第三章 3.1 3.1.1 两角差的余弦公式
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式疱工巧解牛知识•巧学 一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ−−→−=βα令sin2α=2sinαcosα；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ−−→−=βα令cos2α=cos 2α-sin 2α.由于sin 2α+cos 2α=1，显然，把sin 2α=1-cos 2α代入cos2α=cos 2α -sin 2α，得cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α)=2cos 2α-1. 同理，消去cos 2α，得cos2α=1-2sin 2α. tan(α+β)=αααβαβαβα2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=−−→−•-+=令. 综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角α的范围由任意角的三角函数的定义可知S 2α、C 2α中的角α是任意的，但公式T 2α即tan2α=αα2tan 1tan 2-中的角是有条件限制的. 要使tan2α有意义，需满足1-tan 2α≠0且tanα有意义.当tanα有意义时，α≠2π+kπ(k∈Z )；当1-tan 2α≠0，即tanα≠±1时，α≠±4π+kπ(k∈Z ).综上,可知要使T 2α有意义，需α≠±4π+kπ且α≠2π+kπ(k∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0. 学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义. 3.倍角公式中的倍角是相对的二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是23α的二倍角，2α是4α的二倍角，3α是6α的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例6cos6sin23sinααα=，6cos 26sin 6cos 3cos222αααα=-=-1=1-2sin26α；sin3α·cos3α=21 (2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；ααα3sin 4123cos 23sin 21=；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等. 4.倍角公式的几种变形形式(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 学法一得 我们常把1+co sα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联系只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答. 典题•热题知识点一 直接应用倍角公式求值 例1 求下列各式的值：(1)2sin15°sin105°；(2)︒-15sin 731432；(3)︒-︒5.22tan 15.22tan 2；(4)12cos24cos 24sin πππ. 解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=21.(2)原式=143(1-2sin 215°)=143cos30°=283323143=⨯. (3)原式=.2112145tan 215.22tan 15.22tan 2212=⨯=︒=︒-︒•. (4)原式=8121416sin 4112cos 12sin 21=⨯==πππ.方法归纳 倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即112cos 2sin22++=n n nααα(n∈N *)，12sin 2cos 2cos212+-=+n n nααα(n∈N *)，1212tan 12tan 22tan++-=n n nααα (n∈N *).知识点二 利用倍角公式给值求值例2 已知x∈(2π-，0)，cosx=54，则tan2x 等于( ) A.247 B.247- C.724 D.724- 思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解. 解法一：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x . 由倍角公式sin2x=2sinxcosx=2524-，cos2x=2cos 2x-1=2×(54)2-1=257. 得tan2x=7242cos 2sin -=x x .解法二：∵x∈(2π-，0)，cosx=54，∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x .∴tanx=43cos sin -=x x . ∴tan2x=724)43(1)43(2tan 1tan 222-=---⨯=-xx . 答案：D方法归纳 ①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”. ②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法. 例3 已知sin(4π+α)sin(4π-α)=161，α∈(2π，π)，求sin4α的值.思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sinα、cosα的值即可.由于(4π+α)+(4π-α)=2π，可运用二倍角公式求出cos2α的值. 解：由题设条件得sin(4π+α)sin(4π-α)=sin(4π+α)cos［2π-(4π-α)］ =sin(4π+α)cos(4π+α)=21sin(2π+2α)=21cos2α=61，∴cos2α=31.∵α∈(2π，π)，∴2α∈(π，2π).又∵cos2α=31>0，∴2α∈(23π，2π).∴sin2α=322)31(12cos 122-=--=--α. ∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×92431)322(-=⨯-. 例4 已知cos(4π+x)=53，47127ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x 和tan(4π+x)的值即可，注意到2(4π+x)=2π+2x ，这样通过诱导公式就容易找到sin2x 同cos(4π+x)的关系了. 解：∵47127ππ<<x ，∴πππ2465<+<x .又∵cos(4π+x)=53>0，∴23π＜4π+x ＜2π.∴sin(4π+x)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π，345354)4cos()4sin()4tan(-=-=++=+x x x πππ.∵sin2x=-cos2(4π+x)=1-2cos 2(4π+x)=25725181=-， ∴原式=x x x x x x x x x x x xx x x sin cos )sin (cos 2sin sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-•+•=-+7528)34(257)4tan(2sin tan 1tan 12sin -=-⨯=+•=-+•=x x x x x π.例5 在△ABC 中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A 的正弦值.图3-1-10思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.解：作AD⊥BC 于点D ，设∠BAD=θ，那么A=2θ.∵BD=21BC=41AB ，∴sinθ=41=AB BD . ∵0＜2θ＜π，∴0＜θ＜2π.于是cosθ=415)41(1sin 122=-=-θ. 故sinA=sin2θ=2sinθcosθ=815415412=⨯⨯. 巧解提示:作AD⊥BC 于点D ，∵BD=21BC=41AB,又∵AB=AC， ∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=41=AB BD . ∵0＜B ＜2π，∴sinB=415.又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π-2B. ∴sinA=sin(π-2B)=sin2B=2sinBcosB=815414152=⨯⨯. 方法归纳 在△ABC 中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C)，222CB A +-=π.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；2cot2tan ;2sin 2cos ;2cos 2sinC B A C B A C B A +=+=+=. 任意变换A 、B 、C 的位置，以上关系式仍然成立. 例6 已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈(0，2π)，求sinα、tanα的值. 思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入手，推出求证的结论.解：把倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos 2α-1代入已知得 4sin 2αcos 2α+2sinαcos 2α-2cos 2α=0， 即2cos 2α(2sin 2α+sinα-1)=0， 即2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.∵α∈(0，2π)，∴sinα+1≠0，cos 2α≠0. ∴2sinα-1=0，即sinα=21.又∵α∈(0,2π),∴α=6π.∴tanα=33.知识点三 利用倍角公式化简三角函数式例7 利用三角公式化简sin50°(1+3tan10°).思路分析：本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去分析，10°、50°除了它们的和60°是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asinθ+bcosθ的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50°转化成(60°-10°)从同一角入手，也可以求值. 解：原式=sin(60°-10°)(1+3tan10°)=(23cos10°-21sin10°)(1+3tan10°) =23cos10°+23cos10°tan10°-21sin10°-23sin10°tan10° =23cos10°+sin10°-23sin10°·tan10°=23(cos10°-︒︒10cos 10sin 2)+sin10° =︒︒︒+︒•=︒+︒︒•10cos 10cos 10sin 33220cos 2310sin 10cos 20cos 23 ︒︒+︒••=︒︒+︒•=10cos 20sin 2120cos 233322310cos 20sin 3320cos 23180sin 80sin 10cos 80sin 10cos 20sin 60cos 20cos 60sin =︒︒=︒︒=︒︒︒+︒︒=.巧解提示:原式=︒︒+︒•︒=︒︒+︒10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin ︒︒︒+︒︒︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2=︒︒=︒︒=︒︒︒=.方法归纳 对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.对于形如1±sinα、1±cosα的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式. 例8 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值. 解：由于cos60°=21，所以原式=21cos20°cos40°cos80° ︒︒︒︒︒•=20sin 80cos 40cos 20cos 20sin 21 ︒︒︒•=︒︒︒︒•=20sin 80cos 80sin 8120sin 80cos 40cos 40sin 41 16120sin 160sin 161=︒︒•=. 方法归纳 对于可化为cosαcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N 且n>1)的三角函数式，由于它们的角是以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解. 设M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°， N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°， 则MN=161sin40°·sin80°·sin120°·sin160° =161sin20°·sin40°·sin60°·sin80° =161N ，∴M=161,即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=161. 知识点四 利用倍角公式证明三角恒等式例9 求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 证明：原式等价于1+sin4θ-cos4θ=αθ2tan 1tan 2-(1+sin4θ+cos4θ)， 即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ). ① 而①式右边=tan 2θ(1+cos4θ+sin4θ)=θθ2cos 2sin(2cos 22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin 22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边.所以①式成立，原式得证. 例10 求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322. 思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos 240°-sin 240°，按平方差公式展开得(3cos40°+sin40°)(3cos40°-sin40°)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简. 证明：左边=︒•︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒40cos 40sin )40sin 40cos 3)(40sin 40cos 3(40cos 40sin 40sin 40cos 32222222)40cos 40sin 2()40sin 2140cos 23(2)40sin 2140cos 23(24︒︒︒-︒⨯︒+︒⨯=︒︒︒-︒︒︒︒+︒︒=80sin )40sin 60cos 40cos 60)(sin 40sin 60cos 40cos 60(sin 162︒︒-︒︒+︒=80sin )4060sin()4060sin(162 ︒=︒︒︒⨯=︒︒=︒︒︒=10sin 3210cos 10cos 10sin 21680sin 20sin 1680sin 20sin 100sin 162=右边， 所以原式成立.方法归纳 对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.例11 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：cos(α+2β)=0.思路分析：从求证的结论看，cos(α+2β)的展开式中含有cosα、cos2β、sinα、sin2β这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2β、sin2β这样的函数值.证明：由3sin 2α+2sin 2β=1，得1-2sin 2β=3sin 2α，∴cos2β=3sin 2α. 又∵sin2β=23sin2α， ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin 2α-sinα·23sin2α=23sinαsin 2α-23sinαsin2α=0.方法归纳 首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等. 问题•探究 材料信息探究问题 倍角和半角公式：sinα=2tan12tan22αα+，cosα=2tan12tan 122αα+-，tanα=2tan12tan 22αα-，这组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？探究过程:万能公式是一组用tan2α来表示sinα、cosα和tanα的关系式. 这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tanα=2tan 12tan22αα-，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得： 2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 222ααααααααα+=+==， 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos cos 22222222ααααααααα+-=+-=-=. 这组“万能公式”为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cosα或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan2α或2tan βα+的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.探究结论:所谓的“万能”，是说不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan 2α的有理式，这样就可以把问题转化为以tan 2α为变量的“一元有理函数”，即如果令tan 2α=t ，则sinα、cosα和tanα均可表达为关于t 的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如tan15°+cot15°=tan15°+=︒+︒=︒15tan 115tan 15tan 12430sin 2115tan 15tan 222=︒=+︒︒，就较方便的解决了问题.再如求函数2sin cos +=x x y 的值域.令t x =2tan ，则t∈R ，利用万能公式有sinx=212t t +,cosx=2211t t +-，所以=+++-=21211222tt t t y 222221t t t ++-，由此可以建立关于t 的一次或二次函数(2y+1)t 2+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.。
两角差的余弦公式
两角差的余弦公式余弦公式是三角形中的一个基本公式，可用于计算未知角的值。
具体来说，余弦公式可以用来计算两个角之间的差异。
余弦公式的形式如下：cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)其中，x和y是两个角度，cos(x - y)表示x和y之间的差异的余弦值，cos(x)和cos(y)分别表示x和y的余弦值，sin(x)和sin(y)分别表示x和y的正弦值。
在余弦公式中，角度的单位可以是度或弧度。
如果使用度作为单位，那么上式中的cos(x)、cos(y)、sin(x)和sin(y)应该是用角度值计算得到的。
如果使用弧度作为单位，那么上式中的cos(x)、cos(y)、sin(x)和sin(y)应该是用弧度值计算得到的。
余弦公式的应用非常广泛。
以下是一些余弦公式的应用示例：1.三角形边长的计算：如果知道一个三角形的两边长度和夹角，可以使用余弦公式来计算第三边的长度。
假设已知三角形的两边长度分别为a和b，夹角为C，则第三边的长度可以通过余弦公式计算得到：c² = a² + b² - 2abcos(C)在这个公式中，c表示第三边的长度。
2.三角形角度的计算：如果知道一个三角形的三边长度，可以使用余弦公式来计算角度。
假设已知三角形的三边长度分别为a、b和c，则夹角C可以通过余弦公式计算得到：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)在这个公式中，C表示所需要计算的夹角。
3.二维坐标系中两个向量之间的夹角的计算：在二维坐标系中，可以使用余弦公式来计算两个向量之间的夹角。
假设有两个向量A和B，向量A的分量分别为Ax和Ay，向量B的分量分别为Bx和By，则两个向量之间的夹角可以通过余弦公式计算得到：cos(θ) = (Ax * Bx + Ay * By) / (sqrt(Ax² + Ay²) * sqrt(Bx² + By²))在这个公式中，θ表示两个向量之间的夹角。
数学必修四 第3章 3.1.1 两角差的余弦公式
填一填·知识要点、记下疑难点
两角差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ，其中 α、β 为任意角.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一
两角差余弦公式的探索
问题 1 有人认为 cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试 举两例加以说明．
研一研·问题探究、课堂更高效
→ → 当 α，β 均为任意角时，α－β 和〈OP，OQ〉的关系是： → → α－β＝2kπ±〈OP，OQ〉 ，k∈Z . → → → → → → → → (3)向量OP与OQ的数量积OP· OQ＝|OP||OQ|cos〈OP，OQ〉＝ → → cos(α－β)；另一方面，OP 与 OQ 的数量积用点坐标形式表示： → → OP· OQ＝(cos α，sin α)· (cos β，sin β)＝ cos αcos β＋sin αsin β 从而，对任意角 α，β 均有 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. .
π π 所以－2<α－β<－6， 所以 cos α＝ 1－sin α＝
2 2
8 15 2 1－17 ＝17， 21 20 2 1－ 29 ＝－29，
sin(α－β)＝－ 1－cos α－β＝－
研一研·问题探究、课堂更高效
所以 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
15 21 8 20 155 ＝17×29＋17×－29＝493.
小结 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、
函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最 基本的变换．常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， 1 1 α＝2[(α＋β)＋(α－β)] ，α＝2[(β＋α)－(β－α)] 等．
3.1.1两角差的余弦公式
cos(α －β)＝cosαcosβ ＋sinαsinβ (1)三角函数线法
(2)向量法
(1)三角函数线法
1
y
P1
A sin
cos
C
P
O B
M 1
x
cos cos
+
sin sin
(2)向量法
如图，设角 α ， β 的终边与单位圆的 交点分别为 A 、 B ，则向量 OA 、 OB 的 坐标分别是什么？其数量积是什么？ y A B α β O x
课后作业
作业： P127练习：2，3，4.
是第三象限角 , 求 cos 的值.
33 cos 65 点拔:应先求cosα，cosβ，sinα，sinβ.特别 在运用平方关系时，要准确判断三角函数 的符号.
பைடு நூலகம்
课堂小结
1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴 涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如 数形结合，化归转换、归纳、猜想、构 造、换元、向量等，我们要深刻理解和 领会. 2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求 该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该 角所在的象限，从而确定该角的三角函 数值符号.
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
问题提出
若已知 α， β 的三角函数值，那么 cos(α－β)的值是否确定？它与α，β的 三角函数值有什么关系？这是我们需 要探索的问题.
探究一：两角差的余弦公式
思考 1 ：设 α ， β 为两个任意角 , 你能判 断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?
3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.1两角差的余弦公式【知识导航】1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式及其应用.【知识梳理】两角差的余弦公式(1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.(2)此公式简记作C(α-β).【做一做1】cos 17°等于()A.cos 20°cos 3°-sin 20°sin 3°B.cos 20°cos 3°+sin 20°sin 3°C.sin 20°sin 3°-cos 20°cos 3°D.cos 20°sin 20°+sin 3°cos 3°【做一做2】cos(30°-45°)等于()A.2B.3C.2+34 D.2+64解析:cos(30°-45°)=cos30°cos45°+sin30°sin45°=32×22+12×22=2+64.答案:D利用C(α-β)求特殊角的余弦值剖析:常见的特殊角有0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°,其中任意两个角的差的余弦值均能用C(α-β)求出.此外,30°-45°=45°-60°=120°-135°=135°-150°=-15°,45°-30°=60°-45°=135°-120°=150°-135°=15°,135°-60°=75°,60°-135°=-75°,135°-30°=150°-45°=105°,30°-135°=45°-150°=-105°.由此看来,±15°,±75°,±105°等角的余弦值也均能用C(α-β)求出.【典例分析】题型一化简求值问题【例1】求值:(1)sin 285°;(2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°).分析:解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦公式的形式求解.解:(1)sin285°=sin(270°+15°)=-cos15°=-cos(60°-45°)=-(cos60°cos45°+sin60°sin45°)=−6+2.(2)原式=-sin100°sin160°+cos200°cos280°=-sin100°sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos60°=−1.反思解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路:(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)在转化过程中,应先利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,再逆用公式求值.【变式训练1】12cos 15°+32sin 15°的值是()A.2B.−2C.6D.−6解析:1cos15°+3sin15°=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos(60°-15°)=cos45°=2.答案:A题型二给值(式)求值问题【例2】已知sin α=13,α∈0,π2,cos β=27,β是第四象限角,求cos(α−β)的值.分析:分别求得cosα,sinβ的值,利用C(α-β)求得.解:∵sinα=13,α∈0,π2,∴cosα=1-sin2α=22.∵cosβ=27,β是第四象限角,∴sinβ=−1-cos2β=−357.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=22×2+1×-35=42-35.反思已知sinα(或cosα),cosβ(或sinβ),求cos(α-β)的步骤:(1)利用同角三角函数的基本关系式,求得cosα(或sinα),sinβ(或cosβ)的值;(2)代入两角差的余弦公式得cos(α-β)的值.【变式训练2】已知sin α=14,α为锐角,则cos α-π3=.解析:∵sinα=1,α为锐角,∴cosα=15,∴co s α-π=cosαco sπ+sinαsi nπ=154×12+14×32=158+38=15+38.答案:15+38题型三应用角的变换求值【例3】已知si n α+π4=45,且π4<α<3π4,求cos α的值.分析:先根据si n α+π=4求出co s α+π的值,再根据α= α+π−π构造两角差的余弦,求出cosα的值.解:∵si n α+π=4,且π<α<3π,∴π2<α+π4<π.∴co s α+π4=−1-452=−35.∴cosα=cos α+π-π=co s α+πcosπ+sin α+πsinπ=−35×22+45×22=210.【变式训练3】(1)若sin α-sin β=3,cos α−cos β=1,则cos(α−β)的值为() A.1B.3C.3D.1(2)已知α,β为锐角,cos(α+β)=1213,cos(2α+β)=35,求cos α的值.(1)解析:两式两边平方后相加得sin2α-2sinαsinβ+sin2β+cos2α-2cosαcosβ+cos2β=1,即2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1, ∴cos(α-β)=1.答案:A(2)解:∵α,β为锐角,∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1213>0,∴0<α+β<π,∴0<2α+β<π.又∵cos(2α+β)=3,∴0<2α+β<π,∴sin(α+β)=5,sin(2α+β)=4,∴cosα=cos[(2α+β)-(α+β)]=cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β)=3×12+4×5=56.题型四易错辨析易错点记错公式中的正负号致错【例4】co sπ12=.错解:co sπ12=cosπ4-π6=co sπcosπ−sinπsinπ=6-2.错因分析:错解的原因是记错了公式,错记为cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.正解:co sπ12=cosπ4-π6=cosπ4cosπ6+sinπ4sinπ6=6+24.答案:6+24反思在两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ中,要注意它的结构特点,等式右边是余弦之积与正弦之积的和,应用时应特别注意.。
3.1.1两角差的余弦公式
2
cos( ) cos cos sin sin 3 3 3 3 1 4 3 3 4 3 ( ) . 5 2 5 2 10
公式逆用
cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α -β) cos(α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
例3 求值： (1)cos13 cos17 sin13 sin17 ； (2) cos160 cos 50 sin160 cos 40 .
解：(1)cos13 cos17 sin13 sin17 3 ; 2 (2) cos160 cos 50 sin160 cos 40 cos(13 ) cos 30
1.理解两角和与差的余弦公式及推导过程；
2.掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用公式进
行简单三角函数式的化简、求值；
3.掌握“变角”和“拆角”的方法.
两角差的余弦公式的推导
15 45 30 , cos15 =cos (45 -30 ). cos (45 -30 )=？
若 ， 为两个任意角, 则 cos( ) cos cos
cos cos[( ) ] 3 3 cos( ) cos sin( ) sin 3 3 3 3 12 1 5 3 12 5 3 . 13 2 13 2 26
1.两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
cos160 cos 50 sin160 sin 50
cos(160 0 ) cos30
=
3.1.1 两角差的余弦公式
是否可以联系单位圆上的三角函
数线解决？
尝试探索：
作角：
∠P1Ox= α ，
∠POP1=β， 则∠POx = α -β.
y
P1
β
O
P
1x
找线:
cos(α -β)
O
M
cosαcosβ+sinαsinβ
cosα·OA+sinα·AP
OB
CP
AB⊥x轴 ∠PAB=∠P1Ox=α
CP⊥A
Hale Waihona Puke yA P1 βC P
O B M1 x
即:
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
思考：以上结果为α 、β、
α -β均为锐角，且α >β的情
况下得到的，此式是否对任意 角都成立呢？
y
P1
A
βC
OB
P
M 1x
探究2 对任意α 、β ，如何证明它的正确性？
议一议：结合向量的数量积的定义和向量的工具性， 看能否用向量的知识进行证明？
解：cos15 cos(45 30) cos45cos30 sin 45sin 30
2 3 21 6 2
2 2 22
4
变式: 求sin75°的值.
应用 2:已知两个单角函数值求差角的余弦.
例2
已知 sin α 4 ,α π ,π ,cos β 5 是,β 第三象限角，
5 2
第三章 三角恒等变换
3.1.1 两角差的余弦公式
探 究
1
如何用任意角α, β的正弦、余弦 值 来表示cos(α-β)呢？
思路 第一步：探求表示结果 指导
3.1.1 两角差的余弦公式
解析：(1)原式＝cos(15° －105° ) ＝cos(－90° )＝cos 90° ＝0； (2)原式＝cos [(α－35° )－(25° ＋α)] 1 ＝cos(－60° )＝cos 60° . ＝ 2 4 3 (3) ∵ sin α＝－ ，180° <α<270° ，∴cos α＝－ ， 5 5 5 12 ∵sin β＝ ，90° <β<180° ，∴cos β＝－ ， 13 13 ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β －3×－12＋－4× 5 ＝16. ＝ 5 13 5 13 65
两角差的余弦公式的简单应用 (1)sin7°cos23°＋sin83 °cos67°的值为( )
1 3 3 B. C. D．－ 2 2 2 π π (2) 3sin ＋cos 的值为( ) 12 12 1 A. B．1 C. 2 D. 3 2 分析：(1)本题考查公式的逆用．如何将式子转化为两 角差的余弦公式的展开式是关键．
已知角的变形在解题中的应用
(1)计算：cos(－15° ); 2cos 10° －sin 20° (2) 的值是( sin 70° 1 A. 2 3 B. 2 C. 3 ) D. 2
分析：(1)本小题是两角差的余弦公式的直接应用， 要善于进行角的变形，使之符合公式特征． (2)本题考查角的变换技巧，有一定难度．
| || |
依据和可能．
练习1：在直角坐标系中始边在x轴正半轴，30°角
的终边与圆心在原点的单位圆的交点坐标为________．
练习2：cos(45°－30°)＝________.
3 1 练习 1： ， 2 2
6＋ 练习 2： 4 2
二、角的组合 α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， 1 α＝ [(α＋β)－(β－α)] 2 1 α＝ [(α＋β)＋(α－β)]，2α＝(β＋α)－(β－α)等． 2
3.1.1两角差的余弦公式
三.给值求角
4
3小Biblioteka ：1、两角和与差的余弦公 式： cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、运用公式时注意角的范围、三角 函数值的正负及与特殊角的关系等.
作业 课时作业小本（二十七）
4 5 例2：已知sin = , （ ，）,cos = , 5 2 13
二、给值求值
β是第四象限角，求cos(α－β)的值.
思考：运用公式求解需要做哪些准备？
（ ，）去掉， 变式：若将例2中的条件 2
对结果和求解过程会有什么影响？
练习：已知 , 均为锐角, 且 ， 3 3 10 cos , cos( ) , 求 cos 的值. 5 10
2 10
1 9
3 5 例4、在ABC中， cos A= ， cos B= ， 5 13 则cosC的值等于( )
提示： （1）C=180°－(A+B),
（2）正、余弦值的符号。
所以cosC= －cos(A+B)
33 = －cosAcosB+sinAsinB 65
解后回顾: 三角形中的给值求值，内角和180度
cos15 cos 60 45
练习: sin 75 , cos75
练习：
1 1. cos1750 cos550 sin 1750 sin 550 2
2. cos( 210 ) cos( 240 ) sin( 210 ) sin( 240 )
2 2
体现了角的整体性
3.已知 cos 25 cos 35 cos 65 cos 55的值等于( B ) A 0 B 1 2 C 3 2 D 1 2
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式互动课堂疏导引导1.二倍角公式(1)二倍角公式的正弦、余弦、正切公式sin2α=2sin αcos α,(S 2α)cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α,(C 2α)tan2α=αα2tan 1tan 2-,(T 2α) 这组公式要记准、记熟、用活.下面给出这组公式的推导:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,当α=β时,有sin2α=2sin αcos α.∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,当α=β时,有cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1(sin 2α=1-cos 2α)=1-2sin 2α(cos 2α=1-sin 2α).∵tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+, 当α=β时,有tan2α=αα2tan 1tan 2-. 公式S 2α、C 2α中,α∈R ,公式T 2α中的α≠21k π+4π且α≠k π+2π (k∈Z ). 从上面的公式推导中可以看到二倍角公式是和角公式的特殊情况.(2)关于倍角公式应注意的几个问题:①推导思路:在正弦、余弦、正切的和角公式中,令两角相等,就得相应倍角公式.由此,倍角公式是和角公式的特例.②公式的适用范围:公式S 2α、C 2α中,角α可以为任意角,但公式T 2α只有当α≠2π+k π及α≠4π+2πk (k∈Z )时才成立,否则不成立.当α=2π+k π,k∈Z ,虽然tan α的值不存在,但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱导公式.③对于“二倍角”要有广义理解,如4α是2α的2倍;α作为2α的2倍;2α作为4α的2倍;3α作为23α的2倍;3α作为6α的2倍等. 2.二倍角公式的变形(1)公式逆用2sin αcos α=sin2α,sin αcos α=21sin2α,cos α=ααsin 22sin 2,cos 2α-sin 2α=cos2α,αα2tan 1tan 2-=tan2α. (2)公式的逆向变换及有关变形1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2,1+cos2α=2cos 2α,1-cos2α=2sin 2α,cos 2α=22cos 1α+,sin 2α=22cos 1α-. 活学巧用1.已知sin α+cos α=31,且0＜α＜π,求sin2α、cos2α、tan2α的值. 解析:方法一:∵sin α+cos α=31,∴sin 2α+cos 2α+2sin αcos α=91.∴sin2α=98-且sin αcos α=94-＜0. ∵0＜α＜π,sin α＞0,∴cos α＜0.∴sin α-cos α＞0.∴sin α-cos α=3172sin 1)cos (sin 2=-=-ααα. ∴cos2α=cos 2α-sin 2α=(sin α+cos α)(cos α-sin α)=31×(-317)=917-. tan2α=171782cos 2sin =αα. 方法二:∵sin α+cos α=31,平方得sin αcos α=94-, ∴sin α、cos α可看成方程x 2-31x 94-=0的两根, 解方程x 2-31x 94-=0,得x 1=6171+,x 2=6171-.∵α∈(0,π),∴sin α＞0.∴sin α=6171+, cos α=6171-.∴sin2α=2sin αcos α=98-,cos2α=cos 2α-sin 2α=917-,tan2α=171782cos 2sin =αα. 答案:sin2α=98-,cos2α=917-,tan2α=17178. 2.已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x∈［0, 2π］,求f(x)的最大值、最小值. 解析:f(x)=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x =cos2x-sin2x=2cos(2x+4π). (1)T=22π=π. (2)0≤x≤2π,0≤2x≤π,4π≤2x+4π≤45π,-1≤cos(2x+4π)≤22,∴-2≤2cos(2x+4π)≤1.∴f(x)max =1,f(x)min =-2.答案:(1)π;(2)f(x)max =1,f(x)min =-2.3.已知函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1,x∈R .当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合. 解析:y=21cos 2x+23sinxcosx+1=41(2cos 2x-1)+41+43(2sinxcosx)+1 =21(cos2xsin 6π+sin2xcos 6π)+45=21sin(2x+6π)+45.y 取得最大值必须且只需2x+6π=2π+2k π,k∈Z ,即x=6π+k π,k∈Z .所以量x 的集合为{x|x=6π+k π,k∈Z }.。
3.1.1 两角差的余弦公式
练习：
1
2 cos
3 sin ____c_o_s_(_1____-__)__
2
3
cos( 210) cos( 240) sin( 210)sin( 240)
________________ 2
2
例4
已知α，β都是锐角,
cosα=
4， 5
变 cosα+β 153，求cosβ的值
归 差角的余弦公式 纳
Cα-β
注意：1.公式的结构特点； 同名积 符号反
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β)
学 利用差角余弦公式求cos15 的值
以 分析: cos15 cos 45 30
致
用
cos15 cos60 45
6 2 4
思考：你会求sin15 的值吗?
sinα=
54，α
2
,
cosα=
-
3 5
cosβ= - 153，β是第三象限角
sin
= - 12 13
cos( ) 33
65
练习：P127 4
例3. 逆用
cos1750 cos 550 sin1750 sin 550
1
_____2_______
-
1 2
cos
3 sin
2
cos(2 - )
6 2 4
例1.已知
cosα=
-
1 5
,α
2
,
,
求cos
3
α
的值.
正
cosα=
-
1 5
,α
2
,
sinα=
3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.1 两角差的余弦公式知识点梳理两角差的余弦公式cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β (α,β均为任意角) 【预习自我评估】 (1)cos 54°cos 24°+sin 54°sin 24°的值为( )A ．32B ．－32C ． 12D ．－12解析 原式=cos(44°－14°)=cos 30°=32．答案 A(2)已知α是锐角,sin α=23,则cos(α－π3)=________．解析因为α是锐角,sin α=23,所以cos α=53,所以cos(α－π3)=cos π3cos α+sin π3sin α=12×53+32×23=5＋236．答案5＋236常考题分类整理题型一 两角差的余弦公式的正用和逆用 【例1】 (1)cos(－15°)的值是( )A ．6＋22B ．6－22C ．6＋24D ．6－24(2)cos(α－15°)cos(α+45°)+sin(α－15°)sin(α+45°)=________． (3)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°=________．解析 (1)cos(－15°)=cos(30°－45°)=cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45°=32×22+12×22=6＋24．(2)原式=cos [(α－15°)－(α+45°)]=cos(－15°－45°)=cos(－60°)=cos 60°=12．(3)原式=cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°=cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°=cos 15°cos 8°cos 8°=cos 15°=cos(60°－45°)=6＋24．答案 (1)C (2)12 (3)6＋24方法总结 运用两角差的余弦公式求值的注意点 (1)深刻理解所用公式的特征、灵活地套用公式,(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时,关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°,45°,60°,90°,120°,150°,…)之间和与差的关系问题,然后利用公式化简求值． 【变式探究1】 求下列三角函数式的值： (1)cos125π；(2)cos 35°cos 125°+sin 35°sin 125°． 解 (1)原式=cos[π4－(－π6)]=cos π4cos(－π6)+sin π4sin(－π6)=6－24．(2)原式=cos(35°－125°)=cos(－90°)=cos 90°=0． 题型二 给值求值【例2】 设sin )2(βα-=23, cos )2(βα-=－19,其中α∈),2(ππ,β∈)2,0(π,求cos α＋β2．解 因为α∈),2(ππ,β∈)2,0(π．所以α－β2∈),4(ππ,α2－β∈)2,4(ππ-．因为cos )2(βα-=－19,sin )2(βα-=23,所以sin )2(βα-=)2(cos -12βα-=1－181=459,cos )2(βα-=1－sin 2(α2－β)=1－49=53． 所以cosα＋β2=cos[)2(βα--)2(βα-]=cos )2(βα-cos )2(βα-+sin )2(βα-sin )2(βα-=－19×53+459×23=7527． 方法总结 给值求值问题的解题技巧常用角变换公式：①α=(α－β)+β；②α=α＋β2+α－β2；③2α=(α+β)+(α－β)；④2β=(α+β)－(α－β)．【变式探究2】 已知sin α=31,α∈),2(ππ,cos β=－34,β∈)23,(ππ,求cos(α－β)的值．解∵α∈),2(ππ, sin α=31,∴cos α=－1－sin 2α=－322又β∈)23,(ππ,cos β=－34,∴sin β=－1－cos 2β=－74． ∴cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β=(－322)×(－34)+23×(-74)=127226-．【变式探究3】 已知cos α=31, cos(α+β)=－1114, 且α,β∈(0,2π),求cos β的值．解 ∵α,β∈2π且cos α=31, cos(α+β)=－1114,∴α+β∈(0,π),∴sin α=1－cos 2α=322,sin(α+β)=1－cos 2(α＋β)=5314．又∵β=(α+β)－α,∴cos β=cos [(α+β)－α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=(-1114)×31+5314×322=4261011+． 课堂达标训练1．cos 66°cos 36°+sin66°cos 54°的值为( ) A ．32 B ．－32 C ．12 D ．－12答案 A2．若a =(cos 70°,sin 70°),b =(cos25°,sin 25°),则a ·b =( )A ．－12B ．32C ．12D ．22解析 a ·b =cos 70°cos 25°+sin 70°sin 25°=cos(70°－25°)=cos 45°=22．答案 D 3．计算：12cos 30°+32sin30°=________．解析 原式=cos 60°cos 30°+sin 60°sin30°=cos(60°－30°)=cos 30°=32．答案 32 4．已知α∈)2,0(π,tan α=2,则cos )4(πα-=________． 解析由tan α=2得sin α=2 cos α,又sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=15.因为α∈)2,0(π,所以cos α=55,sin α=255.因为cos )4(πα-=cos αcos π4+sin αsin π4=55×22+255×22=31010.答案 310105．已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),α,β∈(0,π)且a ⊥b ,求α－β的值．解 因为a ⊥b ,所以a ·b =cos αcos β+sin αsin β=cos(α－β)=0.因为－π<α－β<π,所以α－β=－π2或π2．课后作业1．化简－sin(x +y )sin(x －y )－cos(x +y )cos(x －y )的结果为( ) A ．sin 2x B ．cos 2x C ．－cos 2y D ．－cos 2x 解析 原式=－cos [(x +y )－(x －y )]=－cos 2y ,故选C ．答案 C 2．cos 295°cos20°－sin 115°cos 110°的值为( )A ．22B ．－22C ．32D ．－32解析原式=－cos 115°cos 20°+sin 115°sin 20°=cos 65°cos 20°+sin 65°sin 20°=cos(65°－20°)=cos 45°=22．答案 A 3．已知cos α=－1213,α∈),2(ππ,sin β=－35,β是第四象限角,则cos(β－α)的值是( )A ．－3365B ．－6365C ．－1665D ．6365解析 由条件可得sin α=513,cos β=45,则cos(β－α)=cos βcos α+sin αsin β=45×(－1213)+513(－35)=－6365．答案 B4．若cos(α－β)=13,则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=________．解析 原式=2+2(sin αsin β+cos αcos β)=2+2cos(α－β)=83．答案 835．已知α,β均为锐角,且cos α=255,cos β=1010,则α－β=________．解析 由条件得sin α=55,sin β=31010．∴cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β=1010×255+55×31010=22,又α－β∈(－π2,π2),∴α－β=±π4,又因为cos α>cos β,所以α<β,则α－β=－π4．答案 －π46．已知a =(cos α,sin β),b =(cos β,sin α),0<β<α<π2,且a ·b =23,求α－β．解 ∵0<β<α<π2,∴0<α－β<π2．又a ·b =cos αcos β+sin αsin β=cos(α－β)=23,∴α－β=6π．7．已知cos α－cos β=12, sin α－sin β=－13,求cos(α－β)．解 由cos α－cos β=12两边平方得(cos α－cos β)2=cos 2α+cos 2β－2cos αcos β=14.① 由sin α－sin β=－13两边平方得(sin α－sin β)2=sin 2α+sin 2β－2sin αsin β=19.② ①+②得 2－2(cos αcos β+sin αsin β)=1336．∴cos αcos β+sin αsinβ=5972,∴cos(α－β)=5972． 8．若cos(α－β)=55,cos 2α=1010,并且α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为( )A ．5π6B ．3π4C ．π4D ．π6解析 由条件得sin(α－β)=－255,sin 2α=31010,则cos(α+β)=cos [2α－(α－β)]=cos 2αcos(α－β)+sin 2αsin(α－β)=1010×55+31010×(－255)=－22,又因为α+β∈(0,π),所以α+β=3π4．答案 B 9．cos 165°等于( )A ．－6＋24B ．－6－24C ．12D ．32解析 cos 165°=cos(180°－15°)=－cos 15°=－cos(45°－30°)=－(cos 45°cos 30°+sin45°sin 30°)=－6＋24．答案 A 10．已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α－β)的值是________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ②①2+②2⇒2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1⇒cos(α－β)=－12．答案 －1211．化简2cos 10°－sin 20°cos 20°=________.解析 原式=2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°=3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°=3．答案 312．已知向量a =(1,cos θ)与b =(sin θ,－2)垂直,其中θ∈)2,0(π．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)=35cos φ,0<φ<π2,求cos φ的值．解 (1)因为a ⊥b ,所以a ·b =sin θ－2cos θ=0,即sin θ=2cos θ．又因为sin 2θ+cos 2θ=1,所以4cos 2θ+cos 2θ=1,即cos 2θ=15,所以sin 2θ=45,又θ∈)2,0(π,所以sin θ=255,cos θ=55．(2)因为5cos(θ－φ)=5(cos θcos φ+sin θsin φ)=5cos φ+25sin φ=35cos φ,所以cos φ=sin φ,所以cos 2φ=sin 2φ=1－cos 2φ,即cos 2φ=12．因为0<φ<π2,所以cos φ=22．13．(选做题)已知：sin(α－2β)=22, cos(2α－β)=－22,且π4<α<π2,0<β<π4,求cos(α+β)．解 因为π4<α<π2,0<β<π4,所以π4<2α－β<π．因为cos(2α－β)=－22,所以π2<2α－β<π．所以sin(2α－β)=22．因为π4<α<π2,0<β<π4,所以－π4<α－2β<π2．因为sin(α－2β)=22,所以0<α－2β<π2,所以cos(α－2β)=22,所以cos(α+β)=cos [(2α－β)－(α－2β)]=cos(2α－β)cos(α－2β)+sin(2α－β)sin(α－2β)=－22×22+22×22=0．。
3.1.1两角差的余弦公式
讲解范例
例1. 利用差角余弦公式求cos15°、
cos75°的值.
点评：
把一个具体角构造成两个角的和、 差形式，有很多种构造方法，例如： o o o cos 15 cos(60 45 ), 要会灵活应用. 练习；cos215 °－ sin215°
讲解范例
例2. 已知 sin , , , 5 2 5 cos , 是第三象限角 求 , 13 4 cos( )的值.
猜想： 是不是等于 cos cos 呢?
思考1：能否通过第一章所学三角 函数知识来得到这个三角函数的 值公式呢？ 工具：三角函数线、解三角形
思考2. 我们在第二章学习用向量的知识 解决相关的几何问题，两角差余弦公式 我们能否用向量的知识来证明？
工具：数量积
思考：推理有无不严谨之处？
一、θ∈[0,π],α、β是任意角
(1)牢记公式 C( ) C C S S．
(2)在“给值求值”题型中，要能灵活处理 已、未知关系．
课后作业
1. 阅读教材P.124到P.127;
2.P137 第2.3.5题
3. 《优质课堂1+1》立体设计 4.预习下一节.
3.1.1两角差的 余弦公式
y
cos( ) cos cos sin sin
cos s in 2 2 s in
复习与思考：
1.cos(2π-β)= cosβ 2.cos(π-β)= -cosβ
3.cos(π/2-β)= sinβ 4.cos(π/4-β)=？ 5.cos(α-β)=？
α=β+θ+2kπ α-β=θ+2kπ cos(α-β)=cos(θ+2kπ) =cosθ
3.1.1 两角差的余弦公式
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
π π ∴ cos α＝ cos [(α＋ )－ ] 4 4 π π π π ＝ cos(α＋ )cos ＋ sin(α＋ )sin 4 4 4 4 3 2 4 2 2 ＝－ × ＋ × ＝ . 5 2 5 2 10
4 sin(A＋ B)＝ sin(π－ C)＝ sin C＝ ， 5 3 2 4 5 6＋4 5 ∴ cos A＝ cos[(A＋ B)－ B]＝－ × (－ )＋ × ＝ . 5 3 5 3 15
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
跟踪训练
π 4 π 3π 3．已知 sin(α＋ )＝ ，且 <α< ，求 cos α 的值． 4 5 4 4
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
新知初探思维启动
两角差的余弦公式 公式
cos αcos β＋sin αsin β cos(α－β)＝_______________________
简记符号
C(α－β) α，β为任意角
使用条件
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
想一想
cos(α－β)＝cos α－cos β一定成立吗？ 提示：cos(α－β)＝cos α－cos β不一定成立． 如：cos(60°－30°)≠cos 60°－cos 30°. 做一做
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
题型二
给值求值
例2
4 π 5 已知 sin α＝ ，α∈ ( ，π)，cos β＝－ ，β 是第三 5 2 13
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使用条件
α，β为任意角
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[化解疑难] 1．公式C(α－β)的结构特点及适用条件 (1)公式的结构特点 公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数 之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
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(2)公式的适用条件 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个
α＋β α－β α＋β “团体”，如cos 中的“ ”相当于公式中的 － 2 2 2
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[活学活用]
3π π 3 5 π 3π ＋α ＝ ，cos －β ＝ ，且0<α< <β< 若sin 4 ，求sin(α 4 4 13 4 5
＋β)的值．
π 3π 解：∵0<α< <β< ， 4 4 3π 3π π π ∴ < ＋α<π，－ < －β<0， 4 4 2 4
α－β 角α，“ ”相当于公式中的角β.可用两角差的余弦公式展 2 开，因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体 的角． 2．公式的巧记 两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和．
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给角求值问题
[例1] 求下列各式的值．
(1)cos 75° 15° cos －sin 75° 195° sin ； (2)sin 46° 14° cos ＋sin 44° 76° cos ； 1 3 (3) cos 15° ＋ sin 15° . 2 2
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1 理解教 材新知
3．1 两角和 与差的 正弦、 余弦和 正切公 式
知识点
题型一
3．1.1 两角差 的余弦 公式
第 三 章
2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍 4 应用落 实体验
题型二 题型三 随堂即时演练
课时达标检测
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3．1.1
两角差的余弦公式
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两角差的余弦公式
[提出问题] 问题 1：当 α＝60° ，β＝30° 时，cos α－cos β 等于多少？ 1－ 3 提示：cos α－cos β＝cos 60° －cos 30° ＝ . 2 问题 2：cos 60° －cos 30° ＝cos(60° －30° )成立吗？ 提示：不成立．
问题 3：cos α－cos β＝cos(α－β)成立吗？
提示：不成立．
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问题 4：单位圆中(如图)，∠AOx＝α， ∠BOx＝β，那么 A，B 的坐标是什么？ OA与 OB 的夹角是多少？
提示：A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)．OA 与 OB 的夹
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1 3 (3)∵ ＝cos 60° ， ＝sin 60° ， 2 2 1 3 ∴ cos 15° ＋ sin 15° 2 2 ＝cos 60° 15° cos ＋sin 60° 15° sin 2 ＝cos(60° －15° )＝cos 45° ＝ . 2
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[类题通法] 利用公式C(α－β)求值的方法技巧 在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数 式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同 一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在 转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公 式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．
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2 6－1 ∴cos(α＋β)＝－ 1－sin α＋β＝－ ， 6
2
cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α 2 6－1 1 2 2＋ 3 2 2 ＝－ × ＋ × 3 6 3 6 1－2 6＋8＋2 6 1 ＝ ＝ ， 18 2 π ∵β是锐角，故β＝ . 3
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[解]
(1)cos 75° 15° cos －sin 75° 195° sin
＝cos 75° 15° cos －sin 75° sin(180° ＋15° ) ＝cos 75° 15° cos ＋sin 75° 15° sin 1 ＝cos(75° －15° )＝cos 60° . ＝ 2 (2)sin 46° 14° cos ＋sin 44° 76° cos ＝sin(90° －44° )cos 14° ＋sin 44° cos(90° －14° ) ＝cos 44° 14° cos ＋sin 44° 14° sin 3 ＝cos(44° －14° )＝cos 30° ＝ . 2
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π 4 5 β－ ＝－ . ∴cos(α＋β)＝ ，cos 4 5 13 π π ∴cosα＋4 ＝cosα＋β－β－4 π π ＝cos(α＋β)cosβ－4 ＋sin(α＋β)sinβ－4
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(1)[解析]
∵α、β均为锐角，
5 3 10 ∴cos α＝ ，cos β＝ . 5 10 ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 2 5 3 10 5 10 2 ＝ × － × ＝ . 5 10 5 10 2 π 又∵sin α>sin β，∴0<β<α< ， 2 π ∴0<α－β< . 2 π 故α－β＝ . 4
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[类题通法] 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数 值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与 凑角． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据 需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： α＋β α－β ①α＝(α－β)＋β；②α＝ ＋ ； 2 2 ③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
3 由sin α－sin β＝ ， 2
1 cos α－cos β＝ ， 2 3 得sin α＋sin β－2sin αsin β＝ ，① 4
2 2
1 cos α＋cos β－2cos αcos β＝ ，② 4
2 2
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①＋②得2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1. 1 ∴sin αsin β＋cos αcos β＝ . 2 1 ∴cos(α－β)＝ . 2 [答案] A
角是 α－β.
问题 5：你能用几种方法计算 OA · 的数量积？ OB 提示：① OA· ＝| OA|· |cos(α－β)＝cos(α－β)． | OB OB ② OA· ＝(cos α，sin α)· β，sin β) (cos OB
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[活学活用] 2cos 10° －sin 20° 求 的值． sin 70° 2cos 10° －sin 20° 解：原式＝ con 20° ＝ cos 20° 3cos 20° ＋sin 20° －sin 20° ＝ cos 20° ＝ 3.
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1 1 π π 由cos α＝ < ，得 <α< ， 7 2 3 2 2π 11 从而 <α＋β<π，于是cos(α＋β)＝－ ， 3 14 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α 1 ＋β)sin α＝ . 2
[答案] 1 2
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[易错防范]
5 3 3 本题若不能利用sin(α＋β)＝ < 将α＋β的范围进 14 2 π 2π 一步缩小为0<α＋β< 或 <α＋β<π，误认为α＋β∈(0， 3 3 11 1 71 π)，则会得出cos(α＋β)＝± ，进而得出cos β＝ 或 的错 14 2 98 误答案．
π 3π ，π，α＋β∈ ，2π， ∵α－β∈ 2 2 π 3π π ， ，∴2β＝π，故β＝ . ∴2β∈ 2 2 2
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[类题通法]
已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围； (2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在 上述范围内单调的三角函数； (3)结合三角函数值及角的范围求角．
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给值求角问题
[例3] 2 5 (1)已知α、β均为锐角，且sin α＝ ，sin β＝ 5
10 ，则α－β＝________. 10 3 3 (2)已知cos(α－β)＝－ ，cos(α＋β)＝ ，且α－β∈ 5 5
π 3π ，π，α＋β∈ ，2π，求角β的值． 2 2
给值(式)求值问题
[例2] 3 1 (1)若sin α－sin β＝ ，cos α－cos β＝ ，则 2 2 ( 3 B. 2 D．1 )
cos(α－β)的值为 1 A. 2 3 C. 4
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(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝ α的值．
(1)[解析]
12 3 ，cos(2α＋β)＝ ，求cos 13 5
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[成功破障]
3π π 12 3 已知α，β∈ 4 ，π ，sin(α＋β)＝－ ，sin β－4 ＝ ，求 5 13 π cosα＋4 的值．
3π 3 ，π，sin(α＋β)＝－ ， 解：∵α，β∈ 4 5 π 12 3π π π 3π β－ ＝ ，∴ <α＋β<2π， <β－ < . sin 4 13 2 2 4 4
＝cos αcos β＋sin αsin β.
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问题6：根据上面的计算可以得出什么结论？ 提示：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
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[导入新知] 两角差的余弦公式 公式 简记符号 cos αcos β＋sin αsin β cos(α－β)＝ _______________________ C(α－β)
[答案] π 4
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(2)[解]
π 3 ，π，cos(α－β)＝－ ， 由α－β∈ 2 5
4 可知sin(α－β)＝ . 5
3π 3 ，2π，cos(α＋β)＝ ， 又∵α＋β∈ 2 5