13.4 课题学习 最短路径问题
数学人教版八年级上第十三章134 课题学习 最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】课本P85页问题1练习、如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址【例2】P86页问题2【课堂检测】课本P93页、15题。
课题研究：最短的路径问题
2、阅读教科书P85内容，想一想问题1是如何 解决的？应用的有关知识点是 如何证明你的结论是正确的。
3、认真阅读问题2的解决过程，归纳解题步骤： 试一试证明结论。
归纳：
1、过点A作AA1垂直于河岸，且使AA1=MN； （河宽）
2、连接A1B交靠近点B的河岸与点N1；
3、过点N1作河岸的垂线角另一条河岸与点M1， 则M1N1为建桥位置。
13.4 课题研究 最短的路径问题
课标要求：
1、进一步理解轴对称变换，并能用轴对称变换解决 实际问题中的路径最短问题。
2、体会将实际问题转化为数学问题的方法，发展应用 数学的意识。
复习准备 1、两点之间的距离：----------------------------。 2、三角形的三边关系：-------------------------。 3、线段垂直平分线的性质：--------------------。
能力提升1、
学习目标：
1、能运用“两点之间，线段最短”“连接直线外 一点与直线上个点的所有线段中，垂线段最短” 探索最短路径问题。
2、能运用“三角形两边之和大于第三边”说明关 于最短路径的选址问题的道理，会运用轴对称 性质解决实际问题中最短路径的选址问题。
问题引领： 1、点A和点B分别在直线L异侧的两点，在L上 找到一个点C使AC+CB最小。如 A .
总体归纳：
1、求直线异侧的两点到直线上的一点距离的和 最短的方法：----------------------
2、求直线同侧的两点到直线上的一点距离的和 最短的方法：----------------------
3、利平移解决最短路径的选址问题。
实际应用 教材 p93 15. 同步解析 P441、2、
课题学习最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题一、教课方案理念最短路径问题在现实生活中常常碰到，初中阶段主要以“两点之间线段最短”、“连结直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。
本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马”“造桥选址”为载体睁开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实质问题转变为数学识题，利用轴对称、平移等变化再把数学识题转变为线段和最小问题，并运用“两点之间线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）解决问题，表现了数学化的过程和转变思想。
最短路径问题从实质上说是最值问题，作为初中生，此前极少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对拥有实质背景的最值问题，更会感觉陌生，无从下手．解答“当点 A、B 在直线 l 的同侧时，如安在直线 l 上找到点 C，使 AC 与 CB的和最小”，需要将其转变为“在直线 l 异侧两点的线段和最小值问题”，为何需要这样转变、如何经过轴对称、平移变化实现转变，一些学生在理解和操作上存在困难．在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点 (与所求作的点不重合 )，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到．因此在讲堂上特别对这几个问题进行了针对性的设计。
二、教课对象剖析八年级的学生已经学习研究过一些“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等问题。
向来以来，学生对多媒体环境下的几何研究都十分感兴趣，有较强的好奇心，在学习上有较强的求知欲念，学习投入程度大。
他们察看、操作、猜想能力较强，但演绎推理、概括、运用数学意识的思想比较单薄，思想的广阔性、矫捷性、灵巧性比较短缺，自主研究和合作学习能力也需要在讲堂教课中进一步增强和指引。
学生在数学识题的提出和解决上有必定的方法，但不够深入和全面，需要教师的指引和帮助，学生自己拥有必定的研究精神和合作意识，能在亲自的经历体验中获得必定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，几何演绎推理能力有待增强。
13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
人教版八年级上册13.4课题学习(最短路径问题)
的位置
解：AB＝AC ，△ABC为等腰三角形，
A
AD平分∠CAB，故点D是BC边的中点，即 点B与点C关于直线AD对称.∵点M在AD上， 故BM=CM.即MB+MN的最小值可转化为求
N
●
●M
MC+MN的最小值，故连接CN即可，线段
CN的长即为MB+MN的最小值.
B
D
C
3 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为
●A
●
M′
课堂小结
原理：线段公理和垂线段最短
最
短 路
牧马人 饮马问
轴对称知识+线段公理
径题
问 造桥 题 选址 平移知识+线段公理
问题
课外作业： 第93页 第15题
和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如
何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
A
点B“移”到l 的另一侧B′
处，满足直线l 上的任意一
l
点C，都保持CB 与CB′的长
度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
练一练：
1 如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别 是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则 AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为 __6_0°_____
2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上
的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M
2020年八年级数学上册第十三章13.4 课题学习 最短路径问题
16
2
详细答案 点击题序
3
详细答案 点击题序
1．如图，∠AOB＝30°，点 M、N 分别是射线 OA、 OB 上的动点，OP 在∠AOB 内，且 OP＝6，则△ PMN 周长的最小值为 6 .
2．尺规作图(保留作图痕迹)：如图，已知直线 l 及 其两侧两点 A、B.
(1)在直线 l 上求一点 Q，使到 A、B 两点距离之和 最短；
(2)在直线 l 上求一点 P，使 PA＝PB. 解：(1)如图，连接 AB 与直线 l 的交点 Q 即为所求． (2)作线段 AB 的垂直平分线 MN，直线 MN 与直线 l 的 交点 P 即为所求．
3．(1)如图①，在直线 AB 一侧有 C、D 两点，在 AB 上找一点 P，使 C、D、P 三点组成的三角形的周长 最短； 解：如图所示．
(1)若要使自来水厂到A，B两村的 距离相等，则应选择在哪建厂(要 求：尺规作图，保留作图痕迹， 不必写文字说明)?
分析：(1)欲求到A、B两村的距离相等的厂址，即 作出线段AB的垂直平分线与EF的交点即可； 解：(1)如图，点M即为所求．
(2)若要使自来水厂到A，B两村的距离之和最短， 应建在什么地方？ 分析：(2)作出A点关于直线EF的对称点A′，再连 接A′B，找到A′B与EF的交点即可． (2)如图，点N即为所求．
(2)如图②，在∠AOB 内部有一点 P，在 OA、OB 上 分别存在点 E、F，使得 E、F、P 三点组成的三角 形的周长最短，请找出 E、F 两点． 解：如图所示．
知识要点 最短路径问题
定义
关于“两点的所有连线中， 线段 最短
”“连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中， 垂线段最短”等的问题，
2024年人教版八年级上册数学第13章第4节课题学习 最短路径问题
使MN ⊥ m， 且AM 交直线n 于点N，过点N作NM ⊥
＋MN＋NB 最小
m 于点M，连接AM
感悟新知
特别解读 解决连接河两边两地的最短路
径问题时，可以通过平移桥的方法 转化为求直线异侧两点到直线上一 点所连线段的和最小的问题.
知2－讲
感悟新知
知2－练
例4 如图13.4-5，从A 地到B 地要经过一条小河(河的两岸 平行)，现要在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸)，应 如何选择桥的位置才能使
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂小结
设计最短路径 设计最短路径
两点在直 线异侧
两点在直 线同侧
利用轴对称转换
解：如图13 .4 -2，作点B 关于l 的对称点B1，连接 AB1交l 于点M，连接BM， 此时AM＋BM 最短，则点 M 即为所求的分支点.
感悟新知
知1－练
1-1.如图，在正方形网格中有M，N 两点，在直线l 上求一 点P 使PM＋PN 最短，则点P应选在( C ) A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点
四边形P M N Q周 长的最
小值为 P′Q′＋ PQ 的值
小
线的交点即为点M，N
感悟新知
知1－讲
特别解读 1.直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题是根据“两点之间，线段最短”来设计的. 2.直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题依据两点：一是对称轴上任何一点到一组对称 点的距离相等；二是将同侧的两点转化为异侧的 两点，依据异侧两点的方法找点.
感悟新知
知1－练
例1 [情境题 生活应用]某供电部门准备在输电主干线l 上连 接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B 两个居民小区送电．
13.4课题学习-最短路径问题
B A C
L
B
/
证明:
在L 上任取另一点C ',连结AC ' 、BC'、B'C'. ∵ 直线 L 是点Ｂ、Ｂ'的对称轴，点Ｃ、Ｃ' 在对称轴上， ∴CB=CB',C'B=C'B'. B ∴AC+CB=AC+CB'=AB'
A
Ｃ'
在△AC'B'中， AC'+C'B'>AB', ∴AC'+C'B>AC+CB, 即AC+CB 最小.
13.4课题学习 最短路径问题
提出问题
八年级(1)班同学做游戏，在活动区 域边放了一些球(如下图)，小华按怎 样的路线跑，去捡哪个位置的球，才 能最快拿到球跑到目的地A?
A
B小华 l
探究一
如图，直线L两侧有两点A、B。 在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两 点的距离之和最小？
C 两点之间，线段最短。
A/
。
A C B小明 l
巩固新知
练 习 一
A
龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出发到达直 线a上任意一点后，再回到直线a同侧的终点B， 最先达到终点者胜。下面是小猫、小猪、小猴、 小熊为他们设计的路线，其中路程最短的是（）
B A a B A B A a B
C
C
a
C
a
C
小猫
小猪
A‘
小猴
小熊
练 习 二
巩固新知
A/
。
l2 N M A
B/
。
B小华
l1
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习 最短路径问题
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章第四节“课题学习最短路径问题”主要是让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图的性质和算法求解最短路径问题的方法。
通过本节课的学习，学生能够将所学的图的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，如顶点、边、连通性等。
同时，学生也学习了一定的算法知识，如排序、查找等。
因此，学生在学习本节课时，能够将已有的知识和经验与最短路径问题相结合，通过自主探究和合作交流，理解并掌握最短路径问题的求解方法。
三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义，能运用图的性质和算法求解最短路径问题。
2.提高学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3.增强学生合作交流的意识，提高学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法及其应用。
2.教学难点：理解并掌握最短路径问题的求解算法，能够灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.算法教学法：以算法为主线，引导学生了解和掌握最短路径问题的求解方法。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，提高团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题的案例，如城市间的道路网络、网络通信等。
2.准备算法教学的PPT，以便在课堂上进行讲解和演示。
3.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实际问题案例，如城市间的道路网络，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
提问：如何找到两点之间的最短路径？引发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解最短路径问题的求解方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。
通过PPT演示算法的具体步骤和过程，让学生清晰地了解算法的原理和应用。
2019秋人教版八年级数学上册课件：13.4课题学习最短路径问题(共36张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
答案 D 如图,作点A关于BC的对称点A',关于CD的对称点A″,
连接A‘A″,与BC、CD的交点分别为M、N,此时△AMN的周长最小. ∵∠BAD=110°,∴∠A'+∠A″=180°-110°=70°, 由轴对称的性质得∠A'=∠A'AM,∠A″=∠A″AN, ∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″)=2×70°=140°. 故选D.
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
动到点A',则AA'=MN,AM+NB=A'的什么位置时,A'N+NB最小?
图13-4-4 如图13-4-5,在连接A',B两点的线中,线段A'B最短.因此,线段A'B与直线b 的交点N的位置即为所求,即在点N处造桥MN,所得路径A→M→N→B是 最短的.
图13-4-1 分析 将题意用数学语言叙述如下:如图13-4-1所示,已知直线a和a同侧 的两点A,B.求作:点C,使点C在直线a上,并且AC+CB最小.此题实际上是 求最短路径问题,需要比较路径的长短,与之有关的内容是:两点之间,线 段最短.
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
解析 如图13-4-2(1)所示,作点A关于直线a的对称点A',连接A'B交直线a 于点C,则点C即为水泵站的位置. 理由如下:如图13-4-2(2)所示,在直线a上任取一点C'(异于点C),连接BC', A'C',AC'. ∵A与A‘关于直线a对称,∴AC=A'C,AC'=A'C'. ∴AC+CB=A'C+CB=A'B<A'C'+BC'=AC'+BC'.
13.4 课题学习 最短路径问题
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
l
满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B
则点C 即为所求．
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的 和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如 何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而 作出最短路径的选择.
课堂小结
原理 线段公理和垂线段最短
最 短 牧马人饮 路 径 马问题 问题
解题方法 轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
13.4课题学习++最短路径问题-讲练课件-2023-2024学年+人教版+八年级数学上册
(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
(2)涂黑部分成轴对称图形．如图2是一种涂法，请在图4－6中分别设计
出另外三种涂法．(在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一
种涂法，如图2与图3)
解：如图所示．(答案不唯一，合理即可)
数学活动
活动3 等腰三角形中相等的线段
例3 综合探究探索等腰三角形中相等的线段．
3．如图，点A，点B为直线MN外两点，且在MN异侧，点A，B到直
线MN的距离不相等，试求一点P，同时满足下面两个条件：
①点P在MN上；②PA＋PB最小．
解：如图所示，点P即为所求．
4．如图，铁路l的同侧有A，B两个工厂，要在路边建一个货物站C，
使A，B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出
数学（RJ）版八年级上册
第十三章 轴对称
课题学习
最短路径问题
新课学习
单动点问题—— 两点在直线异侧
例1 如图，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小．
解：如图，连接AB，AB与l的交点即为所求点P.
1.如图，高速公路l的两侧有M，N两个城镇，要在高速公路上建一个出
口P，使M，N两城镇到出口P的距离之和最短，请你找出点P的位置．
你找的点C．
解：如图所示，点C即为所求．
5．(2022·珠海市期末)在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标
为(4，2)，点B的坐标为(1，－3)，在y轴上有一点P使PA＋PB的值最小，
则点P的坐标为(
D
)
A．(2，0)
B．(－2，0)
C．(0，2)
D．(0，－2)
第5题图
6．如图，直线l1与l2交于点O，P为其平面内一定点，OP＝3，M，N
13.4--课题学习--最短路径问题
知识点 2 运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题
问题1 牧人饮马问题 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，
名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一 个百思不得其解的问题：
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马， 然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
B
A
l
C
B
两点之间，线段最短.
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B A
l
C
B′
1. 最短路径问题的类型： (1)两点一线型的线段和最小值问题； (2)两线一点型线段和最小值问题； (3)两点两线型的线段和最小值问题； (4)造桥选址问题．
2. 解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知 识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或 “垂线段最短”来求线段和的最小值．
B A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
分析：
B B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
联想：
如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？
人教版八年级上册数学13.4 课题学习《最短路径问题》教案
教学设计13.4最短路径问题永顺县溪州中学彭善玉一、教学设计思路：本节课是人民教育出版社出版九年制义务教育数学课本八年级数学《最短路径问题》，教材为我们提供了最短路径的概念和探索方法以及相应练习题。
这节课与实际生活息息相关，在内容上，它将两点之间线段最短，轴对称的性质紧密结合起来。
通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会数学建模的思想，学会从复杂题目中找到原始的基本的数学模型。
本节课借鉴了美国教育家杜威的“在做中学”的理论和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”的思想，采用了我校“六步四维一体”的教学模式，启发式、探究式教学方法，整个探究学习的过程充满了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生是学习的主体。
利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想证明，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。
利用课件、微课、几何画板辅助教学，适时呈现问题情景，以丰富学生的感性与理性认识，增强直观效果，提高课堂效率。
二、教学目标1、知识与技能：（1）理解并掌握平面内位于直线同侧两个点，如何在直线上找到一个点，使得两点到直线上这点距离之和最小问题。
（2）能利用轴对称解决实际问题中的最短路径问题。
（3）通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。
2、过程与方法：（1）通过自主画图，小组讨论，共同比较等教学活动，探索与轴对称有关的最短路径问题，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力。
（2）通过几何画板把抽象问题具体化，直观地观察、分析把折线问题转化直线问题，体会转化思想在几何中的运用，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
在解决问题的过程中渗透“化归”的思想,（3）能够倾听其他同学的发言，并能把自己的想法与其他同学交流，体会合作学习的过程与方法，感受合作的愉快。
13.4课题学习_最短路径问题
归纳小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
布置作业
教科书复习题13第15题．
B
C
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从 马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定 这一天的最短路线。
如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边 饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的 最短路线。
F
作法：1.作点A关于直线
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且 BN=EM, MN=CD, B BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： M C AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, N D E 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识，找到上问中符合条 l 件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
人教版初中数学八上第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题
图1
图2
解：（1）如图，作点B关于直线l的对称点C，连接AC，交直线l于点P，连接BP，
点P即为所求． （2）如图，连接AB并延长，交直线l于点P，点P即为所求．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分
线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ长的最小值是（ B ）
知识点二 运用“两点之间，线段最短”解决最短路径问题 2．某平原有一条笔直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站 向这两个村庄供水．某同学用直线（虚线）l表示小河，P，Q两点表示村庄，线 段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是 （C）
3．如图，在直线l的同侧有两点A，B． （1）在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短； （2）在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．
A．4．8
B．9．6
C．10
D．12
第4题图
5．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝最小时，∠EAF的度数为（ D ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
第5题图
6．（教材P93习题T15变式）某中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直排 （图中的OA，OB），OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的 学生小明先到OA桌面上拿橘子，再到OB桌面上拿糖果，然后回到D处座位上， 请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短． 解：如图． 作法：（1）分别作点C关于OA的对称点C'，点D关于OB的对称点D'； （2）连接C'D'，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ． 则小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
综合题
9．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，
∠MOP＝∠NOQ. (1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使 点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点 B，使点B到点M和点N的距离和最小；
图略，点A，B即为所求．
画法：①作点M关于射线OP的对称点M′；
②连接M′N交OP于点A；
AA′，使AA′的长等于河的宽度；
②连接A′B交b于点D； ③过点D作DE∥AA′交a于点C； ④连接AC.则CD即为桥的位置．图略．
中档题
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点
是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小
，请找点M的位置． 连接NC与AD的交点为M点．点M即为所求 ．图略．
定一点Q，使QA与QB的长度之和最小． 作B关于CD的对称点B′，连接AB′，交 格线CD于Q，此时QA＋QB＝QA＋QB′ ＝AB′，根据两点之间线段最短，得此 时QA＋QB最小．
4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b
彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥 址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ ①过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取
③作点N关于射线OQ的对称点N′； ④连接N′M交OQ于点B.
(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系． AM＋AN＝BM＋BN.
点，点E、F分别是OA、OB上的动点． (1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的 位置． 图略，作点P关于OA的对称点C，关于 OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB 于F.此时，△PEF的周长最小． (2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则 30° ． ∠AOB＝________
6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P. (1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得
△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不
能，请说明理由； ①作出点P关于AC、BC的对称点D、G. ②连接DG交AC、BC于点M、N.点M、 N即为所求．
(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度 数． 设PD交AC于E，PG交BC于F， ∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∵∠DAB＝120°， ∴∠HAA′＝60°.∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°. ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋ ∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋
∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°.
∴∠PEC＝∠PFC＝90°.
∴∠C＋∠EPF＝180°.
∵∠C＝52°，∴∠EPF＝128°. ∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180°， ∴∠D＋∠G＝52°. 由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM， ∴∠GPN＋∠DPM＝52°.
∴∠MPN＝128°－52°＝76°.
7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定
1Байду номын сангаас.4 课题学习 最短路径问题
基础题
知识点 最短路径问题
1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别
是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则 AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为 60° ． ________
2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.
(1)在图1的直线上找一点P使PA＋PB最短；
(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长． (1)作点B关于直线l的对称点C，连 接AC交直线l于点P，连接BP.点P即
为所求．图略．
(2)连接AB并延长，交直线l于点P. 图略．
3．如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、
C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线CD上确
8．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝ 120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，
N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于 M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周
长最小值．作DA延长线AH.