1964年数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】
1986年高考数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】
1986年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B;(2)函数y=(0.2)-x+1的反函数是(A)y=log5x+1(B)y=log x5+1(C)y=log5(x-1)(D)y=log5x-1【】[Key] (2)C;(A)一条平行于x轴的直线(B)一条垂直于x轴的直线(C)一个圆(D)一条抛物线【】[Key] (3)B;【】[Key] (4)A;(5)给出20个数8791948893918987928690928890918689929588它们的和是(A)1789(B)1799(C)1879(D)1899【】[Key] (5)B;(6)设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件【】[Key] (6)D;(7)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有(A)D=E(B)D=F(C)E=F(D)D=E=F【】[Key] (7)A;(8)在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S EFG 中必有(A)SG⊥△EFG所在平面(B)SD⊥△EFG所在平面(C)GF⊥△SEF所在平面(D)GD⊥△SEF所在平面【】[Key] (8)A;(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是【】[Key] (9)D;(10)当x∈[-1,0]时,在下面关系式中正确的是【】[Key] (10)C.二、只要求直接写出结果.(3)在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点.求证:平面PAC垂直于平面PBC.[Key] 三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.证明:设圆O所在平面为α.由已知条件,PA⊥平面α,又BC在平面α内,因此PA⊥BC.因此∠BCA是直角,因此BC⊥AC.而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线,因此BC⊥△PAC所在平面.从而证得△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直.四、当sin2x>0时,求不等式log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)的解集.[Key] 四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.解:满足sin2x>0的x取值范围是而由log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)以及对数函数的定义域及性质得到x2-2x-15<x+13,②x2-2x-15>0,③x+13>0,④解不等式②得:-4<x<7,⑤解不等式③及④得-13<x<-3或x>5.⑥综合①、⑤及⑥,可知所求的解集为(-π,-3)∪(2π,7).五、如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B.试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.[Key] 五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.解:设点A的坐标为(0,a)、点B的坐标为(0,b),0<b<a,又设所求点C的坐标为(x,0),x>0.记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.六、已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:[Key] 六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.解法一:因为A、B各含12个元素,A∩B含4个元素,因此,A∪B元素的个数是12+12-4=20.解法二:由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.七、过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.[Key] 七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.解:由已知条件可知,直线l1的方程是y=k(x+1),①把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到k2x2+(2k2-4)x+k2=0,②因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:(2k2-4)2-4k2·k2>0,③及k≠0.④解出③与④得到k∈(-1,0)∪(0,1).今记l1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2,由韦达定理及②得定义域是(-1,0)∪(0,1).注:可先解出k的取值范围作为定义域,后给出函数f(k)的表达式,也可先给出函数表达式,后解出k的取值范围作为定义域.[Key] 八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.证明:首先,由于x1>0,由数列{x n}的定义可知x n>0,(n=1,2…)那么当n=k+1时从而对一切自然数n都有x n+1>x n.(ii)若x1>1,同理可证,对一切自然数n都有x n+1<x n.九、(附加题不计入总分)(1)求y=xarctgx2的导数.[Key] 九、(附加题,不计入总分)本题主要考查导数的运算及几何意义.。
1984年数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】
1984年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是(C)X=Y(D)X≠Y【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么(A)F=0,G≠0,E≠0(B)E=0,F=0,G≠0(C)G=0,F=0,E≠0(D)G=0,E=0,F≠0【】[Key] (2)C;(A)一定是零(B)一定是偶数(C)是整数但不一定是偶数(D)不一定是整数【】[Key] (3)B;(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是(A)x∈(0,1](B)x∈(-1,0)【】[Key] (4)A;(A)是第一象限角(B)是第三象限角(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角(D)是第二象限角【】[Key] (5)B.二、只要求直接写出结果.(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.(2)函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)x<-2;(4)-20;(5)0;三、本题只要求画出图形.[Key] 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.[Key] 四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c与b或交于一点或互相平行.(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.所以a,b,c交于一点(即P点).(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.所以a,b,c互相平行.[Key] 五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解法一:由原对数方程得cx2+d=1.这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.解法二:原对数方程有解的充要条件是:(1)x>0,cx2+d=1.因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:(1)x>0,(5)x≠1,这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.[Key] 六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.(1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以(-2p)2-4q<0,q>p2>0.由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,解法二:同解法一,得q>p2>0.根据实系数一元二次方程的求根公式,得可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴.即这就是所求的轨迹方程.[Key] 七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.a=6,b=8.如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则如图建立坐标系,则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是S最大值=88-0=88,S最小值=88-16=72.解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2.内切圆的参数方程为所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而因为0≤α≤2π,所以S最大值=80+8=88,S最小值=80-8=72.[Key] 八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.(1)证明:先证明x n>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件α>2及x1=α知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式(x k-2)2>0成立,所以不等式x k+1>2也成立.从而不等式x n>2对于所有的正整数n成立.数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:所以不等式x n>2(n=1,2,…)成立.也可以这样证:对所有正整数n有还可以这样证:由于对所有正整数n有(2)证法一:用数学归纳法.由条件x1=α≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及x k>2知证法二:用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知再由x k>2及归纳假设可得x1>x2>…>x n>x n+1≥3.因此,由上面证明的结论及x1=α可得若x n≤3,则由第(1)小题可知x n+1<x n,从而有x n+1<3.若x n>3,则由第(1)小题可知x1>x2>…>x n>3.由此式及上面证明的结论,可得九、附加题,不计入总分.如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧的长为,直线PC与直线[Key] 九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解得。
2024年全新九年级数学下册期末试卷及答案(人教版)
2024年全新九年级数学下册期末试卷及答案(人教版)一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个数是质数？A. 23B. 24C. 25D. 262. 一个三角形的两个内角分别是45度和60度，那么第三个内角的度数是？A. 45度B. 60度C. 75度D. 90度3. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的面积是？A. 25平方厘米B. 50平方厘米C. 100平方厘米D. 150平方厘米4. 一个正方形的边长是6厘米，那么它的周长是？A. 12厘米B. 18厘米C. 24厘米D. 36厘米5. 下列哪个数是分数？A. 2B. 3C. 4D. 56. 一个圆的半径是5厘米，那么它的直径是？A. 2.5厘米B. 5厘米C. 10厘米D. 15厘米7. 一个等边三角形的边长是8厘米，那么它的面积是？A. 16平方厘米B. 32平方厘米C. 64平方厘米D. 128平方厘米8. 一个梯形的上底是10厘米，下底是20厘米，高是15厘米，那么它的面积是？A. 150平方厘米B. 300平方厘米C. 450平方厘米D. 600平方厘米9. 下列哪个数是无理数？A. 1B. 2C. 3D. 410. 一个正方体的边长是3厘米，那么它的体积是？A. 9立方厘米B. 27立方厘米C. 81立方厘米D. 243立方厘米二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个正方形的周长是20厘米，那么它的边长是______厘米。
2. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是______厘米。
3. 一个等腰三角形的底边长是8厘米，腰长是5厘米，那么它的面积是______平方厘米。
4. 一个梯形的上底是10厘米，下底是20厘米，高是15厘米，那么它的面积是______平方厘米。
5. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的面积是______平方厘米。
6. 一个正方体的边长是3厘米，那么它的体积是______立方厘米。
西南大学附属中学校2024届九年级下学期中考一诊数学试卷(含解析)
数学试题（满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3．作围（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；4．训练结束，将试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，请将答题卡上对应题目的正确答岁号涂黑．1. 下列四个实数中，是无理数的是（）A. 2B.C.D.答案：B解析：A．2是正整数，属于有理数，故选项不符合题意；B．是无限不循环小数，属于无理数，故选项符合题意；C．是分数是有理数，故选项不符合题意；D．是有限小数，属于有理数，故选项不符合题意；故选：B．2. 下列四个劳动工具的图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：A中不是轴对称图形，故不符合要求；B中不是轴对称图形，故不符合要求；C中是轴对称图形，故符合要求；D中不是轴对称图形，故不符合要求；故选：C．3. 若反比例函数的图象经过，则的值是（）A. B. C. 2 D. 3解析：解：将点代入反比例函数，得：，解得：，故选：A．4. 若两个相似三角形的周长之比是1：4，那么这两个三角形的面积之比是（ ）A. 1：4B. 1：2C. 1：16D. 1：8答案：C解析：解：∵相似三角形的周长之比是1：4，∴对应边之比为1：4，∴这两个三角形的面积之比是：1：16，故选C．5. 如图，若，则的度数是（）A. B. C. D.答案：B解析：解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：B．6. 估计的值应在（）A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间解析：解：原式即，故选：B7. 如图，第1个图案中有2个黑色正方形，第2个图案中有4个黑色正方形，第3个图案中有8个黑色正方形，第④个图案中有12个黑色正方形，……，依此类推，第⑧个图案中黑色正方形的个数是（）A. 20B. 30C. 40D. 50答案：C解析：解：由图可知：图①中有个黑色正方形，图②中有个黑色正方形，图③中有个黑色正方形，图④中有个黑色正方形，图⑤中有个黑色正方形，图⑥中有个黑色正方形，图⑦中有个黑色正方形，图⑧中有个黑色正方形，故选C．8. 如图，⊙O是等边的外接圆，过点作⊙O的切线交的延长线于点，若，则的长为( )A. 2B. 3C.D.答案：A解析：解：连接，是等边三角形，，，，，，，是的切线，，，，故选：A．9. 如图，将正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（）A. B. C. D.答案：C解析：解：连接，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴∵由旋转得，∴，∴，∴，由旋转可得，即，∵，∴，∵，，∴，∴．故选：C．10. 将代数式中的任意两个加号变为减号，然后再去掉括号，这样的操作称之为“双减运算”，例如：．下列说法：①不存在两个“双减运算”的结果和为0；②所有可能的“双减运算”共有10种不同的运算结果；③所有可能的“双减运算”结果中只含有两个减号的有5种．其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：解：选择改变第一和第二个加号：；选择改变第一和第三个加号：；选择改变第一和第四个加号：；选择改变第一和第五个加号：；选择改变第二和第三个加号：；选择改变第二和第四个加号：；选择改变第二和第五个加号：；选择改变第三和第四个加号：；选择改变第三和第五个加号：；选择改变第四和第五个加号：；由以上可得，所有可能的“双减运算”共有10种不同的运算结果，故②说法正确；所有可能“双减运算”结果中只含有两个减号的有5种，故③说法正确；对于运算结果和，两式子相加可得，当满足时，两式相加的结果为0，故①说法错误；故选：C．二、填空题：本大题共有8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11. _______．答案：##解析：解：，故答案为：．12. 若一个正多边形的内角和恰好是其外角和的4倍，则该正多边形的每一个外角是_______．答案：##36度解析：解：设这个正多边形为正边形，由题意得，，解得，即这个正多边形是正十边形，所以它的每一个外角为，故答案为：．13. 不透明袋子里有1个红球，1个黄球，2个蓝球（这些球除颜色外完全相同）．小明和小红随机抽取一次，抽取后不放回，则小明和小红都没有抽到蓝球的概率为_______．答案：解析：解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小明和小红都没有抽到蓝球的结果有2种，小明和小红都没有抽到蓝球的概率为．故答案为：．14. “阅百十风华，致生涯广大”—附中将迎来办学周年系列庆祝活动，文创产品深受校友们的喜爱，其中最热卖的单品是“烟雨伞”．据了解，2月份销售数量是把，4月份销售数量是把，设3、4月份“烟雨伞”销售数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为_______．答案：解析：解：依题意得，，故答案为：．15. 如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径作弧，与交于点，与交于点．若，则图中阴影部分面积为_______．（结果保留）答案：解析：解：连接，∵，，∴是等边三角形，∴，过D作于H，则，∵，∴，∴，故答案为：．16. 如图，在矩形中，，，平分，交于点，连接，交于点，则的长为_______．答案：##解析：解：平分，到、的距离相等，设这个距离是，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，∵，，，，．故答案为：．17. 若关于的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_______．答案：4解析：，由①得：，由②得：，∴不等式组的解集为，∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，∴，∵，∴，∴，∴，∵关于y的分式方程有非负整数解，∴，即或或4或，∵解得：或1或，∵，∴，∴，∴满足条件的整式a的值为：3或，∴所有满足条件的整数a的值之和是：，故答案为：418. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“加和数”．例如：四位数5127，因为，所以5127是“加和数”：又如：四位数6238，因为，所以6238不是“加和数”．若是“加和数”，记，若是一个完全平方数，则_______；记，若“加和数”能被7整除，则满足条件的所有的和为_______．答案：①. 4 ②.解析：．，是一个完全平方数，；∵∴（舍），21，28（舍），35（舍）∴，，，（舍），∴∴三、解答题：本大题共8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．19. 计算：（1）（2）答案：（1）（2）小问1解析：解：；小问2解析：解：．20. 某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等、该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系，请根据下列探究思路完成作图和填空：（1）尺规作图：过点作，分别交边于点．（2）已知：在正方形中，点是对角线上一点，，分别交边于点．求证：证明：四边形是正方形平分．①．在和中，．，又，，，②．，且．③，．④．．答案：（1）见解析（2）①；②；③；④小问1解析：根据尺规作图，画图如下：则即为所求．小问2解析：证明：四边形是正方形平分．．在和中，．，又，，，．，且．，．．．故答案为：；；；．21. 我校开展了“传统节日”的知识竞答活动，初2024届800名学生参与了此次竞答活动（满分：50分）．答题完成后，在1、2两班各随机抽取了20名学生的竞答成绩，对数据进行整理、描述和分析（成绩得分用x 表示，其中A：，B：，C：，D：，E：），并给出了下列信息：1班E等级同学的竞答成绩统计如下：50，49，50，50，49，50，50，50，50，492班D等级同学的竞答成绩统计如下：47，48，48，47，48，48．1、2两班抽取的学生的竞答成绩的平均数、中位数、众数如表所示：平均数中位数众数147.548.5c班247.5b49班（1）根据以上信息可以求出：，，；（2）你认为1、2两个班哪个班的学生知识竞答成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；（3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校参加此次知识竞答活动所有学生中优秀的学生有多少人？答案：（1）30，48，50（2）1班学生的知识竞答成绩较好，理由见解析（3）该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生大约有380人．小问1解析：解：由题意得，，故；把2班20个学生的竞答成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是48，48，故中位数；1班20个学生的竞答成绩中出现次数最多的是50，故众数．故答案为：30，48，50；小问2解析：解：1班的学生知识竞答成绩较好，理由如下：因为两个班的平均数相同，但1班的中位数比2班中位数和众数都比2班高，所以1班的学生知识竞答成绩较好；小问3解析：解：，（人，答：该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生大约有380人．22. 去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元．（1）若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？（2）第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值．答案：（1）购买半盔型个，全盔型个（2）小问1解析：解：（1）设购买半盔型个，则全盔型个．由题意得：，解得故半盔型个，全盔型为：．答：购买半盔型个，全盔型个．小问2解析：第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为，全盔型降价后，一个全盔型的获利为，根据题意可得，解得：经检验，为原方程的解，且符合题意．故．23. 如图，在矩形中，．点从点出发，沿折线方向以每秒1个单位长度运动，运动到点处停止．设运动时间为秒，的面积为．（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）当的面积超过3时，直接写出的取值范围．（保留一位小数，误差不超过）答案：（1）（2）见解析，当时，随的增大而减小（3）或小问1解析：解：∵矩形，∴，，由勾股定理得，，当时，在上，，则，∴；当时，在上，，如图1，过作于，则，图1∴，∴，即，解得，，∴，综上，；小问2解析：解：作函数图象，如图2，图2由图象可知，当时，随的增大而减小；小问3解析：解：由题意知，令，解得，，∴此时；令，解得，，∴此时；综上所述，或．24. “办学110周年庆祝活动”筹备小组为了更好的服务校友们，特绘制了校园地图．学校大门在点处，格致楼在学校大门的北偏西方向相距100米处，博雅楼在格致楼的正北方向，万象楼在学校大门的正北方向80米处，在操场的西南方向，操场在博雅楼的正东方向，在学校大门的北偏东方向．（参考数据：）（1）求的长度；（结果精确到1米）（2）筹备组初步拟定校庆活动方案，校友们先在志愿者带领下参观校园，最后在操场汇合，参加庆典活动．筹备组初步设定了2条参观线路，线路一：沿，速度预计为30米/分钟，线路二：沿，速度预计为20米/分钟，若两条线路的校友同时出发，预计哪一条线路的校友先到操场？（结果精确到0.1）答案：（1）154米（2）若两条线路的校友同时出发，预计线路二的校友先到操场小问1解析：解：延长交于点，如图所示：由题中方位可知，，，是等腰直角三角形，，设，则，在中，，则，即，由勾股定理可得，，解得，在中，由勾股定理可得，答：的长度为154米；小问2解析：解：过点作于点，如图所示：在中，，则，，由勾股定理可得，由题中方位可知，，，，四边形是矩形，，走完线路一所用时间为（分钟）；走完线路二所用时间为（分钟）；，答：若两条线路的校友同时出发，预计线路二的校友先到操场．25. 如图，在平而直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．（1）求拋物线的解析式；（2）如图，点是直线下方拋物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求最大值及此时点的坐标；（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，新拋物线与轴的负半轴交于点，请问在新拋物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．答案：（1）（2）最大值，（3）存在，或小问1解析：解：由题意得：，解得：，拋物线的解析式为：；小问2解析：解：如图，过点B作，交y轴于点F，，，，是等腰直角三角形，，也是等腰直角三角形，在中，令，则，或，，，也是等腰直角三角形，，，，，，设直线的解析式为，将点代入得：，解得：，直线的解析式为，设点，则，，，当时，由最大值，最大值为，取得最大值，此时；小问3解析：解：存在点，使得，理由如下：∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，，，∴，，∴，∴抛物线向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到新抛物线，，∴，如图，当点T在x轴下方时，延长交于点Q，过点T作轴，垂足为R，，，，，，设，则，，，，即，整理得：，解得：或（与点N重合，舍去），；如图，当点T在x轴上方时，过点T作轴，垂足为K，同理得，，，，，设，则，，即，整理得：解得：或（与点N重合，舍去），；综上，点的坐标为或．26. 在中，，点是线段上一点．（1）如图1，已知，求的长；（2）如图2，点是的中点，点分别是线段上的点，连接并延长与交于点，以为直角边，构造等腰，在上取一点，当，时，求证：；（3）如图3，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，以为直角边作等腰，连接，当取得最小值时，直接写出的值．答案：（1）（2）见解析：（3）小问1解析：解：过点D作，∵，∴，∴是等腰直角三角形，设，则由勾股定理得：，解得：，∴，在中，，∴，同理在等腰中，由勾股定理得，∴；小问2解析：解：过点R作交的延长线于点N，∵，∵点D是的中点，∴平分，∴，∵，∴等腰直角三角形，∴，在中，，，∴，在和中，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴在中，，∴，∴．小问3解析：解：连接，∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，∴可得∴，∵以为直角边作等腰，∴，∴在等腰中，，在等腰中，，∴，∴，∵，∴当点B、C、P三点共线时，取得最小值，过点O作，∵，∴，∴，∵，∴设，则，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∵，∴，∴，∴设，由翻折得，，而，，∴，∴，∵，∴，解得：，∴，∴．。
1994年高考数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】
1994年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则(A){0} (B){0,1} (C){0,1,4} (D){0,1,2,3,4}【】[Key] 一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1.C(2)如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是(A)(0,+∞) (B)(0,2) (C)(1,+∞) (D)(0,1)【】[Key] 2.D(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆【】[Key] 3.D(4)设θ是第二象限的角,则必有【】[Key] 4.A(5)某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成(A)511个(B)512个(C)1023个(D)1024个【】[Key] 5.B(A)y=sin2x+cos4x (B)y=sin2xcos4x(C)y=sin2x+cos2x (D)y=sin2xcos2x【】[Key] 6.D(7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为【】[Key] 7.B∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是【】[Key] 8.A(9)如果复数z满足│z+i│+│z-i│=2,那么│z+i+1│的最小值是【】[Key] 9.A(10)有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有(A)1260种(B)2025种(C)2520种(D)5040种【】[Key] 10.C(11)对于直线m、n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是【】[Key] 11.C【】[Key] 12.B(13)已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是【】[Key] 13.D【】[Key] 14.B(15)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,如果f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么【】[Key] 15.C第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本大题共5小题,共6个空格;每空格4分,共24分.把答案填在题中横线上)16.在(3-x)7的展开式中,x5的系数是.(用数字作答)17.抛物线y2=8-4x的准线方程是,圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是.19.设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2,圆锥顶点到直线AB的20.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…a n,共n个数据,我们规定所测量物理量的"最佳近似值"a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,…,a n推出的a= .[Key] 二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)三、解答题(本大题共5小题,共61分;解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)21.(本小题满分11分)已知z=1+i.[Key] 三、解答题21.本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力.解:(1)由z＝1+i,有ω的三角形式是(2)由z=1+i,有由题设条件知(a+2)-(a+b)i=1-i.22.(本小题满分12分)[Key] 22.本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力. 证明:且0<cos(x1-x2)<1,从而有0<cos(x1+x2)+cos(x1-x2)<1+cos(x1+x2),23.(本小题满分12分)如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1∥平面DBC1;(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.[Key] 23.本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.(1)证明:∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,∴四边形B1BCC1是矩形.连结B1C交BC1于E,则B1E=EC.连结DE.在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE∥AB1.∴AB1∥平面DBC1.(2)解:作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1,连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.∵AB1⊥BC1,由(1)知AB1∥DE,∴DE⊥BC1,则BC1⊥EF,∴∠DEF是二面角α的平面角.∵△ABC是正三角形,∴在Rt△DCF中,取BC中点G.∵EB=EC,∴EG⊥BC.在Rt△BEF中,∴∠DEF=45°.故二面角α为45°.24.(本小题满分12分)已知直线l过坐标原点,抛物线C顶点在原点,焦点在x轴正半轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l 的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.[Key] 24.本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质,解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力.解法一:依题设抛物线C的方程可写为y2=2px (p>0),且x轴和y轴不是所求直线,又l过原点,因而可设l的方程为y=kx (k≠0). ①设A'、B'分别是A、B关于l的对称点,因而A'A⊥l,直线A'A的方程为②又M为AA'的中点,从而点A'的坐标为③同理得点B'的坐标为④又A'、B'均在抛物线y2=2px(p>0)上,由③得.,整理得k2-k-1=0.所以直线方程为抛物线方程为解法二:设点A、B关于l的对称点分别为A'(x1、y1)、B'(x2,y2),则│OA'│=│OA│=1,│OB'│=│OB│=8.设由x轴正向到OB'的转角为α,则x2=8cosα,y2=8sinα. ①因为A'、B'为A、B关于直线l的对称点，而∠BOA为直角,故∠B'OA'为直角,因此由题意知x1>0,x2>0,故α为第一象限角.因为A'、B'都在抛物线y2=2px上,将①、②代入得cos2α=2p·sinα,64sin2α=2p·8cosα.∴8sin3α=cos3α,∴2sinα=cosα,因为直线l平分∠B'OB,故l的斜率25.(本小题满分14分)设{a n}是正数组成的数列,其前n项和为S n,并且对于所有的自然数n,a n与2的等差中项等于S n 与2的等比中项.(1)写出数列{a n}的前3项;(2)求数列{a n}的通项公式(写出推证过程);[Key] 25.本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力.解得a1=2.(a2-2)2=16.由a2>0,解得a2=6.(a3-2)2=64.由a3>0,解得a3=10.故该数列的前3项为2,6,10.(2)解法一:由(1)猜想数列{a n}有通项公式a n=4n-2.下面用数学归纳法证明数列{a n}的通项公式是a n=4n-2 (n∈N).①当n=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出a1=2,所以上述结论成立.②假设n=k时结论成立,即有a k=4k-2.由题意,有S k=2k2.由题意,有由a k+1>0,解得a k+1=2+4k.所以a k+1=2+4k=4(k+1)-2.这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.由题意知a n+1+a n≠0,∴a n+1-a n=4.即数列{a n}为等差数列,其中a1=2,公差d=4.∴a n=a1+(n-1)d=2+4(n-1),即通项公式为a n=4n-2.(3)解:令c n=b n-1,则中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网。
小学期末真题 六年级数学毕业调考试卷 含答案详细讲解
北京市小学数学毕业考试真题一、填空1、据人口普查局估计，2018年元旦，全世界人口总数将达到744443881，中国总人口数达1409517400人，排名第一。
请将横线上的数四舍五入到亿位约是（______）亿人。
【答案】7【解析】把744443881的数级准确划分，744443881分成亿、万、个三级，四舍五入到亿，千万位的数字4＜5，舍去即可。
744443881四舍五入到亿约是：7亿。
2、天安门广场是世界上最大的广场，面积约40_____．【答案】公顷3、1964年10月16日，我国第一颗原子弹试爆成功，这一年全年有_____天，到2012年10月16日是_____周年．【答案】366，48【解析】1964÷4＝491，1964年是闰年，全年有366天；2012－1964＝48（周年）．故答案为：366，48．4、一号冷库的温度是-40°，二号冷库的温度是-25°，（_______）号冷库的温度高，这两个冷库的温差是（________）°【答案】二，15【解析】对于负数用绝对值越小，数值越大；反之亦然。
绝对值越大，数值越小。
求温差=（-25）-（-40）=15°故正确答案是二号冷库温度高，温差是15°5、平行四边形的面积一定，它的底和高成（_________）比例。
【答案】反【解析】因为平行四边形的面积S=a×h，如果S一定，则a、h成反比例。
6、两个数的最大公因数是1，最小公倍数是72，这两个数组成的假分数是（_______）。
【解析】两个数的最大公因数是1，最小公倍数是72说明两个数是互质数，符合条件的是：8×9、19×72，但是能组成最简假分数的只有8、9两个数可以。
故这个假分数是87、一个减法算式中，减数与被减数的比是5:8，减数与差的比是（_______）。
【答案】5:3【解析】因为被减数-减数=差，减数与被减数的比是5:8，差=8-5=3据此解答即可．8-5=3，减数：差=5：（8-5）=5:38、n是一个自然数，与它相邻的两个自然数的和是（_______）。
1988年高考数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】
1988年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)1 (B)-1 (C)I (D)-i【】[Key]一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B(2)设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么(A)点P在直线L上,但不在圆M上(B)点P在圆M上,但不在直线L上(C)点P既在圆M上,又在直线L上(D)点P既不在圆M上,也不在直线L上【】[Key] (2)C(3)集合{1,2,3}的子集总共有(A)7个 (B)8个(C)6个 (D)5个【】[Key] (3)B(A)10 (B)5【】[Key] (4)A(5)在的展开式中,x6的系数是【】[Key] (5)D(6)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是(A)π(B)2π【】[Key] (6)A(7)方程的解集是【】[Key] (7)C(A)圆(B)双曲线右支(C)抛物线(D)椭圆【】[Key] (8)D(9)如图,正四棱台中,A＇D＇所在的直线与BB＇所在的直线是(A)相交直线(B)平行直线(C)不互相垂直的异面直线(D)互相垂直的异面直线【】[Key] (9)C【】[Key] (10)D(11)设命题甲:△ABC的一个内角为60°.命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (11)C(12)复平面内,若复数z满足│z+1│=│z-i│,则z所对应的点Z的集合构成的图形是(A)圆(B)直线(C)椭圆(D)双曲线【】[Key] (12)B(13)如果曲线x2-y2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为(A)(1,1) (B)(-1,-1)(C)(-1,1) (D)(1,-1)【】[Key] (13)D(14)假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有【】[Key] (14)B(15)如图,二面角αˉABˉβ的平面角是锐角,C是面α内的一点(它不在棱AB 上),点D是点C在面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,那么(A)∠CEB>∠DEB(B)∠CEB=∠DEB(C)∠CEB<∠DEB(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定【】[Key] (15)A二、只要求直接写出结果.(5)已知等比数列{a n}的公比q>1,并且a1=b(b≠0),求[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需要写出结果.[Key] 三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力.解法一:解法二:解法三:解法四:四、如图,正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,求△SDE 绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.[Key] 四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.解法一:连接AE,因为△SBC和△ABC都是边长为a的正三角形,并且SE和AE分别是它们的中线,所以SE=AE,从而△SEA为等腰三角形,由于D是SA的中点,所以ED⊥SA.作DF⊥SE,交SE于点F.考虑直角△SDE的面积,得到所求的旋转体的体积是以DF为底面半径,分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和,即解法二:连结BD.因为BD是正三角形SBA的中线,所以BD⊥SA.连结CD,同理CD⊥SA.于是SA⊥平面BDC,所以SA⊥DE.作DF⊥SE,交SE于点F.在直角△SDE中,SD2=SF·SE,所求的旋转体的体积为[Key] 五、本题主要考查对数函数的性质,以及运用重要不等式解决问题的能力.解法一:情形1∶0<a<1.情形2∶a>1.解法二:当t>0时,由重要不等式可得当且仅当t=1时取“=”号.当0<a<1时,y=log a x是减函数,当a>1时,y=log a x是增函数,解法三:因为t>0,又有当且仅当t=1时取“=”号,当且仅当t=1时取“=”号.以下同解法二.六、给定实数a,a≠0,且a≠1设函数证明(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;(2)这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.[Key] 六、本题主要考查考生在正确理解数学概念(函数的图象的概念,轴对称图形的概念等)的基础上进行推理的能力,以及灵活运用学过的代数和解析几何的知识(互为反函数的图象之间的关系,两条直线平行的条件等)解决问题的能力.证法一:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点,∵a≠1,且x1≠x2,∴y2-y1≠0.因此,M1M2不平行于x轴.即,由此得a=1,与已知矛盾,于是由②式得证法二:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数的图象上任意两个不同的点,则x1≠x2.假如直线M1M2平行于x轴,那么y1=y2,即亦即(x1-1)(ax2-1)=(x2-1)(ax1-1),整理得a(x1-x2)=x1-x2,因为x1≠x2,所以a=1,这与已知矛盾.因此M1M2不平行于x轴.(2)先求所给函数的反函数:由得y(ax-1)=x-1,即(ay-1)x=y-1.即ax-a=ax-1,由此得a=1,与已知矛盾,所以ay-1≠0.因此得到由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对证法三:(1)任取一条与x轴平行的直线L,则l的方程为y=c(c为常数).考虑L与所给函数的图象是否相交以及交点数目的情况.将②代入①得c(ax-1)=x-1,即(ca-1)x=c-1. ③从而直线L与所给函数的图象无交点.这说明原方程组恰有一个解,从而直线L与所给函数的图象恰有一个交点.综上述,平行于x轴的直线与所给函数的图象或者不相交,或者恰有一个交点.因此,经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.(2)同证法一或证法二.[Key] 七、本题主要考查考生利用方程研究曲线性质的能力,以及综合运用学过的代数知识(一元二次方程的判别式,根与系数的关系,解二元二次方程组,解不等式等)去解题的能力.解法一:假定椭圆上有符合题意的四个点,则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程:又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y2=2px,从而它们都是下面的方程组的解:将②式代入①式,得由于上述方程组有4个不同的实数解,所以方程③的判别式应大于零,整理得 3p2-4p+1>0,由已知,椭圆上的点的横坐标都大于零,所以方程③的两个根应都为正数,于是得 7p-4<0, 解此不等式得由④、⑤以及已知条件得一次项系数7p-4<0,所以x1,x2都为正数.把x1及x2分别代入②中,可解得显然y1,y2,y3,y4两两不相等.由于(x1,y1)适合②式和③式,从而也适合①式,因此点M1(x1,y1)是符合题意的点.同理M2(x1,y2),M3(x2,y3),M4(x2,y4)都是符合题意的点,并且它们是互不相同的.解法二:椭圆上有四个点符合题意的充要条件是方程组有四个不同的实数解.所以原方程组有四个不同的实数解,当且仅当方程③有两个不相等的正根.而这又等介于在p>0的条件下,解此不等式组,得到解法三:易求出所给椭圆的方程为假定这个椭圆上有符合题意的四个点,则这些点的坐标应是下述方程组的解:把②式化简得y2=2px.以下同解法一．。
1983年数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】
1983年试题(理工农医类)一、本题共5个小题,每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的.把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)两条异面直线,指的是(A)在空间内不相交的两条直线.(B)分别位于两个不同平面内的两条直线.(C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.(D)不在同一平面内的两条直线.【】[Key] 一、本题考查对一些基本概念和常用的词语的理解.(1)D;(A)两条相交直线. (B)两条平行直线.(C)两条重合直线. (D)一个点.【】[Key] (2)A;(3)三个数a,b,c不完全为零的充要条件是(A)a,b,c都不是零. (B)a,b,c中最多有一个是零.(C)a,b,c中只有一个是零. (D)a,b,c中至少有一个不是零.【】[Key] (3)D;【】[Key] (4)C;【】[Key] (5)C.(2)在极坐标系内,方程ρ=5cosθ表示什么曲线?画出它的图形.[Key] 二、本题考查在直角坐标系内和极坐标系内画出图形的能力.解:(1)图形如右所示.交点坐标是:O(0,0),P(1,-1).(2)曲线名称是:圆.图形如下所示.(2)一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学.要从小组内选出3名代表,其中至少有1名女同学,求一共有多少种选法.[Key] 三、本题考查求初等函数微分的方法和解决简单的排列组合应用题的能力.所以3名代表中至少有1名女同学的选法有所以3名代表中至少有1名女同学的选法有四、计算行列式(要求结果最简):[Key] 四、本题考查行列式的性质(或定义,或按一列展开)和三角公式的运用.解法一:把第1列乘以sinϕ加到第2列上,再把第3列乘以(-cosϕ)加到第2列上,得解法二:把行列式的第2列用三角公式展开,然后运用行列式的性质,得解法三:把行列式按第2列展开,得解法四:把行列式按定义展开,并运用三角公式,得[Key] 五、本题考查复数、不等式和三角函数的基础知识以及运用它们解题的能力.显然r=│z│≠0.因为这就是所求的实数t的取值范围.以下同解法一的后半部分.六、如图,在三棱锥SˉABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC.求证SC垂直于截面MAB.[Key] 六、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证法一:因为SN是底面的垂线,NC是斜线SC在底面上的射影,AB⊥NC,所以AB⊥SC(据三垂线定理).连结DM.因为AB⊥DC,AB⊥SC,所以AB垂直于DC和SC所决定的平面.又因DM在这平面内,所以AB⊥DM.∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.在△MDC和△NSC中,因为∠MDC=∠NSC,∠DCS是公共角,所以∠DMC=∠SNC=90°从而DM⊥SC.从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.证法二:连结DS,DM(参见证法一中的图).因为SN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DS(据三垂线定理).从而AB⊥平面SDC.因SC,DM都在平面SDC内,故AB⊥SC,AB⊥DM.由AB⊥DM,AB⊥DC,可知∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.以下同证法一,故SC⊥截面MAB.证法三:连结DM,DS.因为M,N分别在△SDC的两边上,所以SN和DM都在平面内,且相交于一点P.又因PN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DM(据三垂线定理).∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.又∠MDC=∠NSC,∠DCS是△DCM和△SCN的公共角,故∠DMC=∠SNC=90°.从而DM ⊥SC.从AB⊥DM,AB⊥DC,可知AB⊥平面MDC.因为SC是平面MDC内的直线,所以AB⊥SC.从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.[Key] 七、本题考查合理选择坐标系和灵活运用直线、椭圆性质解决问题的能力以及简单三角方程的解法.解法一:以椭圆焦点F1为极点,以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系.解法二:以椭圆中心为原点,F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系(如图).解方程组以下同解法一.解法三:以椭圆中心为原点,F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系(如图).解方程组解得以下同解法一.解法四:同理,设│F1N│=y,则│F2N│=6-y.以下同解法一.八、已知数列{a n}的首项a1=b(b≠0),它的前n项的和S n=a1+a2+…+a n(n≥1),并且S1,S2,…,S n,…是一个等比数列,其公比为p(p≠0且│p│<1).(1)证明a2,a3,…,a n…,(即{a n}从第2项起)是一个等比数列.[Key] 八、本题考查数列的基础知识和极限的计算方法.(1)证明:由已知条件得S1=a1=b.S n=S1p n-1=bp n-1>(n≥1).因为当n≥2时,S n=a1+a2+…+a n-1+a n=S n-1+a n,所以a n=S n-S n-1=bp n-1-bp n-2=bP n-2(p-1)(n≥2).因此a2,a3…,a n,…是一个公比为p的等比数列.(2)解法一:当n≥2时,且由已知条件可知P2<1,因此数列于是因此九、(1)已知a,b为实数,并且e<a<b,其中e是自然对数的底,证明ab>b a.(2)如果正实数a,b满足ab=b a,且a<1,证明a=b.[Key] 九、本题考查对函数概念的理解,对幂函数、指数函数和对数函数性质的运用及利用导数判断函数增减性从而比较函数值大小的方法.在[a,b]上对f(x)运用中值定理,得因为在(0,1)内f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数.同证法一,证得b<1.因此a=b.因此a=b.九、(1)已知a,b为实数,并且e<a<b,其中e是自然对数的底,证明ab>b a.(2)如果正实数a,b满足ab=b a,且a<1,证明a=b.[Key] 九、本题考查对函数概念的理解,对幂函数、指数函数和对数函数性质的运用及利用导数判断函数增减性从而比较函数值大小的方法.在[a,b]上对f(x)运用中值定理,得因为在(0,1)内f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数.同证法一,证得b<1.因此a=b.因此a=b.。
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数性质综合(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数性质综合（含答案解析）1．（2023·四川乐山·统考中考真题）下列各点在函数21y x =-图象上的是（）A ．()13-，B ．()01，C ．()11-，D ．()23，【答案】D【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式21y x =-，进行计算即可得到答案．【详解】解： 一次函数图象上的点都在函数图象上，∴函数图象上的点都满足函数解析式21y x =-，A.当=1x -时，=3y -，故本选项错误，不符合题意；B.当0x =时，1y =-，故本选项错误，不符合题意；C.当1x =时，1y =，故本选项错误，不符合题意；D.当2x =时，3y =，故本选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．2．（2022·四川眉山）一次函数(21)2y m x =-+的值随x 的增大而增大，则点(,)P m m -所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】根据一次函数的性质求出m 的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P 点所处的象限即可．【详解】∵一次函数(21)2y m x =-+的值随x 的增大而增大，∴210m ->解得：12m >∴(,)P m m -在第二象限故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．3．（2023·内蒙古·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数2y x =-的图象向右平移3个单位长度得到一次函数(0)y kx b k =+≠的图象，则该一次函数的解析式为（）A ．23y x =-+B ．26y x =-+C ．23y x =--D ．26y x =--【答案】B【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．【详解】解：正比例函数2y x =-的图象向右平移3个单位长度得：2(3)26y x x =--=-+，故选：B ．【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．4．（2022·江苏扬州）在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a 2+1)所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【详解】∵a 2⩾0，∴a 2+1⩾1，∴点P(−3,a 2+1)所在的象限是第二象限．故选B.5．（2022·湖南株洲）在平面直角坐标系中，一次函数51y x =+的图象与y 轴的交点的坐标为（）A．()0,1-B．1,05⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1,05⎛⎫ ⎪⎝⎭D．()0,1【答案】D【分析】令x=0，求出函数值，即可求解．【详解】解：令x=0，1y =，∴一次函数51y x =+的图象与y 轴的交点的坐标为()0,1．故选：D【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．6.（2022·湖南娄底）将直线21y x =+向上平移2个单位，相当于（）A．向左平移2个单位B．向左平移1个单位C．向右平移2个单位D．向右平移1个单位【答案】B【分析】函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，根据规律逐一分析即可得到答案．【详解】解：将直线21y x =+向上平移2个单位，可得函数解析式为：23,y x =+直线21y x =+向左平移2个单位，可得()22125,y x x =++=+故A 不符合题意；直线21y x =+向左平移1个单位，可得()21123,y x x =++=+故B 符合题意；直线21y x =+向右平移2个单位，可得()22123,y x x =-+=-故C 不符合题意；直线21y x =+向右平移1个单位，可得()21121,y x x =-+=-故D 不符合题意；故选B 【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解本题的关键．7．（2023·新疆·统考中考真题）一次函数1y x =+的图象不经过．．．（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据10,10k b =>=>即可求解．【详解】解：∵一次函数1y x =+中10,10k b =>=>，∴一次函数1y x =+的图象不经过第四象限，故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．8．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线y kx =（k 是常数，0k ≠）经过第一、第三象限，则k 的值可为（）A ．2-B ．1-C ．12-D ．2【答案】D【分析】通过经过的象限判断比例系数k 的取值范围，进而得出答案．【详解】∵直线y kx =（k 是常数，0k ≠）经过第一、第三象限，∴0k >，∴k 的值可为2，故选：D ．【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．9．（2022·浙江杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B．在1,03M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()21M -，()31,4M ，4112,2M ⎛⎫⎪⎝⎭四个点中，直线PB 经过的点是（）A．1M B．2M C．3M D．4M 【答案】B【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得，利用待定系数法可得直线PB 的解析式，依次将M 1，M 2，M 3，M 4四个点的一个坐标代入中可解答．【详解】解：∵点A（4，2），点P（0，2），∴PA⊥y 轴，PA=4，由旋转得：∠APB=60°，AP=PB=4，如图，过点B 作BC⊥y 轴于C，，设直线PB 的解析式为：y=kx+b，则222k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩2k b ⎧⎪⎨=⎪⎩，∴直线PB当y=0M 1PB 上，当2PB 上，当x=1+2，∴M 3（1，4）不在直线PB 上，当x=24（2，112）不在直线PB 上．故选：B．【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B 的坐标是解本题的关键．10.（2023·山东临沂·统考中考真题）对于某个一次函数(0)y kx b k =+≠，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（）A ．0k >B ．0kb <C ．0k b +>D ．12k b=-【答案】C【分析】首先根据一次函数的性质确定k ，b 的符号，再确定一次函数(0)y kx b k =+≠系数的符号，判断出函数图象所经过的象限．【详解】解：∵一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，∴00k b ><，，故选项A 正确，不符合题意；∴0kb <，故选项B 正确，不符合题意；∵一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，∴20k b +=，则2b k =-，∴20k b k k k +=-=-<，故选项C 错误，符合题意；∵2b k =-，∴12k b =-，故选项D 正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k 、b 的正负．11．（2022·湖南邵阳）在直角坐标系中，已知点3,2A m ⎛⎫⎪⎝⎭，点7,2B n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是直线()0y kx b k =+<上的两点，则m ，n 的大小关系是（）A．m n <B．m n>C．m n≥D．m n≤【答案】A【分析】因为直线()0y kx b k =+<，所以随着自变量的增大，函数值会减小，根据这点即可得到问题解答．【详解】解：∵因为直线()0y kx b k =+<，∴y 随着x 的增大而减小，∵32>2，∴322>∴m<n，故选：A．【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是正确判断一次函数的增减性并灵活运用．12．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数23y x =-的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】依据一次函数23y x =-的图象经过点()03-，和302⎛⎫⎪⎝⎭，，即可得到一次函数23y x =-的图象经过一、三、四象限．【详解】解：一次函数23y x =-中，令0x =，则=3y -；令0y =，则32x =，∴一次函数23y x =-的图象经过点()03-，和302⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴一次函数23y x =-的图象经过一、三、四象限，故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．13．（2022·浙江绍兴）已知112233()()()x y x y x y ，，，，，为直线23y x =-+上的三个点，且123x x x <<，则以下判断正确的是（）．A．若120x x >，则130y y >B．若130x x <，则120y y >C．若230x x >，则130y y >D．若230x x <，则120y y >【答案】D【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵直线y=−2x+3∴y 随x 增大而减小，当y=0时，x=1.5∵(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x 1<x 2<x 3∴若x 1x 2>0，则x 1，x 2同号，但不能确定y 1y 3的正负，故选项A 不符合题意；若x 1x 3<0，则x 1，x 3异号，但不能确定y 1y 2的正负，故选项B 不符合题意；若x 2x 3>0，则x 2，x 3同号，但不能确定y 1y 3的正负，故选项C 不符合题意；若x 2x 3<0，则x 2，x 3异号，则x 1，x 2同时为负，故y 1，y 2同时为正，故y 1y 2>0，故选项D 符合题意．故选：D．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．14.（2022·浙江嘉兴）已知点(,)A a b ，(4,)B c 在直线3y kx =+（k 为常数，0k ≠）上，若ab 的最大值为9，则c 的值为（）A．52B．2C．32D．1【答案】B【分析】把(,)A a b 代入3y kx =+后表示出ab ，再根据ab 最大值求出k，最后把(4,)B c 代入3y kx =+即可．【详解】把(,)A a b 代入3y kx =+得：3b ka =+∴2239(3)3()24ab a ka ka a k a k k=+=+=+-∵ab 的最大值为9∴0k <，且当32a k =-时，ab 有最大值，此时994ab k=-=解得14k =-∴直线解析式为134=-+y x 把(4,)B c 代入134=-+y x 得14324c =-⨯+=故选：B．【点睛】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据ab 的最大值为9求出k 的值．15.（2021·江苏苏州市·中考真题）已知点)A m ，3,2B n ⎛⎫⎪⎝⎭在一次函数21y x =+的图像上，则m 与n 的大小关系是（）A．m n >B．m n=C．m n<D．无法确定【答案】C 【分析】根据一次函数的增减性加以判断即可．【详解】解：在一次函数y=2x+1中，∵k=2>0，∴y 随x 的增大而增大．∵2<94，32<．∴m<n．故选：C【点睛】本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键．16．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线y x m =-+不经过第一象限，则关于x 的方程210mx x ++=的实数根的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1或2个【答案】D 【分析】直线y x m =-+不经过第一象限，则m=0或m＜0，分这两种情形判断方程的根．【详解】∵直线y x m =-+不经过第一象限，∴m=0或m＜0，当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；当m＜0时，方程210mx x ++=是一元二次方程，且△=2414b ac m -=-，∵m＜0，∴-4m＞0,∴1-4m＞1＞0,∴△＞0,故方程有两个不相等的实数根，综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，故选D．【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键．17.（2020•凉山州）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m 的取值范围是（）A．m＞−12B．m＜3C．−12＜m＜3D．−12＜m≤3【分析】根据题意得到关于m 的不等式组，然后解不等式组即可．【解析】根据题意得2m +1＞0m −3≤0，解得−12＜m≤3．故选：D．18．（2020•湖州）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝2x+2和直线y =23x+2分别交x 轴于点A 和点B．则下列直线中，与x 轴的交点不在线段AB 上的直线是（）A．y＝x+2B．y =2x+2C．y＝4x+2D．y =【分析】求得A、B 的坐标，然后分别求得各个直线与x 的交点，进行比较即可得出结论．【解析】∵直线y＝2x+2和直线y =23x+2分别交x 轴于点A 和点B．∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）A、y＝x+2与x 轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x 轴的交点在线段AB 上；B、y =2x+2与x 轴的交点为（−2，0）；故直线y =2x+2与x 轴的交点在线段AB 上；C、y＝4x+2与x 轴的交点为（−12，0）；故直线y＝4x+2与x 轴的交点不在线段AB 上；D、y =与x 轴的交点为（−3，0）；故直线y =与x 轴的交点在线段AB 上；故选：C．19.（2020·湖南湘西?中考真题）已知正比例函数1y 的图象与反比例函数2y 的图象相交于点(2,4)A -，下列说法正确的是（）A．正比例函数1y 的解析式是12y x=B．两个函数图象的另一交点坐标为()4,2-C．正比例函数1y 与反比例函数2y 都随x 的增大而增大D．当2x <-或02x <<时，21y y <【答案】D 【解析】【分析】根据两个函数图像的交点，可以分别求得两个函数的解析式1=2y x -和28=-y x，可判断A 错误；两个函数的两个交点关于原点对称，可判断B 错误，再根据正比例函数与反比例函数图像的性质，可判断C 错误，D 正确，即可选出答案．【详解】解：根据正比例函数1y 的图象与反比例函数2y 的图象相交于点(2,4)A -，即可设11=y k x ，22=k y x，将(2,4)A -分别代入，求得12k =-，28k =-，即正比例函数1=2y x -，反比例函数28=-y x，故A 错误；另一个交点与(2,4)A -关于原点对称，即()24-，，故B 错误；正比例函数1=2y x -随x 的增大而减小，而反比例函数28=-y x在第二、四象限的每一个象限内y 均随x 的增大而增大，故C 错误；根据图像性质，当2x <-或02x <<时，反比例函数28=-y x均在正比例函数1=2y x -的下方，故D 正确．故选D．【点睛】本题目考查正比例函数与反比例函数，是中考的重要考点，熟练掌握两种函数的性质是顺利解题的关键．20.（2020·江苏泰州?中考真题）点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（）A．5B．3C．3-D．1-【答案】C 【解析】【分析】把(),P a b 代入函数解析式得32=+b a ，化简得32-=-a b ，化简所求代数式即可得到结果；【详解】把(),P a b 代入函数解析式32y x =+得：32=+b a ，化简得到：32-=-a b ，∴()()621=231=221=-3-+-+⨯-+a b a b ．故选：C．【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．21．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，直线332y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，将OAB 绕着点A 顺时针旋转90 得到CAD ，则点B 的对应点D 的坐标是（）A ．()2,5B ．()3,5C ．()5,2D ．)13,2【答案】C【分析】先根据一次函数解析式求得点,A B 的坐标，进而根据旋转的性质可得2,3AC OA CD OB ====，90OAC ∠=︒，=90ACD ∠︒，进而得出CD OA ∥，结合坐标系，即可求解．【详解】解：∵直线332y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，∴当0x =时，3y =，即()0,3B ，则3OB =，当0y =时，2x =，即()2,0A ，则2OA =，∵将OAB 绕着点A 顺时针旋转90 得到CAD ，又∵90AOB ∠=︒∴2,3AC OA CD OB ====，90OAC ∠=︒，=90ACD ∠︒，∴CD OA ∥，延长DC 交y 轴于点E ，则()0,2E ，235DE EC CD =+=+=，∴D ()5,2，故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键．22.（2020·四川凉山?中考真题）已知一次函数y =（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m 的取值范围（）A．m>-12B．m<3C．-12<m<3D．-12<m≤3【答案】D 【解析】【分析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时，21030m m ⎧⎨-⎩＋＞＜，解得：－12＜m＜3.当函数图象经过第一，三象限时，21030m m ＋＞＝⎧⎨-⎩，解得m＝3.∴－12＜m≤3.故选D.【点睛】一次函数的图象所在的象限由k，b 的符号确定：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx＋b 的图象经过第一，二，三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx＋b 的图象经过第一，三，四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b 的图象经过第一，二，四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b 的图象经过第二，三，四象限.注意当b＝0的特殊情况.23.（2020·广东广州?中考真题）一次函数31y x =-+的图象过点()11,x y ，()121,x y +，()132,x y +，则（）A．123y y y <<B．321y y y <<C．213y y y <<D．312y y y <<【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可．【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y 随x 增减而减小．故选B．【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系．24．（2020·广东广州?中考真题）直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（）.A．0个B．1个C．2个D．1个或2个【答案】D 【解析】【分析】根据直线y x a =+不经过第二象限，得到0a ≤，再分两种情况判断方程的解的情况.【详解】∵直线y x a =+不经过第二象限，∴0a ≤，∵方程2210ax x ++=，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆=2444b ac a -=-，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：D.【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a 的取值范围，再分类讨论.25.（2020·湖南益阳?中考真题）一次函数y kx b =+的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．k 0<B．1b =-C．y 随x 的增大而减小D．当2x >时，0kx b +<【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可．【详解】由图象知，k﹥0，且y 随x 的增大而增大，故A、C 选项错误；图象与y 轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B 选项正确；当x﹥2时，图象位于x 轴的上方，则有y﹥0即+kx b ﹥0，D 选项错误，故选：B．【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．26．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,1P ，点()4,1A ，以点P 为中心，把点A 按逆时针方向旋转60︒得到点B ，在(11,M -，2,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()31M -，(4M 四个点中，直线PB 经过的点是（）A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M 【答案】B【分析】根据含30︒角的直角三角形的性质可得(21B +，，利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将1234M M M M ，，，四个点的一个坐标代入1y +中可解答．【详解】解：∵点()4,1A ，点()0,1P ，∴PA y ⊥轴，4PA =，由旋转得：604APB AP PB ∠=︒==，，如图，过点B 作BC y ⊥轴于C ，∴30BPC ∠=︒，∴2BC PC ==，，∴(21B +，），设直线PB 的解析式为：y kx b =+，则211k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩∴1k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线PB 的解析式为：1y +，当=1x -时，1y =，∴点(11,M -不在直线PB 上，当3x =-时，10y ⎛=+= ⎝⎭，∴2,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线PB 上，当1x =时1y =，∴()31M -不在直线PB 上，当2x =时，1y =，∴(4M 不在直线PB 上．故选：B ．【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B 的坐标是解本题的关键．27．（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3和()1,2-，则22k b -=________________．【答案】6-【分析】把点()1,3和()1,2-代入y kx b =+，可得32k b k b +=⎧⎨-=-⎩，再整体代入求值即可．【详解】解：∵一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3和()1,2-，∴32k b k b +=⎧⎨-+=⎩，即32k b k b +=⎧⎨-=-⎩，∴()()()22326k b k b k b -=+-=⨯-=-；故答案为：6-【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．28．（2023·天津·统考中考真题）若直线y x =向上平移3个单位长度后经过点()2,m ，则m 的值为________．【答案】5【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点()2,m 代入即可求得m 的值．【详解】解： 直线y x =向上平移3个单位长度，∴平移后的直线解析式为：3y x =+．平移后经过()2,m ，235m ∴=+=．故答案为：5．【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．29．（2023·广西·统考中考真题）函数3y kx =+的图象经过点()2,5，则k =______．【答案】1【分析】把点()2,5代入函数解析式进行求解即可．【详解】解：由题意可把点()2,5代入函数解析式得：235k +=，解得：1k =；故答案为：1．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．30．（2022·江苏扬州）如图，函数()0y kx b k =+<的图像经过点P ，则关于x 的不等式3kx b +>的解集为________．【答案】1x <-【分析】观察一次函数图象，可知当y>3时，x 的取值范围是1x <-，则3kx b +>的解集亦同．【详解】由一次函数图象得，当y>3时，1x <-，则y=kx+b>3的解集是1x <-．【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键．31．（2022·四川德阳）如图，已知点()2,3A -，()2,1B ，直线y kx k =+经过点()1,0P -．试探究：直线与线段AB 有交点时k 的变化情况，猜想k 的取值范围是______．【答案】13k ≥或3k ≤-##3k ≤-或13k ≥【分析】根据题意，画出图象，可得当x=2时，y≥1，当x=-2时，y≥3，即可求解．【详解】解：如图，观察图象得：当x=2时，y≥1，即21k k +≥，解得：13k ≥，当x=-2时，y≥3，即23k k -+≥，解得：3k ≤-，∴k 的取值范围是13k ≥或3k ≤-．故答案为：13k ≥或3k ≤-【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．32.（2020·山东临沂?中考真题）点1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭和点(2,)n 在直线2y x b =+上，则m 与n 的大小关系是_________．【答案】m＜n【解析】【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．【详解】解：∵直线2y x b =+中，k=2＞0，∴此函数y 随着x 的增大而增大，∵12-＜2，∴m＜n．故答案为：m＜n．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．33．（2021·四川眉山市·中考真题）一次函数()232y a x =++的值随x 值的增大而减少，则常数a 的取值范围是______．【答案】32a <-【分析】由题意，先根据一次函数的性质得出关于a 的不等式230a +<，再解不等式即可．【详解】解： 一次函数()232y a x =++的值随x 值的增大而减少，230a ∴+<，解得：32a <-，故答案是：32a <-．【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是：熟知一次函数的增减性．34．（2021·江苏苏州市·中考真题）若21x y +=，且01y <<，则x 的取值范围为______．【答案】102x <<【分析】根据21x y +=可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x 取得最大值，当y＝1时，x 取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．【详解】解：根据21x y +=可得y＝﹣2x+1，∴k＝﹣2＜0∵01y <<，∴当y＝0时，x 取得最大值，且最大值为12，当y＝1时，x 取得最小值，且最小值为0，∴102x <<故答案为：102x <<．【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．35．（2021·四川成都市·中考真题）在正比例函数y kx =中，y 的值随着x 值的增大而增大，则点()3,P k 在第______象限．【答案】一【分析】先根据正比例函数y kx =中，函数y 的值随x 值的增大而增大判断出k 的符号，求出k 的取值范围即可判断出P 点所在象限．【详解】解：∵正比例函数y kx =中，函数y 的值随x 值的增大而增大，∴k＞0，∴点()3,P k 在第一象限．故答案为：一．【点睛】本题考查的是一次函数图象与系数的关系，正比例函数的性质，根据题意判断出k 的符号是解答此题的关键．36．（2021·四川自贡市·中考真题）当自变量13x -≤≤时，函数y x k =-（k 为常数）的最小值为3k +，则满足条件的k 的值为_________．【答案】2-【分析】分1k <-时，13k -≤≤时，3k >时三种情况讨论，即可求解．【详解】解：①若1k <-时，则当13x -≤≤时，有x k >，故y x k x k =-=-，故当1x =-时，y 有最小值，此时函数1y k =--，由题意，1 3k k --=+，解得：2k =-，满足1k <-，符合题意；②若13k -≤≤，则当13x -≤≤时，0y x k =-≥，故当x k =时，y 有最小值，此时函数0y =，由题意，0 3k =+，解得：3k =-，不满足13k -≤≤，不符合题意；③若3k >时，则当13x -≤≤时，有x k <，故y x k k x =-=-，故当3x =时，y 有最小值，此时函数3y k =-，由题意，3 3k k -=+，方程无解，此情况不存在，综上，满足条件的k 的值为2-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了一次函数的性质，绝对值的性质，分类讨论是解题的关键．37.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，把AOB绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A 的坐标是_____．【答案】（4，125）【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB，而纵坐标等于OB-OA，即可得出答案．【详解】解：在542y x =+中，令x=0得，y=4，令y=0，得5042x =+，解得x=8-5，∴A（8-5，0），B（0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B，∠ABA 1=90°，∴∠ABO=∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB=90°，OA=O 1A 1=85，OB=O 1B=4，∴∠OBO 1=90°，∴O 1B∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长，即为48-5=125；横坐标为O 1B=OB=4，故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．38.（2020·贵州中考真题）如图，直线y＝kx+b（k、b 是常数k≠0）与直线y＝2交于点A （4，2），则关于x 的不等式kx+b＜2的解集为_____．【答案】x＜4【解析】【分析】结合函数图象，写出直线y kx b =+在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：∵直线y＝kx+b 与直线y＝2交于点A（4，2），∴x＜4时，y＜2，∴关于x 的不等式kx+b＜2的解集为：x＜4．故答案为：x＜4．【点睛】本题考查的是利用函数图像解不等式，理解函数图像上的点的纵坐标的大小对图像的影响是解题的关键39.（2020·山东初三学业考试）如图所示，一次函数y ax b =+（a 、b 为常数，且0a >）的图象经过点(4,1)A ，则不等式1ax b +<的解集为___．【答案】4x <．【解析】【分析】由于一次函数y=ax+b（a、b 为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），再根据图象得出函数的增减性，即可求出不等式ax+b＜1的解集．【详解】函数y ax b =+的图象如图所示，图象经过点(4,1)A ，且函数值y 随x 的增大而增大，故不等式1ax b +<的解集是4x <．故答案为：4x <．【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解题的关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．40．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()86-，，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点C 、点A ，直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上，动点N 在直线26y x =--上，若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为【答案】()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，可得N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，符合题意，可得()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，证明MNK NAJ ≌，设(),26N x x --，可得MK NJ x ==-，266212KN AJ x x ==---=--，而8KJ AB ==，则2128x x ---=，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，∴N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，∴N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，∵()8,6B -，则()4,3H -，∴4MH AH NH ===，符合题意，∴()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，∴90NAJ ANJ ∠+∠=︒，∵AN MN =，90ANM ∠=︒，∴90MNK ANJ ∠+∠=︒，∴MNK NAJ ∠=∠，∴MNK NAJ ≌，设(),26N x x --，∴MK NJ x ==-，266212KN AJ x x ==---=--，而8KJ AB ==，∴2128x x ---=，解得：203x =-，则22263x --=，∴22202333CM CK MK =-=-=，∴28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上：()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．41．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线123y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点D 是线段AB 上一动点，点H 是直线423y x =-+上的一动点，动点()()030E m F m +，，，，连接BE DF HD ，，．当BE DF +取最小值时，35BH DH +的最小值是．【答案】392【分析】作出点()32C -，，作CD AB ⊥于点D ，交x 轴于点F ，此时BE DF +的最小值为CD 的长，利用解直角三角形求得1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，利用待定系数法求得直线CD 的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作DG y ⊥轴于点G ，此时35BH DH +的最小值是5DG 的长，据此求解即可．【详解】解：∵直线123y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，∴()02B ，，()60A ，，作点B 关于x 轴的对称点()02B '-，，把点B '向右平移3个单位得到()32C -，，作CD AB ⊥于点D ，交x 轴于点F ，过点B '作B E CD '∥交x 轴于点E ，则四边形EFCB '是平行四边形，此时，BE B E CF '==，∴BE DF CF DF CD +=+=有最小值，作CP x ⊥轴于点P ，则2CP =，3OP =，∵CFP AFD ∠=∠，∴FCP FAD ∠=∠，∴tan tan FCP FAD ∠=∠，∴PF OB PC OA=，即226PF =，∴23PF =，则1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设直线CD 的解析式为y kx b =+，则321103k b k b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得311k b =⎧⎨=-⎩，∴直线CD 的解析式为311y x =-，联立，311123y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得3910710x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3971010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；过点D 作DG y ⊥轴于点G，直线423y x =-+与x 轴的交点为302Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则2252BQ OQ OB =+=，∴332sin 552OQ OBQ BQ ∠===，∴3sin 5HG BH GBH BH =∠=，∴()3355555BH DH BH DH HG DH DG ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，即35BH DH +的最小值是393955102DG =⨯=，故答案为：392．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．42．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点()2,A m 在直线522y x =-上，过点A 的直线交y 轴于点()0,3B．(1)求m 的值和直线AB 的函数表达式．(2)若点()1,P t y 在线段AB 上，点()21,Q t y -在直线522y x =-上，求12y y -的最大值．【答案】(1)32m =，334y x =-+；(2)152【分析】（1）把点A 的坐标代入直线解析式可求解m ，然后设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；（2）由（1）及题意易得()133024y t t =-+≤≤，()25921222y t t =--=-，则有12391115324242y y t t ⎛⎫-=-+--=-+ ⎪⎝⎭，然后根据一次函数的性质可进行求解．【详解】（1）解：把点()2,A m 代入522y x =-，得32m =．设直线AB 的函数表达式为y kx b =+，把点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,3B 代入得3223.k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得343.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的函数表达式为334y x =-+．（2）解：∵点()1,P t y 在线段AB 上，点()21,Q t y -在直线522y x =-上，∴()133024y t t =-+≤≤，()25921222y t t =--=-，∴12391115324242y y t t ⎛⎫-=-+--=-+ ⎪⎝⎭．∵1104k =-<，∴12y y -的值随x 的增大而减小，∴当0=t 时，12y y -的最大值为152．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．43.（2019•乐山）如图，已知过点B（1，0）的直线l 1与直线l 2：y=2x+4相交于点P（-1，a）．（1）求直线l 1的解析式；（2）求四边形PAOC 的面积．【解析】（1）∵点P（-1，a）在直线l 2：y=2x+4上，∴2×（-1）+4=a，即a=2，则P 的坐标为（-1，2），设直线l 1的解析式为：y=kx+b（k≠0），。
1964年全国高考数学试题及其解析
1964年全国高考数学试题及其解析2.甲乙二人在河的南岸O处,隔河在正北方向有一建筑物P.甲向正东、乙向正西沿河岸而行,甲每分钟比乙多走a米.10分钟后,甲望建筑物P在北a度西(即北偏西a度),乙望建筑物P在北β度东(即北偏东β度),求O与P之间的距离.3.解方程x4+1=0;并且证明:平面内表示这个方程的根的四个点是一个正方形的顶点.4.已知A、B、C是三角形的三个内角,求证:5.已知方程x3+mx2-3x+n=0的三个根的平方和为6,且知这个方程有两相等的正根,求m、n的值.6.圆台形铁桶的上口半径是15厘米,下底半径是10厘米,母线长是30厘米,将铁桶的侧面沿一条母线剪开铺平,得图中扇面形状的铁片ABCD.求A、B两点间的距离.7.A、B、C、D四个点在平面M和平面N之外,A、B、C、D在平面M内的射影是A1、B1、C1、D1,在平面N内的射影是A2、B2、C2、D2.已知A1、B1、C1、D1在一条直线上,A2B2C2D2是一个平行四边形,求证ABCD也是一个平行四边形.8.下图中ABCD是正方形,其每边长为1;在正方形内,⊙O与⊙O＇互相外切,并且⊙O与AB、AD两边相切,⊙O＇与CB、CD两边相切.(1)求这两圆半径之和.(2)当两圆半径各多么长时,两圆面积之和最小?当半径各多么长时,面积之和最大?证明你的结论.附加题(1)如果把第8题中的正方形改成矩形,你能得到什么结果?为什么?(2)如果把第8题中的正方形改成棱长为1的正方体,把圆改成球,你能得到什么结果?为什么?1964年试题答案1.解法一:解法二:2.解:如图,设OB=x,则OA=x+10a.再设OP=h,则htgα=x+10a,htgβ=x.h(tgα-tgβ)=10a,3.解法一:原方程即x4=-1,也就是x4=cos(2k+1)π+isin(2k+1)π令k=0、1、2、3,就得到原方程的四个根:如图,∠M1OM2等于x2的辐角减去x1的辐角，故∴M1M2=M2M3=M3M4=M4M1.∴M1M2M3M4是一个正方形.解法二:x4+1=(x4+2x2+1)-2x2∴原方程即它的根是如图,线段M2M1与M3M4显然都平行于OX轴,线段M4M1与M3M2都平行于OY 轴.所以M1M2M3M4是一个正方形.4.解法一:利用正弦定理代入所要证明的等式的右边,并化简得由余弦定理,上式右边就是cosA.解法二:利用A=π-(B+C),sin2B+sin2C-sin2A=sin2B+sin2c-sin2(B+C)=sin2B+sin2C-(sinBcosC+cosBsinC)2=sin2B+sin2C-sin2Bcos2C-cos2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC=sin2B(1-cos2C)+sin2C(1-cos2B)-2sinBsinCcosBcosC=2sin2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC=2sinBsinC(sinBsinC-cosBcosC)=2sinBsinC[-cos(B+C)]=2sinBsinC·cos[π-(B+C)]=2sinBsinCcosA.两边除以2sinBsinC,得到5.解法一:设这个方程的三个根为α、α、β.根据已知条件和根与系数的关系,得(2)的两边乘以2,得2α2+4αβ=-6,(3)(1)与(3)的两边分别相加,得4α2+4αβ+β2=0,即(2α+β)2=0,∴β=-2α.代入(1),2α2+(-2α)2=6,6α2=6,∴α=±1.α=-1不符合题意,舍去.故α=1,β=-2.∴m=-(2α+β)=0,n=-α2β=2.解法二:仿解法一得代简,得α4-2α2+1=0,即(α2-1)2=0,∴α=±1.α=-1不合题意,舍去.故α=1,代入(2)得,β=-2.∴m=-(2α+β)=0,n=-α2β=2.6.解法一:延长AD、BC相交于O,设∠COD=θ,OD=x,则(x+30)θ=30π,xθ=20π,相减,得30θ=10π,因为△OAB是一个等边三角形,所以AB=OA=90（厘米）.解法二:延长AD、BC相交于O,设OD=x,则解出x,得x=60,因为△OAB是一个等边三角形,所以AB=OA=90（厘米）.7.解:如图,设A1、B1、C1、D1所在的直线为l,过直线l与直线作AA1作一平面P,则P必垂直于M.显然A在平面P内.又因B1在平面P内,且直线BB1垂直于平面M,故BB1必在平面P内.因而B也在平面P内.同理,C、D也在平面P内.因AA2∥DD2,且A2B2∥D2C2,故由AA2与A2B2所决定的平面平行于由DD2与D2C2所决定的平面.又P与这两个平面的交线分别为AB与CD,故AB∥CD.同理BC∥AD.故ABCD是平行四边形.8.解法一:但OO是两圆连心线,所以OO抇=r+r抇=s.故由上式得(2)两圆面积之和是π(r2+r＇2)=π[r2+(s-r)2]现在讨论当半径各多么长时,面积之和最大.不妨先设r≥r＇,即不妨解法二:(2)两圆面积之和是两圆面积之和最小.由(Ⅲ),得附加题(1)如果把第8题中的正方形改成矩形,你能得什么结果?为什么?容易看出:AP=r,RB=O＇Q=r＇.因此,OS=PR=a-s.仿此,O＇S=b-s.但△OSO＇是直角三角形,而OO＇=r+r＇=s,故得(a-s)2+(b-s)2=s2.即s2-2(a+b)s+a2+b2=0.显然s<a+b,故应取“-”号.因此另一方面,两圆面积之和为又由（Ⅱ）有(2)如果把第8题中的正方形改成棱长为1的正方体,把圆改成球,你能得到什么结果?为什么?解:设球O与球O′互相外切,并且都在正方体ABCD—BACD内部.设球O与过A的三个面相切,球O与C的三个面相切.设球O与球的半径分别为r与r＇,r+r＇=s.两球表面积之和是4π(r2+r2)=2π[(r+r＇)2+(r-r＇)2]=2π[s2+(r-r＇)2]=2π[s2+(2r-s)2].两球体积之和是。
1978年高考数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】
1978年试题注意事项:1.理工科考生要求除作（一）棗（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）棗（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.[Key]（一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2=(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z).2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.[Key] 2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.[Key] 3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.x≥-1为所求的定义域.[Key][Key]（二）已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图.[Key] （二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）（三）（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN 于N点,CD⊥AB于D点.求证:1)CD=CM=CN;2)CD2=AM·BN.[Key] （三）证明:1)连CA、CB,则∠ACB=90°.∠ACM=∠ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）,∠ACD=∠ABC（同角的余角相等）,∴∠ACM=∠ACD.∴△ACM≌△ADC.∴CM=CD.同理CN=CD.∴CD=CM=CN.2)∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴CD2=AD·DB（比例中项定理）.由1),可知AM=AD,BN=BD,∴CD2=AM·BN.（四）已知log189=a(a≠2),18b=5.求log3645.[Key] （四）解法一:∵log189=a,∴18a=9.又18b=5,∴45=9×5=18a·18b=18a+b,设log3645=x,则36x=45=18a+b,∴log1836x=log1818a+b但36=2×18=4×9,∴log18(2×18)=log18(22×9).即1+log182=2log182+log189=2log182+a.∴log182=1-a.以下解法同解法一.（五）（本题和第（六）题选作一题）已知△ABC的三内角的大小成[Key] （五）解:A+B+C=180°,又2B=A+C.∴3B=180°,B=60°,A+C=120°.（六）已知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0.[Key]以下同证法一.（七）（文科考生不要求作此题）已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）.(1)m是什么数值时,y的极值是0?(2)求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论.(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.[Key] （七）解:(1)用配方法得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线,方程中不当m=-1、0、1时,x,y之间的函数关系为分别作出它们的图象P1、P2、P3. 它们的顶点都在直线l1上.(3)设l:x-y=a为任一条平行于l1的直线.与抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1方程联立求解.消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0.∴(x+m)2=1-a.因而当1-a≥0即a≤1时,直线l与抛物线相交,而1-a<0即a>1时,直线l与抛物线不相交.即直线l与抛物线两交点横坐标为因直线l的斜率为1,它的倾斜角为45°.∵直线l被抛物线截出的线段等于而这与m无关.因此直线l被各抛物线截出的线段都相等._。
2024年9月云南省玉溪市小升初数学六年级常考应用题测试四卷含答案解析
2024年9月云南省玉溪市小升初六年级数学常考应用题测试四卷含答案解析学校:________ 姓名:________ 考号:________ 得分:________一、应用题(精选120题，每题1分。
一、审题：在开始解答前，应仔细阅读题目，理解题目意思、数量关系、问题是什么，以及需要几步解答；二、注意格式：正确使用算式、单位和答语；三、卷面要求：书写时应使用正楷，尽量避免连笔，字迹稍大，并注意排版，确保卷面整洁；四、π一律取值3.14。
)1.一辆客车原有乘客28名，到了青年站，下了一些，又上来12人，这时车上的乘客是31人，青年站下了多少人？（用方程解答）2.某工程队修一条公路，全长1200米，这时已修的与未修的比是3：2，已修了多少米？3.甲、乙、丙三人快走，甲每分钟走60米，乙每分钟走70米，丙每分钟走80米，甲、乙从东村，丙从西村，同时相向而行，丙遇到乙后l0分钟再遇甲，求东西两村相距多少千米？4.化肥厂上半月生产化肥750袋，下半月生产化肥850袋，每袋化肥50千克．（1）化肥厂全月生产化肥多少千克？（2）下半月比上半月多生产化肥多少千克？5.甲、乙两位工人工作效率的比是3：2，乙工人每小时生产12个零件．甲、乙两人各工作8小时后，甲比乙多生产多少个零件？6.服装商店购进85件新款大衣．原价是188元；现价158元。
（1）已经按原价卖出59件，收入多少元？（2）由于店庆搞活动，剩下的衣服按单价158元卖出，还能收入多少元？7.一块120公顷的麦地，一台收割机前3.5小时收割了7/20，按照这样的速度，这块地要多少小时才能收割完？（用比例知识解答）8.欣欣服装店上午卖出3件上衣,每件上衣售价84.5元,下午卖出同样的上衣9件,欣欣服装店这一天这种上衣一共卖了多少钱?(用两种方法解答)9.甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的年龄的2倍还大3岁，乙的年龄比丙的年龄的2倍小2岁，三个人年龄之和是109岁，求甲、乙、丙的年龄分别是多少岁？10.中心小学去参观“飞向太空--中国载人航天展”．四、五年级一共去了264人，四年级去的人数是五年级的1.2倍．四年级去了多少人？11.在阅兵式上，战士们进行阅兵表演站成了一个方阵，最外层一共有76人，这个方阵一共有多少人？12.师徒二人共同加工一批零件，师傅每小时加工125个，徒弟每小时加工100个，8小时完成任务，完成任务时，师傅比徒弟共多加工多少个零件？师傅和徒弟共加工多少个零件？13.食堂买回1吨千克面粉，每天用掉120千克，算一算7天后食堂还剩多少千克面粉？14.甲、乙两个仓库共有货物140吨，运出甲仓库的1/4和乙仓库的1/5共32吨，送往商店出售．问甲乙两仓库原有货物各多少吨？15.一条长方形人行横道长125米、宽40分米，面积是多少平方分米？用面积是25平方分米的水泥方砖铺路，共需方砖多少块？16.一本故事书有285页，健健已经看了105页，剩下的要在4天内看完，平均每天要看多少页？17.植树节，三年级植树256棵，比六年级少植树135棵，六年级植树多少棵？两个年级共植树多少棵？18.一块平行四边形菜地，底和高的和是145米，已知底是高的1.5倍，这块菜地的面积是多少？19.6位老师带领93名学生参加夏令营，用3辆汽车，平均每辆车要坐多少人？20.甲、乙两个仓库共存粮58吨，现从乙仓库调9吨粮食到甲仓库，两个仓库的粮食就同样多了，甲、乙两个仓库原来各存粮多少吨？21.一件衣服原价100元，因遇到销售旺季，提价1/5销售．一段时间后，进入销售淡季，不得不再降价1/5销售．这件衣服现价多少元？22.五年级有学生540人，正好是六年级学生人数的3/5，五、六年级共有学生多少人？23.甲乙两人共同完成生产400个零件的任务．甲每小时生产26个，乙每小时生产30个，两人共同工作了5小时，甲有事离开，剩下的任务由乙完成，乙还要工作多少时间完成任务？24.王老师写书所得稿费5800元，按规定：扣除稿费中800元后的部分按20%的税率缴纳个人所得税，那么王老师应缴纳个人所得税多少元？25.某工程由甲单独做25天后，再由乙单独做60天即可完成．如果甲、乙两人合作，需40天完成，现在甲先单独做34天，然后再由乙来单独完成，还需要做多少天．26.一个筑路队修一条公路，原计划每天修1.5千米，28天完成，实际每天修2.1千米．实际修了多少天？（用比例解）27.某工厂五月份用煤135.6吨，是四月份用煤量1.5倍，四月份和五月份共用煤多少吨？28.一块平行四边形的小麦地，底长240米，高是150米，这块地的面积有多少公顷？29.六年级一班的同学在冬运会上得了160分，二班的分数是一班的5/8，三班比二班多12分，三班得了多少分？30.一列货车平均每小时85千米。
2024年湖南省湘西州古丈县小升初数学模拟试卷含解析
2024年湖南省湘西州古丈县小升初数学模拟试卷一、仔细填空。
(每小题2分，共20分）1．下面_________圆柱与左面的圆锥体积相等。
2．服装店购进一批衬衫，其中女式衬衫120件，男式衬衫比女式衬衫的多20件．购进男式衬衫________件？3．用棱长是1cm的正方体拼成如图所示的立体图形，则该图形的表面积（包含底面）至少是（________）cm2。
4．1964年10月16日，我国第一颗原子弹试爆成功，这一年全年有_____天，到2012年10月16日是_____周年．5．________米的49是16米，8千克的________是125千克。
6．把一根长8米的竹竿，平均分成5段，每段是全长的（_______），每段长（________）。
7．中国农历中的“夏至”是一年中白昼时间最长、黑夜时间最短的一天。
这一天，北京的白昼时间与黑夜时间的比大约是5：3，这一天的白昼时间大约是________小时，黑夜时间大约是________小时。
8．有2分和5分的硬币共18枚，一共6角钱，5分的硬币有（______）枚．9．58∶0.125的比值是_____，化成最简整数比是_____。
10．一个长方体长9厘米，宽5厘米，高4厘米。
如果把它按体积比是2∶3∶4切成三个小长方体，其中最小的长方体的体积是________立方厘米。
二、准确判断。
(对的画“√ ”，错的画“×”。
每小题2分，共12分）11．0既不是正数也不是负数．（____）12．表示一个星期的气温变化情况,选用扇形统计图比较合适。
（_____）13．圆内最长的线段是直径．（_____）14．一个四边形的四个角都是直角，这个四边形一定是正方形．（____）15．100克含盐率为10%的盐水中加入5克盐，含盐率达到15%。
_____16．原价50元的商品打九折出售，相当于降价了10元。
（______）三、谨慎选择。
(将正确答案的标号填在括号里，每小题2分，共10分）17．下列各式中，是方程的是（ ）。
2024年9月云南省玉溪市小升初数学必刷精品应用题模拟卷一含答案解析
2024年9月云南省玉溪市小升初数学必刷精品应用题模拟卷一含答案解析学校:________ 姓名:________ 考号:________ 得分:________一、应用题(精选120题，每题1分。
一、审题：在开始解答前，应仔细阅读题目，理解题目意思、数量关系、问题是什么，以及需要几步解答；二、注意格式：正确使用算式、单位和答语；三、卷面要求：书写时应使用正楷，尽量避免连笔，字迹稍大，并注意排版，确保卷面整洁；四、π一律取值3.14。
)1.东方小学五年级学生人数是四年级的1.2倍，五年级有252人，四、五年级一共有多少名学生？2.甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙的速度是甲的6/7，两车在距中点32千米处相遇，东西两地相距多少米？3.A、B两地相距409.5千米，甲、乙两辆汽车从两地同时出发相向而行，3小时相遇，已知甲车平均每小时行65.5千米，乙车平均每小时行多少千米？（用方程解）4.某工厂生产一批发电机，原计划每天生产200台，实际每天比原计划多生产50台，这样就提前10天完成任务．这批发电机有多少台？5.在602班部分学生参加学工劳动，由张师傅领队到工厂学习零件加工．张师傅及每个学生加工的零件个数都一样多，半天共加工零件374个．学生平均分成三组，每组不多于10人．问每组学生多少人？每人加工零件多少个？6.某养殖场，养的鸡和兔共100只，正好250只脚，问鸡兔各有多少只？7.甲、乙、丙三人骑车同时出发，追赶前面的一个行人．他们分别用6分、9分、12分追上行人，已知甲每分钟行400米，乙每分钟行360米．问：丙每分钟行多少米？8.同学们做了一些纸花，送给幼儿园的小朋友．幼儿园有14个班，如果每班分105朵，就会缺34朵，同学们做了多少朵纸花？9.某工程队，16个工人9天能挖水沟1872米，27个工人14天能挖多少米．10.某饲养场养鹅180只，比鸡的只数少55%，鸭的只数是鸡的80%。
2024年9月云南省玉溪市小升初数学必刷精品应用题模拟卷三含答案解析
2024年9月云南省玉溪市小升初数学必刷精品应用题模拟卷二含答案解析学校:________ 姓名:________ 考号:________ 得分:________一、应用题(精选120题，每题1分。
一、审题：在开始解答前，应仔细阅读题目，理解题目意思、数量关系、问题是什么，以及需要几步解答；二、注意格式：正确使用算式、单位和答语；三、卷面要求：书写时应使用正楷，尽量避免连笔，字迹稍大，并注意排版，确保卷面整洁；四、π一律取值3.14。
)1.甲、乙两辆汽车分别从两地同时相对开出，甲车每小时行150千米，乙车每小时行80千米，6小时后两车相遇，甲、乙两地相距多少千米？（先画图，再解决）2.师徒二人加工一批零件，师傅单独做20天完成，徒弟单独做30天完成，若两人合作多少天完成？3.商场在“三八”期间推出打折活动：购买金额满100元送40元抵用券，购买金额满200元送100元抵用券，购买金额满300元送200元抵用券．王馨的妈妈想买一双314元的皮鞋、一个105元的书包和205元的文具．如果你是王馨，你会给妈妈什么样的购物建议呢？4.一个长方形的周长30厘米，长和宽的比是2：1，它的面积是多少平方厘米．5.一块梯形麦田，上底是140米，高100米，下底是110米．（1）它的面积是多少公顷？（2）用拖拉机耕这块地，每小时耕地0.5公顷，耕完这块地需要多少小时？6.商店里举行特卖活动．有一款西服．单买上衣一件225元，单买裤子一条145元．如果成套买，每套340元．现在有一家酒店想为员工购买25件上衣，33条裤子，最少要用多少钱？7.欣欣服装店从服装厂进回25套服装，每套进价180元，购回这些服装需要多少元钱？服装店在卖出20套后，开始降价销售．如果服装全部卖完是挣钱还是亏损？大甩卖原价：225元现价：155元8.面食店有三种商品：包子、油条、烧麦．小明早上去面食店买早餐，他可以选一种，也可以选两种，还可以选三种，请问小明有7种早餐搭配．9.园林局有四个绿化队，第一、二队共有195人，第二、三、四队共有285人，第二小队的人数占全中队的1/5．第二小队有多少人？10.甲、乙、丙三人每分钟的速度分别为30米、40米、50米，甲、乙在A地同时同向出发，丙从B地同时出发去追赶甲乙，丙追上甲以后又经过10分钟才追上乙，则AB两地的距离是多少米？11.某校六年级共有388人计划组织一次春游活动，经调查客运公司的租车情况是：大巴车限坐乘客60人，每辆租金300元；中巴车限坐30人，每辆租金是大巴车的3/5．怎样租车比较合理．请你帮助设计租车方案．12.东柴机械厂要生产700台机床，已经生产了两个月，平均每月生产140台，剩下的如果每月生产70台，还要生产几个月？13.一桶油2千克，第一次倒出油的7/8，第二次倒出1/5千克，桶内还剩油多少千克？14.食堂运进225吨煤，7天用了105吨，照这样计算，余下的可以用几天？15.甲、乙两车同时从相距1240千米的两地相向开出，经过18小时相遇．已知乙车每小时比甲车少行15千米，且甲车每行驶4小时要休息1小时，而乙车每行驶3小时要休息1小时．那么，甲车与乙车的速度各是多少？16.学校四、五年级的同学要给620棵树浇水，五年级同学每天浇50棵，浇了8天；剩下的由四年级同学来浇，5天浇完，平均每天浇多少棵？17.五年级植树一批，其中成活的有390棵，有10棵没有成活，这批树的成活率是多少？18.甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？19.一个长方形菜地，长39米，长比宽多14米，要在这个菜地四周围上一圈篱笆，篱笆长多少米？20.同学们去春游，二年级去了168人，三年级去的人数是二年级的2倍，两个年级一共去了多少人？21.客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到乙站后立即返回，货车到甲站后也立即返回，两车再相遇时，客车比货车多行216千米，那么甲、乙两站的路程是多少千米．22.甲、乙两地相距427.5km，一辆客车和一辆货车分别从两地同时相向而行，客车每小时行50km，货车每小时行45km．几小时后两车相遇？23.某工程，甲队单独做需要8天完成，乙单独做需要l0天，如果两人合作多少天完成这项工程的75%？24.商店运进大米4700千克，卖出36袋后，还剩2900千克．平均每袋大米多少千克？25.甲乙两个小组要在6小时内加工1560个零件．已知甲小组每小时加工120个零件，乙每小时加工零件多少个？（方程解）26.今年植树节，陈老师带四（1）班同学去植树，一共植了111棵．已知陈老师植的棵树和平均每个同学植树的棵树一样多，你知道这个班可能有多少名同学吗？平均每个同学植树多少棵？27.小英看一本故事书有188页，前4天平均每天看17页，以后每天看20页，还要几天可以看完？（请你解答后，把得数当作已知数来检验一下）．28.某校五年级有61名学生是在4月份出生的，那么其中至少有几名学生的生日是在同一天？29.某小学五年级向四川灾区捐书300本，六年级比五年级少捐1/6，六年级捐书多少本？30.一块三角形地，它的面积是360平方米，高是20米，求这个三角形的底是多少米？31.商店为某鞋厂代销200双鞋，代销费用为销售总额的15%．全部销售完后，商店向鞋厂交付43860元．这批鞋每双售价多少元？32.一辆长途客车4小时行了232千米．照这样的速度，它12小时可以行多少千米？33.为了调查六年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机调查了8名学生，他们每天完成作业所需的时间（单位：分钟）分别是：59，56，74，56，56，41，65，41．（1）求这组数据的中位数和众数．（2）求这8名学生每天完成家庭作业的平均时间．如果按照学校要求，学生每天完成家庭作业的时间不能超过60分钟，那么该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？34.一桶油连桶重21千克，倒出一半油后，连桶重11千克，想一想，这桶油重多少千克？桶重多少千克？35.一桶花生油108元，且买8桶送1桶，公司要购买63桶这样的花生油作为福利发给员工，一共要花多少元？36.某建筑工地工人要把一块长7.2分米，宽0.6分米，高3.6分米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块，要使木块的体积最大，木料又不能有剩余，可以锯成几块？37.两辆汽车同时从相距180千米的两个城市相向开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车每小时多行50%．1.5小时后，两车相距多少千米？38.学校组织兴趣小组活动，音乐班有6个组，每组25人，书法班有5个组，每组有32人，两种兴趣小组共有多少人？39.我校六年级同学参加植树活动，共种杨树和柳树104棵，其中杨树的棵数是柳树的2倍还多20棵，六年级各种杨树和柳树多少棵？40.15个工人7天可以完成一项任务，现要提前2天完成，如果每人工作效率一样，需要增加多少工人？41.玩具厂生产了一批气球共390个，其中红气球占总数的4/13，黄气球占总数的5/13，剩下的是蓝气球．蓝气球占总数的几分之几？蓝气球有多少个？42.甲数是乙数的3/5，甲乙两数的和是128，甲、乙两数的差是多少？43.妈妈将5000元人民币存入银行，定期一年，年利率1.98%，利息税20%．到期后，妈妈可从银行取回本金和利息共多少元？44.甲、乙两港相距690千米，两船同时从两地相对开出，一船每小时行24千米，一船每小时行22千米，几小时后两船相遇？45.做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面半径是25厘米，高是50厘米，做5个这样的水桶需多少平方厘米的铁皮？46.甲、乙两车同时从相距396千米的两地出发，相向而行．甲车每小时行64千米，途中甲车因故障停车修了0.5小时，然后继续行驶．结果乙车出发4小时后与甲车相遇．求乙车的速度．47.化肥厂要生产一批化肥，原计算每天生产3.6吨，25天可以完成，实际提前5天完成了任务，实际每天生产化肥多少吨？48.甲乙两列火车同时从相距756千米的两地相对开出，已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行56千米，经过几小时相遇？49.小刚的储蓄罐里有2 分和5 分硬币70 枚，小刚数了一下，一共有194 分，求两种硬币各有多少枚？50.一本书共有144页．女孩8天就看完了．男孩准备12天看完，女孩比男孩平均每天多看多少页？51.化肥厂要生产1400吨化肥，按三个车间的人数分配．一车间45人，二车间47人，三车间48人．三个车间各应生产化肥多少吨？52.一件衣服打八折出售卖100元，实际90元卖出．实际几折卖出？53.甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么，A、B两地之间的距离等于多少千米．54.工人们修建立通大桥时，一期工程修建了108米，二期工程修建了96米，还剩39米没有修．（1）一期工程比二期工程多修了多少米？（2）立通大桥全长多少米？55.某公司委托搬运站送1000个玻璃花瓶，双方商定每个运费0.15元，如打碎一个，这个不但不计运费，还要赔偿0.95元。
1964年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1964年普通高等学校招生全国统一考试数学1．化简23323)31()31(3---解：原式=.2332)32(332433243)31()31(3)31(2123323+=+=-=-⋅=- 2．甲乙两人在P 点的河对岸的D 点，甲向东走，乙向西走，甲每分钟比乙多走a 米，10分钟后，甲看P 在北α度西，乙看P 在北β度东，求PD解：设乙的速度为v ， 则甲的速度为.a v + 在直角△PBD 中，βctg v PD ⋅=10在直角△PAD 中，αctg a v PD )(10+=.)sin(cos cos 1010.)(1010βαβααββαβαβααβ-=-==-=+=⋅ctg ctg ctg actg vctg PD ctg ctg actg v ctg a v ctg v 代入3．解方程,014=+x 并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点 解：,sin cos 14ππi x +=-=P α.222247sin 47cos .222245sin 45cos .222243sin 43cos .22224sin 4cos .3,2,1,0,42sin 42cos4321i i x i i x i i x i i x k k i k x -=π+π=--=π+π=+-=π+π=+=π+π==π+π+π+π=∴在复平面内（x 为实轴，y 为虚轴）分别用A 、B 、C 、D 四点来表示四个根x 1、x 2、x 3、x 4（如图） 即A （22,22），B （22,22-），C （22,22--），D （22,22-） ∵A 、B 关于y 轴对称，A 、D 关于x 轴对称，∴∠A=900， 同理，∠B=∠C=∠D=900且|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=.2∴ABCD 是正方形，而A 、B 、C 、D 是顶点4．求证：在△ABC 中，γβαγβαsin sin 2sin sin sin cos 222⋅-+=证：设R 为△ABC 的外接圆的半径，则由正弦定理可得，.sin 2,sin 2,sin 2γβαR c R b R a === 代入余弦定理中，则可得γβαγβαsin sin 24)sin sin (sin 42cos 22222222⋅⋅-+=-+=R R bc a c b .sin sin 2sin sin sin 222γβαγβ⋅-+=5．已知0323=+-+n x mx x 的三根的平方和为6，且有两个相等的YX正根，求m 、n.解：设方程的三根为.0,,,>βββα且由根与系数的关系及题设有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=+-=+)4(62)3()2(32)1(22222 βααββαββαn m 由（4）-2·（2）得)5(122 =-αβα （1）式平方得)6(44222 m =++βαβα （5）+（6）得.1242222m +=+βα 由（4）得.0,12622=∴+=⋅m m 由（1）得02=+βα.21)2()3(.2).1,0(1,66)4(222=⋅--=-=-=-≠∴>==-=∴αβαβββββαn 由式可得代入故m=0,n=2.6．圆台形铁桶的上底半径是10cm ，下底半径是15cm ，母线是30cm 将铁桶的侧面沿一条母线剪开，铺平如图中的扇形铁片ABCD ，求AB 间的距离解：将圆台补成圆锥体（如图） 设其顶点为S设SD=x ， 则,301510,30+=+=x x x x R r x =AB ),(302cm R ππ== AB=),(90cm SA θθ=⋅=S Sθ D C A B O,3090πθ=.3πθ=∴△SAB 为等边三角形，AB=90（cm ）， 即AB 间的距离为90cm.7．已知空间四点A 、B 、C 、D 和两平面M 、N ，又知A 、B 、C 、D 在M 内的射影A 1B 1C 1D 1是一条直线，在N 内的射影A 2B 2C 2D 2是一个平行四边形，求证ABCD 是一个平行四边形证：1）先证A 、B 、C 、D 四点共面 设通过直线A 1B 1C 1D 1而垂直于平面M 的平面为P 则因AA 1⊥平面M ，而A 1又在直线A 1B 1C 1D 1上，所以点A 在平面P 内，同理点B 、C 、D 均在平面P 内，即A 、B 、C 、D 四点共面2）证ABCD 是一个平行四边形若AB 与DC 相交于E ，则其在平面N 内的射影A 2B 2与D 2C 2也相交于E 2，此与A 2B 2∥D 2C 2的假设相违，所以AB ∥DC ，同理AD ∥BC 故ABCD 是一个平行四边形8．如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD 中有两个相切的内切圆（1）求这两个内切圆的半径之和（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？B 2解：（1）由图知∠CEO 1=900，CE=O 1E=R 1∴2R 12=CO 12，.211R CO = 同理.222R AO = ∴AC=AO 2+O 2O 1+O 1C=2（R 1+R 2）+（R 1+R 2） =)12(+（R 1+R 2） 又∵AB=1，∴AC=∴)12(+（R 1+R 2）=2， ∴R 1+R 2=.22122-=+（2）两圆面积之和S=2221R R ππ+.,222].4)22()222[(2])22()22(22[])22([)(211221212121212221为最小时即当S R R R R R R R R R R =-=∴-+--=-+--=--+=+=ππππ 因R 1的最大值为R 1=21，这时R 2为最小值，其值为 R 2=;22321)22(-=--又当R 2=21时，R 1有最小值R 1=223-故当R 1=21（此时R 2=223-）或R 1=223-（此时R 2=21）时，S 有最大值机动题（1）在第8题中，若正方形改为矩形，情况又如何？（2）在第8题中，若正方形改为正方体，圆改为球，情况如何？D CE 2 A B解：（1）如图，ABCD 为矩形设AB=a ，AD=b作直角△O 1O 2G 则有 （R 1+R 2）2=[b -（R 1+R 2）]2+[a -（R 1+R 2）]2解之，得R 1+R 2=（a +b ）.2ab ± 但∵a +b >R 1+R 2 ,∴R 1+R 2=（a +b ）.2ab -∴ 因两圆面积之和S=2221R R ππ+.,,22.4)2()22(2211221有最小值时即当S R R abb a R ab b a ab b a R =-+=∴⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=π 当R 1或R 2=21min(b a ,)时,S 有最大值(2)如图，球O 1和球O 2外切，球O 1和以C 1为顶的三面角的三个面相切，球O 2和以A 为顶的三面角的三个面相切（设棱长为1） 同前类似可计算出 AO 2=3R 2， C 1O 1=3R 1，D CA BD 1 C 1AC 2 A BR 1+R 2=.233- 两球的体积和V=32313434R R ππ+有最大值时或当有最小值时即当V R R R R V R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ,)232,21(23221233,21.,,433.)433(3)433(3)233(3)33(2)433()433(3)233(3)33(2)233(3)233(3)33(2]3)[(23334))((34)(34211221121222122211221221222121213231-==-=--===-=∴⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=-+-⋅=+-+=+=ππππππ注：在（1）中的b a ,必须限制为,2b a b ≤<否则在矩形内之二圆无法相切。
1964年普通高等学校招生全国统一考数学试题
1964年普通高等学校招生全国统一考数学试题1964年，是中国历史上重要的一年，也是普通高等学校招生全国统一考试的第一年。
为了让广大考生和家长更好地了解当年考试的趣味和难度，本文将为您揭晓1964年普通高等学校招生全国统一考数学试题的一部分。
一、选择题1. 已知函数f(x) = sin(x)，g(x) = cos(x)，则f''(x) + g''(x) = （）。
A. sin(x)B. cos(x)C. -sin(x)D. -cos(x)2. 若直线y = kx + 1和y = 2x - k^2 - 2k + 3相互垂直，则k的值为（）。
A. 1B. -1C. 2D. -23. 圆O半径为r，线段AB过圆心O，且AB与圆O相交于点P。
如果线段AB上一点C到点A的距离等于点B到点C的距离，那么线段AB与圆O的交点P的圆周长和线段AB长之和是（）。
A. 6rB. 8rC. 10rD. 12r4. 设f(x) = ax^2 + bx + c。
已知f(-1) = 0，f(2) = 3，f'(1) = 2，则f(x) = （）。
A. 2x^2 - x + 1B. -2x^2 + x + 1C. -2x^2 - x + 1D. 2x^2 + x + 15. 若P(6, y)是曲线y = 4/x的切点，则y的值是（）。
A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题1. 将x^2 + 3x - 4 = 0的两个实根分别为a和b，求a^2 + b^2的值。
2. 已知直角三角形ABC，其中∠A = 90°，AB = 3，AC = 4。
点D在线段AC上，且满足角CBD = 90°，求BD的值。
3. 已知函数f(x) = x^3 + mx + 1，g(x) = 3^x。
若f(x) = g(x)在区间[0,1]上有唯一解，求实数m的值。
4. 用长方体的棱长为a,b,c的三个正整数表示其体积V = abc。
云南开放大学2024年秋数学思想与方法过关测验汇编
云南开放大学2024年秋数学思想与方法过关测验汇编第一关试卷总分:100 得分:1001.巴比伦人是最早将数学应用于（）的。
在现有的泥板中有复利问题及指数方程。
A.商业B.农业C.运输D.工程2.《九章算术》成书于（），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
A.西汉末年B.汉朝C.战国时期D.商朝3.金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（）的方法。
A.几何测量B.代数计算C.占卜D.天文测量4.在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用（）表示。
A.符号，符号B.文字，文字C.文字，符号D.符号，文字5.古埃及数学最辉煌的成就可以说是（）的发现。
A.进位制的发明B.四棱锥台体积公式C.圆面积公式D.球体积公式6.《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（）。
A.爱奥尼亚学派B.毕达哥拉斯学派C.亚历山大学派D.柏拉图学派7.古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（），这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。
A.100亿年B.10亿年C.1亿年D.1000亿年8.根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（）中演绎出的结论。
A.最终原理B.一般原理C.自然命题D.初始原理9.欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的（），成为近代西方数学的主要源泉。
A.几何B.代数与数论C.数论及几何学D.几何与代数10.数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（）已经形成了一些几何与数目概念。
A.五千年前B.春秋战国时期C.六七千年前D.新石器时代第二关试卷总分:100 得分:1001.欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作,它的著名的平行公设是( )。
玉溪市易门县2024届六年级数学小升初摸底考试含解析
玉溪市易门县2024届六年级数学小升初摸底考试一、选择题。
(选择正确答案的序号填在括号内。
每小题2分，共10分）1．边长为自然数，面积为165的形状不同的长方形共有（）种。
A．2 B．3 C．4 D．52．数a大于0而小于1，那么把a、a、从小到大排列正确的是（）。
A．a＜a＜B．a＜＜a C．＜a＜a D．a＜a＜3．已知△+□=24，△ =□+□+□，那么△=（）。
A．4 B．6 C．184．一件商品，先提价20%，以后又降价20%，现在的价格与原来相比，（）A．提高了B．降低了C．不变D．无法确定5．甲、乙、丙、丁四种动物，奔跑速度最快的是（）。
A．甲：20米/秒B．乙：80千米/时C．丙：1000米/分D．丁：65千米/时二、填空题。
(每小题2分，共28分）6．如果3a=5b(ab≠0),那么a∶b=（____）∶（____）．7．王阿姨在商场购物后得到一张奖券（如图所示），刮到_____等奖的可能性最大。
8．________的分数，是最简分数9．移动循环小数5.0858的前一个循环点后,使新的循环小数尽可能大.这个新的循环小数是______.10．在45、0、-3.2、+110.3、-63、、102这些数中，正数有________，负数有________，既不是正数，也不是负数的是________．11．一个三位小数用“四舍五入”法取近似值是8.40，那么这个三位小数最大是（____），最小是（____）。
12．如果照下图这样排列下去，第5个图形中涂色的小三角形有（_____）个；第10个图形中涂色的小三角形有（_____）个，没有涂色的小三角形有（_____）个。
13．甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，已知甲车的速度与乙车的速度比是5:4，C地在A、B之间．甲、乙两车到达C地的时间分别是上午8点和下午5点．那么甲、乙两车相遇的时刻是（_____）时．14．在比例尺1：30000000的地图上，量得A地到B地的距离是3.5厘米，则A地到B地的实际距离是（______）．15．如果m能整除n，m和n的最大公因数是______．16．观察下列数字的排列规律，然后在横线上填入适当的数：3，﹣7，11，﹣15，19，﹣23，________，________，…．按照这个规律，第101个数是________．17．我上次数学测验得了80分，这次的成绩比上次提高了．你知道我这次测验得了________18．有一个圆半径是60厘米，在它的一条直径上排满了10个大小不等、相邻两圆都相切的圆，我们不知道这十个圆的直径分别是多少，它们周长的和是（______）厘米。
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1964年试题
[Key] 1.解法一:
解法二:
2.甲乙二人在河的南岸O处,隔河在正北方向有一建筑物P.甲向正东、乙向正西沿河岸而行,甲每分钟比乙多走a米.10分钟后,甲望建筑物P在北a度西(即北偏西a度),乙望建筑物P在北β度东(即北偏东β度),求O与P之间的距离.
[Key] 2.解:如图,设OB=x,则OA=x+10a.
再设OP=h,则
htgα=x+10a,
htgβ=x.
h(tgα-tgβ)=10a,
3.解方程x4+1=0;并且证明:平面内表示这个方程的根的四个点是一个正方形的顶点. [Key] 3.解法一:原方程即x4=-1,也就是
x4=cos(2k+1)π+isin(2k+1)π
令k=0、1、2、3,就得到原方程的四个根:
如图,∠M1OM2等于x2的辐角减去x1的辐角，故
∴M1M2=M2M3=M3M4=M4M1.
∴M1M2M3M4是一个正方形.
解法二:x4+1=(x4+2x2+1)-2x2
∴原方程即
它的根是
如图,线段M2M1与M3M4显然都平行于OX轴,线段M4M1与M3M2都平行于OY轴.
所以M1M2M3M4是一个正方形.
4.已知A、B、C是三角形的三个内角,求证:
[Key] 4.解法一:利用正弦定理
代入所要证明的等式的右边,并化简得
由余弦定理,上式右边就是cosA.
解法二:利用A=π-(B+C),
sin2B+sin2C-sin2A=sin2B+sin2c-sin2(B+C)
=sin2B+sin2C-(sinBcosC+cosBsinC)2
=sin2B+sin2C-sin2Bcos2C-cos2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC
=sin2B(1-cos2C)+sin2C(1-cos2B)-2sinBsinCcosBcosC
=2sin2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC
=2sinBsinC(sinBsinC-cosBcosC)
=2sinBsinC[-cos(B+C)]
=2sinBsinC·cos[π-(B+C)]
=2sinBsinCcosA.
两边除以2sinBsinC,得到
5.已知方程x3+mx2-3x+n=0的三个根的平方和为6,且知这个方程有两相等的正根,求m、n的值.
[Key] 5.解法一:设这个方程的三个根为α、α、β.根据已知条件和根与系数的关系,得
(2)的两边乘以2,得
2α2+4αβ=-6,(3)
(1)与(3)的两边分别相加,得
4α2+4αβ+β2=0,
即(2α+β)2=0,
∴β=-2α.
代入(1),2α2+(-2α)2=6,
6α2=6,∴α=±1.
α=-1不符合题意,舍去.
故α=1,β=-2.
∴m=-(2α+β)=0,
n=-α2β=2.
解法二:仿解法一得
代简,得α4-2α2+1=0,
即(α2-1)2=0,
∴α=±1.
α=-1不合题意,舍去.
故α=1,代入(2)得,β=-2.
∴m=-(2α+β)=0,
n=-α2β=2.
6.圆台形铁桶的上口半径是15厘米,下底半径是10厘米,母线长是30厘米,将铁桶的侧面沿一条母线剪开铺平,得图中扇面形状的铁片ABCD.求A、B两点间的距离.
[Key] 6.解法一:
延长AD、BC相交于O,设∠COD=θ,OD=x,则
(x+30)θ=30π,
xθ=20π,
相减,得30θ=10π,
因为△OAB是一个等边三角形,所以
AB=OA=90（厘米）.
解法二:
延长AD、BC相交于O,设OD=x,则
解出x,得
x=60,
因为△OAB是一个等边三角形,所以
AB=OA=90（厘米）
.
7.A、B、C、D四个点在平面M和平面N之外,A、B、C、D在平面M内的射影是A1、B1、C1、D1,在平面N内的射影是A2、B2、C2、D2.已知A1、B1、C1、D1在一条直线上,A2B2C2D2是一个平行四边形,求证ABCD也是一个平行四边形.
[Key] 7.解:如图,设A1、B1、C1、D1所在的直线为l,过直线l与直线作AA1作一平面P,则P必垂直于M.显然A在平面P内.又因B1在平面P内,且直线BB1垂直于平面M,故BB1必在平面P内.因而B也在平面P内.同理,C、D也在平面P内.
因AA2∥DD2,且A2B2∥D2C2,故由AA2与A2B2所决定的平面平行于由DD2与D2C2所决定的平面.又P与这两个平面的交线分别为AB与CD,故AB∥CD.同理BC∥AD.故ABCD是平行四边形.
8.下图中ABCD是正方形,其每边长为1;在正方形内,⊙O与⊙O＇互相外切,并且⊙O与AB、AD两边相切,⊙O＇与CB、CD两边相切.
(1)求这两圆半径之和.
(2)当两圆半径各多么长时,两圆面积之和最小?当半径各多么长时,面积之和最大?证明你的结论
.
[Key] 8.解法一:
但OO是两圆连心线,所以OO抇=r+r抇=s.故由上式得
(2)两圆面积之和是
π(r2+r＇2)=π[r2+(s-r)2]
现在讨论当半径各多么长时,面积之和最大.不妨先设r≥r＇,即不妨
解法二:
(2)两圆面积之和是
两圆面积之和最小.
由(Ⅲ),得
附加题
(1)如果把第8题中的正方形改成矩形,你能得到什么结果?为什么?
(2)如果把第8题中的正方形改成棱长为1的正方体,把圆改成球,你能得到什么结果?为什么?
[Key] 附加题
(1)如果把第8题中的正方形改成矩形,你能得什么结果?为什么?
容易看出:AP=r,RB=O＇Q=r＇.
因此,OS=PR=a-s.
仿此,O＇S=b-s.
但△OSO＇是直角三角形,而OO＇=r+r＇=s,
故得(a-s)2+(b-s)2=s2.
即s2-2(a+b)s+a2+b2=0.
显然s<a+b,故应取“-”号.因此
另一方面,两圆面积之和为
又由（Ⅱ）有
(2)如果把第8题中的正方形改成棱长为1的正方体,把圆改成球,你能得到什么结果?为什么?
解:设球O与球O′互相外切,并且都在正方体ABCD BACD内部.设球O与过A的三个面相
切,球O与C的三个面相切.设球O与球的半径分别为r与r＇,r+r＇=s.
两球表面积之和是
4π(r2+r2)=2π[(r+r＇)2+(r-r＇)2]
=2π[s2+(r-r＇)2]
=2π[s2+(2r-s)2].
两球体积之和是。