（4分）（2015•闵行区一模）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2SsinA＜（•）sinB，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cosBcosC＞sinBsinC；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是①②④．【考点】：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：解三角形．【分析】：由题意可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又bsinA=asinB＞0，可得cosB＞sinA＞0，可得A、B均是锐角，从而可得A+B＜90°，∠C＞90°，由余弦定理及两角和的余弦公式结合三角函数值的符合即可判断得解．【解析】：解：∵2SsinA＜（•）sinB，∴2×bcsinA×sinA＜cacosBsinB，∴可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又由正弦定理可得：bsinA=asinB＞0，则cosB＞sinA＞0，可得：A、B均是锐角，而cosB=sin（90°﹣B），故有sin（90°﹣B）＞sinA，即90°﹣B＞A，则A+B＜90°，∠C＞90°，∴由余弦定理可得：cos∠C=＜0，即有：c2＞a2+b2，故②正确，∴由余弦定理可得：cos∠A=＞0，可得a2＜b2+c2，故①正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=﹣cosA＜0，故③不正确；故答案为：①②④．【点评】：本题考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，两角和的余弦公式等知识的应用，借助考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，属于中档题．14．（4分）（2015•闵行区一模）已知数列f（2x）=af（x）+b满足：对任意n∈N*均有a n+1=pa n+3p ﹣3（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为{﹣1，﹣3，﹣29}．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：从{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}中任取两值作为a2，a3的值，求出p．从而求出a4，a5，由此能求出a1所有可能值的集合．【解析】：解：（1）取a2=﹣19，a3=﹣7时，﹣7=﹣19p+3p﹣3，解得p=，=﹣4，不成立；（2）取a2=﹣19，a3=﹣3时，﹣3=﹣19p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（3）取a2=﹣19，a3=5时，5=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=5×=﹣7，a5=﹣7×=﹣1，不成立；（4）取a2=﹣19，a3=10时，10=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=10×=﹣，不成立；（5）取a2=﹣19，a3=29时，29=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（6）取a2=﹣7，a3=﹣3时，﹣3=﹣7p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（7）取a2=﹣7，a3=5，得5=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣2，∴a4=﹣2×5﹣3×2﹣3=﹣19，a5=﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3=29，∴﹣7=﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1=﹣1；（8）取a2=﹣7，a3=10时，10=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣，=，不成立；（9）取a2=﹣7，a3=29时，29=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣8，a4=29×（﹣8）+3×（﹣8）﹣3=﹣259，不成立；（10）取a2=﹣7，a3=﹣19时，﹣19=﹣7p+3p﹣3，解得p=4，a4=﹣19×4+3×4﹣3=﹣67，不成立；（11）取a2=﹣3，a3=﹣19时，﹣19=﹣3p+3p﹣3，不成立；（12）取a2=﹣3，a3=﹣7时，﹣7=﹣3p+3p﹣3，不成立；（13）取a2=﹣3，a3=5时，5=﹣3p+3p﹣3，不成立；（14）取a2=﹣3，a3=10时，10=﹣3p+3p﹣3，不成立；（15）取a2=﹣5，a3=29时，29=﹣3p+3p﹣3，不成立；（16）取a2=5，a3=﹣19时，﹣19=5p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=﹣19×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=29，a5=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（17）取a2=5，a3=﹣7时，﹣7=5p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣1，不成立；（18）取a2=5，a3=﹣3时，﹣3=5p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（19）取a2=5，a3=10时，10=5p+3p﹣3，解得p=，=，不成立；（20）取a2=5，a3=29时，29=5p+3p﹣3，解得p=4，a4=29×4+3×4﹣3=125，不成立；（21）取a2=10，a3=﹣19时，﹣19=10p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣，不成立；（22）取a2=10，a3=﹣7时，﹣7=10p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×=﹣，不成立；（23）取a2=10，a3=﹣3时，﹣3=10p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（24）取a2=10，a3=5时，5=10p+3p﹣3，解得p=，a4=5×﹣3=，不成立；（25）取a2=10，a3=29时，29=10p+3p﹣3，解得p=，a4=29×+3×=，不成立；（26）取a2=29，a3=﹣19时，﹣19=29p+3p﹣3，解得p=﹣，=5，，29=﹣﹣3×，解得a1=﹣67；（27）取a2=29，a3=﹣7时，﹣7=29p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×﹣3=﹣，不成立；（28）取a2=29，a3=5时，5=29p+3p﹣3，解得p=，a4==1，不成立；（29）取a2=29，a3=10时，10=29p+3p﹣3，解得p=，a4=10×=，不成立；（30）取a2=29，a3=﹣3时，﹣3=29p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3．综上所述，a的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．故答案为：{﹣1，﹣3，﹣67}．【点评】：本题考查满足条件的集合的求法，是基础题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）（2015•闵行区一模）已知圆O：x2+y2=1和直线l：y=kx+，则k=1是圆O与直线l相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆；简易逻辑．【分析】：圆O与直线l相切，可得圆心到直线的距离d==1，求出k，即可得出结论．【解析】：解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d==1，∴k=±1，∴k=1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查充要条件的判断，正确运用点到直线的距离公式是关键．16．（5分）（2015•闵行区一模）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1 B．1 C．256 D．﹣256【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和．【解析】：解：令二项式（2﹣）8中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8=1∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．【点评】：求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得．17．（5分）（2015•闵行区一模）已知y=f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：据函数零点的定义，函数零点的判定定理，运用特殊函数判断即可．【解析】：解：①y=x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A不正确，②y=x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）=﹣1，f（b）=1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选；D【点评】：本题主要考查函数零点的定义，函数零点的判定定理，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题18．（5分）（2015•闵行区一模）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据的方差为λ2，k=．则（）A．k=4．B．k=2．C．k=1．D．k的值与公差d的大小有关．【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：分别计算平均数与方差，即可得出结论．【解析】：解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2015的平均数为=a1008，所以λ1=[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2015﹣a1008）2]=•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2=[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2015﹣a1﹣d）2]=•（12+22+…+10072）．所以k==2，故选：B．【点评】：本题考查等差数列的通项与求和，考查平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2015•闵行区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：解法一：利用线面垂直的判定定理可得：A1C1⊥平面BB1C1C，因此∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．利用tan∠A1BC1=即可得出．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，利用线面角公式：即可得出．【解析】：解法一：∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，B1C1∩C1C=C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．设CC1=y，，∴，∴．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．得点B（0，2，0），C1（0，0，y），A1（2，0，y）．则，平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，则，∴．【点评】：本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的向量计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）（2015•闵行区一模）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【考点】：函数模型的选择与应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x；（Ⅱ）4360﹣﹣16x≥2760，由此得到年产量x的取值范围．【解析】：解：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x=50．【点评】：本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法．属于中档题．21．（14分）（2015•闵行区一模）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•=0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）代入点P，求得a2=2，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，b，c的关系，解方程即可得到c，即有椭圆方程；（2）方法一、运用点差法，设出C，D的坐标，代入椭圆方程，作差再由中点坐标公式，求得CD的斜率，得到直线CD的方程，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到；方法二、运用对称的方法，设出C，D的坐标，再作差，可得直线CD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到．【解析】：解：（1）由于椭圆Γ过点，即有，解得a2=2，又•=0，则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，又，得，，即有，而b2=a2﹣c2=2﹣c2，所以c2﹣2c+1=0得c=1，故椭圆Γ的方程是．（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，且x1+x2=2，y1+y2=1，由，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即，所以CD所在直线的方程为，将，代入x2+2y2=2得，即有x1+x2=2，x1x2=．．法二：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（2﹣x1，1﹣y1），则，两等式相减得，将，代入x2+2y2=2得，则有．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和点差法、弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．22．（16分）（2015•闵行区一模）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立，请说明理由．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数的取值范围．（3）利用函数的单调性求出函数的值域，进一步说明函数的单调性问题．【解析】：解：（1）=，函数f（x）的最小正周期T=π，（2）当时，，，存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（3）存在唯一的，使f（x1）•f（x2）=1成立．当时，，，设，则a∈[﹣1，1]，由，得．所以x2的集合为，∵，∴x2在上存在唯一的值使f（x1）•f（x2）=1成立．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求函数的值域，函数的存在性问题的应用．23．（18分）（2015•闵行区一模）已知数列{a n}为等差数列，a1=2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q=2020成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】：数列与不等式的综合．【专题】：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】：（1）法1、求数列{a n}、{b n}的通项公式，在于求等差数列的公差和等比数列的首项和公比，设出等差数列{a n}的公差d和等比数列{b n}的公比为q．在已知数列递推式中令n=1，2，3分别得到关于待求量的关系式，然后求解公差和公比，则等差数列的公差和等比数列的公比可求；法2：由已知数列递推式取n=n﹣1（n≥2）得另一递推式，两式作差后得到，由数列{a n}为等差数列，可令a n=kn+b，得，由，得（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，由系数为0求得q，b，k的值得数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，由（4p+4）2﹣2q=2020，得4p2+8p﹣501为奇数，进一步得到2q﹣2为奇数，求得q=2，进一步求出，这与p∈N*矛盾；（3）把数列{a n}的通项公式代入λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos整理，设，可得数列{b n}单调递增．则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n，然后假设存在实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，分n为奇数和n为偶数求得，结合λ是非零整数可求得满足条件的λ．【解析】：解（1）法1：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q．∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4，令n=1，2，3分别得a1b1=4，a1b1+a2b2=20，a1b1+a2b2+a3b3=68，又a1=2，∴，即，解得：或．经检验d=2，q=2符合题意，不合题意，舍去．∴．法2：∵①则（n≥2）②①﹣②得，，又a1b1=4，也符合上式，∴，由于{a n}为等差数列，令a n=kn+b，则，∵{b n}为等比数列，则（为常数），即（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，∴q=2，b=0，又a1=2，∴k=2，故；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，则（4p+4）2﹣2q=2020，化简得4p2+8p﹣501=2q﹣2，由p∈N*得，4p2+8p﹣501为奇数，∴2q﹣2为奇数，故q=2．得4p2+8p﹣501=1，即2p2+4p﹣251=0，故，这与p∈N*矛盾，∴不存在满足题设的正整数p，q；（3）由a n=2n，得，设，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n.，∵b n＞0，∴b n+1＞b n，数列{b n}单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，则①当n为奇数时，得；②当n为偶数时，得，即．综上，，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．【点评】：本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了利用函数的单调性求函数的最值，体现了数学转化、分类讨论、分离参数等数学思想方法，属难题．。