江苏省常州市教育学会学业水平监测2012届高三数学试卷

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江苏省常州一中2012届高三上学期期中考试数学(理)试卷

2011-2012学年度第一学期高三数学试卷（理科）2011．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1．已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3．命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4．设定义在区间()π0, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ . 6．已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7．若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ .8．如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n=+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n=++-，6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}m a x ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．（第11题图）16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n nf x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值；（2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b Bc 的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[]a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．1l2l D A BC 1l 2lD A B C（图甲）（图乙）（1）已知1()f x x=是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．附加题部分 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B ,， AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，MPA BOC D（第21—A 题）求证：O C P D 、、、四点共圆．B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π，求以OP 为直径的圆的极坐标方程．D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>，若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．2012届高三年级期中考试PAB CD 1A 1B1C 1D（第22题图）数学Ⅰ（选修物理） 2011．11参考答案及评分建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1．已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3．命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4．设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则t a n α的值为 ▲ .5．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ . 6．已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7．若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ .8．如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ （在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、中选填一种）10．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+,当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n=+，322111S n n n =++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n=++-，6542515S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )k a k a ,处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是▲ .【填空题答案】1.{}1 9，； 2. ； 3. 0 sin x x x ∀>>，； 4. ； 5. (01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 1；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡⎣ ； 14. 1 .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,()BC x y =, , ………………………2分因为//AD BC ，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分（2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++，，(2 3)BD BC CD x y =+=--，， ………………6分因为AC BD ⊥，所以(6)(2)x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =，，(0 4)BD =-，，则1=162A B C D S A C B D =四边形 (12)分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162ABCD S AC BD =四边形 …………………14分所以，四边形ABCD 的面积为16．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N , 的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值；（2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>，化简得()sin ωπ+=， ………………………………………………………………………2分因为0ω>，所以()min ωπ3π+=44，即min ωπ=，所以，T 的最大值为8．…………………………………………………………………………6分（2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+ ()22222s i n c o s 2s i nc o sx x x x ωωωω=+-()212s i n c o sx x ωω=-211s i n 22xω=-()11c o s 4122x ω-=-13cos 4x ω=+(0)ω>， (10)分因为244T ωπ==，所以8ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos 424x f x π==+，所以3(1)4f =．……………………………………………………14分17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b Bc 的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．【解】（1）由222b ac bc =-+得2221cos b c a A +-==，在△ABC 中，A π=3， ……………………………………………………………………………3分由2b ac =得sin sin b B a Bcc =，由正弦定理得sin sin a B Ac =，所以，s i n b B =； ………………………………………………………………………………7分（2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分由222b ac a c bc ==-+知不失一般性，可设1c =，则221b a a b ==+-，消去a 得241b b b =+-，即32(1)(1)0b b b -++=，所以1b =，1a =，即证．…………………………………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-，………………………………………2分解得tan α=，……………………………………………………………………………………4分所以，养殖区的面积()()22231sin6091sin6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=； ………………1l2l D A BC 1l 2lD A B C（图甲）（图乙）6分（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈，，则AB 与2l所成夹角为()180θα-+，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+，……………………………………8分解得sin tan 2cos θαθ=+，……………………………………………………………………………10分所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=，………………12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． ………………………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D⊆，（其中a b <），使得当[]x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[]a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．（1）已知1()f x x=是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为()f x 是[)0 +∞，上的正函数，且()f x 在[)0 +∞，上单调递增，所以当[] x a b ∈，时，()() f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即 a b =，， …………………………………………………3分解得0 1a b ==，，故函数()f x 的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分（2）因为函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的减函数，所以当[] x a b ∈，时，()() g a b g b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22a mb b m a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，， (7)分两式相减得22a b b a-=-，即()1b a =-+， ……………………………………………………9分代入2a m b +=得210a a m +++=，由a b <<，且()1b a =-+得112a -<<-， ……………………………………………………11分故关于a 的方程210a a m +++=在区间()11 2--，内有实数解，………………………………13分记()21h a a a m =+++，则()()10 10 2h h ->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()31 4m ∈--，． ……………………………………………………………16分20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）．因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==．而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若an=0，则1=0n a -，…，a1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．故数列{an}是首项为1，公比为12的等比数列． (4)分【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k=1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数），当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1()*n ∈N ，故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+． (9)分(iii) 若k=2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d=2a ，考虑到a1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{an}能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列． ……………………………………16分数学Ⅱ（选修物理）附加题部分参考答案及评分细则21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B ,， AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、、、四点共圆．【证明】因为PA ，PB 为圆O 的两条切线，所以OP 垂直平分弦AB ，在Rt OAP ∆中，2OM MP AM ⋅=， …………………………4分在圆O 中，AM BM CM DM ⋅=⋅，所以，OM MP CM DM ⋅=⋅， …………………………MPA BOC D（第21—A 题）8分又弦CD 不过圆心O ，所以O C P D , , , 四点共圆． (10)分B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．【解】由题意得01110000002011mn m n ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, , …………………………6分化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩, , ,, 所以12m n =⎧⎨=⎩, .…………………………10分 C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π，求以OP 为直径的圆的极坐标方程．【解】设点()Q ρθ, 为以OP 为直径的圆上任意一点，在Rt OQP ∆中，()4ρθπ=-，故所求圆的极坐标方程为()4ρθπ=-． …………………………10分 D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【证明】由2123a ab b --++=得()2113ab a b --=+-， (3)分又正实数a ，b满足1a b -+≥PABCD 1A 1B 1C1D （第22题图）（第22题图）y即1ab -≤()214a b -+，（当且仅当a b =时取“=”） (6)分所以()213a b -+-≤()214a b -+，即证1a b -+≤2． …………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>，若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．【解】如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD ,, 分别为x y z , , 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()000D , , ，()110B , , ，()110A λ, , ，设()01P x , , ，其中[]0x λ∈, ， …………………………3分因为1A P ⊥平面PBD ，所以10A P BP ⋅=，即()()11100x x λ--⋅-=, , , , ， …………………………6分化简得210x x λ-+=，[]0x λ∈, ， …………………………8分故判别式24λ∆=-≥0，且0λ>，解得λ≥2． …………………………10分23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=，所以，22222nn n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个相乘； …………………………4分（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠，所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-，设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤,, ，不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）；同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， …………………………6分又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，所以，11222C 22C 22C n n nn n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ …………………………8分11222(2+C 2C 2C )22n n n n nn n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯2(12)22n n =+-⨯2(32)n n =-． …………………………10分。

江苏省常州中学2012届高三最后冲刺综合练习试卷数学(文)(4)

江苏省常州市常州中学2011-2012高三数学（文）最后冲刺综合练习试卷（四）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在题中横线上. 1．若集合{|lg 1}S x N x =∈≤，2{|10}P x x =≤则集合S P = .2．复数i1+2i(i 是虚数单位)的实部是． 3．已知命题：2:,210P x R ax ax ∃∈++≤，若命题P 是假命题，则实数a 的取值范围是．4．已知向量a 和向量b 的夹角为0150，||2,||3a b ==，则|5|a b -= ． 5．若x 是不等式|1|3x +<的解，则x 是负数的概率为．6．已知函数2()1(0)f x ax ax a =+->有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则a 的取值范围是．7．设等差数列的前n 项和为n S ，若369,36S S ==，则8a = ． 8．,αβ是两个不重合的平面，下列条件可判定//αβ的有．（1）,αβ都平行于直线,l m ；（2）α内有三个不共线的点到β的距离相等；（3）,l m 是α内的两条直线，且//,//l m ββ；（4）,l m 是两条异面直线，且//,//,//,//l m l m ααββ． 9．在如右的程序框图中，输出S 的值为． 10．设,x y 均为正实数，且80xy x y ---=，则xy 的最小值为．11．两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,a b <则椭圆22221x y a b+=的离心率为．12．若不等式2(22)33xa a x-->的解集为{|0}x x <，则实数a 的取值范围是．13．若5[,]123x ππ∈--，则2tan()tan()36y x x ππ=+-+的最大值为． 14．定义在R 上的函数()f x ，对任意的x 都有(4)()4f x f x +≤+和(3)()3f x f x +≥+，且(1)2,(0)1f f ==，则(2009)f = ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知3πsin(π)cos(2π)tan()2()tan(π)sin(π)f αααααα---+=⋅----，（1）化简()f α；（2）若α为第三象限角，且3π1cos()25α-=，求()f α的值；（3）若313πα=-，求()f α的值．16．（本小题满分14分）如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为a 的菱形，且060ABC ∠=，侧棱长为2a ，若经过1AB 且与1BC 平行的平面交上底面线段11AC 于点E ．（1）试求AE 的长；（2）求证：1AC ⊥平面1AB E ？17．（本小题满分16分）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l经过点P ，且与x 轴交于点(2,0)F ．（1）求直线l 的方程；（2）如果一个椭圆经过点P ，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；（3）若在（1）（2）的情况下，设直线l 与椭圆的另一个交点Q ，且PM PQ λ= ,当||OM 最小时，求λ对应值．18．（本小题满分146分）定义区间(),m n ，[],m n ，(],m n ，[),m n 的长度均为n m -，其中n m >．（1）若关于x 的不等式221230ax x -->，求实数a 的值；（2）已知207{|1},{|30}1340x A x B x tx t x tx tx ⎧>⎪=>=+>⎨++-<⎪⎩，若A B 构成的各区间长度和为6，求实数t 的取值范围．19.随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人（140＜2a ＜420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每．裁．员．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的43，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 20．（本小题满分16分）如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起开始，每一项的平方与它前一项的平方的差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．（1）若数列{}n b 是等方差数列，121,3b b ==，求7b ；（2）是否存在一个非常数数列的等差数列或等比数列，同时也是等方差数列？若存在，求出这个数列；若不存在，说明理由．（3）若正项数列{}n a 是首项为2、公方差为4的等方差数列，数列1{}na 的前n 项和为n T ，是否存在正整数,p q ，使不等式1n T >对一切*n N ∈都成立？若存在，求出,p q 的值；若不存在，说明理由．参考答案：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在题中横线上.1、 {1,2,3}2、25 3、01a ≤< 45、236、11(,)627、15 8、（4） 9、126 10、16 11、35 12、(,1)(3,)a ∈-∞-+∞ 1314、2010 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、解：（1）cos sin cos sin sin ()()cos sin cos f ααααααααα⋅⋅=⋅-=-；-------------4分（2）α为第三象限角，且31cos()25πα-=，1sin ,5α∴=-----------------6分cos 5α∴=-，()5f α∴=； ---------------9分（3）313πα=-311()cos()32f πα∴=--=-----------------------14分 16、解：（1）2AE =，即点E 为线段11AC 的中点．理由如下：连接1A B 交1AB 于点O ，连接OE ，则有1//OE BC ，又OE ⊆平面1AB D ，1BC 平面1AB D ，1//BC ∴平面1AB D --------6分（2）由题意有111A B C ∆为边长为a 的正三角形，又点E 为线段11AC 的中点，111B E AC ∴⊥又平面111A B C ⊥平面11ACC A ，且平面111A B C 平面1111ACC A A C =，1B E ∴⊥平面11ACC A ，11B E AC ∴⊥．------10分在平面11ACC A 中由平几知识可得1AC AE ⊥，又1B E AE E =，所以1AC ⊥平面1AB E ． ------------------------14分 17、解：（1）直线l的方程是2)y x ----4分（2）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，∵(2,0)F ），∴2c =，即224a b -=--①-----5分∵点P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，∴22921a b +=-- ②------7分由①②解得2212,8a b ==．所以所求椭圆的标准方程为221128x y +=-------9分（3）由方程组Q ． -10分.(3,PQ =--．∵(3)PM PQ λλ==-，∴ (33)OM OP PM λ=+=-，∴||(3OM ==---------14分 ∴当59λ=时，||OM 最小．-------------------------------------16分 18、解：（1）0a =时不合题意； --------1分0a ≠时，方程221230ax x --=的两根设为1x 、2x ，则126x x a +=，1232x x a=-，3分又()22121212236664x x x x x x a a=-=+-=+，得2a =-或3a =（舍），所以2a =-.6分（2）先解不等式711x >+，整理得601x x -+>+，即()()160x x +-<，所以不等式711x >+的解集()1,6A =- ，--------------------------------------------8分又()0,B ⊆+∞，()0,6A B ⊆，-------------10分，不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组230340tx t tx tx +>⎧⎨+-<⎩，当()0,6x ∈时，恒成立．当()0,6x ∈时，不等式30tx t +>恒成立，得0t >；-----------------12分当()0,6x ∈时，不等式2340tx tx +-<恒成立，即243t x x<+恒成立，而()0,6x ∈时，243x x +的取值范围为2,27⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以实数227t ≤ ；--------15分综上所述，t 的取值范围为20,27⎛⎤⎥⎝⎦-------------16分 19.解答：设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则ab x a x bbx bx b x a y 2])70(2[1004.0)01.0)(2(2+---=-+-= …………5分依题意 .21070,4202140.202432<<<<≤<∴⋅≥-a a ax a x a 又 ……7分（1）当y a x a aa ,70,14070,2700-=≤<≤-<时即取到最大值；……………10分（2）当y ax a a a ,2,210140,270=<<>-时即取到最大值；……………………13分答：当 70a 140,<?公司应裁员为a 70,-经济效益取到最大值当140a 210,<<公司应裁员为a,2经济效益取到最大值………………………15分 20、解：（1）由{}n b 是等方差数列，121,3b b ==，有公方差22318d =-=， ------1分于是271(71)849,b =+-⨯=77b ∴=±------------------------------3分（2）若数列{}n a 是等差数列，设(,)n a an b a b R =+∈，则22222n a a n abn b =++，要使{}n a 也是等方差数列，应有221n n a a k --=（k 为与n 无关的常数），得20a =，即0a =，这时n a b =必为一常数数列，因此不存在一个非常数数列的等差数列，同时也是等方差数列．-----5分若数列{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=（q 为公比且0q ≠），则22221n n a a q -=，要使{}n a 也是等方差数列，应有221n n a a k --=（k 为与n 无关的常数），即2222242242111(1)n n n a q a q a q q k ----=-=，所以必有21,1q q ==±，----------7分当1q =时，数列{}n a 是常数数列，故舍去当1q =-时，所以存在一个非常数数列的等比数列，同时也是等方差数列，其公比1q =-．--9分（3）由于{}n a 是首项为2，公方差为4的等方差数列，所以221(1)44(1)4,n a a n d n n =+-=+-=n a ∴=， ------10分所以数列1{}n a 的前n 项和为：1...2n T =+---11分假设存在正整数,p q 使不等式1...)12+-对一切*n N ∈都成立．...1)+>当1n =时，911),4p q >∴+<，又,p q 为正整数，1p q ∴==． --13分...1)+>对一切*n N ∈都成立．*)n N =>=∈...1)...1)>+++=。

江苏省常州市武进区教育学会2012-2013学年高三数学上学期期中试卷理(含解析)新人教A版

2012-2013学年江苏省常州市武进区教育学会高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则C U A= {1，3，6，7} ．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：直接利用补集的定义，求出A的补集即可．解答：解：因为全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则C U A={1，3，5，7}．故答案为：{1，3，5，7}．点评：本题考查集合的基本运算，补集的定义的应用，考查计算能力．2．（5分）已知向量，则向量与的夹角为30°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由平面向量模的公式和数量积计算公式，算出||=||=1且•=，再用向量的夹角公式即可算出向量与的夹角．解答：解：∵，∴||=||=1，且•=cos35°cos65°+sin35°sin65°=cos（﹣30°）=cos30°=设与的夹角为θ，可得cosθ==∵0°≤θ≤180°，∴θ=30°故答案为：30°点本题给出向量含有三角函数的坐标形式，求它们的夹角大小，着重考查了数量积表评：示两个向量的夹角的知识，属于基础题．3．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a10= 32 ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列{a n}的首项，结合等比数列的通项公式和a4a10=16列式求出首项，然后代回等比数列的通项公式可求a10．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1（a1≠0），又公比为2，由a4a10=16，得：，所以，，解得：．所以，．故答案为32．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了学生的运算能力，注意的是等比数列中所有项不会为0，此题是基础题．4．（5分）不等式的解集是{x|x≥3或x=﹣1} ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：先要看根号有意义的条件，求得x的范围，同时看x﹣2≥0求得x的范围或x﹣2＜0且=0，最后分别取交集．解答：解：不等式等价于或解得x≥3或x=﹣1 故答案为：{x|x≥3或x=﹣1}点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法．解题的时候要特别留意如根号，对数，分母等隐含的不等式关系．5．（5分）函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π）单调增区间是（π，2π）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：先求导，进而利用导数与函数的单调性的关系即可得出．解答：解：∵函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π），∴y′=﹣xsinx，由﹣xsinx＞0，x∈（0，2π），化为sinx＞0，x∈（0，2π），解得π＜x＜2π．故函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π）单调增区间是（π，2π）．故答案为（π，2π）．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性的方法是解题的关键．6．（5分）若实数x满足log2x+cosθ=2，则|x﹣8|+|x+2|= 10 ．考点：对数的运算性质；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据给出的等式，求出x的值，由余弦函数的值域得到x的范围，取绝对值后可得结果．解答：解：由log2x+cosθ=2，得：log2x=2﹣cosθ，所以，x=22﹣cosθ，因为﹣1≤cosθ≤1，所以1≤2﹣cosθ≤3，则2≤22﹣cosθ≤8，所以2≤x≤8．则|x﹣8|+|x+2|=﹣（x﹣8）+（x+2）=8﹣x+x+2=10．故答案为10．点评：本题考查了对数的运算性质，考查了余弦函数的值域，训练了取绝对值的方法，是基础题．7．（5分）已知向量满足，．若与垂直，则k= 19 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由垂直可得向量的数量积为0，代入已知数值可得关于k的方程，解之即可．解答：解：∵与垂直，∴=0化简可得，代入可得5k+（1﹣3k）••﹣3×13=0化简可得解得k=19故答案为：19点评：本题考查向量的垂直，转化为数量积为0是解决问题的关键，属基础题．8．（5分）已知函数的图象与函数y=kx+2的图象没有交点，则实数k的取值范围是[﹣，0] ．考点：函数的零点；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：利用零点分段法化简函数的解析式，并画出函数的图象，根据直线y=kx+2过定点A （0，2），数形结合可得满足条件的实数k的取值范围解答：解：函数==，直线y=kx+2过定点A（0，2），取B（1，2），k AB=0，取C（1，﹣2），k AB=﹣，根据图象可知要使函数的图象与函数y=kx+2的图象没有交点，则直线斜率满足：[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．点评：本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，其中画出函数的图象，并利用图象分析出满足条件时参数的范围是解答的关键．9．（5分）等差数列{a n}中，已知a2≤7，a6≥9，则a10的取值范围是[11，+∞）．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式a n=a m+（n﹣m）d，结合题意可求得其公差d≥，从而可求得a10的取值范围．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2≤7，a6≥9，∴﹣a2≥﹣7，设该等差数列的公差为d，则a6=a2+4d≥9，∴4d≥9﹣a2≥2，∴d≥，∴4d≥2，又a6≥9，∴a10=a6+4d≥11．故a10的取值范围是[11，+∞）．故答案为：[11，+∞）．点评：本题考查等差数列的性质，求得其公差d≥是关键，着重考查等差数列的通项公式与不等式的性质，属于中档题．10．（5分）已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足，则函数y=f（x）的表达式为．考点：函数解析式的求解及常用方法；向量的加法及其几何意义．专题：计算题．分析：由三点共线可得f（x）+2f′（1）x﹣lnx=1，求导数并把x=1代入可得f′（1）的值，进而可得解析式．解答：解：∵A、B、C三点共线，且，∴f（x）+2f′（1）x﹣lnx=1，两边求导数可得：f′（x）+2f′（1）﹣=0，把x=1代入可得f′（1）+2f′（1）﹣1=0，解得f′（1）=，故f（x）+x﹣lnx=1，即故答案为：点评：本题考查函数解析式的求解，涉及向量的知识和导数内容，属基础题．11．（5分）已知f（x）=log3（x﹣3），若实数m，n满足f（m）+f（3n）=2，则m+n的最小值为．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知得出m、n关系式和取值范围，再利用基本不等式的性质即可求出．解答：解：∵f（x）=log3（x﹣3），f（m）+f（3n）=2，∴，解得．∴m+n==4++4=，当且仅当，m＞3，n＞1，，解得，，即当，时，取等号．∴m+n的最小值为．故答案为．点评：正确已知得出m、n关系式和取值范围和熟练掌握利用基本不等式的性质是解题的关键．12．（5分）已知函数若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f （x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．考点：特称命题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R 上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可求得结论．解答：解：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调．①当a=0时，f（x）=满足题意其其图象如图所示，满足题意②当a＜0时，函数y=﹣x2+2ax的对称轴x=a＜0，其图象如图所示，满足题意③当a＞0时，函数y=﹣x2+ax的对称轴x=a＞0，其图象如图所示，要使得f（x）在R上不单调则只要二次函数的对称轴x=a＜1，或∴0＜a＜1或a＞2，综合得：a的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．点评：13．（5分）给出以下命题：（1）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的必要不充分条件；（2）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定为锐角三角形；（3）函数与函数y=sinπx，x∈{1}是同一个函数；（4）函数y=f（2x﹣1）的图象可以由函数y=f（2x）的图象按向量平移得到．则其中正确命题的序号是（2）（3）（把所有正确的命题序号都填上）．考点：命题的真假判断与应用．分析：从条件A，结论B，看A能否得到B，再看B能否得到A，来判断充要条件；从否定结论入手能否得出与条件矛盾来判断命题的真假；看两个函数是否为同一函数，要先看定义域是否相同，再看对应法则是否相同；函数图象变化，y=f（x）→y=f（x+φ）平移的向量=（﹣φ，0）．解答：解：①在△ABC中，A＞B，若A≤，∵y═sinx是增函数，∴sinA＞sinB；若A≥，＞π﹣A＞B＞0，∴sinA＞sinB．反过来若sinA＞sinB，在△ABC中，得A＞B，∴sinA＞sinB是A＞B的充要条件，∴①×．对②可用反证法证明：假设△ABC为钝角△，不妨设A＞，tanA＜0，∵A+B+C=π，∴tanA+tanB+tanC=tanA+tan（B+C）（1﹣tanBtanC）=tanA+（﹣tanA）（1﹣tanBtanC）=tanAtanBtanC＜0与题设tanAtanBtanC＞0矛盾．△ABC不是直角△，∴△ABC为锐角△，∴②√．③中y=+定义域是x∈{1}，两函数定义域、对应法则、值域相同．∴为同一函数，③√．对④中函数y=f（2x﹣1）的图象可由y=f（2x）的图象向左平移个单位得到，∴④×．故答案是②③点评：要正确理解充要条件的含义，掌握判断方法．判断命题的真假可用反证法，14．（5分）数列{a n}满足，则{a n}的前40项和为420 ．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用数列递推式，可得数列{a n}是从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于1，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以5为首项，以8为公差的等差数列，由此可得结论．解答：解：∵，∴a2﹣a1=1，a3+a2=2，a4﹣a3=3，a5+a4=4，…，a50﹣a49=49．∴a3+a1=1，a4+a2=5，a7+a5=1，a8+a6=13，a9+a11=1，a12+a10=21，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于1，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以5为首项，以8为公差的等差数列．所以{a n}的前40项和为10×1+10×5+=420故答案为：420．点本题考查数列递推式，考查数列求和，属于中档题．评：二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）．y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，试求的值．由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数的值．考点：三角函数的图像与性质．专题：分（1）根据是函数y=f（x）的图象的对称轴，求得，再根据ϕ的范析：围求出ϕ的值，即可求得函数的解析式．（2）由，求得sin（α﹣）和cos（α﹣）的值，利用两角和的正弦公式求得sinα的值，再利用二倍角公式求得的值．解解：（1）∵是函数y=f（x）的图象的对称轴，答：∴，∴，…（2分）∵﹣π＜ϕ＜0，∴，…（4分）故…（6分）（2）因为，所以，．…（8分）故=．…（11分）故有=．…（14分）点评：本题主要考查利用y=Asin （ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin （ωx+∅）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题． 16．（14分）如图，点P 在△ABC 内，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，记∠B=α．（1）试用α表示AP 的长；（2）求四边形ABCP 的面积的最大值，并写出此时α的值．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：（1）在三角形ABC 中，由AB ，BC 及cosB ，利用余弦定理列出关系式，记作①；在三角形APC 中，由AP ，PC 及cosP ，利用余弦定理列出关系式，记作②，由①②消去AC ，得到关于AP 的方程，整理后可用α表示AP 的长；（2）由三角形的面积公式表示出三角形ABC 及三角形APC 的面积，两三角形面积之差即为四边形ABCP 的面积，整理后将表示出的AP 代入，根据正弦函数的图象与性质即可求出四边形ABCP 的面积的最大值，以及此时α的值．解答：解：（1）△ABC 与△APC 中，AB=CP=2，BC=3，∠B=α，∠P=π﹣α，由余弦定理得，AC 2=22+32﹣2×2×3cosα，①AC 2=AP 2+22﹣2×AP×2cos（π﹣α），②由①②得：AP 2+4APcosα+12cosα﹣9=0，α∈（0，π），解得：AP=3﹣4cosα；（2）∵AP=3﹣4cosα，α∈（0，π），∴S 四边形ABCP =S △ABC ﹣S △APC =×2×3sinα﹣×2×APsin（π﹣α） =3sinα﹣（3﹣4cosα）sinα=4sinα•cosα=2sin2α，α∈（0，π），则当α=时，S max =2．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，以及三角函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 17．（14分）（2013•宁波模拟）已知f （x ）=ax ﹣lnx ，x ∈（0，e]，其中e 是自然常数，a ∈R ．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可得到单调区间，由单调性即可得到极值；（2）f（x）≥3恒成立即a≥+恒成立，问题转化为求函数，x∈（0，e]的最大值，利用导数即可求得；解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）为单调递增．∴当x=1时f（x）取得极小值，f（x）的极小值为f（1）=1，f（x）无极大值；（2）∵f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，∴ax﹣lnx≥3在x∈（0，e]上恒成立，即a≥+在x∈（0，e]上恒成立，令，x∈（0，e]，则，令g′（x）=0，则，当时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，∴，∴a≥e2，即a的取值范围为a≥e2．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数极值及函数恒成立问题，具有一定综合性，恒成立问题往往转化为函数最值解决．18．（16分）各项均为正数的数列{a n}中，前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若恒成立，求k的取值范围；（3）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m，22m）内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m．考数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．点：综合题；等差数列与等比数列．专题：分析：（1）由，知，由此得到，由此能能求出a n．（2）由，，结合题设条件能求出k的取值范围．（3）对任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m，由，能求出数列{b m}的前m项和S m．解解：（1）∵，答：∴，两式相减得，…（2分）整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2，n≥2，∴{a n}是公差为2的等差数列，…（4分）又得a1=1，∴a n=2n﹣1．…（5分）（2）由题意得，∵，∴=…（8分）∴…（10分）（3）对任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m，则，而n∈N*，由题意可知，…（12分）于是=，即．…（16分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列的前m 项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用． 19．（16分）定义在实数集上的函数f （x ）满足下列条件：①f（x ）是偶函数；②对任意非负实数x 、y ，都有f （x+y ）=2f （x ）f （y ）；③当x ＞0时，恒有．（1）求f （0）的值；（2）证明：f （x ）在[0，+∞）上是单调增函数；（3）若f （3）=2，解关于a 的不等式f （a 2﹣2a ﹣9）≤8．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令x=0，y=1，易由f （x+y ）=2f （x ）f （y ）求出f （0）的值；（2）设0≤x 1＜x 2，根据当x ＞0时，恒有及f （x ）是偶函数，结合函数单调性的定义可判断出f （x ）在[0，+∞）上是单调增函数；（3）令x=y=3，则f （6）=8，由（2）中函数的单调性，可将抽象不等式具体为|a 2﹣2a ﹣9|≤6，解绝对值不等式可得答案．解答：解：（1）解：令x=0，y=1，则f （1）=2f （0）•f（1），∵，∴．…（4分）（2）∵当x ＞0时，恒有，又f （x ）是偶函数， ∴当x ＜0时，，又，f （x ）＞0恒成立．…（6分）设0≤x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，，∴f（x 2）=2f （x 1）f （x 2﹣x 1）＞f （x 1），…（9分） ∴f（x ）在[0，+∞）上是单调增函数．…（10分）（3）令x=y=3，则f （6）=2f 2（3）=8，…（12分）∴f（a2﹣2a﹣9）=f（|a2﹣2a﹣9|）≤f（6），由f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，得|a2﹣2a﹣9|≤6，…（14分）即，解得，∴﹣3≤a≤﹣1或3≤a≤5．…16 分点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，熟练掌握抽象函数“凑”的思想是解答的关键，本题难度中档．20．（16分）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，且当时，f（x）取得极小值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求使得方程仅有整数根的所有正实数n的值；（3）设g（x）=|f（x）+（3t﹣1）x|，（x∈[﹣1，1]），求g（x）的最大值F（t）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由f（x）为奇函数，知b=d=0，由及，知a=﹣1，c=1，由此能求出f（x）．（2）由方程，知x2﹣nx+4n=0，由方程仅有整数解，知n为整数，由x2=n（x﹣4）及n＞0知，x﹣4＞0，由此能求出n．（3）由g（x）=|x3﹣3tx|，x∈[﹣1，1]是偶函数，知只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．构造函数h（x）=x3﹣3tx，利用导数性质能求出g（x）的最大值F（t）．解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，∴b=d=0，…（2分）又由及，得a=﹣1，c=1，∴f（x）=﹣x3+x．…（4分）当时，f'（x）＜0，当时f'（x）＞0，∴f（x）在时取得极小值，∴f（x）=﹣x3+x为所求．…（5分）（2）方程，化简得：x2﹣nx+4n=0，因为方程仅有整数解，故n为整数，又由x2=n（x﹣4）及n＞0知，x﹣4＞0．…（7分）又，故x﹣4为16的正约数，…（9分）所以x﹣4=1，2，4，8，16，进而得到n=16，18，25．…（10分）（3）因为g（x）=|x3﹣3tx|，x∈[﹣1，1]是偶函数，所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．记h（x）=x3﹣3tx，∵h'（x）=3x2﹣3t=3（x2﹣t），①t≤0时，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上单调增且h（x）≥h（0）=0．∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1﹣3t．…（12分）②t＞0时，由h'（x）=0得，，和，i．当即t≥1时，h（x）在[0，1]上单调减，∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=﹣h（x），F（t）=﹣h（1）=3t﹣1．…（14分）ii．当即0＜t＜1时，h（x）在单调减，单调增，（Ⅰ）当，即时，，∴，（Ⅱ）当，即时，，∴F（t）=h（1）=1﹣3t，综上可知，．…（16分）点评：本题考查函数的解析式的求法，考查所有正实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．。

江苏省常州中学2012届高三下学期高考模拟考试数学试题(一)

2012江苏数学模拟试卷（一）说明：1．以下题目的答案请全部填写在答卷纸上； 2．本卷总分160分，考试时间120分钟．一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．1．若复数z 满足i z i 31)1(-=+,则复数z 在复平面上的对应点在第象限． 2．左面伪代码的输出结果为．3．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是． 4．若圆C :22()(1)1x h y -+-=在不等式10x y ++≥所表示的平面区域内，则h 的最小值为．5．已知奇函数()f x 是R 上的增函数，且(2)1f =，设集合{}()1P x f x t =-<，{|()1}Q x f x t =+<-,若“P x ∈"是“Q x ∈”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是．6．如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是． 7．若320sin 20tan =+m ，则m 的值为．8．设,a b 为不重合的两条直线,,αβ为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若a ∥α且b ∥α,则a ∥b ； (2）若a α⊥且a β⊥，则α∥β；（第6题图）（3)若α⊥β，则一定存在平面γ,使得,γαγβ⊥⊥；（4）若α⊥β，则一定存在直线l ，使得,//l l αβ⊥．上面命题中,所有真命题．．．的序号是．9．C B A ,,是直线l 上的三点，P 是直线l 外一点,已知a BC AB ==，90APB ∠=,45BPC ∠=．则=⋅PC PA ．10．已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线12222=-by a x 有相同的焦点F ，点A是两曲线的交点,且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为． 11．已知函数2()2,()2f x mx g x x x m =+=++。

若存在整数,a b ,使得()()a f x g x b ≤-≤的解集恰好是[],a b ，则a b -的值为．12．已知0a b c >≥>，且22112444()aac c ab a a b ++-+=-，则a b c ++= ．13．一个数列中的数均为奇数时，称之为“奇数数列”．给定以下法则来构造一个奇数数列{}n a ，对于任意正整数n ,当n 为奇数时，n a n =；当n 为偶数时,2n n a a =．则该数列的前2n项的和为____________________．14．已知正方形ABCD 的中心在原点，四个顶点都在函数3()f x xbx=+图象上．若正方形ABCD唯一确定，则实数b的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）设函数()()2203f x xx ax =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ，其中0,a a R ≠∈．(1)求m n 、的值（用a 表示)；P A BC（2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,3A m n -+．求sin()6πβ+的值．16．(本小题满分14分）如图，设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰AD 、BC 的中点，DE AB ⊥于E ．现将ADE △沿DE 折起，使二面角A DE B --为45，此时点A在平面BCDE 内的射影恰为点B ．（1）证明：MN //平面ABE ；（2）证明：平面ADN ⊥平面ADE ．17． (本小题满分14分）某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R 的圆面．该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4千米,BC = 6千米,CD = 2千米，（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；(2）因地理条件的限制，边界AD 、DC 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．ACDPOMNDM NC DC18．(本小题满分16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，短轴两个端点为B A ,，且四边形B AF F 21是边长为2的正方形．（1)求椭圆的方程;(2)若D C ,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足CD MD ⊥，连接CM，交椭圆于点P ．证明：OM OP ⋅为定值；（3)在（2)的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线MQ DP ,的交点,若存在,求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19． (本小题满分16分）已知直线10x y --=为曲线()logaf x x b=+在点(1(1))f ,处的一条切线．（1）求a ，b 的值；（2）若函数()y f x =的图象1C 与函数()n g x mx x=+（n ＞0）的图象2C 交于11()P x y ,，22()Q x y ,两点，其中1x ＜2x ,过PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点M 、N ，设C 1在点M 处的切线的斜率为1k ，C 2在点N 处的切线的斜率为2k ，求证：1k ＜2k ．20．(本小题满分16分)已知等比数列{}na 的首项12012a=,公比12q =-，数列{}n a 前n 项和记为n S ，前n 项积记为n T ．(1）证明：21n SS S ≤≤；（2）求n 为何值时,nT 取得最大值；（3）证明：若数列{}na 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列;若所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为12,,,n d d d ，则数列{}n d 为等比数列．数学Ⅱ（理科附加题)21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲如图,设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，lDC AOBPP 是⊙O 与直线l 的公共点，AC l ⊥，BD l ⊥，垂足分别为C 、D ，且PC =PD ,求证:BP 平分ABD ∠．B ．选修4—2：矩阵与变换设M ＝1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N ＝10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程．C ．选修4—3：坐标系与参数方程已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=（a 是非零常数)．若两圆的圆心距为错误!，求a 的值．D ．选修4—4：不等式选讲已知x y z 、、均为正数，求证：111()3x y z ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某明星判断正确的概率为p ，判断错误的概率为q ，若判断正确则加1分,判断错误则减1分,现记“该明星答完n 题后总得分为nS "．（1）当21==q p 时，记||3S =ξ，求ξ的分布列及数学期望；w ．w ．w ．zxxk ．c ．o ．m(2）当32,31==q p 时，求)4,3,2,1(028=≥=i S Si 且的概率．23．（1）设函数)10)(1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； (2）设正数np p p p 2321,,,, 满足12321=++++np p p p ，求证：.log log log log 222323222121n p p p p p p p p nn-≥++++2012江苏数学模拟试卷（一）答案8．（2）（3）（4) 9．245a - 10．12+11．2- 12．13．21(42)3n n T =+14．设正方形ABCD 对角线AC 所在的直线方程为(0)y kxk =≠，则对角线BD 所在的直线方程为1y xk=-．由3,,y kx y ax bx =⎧⎨=+⎩解得2k b x a -=，所以222222(1)(1)k bAOx y k x k a-=+=+=+⋅, 同理，22221111[1()]b b k k k BO k a k a--++=+-⋅=-⋅,又因为22AO BO =，所以3210k k b b k-++=． (10)分即2211()0kb k k k +--=，即211()()20k b k k k---+=．令1k t k-= 得220tbt -+=［来源:学+科+网Z +X +X +K ]因为正方形ABCD 唯一确定，则对角线AC 与BD 唯一确定,于是1k k-值唯一确定，所以关于t 的方程220t bt -+=有且只有一个实数根,又1k t k-=∈R ．所以280b∆=-=，即b =± (14)分因为20k bxa-=>，0a >,所以b k <；又 10bk a-->，所以1b k <-，故0b <．因此b =-反过来b =-,t =1k k-=于是k =1k -=；或k =，1k -于是正方形ABCD 唯一确定．……………………………………………………16分15．解（1）由题可得()()211f x x a =--++而03x ≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以，()()11,33m f a n f a ==+==- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分(2）角β终边经过点(),A a a 当0a >时,222r a a a =+，则22sin ,cos 22a aββ====所以，26sin sin cos cos sin 666πππβββ+⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．9分当0a <时，222r a a a =+=-则22sin ,cos 2222a aββ==-==---所以，26sin sin cos cos sin 666πππβββ+⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．13分综上所述 26sin 6πβ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭或26+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分16．(1)在折起后的图中，取AE 中点F ,连结MF 、FB ．由题意，BCDE 为矩形．∵M 为AD 中点，F 为AE 中点，∴//MF DE ,且12MF DE =．又∵N 为BC 中点，//BC DE 且BC DE =，∴//MF BN 且MF BN =．∴四边形BNMF 为平行四边形． ∴//MN BF ．…………………4分又∵MN ⊄平面ABE ，BF ⊂平面ADE , ∴MN //平面ABE ．……………6分（2）在折起后的图中，∵AE DE ⊥，BE DE ⊥，∴DE ⊥平面ABE ,且AEB ∠即为二面角A DE B --的平面角． ∴45AEB ∠=．………………………………9分 ∵AB ⊥平面BCDE ，∴AB BE ⊥．又∵F 为AE 中点，∴在等腰Rt ABE △中，有BF AE ⊥，∵//MN BF ，∴MN AE ⊥．………………………………………11分MNMN CD∵DE ⊥平面ABE ，BF ⊂平面ABE ，∴DE BF ⊥． ∵//MN BF ，∴MN DE ⊥．∵AE DE E =，∴MN ⊥平面ADE ．………………………………13分 ∵MN ⊂平面ADN ，∴平面ADN ⊥平面ADE ．………………………14分17．解:（1)180ABC ADC ∠+∠=︒，由余弦定理得：2222246246cos 42224cos AC ABC ADC =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯∠∴1cos 2ABC ∠=………………………………2分 ∵(0,)ABC π∠∈ ∴60ABC ∠=︒，120ADC ∠=︒S 四边形ABCD =1146sin 6024sin1208322⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=（平方千米）……5分2222cos 28AC AB BC AB BC ABC =+-∠= ∴ 27AC = 由正弦定理得：274212sin 332AC R B===（千米） 2213R =（千米）………………………………8分（2） S 四边形APCD =ADC APCS S ∆∆+,又1sin120232ADCSAD CD ∆=︒=…………9分设AP = x ,CP = y ，则13sin 6024APCS xy xy ∆=︒=…………………10分由余弦定理得：2220222cos6028ACx y xy x y xy =+-=+-=222x y xy xy xy xy +-≥-=∴ 28xy ≤，当且仅当x = y 时取“＝”………………………………12分∴S 四边形APCD =332332893≤=平方千米)∴ 作AC 的垂直平分线与圆弧ABC 的交点即为点P ,最大面积为93平方千米 ……14分 18．解：(1）222,,2cb ac b a +===，22=∴b，∴椭圆方程为12422=+y x ．…4分（2）)0,2(),0,2(D C -，设),(),,2(110y x P yM ,则),2(),,(011y OM y x OP ==→→．直线CM ：042y y y x -=-，即00214y x yy +=，……………………………5分代入椭圆4222=+y x得042121)81(2020220=-+++y x y x y ．……………………………………………6分8)8(2,8)8(4)2(2020120201+--=∴+-=-y y x y y x ，882001+=∴y y y ． )88,8)8(2(2002020++--=∴→y y y y OP ， (8)分48324888)8(4202020202020=++=+++--=⋅∴→→y y y y y y OM OP （定值）． …………………………………………………………10分（3)设存在)0,(m Q 满足条件，则DP MQ ⊥．),2(0y m MQ --=→，)88,84(2002020++-=→y yy y DP , (13)分则由0=⋅→→DP MQ 得088)2(8420202020=+--+-y y m y y ，从而得0=m ． ∴存在)0,0(Q 满足条件．…………………………………………………………16分19．解：（1）直线10x y --=的斜率为1，且过(10),点，又1()ln f x x a'=,∴11ln log 10a ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,∴,e 0a b ==,; …………………5分（2）PQ 的中点为1212()ln 22x x y y f x x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,,， …………………6分∴1212122(ln )x x x k x x x +='==+， (7)分121222212222x x x x x x n n n k mx m m x x x x +=+='⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭， ……………8分由210x x >>，∴212122x x x x +⎛⎫> ⎪⎝⎭，则212n k m x x >-，则212122112()()()n x x x x k m x x x x -->--2121()n nmx mx x x =+-+21y y =-21ln ln x x =-21lnx x =，又21212112121212()()1x x x x x x k x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭-==++, ……………………………11分法一：令2(1)()ln 1t r t t t-=-+，21x t x =＞1,则22214(1)()(1)(1)t r t t t t t -'=-=++，因为t ＞1时，()r t '＞0，所以()r t 在[1)+∞,上单调递增，故()r t ＞(1)0r =，则2k ＞1k ． ……………………………16分法二：令()(1)ln 2(1)r t t t t =+--,21x t x=＞1，1()ln 1r t t t'=+-则，因为221111ln t t t t t t '-⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，所以t ＞1时，1ln t t '⎛⎫+ ⎪⎝⎭＞０，故1ln t t+在[1)+∞,上单调递增，从而1ln 1t t+-＞０，即()0r t '>，于是)(t r 在[1)+∞,上单调递增，故()r t ＞(1)0r =即(1)ln t t +＞2(1)t -，ln t ＞2(1)1t t -+,则2k ＞1k ．……16分20．（1）证：12111111[1()]112[1()]1321()2n n n a S S S a S ----=+=-----≤，当n = 1时，等号成立………………2分23222121[1()]112[1()]1621()2n n n a S S S a S ----=+=+----≥,当n = 2时，等号成立 ∴S 2≤S n ≤S 1． ………………4分（2）解：1121112||||2011||||||2n n n n nnn T a a a a a Ta a a +++===∵111020112011122<<,∴当n ≤10时，|T n + 1｜〉 |T n ｜，当n ≥11时，|T n + 1| < ｜T n | 故|T n ｜ max= ｜T 11｜ ………………7分又T 10 < 0，，T 11 〈 0，T 9 〉 0,T 12 > 0,∴T n 的最大值是T 9和T 12中的较大者∵1031210111291[2011()]12T a a a T ==->，∴T 12 〉 T 9 因此当n = 12时，T n 最大． ………………10分（3）证：∵112011()2n na -=-,∴| a n |随n 增大而减小,a n 奇数项均正，偶数项均负①当k 是奇数时，设{a n }中的任意相邻三项按从小到大排列为12k k ka a a ++，，，则1111111()()222k k k k ka a a a a -++=-+-=，1121122()22k k ka a a ++=-=， ∴122k kk a a a +++=，因此12k k ka a a ++，，成等差数列,公差112111311[()()]222k kk k k k a d a a a ++++=-=---=………………12分 ②当k 是偶数时，设｛a n }中的任意相邻三项按从小到大排列为21kk k a a a ++，，，则1111111()()222k k k k ka a a a a -++=-+-=-，1121122()22k k ka a a ++=-=-， ∴122k kk a a a +++=，因此21kk k a a a ++，，成等差数列，公差111211311[()()]222k k k k k k a d a a a +-++=-=---=………………14分综上可知，{}na 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列，且1132kk a d += ∵112n nd d +=，∴数列{d n ｝为等比数列． ………………16分21．B ．MN=11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………………4分设(),x y 是曲线x y sin =上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(),x y ''．则10202x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1,22,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩即2,1,2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ (8)分代入x y sin =得:1sin 22y x ''=，即2sin 2y x ''=．即曲线xy sin =在矩阵MN 变换下的曲线方程为x y 2sin 2=．………………10分C ．解：由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ．所以⊙O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．即（x －1）2＋y 2＝1．（3分) 由 ρ＝2asinθ,得ρ2＝2aρsinθ．所以⊙O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2ay ，即 x 2＋(y －a )2＝a 2．（6分）⊙O 1与⊙O 2的圆心之间的距离为错误!＝错误!，解得a ＝±2．(10分) 22．（1）||3S =ξ 的取值为1,3，又21==q p ；故43)21()21(2)1(213=⋅==C P ξ，41)21()21()3(33=+==ξP ．所以 ξ的分布列为：—--—-----—-—---———-—3分且ξE =1×43+3×41=23； ————--—-—————-——----5分(2)当S 8=2时,即答完8题后，回答正确的题数为5题,回答错误的题数是3题，又已知)4,3,2,1(0=≥i S i，若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题和第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题．ξ13P4341此时的概率为33536587123088080()()()()33218733P CC ⨯=+⋅⋅==或． —-——---——--———---—-—10分23．解:（Ⅰ）对函数)(x f 求导数：])1(log )1[()log ()(22'--+'='x x x x x f.2ln 12ln 1)1(log log 22-+--=x x ).1(log log 22x x --=于是.0)21(='f当)(,0)1(log log)(,2122x f x x x f x <--='<时在区间)21,0(是减函数，当)(,0)1(log log )(,2122x f x x x f x >--='>时在区间)1,21(是增函数．所以21)(=x x f 在时取得最小值,1)21(-=f ，（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，由（Ⅰ)知命题成立．(ii ）假定当k n =时命题成立，即若正数1,,,221221=+++kkp p p p p p 满足, 则.log log log 222222121k p p p p p p kk-≥+++当1+=k n 时，若正数,1,,,11221221=+++++k k p p p p p p 满足令.,,,,222211221xp q x pq x p q p p px k k k ===+++= 则kq q q 221,,, 为正数，且.1221=+++k qq q由归纳假定知121222222log log log .kk q q p q qq k +++≥-kk k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++,log )()log 22x x k x x +-≥+ ①同理,由x p p pk k k -=++++++1122212 可得1122212212log log ++++++k k k k p p p p).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥②综合①、②两式11222222121log log log+++++k k p p p p p p).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x即当1+=k n 时命题也成立．根据（i ）、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立．证法二：令函数那么常数)),,0(,0)((log )(log )(22c x c x c x c x x x g ∈>--+=],log )1(log )1(log [)(222c cxc x c x c x c x g +--+=利用（Ⅰ）知，当.)(,)2(21取得最小值函数时即x g c x c x ==对任意都有,0,021>>x x2log 22log log 21221222121x x x x x x x x ++⋅≥+]1)()[log (21221-++=x x x x ． ①下面用数学归纳法证明结论．（i ）当n =1时，由（I ）知命题成立．（ii ）设当n =k 时命题成立，即若正数有满足,1,,,221221=+++k kp p p pp p11111122212212222121221221222222121log log log log .1,,,,1.log log log ++++++++++==++++=-≥+++--k k k k k k k k p p p p p p p p H p p p p pp k n k p p p p p p 令满足时当由①得到,1)()(],1)()[log (]1)()[log (11111121221212221221221=++++-++++-++≥++++++---k k k k k k p p p p p p p p p p p p H 因为由归纳法假设得到,)(log )()(log )(1111212221221221k p p p p p p p p k k k k -≥++++++++++--).1()(1121221+-=++++--≥+++k p p p p k H k k 即当1+=k n 时命题也成立．所以对一切正整数n 命题成立．。

江苏省常州市教育学会2012届高三数学上学期学业水平监测试题苏教版

常州市教育学会学业水平监测高三数学试题2012年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{102}{2}a A B =-=，，，，若B A ⊆，则实数a 的值为． 2．若152i 4z z z ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z = ． 3．已知双曲线2221(0)9x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为3π，则b 的值为．4．用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人．若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为人．5．用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是．6．函数()cos()cos()26f x x x ππ=+⋅+的最小正周期为．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，M为线段AB 的中点，若30MOA ∠=，则该椭圆的离心率的值为．8．已知等比数列{}n a 的各均为正数，且212437234a a a a a +==，，则数列{}n a 的通项公式为．9．设m ∈R ，已知函数22()2(12)32f x x mx m x m =--+-+-，若曲线()y f x =在0x =处的切线恒过定点P ，则点P 的坐标为． 10．对于函数()()y f x x =∈R ，给出下列命题：（1）在同一直角坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称；（2）若(1)(1)f x f x -=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称；（3）若(1)(1)f x f x +=-，则函数()y f x =是周期函数；（4）若(1)(1)f x f x -=--，则函数()y f x =的图象关于点（0，0）对称．其中所有正确命题的序号是．11．设函数()y f x =在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数()()()()k f x f x k f x k f x k ⎧=⎨⎩≤，，，，>若函数3()log ||f x x =，则当13k =时，函数()k f x 的单调减区间为． 12．已知△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2AC BC AB BC AC BC AC++⋅的最大值为． 13．已知函数()2()x f x x =∈R ，且()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数．若不等式2()(2)0a g x h x ⋅+≥对任意[12]x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围是．14．已知a b c ，，均为正实数，记11max a M b bc c ac a b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭，，，则M 的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知m 、x ∈R ，向量()((1))x m m x x =-=+，，，a b ．（1）当0m >时，若||||<a b ，求x 的取值范围；（2）若1m ->a b 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 16．（本小题满分14分）如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 是菱形，160A AC ∠=，E 、F 分别是11A C 、AB 的中点．求证：（1）EF ∥平面11BB C C ；（2）平面CEF ⊥平面ABC ． 17．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2843()n n n S a a n *=++∈N ，且127a a a ，，依次是等比数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）是否存在常数0a >且1a ≠，使得数列{log }()n a n a b n *-∈N 是常数列？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221x y +=与x 轴正半轴的交点为F ，AB 为该圆的一条弦，直线AB 的方程为x m =．记以AB 为直径的圆为⊙C ，记以点F 为右焦点、短半轴长为b （0b b >，为常数）的椭圆为D ．（1）求⊙C 和椭圆D 的标准方程；（2）当1b =时，求证：椭圆D 上任意一点都不在⊙C 的内部；（3）已知点M 是椭圆D 的长轴上异于顶点的任意一点，过点M 且与x 轴不垂直的直线交椭圆D 于P 、Q 两点（点P 在x 轴上方），点P 关于x 轴的对称点为N ，设直线QN 交x 轴于点L ，试判断OM OL 是否为定值？并证明你的结论．A119．（本小题满分16分）如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD 是边长为2a 的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O 为正方形的中心，G 为AD 的中点，点P 在直线OG 上，弧AD 是以P 为圆心、PA 为半径的圆的一部分，OG 的延长线交弧AD 于点H ．设弧AD 的长为l ，3()44APH θθππ∠=∈，，．（1）求l 关于θ的函数关系式；（2）定义比值OPl为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角θ满足：tan()4θθπ=-时，招贴画最优美．20．（本小题满分16分）设a 为实数，函数2()||f x x x a =-．（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[11]-，上的最大值和最小值；（2）求函数()f x 的单调区间．常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题） 2012年1月21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，延长BC 边上的高AD 交⊙O 于点E ，H 为△ABC 的垂心．求证：DH =DE ．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）求矩阵2411⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的特征值及对应的特征向量． C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）AH DG POBC在极坐标系中，O 为极点，求过圆C ：6cos()3ρθπ=-的圆心C 且与直线OC 垂直的直线l 的极坐标方程．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x y ，均为正实数，求证：1144x y +≥1x y+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．http22．已知斜率为(0)k k ≠的直线l 过抛物线24C y x =:的焦点F 且交抛物线于A 、B 两点．设线段AB 的中点为M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）若21k --<<时，点M 到直线340l x y m '+-=:（m 为常数，13m <）的距离总不小于15，求m 的取值范围．23．已知正项数列{}n a 中，1111()1nn na a a n a *+==+∈+N ，．用数学归纳法证明：1()n n a a n *+∈N <．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．1 2．12i 2-+ 3．．700 5．23 6．π 7．32n 9．31(,)22-10．（3）（4） 11．(,-∞（开区间也对） 12．．1712a ≥-14． 2 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（1）222x m =+a ， 2222(1)m x x =++b ， ……………………4分因为<a b ，所以22<a b ．从而22222(1)x m m x x +<++．因为0m >，所以22()1m x m <+， …………………………6分解得1m x m <-+或1mx m >+． …………………………8分（2）2(1)m x mx ⋅=+-a b ． ………………………10分由题意，得2(1)1m x mx m +->-对任意的实数x 恒成立，即2(1)10m x mx m +-+->对任意的实数x 恒成立．当10m +=，即1m =-时，显然不成立，从而210,4(1)(1)0.m m m m +>⎧⎨-+-<⎩……………………………12分解得1,m m m >-⎧⎪⎨><⎪⎩或所以m ． ………………………14分 16．（本小题满分14分）证明：（1）取BC 中点M ，连结FM ，1C M ．在△ABC 中，因为F ，M 分别为BA ，BC 的中点，所以FM ∥12AC ． ………………………………2分因为E 为11A C 的中点，AC ∥11A C ，所以FM ∥1EC ．从而四边形1EFMC 为平行四边形，所以1EF C M ∥． …………………………………………4分又因为1C M ⊂平面11BB C C ，EF ⊄平面11BB C C ，所以EF ∥平面11BB C C ． ………………………6分（2）在平面11AA C C 内，作1AO AC ⊥，O 为垂足．因为∠160A AC =，所以11122AO AA AC ==，从而O 为AC 的中点．……8分所以1OC A E ∥，因而1A1EC A O ∥． …………………10分因为侧面11AA C C ⊥底面ABC ，交线为AC ，1AO AC ⊥，所以1A O ⊥底面ABC ．所以EC ⊥底面ABC ． …………………………………………12分又因为EC ⊂平面EFC ，所以平面CEF ⊥平面ABC ． …………………………………………14分 17．（本小题满分14分）解：（1） n =1时，2111843a a a =++，11a =或13a =． ………………………2分当2n ≥时，2111843n n n S a a ---=++，221111(44)8n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，从而11()(4)0n n n n a a a a --+--=．因为{}n a 各项均为正数，所以14n n a a --=． ………………………6分所以，当11a =时，43n a n =-；当13a =时，41n a n =-．又因为当11a =时，127,,a a a 分别为1，5，25，构成等比数列，所以43n a n =-，15n n b -=．当13a =时，127,,a a a 分别为3，7，27，不构成等比数列，舍去．………10分（2）满足条件的a 存在，a = ………………………12分由（1）知，43n a n =-，15n n b -=，从而1log 43log 543(1)log 5n n a n a a a b n n n --=--=---=(4log 5)3log 5a a n --+．由题意，得4log 50a -=，所以a =． ………………………14分 18．（本小题满分16分）解：（1）圆心(,0)C m (11)m -<< ，则⊙C 的半径为r =．从而⊙C 的方程为222()1x m y m -+=-． ………………………………2分椭圆D 的标准方程为222211x y b b +=+． ………………………4分（2）当1b =时，椭圆D 的方程为2212x y +=．设椭圆D 上任意一点11(,)S x y ，则221112x y +=，221112x y =-．因为2222222111111()()1(2)122x SC x m y x m x m m =-+=-+-=-+- ………6分≥21m -2r =，所以SC r ≥．从而椭圆D 上的任意一点都不在在⊙C 的内部． ………………………8分（3）21OM OL b ⋅=+为定值． ……………………………………9分证明如下：设点P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ），则由题意，得N （1x ，－1y ），12x x ≠，12y y ≠±．从而直线PQ 的方程为21212112()()0y y x x x y x y x y ---+-=．令y ＝0，得122121M x y x y x y y -=-．又直线QN 的方程为21212112()()0y y x x x y x y x y +----=．令y ＝0，得211221L x y x y x y y +=+． ………………………………13分因为点P ，Q 在椭圆D 上，所以22112211x y b b +=+，22222211x y b b +=+，从而222211211b x b y b +=+-，222222211b x b y b+=+-，所以222222222221221222212222212111(1)(1)(1)()1M L b b b y y b y y b y y b b x x b y y y y +++--+-+-⋅===+-- ．所以21M L OM OL x x b ⋅=⋅=+=定值． ……………………16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当ππ(,)42θ∈时，点P 在线段OG 上，sin a AP θ=；当π3π(,)24θ∈时，点P 在线段GH 上，sin(π)sin a a AP θθ==-；当 π2θ=时，AP a =．综上所述，sin a AP θ=，π3π(,)44θ∈． …………………………2分所以，弧AD 的长22sin a l AP θθθ=⋅=，故所求函数关系式为2sin a l θθ=，π3π(,)44θ∈．…4分（2）当ππ(,)42θ∈时，cos tan sin a a OP OG PG a a θθθ=-=-=-；当π3π(,)24θ∈时，cos tan(π)tan sin a a a OP OG GH a a a θθθθ=+=+=-=--；当 π2θ=时，OP a =．所以，cos sin a OP a θθ=-，π3π(,)44θ∈． ………………………6分从而，sin cos 2OP l θθθ-=． …………………………………8分记sin cos ()2f θθθθ-=，π3π(,)44θ∈．则2(cos sin )(sin cos )()2f θθθθθθθ+--'=．令()0f θ'=，得(cos sin )sin cos θθθθθ+=-． …………………………10分因为π3π(,)44θ∈，所以cos sin 0θθ+≠，从而sin cos cos sin θθθθθ-=+．显然π2θ≠，所以sin cos tan 1πtan()cos sin tan 14θθθθθθθθ--===-++．…………………………12分记满足πtan()4θθ=-的0θθ=，下面证明0θ是函数()f θ的极值点．设()(cos sin )(sin cos )g θθθθθθ=+--，π3π(,)44θ∈．则()g θ'=(cos sin )0θθθ-<在π3π(,)44θ∈上恒成立，从而()g θ在π3π(,)44θ∈上单调递减． ……………………………14分所以，当0π(,)4θθ∈时，()0g θ>，即()0f θ'>，()f θ在0π(,)4θ上单调递增；当03π(,)4θθ∈时，()0g θ<，即()0f θ'<，()f θ在03π(,)4θ上单调递减．故 ()f θ在0θθ=处取得极大值，也是最大值．所以，当θ满足πtan()4θθ=-时，函数()f θ即OPl 取得最大值，此时招贴画最优美． ……………………………………………………16分 20．（本小题满分16分）解：（1）当1a =时，因为[1,1]x ∈-，所以3()f x x x =-+．则2()313(f x x x x '=-+=-．令()0f x '=，得x x = …………………………………2分列表：（2）（ⅰ）当0a =时，3()f x x =，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞； (7)分（ⅱ）当a <0时，3()f x x ax =-．因为2()30f x x a'=->恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，从而()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞； …………9分（ⅲ）当a >0时，①当x 或x≤时，3()f x x ax =-．因为2()33(f x x a x x '=-=，>所以当x x -≤时，()0f x '>，从而()f x 的单调增区间为(,-∞及)+∞． ……………………11分 ②当x <时，3()f x x ax =-+． 2()33(f x x a x x '=-+=--，令()0f x '=，得x x == ……………………13分列表：． ……………………………………………………15分综上所述，当a ≤0时，函数()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数()f x 的单调增区间为(,-∞，)+∞ ，(， ()f x 的单调减区间为(，． …………………………16分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．若答题超过2题，则以所做题的前两题计分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解：连结CE ，CH ．因为H 为△ABC 的垂心，所以，∠ECD =∠BAD =090ABC -∠，∠HCD =090ABC -∠，从而∠ECD =∠HCD ． ………………………………4分又因为CD ⊥HE ，CD 为公共边，所以△HDC ≌△EDC ， …………8分所以DH =DE ． …………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵M 的特征多项式为224()6(3)(2)11f λλλλλλλ--==--=-+-+， ……2分令()0f λ=，得到M 的特征值13λ=，22λ=-． …………………………4分当13λ=时，矩阵M 的一个特征向量为41⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ……………………………7分当22λ=-时，矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． …………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：圆心C 的极坐标为π(3,)3， …………………………………6分设直线l 上任意一点(,)P ρθ，则πcos()33ρθ-=，即为直线l 的极坐标方程． ……………………………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为,x y 均为正实数，所以x y +≥11x y +≥x y =时等号成立（下同）． ……6分从而11()()4x yx y++≥，…………………………………8分所以11144x y x y++≥．…………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．解：（1）焦点(0,1)F，直线AB方程为(1)y k x=-，因为0k≠，所以1yxk=+．由21,4yxky x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2440y yk--=．设112200(,),(,),(,)A x yB x y M x y，显然△>0恒成立，则1222y yyk+==．……3分又01yxk=+，消去k，得2002(1)y x=-，所以点M的轨迹方程为22(1)y x=-．……………………5分（2）由（1）知，点222(1,)Mk k+．因为13m<，所以221681683(3)55d m mk k k k=+-+=+-+．………………7分由题意，得21681(3)55mk k+-+≥，2682mk k++≤对21k-<<-恒成立．因为21k-<<-时，2682k k++的最小值是23-，所以23m≤-．……………10分23．解：当1n=时，1213112aaa=+=+，12a a<，所以1n=时，不等式成立；………4分假设当()n k k*=∈N时，1k ka a+<成立，显然0ka>．则当1n k=+时，112111111(1)111k k kk k kk k ka a aa a aa a a+++++++-=+-=+-++++=11111k ka a+-++11(1)(1)k kk ka aa a++-=>++，………………………………………7分所以1n k=+时，不等式成立．…………………8分综上所述，不等式1()n na a n*+<∈N成立．………………………………10分。

江苏省常州市教育学会学生学业水平监测高三期末卷数学(理)

常州市教育学会学生学业水平监测高三数学I试题2018年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上..1.若集合A 二｛ -2,0,1｝, B 二｛x|x21｝，则集合A B =▲.2 .命题“去可0,1],x2 -1 > 0 ”是▲命题（选填“真”或“假” ）. —An^nr A_23. 若复数z满足z 2i = z +1（其中i为虚数单位），则Z = ▲.4. 若一组样本数据2015 , 2017, x, 2018, 2016的平均数为2017,则该组样本数据的方差为▲.5. 右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是▲.16. 函数f（x）= 的定义域记作集合D .随机地投掷一枚质地均匀的In x正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2，…,6 ），记骰子向上的点数为t，则事件“ D ”的概率为▲.7. 已知圆锥的高为6，体积为&用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7,则该圆台的高为▲.&各项均为正数的等比数列：a,中，若a2a3a4 -a2 a3 a4，则a3的最小值为▲.x2 y29.在平面直角坐标系xOy中，设直线l :x y ^0与双曲线C: 2 - 2=1（a 0,b 0）的两a b条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是▲.x —y w 0,10.已知实数x,y 满足 2x y -2 > 0,则x y 的取值范围是▲.x —2y 亠4 > 0,11. 已知函数f （x ）=：bx ・l nx ，其中b ■ R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y = f （x ）相切,则k -b 的值为 ▲. 12.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数y =sin （•・x •「）（小-0,0 ：：： • ：：： n 的图象与 x 轴的交点A,B,C 满足OA OC =2OB ，则即=▲_13. 在 ABC 中，AB =5,AC =7,BC =3 , P 为厶ABC 内一点（含边界），若满足1 --BP BA -BC （: •二R ），则BA BP 的取值范围为▲.414. 已知 ABC 中，AB =AC =打3 , ABC 所在平面内存在点 P 使得PB 2 PC^3PA^3 ,则ABC 面积的最大值为▲.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分14分）已知.ABC 中，a, b, c 分别为三个内角 A ,B,C 的对边，.3bsinC =ccosB c . （1）求角B ;16. （本小题满分14分）如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PC _平面ABCD , PB 二PD ，点Q 是棱PC 上异于P , C 的一点. （1）求证：BD _AC ；（2）过点Q 和AD 的平面截四棱锥得到截面 ADQF （点F 在棱 PB 上),求证：QF // BC .(2)若 b 2=ac ,1 1+ta nA ta nC的值.17. （本小题满分14分）已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯0M 高3.6米，AB, OM 均垂直于水平地面, 分别与地面交于点 A ，0.点光源从M 发出，小明在地面上的影子记作 AB'.（1 ）小明沿着圆心为 0,半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积；（2）若0A =3米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段 AA 1走到A , 0AA 二彳，且AA =10米.t 秒时，小明在地面上的影子长度记为最小值.18. （本小题满分16分）2 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C : ^-= 1（a b 0）的右焦点为F ,点A 是a 2b 2椭圆的左顶点，过原点的直线 MN 与椭圆交于M,N 两点（M 在第三象限），与椭圆的右准4 2线交于P 点.已知AM _MN ，且OA OM b . 3 ------------------- a -------------------------- 1（1）求椭圆C 的离心率e ； 10（2）若S AMN S PO ^ a ，求椭圆C 的标准方程. 319. (本小题满分16分) 已知各项均为正数的无穷数列｛耳｝的前n 项和为S n ，且满足a (其中a 为常数)，*b 2+a 气nS n 出=(n +1)S + n(n +1) (n 乞 N ).数列｛b h ｝满足 b n = J ------ (n w N *).V a n a^i(1 )证明数列｛a n ｝是等差数列，并求出｛a n ｝的通项公式；f （t ）（单位：米），求f （t ）的表达式与（第 17题）(2)若无穷等比数列｛c n｝满足：对任意的n・N*，数列｛b n｝中总存在两个不同的项b s, b t (s,t E N* ),使得b s < C n < b t，求｛c n｝的公比q .20. (本小题满分16分) 已知函数f(x)二lnx2，其中a为常数.(x+a)2(1 )若a =0，求函数f (x)的极值；(2)若函数f(x)在(0,_ a)上单调递增，求实数a的取值范围；(3 )若a=—1，设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x0，求证：f(x o)<-2 .。

(完整版)2012年江苏省高考数学试卷答案与解析

2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则A∪B={1.2.4.6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.] ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A ﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD 上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f （x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．（2012•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．11．（5分）考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.s in2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x 的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7] ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f （x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cb cosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知1条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.1∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f （x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|x i|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|t i|＜2.i=3.4.5．而f（x）=t i有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF1与直线BF2平行.∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my．设A（x1.y1）.B（x2.y2）.y1＞0.y2＞0.∴由.可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=.∴.解得m2=2．∵注意到m＞0.∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行.∴.即．由点B在椭圆上知..∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得...∴PF1+PF2=．∴PF 1+PF 2是定值．点评：本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n+1=.n ∈N *.（1）设b n+1=1+.n ∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•.n ∈N*.且{a n }是等比数列.求a 1和b 1的值．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可得.a n+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{a n }是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a 1.b 1解答：解：（1）由题意可知.a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n ＞0.b n ＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q.由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.a n=a1.所以.∵∴数列{b n}是公比的等比数列若.则.于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故4可求f（4）（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉ A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义。

2012江苏高考数学试卷及答案(完整版)

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ． 2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．3．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +为 ▲ ．4．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ． 5．函数()f x 的定义域为 ▲ ．6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于的概率是 ▲ ．★此卷上交考点保存★ 姓名准考证号7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率 m 的值为 ▲ ．9．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF AE BF的值是 ▲ ． 10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上， 0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ．11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ．13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 14．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． DABC1 1D 1A1B（第7题）（第9题）16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．17．（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．18．（本小题满分16分）若函数()y f x =在x =x 0取得极大值或者极小值则x =x 0是()y f x =的极值点已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 1A1C（第16题）FDCABE1B19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若12AF BF -=，求直线1AF 的斜率；（ii ）求证：12PF PF +是定值．20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：1n a n *+∈N ．（1）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．（第19题）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中．．．．．两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．答．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD并延长至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ．求证：E C ∠=∠．★此卷上交考点保存★ 姓名准考证号（第21-A 题）B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．。

常州2012届高三二模考试数学试题(含答案)

常州2012届高三二模考试语文试题数学I （正题）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

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1.设集合(]1,1-=A ，()2,0=B ，则A ∪B ＝ .2.若复数z 满足)1(2i i z +=-（i 为虚数单位），则=z .3.已知双曲线)0(1322>=-m ymx的一条渐近线方程为x y 23=，则m 的值为 .4.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差=2s .5.如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆.向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为 .6.已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为 .7.等比数列{}n a 中，若33=a ，246=a ，则8a 的值为 . 8.已知钝角α满足53cos -=α，则)42tan(πα+的值为 .9.已知函数⎩⎨⎧>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x则)2(log 3f 的值为 .10.已知点P 在ABC ∆所在平面内，若AB PC PB PA 3432=++，则PAB ∆与PBC ∆的面积的比值为 .11.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若βα//，β⊂m ，α⊂n ，则n m //；（2）若βα//，β⊥m ，α//n ，则n m ⊥；（3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //；（4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥. 上面命题中，所有真命题的序号为 .12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在曲线)0(1>=x xy 上，点P 在x 轴上的射影为M .若点P 在直线0=-y x 的下方，当MPOM OP-2取得最小值时，点P 的坐标为 . 13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB的中点为M ，若022≥+∙BF MF MA ，则该椭圆离心率的取值范围为 .14.设实数6≤n ，若不等式08)2(2≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立，则nm n m 344-的最小值为 .二．解答题：本大题共六小题，共计90分。

1483-江苏省常州市武进区2012届高三上学期期中考试数学试卷,

2012届常州市武进区高三上学期期中考试数学卷高三数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共7 0分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1.已知集合若则▲ .2.已知平面向量且则▲ .3.函数的定义域为▲ .41.已知函数若则▲ .5.若二次函数满足且则实数的取值范围是▲ .6.满足不等式组则目标函数的最大值为▲ .7.若规定：例如：则函数的奇偶性为▲ .8.等差数列前项和为若则▲ .9.在中，若则面积的最大值为▲ .10.若的最小值为-2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为又图像过点则其解析式是▲ .11.若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“可连数”；如：32是“可连数”，因为不产生进位现象，23不是“可连数”，因为产生进位现象，那么自然数中小于100的“可连数”的个数为▲ .12. 已知定义在上偶函数且当时有则不等式解集为▲ .13. 已知且则的最小值是▲ .14. 已知集合定义函数且点若AABC 的内切圆圆心为且则下列结论正确的有____▲ .（填上你认为正确的命题的序号）①必是等腰三角形；②必是直角三角形；③满足条件的实数有3个；④满足条件的函数有l2个.二、解答题：（本大题共6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.在平面直角坐标系中，已知点其中(1)若求证：(2)若求的值.16.（本题满分14分）设函数(1)求的单调区间；(2)证明：对任意的都有17.（本题满分14分）我们将具有下列性质的所有函数组成集合函数对任意均满足当且仅当时等号成立。

(1)若定义在上的函数试比较与大小；(2)给定两个函数：证明：(3)试利用(2)的结论解决下列问题：若实数满足求的最大值。

18.（本题满分16分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）.现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？19.（本题满分16分）已知数列是等差数列，(1)判断数列是否是等差数列，并说明理由；(2)如果为常数），试写出数列的通项公式；(3)在(2)的条件下，若数列得前项和为，问是否存在这样的实数使当且仅当时取得最大值。

苏锡常镇四市2012届高三第三次模拟考试数学试卷

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数学_2012-2013学年江苏省常州某校高三(上)第二次练习数学试卷(理科)(含答案)

2012-2013学年江苏省常州某校高三（上）第二次练习数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知数集M ={−1, 0, x −2}中有3个元素，则实数x 不能取的值构成的集合为________．2. 命题：若x ≥1，则x 2+3x −2≥0的否命题为________．3. 某圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则其所对圆心角的弧度数为________．4. 若直线y =−x +b 为函数y =1x 的一条切线，则实数b =________．5. 如果向量a →=(λ,2)，b →=(−3,5)，且a →，b →的夹角是钝角，则实数λ的取值范围是________． 6. 已知cosα=17，cos(α−β)=1314，且0<β<α<π2，则β=________．7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =1，A =60∘，c =√33，则△ABC 的面积为________．8. 已知p:x 2−4x −5>0，q:x 2−2x +1−m 2>0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为________．9. 定义在R 上的偶函数f(x)在[0, +∞)上递增，f(13)=0，则满足不等式f(log 18x)>0的x 的取值范围是________．10. 已知在等差数列{a n }中，d >0，a 2008、a 2009是方程x 2−3x −5=0的两个根，那么使得前n 项和S n <0的最大的n 值是________．11. 已知a →,b →是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c →满足(a →−c →)⋅(b →−c →)=0，则|c →|最大值是________．12. 酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm ，上口宽6cm ，水以20cm 3/s 的流量倒入杯中，当水深为4cm 时，则水面升高的瞬时变化率是________． 13. 已知函数f(x)={x 3x+1，x ∈(12,1]−16x +112，x ∈[0,12]，函数g(x)=asin π6x −a +1(a >0)，若存在x 1、x 2∈[0, 1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．14. 定义函数f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如：[1.5]=1，[−1.3]=−2，当x ∈[0, n)(n ∈N ∗)时，设函数f(x)的值域为A ，记集合A 中的元素个数为a n ，则式子[a n +90n]的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．15. 在平面直角坐标系xOy 中，点P(12, cos 2θ)在角α的终边上，点Q(sin 2θ, −1)在角β的终边上，且OP →⋅OQ →=−12．（1）求cos2θ；（2）求sin(α+β)的值．16. 已知命题P：函数f(x)=log12(x2−2ax+3)在(−∞, 1]内为单调递增函数，命题Q：函数f(x)=x|x−a|+2x在R上单调递增；（1）若命题Q为真，求实数a的范围；（2）若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．17. 设函数f(x)=cos(2x−4π3)+2cos2x．(Ⅰ)求f(x)的最大值，并写出使f(x)取最大值是x的集合；(Ⅱ)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f(B+C)=32,b+c=2．求a的最小值．18. 因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm（即EF= 50cm）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜．根据经验，一般顾客AB的眼睛B到地面的距离x(cm)在区间[140, 180]内．设支架FG高为ℎ(0<ℎ<90)cm，AG=100cm，顾客可视的镜像范围为CD（如图所示），记CD的长度为y(y=GD−GC)．（1）当ℎ=40cm时，试求y关于x的函数关系式和y的最大值；（2）当顾客的鞋A在镜中的像A1满足不等关系GC<GA1≤GD（不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求ℎ的取值范围．19. 设函数f(x)=−13x3+x2+(m2−1)x，(x∈R)，其中m>0．（1）当m=1时，求曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值；（3）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1<x2．若对∀x∈[x1, x2]，f(x)>f(1)恒成立，求实数m的取值范围．20. 已知数列{a n}满足a1=1，a2=−1，当n≥3，n∈N∗时，a nn−1−a n−1n−2=3(n−1)(n−2)．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在k∈N∗，使得n≥k时，不等式S n+(2λ−1)a n+8λ≥4对任意实数λ∈[0, 1]恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上是否存在定点A，使得三点P n(a n,2a n+5)、P m(a m,2a m+5)、P k(a k,2a k+5)（其中n、m、k是互不相等的正整数且n>m>k≥2）到定点A的距离相等？若存在，求出点A及正整数n、m、k；若不存在，说明理由．2012-2013学年江苏省常州某校高三（上）第二次练习数学试卷（理科）答案1. {1, 2}2. “若x <1，则x 2+3x −2<0”．3. √34. ±25. (103，+∞) 6. π3 7. √36 8. 29. (0,12)∪(2,+∞)10. 4015 11. √2 12.809πcm/s13. [12，2] 14. 1315. 解：（1）∵ OP →⋅OQ →=−12，∴ 12sin 2θ−cos 2θ=−12，∴1−cos2θ4−1+cos2θ2=−12，∴ cos2θ=13．（2）由（1）得：cos 2θ=1+cos2θ2=23，∴ P(12，23)，sin 2θ=1−cos2θ2=13，∴ Q(13，−1)，∴ sinα=45，cosα=35，sinβ=−3√1010，cosβ=√1010， ∴ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=−√1010． 16. 解：（1）f(x)=x|x −a|+2x ={x 2+(2−a)x ，当x ≥a 时−x 2+(2+a)x ，当x <a 时，由命题Q ：函数f(x)在R 上是增函数，则{a ≥−2−a2a ≤2+a 2解得−2≤a ≤2，∴ a 的取值范围是−2≤a ≤2．（2）由已知命题P ：函数f(x)=log 12(x 2−2ax +3)在(−∞, 1]内为单调递增函数，∴ 函数g(x)=x 2−2ax +3在(−∞, 1]内大于零且单调递减，∴ {g(1)>01≤−−2a 2，解得1≤a <2．∵ 命题p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴ 等价于{p 真￢q 真或{￢p 真q 真．由{p 真￢q 真解得−2≤a <1或a =2；或{￢p 真q 真．解得a ∈Φ．综上可知实数a 的取值范围是[−2, 1)∪{2}． 17. （1）f(x)＝cos(2x −4π3)+2cos 2x ＝(cos2xcos 4π3+sin2xsin4π3)+(1+cos2x)=12cos2x −√32sin2x +1＝cos(2x +π3)+1，∵ −1≤cos(2x +π3)≤1，即cos(2x +π3)最大值为1， ∴ f(x)的最大值为2，要使f(x)取最大值，cos(2x +π3)＝1，即2x +π3=2kπ(k ∈Z)，解得：x ＝kπ−π6(k ∈Z)，则x 的集合为{x|x ＝kπ−π6(k ∈Z)}；（2）由题意，f(B +C)＝cos[2(B +C)+π3]+1=32，即cos(2π−2A +π3)=12，化简得：cos(2A −π3)=12，∵ A ∈(0, π)，∴ 2A −π3∈(−π3, 5π3)，则有2A −π3=π3，即A =π3，在△ABC 中，b +c ＝2，cosA =12，由余弦定理，a2＝b2+c2−2bccosπ3=(b+c)2−3bc＝4−3bc，由b+c＝2知：bc≤(b+c2)2=1，当且仅当b＝c＝1时取等号，∴ a2≥4−3＝1，则a取最小值1．18. 解：（1）因为FG=40，AG=100，所以由GCFG =GC+AGAB，即GC40=GC+100x，解得GC=4000x−40，同理，由GDEG =GD+AGAB，即GD90=GD+100x，解得GD=9000x−90所以y=GD−GC=1000×(9x−90−4x−40)=5000×xx2−130x+3600，x∈[140,180]因为y′=5000×3600−x 2(x2−130x+3600)2<0，所以y在[140, 180]上单调递减，故当x=140cm时，y取得最大值为140cm（2）由GCℎ=GC+100x，得GC=100ℎx−ℎ，由GDℎ+50=GD+100x，得GD=100(ℎ+50)x−ℎ−50，所以由题意知GC<A1G=AG≤GD，即100ℎx−ℎ<100≤100(ℎ+50)x−ℎ−50对x∈[140, 180]恒成立从而{ℎ<x2ℎ≥x2−50对x∈[140, 180]恒成立，∴ 40≤ℎ<70，∴ ℎ的取值范围为[40, 70)．19. 解：（1）当m=1时，f(x)=−13x3+x2，f′(x)=−x2+2x，故f′(1)=−1+2=1，所以曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线的斜率为1．（2）f′(x)=−x2+2x+m2−1，令f′(x)=0，解得x=1−m或x=1+m．∵ m>0，所以1+m>1−m，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：函数f(x)在x=1−m处取得极小值f(1−m)，且f(1−m)=−23m3+m2−13，函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)，且f(1+m)=23m3+m2−13．（3）由题设，f(x)=x(−13x2+x+m2−1)=−13x(x−x1)(x−x2)，∴ 方程−13x2+x+m2−1=0有两个相异的实根x1，x2，故x1+x2=3，且△=1+43(m2−1)>0，∵ m>0解得m >12，∵ x 1<x 2，所以2x 2>x 1+x 2=3，故x 2>32>1．①当x 1≤1<x 2时，f(1)=−13(1−x 1)(1−x 2)≥0，而f(x 1)=0，不符合题意， ②当1<x 1<x 2时，对任意的x ∈[x 1, x 2]，都有x >0，x −x 1≥0，x −x 2≤0，则f(x)=−13x(x −x 1)(x −x 2)≥0，又f(x 1)=0，所以f(x)在[x 1, x 2]上的最小值为0，于是对任意的x ∈[x 1, x 2]，f(x)>f(1)恒成立的充要条件是f(1)=m 2−13<0，解得−√33<m <√33， ∵ 由上m >12，综上，m 的取值范围是(12, √33)．20. 解：（1）n ≥3，n ∈N ∗时，设b n =a nn−1，则b n −b n−1=3(n−1)(n−2)=3(1n−2−1n−1)∴ b n =b 3+(b 4−b 3)+...+(b n −b n−1)=b 3+3(12−1n−1) ∵a n n−1−a n−1n−2=3(n−1)(n−2)，∴a 32−a 21=32∵ a 2=−1，∴ b 3=a 32=12∴ b n =12+3(12−1n−1)=2n−5n−1(n ≥3)∴ a n =2n −5(n ≥3)n =2时，满足上式；n =1时，不满足上式 ∴ a n ={1,n =12n −5,n ≥2；（2）S n ={1,n =1n 2−4n +4，n ≥2当n =1时，不等式S n +(2λ−1)a n +8λ≥4可化为λ≥25，不满足条件；当n ≥2时，不等式S n +(2λ−1)a n +8λ≥4可化为2(2n −1)λ+n 2−6n +5≥0 令f(λ)=2(2n −1)λ+n 2−6n +5，则f(λ)≥0对任意实数λ∈[0, 1]恒成立∴ {f(0)≥0f(1)≥0，∴ {n 2−6n +5≥0n 2−2n +3≥0，∴ n ≤1或n ≥5∴ 满足条件的k 的最小值为5；（3）由题意，三点满足方程y =2x+5，函数为增函数，当n >m >k ≥2时，0<k P k P m <k P n P m∴ 对应垂直平分线的斜率k 1<k 2<0∴ 对应垂直平分线不可能相交于x轴∴ x轴上不存在定点A，使得三点P n(a n,2a n+5)、P m(a m,2a m+5)、P k(a k,2a k+5)（其中n、m、k是互不相等的正整数且n>m>k≥2）到定点A的距离相等．。

江苏省常州中学2012届高三内部模拟试卷(二)数学

2012江苏数学模拟试卷（二）说明：1．以下题目的答案请全部填写在答卷纸上； 2．本卷总分160分，考试时间120分钟．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分．1．若复数z 满足(2)z z i =-（i 是虚数单位），则z = ．2．已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()UA B = ．3．在圆x 2+y 2=4所围成的区域内随机取一个点P （x ，y )，则| x ｜+｜y | ≤ 2的概率为．4．已知4cos 5α=-且(,)2παπ∈，则tan()4πα+= ．5．已知定义域为R 的函数121()2x x f x a+-+=+是奇函数则a = ．6．右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是．7．在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝．8．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形,若第一个长方形的面积为0。

02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组)的频数为．9．已知B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左准线与x 轴的交点，点(0,)A b ，若满足2AP AB =的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为．10．已知变量,a R θ∈,则22(2cos )(522sin )a a θθ-+--的最小值为．样本数据频率组距10第题图开始结束是否100k ≥3s s k←+1,0k s ←←S输出2k k ←+7第题图11．等比数列{}na 中，120121,9a a ==,函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+，则曲线()y f x = 在点(0,(0))f 处的切线方程为．12．将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab 的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F ．设M 是抛物线上的动点,则MO MF的最大值为．14．设等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若对任意的等差数列{}na 及任意的正整数n 都有不等式22212n n S a a nλ+≥成立,则实数λ的最大值为．二、解答题:本大题共6小题，共90分． 15．(本小题满分14分)已知函数21()2cos ,2f x x x x R =--∈．(1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2)设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ,且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥,底面ABCD 是直角梯形,其中//BC AD ，090BAD ∠=，3AD BC =，O 是AD 上一点．(1）若//CD PBO 平面，试确定点O 的位置；(2）求证:PAB PCD ⊥平面平面．17．（本小题满分14分）如图，一载着重危病人的火车从O 地出发，沿射线OA 行驶，其中1tan 3α=,在距离O 地a 5(a 为正数）公里北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中3sin 5β=,现有110指挥部紧急征调离O 地正东p公里的B 处的救护车赶往N 处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C 处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB 围成的三角形OBC 面积S 最小时，抢救最及时。

江苏省常州市教育学会高三数学上学期学业水平监测试题苏教版

常州市教育学会学业水平监测高三数学试题2012年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合{102}{2}a A B =-=，，，，若B A ⊆，则实数a 的值为．2．若152i 4z z z ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z = ． 3．已知双曲线2221(0)9x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为3π，则b 的值为．4．用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人．若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为人．5．用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是．6．函数()cos()cos()26f x x x ππ=+⋅+的最小正周期为．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，M为线段AB 的中点，若30MOA ∠=，则该椭圆的离心率的值为． 8．已知等比数列{}n a 的各均为正数，且212437234a a a a a +==，，则数列{}n a 的通项公式为．9．设m ∈R ，已知函数22()2(12)32f x x mx m x m =--+-+-，若曲线()y f x =在0x =处的切线恒过定点P ，则点P 的坐标为． 10．对于函数()()y f x x =∈R ，给出下列命题：（1）在同一直角坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称；（2）若(1)(1)f x f x -=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称；（3）若(1)(1)f x f x +=-，则函数()y f x =是周期函数；（4）若(1)(1)f x f x -=--，则函数()y f x =的图象关于点（0，0）对称．其中所有正确命题的序号是．11．设函数()y f x =在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数()()()()k f x f x k f x k f x k ⎧=⎨⎩≤，，，，>若函数3()log ||f x x =，则当13k =时，函数()k f x 的单调减区间为． 12．已知△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2AC BC AB BC AC BC AC++⋅的最大值为．13．已知函数()2()x f x x =∈R ，且()()()f x gx hx =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数．若不等式2()(2)0a g x h x ⋅+≥对任意[12]x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围是．14．已知a b c ，，均为正实数，记11max a M b bc c ac a b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭，，，则M 的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知m 、x ∈R ，向量()((1))x m m x x =-=+，，，a b ．（1）当0m >时，若||||<a b ，求x 的取值范围；（2）若1m ->a b 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 16．（本小题满分14分）如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 是菱形，160A AC ∠=，E 、F 分别是11AC 、AB 的中点．求证：（1）EF ∥平面11BB C C ；（2）平面CEF ⊥平面ABC ．17．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2843()n n n S a a n *=++∈N ，且127a a a ，，依次是等比数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）是否存在常数0a >且1a ≠，使得数列{log }()n a n a b n *-∈N 是常数列？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221x y +=与x 轴正半轴的交点为F ，AB 为该圆的一条弦，直线AB 的方程为x m =．记以AB 为直径的圆为⊙C ，记以点F 为右焦点、短半轴长为b （0b b >，为常数）的椭圆为D ．（1）求⊙C 和椭圆D 的标准方程；（2）当1b =时，求证：椭圆D 上任意一点都不在⊙C 的内部；（3）已知点M 是椭圆D 的长轴上异于顶点的任意一点，过点M 且与x 轴不垂直的直线交椭圆D 于P 、Q 两点（点P 在x 轴上方），点P 关于x 轴的对称点为N ，设直线QN 交x 轴于点L ，试判断OM OL 是否为定值？并证明你的结论．A119．（本小题满分16分）如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD 是边长为2a 的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O 为正方形的中心，G 为AD 的中点，点P 在直线OG 上，弧AD 是以P 为圆心、PA 为半径的圆的一部分，OG 的延长线交弧AD 于点H ．设弧AD 的长为l ，3()44APH θθππ∠=∈，，．（1）求l 关于θ的函数关系式；（2）定义比值OPl 为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角θ满足： tan()4θθπ=-时，招贴画最优美．20．（本小题满分16分）设a 为实数，函数2()||f x x x a =-．（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[11]-，上的最大值和最小值；（2）求函数()f x 的单调区间．常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题） 2012年1月21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，延长BC 边上的高AD 交⊙O 于点E ，H 为△ABC 的垂心．求证：DH =DE ．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）求矩阵2411⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的特征值及对应的特征向量． C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）AH DG P OBC在极坐标系中，O 为极点，求过圆C ：6cos()3ρθπ=-的圆心C 且与直线OC 垂直的直线l 的极坐标方程．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x y ，均为正实数，求证：1144x y +≥1x y+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．http22．已知斜率为(0)k k ≠的直线l 过抛物线24C y x =:的焦点F 且交抛物线于A 、B 两点．设线段AB 的中点为M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）若21k --<<时，点M 到直线340l x y m '+-=:（m 为常数，13m <）的距离总不小于15，求m 的取值范围．23．已知正项数列{}n a 中，1111()1nn na a a n a *+==+∈+N ，．用数学归纳法证明：1()n n a a n *+∈N <．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．1 2．12i 2-+ 3．．700 5．23 6．π 7．32n 9．31(,)22-10．（3）（4） 11．(,-∞（开区间也对） 12．．1712a ≥-14． 2 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（1）222x m =+a ， 2222(1)m x x =++b ， ……………………4分因为<a b ，所以22<a b ．从而22222(1)x m m x x +<++．因为0m >，所以22()1m x m <+， …………………………6分解得1m x m <-+或1mx m >+． …………………………8分（2）2(1)m x mx ⋅=+-a b ． ………………………10分由题意，得2(1)1m x mx m +->-对任意的实数x 恒成立，即2(1)10m x mx m +-+->对任意的实数x 恒成立．当10m +=，即1m =-时，显然不成立，从而210,4(1)(1)0.m m m m +>⎧⎨-+-<⎩ ……………………………12分解得1,m m m >-⎧⎪⎨><⎪⎩或所以m >． ………………………14分 16．（本小题满分14分）证明：（1）取BC 中点M ，连结FM ，1C M ．在△ABC 中，因为F ，M 分别为BA ，BC 的中点，所以FM ∥12AC ． ………………………………2分因为E 为11AC 的中点，AC ∥11AC ，所以FM ∥1EC ．从而四边形1EFMC 为平行四边形，所以1EF C M ∥． …………………………………………4分又因为1C M ⊂平面11BB C C ，EF ⊄平面11BB C C ，所以EF ∥平面11BB C C ． ………………………6分（2）在平面11AA C C 内，作1AO AC ⊥，O 为垂足．因为∠160A AC =，所以11122AO AA AC ==，从而O 为AC 的中点．……8分所以1O C A E∥，因而1A1EC AO ∥． …………………10分因为侧面11AA C C ⊥底面ABC ，交线为AC ，1AO AC ⊥，所以1AO ⊥底面ABC ．所以EC ⊥底面ABC ． …………………………………………12分又因为EC ⊂平面EFC ，所以平面CEF ⊥平面ABC ． …………………………………………14分 17．（本小题满分14分）解：（1） n =1时，2111843a a a =++，11a =或13a =． ………………………2分当2n ≥时，2111843n n n S a a ---=++，221111(44)8n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，从而11()(4)0n n n n a a a a --+--=．因为{}n a 各项均为正数，所以14n n a a --=． ………………………6分所以，当11a =时，43n a n =-；当13a =时，41n a n =-．又因为当11a =时，127,,a a a 分别为1，5，25，构成等比数列，所以43n a n =-，15n n b -=．当13a =时，127,,a a a 分别为3，7，27，不构成等比数列，舍去．………10分（2）满足条件的a 存在，a ………………………12分由（1）知，43n a n =-，15n n b -=，从而1log 43log 543(1)log 5n n a n a a a b n n n --=--=---=(4log 5)3log 5a a n --+．由题意，得4log 50a -=，所以a =． ………………………14分 18．（本小题满分16分）解：（1）圆心(,0)C m (11)m -<< ，则⊙C 的半径为r =．从而⊙C 的方程为222()1x m y m -+=-． ………………………………2分椭圆D 的标准方程为222211x y b b +=+． ………………………4分（2）当1b =时，椭圆D 的方程为2212x y +=．设椭圆D 上任意一点11(,)S x y ，则221112x y +=，221112x y =-．因为2222222111111()()1(2)122x SC x m y x m x m m =-+=-+-=-+- ………6分 ≥21m -2r =，所以SC r ≥．从而椭圆D 上的任意一点都不在在⊙C 的内部． ………………………8分（3）21OM OL b ⋅=+为定值． ……………………………………9分证明如下：设点P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ），则由题意，得N （1x ，－1y ），12x x ≠，12y y ≠±．从而直线PQ 的方程为21212112()()0y y x x x y x y x y ---+-=．令y ＝0，得122121M x y x y x y y -=-．又直线QN 的方程为21212112()()0y y x x x y x y x y +----=．令y ＝0，得211221L x y x y x y y +=+． ………………………………13分因为点P ，Q 在椭圆D 上，所以22112211x y b b +=+，22222211x y b b +=+，从而222211211b x b y b +=+-，222222211b x b y b+=+-，所以222222222221221222212222212111(1)(1)(1)()1M L b b b y y b y y b y y b b x x b y y y y +++--+-+-⋅===+-- ．所以21M L OM OL x x b ⋅=⋅=+=定值． ……………………16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当ππ(,)42θ∈时，点P 在线段OG 上，sin a AP θ=；当π3π(,)24θ∈时，点P 在线段GH 上，sin(π)sin a a AP θθ==-；当 π2θ=时，AP a =．综上所述，sin a AP θ=，π3π(,)44θ∈． …………………………2分所以，弧AD 的长22sin a l AP θθθ=⋅=，故所求函数关系式为2sin a l θθ=，π3π(,)44θ∈．…4分（2）当ππ(,)42θ∈时，c o s t a n s i n a a OP OG PG a a θθθ=-=-=-；当π3π(,)24θ∈时，cos tan(π)tan sin a a a OP OG GH a a a θθθθ=+=+=-=--；当 π2θ=时，OP a =．所以，cos sin a OP a θθ=-，π3π(,)44θ∈． ………………………6分从而，sin cos 2OP l θθθ-=． …………………………………8分记sin cos ()2f θθθθ-=，π3π(,)44θ∈．则2(cos sin )(sin cos )()2f θθθθθθθ+--'=．令()0f θ'=，得(cos sin )sin cos θθθθθ+=-． …………………………10分因为π3π(,)44θ∈，所以cos sin 0θθ+≠，从而sin cos cos sin θθθθθ-=+．显然π2θ≠，所以sin cos tan 1πtan()cos sin tan 14θθθθθθθθ--===-++．…………………………12分记满足πtan()4θθ=-的0θθ=，下面证明0θ是函数()f θ的极值点．设()(cos sin )(sin cos )g θθθθθθ=+--，π3π(,)44θ∈．则()g θ'=(cos sin )0θθθ-<在π3π(,)44θ∈上恒成立，从而()g θ在π3π(,)44θ∈上单调递减． ……………………………14分所以，当0π(,)4θθ∈时，()0g θ>，即()0f θ'>，()f θ在0π(,)4θ上单调递增；当03π(,)4θθ∈时，()0g θ<，即()0f θ'<，()f θ在03π(,)4θ上单调递减．故 ()f θ在0θθ=处取得极大值，也是最大值．所以，当θ满足πtan()4θθ=-时，函数()f θ即OPl取得最大值，此时招贴画最优美． ……………………………………………………16分 20．（本小题满分16分）解：（1）当1a =时，因为[1,1]x ∈-，所以3()f x x x =-+．则2()313(f x x x x '=-+=-+．令()0f x '=，得x x ==． …………………………………2分列表：（2）（ⅰ）当0a =时，3()f x x =，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞； (7)分（ⅱ）当a <0时，3()f x x ax =-．因为2()30f x x a'=->恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，从而()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞； …………9分（ⅲ）当a >0时，①当x x≤3()f x x ax =-．因为2()33(f x x a x x '=-=，>所以当x x ≤()0f x '>，从而()f x 的单调增区间为(,-∞及)+∞． ……………………11分 ②当x <3()f x x ax =-+． 2()33(f x x a x x '=-+=--，令()0f x '=，得x x == ……………………13分列表：． ……………………………………………………15分综上所述，当a ≤0时，函数()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数()f x 的单调增区间为(,)-∞，)+∞ ，(， ()f x 的单调减区间为()，． …………………………16分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．若答题超过2题，则以所做题的前两题计分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解：连结CE ，CH ．因为H 为△ABC 的垂心，所以，∠ECD =∠BAD =090ABC -∠，∠HCD =090ABC -∠，从而∠ECD =∠HCD ． ………………………………4分又因为CD ⊥HE ，CD 为公共边，所以△HDC ≌△EDC ， …………8分所以DH =DE ． …………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵M 的特征多项式为224()6(3)(2)11f λλλλλλλ--==--=-+-+， ……2分令()0f λ=，得到M 的特征值13λ=，22λ=-． …………………………4分当13λ=时，矩阵M 的一个特征向量为41⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ……………………………7分当22λ=-时，矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． …………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：圆心C 的极坐标为π(3,)3， …………………………………6分设直线l 上任意一点(,)P ρθ，则πcos()33ρθ-=，即为直线l 的极坐标方程． ……………………………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为,x y 均为正实数，所以x y +≥11x y +≥x y =时等号成立（下同）． ……6分从而11()()4x yx y++≥，…………………………………8分所以11144x y x y++≥．…………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．解：（1）焦点(0,1)F，直线AB方程为(1)y k x=-，因为0k≠，所以1yxk=+．由21,4yxky x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2440y yk--=．设112200(,),(,),(,)A x yB x y M x y，显然△>0恒成立，则1222y yyk+==．……3分又01yxk=+，消去k，得2002(1)y x=-，所以点M的轨迹方程为22(1)y x=-．……………………5分（2）由（1）知，点222(1,)Mk k+．因为13m<，所以221681683(3)55d m mk k k k=+-+=+-+．………………7分由题意，得21681(3)55mk k+-+≥，2682mk k++≤对21k-<<-恒成立．因为21k-<<-时，2682k k++的最小值是23-，所以23m≤-．……………10分23．解：当1n=时，1213112aaa=+=+，12a a<，所以1n=时，不等式成立；………4分假设当()n k k*=∈N时，1k ka a+<成立，显然0ka>．则当1n k=+时，112111111(1)111k k kk k kk k ka a aa a aa a a+++++++-=+-=+-++++=11111k ka a+-++11(1)(1)k kk ka aa a++-=>++，………………………………………7分所以1n k=+时，不等式成立．…………………8分综上所述，不等式1()n na a n*+<∈N成立．………………………………10分。

江苏省常州市常州中学2012届高三数学(文)最后冲刺综合练习试卷(七)

江苏省常州市常州中学2011—2012高三数学(文）最后冲刺综合练习试卷（七）一、填空题：1．已知i 为虚数单位，则复数65i 1iz +=+对应的点位于第___ ___象限．2．集合2{|60},{|3,3}A x Z xx B x Z x m m =∈-->=∈-<<>-，集合A B =∅，则实数m的取值范围 _________．3．已知命题：2,10x R xax ∀∈++>为假命题,则a 的取值范围是__________．4．已知,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是一条直线,下列四个命题正确的序号为_____．(1)若,//l αβα⊥，则l β⊥ （2)若//l α,l β⊥,则,αβ⊥ (3)若,αββγ⊥⊥，则//αγ （4)若,αβ⊥//αγ，则βγ⊥5．今年“3。

15"，某报社做了一次关于“手机垃圾短信"的调查，在,,,A B C D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收2000份，因报道需要,在回收的问卷中按单位分层抽取容量为300的样本,若在B 单位抽60份,则在C 单位抽取的问卷是________份．6．已知正数y x ,满足141,m x y xy+=+且的最小值是25，则正数m 的值是 7．已知函数()sin cos()f x x x t =++为偶函数，且t 满足21090tt -+<，则t =__________．8．先后投掷一颗骰子两次，将得到的点数分别记为,a b ,则直线40ax by ++=与圆221x y +=相交的概率为__________________．9．若数列{}na 的前n 项和21030nSn n =--,则数列{}nna 的最小项为第________项．10．设22234120:280(,),:(,,0)260x y p x y x y R q x y r x y R r x y +->⎧⎪--≤∈+>∈>⎨⎪-+≥⎩，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则r 的最大值为___________． 11．若关于x的不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为[,]a b ，则a b +=______．12．设椭圆22221x y a b+=的左、右焦点为12,F F ,左准线为l ，P 为椭圆上一点，PQ l ⊥，垂足为Q ，若四边形12PQF F 为平行四边形，则椭圆离心率的取值范围为__________．13．已知实数,b c 满足2b c <<，且函数24||4y xx =-+当b x c ≤≤时有最大值4c ，最小值b ，则b c +=____________________．14．若P 是Rt ABC ∆斜边BC 上的一点,且||2,4AP BAP π=∠=，则||AB AC AP ++ 的最小值为_______________．二、解答题：15．（本小题满分14分）在正三棱锥A BCD -中，,E F 分别是,AB BC 的中点,EF DE ⊥⑴证明:AC BD ⊥；⑵证明：平面DEF ⊥平面ABD ；⑶若M 为AB 边上靠近点A 的一个三等分点，在CD 上是否存在一点N ,使得//MN 平面DEF 。

江苏省常州市教育学会2023-2024学年高二下学期6月学业水平监测数学试题【含答案】

常州市教育学会学业水平监测高二数学2024年6月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2230M x x x =--<，{}2ln 5N x x =-≤≤，则M N ⋂=（）A ．[)ln 5,3B ．(]1,ln 5-C ．[)2,1-D ．[)2,3-2．已知曲线()2ay x a x=-∈R 在2x =处的切线斜率为2，则=a （）A ．18-B ．18C ．8-D ．83．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（）A ．310B ．25C ．35D ．235．某市为了解高一新生的身高情况，抽取了10000位高一新生的身高作为样本.若高一新生的身高X 近似服从正态分布()2165,N σ，且()1800.1P X ≥=，则在10000位高一新生中身高在区间[]150,180内的人数约为（）A ．2000B ．4000C ．6000D ．80006．已知0x >，0y >，且21x y +=，则22x yxy+的最小值为（）A ．172B．1+C ．4D．4+7．已知函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则5π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．33B．CD．2+8．已知函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，对任意实数x ，()()2f x f x x =--，且当0x ≥时，()10f x x '++>.不等式()()232232xf x f x x --<-+的解集为（）A ．(),2-∞B ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（）A ．()sgn x 是周期函数B ．对任意的x ∈R ，()sgn x x x =--C ．函数()2sgn xy x =的值域为(][)1,01,-+∞ D ．函数()2sgn ln y x x =-的值域为{1y y <-或}01y ≤<10．现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M ：该球为红球，事件i A ：该球出自编号为()1,2,3i i =的袋子，则（）A ．()1310P M A =B ．()1920P M =C ．()223P A M =D ．()318P MA =11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A B 的中点，点Q 在正方形11CC D D 内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（）A ．当PQ =Q 的轨迹长度为πB ．若//PQ 平面1A BD ，则PQ 长度的最小值为2C ．当PQ =Q AB P --D ．记直线PQ 与平面11AA B B 所成角为θ，则sin θ的取值范围是2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数()1e x f x +=，()3g x x =，若存在实数a ，b ，使得()()f a g b =，请写出b a -的一个可能值：.13．如图，在半径为8的半圆形纸片中，O 为圆心，AB 为直径，C 是弧AB 的中点，D 是弧AC 的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线OA 与CD 所成角的余弦值是.14．定义{}min ,,a b c 表示,,a b c中最小的数，已知实数,,a b c 满足0a b ++=，2=-，则{}min ,,a b c 的最大值是.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知a ∈R ，命题p ：x ∀∈R ，220x x a ++>为真命题.实数a 的取值集合记为A .(1)求集合A ；(2)设()1ln1x m f x m x--=--的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.16．如图，直线PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，CD PA ⊥，F 为线段PA 上异于端点的一点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 是平行四边形.(1)若F 是PA 的中点，求证：//AC 平面DEF ；(2)求二面角F PB C --的大小.17．在①()f x 在区间2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，②0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，③()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，___________.(1)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()1f x m -≤恒成立，求实数m 的取值范围；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.18．某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题.(1)对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率；(2)求聊天机器人答对题数X 的数学期望；(3)答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率.19．已知函数()()e ln 1xf x x ax =++-，a ∈R .(1)若()f x 在区间()1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当3a =时，判断关于x 的方程()1f x =实数根的个数，并证明.1．B【分析】先将集合M 化简，再利用交集运算的定义求解.【详解】集合{}{}2230|13M x x x x x =--<=-<<，因为21ln 5ln e 2lne =<<=，所以{|1ln 5}M N x x ⋂=-<≤，即(1,ln 5]M N ⋂=-.故选：B 2．C【分析】借助导数的运算法则求出导数后，结合导数的几何意义计算即可得.【详解】22a y x x '=+，由题意22222a⨯+=，解得8a =-.故选：C.3．B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．4．C【分析】求出从5人中选2人的方法数，再求出选的两人恰有1名男生与1名女生的方法数，然后由古典概型的概率公式求解即可.【详解】因为从3名男生与2名女生中选出2人有25C 10=种选法，选的两人恰有1名男生与1名女生的有1132C C 6=种选法，所以所求的概率为63105=.故选：C 5．D【分析】借助正态分布的对称性可得()150180P X ≤≤，即可得解.【详解】由()2165,X N σ ，()1800.1P X ≥=，则()150180120.10.8P X ≤≤=-⨯=，100000.88000⨯=，故人数约为8000人.故选：D.6．D【分析】借助“1”的活用，结合基本不等式计算即可得.【详解】()22222224=2x y x y xyxy xy xyx y x y +++++⋅=4≥==+，当且仅当222x y =，即47x =，2217y =时，等号成立.故选：D.7．B【分析】利用正切型函数的图像得出T ，再算出,ωϕ，从而得解.【详解】由图像可知：ππ2π2263T T =-⇒=，所以π32T ω==，把π,02⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得：()3π3πtan 0π224k k ϕϕ⎛⎫⋅+=⇒=-∈ ⎪⎝⎭Z ，因为π2ϕ<，取1k =得π4ϕ=，所以()3πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π35ππ2πtan tan1821843f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.8．B【分析】构造函数()()212g x f x x x =++，从而结合导数与所给条件得到函数()g x 的单调性与对称性，在将所给不等式中()f x 化为()g x 即可得解.【详解】令()()212g x f x x x =++，则()()1g x f x x ''=++，由题意可得，当0x ≥时，()10f x x '++>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，由()()2f x f x x =--，则()()2211222g x x x g x x x x --=--+-，即()()g x g x =-，故()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递减，则不等式()()232232x f x f x x --<-+可化为：()()()()2221132222223222x g x x x g x x x x ------++<-+，即()()22g x g x -<，则有22x x -<，即()2222x x -<，即()()22220x x x x -+--<，即()()3220x x --<，解得2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数()()212g x f x x x =++，从而结合导数与所给条件得到函数()g x 的单调性与对称性.9．BD【分析】对A ：利用周期函数性质举出反例即可得；对B ：将x 与()sgn x 都写成分段形式即可得；对C 、D ：利用符号函数，将所给函数化为分段函数形式后结合指数与对数函数的性质分段计算其值域即可得.【详解】对A ：由()sgn 00=，当0x ≠时，()sgn 0x ≠，故()sgn x 不是周期函数，故A 错误；对B ：,00,0,0x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，由()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则(),0sgn =0,0,0x x x x x x x >⎧⎪--=⎨⎪-<⎩，故对任意的x ∈R ，()sgn x x x =--，故B 正确；对C ：()2,02sgn 0,02,0x xx x y x x x ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩，当0x >时，()21,x y =∈+∞，当0x =时，0y =，当0x <时，()21,0xy =-∈-，综上所述，函数()2sgn xy x =的值域为(]()1,01,⋃-+∞，故C 错误；对D ：()222,01sgn ln =0,1,1x x y x x x x x ⎧<<⎪=-=⎨⎪->⎩，则01x <<时，()20,1y x =∈，当1x =时，0y =，当1x >时，()2,1y x =-∈-∞-，故函数()2sgn ln y x x =-的值域为{1y y <-或}01y ≤<，故D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】根据条件概率的计算公式即可结合选项逐一求解.【详解】由题意可知()345310102010P M ++==++，()11011010204P A ==++故()()1113()3401104P MA P M A P A ===,()2235()2403()310P A M P A M P M +===,()33351()(),103458P MA P M P A M =⋅=⨯=++故选：ACD 11．AD【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出Q 点坐标，对A ：利用空间两点间距离公式计算即可得点Q 轨迹，即可得其长度；对B ：借助空间向量求出平面1A BD 法向量可得点Q 轨迹，即可得其长度的最小值；对C ：借助空间向量求出两平面的法向量后可得其夹角的余弦值，结合点Q 轨迹即可得其范围；对D ：求出平面11AA B B 法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得.【详解】以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D ，()2,1,2P ，设()0,,Q m n ，02m ≤≤，02n ≤≤，对A ：PQ ==()()22121m n -+-=，则点Q 的轨迹为以()0,1,2为圆心，1为半径，且在正方形11CC D D 内部的半圆，则点Q 的轨迹长度为12π1π2⨯⨯=，故A 正确；对B ：()2,1,2PQ m n =---，()12,0,2A ，()2,2,0B ，则()12,0,2DA = ，()2,2,0DB = ，令平面1A BD 的法向量为()111,,m x y z =，则有11111220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，可令11x =，则111y z ==-，即()1,1,1m =-- ，由//PQ 平面1A BD ，则有()()()()2111210PQ m m n ⋅=-⨯+-⨯-+-⨯-=，即1m n +=，则PQ ===≥，故B 错误；对C ：()2,0,0A ，()2,,AQ m n =- ，()2,2,BQ m n =--，设平面ABQ 的法向量为()222,,x y z α=，则有()22221220220AQ x my nz BQ x m y nz αα⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，可令2x n =，则20y =，22z =，即(),0,2n α=，易得x 轴⊥平面ABP ，故平面ABP 的法向量可为()1,0,0β=，则cos ,αβαβαβ⋅==⋅ 由A 知()()22121m n -+-=，故()()221120m n -=--≥，即[]1,2n ∈，则52cos ,,52αβ=⎥⎣⎦ ，故二面角Q AB P --C 错误；对D ：()2,1,2PQ m n =--- ，平面11AA B B 法向量为()1,0,0β=，则sin cos ,PQ PQ PQ βθββ⋅===⋅由02m ≤≤，02n ≤≤，则()()[]22120,5m n -+-∈，故2sin ,13θ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于建立适当空间直角坐标系，从而借助平面的法向量研究位置关系，借助空间向量的夹角公式研究二面角或线面角.12．2（答案不唯一）【分析】取1,1a b =-=即可代入求解.【详解】取1,1a b =-=，则()()()()01e 1,11f a f g b g =-====，满足()()f a g b =，此时2b a -=，故答案为：2（答案不唯一）13．24【分析】根据圆锥的几何特征，结合异面直线所成角的几何法，即可利用三角形的边角关系求解.【详解】如图，设圆锥的底面圆半径为r ，则8π2π4r r =⇒=，D 是弧AC 的中点，ADC △为等腰直角三角形，故2DC r ===过A 作//AM DC 交底面圆于M ，则M 为弧AC 中点，故22222AM AC r ==⨯=,又8OA OM ==,所以12cos 84AMOAM OA ∠==，故异面直线OA 与CD ．故答案为：24.14．2-【分析】由题先分析出实数,,a b c ，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可.【详解】因为0a b ++=，2=-，所以,a b 两个数中有一个负数，不妔设a<0，所以{}min ,,a b c a =，由已知可得a b =-，所以(2b -+-，所以(2b +=，所以2(b =≥，所以31≤，所以1≤，由2a=≤-，故{}min ,,a b c 的最大值是2-.故答案为：2-15．(1){}|1a a >(2)[)2,+∞【分析】（1）根据Δ0<求出a 的取值范围，即可求出A ；（2）依题意可得101x m m x-->--，解得即可求出B ，再根据B A ⊆，得到11m -≥，解得即可.【详解】（1）因为命题p ：x ∀∈R ，220x x a ++>为真命题，所以2240a ∆=-<，解得1a >，所以{}|1A a a =>；（2）对于函数()1ln 1x m f x m x--=--，则101x m m x -->--，即()()110x m x m -+--<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为11m m +>-，解得11m x m -<<+，所以{}|11B x m x m =-<<+，又B A ⊆，所以11m -≥，解得2m ≥，即实数m 的取值范围为[)2,+∞.16．(1)证明见解析(2)5π6【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理即可得；（2）结合所给位置关系，建立适当空间直角坐标系，借助空间向量夹角公式计算即可得.【详解】（1）连接PC ，设其与DE 交于M ，由四边形PDCE 是平行四边形，则M 为PC 中点，连接FM ，又F 是PA 的中点，则//FM AC ，由AC ⊄平面DEF ,FM ⊂平面DEF ,故//AC 平面DEF ；（2）由PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，则PD CD ⊥，PD AD ⊥，有CD PA ⊥，PA PD P = ，,PA PD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面PAD ，又AD ⊂平面PAD ，故CD AD ⊥，故PD 、DA 、DC 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()0,0,1P 、()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,2,0C ，则()1,0,1PA =- 、()1,1,1PB =- 、()0,2,1PC =- ,令平面FPB 与平面PBC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z = ，则有1111100m PA x z m PB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，22222020m PB x y z m PC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令121x x ==，则有10y =，11z =，21y =，12z =，即()1,0,1m = ，()1,1,2n = ，则cos ,m n m n m n ⋅==⋅ 由图可知，二面角F PB C --为钝角，故二面角F PB C --的余弦值为，则二面角F PB C --的大小为5π6.17．(1)11,22⎤-⎢⎥⎣⎦(2)ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）首先选出条件，再利用条件求出π6ϕ=，进而求出函数()f x 在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值，再结合恒成立的不等式求解即得.（2）根据（1）的结论，利用三角函数图象变换求出()g x ，再利用正弦函数的性质求出递增区间.【详解】（1）选条件①()f x 在区间2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，得ππ4π7π2,2233x ϕϕϕϕ⎛⎫-<<⇒+∈++ ⎪⎝⎭，所以满足条件π4π2π23,Z 7ππ2π32k k k ϕϕ⎧-≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，得11π11π2π2π,Z 66k k k ϕ-≤≤-∈，又ππ22ϕ-<<，所以取1k =，所以π6ϕ=；选条件②0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，得ππsin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又ππ22ϕ-<<，所以2πππ363ϕ-<-<，得π06ϕ-=，所以π6ϕ=选条件③()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，知π6x =是()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的一条对称轴，所以πππ,Z 32k k ϕ+=+∈，则ππ,Z 6k k ϕ=+∈又ππ22ϕ-<<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()12f x -≤，由()1f x m -≤恒成立，得()()11f x m f x -≤≤+，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()1f x -的最大值为12-，()1f x +的最小值为12，则1122m -≤≤所以实数m的取值范围11,22⎤-⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知()πsin 26f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后，得πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍，得πsin 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π42π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，得ππππ,Z 21226k k x k -≤≤+∈，()g x 的单调增区间是ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦18．(1)12(2)3.75(3)11572048【分析】（1）根据组合知识求出相应的概率；（2）根据全概率公式得到聊天机器人作答正确的概率，从而得到()5,0.75X B ~，根据二项分布期望公式求出答案；（3）计算出机器人获胜和两者平局的概率，从而求出小王获胜的概率.【详解】（1）小王能全部答对的概率为59510C 1C 2=；（2）设每次输入的问题出现语法错误为事件A ，则()0.1P A =，聊天机器人作答正确为事件C ，则()()()()()()()P C P AC P AC P A P C A P A P C A =+=⋅+⋅0.10.30.90.80.75=⨯+⨯=，故聊天机器人答对题数()5,0.75X B ~，数学期望50.75 3.75EX =⨯=；（3）由题意可得小王最少答对4道题，小王能答对5道题的概率为59510C 1C 2=，答对4道题的概率为4191510C C 1C 2=，由（2）知，聊天机器人答对题数()5,0.75X B ~，故机器人能答对5道题的概率为5553243C 41024⎛⎫= ⎪⎝⎭，机器人能答对4道题的概率为44531405C 441024⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题，故机器人获胜的概率为1243243210242048⨯=，小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题，其中都答对5道题的概率为1243243210242048⨯=，都答对4道题的概率为1405405210242048⨯=，所以小王获胜的概率为243243405115712048204820482048---=.19．(1)2a ≤(2)3，证明见解析【分析】（1）参变分离后可得1e 1x a x ≤++在()1,∞-+上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性即可得其最值，即可得解；（2）构造函数()()e ln 131x x x x μ=++--，结合导数讨论其单调性，可得其极值点，结合零点的存在性定理即可得其零点个数，即可得方程()1f x =的实数根的个数.【详解】（1）()1e 1x f x a x =+-+'，则有()1e 01x f x a x +'=+-≥在()1,∞-+上恒成立，即1e 1x a x ≤++在()1,∞-+上恒成立，令()1e 1x g x x =++，则()()21e 1x g x x =-+'，令()()()21e 1x h x g x x ==-+'，则()()32e 1x h x x =++'，则当()1,x ∞∈-+时，()()32e 01x h x x +'=+>恒成立，故()g x '在()1,∞-+上单调递增，又()()0210e 001g '=-=+，故当()1,0x ∈-时，()00g '<，当()0,x ∞∈+时，()00g '>，故()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，即有()()010e 201g x g ≥=+=+，故2a ≤；（2）当3a =时，关于x 的方程()1f x =有三个不同的实数根，证明如下：当3a =时，令()1f x =，即()e ln 131x x x ++-=，令()()e ln 131x x x x μ=++--，则()1e 31x x x μ=+-+'，由（1）知()1e 1x g x x =++在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()1e 31x x x μ=+-+'在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()010e 31001μ=+-=-<+'，()1151e 3e 0112μ=+-=-'>+，223321e 3e 02313μ--⎛⎫-=+-=> ⎪⎭+'⎝-，故存在12,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()20,1x ∈，使()()120x x μμ''==，由()()00e ln 013010μ=++-⨯-=，故0x =是方程()1f x =的一个根，则()10x μ>，()20x μ<，又1x →-时，()x μ∞→-，()()3333e ln 31331e ln 410e 90μ=++-⨯-=+->->故存在()11,m x ∈-，使()0m μ=，即x m =是方程()1f x =的一个根，存在()2,3n x ∈，使()0n μ=，即x n =是方程()1f x =的一个根，综上所述，当3a =时，关于x 的方程()1f x =有三个不同的实数根.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于灵活利用零点的存在性定理判断函数是否在某个固定区间内有零点，从而得到方程的根的个数.。

江苏省常州市常州中学2012届高三最后冲刺综合练习数学(文)试卷(十三)

江苏省常州市常州中学2011-2012高三数学（文)最后冲刺综合练习试卷（十三）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上。

1.已知函数sin()cos(1212y x x ππ=--，则此函数的最小正周期是 .2。

设,4,8,z z z z+=⋅==z 的共轭复数是z 若z z 则 .3.设集合{}003,1x A xB x x x ⎧⎫=< =<<⎨⎬-⎩⎭，那么“∈m A "是“∈m B "的条件.5。

设点m n （，）在直线1x y +=位于第一象限内的图象上移动，则22loglog m n+的最大值是 .6.已知平面区域0240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩被圆C 以及内部覆盖.当圆C 的面积最小时，则圆C 的方程为。

7。

在可行域内任取一点，规则如右流程图所示，则输出数对(,)x y 的概率是 . 8．在平行四边形ABCD 中，AB AD AN NC =,=,=3a b ，M BC MN为的中点，则= (,用表示a b ）。

9。

已知12F F 、是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是 .10、对于函数f （x ）定义域中任意的x 1、x 2(x 1≠x 2），有如下结论： ①()()()1212f x x f x f x +=⋅ ；②()()()1212f x x f x f x =+；③2121)()(x x x f x f -->0； ④12()2xx f +<2)()(21x f x f +。

当()lg f x x =时，上述结论中正确的结论的序号是___________.11.定义运算*x x yx y y x y , ≤⎧=⎨ , >⎩，若1*1m m m -=-，则m 的取值范围是。

12.集合{}12,,n a aa 和常数0a ，定义：22210200cos ()cos ()cos ()n a a a a a a nϖ-+-++-=为集合{}12,,n a aa 相对于0a 的“余弦方差”，则集合57,,266πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭相对于常数a 的“余弦方差”为 .13。

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江苏省常州市教育学会学业水平监测2012届高三数学试卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A+B ) = P (A ) +P (B )如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ²B ) =P (A )²P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(正棱锥、圆锥的侧面积公式S 锥体侧=cl 21其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长球的体积公式V 球=34πR 3 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（文科学生做）已知α为第四象限角，则π+α为（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角（理科学生做）设复数z 1=1+i ，z 2= -3+i ，则z =12z z 在复平面内所对应的点位于（） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 2．一个多面体的各个面都是五边形，且每个顶点出发有三条棱，这个多面体是（） A ．六面体 B ．八面体 C ．十面体 D ．十二面体3．对于一组数据i x (i =1，2，3，…，n )，如果将它们改变为i x -c (i =1，2，3，…，n )，其中c ≠0，则下面结论中正确的是（）A ．平均数与方差均不变B ．平均数不变，而方差变了C ．平均数变了，而方差保持不变D ．平均数与方差均发生了变化4．设1(1,)2OM = ，(0,1)ON = ，则满足条件0≤OP OM≤1，0≤OP ON ≤1的动点P 的变动范围（图中阴影部分，含边界）是（）5．函数2y x=的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两个定点间的距离为（）A ．8 B． C ．4 D．6．某农场，可以种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d km的中心城市，其产销资料如下表所示：当距离d 达到n km 以上时，四种农作物中以种植稻米的经济效益最高（注经济效益＝市场售价－生产成本－运输成本）．则n 的值为（） A ．50 B ．70 C ．250 D ．3207．若数列{}n a 是等差数列，首项a 1＜0，a 4+a 2005＜0，a 1004²a 1005＜0，则使前n 项和S n ＜0成立的最大自然数n 可以是（）A ．2005B ．2006C ．2007D ．2008 8．如图，在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱1AA 、1BB 、1CC 的长度分别为10m 、15m 、30m ，则立柱1DD 的长度是（） A ．30m B ．25m C ．20m D ．15m9．（文科学生做）已知8()a x x+展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（） A ．1或83B ．1或82C ．82 D ．83（理科学生做）设12)310(++n （n ∈N ）的整数部分和小数部分分别为I n 和F n ，则F n (F n +I n )的值为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．与n 有关的数 10．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径忽略不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（）A 1A ．4aB ．2(a -c )C ．2(a +c )D ．4a 或2(a -c )或2(a +c ) 11．已知2432()34,(())318506948f x x x f g x x x x x =-+=++++，那么整系数多项式函数)(x g 的各项系数和为（） A ．10 B ．9 C ．8 D ．1112．平行移动抛物线x 2= -3y ，使它的顶点总在抛物线x 2=y 上，这样得到的抛物线所经过的区域是（） A ．xOy 平面B ．y ≤212xC ．y ≥-212xD ．y ≤-212x第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上．13．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为40人，则n = ． 14．已知A={0，1，2，3，4，5，6，7}，f ：A →A 。

则满足“若i+j=7，则f(i)²f(j)=ij ”的映射f 的个数为。

15．已知2005sin2α=sin2008°，则tan(1004)tan(1004)tan(1004)tan(1004)αααα++-+-- 的值为．16．设m 是正整数，若用m 去除整数a ，b 所得的余数相同，则称a ，b 关于模m 同余，记作a ≡b (mod m )．根据这一定义，下列各式成立的是． ①a ≡b (mod m ) , t ;a b mt ⇒=+∈Z ②a ≡b (mod m )(mod )b a m ⇒≡；③(mod ) , =1,2,3,,i i a b m i n ≡ 11(mod )n niii i a b m ==⇒≡∑∑．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）（文科学生做）某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中：（1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？（理科学生做）某先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班．若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A →C →D 算作两个路段，且路段AC 发生堵车事件的概率为12，路段CD 发生堵车事件的概率为13）若记路线A →C →F →B 中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ．BFE14231312 1418．（本小题满分12分）在等比数列{a n}中，前n项和为S n．若S2，S4，S3成等差数列，则a2, a4, a3成等差数列．（1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明．正四棱柱AC 1中，E 为棱D 1D 上的点，O 是底面正方形ABCD 的中心．（1）若E 为D 1D 的中点，则1AA AB为何值时，EO 与面A 1ADD 1成30 角；（2）若AB 1⊥EO ，证明O 点在面AEB 1上的射影是△AEB 1的垂心．函数432()41f x x x ax =-++在[0,1)上单调增，在[1,2)上单调减．（1）求a 的值．（2）实数k 取何值时，函数g (x )=kx +1与f (x )的图象恰有三个公共点？过点P 作椭圆2214x y +=的两条切线l 、m ，试求当l ⊥m 时的点P 的轨迹．定义22()(1)(1)A x b f x a x=-+-，x ∈A ，A =[a ，b ），a ＜b ，a 、b 为正实数．（Ⅰ）求f A (x )的最小值；（Ⅱ）确定f A (x )的单调区间，并对单调增区间加以证明；（Ⅲ）若x 1∈I k = [k 2，(k +1)2)，x 2∈I k +1 = [(k +1)2，(k +2)2)，k ∈N *．求证：1124()()(1)k k I I f x f x k k ++>+．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．B 2．D 3．C 4．A 5． B 6．A 7． D 8．B 9．A 10．D 11．C 12．C 提示：1．（文科题）可根据象限角的概念直接进行判断．（理科题）(1i)(3i)24i z =+--=--，对应点（-2，-4）在第三象限． 2．设面数为F ，棱数为E ，顶点数为V ，则V +F -E =2，且5F =2E ，3V =2E ，解得F =12．3．设x 1，…，x n 的平均数为1nx x x n++= ，方差为D =则x 1-c ，…，x n -c 的平均数为11()()n nx c x c x x x c x c x n n-++-++'==-=-≠ ，方差为D D '．4．设OP = (x ，y )，则11(,)(1,)[0,1]22OP OM x y x y ==+∈ ，(,)(0,1)[0,1]OP ON x y y ==∈ ．显然点(x ，y )的变动区域为图A 所示．5． xy =2为等轴双曲线，两个顶点为(A B ，于是2a =|AB |=4，2c ==6．设四种农作物均种植1个单位面积．水果：经济效益=(8-3)³1³10-0.06³1³10³n =50-0.6n ，蔬菜：经济效益=(3-2)³1³15-0.02³1³15³n =15-0.3n ，稻米：经济效益=(2-1)³1³40-0.01³1³40³n =40-0.4n ，甘蔗：经济效益=(1-0.4)³1³30-0.01³1³30³n =18-0.3n ．依题意有，40-0.4n ≥50-0.6n ，40-0.4n ≥15-0.3n ，40-0.4n ≥18-0.3n ．分别解得：n ≥50，n ≤250，n ≤320．故n ≥50．7．易知d ＞0，a 1005＞0．S 2009=1200910052009()20092a a a ⨯+=＞0，S 2008=120084200520082008()()22a a a a ⨯+=⨯+＜0．故S n ＜0的最大自然数n 为2008．8．BB 1+DD 1=AA 1+CC 1．9．（文科题）484848()11202aC x a x--=⇒=±．展开式中各项系数和为(1+a )8=1或38．（理科题）21213)3)n n n I ++=-，213)n n F +=，F n (I n +F n )=1．10．设靠近A 的长轴的端点为M ，另一长轴的端点为N ．若小球沿AM 方向运动，则路程应为2(a -c )；若小球沿ANM 方向运动，则路程应为2(a +c )；若小球不沿AM 与AN 方向运动，则路程应为4a ． 11．f (g (1))=188，f (x )=215⇒x =8（x =233-，不合，舍去．） 12．设抛物线的顶点为(t ，t 2)，则有(x -t )2= -3(y -t 2)，整理得2t 2+2tx -(x 2+3y )=0．由⊿≥0可推得220x y +≥．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．96 14．480 15．1200516．①②③ 提示： 13．4096200120010001000n n =⇒=++．14．对0，7两元素的象，此时f(i)²f(j)=0，故0，7这两元素的象至少有一个为0，计有2³8-1=15种情形；对1，6两元素的象，此时f(i)²f(j)=6=1³6=2³3，故1，6两元素的象可能是1，6；6，1；2，3；3，2，计有4种情形。