高中数学人教A版数学必修课后习题答案
人教版高中数学必修1课后试题答案
.人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章会合与函数观点)人教A版'.'..习题（第24页）'.. '..练习（第32页）1．答：在必定的范围内，生产效率跟着工人数目的增添而提升，当工人数目达到某个数目时，生产效率达到最大值，而超出这个数目时，生产效率跟着工人数目的增添而降低．因而可知，并不是是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象以下[8,12]是递加区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递加区间，[18,20]是递减区间．3．解：该函数在[1,0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明：设x1,x2R，且x1x2，由于f(x1)f(x2)2(x1x2) 2(x2x1)0，'..即f(x1)f(x2)，因此函数f(x)2x1在R上是减函数.5．最小值．练习（第36页）1．解：（1）对于函数f(x)2x43x2，其定义域为(,)，由于对定义域内每一个x都有f(x)2(x)43(x)22x43x2f(x)，因此函数（2）对于函数f(x)2x43x2为偶函数；f(x)x32x，其定义域为(,)，由于对定义域内每一个x都有f(x)(x)32(x)(x32x)f(x)，因此函数f(x)x32x为奇函数；（3）对于函数f(x)x21,0)(0,)，由于对定义域内x，其定义域为(每一个x都有f(x)(x)21x21f(x)，x x因此函数f(x)x21x为奇函数；（4）对于函数f(x)x21，其定义域为(,)，由于对定义域内每一个x都有f(x)(x)21x21f(x)，因此函数f(x)x21为偶函数.2．解：f(x)是偶函数，其图象是对于y轴对称的；g(x)是奇函数，其图象是对于原点对称的．'..习题1.3（第39页）1．解：（1）函数在(55,)上递减；函数在[,)上递加；22（2）函数在(,0)上递加；函数在[0,)上递减.2．证明：（1）设1x 2，而f(x1)f(x2)x12x22(x1x2)(x1x2)，x由x1x20,x1x20，得f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，因此函数f(x)x21在(,0)上是减函数；（2）设x1x20，而f(x1)f(x2)11x 1x2，x2x1x1x2由x1x20,x1x20，得f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，因此函数f(x)11在(,0)上是增函数.x3．解：当m0时，一次函数y mx b在(,)上是增函数；'..当m0时，一次函数y mxb在(,)上是减函数，令f(x)mxb，设x1x2，而f(x1)f(x2)m(x1x2)，当m0时，m(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，得一次函数y mx b在(,)上是增函数；当m0时，m(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，得一次函数y mx b在(,)上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率对于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数y x2162x21000，50当x1624050时，y max307050（元），1)2(504050307050即每辆车的月租金为元时，租借企业最大月利润为元．6．解：当x0时，x0，而当x0时，f(x)x(1x)，即f(x)x(1x)，而由已知函数是奇函数，得f(x)f(x)，得f(x)x(1x)，即f(x)x(1x)，f(x)x(1x),x0因此函数的分析式为x(1x),x.0 B组1．解：（1）二次函数f(x)x22x的对称轴为x1，则函数f(x)的单一区间为(,1),[1,)，且函数f(x)在(,1)上为减函数，在[1,)上为增函数，函数g(x)的单一区间为[2,4]，且函数g(x)在[2,4]上为增函数；'..（2）当x1时，f(x)min1，由于函数g(x)在[2,4]上为增函数，因此g(x)min g(2)22220．2．解：由矩形的宽为xm ，得矩形的长为30 3xS ，2m ，设矩形的面积为则Sx 303x 3(x 210x)，当x 5时，S max m 2，即宽x5m 才能使22建筑的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是m 2．3．判断f(x)在(,0)上是增函数，证明以下：设x 1x 2，则x 1x 2，由于函数f(x)在(0,)上是减函数，得f(x 1)f(x 2)，又由于函数f(x)是偶函数，得f(x 1)f(x 2)，因此f(x)在( ,0)上是增函数．复习参照题（第 44页） A 组1．解：（1）方程x29的解为x 1 3,x 2 3，即会合A { 3,3}；（2）1 x 2，且x N，则x1,2，即会合B {1,2}；（3）方程x 23x 20的解为x 1 1,x 2 2，即会合C {1,2}．2．解：（1）由PAPB ，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{P|PA PB}表示的点构成线段 AB 的垂直均分线；（2）{P|PO3cm}表示的点构成以定点 O 为圆心，半径为3cm 的圆．3．解：会合{P|PAPB}表示的点构成线段 AB 的垂直均分线，会合{P|PA PC}表示的点构成线段AC 的垂直均分线，得{P|PAPB} {P|PAPC}的点是线段AB 的垂直均分线与线段 AC 的垂直均分线的交点，即ABC 的外心．'..4．解：明显会合A { 1,1}，对于会合B{x|ax 1}，当a 0时，会合B，知足B A ，即a 0 ；当a0时，会合B {1}，而BA ，则 11，或 11，a aa得a 1 ，或a 1 ，综上得：实数a 的值为1,0，或1．5．解：会合AB(x,y)|2x y{(0,0)}，即AB {(0,0)}；3x y会合A C(x,y)|2x y 0 ，即AC；2xy3会合BC(x,y)|3x y 0 {(3, 9)}；2x y 3 5 5则(AB)(BC){(0,0),(3 9,)}.5 5 6．解：（1）要使原式存心义，则x 2 0 2x 5，即x，得函数的定义域为 [2,)；x 4 0 4，且x 5，（2）要使原式存心义，则5，即x|x|得函数的定义域为[4,5)(5,)．7．解：（1）由于f(x)1 x ，1 x因此f(a)1 a，得f(a) 11a 12 ，1 a 1 a1 a即f(a)12；1 a 1x（2）由于f(x)1 ，x因此f(a1) 1 (a 1) a 1a 1 ，a2即f(a1)a ．a 28．证明：（1）由于f(x)1 x2 ，1 x 2'..因此f(x) 1 ( x)21 x2 f(x)，1 ( x)2 1x 2即f(x)f(x)；（2）由于f(x)1x 2， 1 x 21211 ( x )1 x 2f(x)，因此f()1x 21x1 2( )x1)f(x).即f(xk9．解：该二次函数的对称轴为x，8函数f(x) 4x 2kx 8 在 [5,20] 上拥有单一性， 则k20，或k5，得k160，或k40，88即实数k 的取值范围为k 160，或k40．10．解：（1）令f(x) x即函数yx22，而f( x)(x)2 x 2f(x)，是偶函数；（2）函数3）函数4）函数yxyxy x22 2 的图象对于y 轴对称；在(0,)上是减函数；在(,0)上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类竞赛的有x 人，则1581433x28，得x3，只参加游泳一项竞赛的有15 339（人），即同时参加田径和球类竞赛的有3人，只参加游泳一项竞赛的有9人．2．解：由于会合A，且x 20，因此a0．3．解：由U (AB) {1,3}，得AB{2,4,5,6,7,8,9}，会合AB 里除掉A(U B)，得会合B ，因此会合B{5,6,7,8,9}.'.4．解：当x0时，f(x) x(x 4)，得f(1)1 (1 4) 5；当x0时，f(x) x(x4)，得f(3)3( 34)21；f(a1)(a 1)(a 5),a 1． (a 1)(a3),a 1.f(x)axbf( x 1 2 x 2 )ax 1 2 x 2 bax 2)b5．证明：（1）由于，得2(x 1，f(x 1)f(x 2)ax 1bax 2ba (x 1x 2) b ，222因此f(x 12 x2)f(x 1)f(x 2)；2（2）由于g(x)x 2ax b ，得g(x 1x2)1(x 12x 222x 1x 2)a(x 12 x 2)b ，24g(x 1)2 g(x 2)1[(x 1 2ax 1 b) (x 2 2 ax 2 b)]21(x 12x 22)a(x 1x 2)b ，由于1(x 1221(x 122 1(x 1x 2 2 2x 1x 2)x 22)x 2)2，即141 24222x 1x 2)2 2 ) ， 4 (x 1x 22 (x 1 x 2因此g(x 1x2)g(x 1)g(x 2).226．解：（1）函数f(x)在[b, a]上也是减函数，证明以下：设bx 1x 2a ，则ax 2x 1 b ，由于函数f(x)在[a,b]上是减函数，则f( x 2)f(x 1)，又由于函数f(x)是奇函数，则f(x 2)f(x 1)，即f(x 1)f(x 2)，因此函数f(x)在[2）函数g(x)在[b,设bx 1x 2b,a]上也是减函数；a]上是减函数，证明以下：a ，则ax 2x 1b ，由于函数g(x)在[a,b]上是增函数，则g( x 2) g( x 1)，'.又由于函数g(x)是偶函数，则 g(x2) g(x1)，即g(x1)g(x2)，因此函数g(x)在[b, a]上是减函数．7．解：设某人的全月薪资、薪金所得为x元，应纳此项税款为y元，则0,0x2000(x2000)5%,2000x2500y25(x2500)10%,2500x4000175(x4000)15%,4000x5000由该人一月份应缴纳此项税款为元，得2500x4000，25(x2500)10%，得x，因此该人当月的薪资、薪金所得是元．'.。
人教A版高中数学必修1全册课后习题(附解析)
结合全新各地模拟考试相关题目人教A版高中数学必修1全册课后习题（附解析）第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的概念与几种常见的数集课后巩固1.设集合A={2,4,5},B={2,4,6},若x∈A,且x∉B,则x的值为()A.2B.4C.5D.62.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是()A.3.14B.-5C.D.是实数,但不是有理数,故选D.3.若集合A只含有元素a,则下列各式正确的是()A.0∈AB.a∉AC.a∈AD.a=AA中只有一个元素a,∴0∉A,a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C.4.下列对象能构成集合的是()A.高一年级全体较胖的学生B.sin 30°,sin 45°,cos 60°,1C.全体很大的自然数D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点较胖”与“很大”的标准不明确,所以A、C不能构成集合;对于B,由于sin 30°=cos 60°=,不满足集合中元素的互异性,故B错误;对于D,平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点,可知这个点就是△ABC外接圆的圆心,满足集合的定义,故选D.5.(多选题)下列关系正确的有()A.∈RB.∉RC.|-3|∈ND.|-|∈Q中,∈R,正确;B中,∉R,错误;C中,|-3|∈N,正确;D中,|-|∈Q,错误,所以正确的个数是两个,故选A,C.6.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边形一定不是()A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形,所以a≠b,即四边形对角线不相等,故选C.7.已知集合A中含有2个元素x+2和x2,若1∈A,则实数x的值为.x+2=1或x2=1,所以x=1或x=-1.当x=-1时,x+2=x2,不符合题意,所以x=-1舍去;当x=1时,x+2=3,x2=1,满足题意.故x=1.8.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是.a∈P,b∈Q,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则组成的集合P+Q中有8个元素.9.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值;(2)-5能否为集合A中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.因为-3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0,此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合要求.综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.(2)若-5为集合A中的元素,则a-3=-5,或2a-1=-5.当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性.综上,-5不能为集合A中的元素.10.已知集合A中含有3个元素:x,,1,B中含有3个元素:x2,x+y,0,若A=B,则x2 017+y2 018=.A=B,∴解得则x2 017+y2 018=(-1)2 017+02 018=-1.11.设x,y,z是非零实数,若a=,则以a的值为元素的集合中元素的个数是.x,y,z都是正数时,a=4;当x,y,z都是负数时,a=-4;当x,y,z中有一个是正数另两个是负数或有两个是正数另一个是负数时,a=0.所以以a的值为元素的集合中有3个元素.12.设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1∉A.(1)若3∈A,求集合A;(2)证明:若a∈A,则1-∈A;(3)集合A中能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由.3∈A,∴=-∈A,∴∈A,∴=3∈A,∴A=.a∈A,∴∈A,∴=1-∈A.A只有一个元素,记A={a},则a=,即a2-a+1=0有且只有一个实数解.∵Δ=(-1)2-4=-3<0,∴a2-a+1=0无实数解.这与a2-a+1=0有且只有一个实数解相矛盾,故假设不成立,即集合A中不能只有一个元素.第2课时集合的表示课后巩固1.已知集合A={x|x(x+4)=0},则下列结论正确的是()A.0∈AB.-4∉AC.4∈AD.2∈AA={x|x(x+4)=0}={0,-4},∴0∈A.2.一次函数y=x+2和y=-2x+8的交点组成的集合是()A.{2,4}B.{x=2,y=4}C.(2,4)D.{(x,y)|x=2且y=4}解得∴一次函数y=x+2与y=-2x+8的图象的交点为(2,4),∴组成的集合是{(x,y)|x=2且y=4}.3.集合用描述法可表示为()A. B.C. D.3,,即,从中发现规律,x=,n∈N*,故可用描述法表示为.4.已知集合A=m y=∈N,m∈N,用列举法表示集合A=.集合A=m y=∈N,m∈N,∴A={1,2,4}.5.(一题多空题)设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则a=,集合A用列举法表示为.4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.6.用列举法表示下列集合:(1)方程组的解集;(2)不大于10的非负奇数集;(3)A=.由故方程组的解集为{(2,1)}.(2)不大于10,即小于或等于10,非负是大于或等于0,故不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}.(3)由式子可知4-x的值为1,2,3,6,从而可以得到x的值为3,2,1,-2,所以A={-2,1,2,3}.7.用另一种形式表示下列集合:(1){绝对值不大于3的整数};(2){所有被3整除的数};(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z}.绝对值不大于3的整数可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3};(2){x|x=3n,n∈Z};(3)∵x=|x|,∴x≥0.∵x∈Z且x<5,∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可表示为{0,1,2,3,4};(4){-2}.(特别注意x∈Z这一约束条件)8.用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;(2)24的所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}.(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}.能力提升1.已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},R={x|x=4k+1,k∈Z},a∈P,b∈Q,则()A.a+b∈PB.a+b∈QC.a+b∈RD.a+b不属于P,Q,R中的任意一个a=2m(m∈Z),b=2n+1(n∈Z),则a+b=2m+2n+1=2(m+n)+1.因为m+n∈Z,与集合Q中的元素特征x=2k+1(k∈Z)相符合,所以a+b∈Q,故选B.2.已知集合A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则B中所含元素的个数为.A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},所以B={(1,1)},只有一个元素.3.如图,用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.(x,y)xy≥0,-2≤x≤,-1≤y≤4.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},其中a为常数,且a∈R.(1)若A中至少有一个元素,求a的取值范围;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.当A中恰有一个元素时,若a=0,则方程化为-3x+2=0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0只有一个实数根x=;若a≠0,则令Δ=9-8a=0,解得a=,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根.当A中有两个元素时,则a≠0,且Δ=9-8a>0,解得a<,且a≠0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根.综上,a≤时,A中至少有一个元素.(2)当A中没有元素时,则a≠0,Δ=9-8a<0,解得a>,此时关于x的方程ax2-3x+2=0没有实数根.当A中恰有一个元素时,由(1)知,此时a=0或a=.综上,a=0或a≥时,A中至多有一个元素.1.2集合间的基本关系课后巩固1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则()A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D.2.下列集合中表示空集的是()A.{x∈R|x+5=5}B.{x∈R|x+5>5}C.{x∈R|x2=0}D.{x∈R|x2+x+1=0}分别表示的集合为{0},{x|x>0},{0},∵x2+x+1=0无解,∴{x∈R|x2+x+1=0}表示空集.3.(多选题)下列命题中,错误的是()A.空集没有子集B.任何集合至少有两个子集C.空集是任何集合的真子集D.若⌀⫋A,则A≠⌀错,空集是任何集合的子集;B错,如⌀只有一个子集;C错,空集不是空集的真子集;D正确,因为空集是任何非空集合的真子集.4.设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使B⊆A成立的a的值是()A.-1B.0C.1D.-1或1B⊆A,∴∴a=-1.5.满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A的个数是()A.2B.3C.4D.8满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A为:{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},共4个.6.设集合M={y|y=x2+1},N={x|y=x2+1},能正确表示集合M与集合N的关系的Venn图是()M={y|y=x2+1}={y|y≥1},N={x|y=x2+1}=R,∴M⫋N,对应的Venn图是D.7.集合{x|1<x<6,x∈N*}的非空真子集的个数为.{x|1<x<6,x∈N*}={2,3,4,5},有4个元素,故有非空真子集24-2=14(个).8.下列各组中的两个集合相等的所有序号是.①P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};②P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*};③P={x|x2-x=0},Q=x x=,n∈Z.中对于Q,n∈Z,所以n-1∈Z,Q表示偶数集,所以P=Q;②中P是由1,3,5,…所有正奇数组成的集合,Q是由3,5,…所有大于1的正奇数组成的集合,1∉Q,所以集合P与集合Q不相等;③中P={0,1},Q中当n为奇数时,x==0;当n为偶数时,x==1,Q={0,1},所以P=Q.9.集合A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B⊆A,则实数a的取值范围是.B=⌀,即2a-1<a-1,即a<0时,满足B⊆A.若B≠⌀,即a-1≤2a-1,即a≥0时,要使B⊆A,则满足解得0≤a≤1.综上:a≤1.≤110.已知集合A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数x,使得B是A的子集?若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.B是A的子集,所以B中元素必是A中的元素,若x+2=3,则x=1,符合题意.若x+2=-x3,则x3+x+2=0,所以(x+1)(x2-x+2)=0.因为x2-x+2≠0,所以x+1=0,所以x=-1,此时x+2=1,集合B中的元素不满足互异性.综上所述,存在实数x=1,使得B是A的子集,此时A={1,3,-1},B={1,3}.能力提升1.M={x|6x2-5x+1=0},P={x|ax=1},若P⊆M,则a的取值集合为()A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{0,2,3}{x|6x2-5x+1=0}=,P={x|ax=1}.∵P⊆M,∴P=⌀或P=或P=, ∴相应地,有a=0或a=3或a=2.∴a的取值集合为{0,2,3}.2.已知集合A=x x=(2k+1),k∈Z,B=x x=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为.A,k=2n时,x=(4n+1)=,n∈Z,当k=2n-1时,x=(4n-2+1)=,n∈Z, 即集合A=x x=,n∈Z,由B=x x=,k∈Z,可知A=B.3.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},(1)若B⊆A,求实数m的取值范围.(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数.(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.当m+1>2m-1即m<2时,B=⌀,满足B⊆A.当m+1≤2m-1即m≥2时,要使B⊆A成立,需可得2≤m≤3.综上,m≤3时有B⊆A.(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以A的非空真子集个数为:28-2=254.(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.则①若B=⌀,即m+1>2m-1,得m<2时满足条件.②若B≠⌀,则要满足条件:解得m>4.综上,有m<2或m>4.1.3集合的基本运算第1课时并集和交集课后巩固1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|2x-3<4},则A∩B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2}D.{2,4,6}{x|x<3.5},又A={0,2,4,6,8,10},∴A∩B={0,2}.2.已知集合M={-1,0,1,2}和N={0,1,2,3}的关系的Venn图如图所示,则阴影部分所表示的集合是()A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}M∩N={0,1,2},故选C.3.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}4.集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为()A.0B.1C.2D.4A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},∴∴a=4.故选D.5.已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=.,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.6.已知关于x的方程3x2+px-7=0的解集为A,方程3x2-7x+q=0的解集为B,若A∩B=,求A∪B.A∩B=,∴-∈A且-∈B.由-∈A,设3x2+px-7=0的另一根为m.由根与系数的关系得m=-,解得m=7.∴A=,同理B=,∴A∪B=.7.已知集合A={x|-2<x<3},B={x|m<x<m+9}.(1)若A∪B=B,求实数m的取值范围;(2)若A∩B≠⌀,求实数m的取值范围.A∪B=B,∴A⊆B,∴解得-6≤m≤-2,∴实数m的取值范围是[-6,-2].(2)当A∩B=⌀时,3≤m或者m+9≤-2,解得m≥3或m≤-11,∴A∩B≠⌀时,-11<m<3,∴实数m的取值范围是(-11,3).能力提升1.设A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+3},若A∪B=A,则实数a的取值范围是()A.[1,3]B.[3,+∞)C.[1,+∞)D.(1,3)A∪B=A,∴B⊆A,当B=⌀时,2a>a+3,解得a>3;当B≠⌀时,且a≤3,解得1≤a≤3.综上,a≥1.∴实数a的取值范围是[1,+∞).2.(一题多空题)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|-1<x≤4},C={x|-3<x<2},且集合A∩(B∪C)={x|a≤x≤b},则a=,b=.B∪C={x|-3<x≤4},∴A⫋(B∪C).∴A∩(B∪C)=A,由题意{x|a≤x≤b}={x|-1≤x≤2}.∴a=-1,b=2.第2课时补集及其应用课后提升1.已知全集U={1,2,3,4,5},∁U A={1,3,5},则A=()A.{1,2,3,4,5}B.{1,3,5}C.{2,4}D.⌀全集U={1,2,3,4,5},∁U A={1,3,5},∴A={2,4}.2.已知集合A={x|-1<x-3≤2},B={x|3≤x<4},则∁A B=()A.(2,3)∪(4,5)B.(2,3]∪(4,5]C.(2,3)∪[4,5]D.(2,3]∪[4,5]{x|2<x≤5},因为B={x|3≤x<4},所以∁A B=(2,3)∪[4,5].3.若全集U={1,2,3,4,5},且∁U A={x∈N|1≤x≤3},则集合A的真子集共有()A.3个B.4个C.7个D.8个A={1,2,3},所以A={4,5},其真子集有22-1=3个,故选A.U4.设全集U=R,集合A={x|x≤3},B={x|x≤6},则集合(∁U A)∩B=()A.{x|3<x≤6}B.{x|3<x<6}C.{x|3≤x<6}D.{x|3≤x≤6}U=R,集合A={x|x≤3},B={x|x≤6},则集合∁U A={x|x>3},所以(∁U A)∩B={x|3<x≤6}.5.已知全集U={1,3,5,7},集合A={1,3},B={3,5},则如图所示阴影区域表示的集合为()A.{3}B.{7}C.{3,7}D.{1,3,5},知A∪B={1,3,5},如图所示阴影区域表示的集合为∁U(A∪B)={7}.6.已知集合U={2,3,a2+2a-3},A={2,3},∁U A={5},则实数a的值为.5∈U,故得a2+2a-3=5,即a2+2a-8=0,解得a=-4或a=2.当a=-4时,U={2,3,5},A={2,3},符合题意.当a=2时,U={2,3,5},A={2,3},符合题意.所以a=-4或a=2.7.(一题多空题)设集合U=-2,,2,3,A={x|2x2-5x+2=0},B=3a,,若∁U A=B,则a=,b=.A={x|2x2-5x+2=0}=,2,∁U A=B,故B={-2,3},则3a=3,=-2,所以a=1,b=-2.-28.已知全集U=R,集合A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求:(1)A∩B;(2)A∪B;(3)A∪(∁U B);(4)B∩(∁U A);(5)(∁U A)∩(∁U B).①.(1)A∩B={x|0≤x<5}.(2)A∪B={x|-5<x<7}.图①(3)如图②.图②∁U B={x|x<0,或x≥7},∴A∪(∁U B)={x|x<5,或x≥7}.(4)如图③.图③∁U A={x|x≤-5,或x≥5},B∩(∁U A)={x|5≤x<7}.(5)(方法一)∵∁U B={x|x<0,或x≥7},∁U A={x|x≤-5,或x≥5},∴如图④.图④(∁U A)∩(∁U B)={x|x≤-5,或x≥7}.(方法二)(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B)={x|x≤-5,或x≥7}.9.已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(∁R A)=R,B∩(∁R A)={x|0<x<1,或2<x<3},求集合B.A={x|1≤x≤2},∴∁R A={x|x<1,或x>2}.又B∪(∁R A)=R,A∪(∁R A)=R,可得A⊆B.而B∩(∁R A)={x|0<x<1,或2<x<3},∴{x|0<x<1,或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1,或2<x<3}={x|0<x<3}.能力提升1.设全集U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(∁U A)∩B={4},(∁U A)∩(∁U B)={1,5},则下列结论正确的是()A.3∉A,且3∉BB.3∉B,但3∈AC.3∉A B.3∈A,且3∈BA∩B={2},故2∈B,且2∈A,(∁U A)∩B={4},所以4∈B但4∉A,(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B)={1,5},故1∉A,1∉B且5∉A,5∉B,所以3∉B,但3∈A.2.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中的元素个数为()A.1B.2C.3D.4A={1,2},B={x|x=2a,a∈A}={2,4},∴A∪B={1,2,4},∴∁U(A∪B)={3,5},故选B.3.设全集U={1,2,3,4,5,6},且U的子集可表示为由0,1组成的6位字符串,如:{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M={2,3,6},则∁U M表示的6位字符串为;(2)已知A={1,3},B⊆U,若集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是.由已知得,∁U M={1,4,5},则∁U M表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A∪B={1,3,6},而A={1,3},B⊆U,则B可能为{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},故满足条件的集合B的个数是4.(2)44.设U=R,集合A={x|x2-x-2=0},B={x|x2+mx+m-1=0}.(1)当m=1时,求(∁R B)∩A;(2)若(∁U A)∩B=⌀,求实数m的取值.x2-x-2=0,即(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2.故A={-1,2}.(1)当m=1时,方程x2+mx+m-1=0为x2+x=0,解得x=-1或x=0.故B={-1,0},∁R B={x|x≠-1,且x≠0}.所以(∁R B)∩A={2}.(2)由(∁U A)∩B=⌀可知,B⊆A.方程x2+mx+m-1=0的判别式Δ=m2-4×1×(m-1)=(m-2)2≥0.①当Δ=0,即m=2时,方程x2+mx+m-1=0为x2+2x+1=0,解得x=-1,故B={-1}.此时满足B⊆A.②当Δ>0,即m≠2时,方程x2+mx+m-1=0有两个不同的解,故集合B中有两个元素.又因为B⊆A,且A={-1,2},所以A=B.故-1,2为方程x2+mx+m-1=0的两个解,由根与系数之间的关系可得解得m=-1.综上,m的取值为2或-1.1.4充分条件与必要条件课后巩固1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.2.设a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分必要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件a=1,b=-4,满足a>b,此时a2>b2不成立;若a2>b2,如a=-4,b=1,此时a>b不成立.3.的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件当x=1,y=7时,满足但不能满足故为必要不充分条件.4.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要“a=2”时,显然“A∩B={4}”;但当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.5.已知p:a≠0,q:ab≠0,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件≠0,不一定有ab≠0,如b=0时;但是ab≠0则一定需a≠0.6.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)p是q的什么条件?∵q⇒s,s⇒r⇒q,∴s是q的充分也是必要条件.(2)∵q⇒s⇒r⇒p,∴p是q的必要条件.7.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,得|xy|=xy,所以xy≥0,故必要性成立.综上,原命题成立.能力提升1.已知条件p:x>1,条件q:≤1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件≤1,得-1≤0,≤0,即x≥1或x<0.所以由p能推出q,反之不成立.故p是q的充分不必要条件.2.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.:因为a+b=1,所以a+b-1=0.所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,所以a≠0且b≠0.因为a2-ab+b2=b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.1.5全称量词与存在量词课后巩固1.下列命题中全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.A.0B.1C.2D.32.命题“∃x∈R,使得x+1<0”的否定是()A.∀x∈R,均有x+1<0B.∀x∈R,均有x+1≥0C.∃x∈R,使得x+1≥0D.∃x∈R,使得x+1=03.已知命题p:某班所有的男生都爱踢足球,则命题p为()A.某班至多有一个男生爱踢足球B.某班至少有一个男生不爱踢足球C.某班所有的男生都不爱踢足球D.某班所有的女生都爱踢足球p是一个全称量词命题,它的否定是一个存在量词命题.4.下列四个命题中,既是存在量词命题又是真命题的是()A.斜三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x3>0C.任一无理数的平方必是无理数D.存在一个负数x,使>2A,C中的命题是全称量词命题,选项D中的命题是存在量词命题,但是假命题.只有B既是存在量词命题又是真命题.5.已知命题p:∀x>3,x>m成立,则实数m的取值范围是()A.m≤3B.m≥3C.m<3D.m>3x>3,x>m恒成立,即大于3的数恒大于m,所以m≤3.6.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为.,所以命题可改写为“∃x<0,(1+x)(1-9x)>0”.x<0,(1+x)(1-9x)>07.已知命题p“∃x≥3,使得2x-1<m”是假命题,则实数m的最大值是.p“∃x≥3,使得2x-1<m”是假命题,所以“∀x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,故m≤5.8.用符号“∀”(“∀”表示“任意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题,并判断真假:(1)实数的平方大于或等于0;(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立.这是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.改写后命题为:∀x∈R,x2≥0,它是真命题.(2)改写后命题为:∃(x,y),x∈R,y∈R,2x-y+1<0,它是真命题.如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.能力提升1.“x∈R,关于x的不等式x3+1>0有解”等价于()A.∃x∈R,使得x3+1>0成立B.∃x∈R,使得x3+1≤0成立C.∀x∈R,使得x3+1>0成立D.∀x∈R,使得x3+1≤0成立x∈R,“关于x的不等式x3+1>0有解”为存在量词命题,则根据存在量词命题的定义可知命题等价为∃x∈R,使得x3+1>0成立.2.命题“∀x∈R,x2-2ax+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是.,命题“∀x∈R,x2-2ax+1>0”是假命题,可得出二次函数与x轴有公共点, 又由二次函数的性质,可得Δ≥0,即4a2-4≥0,解得a≤-1或a≥1.-∞,-1]∪[1,+∞)3.已知命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0不成立,若p假q真,求实数a的取值范围.p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0是假命题,所以命题p:∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0是真命题,则Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,故a-1<-2或a-1>2,即a<-1或a>3.因为命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0不成立,所以命题q:∀x∈R,ax2-2ax-3≤0成立,当a=0时,-3<0成立;当a<0时,必须Δ=(-2a)2+12a≤0,即a2+3a≤0,解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.综上所述,-3≤a<-1.所以实数a的取值范围是[-3,-1).。
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
高中数学(人教A版)必修一课后习题：对数的概念(课后习题)【含答案及解析】
对数对数的概念课后篇巩固提升合格考达标练1.方程2log 3x =14的解是( )A.19B.√3C.√33D.92log 3x =14=2-2,∴log 3x=-2,∴x=3-2=19.2.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是( )A.e 0=1与ln 1=0B.8-13=12与log 812=-13C.log 39=2与912=3D.log 77=1与71=739=2应转化为32=9.3.(多选题)(2021湖南邵阳十一中高一期末)下列结论正确的是( )A.log 24=2B .2.10.5>2.1-1.8C .3log 32=2D .-ln e =124=2,故A 正确;根据函数y=2.1x 是增函数可知2.10.5>2.1-1.8,故B 正确;根据指对恒等式可知3log 32=2,故C 正确;-ln e =-1,故D 不正确.故选ABC .4.(2021北京大兴高一期末)813+log 122等于( ) A.0B .1C .2D .3813+log 122=23×13-log 22=2-1=1.故选B .5.若a>0,a 2=49,则lo g 23a= .a 2=49且a>0,∴a=23,∴lo g 2323=1.6.解答下列各题.(1)计算:lg 0.000 1;log 2164;log 3.12(log 1515).(2)已知log 4x=-32,log 3(log 2y )=1,求xy 的值.因为10-4=0.000 1,所以lg 0.000 1=-4.因为2-6=164,所以log 2164=-6.log 3.12(log 1515)=log 3.121=0.(2)因为log 4x=-32,所以x=4-32=2-3=18.因为log 3(log 2y )=1,所以log 2y=3.所以y=23=8.所以xy=18×8=1.7.求下列各式的值:(1)lo g 1162; (2)log 7√493; (3)log 2(log 93).设lo g 1162=x ,则(116)x =2,即2-4x =2,∴-4x=1,x=-14,即lo g 1162=-14. (2)设log 7√493=x ,则7x =√493=723. ∴x=23,即log 7√493=23.(3)设log 93=x ,则 9x =3,即32x =3,∴x=12.设log 212=y ,则2y =12=2-1,∴y=-1.∴log 2(log 93)=-1.等级考提升练8.若log a 3=m ,log a 5=n (a>0且a ≠1),则a 2m+n 的值是( )A.15B.75C.45D.225log a 3=m ,得a m =3,由log a 5=n ,得a n =5, ∴a 2m+n =(a m )2·a n =32×5=45.9.函数y=log (2x-1)√3x -2的定义域是( )A.23,1∪(1,+∞)B.12,1∪(1,+∞)C.23,+∞ D.12,+∞解析要使函数有意义,则{2x -1>0,2x -1≠1,3x -2>0,解此不等式组可得x>12且x ≠1且x>23,故函数的定义域是23,1∪(1,+∞),故选A .10.已知f (x 6)=log 2x ,则f (8)=( )A.43B .8C .18D .12x 6=8,则x 2=2,因为x>0,则x=√2,故f (8)=log 2√2=12.11.(多选题)(2021福建泉州高一期末)下列函数中,与y=x 是同一个函数的是( )A.y=√x 33B .y=√x 2C .y=lg 10xD .y=10lg x的定义域为R ,值域为R ,函数y=√x 33=x 的定义域为R ,故是同一函数;函数y=√x 2=|x|≥0,与y=x 解析式、值域均不同,故不是同一函数;函数y=lg 10x =x ,且定义域为R ,对应关系相同,故是同一函数;y=10lg x =x 的定义域为(0,+∞),与函数y=x 的定义域不相同,故不是同一函数.故选AC .12.已知f (x )={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1,x ≥1,则f (-2)+f (2)的值为( ) A.6B .5C .4D .3f (-2)+f (2)=(1+log 24)+2=5,故选B .13.已知lo g 12(log 2x )=lo g 13(log 3y )=1,则x ,y 的大小关系是( )A.x<yB.x=yC.x>yD.不确定lo g 12(log 2x )=1,所以log 2x=12.所以x=212=√2.又因为lo g 13(log 3y )=1,所以log 3y=13.所以y=313=√33.因为√2=√236=√86<√96=√326=√33,所以x<y.故选A . 14.21+12·log 25的值等于 .√51+12log 25=2×212log 25=2×(2log 25)12=2×512=2√5.15.已知log a b=log b a (a>0,a ≠1,b>0,b ≠1),求证:a=b 或ab=1.log a b=log b a=k ,则b=a k ,a=b k ,因此b=(b k )k =b k 2.因为b>0,b ≠1,所以k 2=1,即k=±1.当k=1时,a=b ;当k=-1时,a=b -1=1b ,即ab=1.综上可知a=b 或ab=1. 新情境创新练16.已知二次函数f (x )=(lg a )x 2+2x+4lg a (a>0)的最大值是3,求a 的值.f (x )有最大值,所以lg a<0.又f (x )max =16lg 2a -44lga =4lg 2a -1lga=3, 所以4lg 2a-3lg a-1=0.所以lg a=1或lg a=-14.因为lg a<0,所以lg a=-14.所以a=10-14.。
(完整版)人教版高中数学必修1习题答案
10．解：（1）令2()fxx，而22()()()fxxxfx， 即函数2yx是偶函数； （2）函数2yx的图象关于y轴对称； （3）函数2yx在(0,)上是减函数； （4）函数2yx在(,0)上是增函数． B组 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x人， 则158143328x，得3x，只参加游泳一项比赛的有15339（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2．解：因为集合A，且20x，所以0a． 3．解：由(){1,3}UABUe，得{2,4,5,6,7,8,9}ABU， 集合ABU里除去()UABIe，得集合B， 所以集合{5,6,7,8,9}B. 4．解：当0x时，()(4)fxxx，得(1)1(14)5f； 当0x时，()(4)fxxx，得(3)3(34)21f； (1)(5),1(1)(1)(3),1aaafaaaa． .5．证明：（1）因为()fxaxb，得121212()()222xxxxafabxxb， 121212()()()222fxfxaxbaxbaxxb， 所以1212()()()22xxfxfxf； （2）因为2()gxxaxb， 得22121212121()(2)()242xxxxgxxxxab， 22121122()()1[()()]22gxgxxaxbxaxb 2212121()()22xxxxab，
0
得函数的定义域为[2,)； （2）要使原式有意义，则40||50xx，即4x，且5x， 得函数的定义域为[4,5)(5,)U． 7．解：（1）因为1()1xfxx， 所以1()1afaa，得12()1111afaaa， 即2()11faa； （2）因为1()1xfxx， 所以1(1)(1)112aafaaa， 即(1)2afaa． 8．证明：（1）因为221()1xfxx， 所以22221()1()()1()1xxfxfxxx， 即()()fxfx； （2）因为221()1xfxx， 所以222211()11()()111()xxffxxxx， 即1()()ffxx. 9．解：该二次函数的对称轴为8kx， 函数2()48fxxkx在[5,20]上具有单调性， 则208k，或58k，得160k，或40k， 即实数k的取值范围为160k，或40k．
高中数学(人教A版)必修一课后习题：三角函数的应用(课后习题)【含答案及解析】
三角函数的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t (单位:s)离开平衡位置的位移s 1(单位:cm)和s 2(单位:cm)分别由s 1=5sin 2t+π6,s 2=10cos 2t 确定,则当t=2π3s 时,s 1与s 2的大小关系是( )A.s 1>s 2 B .s 1<s 2 C .s 1=s 2 D .不能确定解析当t=2π3时,s 1=5sin 4π3+π6=5sin 3π2=-5,s 2=10cos 4π3=10×-12=-5,故s 1=s 2.2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin π6x+φ+k ,据此函数可知,这段时间水深y (单位:m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10解析由题意可知当sinπ6x+φ取最小值-1时,函数取最小值y min =-3+k=2,得k=5, ∴y=3sinπ6x+φ+5,当sinπ6x+φ取最大值1时,函数取最大值y max =3+5=8. 3.有一冲击波,其波形为函数y=-sin πx2的图象,若其在区间[0,t ]上至少有2个波峰,则正整数t 的最小值是 ( )A.5B.6C.7D.8y=-sin πx 2的图象知,要使在区间[0,t ]上至少有2个波峰,必须使区间[0,t ]的长度不小于2T-T4=7T 4,即t ≥74·2π|ω|=74·2ππ2=7.故选C .4.(2021天津河西高一期末)如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b (A>0,ω>0,|φ|<π),则在6≤x ≤14时这段曲线的函数解析式是 .(不要求写定义域) 答案y=10sinπ8x+3π4+20,A=12×(30-10)=10,T=2×(14-6)=16,b=20,∴ω=2πT=2π16=π8.∵点(10,20)在函数的图象上, ∴10sinπ8×10+φ+20=20,即sin5π4+φ=0,则5π4+φ=2k π,k ∈Z ,φ=2k π-5π4,k ∈Z .∵|φ|<π,则φ=3π4.则这段曲线的函数解析式是y=10sin π8x+3π4+20.5.某地一天0~24时的气温y (单位:℃)与时间t (单位:h)的关系满足函数y=6sin (π12t -2π3)+20(t ∈[0,24]),则这一天的最低气温是 ℃.0≤t ≤24,所以-2π3≤π12t-2π3≤4π3,故当π12t-2π3=-π2,即t=2时,函数取最小值-6+20=14.6.如图所示,某动物种群数量1月1日最低为700,7月1日最高为900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数解析式;(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量.解(1)设种群数量y 关于t 的解析式为y=A sin(ωt+φ)+b A>0,ω>0,|φ|≤π2,则{-A +b =700,A +b =900,解得A=100,b=800.周期T=2×(6-0)=12,∴ω=2πT =π6, ∴y=100sin π6t+φ+800.又当t=6时,y=900, ∴900=100sinπ6×6+φ+800,∴sin(π+φ)=1,∴sin φ=-1, ∴φ=-π2,即y=100sin π6t-π2+800.(2)当t=2时, y=100sinπ6×2-π2+800=750,即当年3月1日动物种群数量约是750.等级考提升练7.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )=50+4sin t2(0≤t ≤20)给出,F (t )的单位是辆/分,t 的单位是分,则下列时间段中,车流量增加的是( ) A.[0,5] B .[5,10] C .[10,15] D .[15,20]10≤t ≤15时,有32π<5≤t2≤152<52π,此时F (t )=50+4sin t2单调递增,即车流量在增加.故选C . 8.(2021北京海淀高一校级月考)在图中,点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时,则物体对平衡位置的位移x (单位:cm)和时间t (单位:s)之间的函数关系式为( )A.x=32sin2π3t-π2B .x=3sin 2π3t C .x=32sin 3t+π2D .x=3sin2π3t+π2解析设位移x 关于时间t 的函数为x=f (t )=A sin(ωt+φ)(A>0,ω>0),则A=3,周期T=2πω=3,故ω=2π3,由题意可知当t=0时,f (t )取得最大值3,故3sin φ=3,故φ=π2+2k π,k ∈Z ,当k=0时,φ=π2,x=3sin 2π3t+π2.故选D .9.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f (x ),则y=f (x )在区间[0,π]上的图象大致为( )f (x )={12sin2x ,x ∈[0,π2],-12sin2x ,x ∈(π2,π],0≤f (x )≤12,排除A,B,D,选项C 满足函数的图象,故选C . 10.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P (x ,y ),若初始位置为P 0(√32,12),当秒针从P 0(注:此时t=0)正常开始走时,点P 的纵坐标y 与时间t (单位:s)的函数关系为( )A.y=sin (π30t +π6) B.y=sin (-π60t -π6) C.y=sin (-π30t +π6) D.y=sin (-π30t -π3)y=sin(ωt+φ),其中ω<0.由2π|ω|=60,得|ω|=π30,∴ω=-π30.∴y=sin (-π30t +φ). 又当t=0时,y=12,∴φ=π6.∴y=sin (-π30t +π6).11.(多选题)如图所示是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是( )A.该质点的运动周期为0.8 sB.该质点的振幅为5 cmC.该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度最大D.该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零,半个周期为0.4 s,所以周期为0.8 s,A 正确;平衡位置为x 轴,最低点纵坐标是-5,故振幅为5 cm,B 正确;当质点位于最高点或最低点时速度为零,故C 错误,D 正确. 12.(2021江苏无锡高一期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车,在匀速转动过程中,筒车上一盛水筒M 距离水面的高度H (单位:米)与转动时间t (单位:秒)满足函数关系式H=2sinπ60t+φ+54,φ∈0,π2,且t=0时,盛水筒M 与水面距离为2.25米,当筒车转动100秒后,盛水筒M 与水面距离为 米..25 解析∵H=2sinπ60t+φ+54,φ∈0,π2,当t=0时,H=2sin φ+54=2.25,则sin φ=12, ∵φ∈0,π2,∴φ=π6.故H=2sinπ60t+π6+54.∴当t=100时,盛水筒M 与水面距离为H=2sinπ60×100+π6+54=2×-12+54=0.25(米).13.生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型.下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).时间/时0 246810 12(1)作出这些数据的散点图;(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据; (3)作出(2)中所选函数的图象.散点图如下:(2)设t 时的体温y=A sin(ωt+φ)+C ,则C=37.4+36.62=37,A=37.4-37=0.4,ω=2πT=2π24=π12.由0.4sin (π12×16+φ)+37=37.4,得sin 4π3+φ=1,取φ=-5π6.故可用函数y=0.4sin (π12t -5π6)+37来近似描述这些数据. (3)图象如下:新情境创新练14.为迎接夏季旅游旺季的到来,某景区单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈,景区的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?设该函数为f(x)=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在区间[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根据上述分析可得,2πω=12,故ω=π6,且{-A+B=100,A+B=500,解得{A=200,B=300.根据分析可知,当x=2时,f(x)最小, 当x=8时,f(x)最大,故sin2×π6+φ=-1,且sin8×π6+φ=1.又因为0<|φ|<π,故φ=-5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sinπ6x-5π6+300.(2)由条件可知,200sinπ6x-5π6+300≥400,化简得sinπ6x-5π6≥12⇒2kπ+π6≤π6x-5π6≤2kπ+5π6,k∈Z,解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.因为x∈N*,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10.即只有6月份、7月份、8月份、9月份、10月份要准备400份以上的食物.。
【人教A版】高中数学必修1-5教材课后习题答案全套完整WORD版
人教A版高中数学必修1-5教材课后习题答案目录必修1第一章课后习题解答 (1)必修1第二章课后习题解答 (33)必修1第三章课后习题解答 (44)必修2第一章课后习题解答 (51)必修2第二章课后习题解答 (56)必修2第三章课后习题解答 (62)必修2第四章课后习题解答 (78)必修3第一章课后习题解答 (97)必修3第二章课后习题解答 (110)必修3第三章课后习题解答 (120)必修4第一章课后习题解答 (125)必修4第二章课后习题解答 (147)必修4第三章课后习题解答 (162)必修5第一章课后习题解答 (177)必修5第二章课后习题解答 (188)必修5第三章课后习题解答 (201)新课程标准人教A 版高中数学必修1第一章课后习题解答1.1集合【P5】1.1.1集合的含义与表示【练习】1.用符号“∈”或“∉”填空： （1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A ，美国_____A ，印度____A ，英国____A ； （2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ； （3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C .解答：1.（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲.（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===. （3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-. （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉. 2.试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （4）不等式453x -<的解集. 解答：2.解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程的所有实数根组成的集合为； （2）因为小于的素数为，所以由小于的所有素数组成的集合为；（3）由，得，290x -={3,3}-82,3,5,78{2,3,5,7}326y x y x =+⎧⎨=-+⎩14x y =⎧⎨=⎩即一次函数与的图象的交点为，所以一次函数与的图象的交点组成的集合为；（4）由，得， 所以不等式的解集为．1．1．2集合间的基本关系 练习（第7页） 1．写出集合的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得； 取一个元素，得； 取两个元素，得；取三个元素，得，即集合的所有子集为．2．用适当的符号填空：（1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______； （6）______． 2．（1）是集合中的一个元素；（2）； （3） 方程无实数根，； （4）（或） 是自然数集合的子集，也是真子集；（5）（或） ；（6）方程两根为． 3．判断下列两个集合之间的关系： （1），；3y x =+26y x =-+(1,4)3y x =+26y x =-+{(1,4)}453x -<2x <453x -<{|2}x x <{,,}a b c ∅{},{},{}a b c {,},{,},{,}a b a c b c {,,}a b c {,,}a b c ,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅a {,,}a b c 02{|0}x x =∅2{|10}x R x ∈+={0,1}N {0}2{|}x x x ={2,1}2{|320}x x x -+={,,}a a b c ∈a {,,}a b c 20{|0}x x ∈=2{|0}{0}x x ==2{|10}x R x ∅=∈+=210x +=2{|10}x R x ∈+==∅{0,1}N {0,1}N ⊆{0,1}N {0}2{|}x x x =2{0}{|}x x x ⊆=2{|}{0,1}x x x ==2{2,1}{|320}x x x =-+=2320x x -+=121,2x x =={1,2,4}A ={|8}B x x =是的约数（2），；（3），．3．解：（1）因为，所以；（2）当时，；当时，， 即是的真子集，；（3）因为与的最小公倍数是，所以． 1．1．3集合的基本运算 练习（第11页） 1．设，求． 1．解：，．2．设，求． 2．解：方程的两根为， 方程的两根为，得， 即．3．已知，，求． 3．解：，．4．已知全集，，求． 4．解：显然，，{|3,}A x x k k N ==∈{|6,}B x x z z N ==∈{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,{|20,}B x x m m N +==∈{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数AB 2k z =36k z =21k z =+363k z =+B A BA 41020AB ={3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==,A B A B {3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B =={3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==22{|450},{|1}A x x x B x x =--===,A B A B 2450x x --=121,5x x =-=210x -=121,1x x =-={1,5},{1,1}A B =-=-{1},{1,1,5}A B A B =-=-{|}A x x =是等腰三角形{|}B x x =是直角三角形,A B A B {|}A B x x =是等腰直角三角形{|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形{1,2,3,4,5,6,7}U ={2,4,5},{1,3,5,7}A B ==(),()()U U U A B A B {2,4,6}UB ={1,3,6,7}UA =则，．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“”或“”填空：（1）_______； （2）______； （3）_______；（4_______； （5； （6）_______．1．（1） 是有理数； （2）是个自然数； （3）是个无理数，不是有理数； （4是实数；（5）是个整数；（6） 是个自然数．2．已知，用 “”或“” 符号填空：（1）_______； （2）_______； （3）_______． 2．（1）； （2）； （3）． 当时，；当时，； 3．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于且小于的整数； （2）； （3）．3．解：（1）大于且小于的整数为，即为所求；（2）方程的两个实根为，即为所求；（3）由不等式，得，且，即为所求．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数的函数值组成的集合；(){2,4}U A B =()(){6}U U A B =∈∉237Q 23N πQ R Z 2N 237Q ∈23723N ∈239=Q π∉πR Z 3=2N ∈25={|31,}A x x k k Z ==-∈∈∉5A 7A 10-A 5A ∈7A ∉10A -∈2k =315k -=3k =-3110k -=-16{|(1)(2)0}A x x x =-+={|3213}B x Z x =∈-<-≤162,3,4,5{2,3,4,5}(1)(2)0x x -+=122,1x x =-={2,1}-3213x -<-≤12x -<≤x Z ∈{0,1,2}24y x =-（2）反比例函数的自变量的值组成的集合；（3）不等式的解集．4．解：（1）显然有，得，即，得二次函数的函数值组成的集合为； （2）显然有，得反比例函数的自变量的值组成的集合为；（3）由不等式，得，即不等式的解集为．5．选用适当的符号填空： （1）已知集合，则有：_______； _______；_______； _______；（2）已知集合，则有： _______； _______； _______； _______；（3）_______；_______．5．（1）； ；； ；，即；（2）；； ； =；；（3）； 菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形． 6．设集合，求．2y x =342x x ≥-20x ≥244x -≥-4y ≥-24y x =-{|4}y y ≥-0x ≠2y x ={|0}x x ≠342x x ≥-45x ≥342x x ≥-4{|}5x x ≥{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥4-B 3-A {2}B B A 2{|10}A x x =-=1A {1}-A ∅A {1,1}-A {|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形{|}x x 是等腰三角形{|}x x 是等边三角形4B -∉3A -∉{2}B BA 2333x x x -<⇒>-{|3},{|2}A x xB x x =>-=≥1A ∈{1}-A ∅A {1,1}-A 2{|10}{1,1}A x x =-==-{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-,A B A B6．解：，即，得，则，．7．设集合，，求，，，．7．解：，则，，而，， 则，．8．学校里开运动会，设，，，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定， 并解释以下集合运算的含义：（1）；（2）．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为．（1）； （2）．9．设，，，，求，，．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即，．3782x x -≥-3x ≥{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥{|2}A B x x =≥{|34}A B x x =≤<{|9}A x x =是小于的正整数{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==A B AC ()A B C ()A B C {|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数{1,2,3}A B ={3,4,5,6}A C ={1,2,3,4,5,6}B C ={3}B C =(){1,2,3,4,5,6}A B C =(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C ={|}A x x =是参加一百米跑的同学{|}B x x =是参加二百米跑的同学{|}C x x =是参加四百米跑的同学AB AC ()A B C =∅{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学{|}S x x =是平行四边形或梯形{|}A x x =是平行四边形{|}B x x =是菱形{|}C x x =是矩形B C A B S A {|}B C x x =是正方形{|}AB x x =是邻边不相等的平行四边形{|}SA x x =是梯形10．已知集合，求，，，．10．解：，，，，得，，，．B 组 1．已知集合，集合满足，则集合有 个．1． 集合满足，则，即集合是集合的子集，得个子集．2．在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合之间有什么关系？ 2．解：集合表示两条直线的交点的集合， 即，点显然在直线上， 得．3．设集合，，求．3．解：显然有集合，当时，集合，则； 当时，集合，则； 当时，集合，则；{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<()R A B ()R A B ()R A B()R A B {|210}A B x x =<<{|37}A B x x =≤<{|3,7}RA x x x =<≥或{|2,10}RB x x x =≤≥或(){|2,10}RA B x x x =≤≥或(){|3,7}RA B x x x =<≥或(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或{1,2}A =B {1,2}A B =B 4B A B A =B A ⊆B A 4{(,)|}C x y y x ==y x =21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭,C D 21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭21,45x y x y -=+=21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭(1,1)D y x =DC {|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈{|(4)(1)0}B x x x =--=,A B A B {|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==3a ={3}A ={1,3,4},A B A B ==∅1a ={1,3}A ={1,3,4},{1}A B A B ==4a ={3,4}A ={1,3,4},{4}A B A B ==当，且，且时，集合，则．4．已知全集，，试求集合． 4．解：显然，由，得，即，而，得，而，即．第一章 集合与函数概念 1．2函数及其表示 1．2．1函数的概念 练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）； （2）．1．解：（1）要使原式有意义，则，即，得该函数的定义域为； （2）要使原式有意义，则，即，得该函数的定义域为．2．已知函数， （1）求的值；（2）求的值．2．解：（1）由，得， 同理得，1a ≠3a ≠4a ≠{3,}A a ={1,3,4,},A B a A B ==∅{|010}U A B x N x ==∈≤≤(){1,3,5,7}U A B =B {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =U A B =UB A⊆()U UA B B=(){1,3,5,7}U A B ={1,3,5,7}UB =()UU B B ={0,2,4,6,8.9,10}B =1()47f x x =+()1f x =470x +≠74x ≠-7{|}4x x ≠-1030x x -≥⎧⎨+≥⎩31x -≤≤{|31}x x -≤≤2()32f x x x =+(2),(2),(2)(2)f f f f -+-(),(),()()f a f a f a f a -+-2()32f x x x =+2(2)322218f =⨯+⨯=2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=则，即；（2）由，得， 同理得， 则，即． 3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数；（2）和．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间；（2）不相等，因为定义域不同，． 1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为，面积为，把表示为的函数．1．解：显然矩形的另一边长为，，且， 即． 2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．(2)(2)18826f f +-=+=(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=2()32f x x x =+22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=h t 21305h t t =-21305y x x =-()1f x =0()g x x =0t >0()(0)g x x x =≠25cm xcm 2ycm y x 2250x cm -222502500y x x x x =-=-050x <<22500(050)y x x x =-<<2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．画出函数的图象．3．解：，图象如下所示．，从到的映射4．设正弦”，与中元素相对应是“求中的元素是什么？与中的元素相对应的的中元素是什么？4．解：因为，所以与中元素相对应的中的元素是；因为，所以与中的元素相对应的中元素是． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：|2|y x =-2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩{|},{0,1}A x x B ==是锐角A B A 60B B 22A 3sin 602=A 60B 322sin 452=B 22A 45离开家的距离 时间 （A ） 离开家的距离 时间 （B ） 离开家的距离 时间 （C ） 离开家的距离时间 （D ）（1）； （2）；（3）； （4）． 1．解：（1）要使原式有意义，则，即，得该函数的定义域为；（2），即该函数的定义域为；（3）要使原式有意义，则，即且，得该函数的定义域为；（4）要使原式有意义，则，即且， 得该函数的定义域为． 2．下列哪一组中的函数与相等？（1）； （2）；（3）． 2．解：（1）的定义域为，而的定义域为， 即两函数的定义域不同，得函数与不相等；（2）的定义域为，而的定义域为， 即两函数的定义域不同，得函数与不相等； （3）对于任何实数，都有，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数与相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．3()4x f x x =-()f x=26()32f x x x =-+()1f x x =-40x -≠4x ≠{|4}x x ≠x R ∈()f x =R 2320x x -+≠1x ≠2x ≠{|12}x x x ≠≠且4010x x -≥⎧⎨-≠⎩4x ≤1x ≠{|41}x x x ≤≠且()f x ()g x 2()1,()1x f x x g x x =-=-24(),()f x x g x ==2(),()f x x g x ==()1f x x =-R 2()1x g x x =-{|0}x x ≠()f x ()g x 2()f x x =R 4()g x ={|0}x x ≥()f x ()g x 2x =()f x ()g x（1）； （2）； （3）； （4）．3．解：（1）定义域是，值域是； （2）定义域是，值域是；（3）3y x =8y x =45y x =-+267y x x =-+(,)-∞+∞(,)-∞+∞(,0)(0,)-∞+∞(,0)(0,)-∞+∞定义域是，值域是；（4）定义域是，值域是．4．已知函数，求，，，． 4．解：因为，所以，即；同理，， 即；， 即；， 即． 5．已知函数， （1）点在的图象上吗？（2）当时，求的值； （3）当时，求的值．(,)-∞+∞(,)-∞+∞(,)-∞+∞[2,)-+∞2()352f x x x =-+(2)f -()f a -(3)f a +()(3)f a f +2()352f x x x =-+2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+(2)852f -=+22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++2()352f a a a -=++22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++2(3)31314f a a a +=++22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+2()(3)3516f a f a a +=-+2()6x f x x +=-(3,14)()f x 4x =()f x ()2f x =x5．解：（1）当时，， 即点不在的图象上；（2）当时，， 即当时，求的值为；（3），得， 即．6．若，且，求的值． 6．解：由，得是方程的两个实数根，即，得，即，得， 即的值为．7．画出下列函数的图象：（1）； （2）．7．图象如下：3x =325(3)14363f +==-≠-(3,14)()f x 4x =42(4)346f +==--4x =()f x 3-2()26x f x x +==-22(6)x x +=-14x =2()f x x bx c =++(1)0,(3)0f f ==(1)f -(1)0,(3)0f f ==1,320x bx c ++=13,13b c +=-⨯=4,3b c =-=2()43f x x x =-+2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=(1)f -80,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩()31,{1,2,3}G n n n =+∈。
高中数学(人教A版)必修一课后习题：基本不等式的应用(课后习题)【含答案及解析】
基本不等式的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021江苏南京高一期末)设实数x 满足x>0,函数y=2+3x+4x+1的最小值为( )A.4√3-1B.4√3+2C.4√2+1D.6x>0,∴x+1>0,∴y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-1≥2√3(x +1)·4x+1-1=4√3-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=2√33-1>0时,等号成立,∴函数y=2+3x+4x+1的最小值为4√3-1.故选A .2.(2020辽宁凤城高一期中)已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1a +1b 的最大值为( ) A.-1 B .-32C .-4D .-2解析a<0,b<0,a+b=-2,∴1a+1b=-121a +1b(a+b )=-122+b a +a b≤-122+2√b a ·a b=-2,当且仅当a=b=-1时,等号成立,故y=1a+1b 的最大值为-2,故选D .3.(多选题)(2021广东番禺高一期末)已知a>0,b>0,且a 2+b 2=1,则( ) A.a+b ≤√2 B.a+b ≤12C.a+b>√2D.1a 2+1b2≥4(a+b )2=a 2+b 2+2ab=1+2ab ≤1+(a 2+b 2)=2(当且仅当a=b 时,等号成立),又a>0,b>0,则a+b ≤√2,故A 正确;1a 2+1b2=a 2+b 2a 2+a 2+b2b2=1+b 2a 2+a 2b2+1≥2+2√a 2b2·b2a 2=2+2=4,当且仅当b2a2=a 2b2,即a=b 时,等号成立,故D 正确.故选AD .4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v 2800 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要 h .解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50·v 2800v =v 16 h,最后一辆车驶完全程共需要400v h,所以一共需要400v +v16h,由基本不等式,得400v +v 16≥2√400v ·v16=10,故最少需要10 h .5.已知a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为 .a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab=1b +2a =13(2a+b )2a +1b=135+2b a +2a b ≥13(5+4)=3,当且仅当2ba =2ab 且2a+b=3,即a=b=1时,a+2bab 取得最小值3. 6.已知正数a ,b ,x ,y 满足a+b=10,ax +by =1,x+y 的最小值为18,求a ,b 的值.(x+y )(ax +by )=a+bxy +ayx +b=10+bxy +ayx . 因为x ,y>0,a ,b>0,所以x+y ≥10+2√ab =18,即√ab =4. 当且仅当bx y =ayx时,等号成立. 又a+b=10,所以{a =2,b =8或{a =8,b =2.7.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x ≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+x 2360升,司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用的值.设所用时间为t=130x 小时,则y=130x ×6×(2+x 2360)+14×130x ,50≤x ≤100.所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=3 380x +136x ,50≤x ≤100. (2)y=3 380x +136x ≥263√390, 当且仅当3 380x =136x ,即x=2√390时,等号成立.又2√390<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为y=3 38050+136×50=2 63915(元).等级考提升练8.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m 恒成立,则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8 D.7解析2a +1b =2a +1b (2a+b )=5+2ba +2ab ≥5+2√2b a ·2ab =9,当且仅当2ba =2ab ,即a=b=13时,等号成立.所以2a +1b的最小值为9,又因为2a +1b ≥m 恒成立,所以m ≤9,即m 的最大值为9.9.(2021浙江温州高一期末)已知正数a ,b 满足a+b=1,则4a1-a +b1-b 的最小值是( ) A.1 B .2 C .4 D .8a ,b 满足a+b=1,则4a1-a +b1-b =4ab +ba ≥2√4ab ·ba =4, 当且仅当4ab =ba ,即b=2a=23时,等号成立. 故4a1-a +b 1-b 的最小值是4, 故选C .10.(2021云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是( ) A.14 B .12C .1D .2x ,y ,则x>0,y>0,且x+y=1, 由基本不等式可得x 2+y 2≥2xy ,所以2(x 2+y 2)≥x 2+y 2+2xy=(x+y )2=1,所以x 2+y 2≥12,当且仅当x=y=12时,等号成立,因此,两个正方形的面积之和x 2+y 2的最小值为12.故选B .11.(多选题)(2021浙江湖州高一期末)已知a>0,b>0.若4a+b=1,则( ) A.14a +1b 的最小值为9 B .1a +1b 的最小值为9 C .(4a+1)(b+1)的最大值为94 D .(a+1)(b+1)的最大值为94,14a +1b =(14a +1b )(4a+b )=2+b4a +4ab ≥2+2√b4a ·4ab =4,当b4a =4ab ,即b=4a 且4a+b=1时,等号成立,故14a +1b 的最小值是4,故A 不正确;1a +1b=(1a +1b )(4a+b )=5+b a +4a b ≥5+2√b a ·4a b =9,当b a =4a b ,即b=2a 且4a+b=1时,等号成立,1a +1b的最小值为9,故B 正确;(4a+1)(b+1)≤[(4a+1)+(b+1)2]2=94,当4a+1=b+1,即b=4a=12时,等号成立,故C 正确;(a+1)(b+1)=14[(4a+4)(b+1)]≤14[(4a+4)+(b+1)2]2=94,当且仅当4a+4=b+1时,等号成立,又因为4a+b=1,因此当a=-14,b=2时,等号成立,但a>0,所以等号不能成立,故D 不正确.故选BC . 12.设函数y=x+ax (a>0).(1)若a=1,求当x>0时,函数y 的最小值为 ;(2)当x>2时,该函数存在最小值,则满足条件的一个a 的值为 .(2)5(答案不唯一,只要a>4即可)当a=1时,由基本不等式得x+1x≥2√x ·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立,故最小值为2.(2)由基本不等式得x+ax ≥2√x ·ax =2√a ,当且仅当x=ax ,x=√a 时等号成立,故√a >2,即a>4.填a>4的任意一个a 都符合题意.13.对任意m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,则实数a 的最大值为 .√2m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,∴m 2+2n 2≥amn , 即a ≤m 2+2n 2mn=m n +2nm 恒成立.∵mn +2nm ≥2√m n ·2nm =2√2, ∴a ≤2√2,即最大值为2√2.14.经观测,某公路段在某时段内的车流量y (单位:千辆/时)与汽车的平均速度v (单位:千米/时)之间有如下关系:y=920vv 2+3v+1 600(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度v 为 时车流量y 最大,最大车流量为 千辆/时(精确到0.01).11.08 y=920v v 2+3v+1 600=920v+1 600v +3≤2√v ·1 600v+3=92083≈11.08.当v=1 600v ,即v=40千米/时,车流量最大,最大值为11.08千辆/时.新情境创新练15.中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(2≤x ≤6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900a (1+x )x元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a 的取值范围.设甲工程队的总造价为y 元,则y=3150×2x+400×12x+7 200=900x+16x+7 200(2≤x ≤6),900x+16x+7200≥900×2×√x ·16x +7 200=14 400.当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元.(2)由题意可得,当2≤x ≤6时,900x+16x+7 200>900a (1+x )x恒成立,即(x+4)2x>a (1+x )x, ∴a<(x+4)2x+1=(x+1)+9x+1+6,又x+1+9x+1+6≥2√(x +1)·9x+1+6=12, 当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立. ∴a 的取值范围为{a|0<a<12}.。
高中数学(人教A版)必修一课后习题：三角函数的概念(课后习题)【含答案及解析】
三角函数的概念三角函数的概念课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021河北唐山高一期末)sin(-1 080°)=()A.-12B.1C.0D.-1-1 080°)=-sin(3×360°+0°)=0.故选C.2.点A(x,y)是60°角的终边与单位圆的交点,则yx的值为()A.√3B.-√3C.√33D.-√33由三角函数定义知yx=tan 60°=√3. 3.代数式sin(-330°)cos 390°的值为()A.-34B.√34C.-32D.14,sin(-330°)cos 390°=sin 30°×cos 30°=12×√32=√34.4.tan(-356π)的值等于()A.√33B.-√33C.12D.√3(-356π)=tan(-3×2π+π6)=tanπ6=√33.5.已知角α的终边与单位圆交于点P-12,y,则cos α=()A.-√33B.-12C.-√32D.±12解析角α的终边与单位圆交于点P-12,y,∴cos α=-12.6.已知角α的终边经过点P (x ,-6),且tan α=-35,则x 的值为 .,得tan α=y x =-35,即-6x =-35,解得x=10.7.(2020浙江丽水高一检测)在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边过点P (-√3,-1),则tan α= ;cos α-sin α= .1-√32角α终边过点P (-√3,-1),|OP|=2,∴tan α=-√3=√33,sin α=-12,cos α=-√32, ∴cos α-sin α=1-√32.8.求下列各式的值:(1)sin (-15π4)+tan 25π3;(2)sin(-1 380°)cos 1 110°+tan 405°.原式=sin (-4π+π4)+tan (8π+π3) =sin π4+tan π3=√22+√3.(2)原式=sin(-4×360°+60°)cos(3×360°+30°)+tan(360°+45°)=sin 60°cos 30°+tan 45°=√32×√32+1=74. 等级考提升练9.在△ABC 中,若sin A cos B tan C<0,则△ABC 是( ) A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形sin A>0,所以cos B ,tan C 中一定有一个小于0,即B ,C 中一定有一个钝角,故△ABC 是钝角三角形.10.设α是第二象限角,且|cos α2|=-cos α2,则α2是 ( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角α是第二象限角,∴α2为第一或第三象限角.又|cosα2|=-cosα2,∴cosα2<0.∴α2是第三象限角.11.(2021江苏南京高一期末)若角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),则()A.sin α>0B.sin α<0C.cos α>0D.cos α<0角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),∴由三角函数的定义可知sin α=√3+a2符号不确定,故A,B均错误;cos α=√3+a2>0,故C正确,D错误.故选C.12.在平面直角坐标系中,已知角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=√55,则a等于()A.1B.92C.1或92D.1或-3由题意得√a2+(a-3)=√55,化简得a2+2a-3=0,解得a=-3或1,当a=-3时,点P(-3,-6)在第三象限,cosα<0,与题意不符,舍去,选A.13.(多选题)(2020山东聊城高一期末)已知x∈{x|x≠kπ2,k∈Z},则函数y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|的值可能为()A.3B.-3C.1D.-1x∈{x|x≠kπ2,k∈Z},当x在第一象限时,y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|=1+1-1=1;当x在第二象限时,y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|=1-1+1=1;当x在第三象限时,y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|=-1-1-1=-3;当x 在第四象限时,y=sinx |sinx |+cosx |cosx |−tanx |tanx |=-1+1+1=1. 14.角α的终边过点P (-3a ,4a )(a ≠0),则cos α= . -35或35|OP|=√(-3a )2+(4a )2=5|a|,且a ≠0.当a>0时,|OP|=5a ,则cos α=-3a 5a =-35.当a<0时,|OP|=-5a ,则cos α=-3a -5a =35.15.sin(-1 740°)cos 1 470°+cos(-660°)sin 750°+tan 405°= .=sin(60°-5×360°)cos(30°+4×360°)+cos(60°-2×360°)sin(30°+2×360°)+tan(45°+360°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°+tan 45°=√32×√32+12×12+1=2.16.已知1|sinα|=-1sinα,且lg cos α有意义.(1)试判断角α的终边所在的象限;(2)若角α的终边上一点M (35,m),且|OM|=1(O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.由1|sinα|=-1sinα,可知sin α<0.由lg cos α有意义,可知cos α>0,∴角α的终边在第四象限.(2)∵|OM|=1, ∴(35)2+m 2=1,解得m=±45.又α是第四象限角,故m<0,从而m=-45.由正弦函数的定义可知sin α=y r =m|OM |=-451=-45. 新情境创新练17.已知角α的终边在直线y=-3x 上,求10sin α+3cosα的值.α的终边上任一点为P (k ,-3k )(k ≠0),则x=k ,y=-3k ,r=√k 2+(-3k )2=√10|k|.当k>0时,r=√10k ,α是第四象限角, sin α=y r =√10k =-3√1010, 1cosα=r x =√10k k =√10,所以10sin α+3cosα=10×(-3√1010)+3√10=-3√10+3√10=0; 当k<0时,r=-√10k ,α为第二象限角, sin α=y r =-√10k =3√1010, 1cosα=r x =-√10k k=-√10, 所以10sin α+3cosα=10×3√1010+3×(-√10)=3√10-3√10=0. 综上,10sin α+3cosα=0.。
高中数学(人教A版)必修一课后习题：三角恒等变换的应用(课后习题)【含答案及解析】
三角恒等变换的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021济宁高一期末)若tan α=2,则sin2α1+cos 2α=( )A.16 B .13C .23D .1tan α=2,则sin2α1+cos 2α=2sinαcosα2cos 2α+sin 2α=2tanα2+tan 2α=2×22+22=23.故选C .2.化简sin α2+cos α22+2sin 2π4−α2得( )A.2+sin α B .2+√2sin α-π4 C .2 D .2+√2sin α+π4解析原式=1+2sin α2cos α2+1-cos 2π4−α2=2+sin α-cos π2-α=2+sin α-sin α=2. 3.函数f (x )=sin x cos x+cos 2x-1的值域为( ) A.[-√2+12,√2-12] B.[√2-12,√2+12] C.[-1,0] D.[0,12](x )=sin x cos x+cos 2x-1=12sin 2x+1+cos2x 2-1=12sin 2x+12cos 2x-12=√22sin (2x +π4)−12, 因为-1≤sin (2x +π4)≤1,所以y ∈[-√2+12,√2-12].4.函数f (x )=sin 2x-π4-2√2sin 2x 的最小正周期是 .解析f (x )=√22sin 2x-√22cos 2x-√2(1-cos 2x )=√22sin 2x+√22cos 2x-√2=sin 2x+π4-√2,所以T=2π2=π. 5.若3sin x-√3cos x=2√3sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ= . -π6解析因为3sin x-√3cos x=2√3√32sin x-12cos x =2√3sin x-π6,因为φ∈(-π,π),所以φ=-π6. 6.化简:sin4x 1+cos4x ·cos2x 1+cos2x ·cosx1+cosx = .tan x2=2sin2xcos2x 2cos 22x ·cos2x 1+cos2x ·cosx1+cosx=sin2x 1+cos2x ·cosx1+cosx=2sinxcosx 2cos 2x ·cosx1+cosx=sinx 1+cosx =tan x2. 7.已知函数f (x )=4cos 4x -2cos2x -1sin (π4+x )sin (π4-x ). (1)求f (-11π12)的值; (2)当x ∈[0,π4)时,求函数g (x )=12f (x )+sin 2x 的最大值和最小值.f (x )=(1+cos2x )2-2cos2x -1sin (π4+x )sin (π4-x )=cos 22xsin (π4+x )cos (π4+x )=2cos 22x sin (π2+2x )=2cos 22xcos2x=2cos 2x , 所以f (-11π12)=2cos (-11π6)=2cos π6=√3.(2)g (x )=cos 2x+sin 2x=√2sin (2x +π4).因为x ∈[0,π4),所以2x+π4∈[π4,3π4), 所以当x=π8时,g (x )max =√2, 当x=0时,g (x )min =1.等级考提升练8.已知α满足sin α=13,则cos (π4+α)cos (π4-α)= ( )A.718B.2518C.-718D.-2518解析cos (π4+α)cos (π4-α)=cosπ2-π4-α·cosπ4-α=sinπ4-αcosπ4-α=12sinπ2-2α=12cos 2α=12(1-2sin 2α)=12(1-2×19)=718,故选A .9.(2021黑龙江哈尔滨道里高一期末)已知函数f (x )=sin 2x+2√3sin x cos x-cos 2x ,x ∈R ,则( ) A.f (x )的最大值为1B .f (x )在区间(0,π)上只有1个零点C .f (x )的最小正周期为π2 D .x=π3为f (x )图象的一条对称轴 解析函数f (x )=sin 2x+2√3sin x cos x-cos 2x=√3sin 2x-cos 2x=2√32sin 2x-12cos 2x =2sin 2x-π6,可得f (x )的最大值为2,最小正周期为T=2π2=π,故A,C 错误;由f (x )=0,可得2x-π6=k π,k ∈Z ,即为x=kπ2+π12,k ∈Z ,可得f (x )在(0,π)内的零点为π12,7π12,故B 错误;由fπ3=2sin2π3−π6=2,可得x=π3为f (x )图象的一条对称轴,故D 正确.故选D .10.设a=2sin 13°cos 13°,b=2tan13°1+tan 213°,c=√1-cos50°2,则有( )A.c<a<bB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<ba=2sin 13°cos 13°=sin 26°,b=2tan13°1+tan 213°=tan 26°,c=√1-cos50°2=sin 25°,且正弦函数y=sin x 在区间[0,π2]上单调递增,所以a>c ;在区间[0,π2]上tan α>sin α,所以b>a ,所以c<a<b ,故选A . 11.已知函数f (x )=sin x+λcos x 的图象的一个对称中心是点(π3,0),则函数g (x )=λsin x cos x+sin 2x 的图象的一条对称轴是直线( ) A.x=5π6B.x=4π3C.x=π3D.x=-π3f (x )=sin x+λcos x 的图象的一个对称中心是点(π3,0),所以f (π3)=0,即sin π3+λcos π3=0,解得λ=-√3,故g (x )=-√3sin x cos x+sin 2x ,整理得g (x )=-sin (2x +π6)+12,所以对称轴直线方程为2x+π6=k π+π2(k ∈Z ),当k=-1时,一条对称轴是直线x=-π3.12.(多选题)(2020福建福州一中高一期末)以下函数在区间0,π2上单调递增的有( ) A.y=sin x+cos x B.y=sin x-cos x C .y=sin x cos xD .y=sinxcosx解析对于A 选项,y=sin x+cos x=√2sin x+π4,当x ∈0,π2时,x+π4∈π4,3π4,所以函数在区间0,π2上不单调;对于B 选项,y=sin x-cos x=√2sin x-π4,当x ∈0,π2时,x-π4∈-π4,π4,所以函数在区间0,π2上单调递增;对于C 选项,y=sin x cos x=12sin 2x ,当x ∈0,π2时,2x ∈(0,π),所以函数在区间0,π2上不单调;对于D 选项,当x ∈0,π2时,y=sinxcosx=tan x ,所以函数在区间0,π2上单调递增.13.(多选题)(2020山东枣庄高一期末)设函数f (x )=sin 2x+π4+cos 2x+π4,则f (x )( ) A.是偶函数B.在区间0,π2单调递减 C .最大值为2D .其图象关于直线x=π2对称解析f (x )=sin 2x+π4+cos 2x+π4=√2sin 2x+π4+π4=√2cos 2x.f (-x )=√2cos(-2x )=√2cos 2x=f (x ),故f (x )是偶函数,A 正确;∵x ∈0,π2,所以2x ∈(0,π),因此f (x )在区间0,π2上单调递减,B 正确;f (x )=√2cos 2x 的最大值为√2,C 不正确;当x=π2时,f (x )=√2cos 2×π2=-√2,因此当x=π2时,函数有最小值,因此函数图象关于x=π2对称,D 正确.14.已知cos θ=-725,θ∈(π,2π),则sin θ2+cos θ2的值为 .解析因为θ∈(π,2π),所以θ2∈π2,π,所以sin θ2=√1-cosθ2=45,cos θ2=-√1+cosθ2=-35, 所以sin θ2+cos θ2=15.15.化简:tan 70°cos 10°(√3tan 20°-1)= .1 解析原式=sin70°cos70°·cos 10°·√3sin20°cos20°-1=sin70°cos70°·cos 10°·√3sin20°-cos20°cos20°=sin70°cos70°·cos 10°·2sin (-10°)cos20°=-sin70°cos70°·sin20°cos20°=-1. 16.已知函数f (x )=4tan x sin (π2-x)cos (x -π3)−√3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期; (2)讨论f (x )在区间[-π4,π4]上的单调性.f (x )的定义域为{x |x ≠π2+kπ,k ∈Z}.f (x )=4tan x cos x cos (x -π3)−√3 =4sin x cos (x -π3)−√3 =4sin x (12cosx +√32sinx)−√3 =2sin x cos x+2√3sin 2x-√3=sin 2x+√3(1-cos 2x )-√3 =sin 2x-√3cos 2x=2sin (2x -π3). 所以f (x )的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,函数y=2sin z 的单调递增区间是[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z .由-π2+2k π≤2x-π3≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z . 设A=[-π4,π4],B=x -π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z ,易知A ∩B=[-π12,π4].所以,当x ∈[-π4,π4]时,f (x )在区间[-π12,π4]上单调递增,在区间[-π4,-π12]上单调递减.新情境创新练17.如图,某污水处理厂要在一个矩形ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(Rt △EFG ,E 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口E 是AB 的中点,F ,G 分别落在AD ,BC 上,且AB=20 m,AD=10√3 m,设∠GEB=θ.(1)试将污水管道的长度l 表示成θ的函数,并写出定义域; (2)当θ为何值时,污水净化效果最好,并求此时管道的长度.由题意,∠GEB=θ,∠GEF=90°,则∠AEF=90°-θ.∵E 是AB 的中点,AB=20 m,AD=10√3 m . ∴EG=10cosθ,EF=10cos (90°-θ)=10sinθ. ∴FG=√EG 2+EF 2=10cosθsinθ. 则l=10sinθ+10cosθ+10sinθcosθ,定义域θ∈π6,π3.(2)由(1)可知,l=10sinθ+10cosθ+10sinθcosθ,θ∈π6,π3.化简可得l=10(sinθ+cosθ)+10sinθcosθ.令t=sin θ+cos θ=√2sin θ+π4.∵θ∈π6,π3,∴θ+π4∈5π12,7π12,可得sin θ+π4∈√6+√24,1,则t ∈√3+12,√2.可得sin θcos θ=t 2-12,且t ≠1, 那么l=10+10t t 2-12=20(1+t )t 2-1=20t -1. 当t=√3+12时,l 取得最大值为20(1+√3).此时t=√2sin θ+π4=√3+12,即θ+π4=5π12或7π12,∴θ=π6或π3.故当θ=π6或π3时,污水净化效果最好,此时管道的长度为20(1+√3)m .。
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第3章函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)
3.4 函数的应用(一)课后训练巩固提升1.从装满20 L 纯酒精的容器中倒出1 L 酒精,然后用水加满,再倒出1 L 酒精溶液,再用水加满,照这样的方法继续下去,如果倒第k 次时前k 次共倒出纯酒精x L,倒第(k+1)次时前(k+1)次共倒出纯酒精f(x) L,则f(x)的解析式是( )A.f(x)=1920x+1 B.f(x)=120x+1 C.f(x)=1920(x+1) D.f(x)=120xk 次时共倒出纯酒精xL,所以第k 次后容器中含纯酒精(20-x)L,第(k+1)次倒出的纯酒精是20-x 20L,故f(x)=x+20-x 20=1920x+1.2.某商品的进货价为40元/件,当售价为50元/件时,一个月能卖出500件.通过市场调查发现,该商品的单价每提高1元,该商品一个月的销售量就会减少10件,为使销售该商品的月利润最高,商店应将每件商品定价为( )A.45元B.55元C.65元D.70元50元的基础上提高x元,x∈N,每月的月利润为y元,则y与x 的函数解析式为y=(500-10x)·(50+x-40)=-10x2+400x+5000,x∈N,其图象的对称轴为直线x=20,故每件商品的定价为70元时,月利润最高.3.(多选题)甲、乙两人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步;乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,且两人骑车的速度均大于跑步的速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下:则上述四个函数图象中,表示甲、乙两人运动的函数关系的图象对应正确的是( )A.甲对应图①B.甲对应图③C.乙对应图②D.乙对应图④,知前半程的速度大于后半程的速度,则前半程的直线的斜率大于后半程直线的斜率.乙是先跑步,到中点后改为骑自行车,则前半程的直线的斜率小于后半程直线的斜率.因为甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,则甲前半程的直线的斜率大于乙后半程直线的斜率,所以甲是①,乙是④.4.一批商品按期望获得50%的利润定价,结果只销售出70%的商品,为了尽早销售完剩下的商品,商场决定按定价打折出售,这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%,则应打( )A.六折B.七折C.八折D.九折a,商品打x折,-a)×30%=0.5a×82%-0.5a×70%,解得x=8.即商品由题意,得(1.5a·x10应打八折.5.已知直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,直线x=t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(图中阴影部分)为y,则函数y=f(t)的大致图象为( )0≤t≤1时,f(t)=12t·2t=t2;当1<t≤2时,f(t)=12×1×2+(t-1)×2=2t-1,故当t∈[0,1]时,函数的图象是抛物线的一部分,当t∈(1,2]时,函数的图象是一条线段,故选C.6.将边长为1 m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,设S=(梯形的周长)2梯形的面积,则S的最小值是.,根据题意,得S(x)=√3·(3-x)21-x2(0<x<1),令3-x=t,则t∈(2,3),1t ∈(13,12),则S=√3·t2-t2+6t-8=√3·1-8t2+6t-1,故当1t =38,即x=13时,S有最小值,最小值是32√33.7.有一种新型的洗衣液,去污效果特别好.已知在装有一定量水的洗衣机中投放k(1≤k≤4,且k∈R)个单位的洗衣液时,它在水中释放的浓度y(单位:克/升)随着时间x(单位:分钟)变化的函数解析式近似为y=kf(x),其中f(x)={248-x-1(0≤x≤4),7-12x(4<x≤14).若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时,它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k个单位的洗衣液,第2分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升,求k的值;(2)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?(3)若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液,则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?请说明理由.由题意知,k(248-2-1)=3,解得k=1.(2)因为k=4,所以y={968-x -4,0≤x≤4,28-2x,4<x≤14.当0≤x≤4时,由968-x-4≥4,解得-4≤x<8,所以0≤x≤4;当4<x≤14时,由28-2x≥4,解得x≤12,所以4<x≤12.综上,当y≥4时,0≤x≤12.故只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟.(3)能.理由:在第12分钟时,水中洗衣液的浓度为2×(7-12×12)+1×[248-(12-10)-1]=5(克/升),因为5>4,所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用.8.在经济学中,函数f(f(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x>0)报警系统装置的收益函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元).(1)求生产P(P(P(x)取得最大值时的实际意义是什么?由题意,得P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000,其中P(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=248 0-40x,其中x∈[1,99],且x∈N*.(2)由(1)知P(x)=-20x2+2500x-4000=-20(x-1252)2+74125.由x∈N*,知当x=62或x=63时,P(a P(x)=2480-40x,该函数是减函数,即随着产量的增加,每台报警系统装置与前一台相比较,利润在减小,故当x=1时,MP(P(x)取得最大值时的实际意义是生产第2台报警系统装置与生产第1台的总利润差最大.。
高中数学(人教A版)必修一课后习题：集合的表示方法(课后习题)【含答案及解析】
集合的表示方法课后篇巩固提升合格考达标练1.用描述法表示右图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是()A.{-2≤x≤0,且-2≤y≤0}B.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}C.{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y<0}D.{(x,y)|-2≤x≤0,或-2≤y≤0},阴影部分的点的横坐标满足-2≤x≤0,纵坐标满足-2≤y≤0,所以所表示的集合为{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}.2.在直角坐标系中,坐标轴上的点构成的集合可表示为()A.{(x,y)|y=0,x∈R}B.{(x,y)|x2+y2=0}C.{(x,y)|xy=0}D.{(x,y)|x2+y2≠0}在x轴上的点(x,y)满足y=0,在y轴上的点(x,y)满足x=0,∴坐标轴上的点(x,y)满足xy=0, ∴坐标轴上的点构成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.故选C.3.集合{3,52,73,94,…}用描述法可表示为()A.{x|x=2n+12n,n∈N*}B.{x|x=2n+3n,n∈N*}C.{x|x=2n-1n,n∈N*}D.{x|x=2n+1n,n∈N*}3,5 2,73,94,即31,52,73,94,从中发现规律,x=2n+1n,n∈N*,故可用描述法表示为{x|x=2n+1n,n∈N*}.4.已知集合A=m y=4m∈N,m∈N,用列举法表示集合A=.解析∵集合A=m y=4m∈N,m∈N,∴A={1,2,4}.5.已知集合A={x|-2<x<2,x∈Z},B={y|y=x2+1,x∈A},则集合B用列举法表示是.A={-1,0,1},而B={y|y=x2+1,x∈A},所以B={1,2}.6.用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;(2)24的所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.用描述法表示为{x|2<x<5,且x∈Q}.(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}.等级考提升练7.(2021山东临沂高一期中)已知b是正数,且集合{x|x2-ax+16=0}={b},则a-b=()A.0B.2C.4D.8x2-ax+16=0有两个相等的正实根,故Δ=a2-64=0.又方程两根之和为正数,即a>0,所以a=8,因此方程变为x2-8x+16=0,且根为4,故b=4,所以a-b=8-4=4.故选C.8.(2021江西临川一中高一月考)设集合A=2,3,a2-3a,a+2a+7,B={|a-2|,0}.已知4∈A且4∉B,则实数a的取值集合为()A.{-1,-2}B.{-1,2}C.{-2,4}D.{4}①当a2-3a=4且|a-2|≠4时,解得a=-1或4;a=-1时,集合A={2,3,4,4}不满足集合的互异性,故a≠-1;a=4时,集合A=2,3,4,232,集合B={2,0},符合题意.②当a+2a+7=4且|a-2|≠4时,解得a=-1,由①可得不符合题意.综上,实数a 的取值集合为{4}.故选D .9.(2020江西高一月考)定义集合运算:A ☆B={z|z=x 2-y 2,x ∈A ,y ∈B }.设集合A={1,√2},B={-1,0},则集合A ☆B 中的所有元素之和为( )A.2B.1C.3D.4A ☆B={0,1,2},所以A ☆B 中所有元素之和为0+1+2=3.10.(多选题)方程组{x +y =3,x -y =1的解集可表示为( ) A.{(x ,y )|{x +y =3,x -y =1} B.{(x ,y )|{x =2,y =1} C.(1,2)D.{(2,1)}{x +y =3,x -y =1只有一个解,解为{x =2,y =1, 所以方程组{x +y =3,x -y =1的解集中只有一个元素,且此元素是有序数对,所以A,B,D 都符合题意. 11.定义运算A-B={x|x ∈A ,且x ∉B },若A={-1,1,3,5,7,9},B={-1,5,7},则A-B= .定义运算A-B={x|x ∈A ,且x ∉B },A={-1,1,3,5,7,9},B={-1,5,7},∴A-B={1,3,9}.12.若集合A={a-3,2a-1,a 2-4}且-3∈A ,则实数a= .或1若a-3=-3,则a=0,此时A={-3,-1,-4},符合题意.(2)若2a-1=-3,则a=-1,此时A={-4,-3,-3},不满足元素的互异性.(3)若a 2-4=-3,则a=±1,当a=1时,A={-2,1,-3},符合题意;当a=-1时,由(2)知不合题意.综上可知,a=0或a=1.13.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A={-1,1,2}是否为可倒数集;(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.由于2的倒数为12不在集合A 中,故集合A 不是可倒数集.(2)若a ∈A ,则必有1a ∈A ,现已知集合A 中含有3个元素,故必有一个元素有a=1a ,即a=±1,故可以取集合A=1,2,12或-1,2,12或1,3,13. 新情境创新练14.设S={x|x=m+√2n,m,n∈Z}.(1)若a∈Z,则a是否是集合S中的元素?(2)对S中的任意两个x1,x2,则x1+x2,x1x2是否属于S?∵S={x|x=m+√2n,m,n∈Z},a∈Z,∴a=a+0×√2∈S.∴a是集合S的元素.(2)不妨设x1=m+√2n,x2=p+√2q,m,n,p,q∈Z,则x1+x2=(m+√2n)+(p+√2q)=(m+p)+√2(n+q).∵m,n,p,q∈Z.∴m+p∈Z,n+q∈Z.∴x1+x2∈S.x1·x2=(m+√2n)·(p+√2q)=(mp+2nq)+√2(mq+np),m,n,p,q∈Z.故mp+2nq∈Z,mq+np∈Z.∴x1·x2∈S.综上,x1+x2,x1·x2都属于S.。
高中数学(人教A版)必修一课后习题：任意角(课后习题)【含答案及解析】
第五章三角函数任意角和弧度制任意角课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021山西太原高一期末)475°角的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限475°=360°+115°,又因为115°是第二象限角,而475°与115°终边相同,故475°角的终边所在的象限是第二象限.故选B.2.若θ是第四象限角,则90°+θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.3.(2021广东潮州高一期末)下列角中终边与340°相同的角是()A.20°B.-20°C.620°D.-40°340°角终边相同的角的集合为{x|x=340°+k·360°,k∈Z},当k=-1时,可得x=-20°.故选B. 4.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z},终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.5.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.30°+k·360°,k∈Z-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.6.与-2 020°角终边相同的最小正角是;最大负角是.°-220°-2 020°=-6×360°+140°,140°-360°=-220°,所以最小正角为140°,最大负角为-220°. 7.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,故所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.等级考提升练8.(2021北京西城高一期末)下列各角中,与27°角终边相同的是()A.63°B.153°C.207°D.387°27°角终边相同的角的集合为{α|α=27°+k·360°,k∈Z},取k=1,可得α=387°.故与27°角终边相同的是387°.故选D.9.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置绕端点O旋转到达OC位置,得∠AOC=-150°,则射线OB旋转的方向与角度分别为()A.逆时针,270°B.顺时针,270°C.逆时针,30°D.顺时针,30°,∠AOB=120°,设∠BOC=θ,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+θ=-150°,解得θ=-270°,故需要射线OB绕端点O顺时针旋转270°.10.已知集合M={x|x=k·180°2±45°,k∈Z},P={x|x=k·180°4±90°,k∈Z},则M,P之间的关系为() A.M=P B.M⊆PC.M⊇PD.M∩P=⌀M,x=k·180°2±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z,对于集合P,x=k·180°4±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z.∴M⊆P.11.(多选题)(2020海南临高高一期末)已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A,B,C的关系是()A.B=A∩CB.B∪C=CC.B∩A=BD.A=B=CA,A∩C除了锐角,还包括其他角,比如-330°角,所以A选项错误.对B,锐角是小于90°的角,故B选项正确.对C,锐角是第一象限角,故C选项正确.对D,A,B,C中角的范围不一样,所以D选项错误.12.(多选题)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Z,则有k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z.故当k=2n,n∈Z时,n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α为第一象限角;当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈Z,α为第三象限角.故选AC.13.终边落在直线y=-√33x上的角的集合是.β|β=150°+k·180°,k∈Z}0°~360°范围内,终边落在直线y=-√33x上的角有两个,即150°角与330°角(如图),又所有与150°角终边相同的角构成的集合S1={β|β=150°+k·360°,k∈Z},所有与330°角终边相同的角构成的集合S2={β|β=330°+k·360°,k∈Z},于是,终边落在直线y=-√33x上的角的集合S=S1∪S2={β|β=150°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=330°+k·360°,k∈Z}={β|β=150°+k·180°,k∈Z}.14.若α与288°角终边相同,则在0°~360°内终边与角α4终边相同的角是 .°,162°,252°,342°,得α=288°+k ·360°(k ∈Z ),α4=72°+k ·90°(k ∈Z ).又α4在0°~360°内,所以k=0,1,2,3,相应地有α4=72°,162°,252°,342°.15.已知α=-1 910°.(1)把α写成β+k ·360°(k ∈Z ,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.设α=β+k ·360°(k ∈Z ),则β=-1 910°-k ·360°(k ∈Z ).令-1 910°-k ·360°≥0,解得k ≤-1 910360=-51136.k 的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+n ·360°(n ∈Z ),取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°. 新情境创新练16.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.,α+β=-280°+k ·360°,k ∈Z .∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°.① α-β=670°+k ·360°,k ∈Z .∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°.② 由①②,得α=15°,β=65°.。
新教材人教A版高中数学选择性必修第1册教材课后习题答案
第一章 空间向量与
立体几何
１.Ｂ 设 ＢＢ １ ＝ １ꎬ则 ＡＢ ＝ ２ ꎬＡＢ １ ＝ ＢＢ １ －
→
→ → → → →
ＢＡꎬＢＣ ＝ ＢＢ ＋Ｂ Ｃ ＝ ＢＢ ＋ＢＣꎬ
→
１
→
１
１
１
→ →
１
→ →
∴ ＡＢ １ ＢＣ １ ＝ ( ＢＢ １ －ＢＡ ) ( ＢＢ １ ＋ＢＣ )
→
→ → → → → →
→ →
ＡＢ ＋ ｜ ＡＢ ｜ ２ ＝ ５ ２ ＋２×１０＋４ ２ ＝ ６１.
→
∴ ｜ ＡＢ′ ｜ ＝
６１ ꎬ即 ＡＢ′的长为
６１ .
→ → → →
(３) ∵ ＡＣ′ ＝ ＡＢ ＋ＡＤ ＋ＡＡ′ꎬ
→
→
→
→
→
∴ ｜ ＡＣ′ ｜ ２ ＝ ｜ ＡＢ ｜ ２ ＋ ｜ ＡＤ ｜ ２ ＋ ｜ ＡＡ′ ｜ ２ ＋ ２ ＡＢ
＋
１→ → １→ １→
ＡＣ ＝ ＡＡ′＋ ＡＢ ＋ ＡＤꎬ
２
２
２
∴ ｘ＝
２
１
１
ꎬｙ ＝ .
２
２
→＋
→ → → → １ ＤＣ′
→ ＝ ＡＤ
(３) ∵ ＡＦ ＝ ＡＤ ＋ ＤＦ ＝ ＡＤ ＋
２
１ → → → １→ １ →
( ＤＣ ＋ＣＣ′) ＝ ＡＤ ＋ ＡＢ ＋ ＡＡ′ꎬ
２
２
２
１
１
∴ ｘ ＝ ꎬｙ ＝ .
→
→
→
→
→
ＡＤ ＋２ ＡＢＡＡ′＋２ ＡＤＡＡ′
＝ １６＋９＋２５＋ ２× ４× ５ ×
→
８５ꎬ∴ ｜ ＡＣ′ ｜ ＝
最新教材人教A版高中数学必修第一册课后习题答案(1)
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第五章 三角函数
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第三章 函数的概念与性质
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第四章 指数函数与对数函数
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人教版数学高中A版必修一全册课后同步练习(附答案)
（本文档资料包括高一必修一数学各章节的课后同步练习与答案解析）第一章1．1 1.1.1集合的含义与表示课后练习[A组课后达标]1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于()A．4B．3C．2 D．12．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．25．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有的元素个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个6．设a，b∈R，集合{0，ba，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________。
7．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________。
8．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________。
9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。
10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值。
[B组课后提升]1．有以下说法：①0与{0}是同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}是有限集。
其中正确说法是()A．①④B．②C．②③D．以上说法都不对2．已知集合P＝{x|x＝a|a|＋|b|b，a，b为非零常数}，则下列不正确的是()A．－1∈P B．－2∈P C．0∈P D．2∈P3．已知集合M＝{a|a∈N，且65－a∈N}，则M＝________。