高考数学专题8立体几何59垂直的判定与性质文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题8 立体几何 59 垂
直的判定与性质文
如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过
A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F，求证：
(1)AE⊥平面PBC；
(2)平面PAC⊥平面PBC；
(3)PB⊥EF.
2．(2015·南京、盐城第一次联考)
的中点．
AB ，D 1B 分别为E ，O 中，1D 1C 1B 1A －ABCD 如图，在正方体 ；
1B 1BCC 平面∥OE (1)求证： .
DE 1B 平面⊥DC 1B 平面(2)
3．(2015·德阳四校联考)
的中点．
BC 为棱F 的中点，1D 1C 为棱E 中，1D 1C 1B 1A －ABCD 如图，在正方体 ；
1DA ⊥AE 求证：(1) .
DFG 平面⊥AE ，使得直线G 上求一点1AA 在线段(2)
4．(2015·张掖第二次诊断)
AC
为D ，6＝AB ＝1AA 为正三角形，ABC △，且ABC 底面⊥1AA 中，1C 1B 1A －ABC 如图，在三棱柱的中点．
；
D 1BC 平面∥1AB 求证：直线(1) ；
1A 1ACC 平面⊥D 1BC 求证：平面(2) 的体积．
D 1BC －C 求三棱锥(3)
5.
60°.
＝BCD ∠＝CD 1C ∠＝CB 1C ∠且的底面是菱形，1D 1C 1B 1A －ABCD 如图，已知平行六面体
；
BD ⊥C 1C 证明：(1) BD?1C 平面⊥C 1A 的值为多少时，CD CC1
当(2)
答案解析
1．证明 (1)因为AB 是圆O 的直径，所以∠ACB ＝90°，
即AC ⊥BC .
因为PA ⊥圆O 所在平面，
即PA ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，
所以BC ⊥PA .
又因为AC ∩PA ＝A ，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，
所以BC ⊥平面PAC .
因为AE ⊂平面PAC ，所以BC ⊥AE .
又已知AE ⊥PC ，PC ∩BC ＝C ，
PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，
所以AE ⊥平面PBC .
(2)由(1)知AE ⊥平面PBC ，且AE ⊂平面PAC ，
所以平面PAC ⊥平面PBC .
(3)因为AE ⊥平面PBC ，且PB ⊂平面PBC ，
所以AE ⊥PB .
又AF ⊥PB 于F ，
且AF ∩AE ＝A ，AF ⊂平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，
所以PB ⊥平面AEF .
又因为EF ⊂平面AEF ，所以PB ⊥EF .
.
OF ，连结F ＝C 1B ∩1BC ，设1BC 如图，连结(1) ．证明2
的中点，
C 1B 与
D 1B 分别是F ，O 因为 .DC 12
＝OF ，且DC ∥OF 所以 又E 为AB 的中点，
所以EB ∥DC ，
，DC 12
＝EB 且 从而OF ∥EB ，OF ＝EB ，
即四边形OEBF 是平行四边形，
所以OE ∥BF .
，
1B 1BCC 平面⊂BF ，1B 1BCC 平面⊄OE 又 .
1B 1BCC 平面∥OE 所以 ，
1B 1BCC 平面⊂1BC ，1B 1BCC 平面⊥DC 因为(2) .
DC ⊥1BC 所以 ，
C ＝C 1B ∩DC ，C 1B ⊥1BC 又 ，
DC 1B 平面⊂1BC ，DC 1B 平面⊂DC .
DC 1B 平面⊥1BC 所以 ，
DC 1B 平面⊥OE ，所以OE ∥1BC 而 ，
DE 1B 平面⊂OE 又 .
DE 1B 平面⊥DC 1B 所以平面 3．(1)证明
，由正方体的性质可知，
1AD ，1BC 如图所示，连结 .
AB ⊥1DA ，1AD ⊥1DA ，
1D 1ABC 平面⊂1AD ，1D 1ABC 平面⊂AB ，A ＝1AD ∩AB 又 ，
1D 1ABC 平面⊥1DA ∴ ，
1D 1ABC 平面⊂AE 又 .
AE ⊥1DA ∴ (2)解
点．
1A 点即为G 如图所示， ，
EH ，AH ，连结H 的中点CD ，取F 1A ，连结1DA ⊥AE 可知(1)证明如下：由 因为DF ⊥AH ，DF ⊥EH ，AH ∩EH ＝H ，AH ⊂平面AHE ，EH ⊂平面AHE ，
所以DF ⊥平面AHE ，∵AE ⊂平面AHE ，∴DF ⊥AE .
，
1DFA 平面⊂D 1A ，1DFA 平面⊂DF ，D ＝D 1A ∩DF 又
.
DFG 平面⊥AE ，即1DFA 平面⊥AE ∴ ，如图，
OD ，连结O 于点1BC 交C 1B 连结 证明(1)．4
的中点．
C 1B 为O 则点 ∵
D 为AC 的中点，
.
OD ∥1AB ∴ ，
D 1BC 平面⊄1AB ，D 1BC 平面⊂OD ∵ .
D 1BC 平面∥1AB 直线∴ ，
ABC 底面⊂BD ，ABC 底面⊥1AA ∵ 证明(2) .
BD ⊥1AA ∴ ∵△ABC 是正三角形，D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC . ，
1A 1ACC 平面⊂AC ，A 1ACC 平面⊂1AA ，A ＝AC ∩1AA ∵ .
1A 1ACC 平面⊥BD ∴ .
1A 1ACC 平面⊥D 1BC 平面∴，D 1BC 平面⊂BD ∵ (3)解 由(2)知，在△ABC 中，BD ⊥AC ，
，
33＝sin 60°BC ＝BD ，932＝3×3×312＝BCD △S ∴ .39＝×6932
×13＝BCD －1C 三棱锥V ＝D 1BC －C 三棱锥V ∴ 5．(1)证明
，
O 1C ，连结O 交于点BD 和AC ，AC 、1C 1A 如图，连结 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BC ＝CD .
是公共边，
C 1C ，1DCC ∠＝1BCC ∵∠又 .
D 1C ＝B 1C ∴，DC 1C ≌△BC 1C ∴△ ，
O ＝O 1C ∩AC ，BD ⊥AC ，又BD ⊥O 1C ∴，OB ＝DO ∵ ，
1ACC 平面⊂O 1C ，1ACC 平面⊂AC .
BD ⊥C 1C ∴，1ACC 平面⊂C 1C ，又1ACC 平面⊥BD ∴ ，
1ACC 平面⊂C 1A ∵，1ACC 平面⊥BD 知(1)由 解(2) 时，1＝CD CC1
，当C 1A ⊥BD ∴ 平行六面体的六个面是全等的菱形，
，
C 1A ⊥1BC 同理可证 ，
BD 1C 平面⊂1BC ，BD 1C 平面⊂BD ，B ＝1BC ∩BD ∵又 .
BD 1C 平面⊥C 1A ∴ .BD 1C 平面⊥C 1A 时，1＝CD CC1
故当。