1. 1 因式分解课件(沪科版七年级下)(1)

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沪科版数学七年级下册分式及其基本性质课件(1)

-
aa a +2
2
a-
2
-
a a+
2
-
a
a +
2
（4）
x2 -1 x +1 x -1 x2 - 2x +1 x -12
x +1 x -1
山东星火国际传媒集团
例4 先化简，再求值：
a2 - 9b2 其中a=-4,b=2. ab + 3b2
解： a2 - 9b2 ab + 3b2
=
a
+ 3ba -3b ba + 3b
山东星火国际传媒集团
例3
解：（1） 8xy2 4xy • 2 y 2 y 12x2 y 4xy • 3x 3x
（2）a2 - b2 a + b a - b a - b
a+b
a+b
山东星火国际传媒集团
a2 - 2a (3)
4 - a2
(4)
x2
x2 -1 - 2x +
1
（3）
a2 4
- 2a - a2
(3)
a+b
1
a ab + ab b ab
(4) a 2a a + b 2a + 2b
山东星火国际传媒集团
不改变分式的值，将下列分式的分子分母的最高次
项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列：
（1） -6y2 + 4 - y 1-8y
（2）
5m - 21- 2m3 4m +1- 7m2
山东星火国际传媒集团
山东星火国际传媒集团
小结分式的基本性质: 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.

沪科版七年级数学下册第八章8.4因式分解PPT课件全套

（来自《教材》）
知1－导
归
纳
像这样，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解(factorization)，也叫做把这个多项式分解因式.
（来自《教材》）
知1－讲
因式分解的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．要点精析： (1)因式分解研究的对象是多项式，结果是整式的积．
8y2＋8y ；(4)a(x＋y＋1)＝__________ ax＋ay＋a ； (3)8y(y＋1)＝________ 根据上面的算式将下列多项式进行因式分解： (5)ax＋ay＋a； (6)a2－b2； (5)ax＋ay＋a＝a(x＋y＋1)． (6)a2－b2＝(a＋b)(a－b)． (7)a2＋2ab＋b2； (8)8y2＋8y. (8)8y2＋8y＝8y(y＋1)．
因此不是因式分解，C错误；
x2y＋xy2＝xy(x＋y)符合因式分解的概念，因此是因式分解，D正确．
（来自《点拨》）
知1－讲
总
结
因式分解的结果应该是整式的积，否则就不是因式分解．
（来自《点拨》）
知1－练
1
下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是( A．6a2b＝3a2· 2b B．x2－3x－4＝x(x－3)－4 C．ab2－2ab＝ab(b－2) D．(2－a)(2＋a)＝4－a2
第 8章
整式乘法与因式分解
8.4
因式分解
第 1 课时
因式分解的意义
最新沪科版七年级数学下册配套教学课件
1
课堂讲解因式分解的定义
因式分解与整式乘法的关系
2
课时流程
逐点导讲练课堂小结作业提升

整式乘法与因式分解-整式运算的应用综合拓展课件+2022--2023学年沪科版七年级下册数学

整式运算的应用
求阴影部分面积
在整式运算中求阴影面积的常见方法
公式法
阴影部分是规则图形时，可直接利用规则图形的面积公式计算.
规则图形：三角形，平行四边形，长方形，正方形等．
D
例
A
E
C
FB
S△ABE
＝1 2
底×高＝12
AB·EF
在整式运算中求阴影面积的常见方法
加减法
把所求阴影部分的面积看成是由几个规则图形面积相加（减）而成，分别求出这几个规则图形面积，再相加（减）即可．
b2
3ab
=
1 2
42 3 4
=2
B
a
CbG
图2
本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是本题的关键．
图形拼接
整式运算中的图形拼接问题
四个小长方形 n
b
a
m
a
b
n m
bn
ma
ab
mn
四个小长方形的面积之和：mn＋bn＋ma＋ab
拼接成一个大长方形
大长方形的面积＝（m＋b）（n＋a）
分析
aA a
bB b
用含a、b的式子表示A、B、C三类卡片的面积和
bC a
求出三类卡片的数量
解答（1）∵拼成的长方形长为（2a＋b），宽为（a＋b） ∴拼成的长方形面积为:(2a＋b)(a＋b) ∵拼合后的图形与原来小正方形面积和相等
C CB a＋b
A AC
2a＋b
∴原来三类小正方形的面积和为:(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2
A
D
形ABD的面积﹣三角形BGF的面积，
S 解答法1：∵ 阴影＝S正方形ABCD＋S正方形CGFE﹣S△ABD﹣S△BGF

2021-2022学年七年级数学下册同步精品课件之因式分解——分组分解法(沪科版)

归纳总结
(1) a2+2ab+b2-c2
(2) x2-y2+ax+ay
(2) 利用分组分解法进行因式分解时，应该怎样进行分解？
若多项式有四项，且不能直接提公因式时，可考虑用分组分解法，常用分组方法有一、三分组，二、二分组；一、三分组的前提是可以运用完全平方公式，然后再和剩下的一项用平方差公式来分解；二、二分组的前提是可以运用提公因式法或平方差公式，然后再用提公因式法来分解.
③ 如果用上述方法都不能分解，那么可以尝试用分组分解法来分解.
简记：一提二套三分组
注意：因式分解必须彻底，要把一个多项式分解到每一个因式都不能分解为止.
巩固练习
2、把下列各式因式分解：
(1) 9x2-y2-4y-4
解:原式= 9x2 + (-y2-4y-4) =9x2 - ( y2+4y+4 ) =(3x)2 -(y+2)2 =[3x+(y+2)] [3x-(y+2)] =(3x+y+2)(3x-y-2)
2、把下列各式因式分解：
(4) a2+2ab+b2-ac-bc
解:原式=(a2+2ab+b2) + (-ac-bc) =(a2+2ab+b2) -( ac+bc ) =(a+b)2-c(a+b) =(a+b)(a+b-c)
巩固练习
2、把下列各式因式分解：
(5) 9x2-y2+a2-4b2+6ax-4by
巩固练习
3、已知 a=x+2019，b=x+2020，c=x+2021，试说明代数式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值与 x 无关.

沪科版七年级数学下册《因式分解(3、4)》参考课件

如何将多项式a2+2ab+b2-1和a2x-a2y-b2x+b2y分解因式？请同学们自己先推导一下吧！通过推导你得到了什么结论？
因式分解有时需要先分组，分组后利用提取公因式或运用公式法进行分解。
把下列多项式分解因式：
(1)x2-y2+ax+ay (2) a2+2ab+b2-c2
解： (1)x2-y2+ax+ay =(x2-y2)+(ax+ay) =(x+y)(x-y)+a(x+y) =(x+y)(x-y+a)
1、什么是因式分解？把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
2、因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法。
3、你学过的因式分解的方法是什么？提公因式法、公式法。
像2x3-32x这样的多项式该用什么方法因式分解呢？
2x3 32x 2x(x2 16) 2x(x 4)(x 4)
(7) 4a2－b2+6a－3b； (8)9m2－6m+2n－n2； (9)x2－y2－z2+2yz； (10)xy-xz+y-z； (11)ax-2bx+ay-2by (12)4xy-3xz+8y-6z；
在因式分解的过程中，有时提取公因式与利用公式两种方法要同时使用。
把下列多项式分解因式：
(1)ab2 ac2
(2)3ax2 24axy 48ay2
解：(1)ab2 ac2 a(b2 c2 ) (提取公因式) a(b c)(b - c) (用平方差公式)
解：(2)3ax2 24axy 48ay2 3a(x2 8xy 16 y2 ) (提取公因式) 3a(x 43;b2-c2 =(a2+2ab+b2)- c2 =(a+b)2- c2 =(a+b+c)(a+b-c)

因式分解课件沪科版七年级数学下册

(1，2，3；4)
例题解析分解因式：1－a2－b2＋2ab • 解：1－a2－b2＋2ab (1；2，3，4) =1－(a2＋b2－2ab) =1 －(a－b)2 =[1＋(a－b)] [1－(a－b)]
=(1＋a－b) (1－a＋b)
课堂练习把下列各式因式分解：
(1) 4a2－b2＋4a－2b =(4a2－b2)＋(4a－2b) =(2a＋b) (2a－b) ＋2(2a－b) =(2a－b) (2a＋b＋2)
例题解析已知长方形的周长为300cm，两邻边的长分别为xcm，
ycm，且x3＋x2y － 4xy2－4y3=0.求这个长方形的面积.
• 解：∵ 2x＋2y=300 ∴ x＋y=150
∵ x3＋x2y － 4xy2－4y3=0 ∴ x2 (x＋y)－4y2(x＋y)=0 ∴ (x＋y) (x2－4y2)=0 ∴(x＋y)(x＋2y)(x－2y)=0 ∵ x ＞0，y＞0， ∴x－2y=0 ∴x=2y ∴ 2y＋y=150， ∴ y=50， ∴x=100 ∴这个长方形的面积为100×50 =5000(cm2).
学以致用已知长方形的周长为20cm，两邻边的长分别为acm，
bcm，且a2－ 2ab＋b2－4a＋4b＋4=0.求a，b的值.
• 解：∵ 2a＋2b=20
∴ a＋b=10
∵ a2－ 2ab＋b2－4a＋4b＋4=0
∴ (a－b)2－4(a－b)＋4=0
∴ (a－b－2)2=0 ∴a－b－2=0 ∴a=2＋b ∴ 2＋b＋b=10， ∴b=4 ∴a=6.
练习巩固
2.多项式ab－bc＋a2－c2分解因式的结果是( A ).
A. (a－c )(a＋b＋c) B. (a－c )(a＋b－c) C. (a＋c )(a＋b－c) D. (a＋c )(a－b＋c)

沪科版数学七年级下册因式分解课件

➢完全平方公式
（1）公式： a 2ab b a b
2
2
2
a 2ab b a b
2
2
2
（2）特点:
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)
的平方,另一项为这两个数(或整
式)的乘积的2倍.
从符号看：平方项符号相同
（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）
定系数：多项式各项系数的最大公约数. （当系
数是整数时）
定字母：多项式各项中都含有的相同的字母.
定指数：相同字母的指数取各项中字母的最低
次幂.
口答：找出下列各多项式中的公因式：
（1）ax+ay+a
（2）6a3b2－3a2b2－12a2b3
（3）4x2+10xy
（4）(a+b)2y+(a+b)y2
(1)
3ax2＋6axy＋3ay2
解：原式 3a( x 2 2xy y 2 )
3a (x y )2
(2)
-x2-4y2＋4xy
2
2
原式

(
x
-4
xy

4
y
)
解：
[ x 2 -2 x 2 y (2 y )2 ]
( x 2 y ) 2
例4
把下列各式分解因式：
提示：公因式可以是单项式，也可
以是多项式。
因式分解：
解:
ma mb mc
ma mb mc m(a b c)
公因式
提公因式法
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成
两个因式的积m(a+b+c).这种因式分解的方法叫做提

8.因式分解-----提公因式法课件数学沪科版七年级下册

1．理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系. 2．会用提取公因式的方法分解因式.（重点） 3．会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．(难点) 4．感受因式分解在解决相关问题中的作用。
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式
表示这块草坪的面积吗？方法一：m(a+b+c)
a
b
c
1
将x= 2 代入上式，得
原式=4.
1.下列式子从左到右的变形是否为因式分解？为什么?
(1)a(a 2b) a2 2ab
否
(2)bx Biblioteka bx2 bx(1 x)是(3)a2 4 (a 2)(a 2)
是
(4) x2 2 x 1 x( x 2) 1 否
(5)24a2bc 23 a 2 3bc
提公因式法
提公因式
注意
分两步：（公因式为多项式，注意整体思想）第一步找公因式；第二步提公因式
1.首项为负数时，提负号，多项式的各项要变号； 2.多项式出现相反的因式时，先变形化成相同的因式再提公因式。
解：（1）3x+ x3=x ·3+x·x2=x(3+x2)；
（2）7x3－21x2=7x2·x －7x2·3=7x2(x－3)；
（3）8a3b2 －12ab3c+ab =ab·8a2b－ ab·12b2c +ab·1= ab(8a2b－12b2c+1)；
例2.把下列各式因式分解：
(1)a(x y) b( y x);
8.已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.
解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.

因式分解第3课时课件沪科版七年级数学下册

(2)x2-y2+a2-b2+2ax+2by (2)原式=(x2+2ax+a2)+(-y2+2by-b2)
=(x2+2ax+a2)-(y2-2by+b2) =(x+a)2 -(y-b)2 =(x+a+y-b)(x+a-y+b).
四、课堂总结
将一些较复杂的式子进行因式分解常用的方法：
1. 提取公因式 2. 提取公因式
(2)a2-4ab+4b2-4 (2)原式=(a2-4ab+4b2)-22 =(a-2b)2 -22 =(a-2b+2)(a-2b-2).
【当堂检测】
5.把下列各式分解因式. (1)9x2+ 3ax-y2+ay 解： (1)原式=(9x2-y2)+(3ax+ay)
=(3x+y)(3x-y)+a(3x+y) =(3x+y)(3x-y+a).
总结：这类题型一般都是先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
【当堂检测】
2.分解因式. (1) 2ax2-2a3 解： (1)原式=2a(x2 -a2)
=2a(x+a)(x-a)
(2)4m3n2-9m (2)原式=m(4m2n2-9)
=m(2mn+3)(2mn-3)
【当堂检测】
3.分解因式. (1)a(x+y)2-2a(x+y)+a 解： (1)原式=a[(x+y)2 -2(x+y)+1]
用完全平方公式用平方差公式
关键：找出式子的公因式
3. 分组
提公因式或利用公式

沪科版七年级下册数学课件-因式分解-第二课时精选全文

例6 分解因式：（1）16x2+24x+9；
（2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2,
(2)中首项有负号，一般
9=3²,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x 先利用添括号法则，将
+9是一个完全平方式，即16x2 其变形为-(x2-4xy+4y2),
+ 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2. 然后再利用公式分解因
(2)342＋34×32＋162.
化计算，
解：(1)原式=（100－99)² =1.
(2)原式＝(34＋16)2
＝2 500.
例8 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1
的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5，
例2 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①， ∴x－y＝－2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x
y
1, 2
3. 2
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例4 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2 一定能被8整除．证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n，
∵n为整数， ∴8n被8整除，即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．

初中数学沪科版七年级下册因式分解第2课时课件

三、概念剖析
归纳：
公式法
运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解的方法.
适用范围： 1.能够转化为a2-b2或-(a2-b2)或(a2-b2)c等情势的式子. 2.能够转化为a2±2ab+b2或(a2±2ab+b2)c的式子. 这里的a和b可以代表一个单项式也可以代表一个多项式.
四、典型例题
例1.分解因式：
(2)原式=4a2-(b2+4b+4)
=(x+1+y)(x+1-y)
=(2a)2-(b+2)2
=(2a+b+2)(2a-b-2)
四、典型例题
例4.利用公式法分解因式简便计算．
(1)7.92-2.12
(2)0.622+2×0.62×0.38+0.382
解：原式=(7.9-2.1)(7.9+2.1)
(2)原式=(0.62+0.38)2
=5.8×10
=1
=58
【当堂检测】
5.直接写出答案. (1)892+2×11×89+121= 10000 . (2)10.52-0.52= 110 .
五、课堂总结
1.利用平方差公式分解因式: a2－b2=（a+b)(a-b) 2.利用完全平方公式分解因式的公式.
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2
=(2a+7)·1 =2a+7
【当堂检测】
(3)x2+12x+36 原式=x2+2·x·6+62
=(x+6)2
(4)-4xy-4x2-y2 原式=-(4x2+4xy+y2)

七年级数学下册第8章整式乘法和因式分解因式分解2公式法课件新版沪科版ppt

你能得到什么公式？
a米
b米
(a-b)
a米 b米
a2- b2=(a+b)(a-b)
讲授新课
一用平方差公式进行因式分解想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式平方差公式：
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a2 - b2 a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) （2(m2x0+n1z）5)22－2--2(y(0+13p4x)2y2=)=2 =
例3 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4(53.52－46.52) =4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
a2 ± 2ab +b2 =(a ± b)² (或减去)这两个数的积
首2 ±2× +尾2 首×尾
的2倍，等于这两个数 (首±尾)2 的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( x )²+2·(x )·(2 )+( 2 )²=(x + 2 )² 2.m²-6m+9=( m )²- 2·(m ) ·(3 )+(3 )²=(m - 3 )² 3.a²+4ab+4b²=( a )²+2·( a ) ·( 2b )+(2b )²=(a + 2b )²

沪科版初中七年级下册数学：因式分解提公因式法

单项式：定系数;定字母;定指数. 说明：公因式也可以是一个多项式。
因式分解——提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例题精讲例1、把下列各式分解因式：
①4m2 8mn =4m •m-4m •2n 最大公因数为4 = 4 m(m–2n)
创设情景
学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如
m
方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：S = ma + mb + mc
a
b
c
mm
m
方法一：S = m ( a + b + c )
方法二：S = ma + mb + mc 下面两个等式中哪个是因式分解？
整式的乘法练习：
2x(3x2-y) = 6x3-2xy -3m(2m2-3m) = -6m3+9m2
两个整式乘积反过来：
多项式
2x(3x2-y) = 6x3-2xy
-3m(2m2-3m) = -6m3+9m2
单项式×多项式互逆因式分解
多项式
两个整式乘积
因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
下面的解法对吗？
把 8a3b2 –12ab3c + ab分解因式.
解：
8a3b2 –12ab3c + ab =ab•8a2b-ab • 12b2c+ab • 1 =ab(8a2b-12b2c+1) =ab(8a2b- 12b2c)
当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因

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例1 计算 (1)32x5y3÷ 8x3y (2)-7a8b4c3 ÷49a7b4
（3）38x4y5 ÷19xy5
a a (4) 2 2
7
5
解:（1）32x5y3÷8x3y=(32÷8)x5-3y3-1=4x2y2
(2)-7a8b4c2÷49a7b4 =【(-7) ÷49】a8-7b4-4c2=1 ac2 7
(3)原式=（38÷ 19）x4-1y5-5 =2x3
(4)原式=
a a a 2 2 4
75
2
2
例2
“卡西尼”号土星探测器历经7年多、行程约35 亿km后进入环绕土星运行的轨道。
（1）它的这一行程相当于地球赤道多少圈？（已知地球半径6.4×103km)
（2）（-an+2)2÷(-an-3) ÷(-a)
2计算填空；（1）60x5y5 (-12xy3)= (2)8x6y4z (3) (
3 2
-5x4y2
3 4
（ -2x4y2z）=-4x2y2
(4)若(ax 3my12) (3x3y2n)=4x6y8
x 5y 6
z ）

（2x3y3)=
x2 y 3 z
(2)这一行程如果由速度是100km/h的汽车来完成，需要行驶多少年？（1年按365天计算）（3)这一行程如果由速度是10m/s的短跑飞人来完成，需要跑多少年？
• 四；巩固新知当堂训练： 1 2 课本p69练习题；补充练习题：
（1） (3ax3y) ×(5a4x2y3) ÷(-15a3x3y3)
12a3b2x3 ÷ 3ab2 =4a2x3
• 观察下列等式 • (1)40x5y÷5x2y=8x3 (2)12a3b2x3÷3ab2=4a2x3 • 思考：（1）商式的系数与被除式、除式的系数有什么关系？2）被除式、除式中相同字母及其指数在商式中有什么变化？（3）被除式中含有的字母，除式中没有的字母及其指数在商式中有没变化？ • 用语言叙述单项式除法的法则
8.4单项式除以单项式
计算：（1）a20÷a10=
a10 （2）(-c)4÷(-c)2= (-c)2 = c2 (3)(2a-b)6÷(b-2a)4 =(2a-b)2 =4a2-4ab+b2 (4) (a2)3.(-a3)4÷(a3)5= a3
二填空：（1）8x3· 5x2y=(40x5y) 40x5y÷5x2y=( 8x3) (2)4a2x3﹒3ab2= 12a3x3b2
则a=(
);m=(
);n=( )
3 能力挑战；若3x=a, 3y=b 求32x-y的值？
பைடு நூலகம்
• 五、课堂小结：
本节课你学到了什么？
六；课堂作业:
P71 8.4习题第一（1）（2）（3）（4）选做题:（1）若5x-3y-2=0 则105x 103y=
(2)4x=a
4y=b 则4x-y=
七：课外作业: 基础训练 p58基础平台一。