关于库仑定律精确性的调研

调研题目：假设静电场库伦定律的平方反比关系不严格成立，即F=14πε0q1q2 r2+δ其中δ≪1。

请推导静电场的各种性质。

例如新条件下高斯定理、环路定理的变化，电势的定义是否受到影响。

调查部分：①库仑定律严格成立的等价命题：光子净质量等于零。

平方反比不严格成立带来的问题：②库伦根据扭秤实验提出静电力平方反比定律的时候，实验精度并不高，指数的偏差δ达到0.04，他多半是受到万有引力的启示而猜测指数是2的。

而库仑定律的精确性问题却是关系物理学基础的根本性问题，假如平方反比律不严格成立，将会有很多不可思议的事情发生：比如光子的静质量不等于零将直接导致电磁场的规范不变性不成立；电荷守恒定律被破坏；电磁波在真空中也发生色散；光速不能保持不变；光子的独立偏振态不再是2而是3；麦克斯韦方程组就必须做重大的修改；真空中不同频率的电磁波, 就应以不同的速度传播；狭义相对论的“光速不变原理”就要被动摇,甚至由其建立起来的物理理论基础也会因此而受到怀疑。

如果真的发现了磁单极，则光子的静质量必为零，库仑定律的平方反比关系也就严格成立了。

③关于库仑定律平方反比律精确度的研究，一直为历代物理学家高度重视，迄今未停止过。

以下是历史上物理学家们所做的关于精确性验证的实验结果，迄今为止，δ的数量级已由10−2减小到10−16。

数量级越小，受实验仪器精度限制，实验条件越困难。

验证平方反比律的实验结果研究部分：一、高斯定理数学上的高斯定理：A∙dS S =(∇∙VA)dV *其中A为一三维向量场。

首先应当说明，*式在数学上是严格成立的，无论A的形式如何，只要它是个向量场。

因为我们将*式应用在物理上，才有了静电场高斯定理（其实物理上还有磁场高斯定理，名气略小而已）。

所以，如果库伦定律（即平方反比律）不严格成立，只要还是个场（甚至立方反比律F∝1r）就一定会有相对应的高斯定理。

现在，我们暂且承认两个点电荷q1、q2相距为r时的静电力大小为F=14πε0q1q2r2+δ，方向沿两者的连线，那么一个点电荷+q在真空激发的场为E=14πε0qr3+δr，其中δ≪1。

来计算以点电荷+q为圆心的半径为r的球面的电通量Φ=E∙dSS =14πε0qr3+δr∙(dS∙rrS)=qε0∙1rδ如果δ＞0,那么r越大，Φ越小，意味着电场往无限远传播的过程中Φ不断耗散；如果δ＜0，那么r越大，Φ越大，意味着电场往无限远传播的过程中Φ不断累积。

这一点也可以通过计算空间任一点散度得出：∇∙E=∇∙（14πε0qr3+δr）=q4πε0∇∙（rr3+δ）=−q4πε0∙δr3+δ如果δ＞0，那么∇∙E＜0，Φ随r增大而减小，就像是电场线从真空一点突然钻到另外一个世界一样；如果δ＜0，那么∇∙E＞0，Φ随r变大而增加，仿佛电场线从另外一个世界通过空间上任一点窜出来。

（补充：电通量的大小表示电场线的条数多少。

）除非说在我们的世界之外还有另外一个世界，我们能与之交换电场线，且我们的世界中空间任何一点都是通向那个世界的门，这样的事情才可能发生！如果真是这样，是不是可以这么说：我们的世界并不是3维的，它还隐藏着δ的维度。

可维数不应该是整数吗？我们已经知道δ≪1，那么2＜3+δ＜4，有n=3，δ=0。

极有可能δ=0，因为非整数的维度不好理解。

平方反比律很可能隐藏着关于空间结构的奥秘，其意义不仅限于物理学，甚至数学的可靠性也与之有关。

二、环路定理环路定理对应数学上的Stokes公式：A∙dl L =（∇×A）∙dS s在静电场中表现为电场的第一类曲线积分与路径无关，即静电场是有势场或无旋场。

也以点电荷+q在真空中激发的电场为例：E=14πε0qr3+δr，则旋度∇×E=i j k∂∂x∂∂y∂∂zq4πε0∙xr3+δq4πε0∙yr3+δq4πε0∙zr3+δ=0。

但是数学上无旋场等价于保守场有个条件，就是必须保证在单连通区域，换句话说不能有奇点。

点电荷激发的场除了在r=0处是奇点外，其他点都可构成单连通区域，那么也就可以定义势函数。

平方反比时，我们知道电势ψ（r ）=q 4πε0∙1r;现在我们来求新定律下的势函数Ψ（r ）：∇Ψ（r ）=-E,写开来就是以下三个式子∂Ψ∂x=−q 4πε0∙x r 3+δ∂Ψ∂y=−q4πε0∙y r 3+δ∂Ψ∂z =−q 4πε∙z r 3+δ解得Ψ（r ）=11+δ∙q 4πε0∙1r 1+δ。

总结:新定律下的高斯定理： E ∙dS S = (∇ ∙V E )dV ，不同在于∇ ∙E ≠ρ； 环路定理： E ∙dl L=0； 新电势公式（点电荷）：Ψ（r ）=11+δ∙q 4πε0∙1r利用上述结果，我们可以看到一些奇怪事情的发生，比如一个均匀带电球壳，电荷面密度为ζ，球半径为r ，平方反比律下可证得球壳内场强处处为零，整个球壳及其内部是一个等势体。

而在新定律下，球壳与内部是有电势差的，我们来计算两个特殊点的电势：①中心点电势Ψ（0）。

由叠加原理， Ψ（0）= 11+δ∙∆q i 4πε0∙1r 1+δi=11+δ∙ζ∙4πr 24πε0∙1r 1+δ=1 1+δ∙ζε0∙r1−δ②球壳上一点P的电势Ψ（P）。

如图所示，对红色圆环电荷对P的电势作积分Ψ（P）=11+δ∙ζ∙（2πrsinθ∙rdθ)4πε0∙1x1+δπ0=11+δ∙ζr22ε0∙sinθdθ(2rsinθ2)1+δπ0=1 1+δ∙ζε0∙r1−δ22+δ2sinθ2cosθ2dθ(sinθ)1+δπ=1 1+δ∙ζε0∙r1−δ2δdttδ1(令sinθ2=t)=1 1+δ∙ζε0∙r1−δ2δ∙11−δ=1 1+δ∙ζε0∙r1−δ∙[12δ∙ 1−δ]=Ψ（0）2δ∙ 1−δ当δ=0时，Ψ（P）=Ψ（0），符合平方反比律的结果；取f(δ)=ln[2δ∙1−δ]= δ∙ln2-ln(1-δ);求导f′(δ)= ln2-11−δ;那么 f′(0)=ln2-1＜0;而当f’(δ)=0时，δ=δ0=1-1ln2≈-0.44;又因为f″(δ)=-1(1−δ)2＜0,故f(δ)为极大值。

于是可得：如果δ＞0，那么f(δ) ＜f(0), Ψ（P）＞Ψ（0）,球壳电势高于中心电势；δ＜δ＜0，f(δ) ＞f(0), Ψ（P）＜Ψ（0）,球壳电势低于中心电势。

以上结果表明，如果新定律成立，一个均匀带电球壳内部并不处处等势（非特殊点的积分比较困难，但相信不同的r处电势Ψ（r）是不一样的），因而是有电场的。

这样的话，目前的静电屏蔽理论将失效，而且，假如是个金属导体球，我们往上面充电荷，电荷将在整个球上有一分布ρ（r）,而非仅仅分布在球表面！当然以上只是理论推导的结果，事实上，根据目前已确定的δ的大小，设δ~10−16，Ψ（0）~1V，那么ΔΨ~2δ∙1−δ-1~（1+δln2）(1-δ)-1~(1-ln2) δ~10−17V;引起电势如此微小的变化只需一个电子偏移Δr, Δr~4πε0ΔΨr2/e~10−9∙10−17∙1019~10−7≪1(ΔΨ=Δ(e4πε0∙1r)=−e4πε0∙Δrr,另取r~1m)我们会认为电荷分布几乎无任何变化，并且微小差别观测起来亦非常困难。

有人认为，库伦定律之所以为定律，充其量也就是一个经验公式而已，肯定有其适用范围。

就像在-50℃~100℃的范围内我们认为铜丝电阻随温度变化是一个线性关系，事实上任何的曲线，当我们视野仅局限于其上一点附近的领域内，它的线性性是非常好的。

比如当x＜10−3时用1+x 近似e x，误差控制在5×10−7内。

那么有没有可能库伦定律也只是我们管中窥豹只见一斑的结果呢？当代物理学研究已经证明库仑定律在10−13米~1026米范围内能非常精确地描述物理现象，但是更微观、更宏观的事情我们就不得而知了。

假如真有一天我们发现库仑定律在尺寸大于比如10100米时有另外一种表达式，并且该表达式在目前所认知的范围内有个很好的近似，就是库仑定律，那么我们就必须对库仑定律进行修正，而且也能给出一个δ的范围了。

最后，我想说，平方反比律是一种理想。

我追求完美，自然希望它能够严格成立，对于它的精确性验证，物理学家们依旧孜孜不倦地进行着。

我相信每个物理学家必是抱＞0，使得δ≤着δ=0的信念的。

是不是会有一个阈值δδ时物理学的危机就会解除？或许这是个愚蠢的想法，总0之我总是希望δ越小越好的呀！。