福建省厦门双十中学2020届高三数学5月热身卷理新人教A版

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2020年5月福建省厦门市普通高中2020届高三毕业班质量检查数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前福建省厦门市普通高中2020届高三毕业班下学期教学质量检查数学(理)试题(解析版)2020年5月注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填在答题卡和试卷的指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z i +=，则复平面内与z 对应的点在（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用得数的除法运算化简复数z ，再利用复数的几何意义，即可得答案；【详解】(1)2i z i +=，∴22(1)112i i i z i i -===++， ∴复平面内与z 对应的点在第一象限，故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.2. 已知集合{|12}A x x =<<，集合{|B x y =，若A B A =，则m 的取值范围是（）．A. (0,1]B. (1,4]C. [1,)+∞D. [4,)+∞ 【答案】D【解析】【分析】根据A B A =可得A B ⊆，从而得到关于m 的不等式，解不等式即可得答案；【详解】A B A A B ⋂=⇒⊆，{|12}A x x =<<，∴B ≠∅,∴0m ≥,∴{|{|B x y x x ===≤≤，∴1,2,⎧-⎪≥，解得：4m ≥，故选：D.【点睛】本题考查集合间的基本关系求参数取值范围，考查运算求解能力，求解时注意借助数轴进行分析求解.3. 已知双曲线C经过点，其渐近线方程为y =，则C 的标准方程为（）． A. 2213x y -= B. 2213y x -= C. 2213x y -= D.2213y x -= 【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程可设其方程为22(0)3y x λλ-=≠，再根据双曲线过点，可求出λ的值，即可得到答案；【详解】双曲线的渐近线方程为y =，。

厦门双十中学2020届高三下5月阶段性训练试卷及答案(1)

11.答案 D 解析因为点 P 在以线段 F1A 为直径的圆上，
所以 AP⊥PF1，又因为 F2B∥AP，所以 F2B⊥BF1，
又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B 是等腰直角三角形，
因为|OB|＝b，|OF2|＝c，所以
b＝c，|F2B|2＝c2＋b2＝a2＝2c2，所以该椭圆的离心率
则 2Tn 1 22 2 23 n 2n1
于是 Tn 1 21 1 22 1 2n n 2n1 1 n 2n1 2 ………………………10 分
即Tn n 1 2n1 2
故Tn n 1 2n1 2 .……………………………………………………12 分
18.解： (1)第二种生产方式的效率更高.理由如下：………………2 分 ①由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第
B. 2 3
C. 3 2
D. 2 2
12. 函数 f (x) x(ex 1) ln x k 在 (0, ) 上有唯一零点 x0 ，下列四个结论：
①k 1
② k 1 ③ x0ex0 1
④
1 e
x0
1 2
其中所有正确结论的编号是
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题（每小题 5 分，其中 16 题第一个空 2 分，第二个空 3 分）
A. x 1 x 4
B. x 0 x 1
C. x 0 x 4
D.
2．已知
i
是虚数单位，且
z
1
i
i
，则
z
的共轭复数
z
在复平面内对应的点在

高考专题福建省厦门市高三5月适应性考试数学(理)试题(解析版).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}i A ,1-=，i 为虚数单位，则下列选项正确的是（） A ．A i ∈1 B ．A ii∈+-11 C ．A i ∈5 D ．A i ∈-2.“d c b a >>,”是“a c b d +>+”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件3.已知{2,3}a ∈，{1,2,3}b ∈，执行右边程序框图，则输出的结果共有（）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种4.已知服从正态分布2(,)N μσ的随机变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+和(3,3)μσμσ-+ 内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布2(90,15)N ，则此次成绩在（60，120）范围内的学生大约有（）A ．997人B ．972人C ．954人D ．683人5.设()f x 是周期为4的奇函数，当02x ≤≤时，()(2)f x x x =-，则(5)f -等于（） A. 1 B.1- C.3 D.3- 【答案】B 【解析】6.甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是（） A ．16 B ．12 C ．8 D ．67.数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n ∏，且(1)(2)n n n +∏=，则5S 等于（） A ．31B ．62C ．124D ．1268.在ABC ∆中， AD 是BC 边上的高，给出下列结论：①0)(=-⋅AC AB AD ； ②AD AC AB 2≥+； ③B AB ADAD AC sin =⋅；其中结论正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．39.如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．．的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1 C ．1APD ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+10.已知圆221:(2)16O x y -+=和圆2222:(02)O x y r r +=<<，动圆M 与圆1O ,圆2O 都相切，动圆的圆心M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为1e ，2e （12e e >），则122e e +的最小值是（） A.3224+ B.32C.2D.38 【答案】A第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.把函数sin 2y x 的图象向右平移3个单位后，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为．12.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这 20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A ；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ．则P （A|B ）的值是．13.已知函数2 21,0,(),0.x x x x f x e x ⎧-++>=⎨≤⎩则满足()1f x ≤的实数x 的取值范围是 .14.设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥02,2,0y ax y x 表示区域为D ，且圆422=+y x 在D 内的弧长为2π，则实数a 的值等于．15.A 、B 两地相距1千米，B 、C 两地相距3千米，甲从A 地出发，经过B 前往C 地，乙同时从B 地出发，前往C 地．甲、乙的速度关于时间的关系式分别为14()1v t t =+和2()v t t =（单位：千米/小时）．甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述：①出发后1小时，甲还没追上乙 ② 出发后1小时，甲乙相距最远 ③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C 地 ④甲追上乙后，先到达C 地其中正确的是．（请填上所有描述正确的序号）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分13分）已知函数()4sin()cos 16f x x x π=-+.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若,,A B C 是ABC ∆的三个内角，且()1f A =，4B π=，又2AC =，求BC 边的长．223sin cos 21x x cos x =-+ 3sin 2cos 2x x =- -------------------3分17.（本小题满分13分）如图1，直角梯形ABCD 中，090,//=∠BAD CD AB ，2==AD AB ，4=CD ，点E 为线段AB 上异于B A ,的点，且AD EF //，沿EF 将面EBCF 折起，使平面⊥EBCF 平面AEFD ，如图2. （Ⅰ）求证：//AB 平面DFC ；（Ⅱ）当三棱锥ABE F -体积最大时，求平面ABC 与平面AEFD 所成的锐二面角的余弦值.∵)3,0,0(),1,0,2(),0,1,2(C B A ， ∴)3,1,2(),2,0,2(-=-=CA CB ， ---------10分18.（本小题满分13分）已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=经过椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点F 和上顶点B ．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点，求OM OQ ⋅的最大值.的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将OM OQ ∙进行转化，变成OC OQ ∙，再利用配方法求最值.=0000(1,1)(,)x y x y ⋅=+ . -----------------7分19.（本小题满分13分）自驾游从A 地到B 地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B ，乙线路是A-E-F-G-H-B ，其中CD 段，EF 段，GH 段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．经调查发现，堵车概率x 在2(,1)3上变化，y 在1(0,)2上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD 段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．（Ⅰ）求CD 段平均堵车时间a 的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．堵车时间（单位：小时）频数[0,1] 8 (1, 2] 6 (2, 3] 38 (3, 4] 24 (4, 5]24CD 段EF 段GH 段堵车概率 x y41 平均堵车时间 (单位：小时) a21（表2）20.（本小题满分14分）已知函数cos ()(0)xf x x x =>，()sin (0)g x x ax x =->. （Ⅰ）函数cos ()(0)xf x x x=>的零点从小到大排列，记为数列{}n x ，求{}n x 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若()()f x g x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设点P 是函数()x ϕ与()x ω图象的交点，若直线l 同时与函数()x ϕ，()x ω的图象相切于P 点，且函数()x ϕ，()x ω的图象位于直线l 的两侧，则称直线l 为函数()x ϕ，()x ω的分切线.探究：是否存在实数a ，使得函数()f x 与()g x 存在分切线？若存在，求出实数a 的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．35(,)()22k k k Z ππππ+++∈单调递增，②∵2()(1)sin10g x x xπ--+=-≤在(0,)+∞上恒成立，21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知在矩阵M对应的变换作用下，点A(1,0)变为A′(1,0)，点B(1,1)变为B′(2,1)．（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）求2M ，3M ，并猜测n M （只写结果，不必证明）．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3sin 32πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为1cos ,sin x αy α=+⎧⎨=⎩（α为参数，0απ≤≤）．（Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知,,a b c R +∈，且3a b c ++=，222a b c ++的最小值为M ．（Ⅰ）求M 的值；（Ⅱ）解关于x 的不等式|4||1|x x M +--≥.试题解析：（Ⅰ）根据柯西不等式，有：()()()22222221119a b ca b c ++++≥++=，------1分。

厦门双十中学2020届高三上学期开学考数学理科试卷附答案解析

（Ⅰ）求证：直线 ER 与 GR 的交点 P 总在椭圆： x2 y2 1上； 3
第 4 页共 22 页
（Ⅱ）若
M
、
N
为曲线
上两点，且直线 GM
与直线 GN
的斜率之积为
2 3
，求证：直线
MN
过定
点.
22.己知函数 f x ln 1 ex x .
（Ⅰ）判断 f x 零点的个数，并证明结论；（Ⅱ）已知 ABC 的三个顶点 A 、 B 、 C 都在函数 y f x 的图象上.且横坐标依次成等差数列，
厦门双十中学 2020 届高三上学期开学考
数学理科试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 A x | 2x 1 ， B x | y x 2 ，则 A B （）
A. 2, 0
B. 2,0
C. 0,
（）
第 2 页共 22 页
A. 1
B. 5
C. 6
D. 7
12.已知函数 f x a ex （ a R 且 x 0 ），若存在实数 p ，q（ p q ），使得 f x 0 的解集
x
恰好为 p, q ，则 a 的取值范围是（）
A.

0,
1 e
2

0
， c

a

b
，
故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦函数单调性判断大小，属于基础题。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}满足 a1＝1，an－an－1＋2anan－1＝0(n∈N*，n>1)．

2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(理科)(5月份) (解析版)

2020年厦门市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．复数z满足（1+i）z＝2i，则z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|1＜x＜2}，集合B={x|y=√m−x2}，若A∩B＝A，则m的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，4]C．[1，+∞）D．[4，+∞）3．已知双曲线C经过点(√2，3)，其渐近线方程为y=±√3x，则C的标准方程为（）A．x23−y2=1B．x2−y23=1C．y2−x23=1D．y23−x2=14．设a∈R，“cos2α＝0”是“sinα＝cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q．科学研究发现v与log3Q100成正比．当v＝1m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为890．则当v＝2m/s时，其耗氧量的单位数为（）A．2670B．7120C．7921D．80106．某三棱锥的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）A．9πB．27πC．81πD．108π7．在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）．甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有（）A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种8．若a ＝log 23，b ＝lg 5，c ＝log 189，则（） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a9．已知S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和，S 10＝20，则S 30﹣2S 20+S 10的最小值为（） A ．10B ．5C ．﹣5D ．﹣1010．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则直线AF 的斜率为（） A ．√33B ．√22C ．√2D ．√311．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B ＝∠F ＝90°，∠A ＝60°，∠D ＝45°，BC ＝DE ．现将两块三角板拼接在一起，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列直线与平面OFM 所成的角不为定值的是（）A ．ACB ．AFC ．BFD ．CF12．函数f （x ）＝a （x +2）e x ﹣x ﹣1（a ＜1），若存在唯一整数x 0使得f （x 0）＜0，则a 的取值范围是（） A ．(23e，1) B ．[23e ，12) C ．(−23e，1) D ．[−23e ，12) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝2bc 且sin A ＝2sin C ，则cos C ＝． 14．排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M 国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为23，M 国女排获胜的概率为13，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为．15．已知m →，n →是两个非零向量，且|m →|=2，|m →+2n →|=4，则|m →+n →|+|n →|的最大值为．16．用M I 表示函数y ＝sin x 在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，则M [0，a ]＝；a 的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+kn +k （k ∈R ）．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =1Sn+1−1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜34． 18．直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1被平面A 1ECD 所截得到如图所示的五面体，CD ⊥CE ，CD ⊥AD ．（1）求证：BC ∥平面A 1AD ；（2）若BC ＝CD ＝BE =13AD ＝1，求二面角B ﹣A 1E ﹣C 的余弦值．19．一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分（即获得﹣10分）．（1）设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X ，求X 的分布列；（2）玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象． 20．已知椭圆E ：x 28+y 24=1，过左焦点F 且斜率大于0的直线l 交E 于A 、B 两点，AB的中点为G ，AB 的垂直平分线交x 轴于点D ．（1）若点G 的纵坐标为23，求直线GD 的方程；（2）若tan ∠DAB =12，求△ABD 的面积． 21．已知函数f （x ）＝lnx +12x 2−2ax ，其中a ∈R ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2（其中x 2＞x 1），且f （x 2）﹣f （x 1）的取值范围为(2ln2−158，ln2−34)，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程{x =√3+tcosαy =1+tsinα（t 为参数，α∈[0，π）），曲线C 的参数方程{x =2√3cosβy =2sinβ（β为参数）．（1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为（2，π6）时，求α．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |（x ﹣2）+|x ﹣2|（x ﹣a ）．（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）＜0的解集；（Ⅱ）若x ∈（0，2）时f （x ）≥0，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足（1+i ）z ＝2i ，则z 在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则计算复数z ，求得它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论．解：∵复数z 满足（1+i ）z ＝2i ，∴z =2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ，它在复平面内对应点的坐标为（1，1），故选：A ．2．已知集合A ＝{x |1＜x ＜2}，集合B ={x|y =√m −x 2}，若A ∩B ＝A ，则m 的取值范围是（） A ．（0，1]B ．（1，4]C ．[1，+∞）D ．[4，+∞）【分析】根据A ∩B ＝A 得出A ⊆B ，从而得出B ={x|−√m ≤x ≤√m}，进而得出√m ≥2，解出m 的范围即可．解：∵A ∩B ＝A ， ∴A ⊆B ，∴B ={x|−√m ≤x ≤√m}， ∴√m ≥2，解得m ≥4， ∴m 的取值范围是[4，+∞）．故选：D ．3．已知双曲线C 经过点(√2，3)，其渐近线方程为y =±√3x ，则C 的标准方程为（） A ．x 23−y 2=1B ．x 2−y 23=1C ．y 2−x 23=1D ．y 23−x 2=1【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为y 23−x 2＝λ（λ≠0），将点（√2，3）代入双曲线方程，解得λ的值，即可得答案．解：根据题意，双曲线的渐近线方程为y =±√3x ，则可以设其方程为y 23−x 2＝λ，（λ≠0）又双曲线C 经过点(√2，3)，则有323−（√2）2＝λ，解可得：λ＝1，则双曲线的标准方程为：y 23−x 2＝1；故选：D ．4．设a ∈R ，“cos2α＝0”是“sin α＝cos α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】由cos2α＝cos 2α﹣sin 2α，即可判断出．解：由cos2α＝cos 2α﹣sin 2α＝（cos α﹣sin α）（cos α+sin α）＝0，即cos α﹣sin α＝0或cos α+sin α＝0，即cos α＝sin α或cos α＝﹣sin α， ∴“cos2α＝0”是“sin α＝cos α”的必要不充分条件，故选：B ．5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v （单位：m /s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与log 3Q100成正比．当v ＝1m /s 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为890．则当v ＝2m /s 时，其耗氧量的单位数为（） A ．2670B ．7120C ．7921D ．8010【分析】由题意可设v ＝k log 3Q100，当v ＝1时，Q ＝890，求得k ，再由v ＝2，结合对数的换底公式和对数的定义，计算可得所求值．解：v 与log 3Q100成正比，比例系数设为k ，可得v ＝k log 3Q 100，当v ＝1时，Q ＝890，即有1＝k log 38.9，即k ＝log 8.93，则当v ＝2时，2＝k log 3Q 100，即2＝log 8.93•log 3Q100=log 8.9Q100，则Q 100=8.92，可得Q ＝7921，故选：C．6．某三棱锥的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）A．9πB．27πC．81πD．108π【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出外接球的半径，最后求出球体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A﹣BCD，如图所示：设外接球的半径为r，则：（2r）2＝32+32+32，所以r2=274．故：S=4π×274=27π．故选：B．7．在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）．甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【分析】根据题意，分析可得则甲不能为第五名，据此按甲的名次分2种情况讨论，若甲是第一名和若甲不是第一名，求出每种情况下的可能数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好，则甲不能为第五名，据此分2种情况讨论：若甲是第一名，则第五名可以为乙和丙，有2种情况，剩下三人有A33＝6种情况，此时有2×6＝12种可能情况；若甲不是第一名，则甲有3种情况，同时第五名必须为丙，第一名为乙，剩下2人有A22＝2种情况，此时有3×2＝6种可能情况；则一共有12+6＝18种可能情况，故选：A．8．若a＝log23，b＝lg5，c＝log189，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a【分析】由对数函数单调性可知a＞1，0＜b＜1，0＜c＜1，然后结合对数的运算性质先比较1b ，1c的大小即可判断．解：因为a＝log23＞1，因为1b =log510＝1+log52，1c=1+log92，故1b ＞1c＞1，所以0＜b＜c＜1＜a．故选：C．9．已知S n是正项等比数列{a n}的前n项和，S10＝20，则S30﹣2S20+S10的最小值为（）A．10B．5C．﹣5D．﹣10【分析】由已知结合数列的和与项的关系进行化简，然后结合二次函数的性质可求．解：由S n是正项等比数列{a n}的前n项和可知q＞0，a1＞0，因为S10＝20，则S30﹣2S20+S10＝S30﹣S20+S20﹣S10＝（a21+a22+…+a30）﹣（a11+a12+…+a20），=S10⋅q20−S10⋅q10=20（q20﹣q10），结合二次函数的性质可知，当q10=12时，上式取得最小值﹣5．故选：C．10．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则直线AF的斜率为（）A．√33B．√22C．√2D．√3【分析】由题意画出图形，由已知可得三角形ADB为直角三角形，再由抛物线定义结合圆的性质求得∠ABD，从而求得AF的倾斜角，斜率可求．解：∵A，F，B三点共线，∴AB为圆F的直径，则AD⊥BD．由抛物线定义知|AD|＝|AF|=12|AB|，在Rt△ADB中，可得∠ABD＝30°．则∠DAB＝∠AFx＝60°，∴直线AF的斜率k＝tan60°=√3．故选：D．11．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，BC＝DE．现将两块三角板拼接在一起，取BC中点O与AC中点M，则下列直线与平面OFM所成的角不为定值的是（）A．AC B．AF C．BF D．CF【分析】由题意证明BC⊥平面MOF，可得BF，CF，AC与平面OFM所成的角，由已知可得都为定值，由此得到答案．解：∵O，M分别为BC，AC的中点，∴OM∥AB，则OM⊥BC，又CF＝BF，∴OF⊥BC，而OM∩OF＝O，∴BC⊥平面MOF，∴BF，CF与平面MOF所成的角分别为∠BFO和∠CFO，相等为45°，根据直线与平面所成角的定义可知，AC与平面MOF所成的角为∠CMO＝∠A＝60°，故只有AF与平面FOM所成的角不为定值．故选：B．12．函数f（x）＝a（x+2）e x﹣x﹣1（a＜1），若存在唯一整数x0使得f（x0）＜0，则a 的取值范围是（）A．(23e，1)B．[23e，12)C．(−23e，1)D．[−23e，12)【分析】通过半分离法，将问题转化为函数g(x)=x+1e x与直线y＝a（x+2）图象之间的关系，再通过数形结合求解即可．解：由f（x）＝a（x+2）e x﹣x﹣1＜0，可得a(x+2)＜x+1e x，令g(x)=x+1e x，g′(x)=e x−(x+1)e x(e x)2=−x e x，易知函数g（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，且g（0）＝1，作出函数g（x）的图象如图所示：∵y＝a（x+2）恒过定点A（﹣2，0），且C(0，1)，B(1，2e )，∴k AC=12，k AB=23e，∵存在唯一整数x0使得f（x0）＜0，∴当23e ≤a＜12时，存在唯一的整数x0＝1使得命题成立．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝2bc 且sin A ＝2sin C ，则cos C ＝78．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：a ＝2c ，根据已知可求得b ＝2c ，进而根据余弦定理可求cos C 的值．解：∵sin A ＝2sin C ， ∴由正弦定理可得：a ＝2c ，又∵a 2＝2bc ， ∴解得b ＝2c ，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =4c 2+4c 2−c 22×2c×2c =78．故答案为：78．14．排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M 国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为23，M 国女排获胜的概率为13，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为1627．【分析】中国女排在先输一局的情况下最终获胜包含两种结果：①中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局连胜三局；②中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局两胜一负，第五局中国女排胜，由此能求出中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率．解：排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M 国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为23，M 国女排获胜的概率为13，中国女排在先输一局的情况下最终获胜包含两种结果： ①中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局连胜三局；②中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局两胜一负，第五局中国女排胜，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为：P ＝（23）3+C 32(23)2(13)(23)=1627．故答案为：1627．15．已知m →，n →是两个非零向量，且|m →|=2，|m →+2n →|=4，则|m →+n →|+|n →|的最大值为 2√5 ．【分析】由平面向量的数量积得：因为|m →+2n →|=4，所以m →2+4m →⋅n →+4n →2＝16，又|m →|＝2，所以m →⋅n →+n →2＝3，由重要不等式得：令|n →|＝t ，t ＞0则|m →+n →|+|n →|=√m →2+2m →⋅n →+n →2+|n →|=√10−t 2+t ≤2√(√10−t 2)2+t 22=2√5，当且仅当√10−t 2=t 即t =√5时取等号，得解．解：因为|m →+2n →|=4，所以m →2+4m →⋅n →+4n →2＝16，又|m →|＝2，所以m →⋅n →+n →2＝3，令|n →|＝t ，t ＞0则|m →+n →|+|n →|=√m →2+2m →⋅n →+n →2+|n →|=√10−t 2+t ≤2√(√10−t 2)2+t22=2√5，当且仅当√10−t 2=t 即t =√5时取等号，故答案为：2√5．16．用M I 表示函数y ＝sin x 在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，则M [0，a ]＝1 ；a 的取值范围为 [5π6，13π12] ．【分析】通过数形结合，分类讨论结合正弦性质找出解题思路．解：如图是函数y ＝sin x ，x ∈[0，3π]的图象，若0＜a ＜π2，y ＝sin x 在[0，a ]上单调递增，所以，M [0，a ]＝sin a ，此时，M [a ，2a ]＞sin a ＝M [0，a ]，这与已知M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，矛盾．所以，a ≥π2，所以M [0，a ]＝1，故正确答案是：1．显然2a ≥5π2时，M [a ，2a ]＝1，这与已知M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，矛盾．所以，2a ＜5π2即a ＜5π4，所以π2≤a ＜5π4．又已知，M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，即12≥M [a ，2a ]，因为当π2≤a ＜5π4时，π≤2a ＜5π2，M [a ，2a ]＝sin a 或sin2a ，所以，{sina ≤12sin2a ≤12⇔{5π6≤a ＜5π4π≤2a ≤13π6⇔5π6≤a ≤13π12 故正确答案为：1，[5π6，13π12]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+kn +k （k ∈R ）．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =1Sn+1−1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜34．【分析】（1）解法一：求出首项，通过当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，求解通项公式．解法二：求出首项，第二项，结合{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等差数列，推出k ＝0，S n =n 2；验证a n ﹣a n ﹣1＝（2n ﹣1）﹣（2（n ﹣1）﹣1）＝2为常数，然后求解即可．（2）由（1）知，S n =n 2，化简b n =1Sn+1−1，利用裂项相消法求解即可．解：（1）解法一：∵S n =n 2+kn +k(k ∈R) ∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝1+2k ，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2+kn +k)−((n −1)2+k(n −1)+k)=2n +k −1， ∵{a n }为等差数列，且n ≥2时，a n ﹣a n ﹣1＝（2n +k ﹣1）﹣（2（n ﹣1）+k ﹣1）＝2， ∴a 2﹣a 1＝（2+k ﹣1）﹣（1+2k ）＝2， ∴k ＝0，即a n ＝2n ﹣1，（n ∈N +）．解法二：∵S n =n 2+kn +k(k ∈R)∴a 1＝S 1＝1+2k ，a 2=S 2−S 1=(22+2k +k)−(1+2k)=3+k ，a 3=S 3−S 2=(32+3k +k)−(22+2k +k)=5+k ∵{a n }为等差数列， ∴a 1，a 2，a 3成等差数列， ∴a 2﹣a 1＝a 3﹣a 2，即（5+k）﹣（3+k）＝（3+k）﹣（1+2k），∴k＝0，S n=n2；∴n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1，∴n≥2时，a n﹣a n﹣1＝（2n﹣1）﹣（2（n﹣1）﹣1）＝2为常数，∴等差数列{a n}的首项为1，公差为2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，（n∈N+）；（2）证明：由（1）知，S n=n2，故b n=1(n+1)2−1=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴T n＝b1+b2+b3+…+b n=12[(11−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1n+2)]=34−12(1n+1+1n+2)，∵n∈N*，∴T n=34−12(1n+1+1n+2)＜34．18．直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1被平面A1ECD所截得到如图所示的五面体，CD⊥CE，CD ⊥AD．（1）求证：BC∥平面A1AD；（2）若BC＝CD＝BE=13AD＝1，求二面角B﹣A1E﹣C的余弦值．【分析】法一：（1）推导出BE⊥CD，CD⊥CE，从而CD⊥平面BCE，同理可证CD ⊥平面A1AD，平面BCE∥平面A1AD，由此能证明BC∥平面A1AD，（2）推导出AD∥CE，AD和CE与平面ABCD所成角相等，即∠A1AD＝∠ECB，以D 为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D垂直于ABCD的直线为z轴，利用向量法能求出二面角B﹣A1E﹣C的余弦值．法二：（1）推导出BE⊥CD，CD⊥CE，从而CD⊥平面BCE，CD⊥BC，CD⊥AD，BC∥AD，由此能证明BC∥平面A1AD．（2）推导出AD ∥CE ，AD 和CE 与平面ABCD 所成角相等，即∠A 1AD ＝∠ECB ，取A 1D 的中点为M ，连接AM ，则AM ⊥A 1D ，AM ⊥平面A 1EC ，过点M 作A 1E 的垂线，垂足为N ，连接MN ，由题意得MN ⊥A 1E ，∠ANM 为二面角B ﹣A 1E ﹣C 的平面角，由此能求出二面角B ﹣A 1E ﹣C 的余弦值．【解答】解法一：（1）证明：在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BE ⊥平面ABCD ， ∵CD ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥CD （1分） ∵CD ⊥CE ，BE ∩CE ＝E ，∴CD ⊥平面BCE 同理可证CD ⊥平面A 1AD ， ∴平面BCE ∥平面A 1AD ，∵BC ⊂平面BCE ，∴BC ∥平面A 1AD（2）解：∵平面BCE ∥平面A 1AD ，平面A 1ECD ∩平面BCE ＝CE ，平面A 1ECD ∩平面A 1AD ＝AD ， ∴AD ∥CE ，∴AD 和CE 与平面ABCD 所成角相等，即∠A 1AD ＝∠ECB ； ∵BC ＝BE ，∴∠ECB ＝45°，∴AA 1＝AD ＝3，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 垂直于ABCD 的直线为z 轴，如图建系，C （0，1，0），B （1，1，0），E （1，1，1），A 1（3，0，3）， ∴CE →=(1，0，1)，EA 1→=(2，−1，2)，BE →=(0，0，1)，设u →=(x 1，y 1，z 1)为平面A 1EC 的一个法向量，则{μ→⋅CE →=x 1+z 1=0μ→⋅EA 1→=2x 1−y 1+2z 1=0，令x 1＝1，则u →=(1，0，−1)，设v →=(x 2，y 2，z 2)为平面A 1EB 的一个法向量，则{v →⋅BE →=z 2=0v →⋅EA 1→=2x 2−y 2+2z 2=0，令x 2＝1，则v →=(1，2，0)，则cos〈u →，v〉=u →⋅v →|u →||v →|=1√2×√5=√1010，由图知，二面角B ﹣A 1E ﹣C 为锐角，则二面角B ﹣A 1E ﹣C 的余弦值为√1010．解法二：（1）证明：∵直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，则BE ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴BE⊥CD，∵CD⊥CE，BE∩CE＝E，∴CD⊥平面BCE，∴CD⊥BC，∵CD⊥AD，且BC，AD同面，∴BC∥AD，∵AD⊂平面A1AD，BC⊄平面A1AD，∴BC∥平面A1AD．（2）解：∵平面BCE∥平面A1AD，平面A1ECD∩平面BCE＝CE，平面A1ECD∩平面A1AD＝AD，∴AD∥CE，∴AD和CE与平面ABCD所成角相等，即∠A1AD＝∠ECB，∵BC＝BE，∴∠ECB＝45°，∴A1A＝AD＝3，取A1D的中点为M，连接AM，则AM⊥A1D，∵CD⊥平面A1AD，A1M⊂平面A1AD，CD⊥AM，∵CD∩A1D＝D，∴AM⊥平面A1EC，过点M作A1E的垂线，垂足为N，连接MN，由题意得MN⊥A1E，∠ANM为二面角B﹣A1E﹣C的平面角，∵AM=32√2，MN=√22，则tan∠ANM=MNAM=3，所以二面角B﹣A1E﹣C的余弦值为√1010．19．一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分（即获得﹣10分）．（1）设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X，求X的分布列；（2）玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．【分析】（1）每次游戏，出现“两个都是红球”的概率为p=C22C52=110．X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）设每轮游戏的得分为Y．则Y的取值为﹣10，20，200，求出Y的分布列和数学期望，从而得到获得分数Y的期望为负，多次游戏之后大多数人的分数减少了．解：（1）每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，∴每次游戏，出现“两个都是红球”的概率为p=C22C52=110．X可能的取值为0，1，2，3，P(X=0)=C30(1−110)3=7291000，P(X=1)=C31⋅110⋅(1−110)2=2431000，P(X=2)=C32(110)2⋅(1−110)=271000，P(X=3)=C33(110)3=11000．所以X的分布列为：X0123P7291000243100027100011000（2）摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分（即获得﹣10分）．设每轮游戏得分为Y．则Y的取值为﹣10，20，200，由（1）知，Y的分布列为：Y﹣1020200P7291000270100011000Y的数学期望为EY=−10×7291000+20×2701000+200×11000=−1.69．这表明，获得分数Y 的期望为负．因此，多次游戏之后大多数人的分数减少了． 20．已知椭圆E ：x 28+y 24=1，过左焦点F 且斜率大于0的直线l 交E 于A 、B 两点，AB的中点为G ，AB 的垂直平分线交x 轴于点D ．（1）若点G 的纵坐标为23，求直线GD 的方程；（2）若tan ∠DAB =12，求△ABD 的面积．【分析】（1）由椭圆的方程可得左焦点F 的坐标，设直线l 方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出弦AB 的中点，由AB 的中点G 的纵坐标可得参数的值，进而求出弦AB 的中垂线的方程；（2）由（1）的过程可得中点G 的坐标，及中垂线GD 与x 轴的交点D 的坐标，进而求出|DG |及弦长|AB |的值，由tan ∠DAB =|DG|12|AB|=12可得参数的值，进而求出|AB |，|DG |的值，进而求出三角形的面积．解：（1）由椭圆的方程可得左焦点F （﹣2，0），由题意设直线l 的方程：x ＝my ﹣2，且m ＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l 与椭圆联立{x =my −2x 2+2y 2−8=0，整理可得：（2+m 2）y 2﹣4my ﹣4＝0，所以y 1+y 2=4m 2+m 2，y 1y 2=−42+m 2， x 1+x 2＝m （y 1+y 2）﹣4=4m 22+m 2−4=−82+m2，所以AB 的中点G 的纵坐标y 1+y 22=2m 2+m，由题意可得2m2+m =23，m ＞0，解得：m＝1或m ＝2，当m ＝1时，AB 的中点G 坐标（−43，23），所以AB 的中垂线方程为：y ＝﹣（x +43）+23，即y ＝﹣x −23，当m ＝2时，AB 的中点G 坐标（−23，23），所以AB 的中垂线方程为：y ＝﹣2（x +23）+23，即y ＝﹣2x −23；（2）由（1）可得：弦长|AB |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2•√16m 2(2+m 2)2−4⋅−42+m 2=4√2•1+m 22+m 2， AB 的中点G 的坐标为：（−42+m2，2m2+m 2），所以AB 的中垂线的方程为：y ＝﹣m （x +42+m 2）+2m 2+m 2，令y ＝0，可得x =−22+m 2，即D （−22+m ，0），所以D 到直线AB 的距离d ＝|DG |=√(22+m 2)2+(2m 2+m 2)2=2√1+m 22+m2，tan ∠DAB =|DG|12|AB|=2√1+m 22+m 222(1+m 2)2+m 2=1√2⋅√1+m ，由题意可得√2⋅√1+m 2=12，m ＞0，解得：m ＝1，所以|AB |＝4√2⋅1+12+1=8√23，|DG |=2√1+12+1=2√23，所以S △ABD =12|AB |•|DG |=12⋅8√23⋅2√23=16921．已知函数f （x ）＝lnx +12x 2−2ax ，其中a ∈一、选择题．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2（其中x 2＞x 1），且f （x 2）﹣f （x 1）的取值范围为(2ln2−158，ln2−34)，求a 的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解；（2）结合函数极值与导数零点关系进行转化后，结合题目特点进行合理的构造，然后结合导数与单调性关系即可求解．解：（1）f′(x)=1x +x −2a =x 2−2ax+1x(x ＞0)．令g （x ）＝x 2﹣2ax +1，则△＝4a 2﹣4．①当a ≤0或△≤0，即a ≤1时，f '（x ）≥0恒成立，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增．②当{a ＞0△＞0，即a ＞1时，由f '（x ）＞0，得0＜x ＜a −√a 2−1或x ＞a +√a 2−1；由f '（x ）＜0，得a −√a 2−1＜x ＜a +√a 2−1，∴f （x ）在(0，a −√a 2−1)和(a +√a 2−1，+∞)上单调递增，在(a −√a 2−1，a +√a 2−1)上单调递减．综上所述，当a ≤1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＞1时，f （x ）在(0，a −√a 2−1)和(a +√a 2−1，+∞)上单调递增，在(a −√a 2−1，a +√a 2−1)上单调递减．（2）由（1）得，当a ＞1时，f （x ）有两极值点x 1，x 2（其中x 2＞x 1）．由（1）得x 1，x 2为g （x ）＝x 2﹣2ax +1＝0的两根，所以x 1+x 2＝2a ，x 1x 2＝1．所以f(x 2)−f(x 1)=ln x 2x 1+12(x 22−x 12)−2a(x 2−x 1)=ln x 2x 1−x 22−x 122=ln x 2x 1−x 22−x 122x 1x 2=ln x 2x 1−x 22x 1+x 12x 2．令t =x 2x 1(t ＞1)，则f(x 2)−f(x 1)=h(t)=lnt −12t +12t，因为h′(t)=1t −12−12t 2=−t 2+2t−12t 2=−(t−1)22t2＜0，所以h （t ）在（1，+∞）上单调递减，而h(2)=ln2−34，h(4)=2ln2−158，所以2≤t ≤4，又4a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t+2(t ∈[2，4])，易知φ(x)=t +1t +2在[2，4]上单调递增，所以92≤4a 2≤254，所以实数a 的取值范围为[3√24，54]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程{x =√3+tcosαy =1+tsinα（t 为参数，α∈[0，π）），曲线C 的参数方程{x =2√3cosβy =2sinβ（β为参数）．（1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为（2，π6）时，求α．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和直线与椭圆位置关系的应用，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和中点坐标公式的应用求出结果解：（1）直线l 的参数方程{x =√3+tcosαy =1+tsinα（t 为参数，α∈[0，π）），转换为直角坐标方程为：当α=π2时，x =√3，当α≠π2时，y −1=tanα(x −√3)．曲线C 的参数方程{x =2√3cosβy =2sinβ（β为参数），转换为直角坐标方程为x 212+y 24=1．（2）把直线的参数方程{x =√3+tcosαy =1+tsinα代入x 212+y 24=1得到：(√3+tcosα)212+(1+tsinα)24=1，整理得：(3sin 2α+cos 2α)t 2+(2√3cosα+6sinα)t −9=0，所以t 1+t 2=−2√3cosα+6sinα3sin 2α+cos α，曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为（2，π6）时故t 1+t 2=−2√3cosα+6sinα3sin 2α+cos 2α=0，所以tanα=−√33，则α=5π6． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |（x ﹣2）+|x ﹣2|（x ﹣a ）．（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）＜0的解集；（Ⅱ）若x ∈（0，2）时f （x ）≥0，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）将a ＝2代入，分类讨论解不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质进一步可得|x ﹣a |≤x ﹣a ，由此得解．解：（I ）当a ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|（x ﹣2）+|x ﹣2|（x ﹣2），由f （x ）＜0得|x ﹣2|（x ﹣2）+|x ﹣2|（x ﹣2）＜0．①当x ≥2时，原不等式可化为：2（x ﹣2）2＜0，解之得：x∈∅．②当x＜2时，原不等式可化为：﹣2（x﹣2）2＜0，解之得x∈R且x≠2，∴x＜2．因此f（x）＜0的解集为：{x|x＜2}．（II）当x∈（0，2）时，f（x）＝|x﹣a|（x﹣2）+|x﹣2|（x﹣a）＝（x﹣2）[|x﹣a|﹣（x ﹣a）]．由f（x）≥0得（x﹣2）[|x﹣a|﹣（x﹣a）]≥0，∴|x﹣a|≤x﹣a，∴x﹣a≥0，∴a≤x，x∈（0，2），∴a≤0，∴a的取值范围为（﹣∞，0]．。

厦门市2020届高中毕业班5月质量检查(理科)数学试卷参考答案

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福建省厦门双十中学2020届高三模拟考试数学（理）试题含答案

高三第•次模拟测试理科数学一、选择题（本小题共12小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知金集U = R,集合J = (1,2,33,5),集合B = {x|x>2),下图中阴影部分所表示的集合为（「~. ...5.函数/（.v ）=2sin.v-ln （l + x ）的部分图像大致是（）A. {0,1,2} C.{1}D.{0,l}2.复数z = i 2-—,在复平面上对应的点位于（）1+7A.第一象限B.第二象限 c.第三象限D.第四象限3.若sino + cosa = — , 6ZG(0,zr),则 tana =()A. VJ B. — VJ c 四D.W 334.已知命题p ：玉，使得x + -<2, X命题 q:PxeR,x 2+x + l>0,下列命题为真的是（A. pzq B.(—tp)/\g C ”（F ）d (w )H f )6. 在 AABC 中，C = 45°,则 sin 2 J + sin 2 5 - 71 s in J sin B =（）7. 已知5是平面内两个互相垂直的单位向量.若向量Z 满足@-】）0-；）=0,则日的最大值是（A.lB.—C.2D.a /228. 已知B, C,。

是同一球面上的四个点，其中MBC 是正角形，JD1T 面A8C, AD = 2LB = 6, 则该球的表面积为( )A. 16^-B.24)C.32立兀D.48々9. 在二项式(右 + j)的展开式中，各项系数之和为M,各项二项式系数之和为M 且M + N = 72,则展开式中常数项的值为( )A.18B.12C.9D.6】0.已知函数/(.V)=sin + cosry.r (6»0)，如果存在实数由，使得对任意的实数x,都有/(.r,)</(x)</(^+2012)^,则c 的最小值为()1 4 八 1 n A.---- B.---- C.---- D.----2012 2012 4024 402411•设4，%为椭圆的与+写=1(。

厦门双十中学5月热身卷理科数学

厦门双十中学5月热身卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的]1．设全集R U =，集合{11}M x x x =><-或，{}|02N x x =<<，则()U N M =I ð ( )A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x < 2. 已知圆22:1O x y +=及以下３个函数：①3()f x x =；②()tan f x x =；③()sin .f x x x =其中图像能等分圆C 面积的函数有（）A ．3个 B. 2个 C. 1 个 D. 0个 3.下列结论错误．．的是( ) A.命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分不必要条件C.已知命题p “若0m >，则方程20x x m +-=有实根”,则命题p 的否定p ⌝为真命题D.命题“若220m n +=，则00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或”4．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．[3,)+∞D ．(,1][3,)-∞-+∞U 5. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为( )A.1B.2C.3D.46.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝88＋12x D ．y ＝1767．把函数22cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是( )8. 已知方程|x –2n|-kx =0（*n N ∈）在区间[2n –1，2n+1]上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A ．1021k n <≤+ B ．0<k ≤21n + C ．121n +≤k ≤21n + D ．021k n <<+9. 如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2AA 1=4，点O 是底面ABCD 的中心，点E 是A 1D 1的中点，点P 是底面ABCD 上的动点，且到直线OE 的距离等于1，对于点P 的轨迹，下列说法正确的是（）A.离心率为2的椭圆 B.离心率为1的椭圆 C.一段抛物线 D.半径等于1的圆 10.已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f ：M →N ，且点A （0，f （0）），B （i ，f （i ）），C （i+1，f （i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC 的内切圆圆心为P ，且满足()PA PC PB R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r，则满足条件的ABC ∆有（）A ． 10个B ． 12个C ． 18个D ． 24个二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

福建省厦门市双十中学2020届高三数学理科上学期半期考试卷人教版

福建省厦门市双十中学2020届高三数学理科上学期半期考试卷一、选择题：（每小题5分，共60分）1．设U 为全集，非空集合A ，B 满中，则下列集合中为空集的是（）A ．B AB ．BC A UC ．B A C UD ．B C A C U U 2．设a > b > 0，则下列不等式成立的是（）A ．1|| a bB ．b a 22C ．0lg ba D ．10 ab 3．下列判断正确的是（）A ．11012x x x 或B ．命题：“a ，b 都是偶数，则a + b 是偶数”的逆否命题是“若a + b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”C ．若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题D ．已知a ，b ，c 是实数，关于x 的不等式02 c bx ax 的解集是空集，必有a >0且△≤04．圆y c y x y x 与02422轴交于A 、B 两点，圆必为P ，若∠APB = 120°，则实数c 等于（）A ．1B ．－11C ．9D ．115．已知122)(x a x f 是定义在R 上的奇函数，则)53(1 f 的值是（） A ．2 B ．53 C ．21 D ．356．已知直线方程分别为l 1：0 b ay x ，l 2：0 d cy x ，它们在直角坐标系中的位置如图，则（）A ．c a d b ,0,0B ．c a d b ,0,0C ．c a d b ,0,0D ．c a d b ,0,07．方程R x a x x 在0sin 2sin 2上有解，则a 的取值范围是（）A ． ,1B ．),1(C ．]3,1[D ． 3,18．已知函数]4,3[)0(sin 2)(在区间x f 上的最小值是－2，则的最小值等于（）A ．32 B ．23 C ．2D ．39．设平面向量.0,,321321 a a a a a a 的和如果同量||2||,,,321i i a b b b b 满足，则i a 顺时针旋转30°后与i b 同向，其中i = 1，2，3，则（）A ．321 b b bB ．0321 b b bC ．321 b b bD ．0321 b b b10．下列各图是正方体或正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（） 11．已知P 是椭圆192522 yx 上的点，Q 、R 分别是圆41)4(22 y x 和圆41)4(22 y x 上的点，则||||PR PQ 的最小值是（）A ．89B ．85C ．10D ．912．已知函数 )0()1()0(12)(x x f x x f x ，则方程x x f )(的解的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：（每小题4分，共16分）13．已知正数x ，y 满足135 yx ，则xy 的最小值是 .14．数列{a n }满足a 1=1，且),(*N n m mn a a a n m n m ，则a n = .15．已知直线l ⊥平面，直线平面 m ，有下面四个命题：① ∥m l ；②l ∥m ；③l ∥m ；④ m l ∥ 其中正确命题的序号是 . 16．设24,cos sin )(21x x x x x f 若，则)()(21x f x f 与的大小关系是 .三、解答题17．（本题12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知：2,32,2tan tan 1c a bcB A ，（1）求C 的大小；（2）求△ABC 的面积S .18．（本题12分）在平面直角坐标上，设不等式组)3(0x n y y x 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为).(*N n a n（1）求}{,,321n a a a a 及的通项公式a n ；（2）求)111(lim 13221n n n a a a a a a19．（本题12分）如图，在长方体．．．ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB = AA 1 = a ，a BC 2，M 是AD 的中点.（1）求证：AD ∥平面A 1BC ；（2）求证：平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1；（3）求点A 到平面A 1MC 的距离.20．（本题12分）某市2020年共有1万辆燃油型公交车。

福建省厦门双十中学2020届高三数学热身考试文新人教版【】

福建省厦门双十中学2020届高三数学热身考试文新人教版【】一、选择题〔每题5分，共60分〕1．如图，集合A ，B 分不用两个椭圆所围区域表示，假设A ＝｛1，3，5，7｝，B ＝｛2，3，5｝，那么阴影部分所表示的集合的元素个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．复数()R b a bi a z ∈+=,，那么0≠b 是复数z 为纯虚数的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．|a |=3，|b |=1，且a 与b 方向相同，那么a •b 的值是A ．3-B ．0C ．3D ．–3或34．双曲线221kx y -=的一个焦点是(2,0)，那么它的实轴长是A ．1B ．2C ．2D ．225．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为可为( )A ．)322sin(2π+=x yB ．)32sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x y D ．)32sin(2π-=x y6．假如()f x 是定义在R 上的奇函数，它在),0[+∞上有0)(/<x f ，那么下述式子中正确的选项是A ．)1()43(2++≥a a f fB ．)1()43(2++≤a a f fC ．)1()43(2++=a a f fD ．以上关系均不确定7．下面四个命题：①〝直线a ∥直线b 〞的充要条件是〝a 平行于b 所在的平面〞；②〝直线l ⊥平面α内所有直线〞的充要条件是〝l ⊥平面α〞；③〝直线a 、b 为异面直线〞的充分不必要条件是〝直线a 、b 不相交〞；④〝平面α∥平面β〞的必要不充分条件是〝平面α内存在不共线三点到平面β的距离相等〞。

其中正确命题的序号是A ①②B ②③C ②④D ③④ 8．函数)(sin 2)(R x x x x f ∈-=π的部分图象是AUBFA *ECOB DM9．运行如下图的程序框图后，假设输出的b 的值为16，那么循环体的判定框内①处应填A ．2B ．3C ．4D ．5 10．假设a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，那么关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是： A ．34 B ．12 C ．49 D ． 2311．两点M 〔-3，0〕，N 〔3，0〕，点P 为坐标平面内一动点，且0=•+•NP MN MP MN ，那么动点P 〔x ，y 〕到两点A 〔-3，0〕、B 〔-2，3〕的距离之和的最小值为A ．4B ．5C ．6D ．1012.函数f(x)=ax 2+bx-1〔a ，b 且a ＞0〕有两个零点，其中一个零点在区间〔1，2〕内，那么a-b 的取值范畴为A ．()+∞-,1B ．()1,-∞-C ．()1,∞-D ．()1,1- 二、填空题：〔每题4分，共16分〕13．命题p :∀x ≥0,x 2＞0,那么⌝p 是．14．假设幂函数y =(m 2-m -1)223m m x --在x ∈(0,+∞)上是减函数,那么实数,m 的值为．15．函数在2sin1()log (65)f x x x =-+在(,)a +∞上是减函数,那么实数a 的取值范畴为．16．函数[]3()3,2,2f x x x x =-∈-和函数[]()1,2,2g x ax x =-∈-，假设关于[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得01()()g x f x =成立，那么实数a 的取值范畴．三、解答题：本大题共6个小题，共74分。

福建省厦门双十中学2020届高三上学期开学考试数学(理)试题 Word版含解析

2020厦门双十中学高三上开学考试卷数学（理）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知{}|21xA x =<，{}|2B x y x ==+，则A B =I （）A. [)2,0-B. []2,0-C. ()0,∞+D.[)2,-+∞【答案】A 【解析】【分析】分别计算出集合A 、B ，再取交集即可。

【详解】解：{}{}()|21|0,0xA x x x =<=<=-∞，{}[)|22,B x y x ==+=-+∞∴[)2,0A B =-I . 故选：A.【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题。

2.已知i 为虚数单位，a R ∈，若复数(1)i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z =( ) A. 12i -+ B. 12i -- C. 2i - D. 23i -+【答案】A 【解析】【分析】由题意可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，据此可知12i z =-+或2i z =-，结合共轭复数的特征确定z 的值即可.【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，所以12i z =-+或2i z =-，因为z 在复平面内对应的点位于第三象限，所以12i z =-+．本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算，共轭复数的定义，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()guǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”时日影长度为()A.19533分 B.110522分 C.211513分 D.512506分【答案】B 【解析】【分析】首先“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分，即可求出1190d12=-,进而求出立春”时日影长度为1 10522.【详解】解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．135012d160∴+=，解得1190d12=-，∴“立春”时日影长度为：11901 135031052(122⎛⎫+-⨯=⎪⎝⎭分)．故选B．【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，利用等差数列的性质直接求解．4.已知角a 的终边经过点()2,1P -，则sin cos sin cos a aa a-=+（）A. 3B.13C. 13-D. -3【答案】D 【解析】【分析】终边经过点()2,1P -即可知道tan a ，将sin cos sin cos a aa a-+分子分母同除cos a ,再代入即可。

2020届福建省厦门市高三下学期5月二模考试数学(理)试卷及解析

2020届福建省厦门市高三下学期5月二模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填在答题卡和试卷的指定位置上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 是虚数单位,复数z 满足(1)2i z i +=,则复平面内与z 对应的点在（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】利用得数的除法运算化简复数z ,再利用复数的几何意义,即可得答案；【详解】(1)2i z i +=,∴22(1)112i i i z i i -===++, ∴复平面内与z 对应的点在第一象限,故选：A.2. 已知集合{|12}A x x =<<,集合{|B x y ==,若A B A =,则m 的取值范围是（）．A. (0,1]B. (1,4]C. [1,)+∞D. [4,)+∞ 【答案】D【解析】根据A B A =可得A B ⊆,从而得到关于m 的不等式,解不等式即可得答案；【详解】A B A A B ⋂=⇒⊆,{|12}A x x =<<,∴B ≠∅,∴0m ≥,∴{|{|B x y x x ===≤≤,∴1,2,⎧≤-⎪≥,解得：4m ≥, 故选：D.3. 已知双曲线C经过点,其渐近线方程为y =,则C 的标准方程为（）． A. 2213x y -= B. 2213y x -= C. 2213x y -= D. 2213y x -= 【答案】D【解析】根据双曲线的渐近线方程可设其方程为22(0)3y x λλ-=≠,再根据双曲线过点,可求出λ的值,即可得到答案；【详解】双曲线的渐近线方程为y =,∴设双曲线的方程为：22(0)3y x λλ-=≠, 双曲线C经过点,∴231λλ-=⇒=-,∴双曲线的方程为：2213y x -=, 故选：D.4. “cos20θ=”是“sin cos θθ=”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由二倍角公式对条件变形得cos sin θθ=或cos sin θθ=-,再通过充分必要条件的定义,即可得到答案；【详解】22cos 20cos sin cos sin θθθθθ=⇔=⇔=或cos sin θθ=-,。