直线系方程典型题

（2009•江西）设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：A、存在一个圆与所有直线相交；B、存在一个圆与所有直线不相交；C、存在一个圆与所有直线相切；D、M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是
ABC
（写出所有真命题的代号）．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：压轴题．
分析：A、B、C、用圆心到直线的距离与半径的关系说明；D、M中的边能组成两类大小不同的正三角形
解答：解：因为xcosθ+（y-2）sinθ=1所以点P（0，2）到M中每条直线的距离d＝1
cos2θ+sin2θ
＝1
即M为圆C：x2+（y-2）2=1的全体切线组成的集合，
所以存在圆心在（0，2），
半径大于1的圆与M中所有直线相交，
也存在圆心在（0，2），
小于1的圆与M中所有直线均不相交，
也存在圆心在（0，2），半径等于1的圆与M中所有直线相切，
故ABC正确，
因为M中的直线与以（0，2）为圆心，半径为1的圆相切，所以M中的直线所能围成的正三角形面积不都相等．如图△ABC与△ADE均为等边三角形而面积不等．
故D错误，
（2009•江西）设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是
BC
（写出所有真命题的代号）．
考点：命题的真假判断与应用；过两条直线交点的直线系方程．
专题：证明题；压轴题；探究型；转化思想．
分析：验证发现，直线系M：xcosθ+（y-2）si nθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y-2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点，验证直线方程是否能化为为l1+λl2形式，
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等，由直线系的几何意义可判断
解答：解：验证发现，直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y-2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点，由于本题中的直线不能转化为l1+λl2形式，故不可能过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，故C正确；
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等，由直线系的几何意义知，这些线所围成的正三角形都有一个共同的内切圆x2+（y-2）2=1，所以面积大小一定相等，故本命题正确．。