运筹学最短路问题

运筹学05_图与网络分析2-最短路

v4
v7
－1
42
终点
lij
P(t)1j
起 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 t=1 t=2 t=3 t=4 点
v1 0 -1 -2 3 0 0 0 0
v2 6 0 2 -1 -5 -5 -5
v3 -3 0 -5 1 -2 -2 -2 -2
v4 8 0 2 3 -7 -7 -7
60
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 2 2 0 5 5 1 4 0 6 v5 2 3 0 v6 2 2 0
61
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 2 2 05 5 1 4 0 6 3 23 0 v6 2 2 0
54
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 v3 2 0 5 1 1 4 0 4 v5 2 3 0 v6 2 2 0
55
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 v3 2 0 5 1 1 4 0 4+2 v5 2 3 0 v6 2 2 0
0
2
7
1
5 3 5 55 7
1
3
3
1
4
6
7
5
12
③从已标号的点出发，找与这
(1,2)
2
些相邻点最小权数（距离）者，找到之后：标号；边变红。
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
1
3
3
1
34 5 6
7
13
④重复上述步骤，直至全部的
(1,2)
点都标完。
2
2
0
2

运筹学——.图与网络分析-最短路

可选择的最短路为
(v5 , v6 ), (v5 , v7 ).
min{ k24, k34, k56, k57} min{9,10,13,14} 9
① 给(v2 , v4 )
划成粗
线②。给v4 标号（9）。
③ 划第5个弧。
v2 (4) 5 v4(9) 9 v6 (13)
4 4
v1 (0)
1
75
v2 (4)
5
v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
①
64
1
②
v3(6)
7 v5 6
v7
③
3）接着往下考察，有三条路可走：(v1, v3 ), (v2, v4 ), (v2 , v5 ).
可选择的最短路为
min{ k13, k24, k25} min{l13, l12 d24,l12 d25} min{ 6,4 5,4 4} 6
第6章图与网络分析
本章内容重点
图的基本概念与基本定理树和最小支撑树最短路问题网络最大流
引
言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已经广泛地应用于物理学控制论，信息论，工程技术，交通运输，经济管理，电子计算机等各项领域。对于科学研究，市场和社会生活中的许多问题，可以同图论的理论和方法来加以解决。例如，各种通信线路的架设，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等问题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地加以解决。
若已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的残值与维修费，如表2所示.
项目购买费机器役龄维修费残值
第1年 11 0-1 5 4

运筹学课件最短路、最大流、邮路

第i年价格 ai 使用寿命费用 bi 1 11 0－1 b1 5 2 11 1－2 b2 6 3 12 2－3 b3 8 4 12 3－4 b4 11 5 13 4－5 b5 18
最短路径问题的应用

例设备更新问题
把求总费用最小问题化为最短路径问题。用点 i (i=1,2,3,4,5)表示第 i 年买进一台新设备。增设一点 6 表示第五年末。从i点到i+1,……, 6 各画一条弧，弧（i , j）表示在第 i 年买进的设备一直使用到第 j 年年初（第 j －1年年末）。求1点到6点的最短路径。路径的权数为购买和维修费用。弧（i , j）的权数为第i年的购置费ai＋从第i年使用至第j-1年末的维修费之和。从第i年使用至第j-1年末的维修费：b1+…+bj-i
1 1 2 3 4 5 2 16 3 22 16
（使用寿命为j-i年）具体权数计算结果如下：
5 41 30 23 17 6 59 41 31 23 18
如：（2－4）权数为：a2+b1+b2=11＋5＋6=22
4 30 22 17
通过一个网络的最短路径

例设备更新问题：
2 16 30 22 41 4 23

最大流问题
两个重要结论： 1、任何一个可行流的流量都不会超过任一截集的容量。 2、若对于一个可行流f *，网络中有一个截集（ V1*，V1*），使v（ f *）=C(V1*，V1 *)，则f *必是最大流，而（ V1*， V1 *）必是所有截集中容量最小的一个，即最小截集。
定理：可行流f *是最大流，当且仅当不存在关于f *的增广链。于是有如下结论：最大流量最小截量定理：任一个网络中，从vs 到vt的最大流量等于分离vs，vt的最小截集的容量。

管理运筹学第7章最短路实例

管理运筹学
8
§4 最大流问题
• 最大流问题：给一个带收发点的网络，其每条弧的赋权称之为容量，在不超过每条弧的容量的前提下，求出从发点到收点的最大流量。一、最大流的数学模型例6 某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从采地运送到一些销售点，这个网络的一部分如下图所示。由于管道的直径的变化，它的各段管道（vi,vj）的流量cij（容量）也是不一样的。cij的单位为万加仑/小时。如果使用这个网络系统从采地 v1向销地 v7运送石油，问每小时能运送多少加仑石油？
2 0 0
2 0 2 1
3 v6 4
3 01
2
v7
3 5
3 1 v4
第五次迭代：选择路为v1 v2 v3 v5 v7 。弧（ v2 , v3 ）的顺流容量为2，决定了pf=2，改进的网络流量图如下图：
1 v2 0 5 2 3 0 0 2 3 v5 2 0 0 0
管理运筹学
15
20
v1 1
3
(a)
图11-12
管理运
(b)
筹学
(c)
5
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法算法的步骤：
1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。
2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。
3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即为最小生成树，否则返回第1步。
§2 最短路问题
例设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初，公司就要决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置新设备，就要支付一定的购置费，当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设备，可以省去购置费，但维修费用就高了。请设计一个五年之内的更新设备的计划，使得五年内购置费用和维修费用总的支付费用最小。已知：设备每年年初的价格表

10.3_最短路问题

B）Dijkstra算法和Ford算法都适用于任意边的情况 C）Dijkstra算法仅适用于所有边的权非负的情况，Ford算
法适用于所有边的权为任意实数的情况 D）Dijkstra算法适用于所有边的权为任意实数的情况，
Ford算法适用于所有边的权非负情况
29
OR:SM
试试看——选择题
• 2、以下说法中错误的是（）。
4
8
1
v4
vt
1
7
3
6
1
2
v6
7
OR:SM
vs
方式之一：单标号算法
第一步：
T(vs)=∞
v1
2
3
P(vs)=0 vs
9
10
4 7
T(vs)=∞
v2 1
4
3
v3
2
T(vs)=∞
T(vs)=∞
v5
8 1
v4 T(vs)=∞
7
vt T(vs)=∞
6
1
v6
T(vs)=∞
8
OR:SM
方式之一：单标号算法
第二步：
第4年 19 3-4 18
第5年 24 4-5 27
[解]设以vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年初购进一台新设备”这种状态，以v6表示“第5年末”这种状态；以弧(vi, vj)表示 “第i年初购置的一台设备一直使用到第j年初”这一方案，以
wij表示这一方案所需购置费和维护费之和。于是，该问题就可归结为从图中找出一条从v1到v6的最短路问题。其网络模型如下：
本章小结
图论是应用十分广泛的运筹学分支，它已广泛应用在物理、化学、控制论、信息论、科学管理、电子计算机等各个领域。

运筹学论文最短路问题

运筹学论文——旅游路线最短问题摘要：随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚，越来越多的人喜欢旅游。

而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题随之出现，如何决策成为一道难题。

然而，如果运用运筹学方法来解决这一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。

本文以旅游路线最短问题为列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。

关键词：最短路 0-1规划约束条件提出问题:从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。

各城市之间的航线距离如下表：问题分析：1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则没有用。

这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。

2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个城市是不连接的。

这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着去旅游的则为1，否则为0。

就如同下图3．因为每个城市只去一次，所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。

LINGO解法：为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为重庆是起点，将其标为1）重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明1 2 3 4 5 6假设：设变量x11。

如果x11=1,则表示城市i与城市j直接相连（即先后紧接到达关系），否则若x11=0，则表示城市i与城市j不相连。

特别说明：xij和xji是同一变量，都表示表示城市i与城市j是否有相连的关系。

这里取其中xij (i<j)的变量。

模型建立：由于这是一个最短路线的问题，且变量已经设好。

运筹学课件(第十讲)—最短路问题

如果P是D中从vs到vj的最短路，vi是P中的一点，那么从vs沿P到vi路也是从vs到vi的最短路。
Dijkstra法的适用条件
求出一点到图中任意点最短路
求解思路
从vs出发，逐步地向外探索最短路。执行过程中，与每个点记下一个数，它或者表示从vs到该点的最短路的权（称为P(perpetual)标号），或者是从vs到该点的最短路的权的上界（称为T(temporary)标号），方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个T标号点改为P标号点，从而使D中P标号顶点多一个，这样最多经过p-1步就可以求出从vs到各点的最短路。
（2）起点发出的流的总和(称为流量)，必须等于终点接收的流的总和；
（3）各中间点流入的流量之和必须等于从该点流出的流量之和，即流入的流量之和与流出的流量之和的差为0，也就是说各中间点只起转运作用，它既不产出新的物资，也不得截留过境的物资．
Operation Research
网络最大流的基本概念（3）
第八讲
Operation Research
网络最大流的基本概念（6）
增广链的基本概念
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例：寻找图中增广链
第八讲
Operation Research
第八讲
网络最大流的基本概念（7）
运筹学课程
Operation Research
最短路问题
定义
第八讲
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其他各点之间最短距离的Dijkstra(狄克斯屈拉)算法；另一种是求网络图上任意两点之间最短距离的矩阵算法.

运筹学-14最短路

9
[1,v1]
[9,v5] [12,v5] [10,v5]
v1 v3 v2 v5 v8 12
v1 v9Leabharlann • 有向图的最短路问题我会了，可是无
向图的最短路问题怎样求？
最短路问题
• 一个旅行者从城市V1出发到V10，各城市之间的距离如图所示，问如何确定旅行路线，才能使
总旅程最短？
2. X,X ’= 3. v9标号[]
求从v 1到各点的最短路(3)
v1 v3 v2
5
v1 v3
3
[5,v3]
[6,v2]
[]
v1 v4
1
v1 v3 v2 v5
6
v1 v3 v2 v5 v6
v1 v3 v2 v5 v7
[0,0]
[3,v1]
10
一旦找到v的最短路就把顶点v割是一个弧集每一条弧计算kijij最小到不了该点标号法dijkstrs算法到各点的最短路11v标号00002minxxminvmin06321105到各点的最短路200min6463661101091211min6466110941012111310vmin66941213到各点的最短路300有向图的最短路问题我会了可是无向图的最短路问题怎样求
(1, V1)
标号法
(10, V4)
[0，0]
(9,V7) (5, V8)
(8, V6)
(3,V1)
(11, V8)
V3：(10,V4) X=V1,V2,V8,V6,V7,V4,V3, X’=V5,V9,V10
(X,X’)={(V8,V9)(V7,V9)(V7,V10)(V3,V10)(V4,V5)(V7,V5)(V3,V5)}

运筹学-最短路问题

v1
V1 0 V2 2 V3 5 D = V4 − V5 − V6 − V7 −
பைடு நூலகம்
v2
2 0 2 4 6 − −
v3
5 2 0 1 − 3 −
v4
− 4 1 0 4 1 4
v5
− 6 − 4 0 − 1
v6
− − 3 1 − 0 2
v7
− − − 4 1 2 0
二、最短路算法：最短路算法：
1． D氏标号法（Dijkstra）氏标号法（Dijkstra）（1）求解思路求解思路——从始点出发，逐步顺序从始点出发，从始点出发逐步顺序地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最短的。短的。（2）使用条件使用条件——网络中所有的弧权均网络中所有的弧权网络中所有的弧权均非负，非负，即 wij ≥ 0 。
（4）计算步骤及例：
第三步：若网络图中已无T标号点标号点，第三步：若网络图中已无标号点，停止计算。否则令计算。否则,令二步。二步。此时，要注意将第二步中的此时，
T ( v j0 ) =
min {T ( v )}
v j ∈s j
,
然后将标号改成P 然后将 v j0 的T 标号改成标号，转入第
步骤考察点 T标号点集标号点集 v1 0
标 v2
标号）号（表P标号）标号 v3 v4 v5 v6 v7
1 2 3 4 5 6
v1 v2 v3 v4 v6 v5
{v2，…，v7} ， {v3，…，v7} ， {v4，…，v7} ， {v5，v6，v7} {v5，v7} {v7}
2
5 2+2 4

运筹学及其应用10.2 最短路问题

3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 ∞,1
11,4
∞,1
v8
18
v2 5,3 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 9,5
10,5
12,5
v8
19
v2 5,3 1
9
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
∞,1
∞,1
v9
3
∞,1
v8
10
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
∞,1
∞,1
v9
3
∞,1
v8
11
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2

运筹学 PPT课件第五章图与网络分析-最短路

Dijkstra最短路算法的特点和适应范围
一种隐阶段的动态规划方法每次迭代只有一个节点获得永久标记，若有两个或两个以上节点的临时标记同时最小，可任选一个永久标记；总是从一个新的永久标记开始新一轮的临时标记，是一种深探法被框住的永久标记 Tj 表示 vs 到 vj 的最短路，因此要求 dij0，第 k 次迭代得到的永久标记，其最短路中最多有 k 条边，因此最多有
d
(0) 65
}
min{0 ,2 9,6 3, , 0, 1}
9 取自第3列
v1 v2 v3 v4 v5 v6
0 2 6
2
0
3
8
9
D(0) L 6 3 0 5 3
8
5
0
3
9 3 0 1
3
1
0
d (1) 16
mkin{d1(k0)
d
} (0)
k6
（第1行+第6列）
8
5
0
3
9 3 0 1
3
1
0
d (1) 15
mkin{d1(k0)
d
(0) k5
}
（第1行+第5列）
min{d1(10)
d (0) 15
,
d (0) 12
d (0) 25
,
d (0) 13
d (0) 35
,
d (0) 14
d
(0) 45
,
d (0) 15
d (0) 55
,
d (0) 16
min{d1(10)
d (0) 16
,
d (0) 12
d
(0) 26
,
d (0) 13

第3节最短路问题运筹学胡运权__清华大学出版社

0000
v2 6 0
2
-1 -5 -5 -5
v3
-3 0 -5
1
-2 -2 -2 -2
v4 8
0
2
3 -7 -7 -7
v5
-1
0
1 -3 -3
v6
1017
-1 -1 -1
v7
-1
0
5 -5 -5
v8
-3
-5 0
66
最短路算法—Warshall-Flod方法
v2
-1
-5
6
2
-1 -3
0 v1
-2
v3
2 [3, v1]
3
v3 6
12
v4
10
[1, v1]
[6, v2]
v5 2 v9
6 4 10 3
3
v8
v6 2
[10, v5]
4
v7
[9, v5]
[5, v3]
[6, v2]
[0, v1]
v1
16 v22 [3 v1]3v3 6
12
v5 2 v9
6 4 10 3
3 [12, v5]
v8
4
v4
10
v[34,v2/
v4]
5
[8,v5]
v6 5
[0,v1] 3
13
1
7
v4
5
[3,v1]
v5[7,v3]
[13,v6]
v7
[课堂练习] 无向图情形
答案（2）：
v2 [2,v1]
v1
2
2
5
7
v[34,v2/
v4]
5
[8,v5]

运筹学-最短路问题[课件参考]

Page 10
1、最短路算法基于以下原理：
一个最优策略的任一子策略也是最优策略.
若P是从vs到vt间的最短路, vi是P中的一个点,则vs到vi的最
短路就是从vs 沿P到vi的那条路。 v2
v4
v1
v3
v5
v1 →v2 →v3一定是v1 →v3的最短路，
v2 →v3 →v4也一定是v2 →v4的最短路。
2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
T (v j ) min[T (v j ) , P(vi ) wi j ]
3.比较与vi相邻的所有具有T标号的节点，把最小者改为P 标号，即： P(vk ) min[T (vi )]
精选课件
Chapter8 图与网络优化
本章主要内容：
§8.1 图的基本概念 §8.2 树 §8.3 最短路问题 §8.4 网络最大流问题 §8.5 最小费用最大流问题 §8.6 中国邮递员问题
精选课件
Page 3
§8.3 最短路问题
The Shortest-Path Problem
精选课件
§8.3 最短路问题
Page 17
解 :(1)首先给v1以P标号，给其余所有点T 标号。
P(v1) 0,T (vi ) (i 2, 3, , 8)，(v1) 0;
(2) T (v2 ) min{T (v2 ), P(v1 ) w12 } min{ , 0 3} 3
T (v4 ) min{T (v4 ), P(v1 ) w14 } min{ , 0 7} 7
精选课件
§8.3 最短路问题

运筹学最短路邮递员问题PPT课件

•
新的T（vj）=min{老的T（vj），p（vi）+ ωij }
• 若T（vj）= p（vi）+ ωij ，则记k（vj ）=vi（前点标记）;
• 3°找出具有最小T标号的点，将其标号改为p标号。若vt 已获得p
标号，则已找到最短路，由k（vt）反向追踪，就可找出vs 到vt 的最
短路径，p（vt）就是vs 到vt 的最短距离。否则，转2°。
p（v2）
=3 3
p（v1） v1
p（v=30）
=4
6
v2
51 1
v4
7 4
v5
v3 3 2
5
v7
26 v6 9 15
v8
T（v4）=min{6,4+1}=5, k（v4 ）=v3
T（v6）=min{7,4+2}=6, k（v6 ）=v3
目前，点v4 具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（v4）=5；
向继续前进，则最先到达终点vt 的流所走过的路径一定是最短的。
为了实现这一想法，对假想流依次到达的点，依次给予p标号，表
示vs到这些点的最短距离。对于假想流尚未到达的点给予T标号，
表示vs到这些点的最短距离的估计值。具体作法如下：
• 1°标p（vs）=0，其余点标T（vi）=+∞;
• 2°由刚刚获得p标号的vi 点出发，改善它的相邻点vj 的T标号,即
对于点v2 ：d（v2）=min｛16+31,22+23,30+18,41｝=41， v对2→于v点6 v；1 ：d（v1）=min｛16+41,22+31,30+23,41+18,59｝
试确定一个五年内的设备更新计划，使五年内总支出最小。

运筹学_08图与网络优化_83最短路问题_

v1标（0，0），给其余的点表（1，+∞）.这时v1为获得P标号的
点，其余均为T标号点.
v2
考察与v1相邻的点v2,v3,v4
因
故把v2的临时标号修改为
6
2
v1
3 v3
1
2
这时λ(v2) =1 同理，得
v4
1Leabharlann v52 v96 4
6 10 3
3
v8
2 v7 4 10 v6
在所有的T标号中，T(v4)最小, 于是令P(v4)=1
5.i=4 v5为刚获得P标号的点，考察与v5相邻的点v6,v7,v8 在所有的T标号中，T(v7)=9最小, 于是令P(v7)=9
6.i=5 v7为刚获得P标号的点，考察与v7相邻的点v8
在所有的T标号中，T(v6)=10最小, 于是令P(v6)=10
7.i=6
v6为刚获得P标号的点，从v6出发没有弧指向不属于v6的点在所有的T标号中，T(v8)=12最小, 于是令P(v8)=12
2.i=1 v4为刚获得P标号的点，考察与v4相邻的点v6
在所有的T标号中，T(v3)=3最小, 于是令P(v3)=3 3.i=2 v3为刚获得P标号的点，考察与v3相邻的点v2
，
在所有的T标号中，T(v2)=5最小, 于是令P(v2)=5
4.i=3 v2为刚获得P标号的点，考察与v2相邻的点v5 在所有的T标号中，T(v5)=6最小, 于是令P(v5)=6
• 这样，对于有p个顶点的图，至多经过p-1步，就可求出从始点vs 到各点vj 及终点的
最短路。
适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
具体算法步骤：
0.开始时，令：S0=｛vs｝，P(vs)=0，λ(vs)=0，

第6讲最短路问题

中国邮路问题或中国邮递员问题 (CPP－Chinese Postman Problem)
1962年中国数学家管梅谷提出：一个邮递员从邮局出发递送邮件，要求对他所负责的辖区的每条街至少走一次，问如何选取路程最短的路线？国际上称之为中国邮递员问题。
旅行商问题
(TSP－Traveling Salesman Problem)
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路．
，
固定起点的最短路
Dijkstra (迪杰斯特拉) 算法: 求G中从顶点u0到其余顶点的最短路. （1）设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均非负．（2）对每个顶点v，定义两个标记（l(v), z(v)）: l(v): 表示从顶点u0到v的一条路的权． z(v): v的父亲点，用以确定最短路的路线. （3）S表示具有永久标号的顶点集. （4）算法的输入是G的带权邻接矩阵 w(u,v) .
d (v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
几个基本定理
1、对图G V，E，有 dv 2 E . vV
2、度为奇数的顶点有偶数个。
3、设G V，E是有向图，
则 d v d v E .
vV
vV
定义设图 G=(V, E, ), G1=(V1, E1, 1 ) (1) 若 V1 V，E1 E, 且当 e E1 时，1 (e)= (e), 则称 G1 是 G 的子图．
u1
u6
3
6 9 12
u2
u5
u4
u5
u2
u5
u1
u4
u6
u8
u3
u7
每对顶点之间的最短路（算法原理）
把带权邻接矩阵 W 作为距离矩阵的初值，即 D(0)=(di(j0) ) =W

运筹学最短路问题及程序

运筹学最短路问题----------关于旅游路线最短及程序摘要：随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚，越来越多的人喜欢旅游。