超定方程最小二乘解
求超定方程组的最小二乘解
求超定方程组的最小二乘解最小二乘法是一种常用的数学方法，用于求解超定方程组的近似解。
超定方程组指方程的个数多于未知数的个数，因此无法直接求解精确解。
而最小二乘法通过将方程组中的每个方程的残差平方之和最小化，找到一个最接近解的估计值。
最小二乘法的应用非常广泛，尤其在数据拟合和回归分析中被广泛使用。
举个例子来说，假设我们有一组观测数据，表示了某个物理过程的实际情况。
而我们想要通过一个数学模型来描述这个物理过程。
但是由于观测误差等原因，我们无法通过这组数据直接得到精确的解。
这时，我们可以使用最小二乘法来逼近这个数学模型。
首先，我们假设这个数学模型是一个线性方程组。
然后，我们根据观测数据，使用最小二乘法来找到一个最接近的解。
具体的求解步骤如下：1. 假设我们的线性方程组可以表示为 Ax = b 的形式，其中 A是一个 m 行 n 列的系数矩阵，x 是一个 n 维列向量表示未知数，b是一个 m 维列向量表示观测数据。
2. 我们的目标是找到一个最小二乘解 x*，使得 ||Ax - b||^2 = min。
其中，||.|| 表示向量的模（即向量的长度的平方）。
3. 通过数学推导可以得到，最小二乘解可以通过求解正规方程组ATAx = ATb 得到。
其中，AT 是 A 的转置矩阵，A^T 表示 A 的伪逆矩阵。
4. 求解正规方程组的方法有多种，最常见的是使用矩阵的分解方法，如QR分解或奇异值分解等。
通过以上步骤，我们可以得到最小二乘解 x*，并使用它来逼近我们的数学模型。
最小二乘法的优点在于它能够处理带有误差的观测数据，提供一个最优的近似解。
它在实际应用中具有广泛的指导意义。
举个实际案例来说，假设我们要估计一辆汽车的燃油消耗量与其速度的关系。
我们首先收集了一组汽车在不同速度下的燃油消耗数据。
然后，我们可以使用最小二乘法来拟合一个线性模型，得到一个最优的近似解。
通过最小二乘法，我们可以得到一个线性关系的方程，表示速度与燃油消耗量之间的关系。
c++ 矩阵超定方程的最小二乘求解
在进行C++矩阵超定方程的最小二乘求解时，我们首先需要理解什么是矩阵超定方程和最小二乘法。
矩阵超定方程指的是方程组的数量多于未知数的数量，这种情况下无法精确求解方程组，因为方程组中存在冗余信息。
而最小二乘法是一种数学优化方法，用于寻找一组参数，使得函数的预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。
在C++中，我们可以利用已有的数学库或自己编写矩阵运算的函数来实现矩阵超定方程的最小二乘求解。
我们需要将超定方程组表示成矩阵形式，例如 A * x = b，其中 A 是m×n 的矩阵（m > n），x 是n×1 的未知数向量，b 是m×1 的观测值向量。
然后我们可以利用最小二乘法来求解未知数向量 x。
在C++中，我们可以使用Eigen这样的成熟数学库来进行矩阵运算和最小二乘求解。
Eigen提供了方便的矩阵和向量操作接口，使得矩阵超定方程的最小二乘求解变得非常简单和高效。
我们可以使用Eigen中的LeastSquaresConjugateGradient类或其他最小二乘求解器来解决超定方程组，从而得到最优的未知数向量 x。
除了使用成熟的数学库外，我们还可以自己编写矩阵运算和最小二乘求解的函数。
通过理解最小二乘法的原理和矩阵运算的基本操作，我们可以实现一个高效的最小二乘求解算法，用于解决矩阵超定方程。
这种方式可以加深我们对最小二乘法和矩阵运算的理解，同时也可以满足特定的需求和定制化的要求。
在C++中实现矩阵超定方程的最小二乘求解是一项非常重要和有意义的任务。
无论是使用现有的数学库还是自己编写算法，都需要深入理解矩阵运算和最小二乘法的原理，同时结合具体的应用场景来实现高质量、深度和广度兼具的算法。
希望通过我们的努力，能够为矩阵超定方程的最小二乘求解提供更加全面、深入的理解和应用。
希望以上内容对你有所帮助。
如有任何疑问或需要进一步讨论的，欢迎随时与我联系。
矩阵超定方程的最小二乘求解在实际应用中有着广泛的应用，比如在工程、物理学、经济学和统计学等领域。
超定方程组的最小二乘解
第六章 第二节
学
MATH
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思维的体操 第六章 第二节 ——加里宁
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第六章 第二节
第二节 超定方程组的最小二乘解
设方程组Ax=b中, A=(aij)mn, b是m 维已知向量, x 是n 维解向量,当 m>n 即方程组中方程的个数 多于自变量的个数, 称此方程组为超定方程组.
????????????????????????????????????????????????????????????????763111254213221xx第六章第二节????????????????????????????????????????????????????????????????763111254213221xx正规方程组为上页下页返回正规方程组为????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7631112542132125421321254213221xx第六章第二节即解得即解得????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7631112542132125421321254213221xx上页下页返回?????????????????????485146331821xx??????????2418
ATA是正定矩阵，必有det(ATA)>0。故
AT Ax ATb
的解存在且唯一。可用平方根法或SOR法求解。
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例1 求超定方程组
超定方程组最优解（最小二乘解）推导
超定⽅程组最优解（最⼩⼆乘解）推导⼀、超定⽅程组##超定⽅程组即为有效⽅程个数⼤于未知数个数的⽅程组。
（这⾥只讨论多元⼀次的情况）超定⽅程组可以写成矩阵的形式：Ax=b其中A为m×n的矩阵，其与b组成的增⼴矩阵[A|b]的秩⼤于n。
x为n维列向量未知数。
⼆、超定⽅程组的最⼩⼆乘解##超定⽅程组是⽆解的，但是我们可以求得其最⼩⼆乘解，就是将等式左右两端乘上A的转置。
\begin{equation}\begin{split}A TAx=A Tb\end{split}\end{equation}该⽅程有增⼴矩阵[A T A|A T b]的秩等于n，即该⽅程的未知数的个数等于有效⽅程的个数，所以该⽅程有唯⼀解且为原⽅程的最⼩⼆乘解。
平时记住结论直接⽤就好三、推导过程##（记录，⼤家不要看：其实⼩⽣也是只知道结论不知道结论是怎么来的，不过有⼀天看斯坦福⼤学的机器学习公开课的第⼆节，看到了推导过程。
）1.前置结论###1. trAB=trBA2. trABC=trBCA=trCAB3. ∇A trAB=B T4. trA=trA T5. tra=a6)∇A trABA T C=CAB+C T AB Ttr代表矩阵的迹，⼤写字母为矩阵⼩写字母表⽰实数，∇表⽰求导。
2.公式推导###作差[]Ax−b=a T1x−b1⋮a T m−b m构建最⼩⼆乘\begin{equation}\begin{split}\frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}m(a_i Tx-b_i)^2\end{split}\end{equation}对x求导\begin{equation}\begin{split}\nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_x tr(x TA TAx-x TA Tb-b TAx+b Tb)\end{split}\end{equation}利⽤前置结论2)4)5)\begin{equation}\begin{split}\nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_xtr[xx TA TA-\nabla_xb TAx-\nabla_xb TAx]\end{split}\end{equation}其中利⽤前置结论6)注：⼤括号下的A为前置结论中的A，⼤括号上的A为矩阵A。
超定方程组的最小二乘解原理
超定方程组，又称为过定方程组，是线性代数中的一个概念。
当方程组的未知数数量少于方程数量时，该方程组就被称为超定方程组。
由于超定方程组通常没有精确解，我们常常会寻求一个近似解，使得所有方程的残差平方和最小。
这就是最小二乘解的原理。
一、最小二乘解的基本概念最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
二、超定方程组的性质对于超定方程组，由于方程数量多于未知数数量，因此通常不存在一个解能够使得所有方程同时成立。
这种情况下，我们需要寻找一个近似解，即一个解，使得所有方程的残差（即方程的实际值与解代入方程后得到的计算值之间的差）的平方和最小。
三、最小二乘解的原理最小二乘解的原理就是基于上述思想，通过最小化残差平方和来寻找超定方程组的近似解。
具体步骤如下：构建残差平方和函数：首先，我们需要构建一个表示残差平方和的函数。
假设超定方程组有(m) 个方程，(n) 个未知数（(m > n)），未知数的向量记作(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T)，方程组的系数矩阵记作(\mathbf{A} = (a_{ij})_{m \times n})，常数项向量记作(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_m)^T)。
那么，残差向量可以表示为(\mathbf{r} = \mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})，残差平方和函数可以写为(S(\mathbf{x}) = \mathbf{r}^T\mathbf{r} = (\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})^T(\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b}))。
62第二节 超定方程组的解
2x1 4x2 11.0478 3x1 5x2 2.9119
x1 2x2 5.5239
b1 b2 b3
解得最小二乘解为
x1 x2
3.0403 1.2418
2x1 x2 7.3224 b4
m
n
m
故误差平方和为 I r 2 2
数学学院 信息与计算科学系
nm
m
即有 ( aij aik )xk aij bi ( j 1,2,..., n)
k 1 i1
i 1
此线性方程组写成矩阵形式就是
AT Ax AT b
故x*是 ATAx=ATb 的解.
定理得证.
这里 ATAx=ATb 是关于x1,x2, …,xn的线性 方程组，称为正规方程组或法方程组.
数学学院 信息与计算科学系
解的存在唯一性
由于ATA是n 阶方阵，且是对称阵，当R(A)=n 时， 对任意 y≠0，有Ay≠0 ，所以
yT ( AT A) y ( Ay, Ay) Ay 2 0 2
可见ATA是正定矩阵，必有det(ATA)>0。故法方程
AT Ax AT b
的解存在且唯一.
2 2 yT AT (b Ax* )
2
Ay
2 2
b Ax*
2
Ay 2
b Ax*
2
2
2
2
所以x*是Ax=b 的最小二乘解.
数学学院 信息与计算科学系
必要性 误差向量r=b-Ax 的第 i 个分量为
n
ri bi aik xk (i 1,2,..., m),
python 最小二乘法求解超定
python 最小二乘法求解超定最小二乘法是一种优化技术，用于求解超定方程组，也就是方程的数量大于未知数的数量的方程组。
在Python中，我们可以使用NumPy库中的linalg.lstsq函数来实现最小二乘法。
首先，我们需要理解最小二乘法的基本原理。
最小二乘法的基本思想是通过最小化误差的平方和来找到最佳函数匹配。
在超定方程组的情况下，我们无法找到一个精确的解，因为方程的数量超过了未知数的数量。
但是，我们可以找到一个最佳近似解，这个解能使得所有方程的残差平方和最小。
在Python中使用最小二乘法求解超定方程组的基本步骤如下：导入NumPy库。
定义超定方程组的系数矩阵A和目标向量b。
使用numpy.linalg.lstsq(A, b)函数求解超定方程组。
以下是一个示例代码：pythonimport numpy as np# 定义超定方程组的系数矩阵A和目标向量bA = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]])b = np.array([1, 2, 3, 4])# 使用numpy.linalg.lstsq函数求解超定方程组x, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)print("解向量x：", x)print("残差：", residuals)print("矩阵A的秩：", rank)print("奇异值：", s)注意，numpy.linalg.lstsq函数返回四个值：解向量x，残差，矩阵A的秩，以及A的奇异值。
其中，解向量x就是我们要求的近似解。
以上就是Python中使用最小二乘法求解超定方程组的方法。
最小二乘法求超定方程组例题
选择题使用最小二乘法求解超定方程组时，我们的目标是：A. 最小化残差的平方和B. 最大化残差的平方和C. 使得所有方程严格成立D. 求解出方程组的无穷多解（正确答案）对于一个超定方程组Ax = b，其中A 是m×n 矩阵(m > n)，最小二乘解x 是通过以下哪个公式求得的？A. x = A\b (A 的左除)B. x = AT * bC. x = (AT * A)(-1) * AT * b （当AT * A 可逆时）（正确答案）D. x = b / A在最小二乘法中，残差定义为：A. 实际观测值与模型预测值之差B. 模型预测值与实际观测值之和C. 实际观测值与模型预测值之积D. 模型预测值与实际观测值之商（正确答案）关于最小二乘法，以下哪个说法是正确的？A. 它只能用于求解恰定方程组B. 它总是能找到使所有方程都成立的解C. 它是一种优化方法，用于找到使残差平方和最小的解（正确答案）D. 它只能用于线性方程组在求解超定方程组时，如果增加更多的观测数据，通常会对最小二乘解产生什么影响？A. 解会变得更加不准确B. 解会保持不变C. 解可能会变得更加稳定，但也可能受异常值影响（正确答案）D. 解的维度会增加最小二乘法在统计学中常用于：A. 计算样本均值B. 进行假设检验C. 进行数据拟合（正确答案）D. 计算样本方差对于超定方程组，以下哪个性质是最小二乘解不一定具有的？A. 唯一性（当AT * A 可逆时）B. 使所有方程成立C. 使残差平方和最小D. 是方程组的一个近似解（正确答案）在最小二乘法中，如果观测数据中存在异常值，可能会对最小二乘解产生什么影响？A. 解会变得更加准确B. 解会完全不受影响C. 解可能会受到较大影响，导致偏差（正确答案）D. 解的维度会降低关于最小二乘解，以下哪个说法是不正确的？A. 它是一种逼近解，不一定满足所有方程B. 它的求解过程中涉及到了矩阵运算C. 它总是能给出全局最优解（正确答案）D. 它适用于观测数据多于未知数个数的情况。
超定方程用最小二乘法求解
超定方程用最小二乘法求解根据解的存在情况，线性方程可以分为:有唯一解的恰定方程组，解不存在的超定方程组，有无穷多解的欠定方程组。
对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。
则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。
线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。
对于超定方程，在MATLAB 中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。
左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程，称为超定方程，在matlab里面有三种方法求解，一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b,二是用左除法求解，x=A\b,三是用最小二乘法求解,x=lsqnonneg(A,b)(3)矩阵求逆行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。
方阵的求逆函数为：B=inv(A)该函数返回方阵A的逆阵。
如果A不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。
在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。
在MATLAB中不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解，而是使用矩阵除法运算x=A\B来求解。
因为MATLAB设计求逆函数inv时，采用的是高斯消去法，而设计除法解线性方程组时，并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。
因此，MATLAB推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。
(4)除法运算在线性代数中，只有矩阵的逆的定义，而没有矩阵除法的运算。
而在MATLAB 中，定义了矩阵的除法运算。
矩阵除法的运算在MATLAB中是一个十分有用的运算。
根据实际问题的需要，定义了两种除法命令：左除和右除。
矩阵左除：C=A\B或C=mldivide(A,B)矩阵右除；C=A/B或C=mrdivide(A,B)通常矩阵左除不等于右除，如果A是方阵，A\B等效于A的逆阵左乘矩阵B。
超定方程的最小二乘解
超定方程的最小二乘解超定方程的最小二乘解，听起来像个高大上的数学概念，但其实说白了，就是把一堆数据弄得更好看、更合理。
想象一下，你在菜市场买水果，看到一堆苹果，价格差不多，但总觉得有点贵。
你想啊，要是能找到个便宜又好吃的苹果就好了。
这时候，你就得动脑筋了，超定方程就像是你寻找便宜苹果的工具。
先说说这个超定方程，它的意思就是你的方程数比未知数多，听起来有点复杂，其实就像你找了一堆好吃的食材，但还是希望能做出更好吃的菜。
说到这，大家是不是觉得数学和生活真是密不可分呢？回到我们的苹果，假设你想要找到每个苹果的最佳价格，结果却发现，有的价格偏高，有的又偏低，这时候就得用最小二乘法来调整一下，让整体看起来更加合理。
最小二乘法其实就是个很聪明的办法，简单来说就是把每个苹果的价格都看成一个方程，算一算，把那些偏差大的都给调回去。
就像你一开始看那些价格，可能心里有点嘀咕，最后通过计算发现其实也没那么贵。
这种方法可以让我们找到一个“最佳”的解决方案，虽然不一定是完美的，但已经足够靠谱。
再来聊聊这个“最小”的意思。
这里的最小可不是说只便宜一点，而是指那些误差最小的意思。
就像你在超市里碰到的打折商品，可能有的打折力度大，但质量却差；有的虽然只便宜一点，但质量超好，最后还是得选个性价比最高的。
这就是最小二乘法的真谛：在一堆数据中，找到那个让大家都满意的解决方案。
这种方法具体怎么运作呢？想象一下，你把所有数据都放进一个大锅里，慢慢煮熟，最后捞出来的就是你想要的结果。
这个过程中，最小二乘法就像是个厨师，不断调整火候，直到拿到完美的汤底。
每次调味的时候，厨师都会尝一尝，看看是不是合适，其实就是在不断优化那些数据，让它们更贴近真实的情况。
生活中，我们常常面对各种各样的选择。
比如说，你想买车，预算有限，又希望车好又省油。
这个时候，最小二乘法也能给你一些启示。
你可能会列出不同车型的数据，把每个车的油耗、价格、性能一一列出，然后用最小二乘法的思路，找到那个最符合你需求的车，避免了“看上去不错，实际上不合适”的陷阱。
超定方程组的最小二乘解 mathematica
超定方程组的最小二乘解 mathematica 超定方程组是指方程数量大于未知数数量的方程组。
在实际问题中，经常会遇到这种情况。
最小二乘解是指对于超定方程组，求解出的使得方程组的误差最小的解。
本文介绍如何使用Mathematica求解超定方程组的最小二乘解。
首先，构造一个超定方程组。
假设有$m$个方程，$n$个未知数，其中$m>n$。
方程组可以写成$Ax=b$的形式，其中$A$是$mtimes n$的系数矩阵，$x$是$ntimes 1$的未知向量，$b$是$mtimes 1$的常数向量。
接下来，使用Mathematica中的“PseudoInverse”函数求解最小二乘解。
该函数可以求解在最小二乘意义下的伪逆矩阵。
伪逆矩阵满足$A^+Ax=A^+b$，其中$A^+$为$A$的伪逆矩阵。
因此，最小二乘解为$x=A^+b$。
下面给出一个具体的例子。
假设有以下超定方程组：$$begin{cases}2x_1+3x_2=7 4x_1+5x_2=11 6x_1+7x_2=15 8x_1+9x_2=19end{cases}$$其中有$4$个方程，$2$个未知数。
我们可以将其写成矩阵形式： $$begin{pmatrix}2 & 3 4 & 5 6 & 7 8 &9end{pmatrix}begin{pmatrix}x_1x_2end{pmatrix}=begin{pmatrix}7 11 15 19end{pmatrix}$$ 然后使用Mathematica求解最小二乘解：```mathematicaA = {{2, 3}, {4, 5}, {6, 7}, {8, 9}};b = {7, 11, 15, 19};x = PseudoInverse[A].b```运行结果为：```{0.4, 1.5}```因此，最小二乘解为$x_1=0.4$，$x_2=1.5$。
总结一下，使用Mathematica求解超定方程组的最小二乘解非常简单。
matlab 最小二乘 超定方程 举例
Matlab中的最小二乘法在解决超定方程组问题时起到了很大的作用。
下面我们将以实际的例子来说明Matlab如何使用最小二乘法解决超定方程组问题。
1. 我们需要明确什么是超定方程组。
超定方程组是指方程的数目大于未知数的数目，这样的方程组往往没有精确解。
在实际问题中，经常会遇到这样的情况，例如在数据拟合、信号处理、控制系统等领域。
2. 我们需要了解最小二乘法的原理。
最小二乘法是一种数学优化方法，通过最小化误差的平方和来求解未知参数。
在超定方程组中，最小二乘法可以用来寻找方程组的最佳拟合解，即使得方程组的误差最小化的解。
3. 接下来，我们以一个简单的线性拟合问题来演示Matlab中最小二乘法的应用。
假设我们有一组数据点(x,y)，其中x是自变量，y是因变量。
我们希望找到一条直线y=ax+b来最佳拟合这组数据点。
这意味着我们需要找到参数a和b使得数据点到直线的误差最小。
4. 在Matlab中，我们可以使用polyfit函数来进行最小二乘拟合。
该函数的调用方式为：``` matlabp = polyfit(x, y, 1);```其中x和y是数据点的坐标，1表示拟合的多项式次数，这里是一次直线拟合。
调用polyfit函数后，我们可以得到拟合出的直线的系数。
5. 为了验证拟合的效果，我们可以使用polyval函数来计算拟合出的直线在自变量x处的预测值。
该函数的调用方式为：``` matlaby_fit = polyval(p, x);```y_fit就是拟合出的直线在对应x处的预测值。
6. 我们可以将原始数据点和拟合出的直线一起绘制在同一张图上，以直观地看出拟合效果如何。
我们可以使用plot函数来绘制数据点和直线，使用legend函数来加上图例，方便对比。
通过以上步骤，我们可以在Matlab中使用最小二乘法来解决超定方程组问题，例如进行数据拟合、信号处理等。
这种方法可以帮助我们找到最佳拟合方程，从而更好地理解数据的特性，或者用于预测未知数据点的结果。
opencv 最小二乘求解超定方程组
opencv 最小二乘求解超定方程组摘要：一、最小二乘法简介1.最小二乘法的概念2.最小二乘法在求解超定方程组中的应用二、利用OpenCV实现最小二乘法求解超定方程组1.OpenCV简介2.使用OpenCV实现最小二乘法求解超定方程组的步骤三、实例演示1.准备数据2.实现最小二乘法求解超定方程组3.结果分析正文：一、最小二乘法简介最小二乘法是一种数学优化技术，用于通过最小化误差的平方和来寻找最佳拟合函数。
在线性代数中，最小二乘法被用于求解超定方程组。
超定方程组是指方程的数量大于未知数的数量，这种情况下，最小二乘法可以找到一组最优的解，使误差的平方和最小。
二、利用OpenCV实现最小二乘法求解超定方程组OpenCV（Open Source Computer Vision Library）是一个开源的计算机视觉库，它提供了丰富的图像处理和计算机视觉方面的功能。
在OpenCV中，可以通过矩阵操作实现最小二乘法求解超定方程组。
以下是使用OpenCV实现最小二乘法求解超定方程组的步骤：1.导入所需库：```pythonimport cv2import numpy as np```2.准备数据：```python# 生成随机数据A = np.random.rand(4, 5)b = np.random.rand(4)```3.实现最小二乘法求解超定方程组：```python# 计算雅可比行列式J = np.linalg.inv(A.T @ A)# 计算最小二乘解x_ls = np.dot(J, A.T @ b)```4.结果分析：```python# 计算原方程组的解x_true = np.linalg.inv(A) @ b# 计算误差平方和e_ls = np.linalg.norm(x_true - x_ls)**2print("最小二乘误差平方和：", e_ls)```三、实例演示我们通过一个具体的例子来演示如何使用OpenCV实现最小二乘法求解超定方程组。
最小二乘法求解超定方程组
最小二乘法求解超定方程组最小二乘法是一种常用的数学方法，用于求解超定方程组。
在实际问题中，我们经常会遇到方程个数大于未知数个数的情况，这时候就需要使用最小二乘法来找到一个最优解。
最小二乘法的基本思想是，通过最小化误差的平方和来确定未知数的值。
假设我们有一个超定方程组Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，m>n，x是一个n维向量，b是一个m维向量。
我们的目标是找到一个x，使得Ax尽可能接近b。
首先，我们可以将方程组写成矩阵形式：A^T Ax = A^T b，其中A^T表示A的转置。
这个方程被称为正规方程。
我们可以通过求解正规方程来得到最小二乘解。
为了求解正规方程，我们需要计算A^T A和A^T b的乘积。
首先计算A^T A，它是一个n×n的对称矩阵。
然后计算A^T b，它是一个n维向量。
最后，我们可以通过求解线性方程组(A^T A)x = A^T b来得到最小二乘解x。
然而，直接求解正规方程可能会遇到一些问题。
当A^T A的条件数很大时，求解过程可能会变得不稳定。
此外，当A的列向量之间存在线性相关性时，A^T A可能不可逆，导致无法求解。
为了解决这些问题，我们可以使用奇异值分解（SVD）来求解最小二乘问题。
SVD将矩阵A分解为UΣV^T的形式，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
通过SVD，我们可以得到A的伪逆A^+，它是VΣ^+U^T的形式，其中Σ^+是Σ的逆矩阵。
利用A^+，我们可以得到最小二乘解x = A^+ b。
这个解是使得Ax尽可能接近b的解。
通过SVD，我们可以避免求解不可逆的正规方程，同时也可以提高求解的稳定性。
最小二乘法在实际问题中有广泛的应用。
例如，在数据拟合问题中，我们可以使用最小二乘法来拟合一个函数曲线，使得拟合曲线与实际数据之间的误差最小。
在信号处理中，最小二乘法可以用于滤波和降噪。
在机器学习中，最小二乘法可以用于线性回归和参数估计。
总之，最小二乘法是一种重要的数学方法，用于求解超定方程组。
超定方程 最小二乘解
超定方程最小二乘解超定方程是指方程组的个数多于未知数个数的情况。
在实际问题中，往往会遇到这种情况，因为我们希望通过多个方程来求解一个未知数的值，以提高计算的准确性和可靠性。
而最小二乘解则是超定方程组的一种求解方法，可以找到最接近实际情况的近似解。
在生活中，经常会出现一些无法准确求解的问题。
例如，我们常常需要通过测量和观察来获得一些数据点，然后根据这些数据点推断出一些规律或者预测未来的趋势。
但是，由于种种原因，我们往往无法获得足够的数据点来确保我们所得到的方程唯一地解释这些数据。
这时候，超定方程就派上了用场。
举个例子来说明超定方程与最小二乘解的应用。
假设我们想要根据一个人的身高和体重来预测他的年龄。
我们可以做一个简单的假设，认为年龄与身高和体重存在一个线性关系：年龄=a*身高+b *体重+c+δ，其中a、b和c是待求解的系数，δ是误差项。
为了找到最佳的系数值，我们可以测量一组人群的身高、体重和年龄，然后通过最小二乘解来求解出a、b和c，使得方程组能够最好地拟合已知的数据。
在实际求解的过程中，最小二乘解的关键思想是最小化所有数据点与方程组的误差之和，即最小化残差平方和。
通常情况下，我们会使用最小二乘法求解超定方程组，因为该方法对异常值比较鲁棒，能够提供一个相对稳定和可靠的结果。
最小二乘解的求解方法主要有几种，包括矩阵方法、正交投影方法和最小二乘解的闭式解等。
其中，矩阵方法是最常用的方法之一。
通过构建矩阵和向量，我们可以将超定方程组转化为一个线性方程组，并通过解这个线性方程组来获得最小二乘解。
矩阵方法的优点是求解过程简单、直观，适用于一般的超定方程组。
最小二乘解在科学、工程和经济等领域有广泛的应用。
例如，它可以用于数据拟合、曲线拟合和回归分析等问题。
在物理学中，最小二乘解可以用于测量误差、准确度和精度的评估。
在金融学中，最小二乘解可以用于资产定价和风险管理。
在计算机视觉中，最小二乘解可以用于图像处理和模式识别。
超定方程组的最小二乘解
超定方程组的最小二乘解
超定方程组的最小二乘解是一种常用的数值求解方法，是求解非线性方程组的一种很重要的方法。
它可以用来求解复杂的非线性方程组，使得可以得到最优的解。
最小二乘解是计算机科学中最常用的数值求解方法之一，它通过对非线性方程组求解最小二乘估计量，可以达到最小化误差的目的，使得最小二乘解是有效的。
最小二乘解是一种从一组基本方程出发，根据最小二乘原理，推导出一组最优解的数学方法。
在有限个约束条件的情况下，通过构建一个最小二乘问题，求解超定方程组的最小二乘解，即将非线性方程组的所有约束条件表示出来，然后求解最小二乘估计量，使得所有约束条件都能满足，最后求得超定方程组的最小二乘解。
超定方程组的最小二乘解的求解步骤主要是四步：首先，确定解的形式，然后确定最小二乘函数；其次，根据最小二乘函数，对解进行最小二乘估计；再次，计算最小二乘估计量，确定最优解；最后，根据最小二乘估计量，根据拟合精度，确定最优解。
超定方程组的最小二乘解是一种应用广泛的数值求解方法，可以有效求解复杂的非线性方程组。
它的特点是在约束条件下，求解最小二乘估计量，使得所有约束条件都
能满足，并且能有效求得最优解。
它在工程、物理、计算机等领域中应用广泛，是一种重要的数值求解方法。
超定方程最小二乘解
矩阵的每一行代表一个方程，m 行代表m 个线性联立方程。
n 列代表n 个变量。
如果m 是独立方程数，根据m<n 、m=n 、m>n 确定方程是 ‘欠定’、‘适定’ 还是 ‘超定’。
超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组。
对于方程组Ra=y ，R 为n×m 矩阵，如果R 列满秩，且n>m超定方程一般是不存在解的矛盾方程。
例如，如果给定的三点不在一条直线上， 我们将无法得到这样一条直线，使得这条直线同时经过给定这三个点。
也就是说给定的条件（限制）过于严格， 导致解不存在。
在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。
比较常用的方法是最小二乘法。
形象的说，就是在无法完全满足给定的这些条件的情况下，求一个最接近的解。
曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以上超定方程组的最小二乘解的问题。
欠定方程组: 方程个数小于未知量个数的方程组。
对于方程组Ra=y ，R 为n×m 矩阵，且n<m 。
则方程组有无穷多组解，此时称方程组为欠定方程组。
内点法和梯度投影法是目前解欠定方程组的常用方法。
超定方程组最小二乘解课程设计最小二乘法广泛地应用于工程计算中，用最小二乘法消除（平滑）误差，用最小二乘法从有噪声的数据中提取信号，从海量数据中找出数据变化的趋势，……。
甚至利用简单函数计算复杂函数的近似值，我们并不期望它的近似值多么精确（事实上很多时候也不用很精确），尽管如此还是希望计算出的近似数据与原始数据之间有相似之处。
如果从线性代数角度来理解最小二乘法，实际上是将一个高维空间的向量投影到低维子空间所涉及的工作。
一、超定方程组的最小二乘解当方程组GX=b 的方程数多于未知数个数时，对应的系数矩阵G 的行数大于列数，此时方程组被称为是超定方程组。
设G=(g iu )m ×n ，当m>n 时即所谓的高矩阵，绝大多数情况下，超定方程组没有古典意义下的解。
电路中的超定方程组求解
电路中的超定方程组求解超定方程组是指含有多于未知数个数的方程的方程组。
在电路中，超定方程组的求解是一种常见的问题，尤其是在电路参数求解或网络分析中。
解决电路中超定方程组的方法有很多种，我将在本文中介绍其中两种常见的方法：最小二乘法和广义逆法。
一、最小二乘法最小二乘法是一种求解超定方程组的经典方法。
它的基本思想是通过最小化残差平方和来寻找一组近似解，使得方程组的误差最小化。
设超定方程组为Ax=b，其中A为m×n的系数矩阵，b为m维列向量，m>n。
最小二乘法的目标是找到一个n维列向量x，使得 ||Ax-b||^2 最小。
最小二乘法的求解步骤如下：1. 计算系数矩阵A的伪逆矩阵A+；2. 计算伪逆解x=A+b；3. 得到最小二乘解。
最小二乘法在电路参数求解、数据拟合和信号处理等领域有广泛应用，其优点是稳定可靠。
二、广义逆法广义逆法是另一种求解超定方程组的常见方法。
它通过求解广义逆矩阵来获得一组最优解。
设超定方程组为Ax=b，其中A为m×n的系数矩阵，b为m维列向量，m>n。
广义逆法的目标是找到一个n维列向量x，使得 ||Ax-b|| 最小。
广义逆法的求解步骤如下：1. 计算系数矩阵A的广义逆矩阵A#；2. 计算解x=A#b；3. 得到广义逆解。
广义逆法在电路网络分析、图像处理和机器学习等领域有广泛应用，其优点是求解速度快。
总结：超定方程组求解在电路中具有重要的意义，可以帮助我们求解电路参数或者进行电路网络分析。
本文介绍了两种常见的求解方法：最小二乘法和广义逆法。
最小二乘法通过最小化残差平方和来求解近似解，而广义逆法则通过求解广义逆矩阵来获得一组最优解。
读者可以根据具体的问题选择合适的求解方法，以解决电路中的超定方程组求解问题。
总之，电路中的超定方程组求解是电路参数求解和网络分析中的重要问题，我们可以运用最小二乘法和广义逆法等方法来求解。
通过合理选择求解方法，我们能够有效地解决电路中的超定方程组求解问题，提高电路设计和分析的准确性和效率。
2-6超定方程组的最小二乘法
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
mn
Ax b
A (aij )mn , x R , b R
n
m
aij x j
j 1
n
的平方和最小，即求解问题： min F ( x) (bi aij x j ) b Ax
2 i 1 j 1 m n 2 2
此问题称为线性最小二乘问题，其解称为 超定线性方程组Ax b的最小二乘解。
2、用平方根法或LDLT 法求解方程组Mx f
x1 x 2 5 例10 求方程组 x1 2 x 2 4 2 x 3 x 10 2 1 的最小二乘解.
解
1 1 2 A A 1 2 3
T
1 -1 -1 2 6 9 2 -3
多元函数 F ( x)的偏导数
m n F 2 aik bi aij x j xk k 1 j 1
k 1,2, , n
令 得方程组
F 0 xk
k 1, 2, , n
m n ai1 aij x j i 1 j 1 n m ai 2 aij x j j 1 i 1 m n ain aij x j j 1 i 1
9 14
5 1 1 2 29 T A b 4 1 2 3 10 43
6 9 x1 29 正则方程组 9 14 x 2 43
2.6超定线性方程组的最小二乘解
超定线性方程组的最小二乘法超定线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 11121112122212......,,...............n nn m m m mn a a a x b a a a x b a a a R R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣≠⎦⎦A A,b x A b （），（）(1)式无解，即为不存在解的矛盾方程组----超定线性方程组其中(1)Ax =b实例美国地质调查局（NGS）1974年准备更新北美地质资料（NAD），这是一个包含268000个节点（地点）的网络，它覆盖整个北美大陆，包括巴拿马地峡、格陵兰岛、夏威夷、波多黎哥等其他加勒比海诸岛。
地质资料中记录的经度和纬度必须经精确到几厘米，其原因是它构成了诸如测量、地图、法定边界、国家和区域土地使用计划，像高速路和公共使用线路等项目设计标准。
覆盖长达140年的数据资料包括180万个观测值，考虑其相对精度，必须转化为适合计算机运算的格式，其数学模型为包含928735个方程、928735个变量的线性方程组，但这个方程组无解！无解的线性方程组也成为不相容的，实际应用中常出现这类不相容问题。
即任意都不可能使()211221mi i in n i i a x a x a x b =+++-=∑ 等于零。
(2)12,,,n x x x 如果有向量使得达到最小，称为超定线性方程组（1）的最小二乘解211221()mi i in n i i a x a b a x b =+++-∑ n x x x 000T12(,,,) 000T 12(,,,)n x x x 当方程组的解不存在但又需要求解时，最好的方法就是寻找，使得尽可能的接近xAx b勒让德（法国数学家，1752--1833）椭圆积分理论奠基人之一、数论、初等几何与天体力学，取得了重要理论成果，如在欧拉提出椭圆积分加法定理后的40年中，他是仅有的在这一领域提供重大新结果的数学家。
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end
b=G\L;
%解几何方程
error=abs(b(1:3)); P=P+b(1:3);k=k+1;
%计算位值修正量绝对值 %修正定位数据
end
toc
%程序运行计时结束
format long e
X=[P;b(4)]'
%显示满足精度的定位数据
Format
计算结果
elapsed_time = 0.0160
GPS-7
17977519.820 -13089823.312 14331151.065 21847468.81689
GPS-8
9682727.508
-24060519.485 3985404.530
20352077.19349
x
y
z
Clock offset
96133.382910 -5674076.3699 2740537.6613 -36000.0000
欠定方程组: 方程个数小于未知量个数的方程组。 对于方程组 Ra=y，R 为 n×m 矩阵，且 n<m。则方程组有无穷多组解，此时称方程组
为欠定方程组。 内点法和梯度投影法是目前解欠定方程组的常用方法。
超定方程组最小二乘解课程设计
最小二乘法广泛地应用于工程计算中，用最小二乘法消除（平滑）误差，用最小二乘法 从有噪声的数据中提取信号，从海量数据中找出数据变化的趋势，……。甚至利用简单函数 计算复杂函数的近似值，我们并不期望它的近似值多么精确（事实上很多时候也不用很精 确），尽管如此还是希望计算出的近似数据与原始数据之间有相似之处。如果从线性代数角 度来理解最小二乘法，实际上是将一个高维空间的向量投影到低维子空间所涉及的工作。
||
b
GX
*
||2
min
XRm
||
b
GX
||2
该问题是一个优化问题。 命题 1：如果 X*是正规方程组 GTGX=GTb 的解，则 X*是超定方程组 GX=b 的最小二乘解 证 由题设可得，GT (b – GX*)=0。对任意 n 维向量 Y，显然有
(X* – Y)TGT (b – GX*)=0 考虑残差 2-范数平方，由
下面数据来自于 Applied mathematics and computation 119(2001)21—34
文章题目：Alternative algorithms for the GPS static positioning solution
作者：John B. Lundberg
表 1 GPS 卫星数据
矩阵的每一行代表一个方程，m 行代表 m 个线性联立方程。 n 列代表 n 个变量。如果 m 是独立方程数，根据 m<n、m=n、m>n 确定方程是 ‘欠定’、‘适定’ 还是 ‘超定’。
超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组。 对于方程组 Ra=y，R 为 n×m 矩阵，如果 R 列满秩，且 n>m 超定方程一般是不存在解的矛盾方程。 例如，如果给定的三点不在一条直线上， 我们将无法得到这样一条直线，使得这条直
其中，(x，y，z) 为接收机坐标，(x j，y j，z j)为卫星 Pj 的坐标； j 是伪距（实际上可得到
的距离观测量）。当已知接收机的概略位置 r0 = (x0，y0，z0)时，可以用牛顿迭代法结合最 小二乘原理实现精确定位。对模型右边应用 Taylor 级数展开，并略去高次项，得到
l jx m jy n jz b Lj
||
b
GY
||22
||
(b
GX
*
)
G( X
*
Y
)
||
2 2
上式右端利用内积，得
||
b
GY
||
2 2
||
b
GX *
||
2 2
|| G( X *
Y)
||22 ||
b
GX *
||
2 2
从而有 || b – GY ||2 ≥ || b – GX*||2
等式仅当 Y=X*时成立。所以 X*是超定方程组 GX=b 的最小二乘解。 命题 2：如果 X*是超定方程组 GX=b 的最小二乘解，则 X*满足正规方程组 GTGX=GTb
设视界内的卫星数为 N。将上述方程组写为矩阵形式，得到 GX=L
其中， X [x y z b]T ，L=[L1，L1，……，LN]T 而
l1 m1 n1 1
G
l
2
m2
n2 1
l
N
mN
nN
1
用最小二乘法求解超定方程组，得正规方程
一、超定方程组的最小二乘解
当方程组 GX=b 的方程数多于未知数个数时，对应的系数矩阵 G 的行数大于列数，此 时方程组被称为是超定方程组。设 G=(giu)m×n，当 m>n 时即所谓的高矩阵，绝大多数情况下， 超定方程组没有古典意义下的解。超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差 r = b – GX 的 2-范数达取极小值的解，即
X=
Columns 1 through 3
9.613338291042342e+005 -5.674076369901314e+006 2.740537661301808e+006
Column 4
-3.600000000248986e+004
数值实验问题 1．一个测绘员要测量出在某个基准点上三个山头 A、B、C 的高度，首先从基准点处
2 4
11
3
1
5 2
x
y
3
6
该方程组的右端向量是三维向量，系数矩阵的每一列也是三维向量，但待求的未知向量却是
二维向量。将系数矩阵按列分块，G =[1，2]，记右端向量为。则方程组求解问题可表示 为求组合系数 x 和 y 使
x1 + y2 = 的向量的线性组合问题。由于两个向量1，2 不构成三维空间的一组基，所以一般情况下 这一问题无解。而由向量1，2 张成的子空间 span{1，2}是一张平面，记为。则超定方 程组的最小二乘解实际上是求 X*，使 GX* 恰好等于 在平面上的投影。而最小二乘解所 对应的残差向量则垂直于向量 GX*。事实上，由正规方程组
ID
X
Y
Z
GPS-1
16414028.668 660383.618
20932036.907 24658975.31743
GPS-2
16896800.648 -18784061.365 -7418318.856 22964286.41228
GPS-3
9339639.616
-14514964.658 20305107.161 21338550.64536
其中， x x x0 ，y y y0 ， z z z0 ，
lj
x
j R~ j
x0
，mj
，nj
z
j R~ j
z0
Lj j R~ j ， R~ j (x j x0 )2 ( y j y0 )2 (z j z0 )2
线同时经过给定这三个点。 也就是说给定的条件（限制）过于严格， 导致解不存在。在实 验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。 形象的说，就是在无法完全满足给定的这些条件的情况下，求一个最接近的解。
曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以上超定方程组的最小二乘解的 问题。
GPS-4
-18335582.591 -11640868.305 15028599.071 23606547.29359
GPS-5
-2077142.705 -20987755.987 -15879741.196 24263298.50401
GPS-6
-4957166.885 -23306741.039 12039027.096 20758264.10823
-18335582.591, -11640868.305, 15028599.071
-2077142.705, -20987755.987, -15879741.196
-4957166.885, -23306741.039, 12039027.096
17977519.820, -13089823.312, 14331151.065
9682727.508, -24060519.485, 3985404.530];
ro=[24658975.31743
22964286.41228
21338550.64536
23606547.29359
24263298.50401
20758264.10823
21847468.81689
20352077.19349];
P=[0;0;0];
%设定位数据初始值即概略坐标
error=10;k=0;
tic while error>1e-8
%程序运行计时开始 %设置定位精度
for j=1:8
Dj=xyz(j,:)-P'; dj=norm(Dj);
%计算接收机到第 j 颗卫星向量及其长度
G(j,1:3)=Dj/dj;G(j,4)=-1; L(j,:)=dj-ro(j); %计算几何矩阵第 j 行及方程右端值
GTGX=GTb 的解。如果系数矩阵(GTG)可逆，则正规方程组有唯一解。此时，最小二乘解可以形式地写 为如下形式
X=(GTG)-1GTb 两种常用的方法如下 1．用对称矩阵的三角分解法解正规方程组 GTGX = GTb；记 A=GTG，则 A 是对称矩阵，由 三角分解 A = L D LT，其中 L 是下三角矩阵，D 是对角矩阵。将这一算法写过三个过程： ①解下三角方程组：LY1 = GTb； ②解对角方程组：DY2 = Y1 ； ③解上三角方程组：LTY3 = Y2 2．用矩阵的 QR 分解直接求解超定方程组 由 QR 分解（正交三角分解）G=QR，其中 Q 是正交矩阵，R 是上三角矩阵。将 QR 分解代 入最小二乘解表达式中，得