1991年初赛
大同杯物理竞赛考试试题汇编(物态变化)
1.0℃的冰比0℃的水更冷些。
·······································································( )2.被100℃蒸汽烫伤要被100℃开水烫伤更危险。
··············································( )3.纯水在温度90℃时也会沸腾。
····································································( ) 选择题(以下每小题有一个或几个选择符合题意)4.关于温度和热量，下列说法正确的是 ···························································( )(A)物体所含有的热量越多，温度越高；(B)当温度不同的物体互相接触时，热量就会自动地从高温物体流向低温物体；(C)热量多的物体总是把热量传给热量少的物体；(D)当物体温度发生变化时要吸收或放出热量。
全国初中应用物理知识竞赛(初复赛)试题及答案(1991
1991年第一届全国初中应用物理知识竞赛试题第一部分(43分)初二学生和初三学生都要完成一、单一选择题（共15分，每题3分）1.一个瓶子正好能装满1kg水，它一定能装下1千克的( )A．花生油 B.酱油 C.白酒 D.豆油2．人在地球上看到月亮从云中穿出，这种情况下的参照物是 ( )A.地球B.人C.月亮D.云3．一个同学正确测得铅笔的长度是16．34厘米。
从这个数据看，他所用刻度尺的最小刻度( )A．分米。
B．厘米。
C．毫米 D．微米。
4．体积为0．05米的救生圈重100牛顿，体重为400牛顿的人使用这个救生圈，则( ) A．人或圈可以部分露出水面。
B．人和圈没入水中后可以悬浮在水中。
C.人和圈会沉没下去 D．要做出正确判断，还需知道人的体积。
5.公共厕所自动冲洗用的水箱里有一圆柱形浮筒P，出水管口有一个圆片形盖子a，两者用短链相连（如图1）所示。
若水箱的深度足够，要实现自动定时冲洗（）A.只要浮筒P的体积足够大B.只要浮筒P的质量足够小C.盖子a必须比浮筒轻D.浮筒P的横截面积必须大于盖子a的面积二、填空题（共12分，每小题3分）．1.农贸市场里有的顾客用弹簧秤量货物。
如果弹簧秤的读数为4.9N，货物的质量是 kg。
并请在图上做出货物受力的示意图。
2．北京观象台每天四次放出气象探空气球。
气球所载仪器及球皮的总质量为2．7千克，球内所充气体为氢气，已知氢气球的密度为0．09千克／米3，空气的密度为1.29千克／米3。
为使这样的气球升空，球内所充氢气的体积至少应为米3。
3．某段铁路由长度为L的铁轨一根接一根地铺成，一列火车在匀速前进，车内一位旅客要测火车运行的速度，他测出了火车经过铁轨接缝时连续发生N次振动的时间闸隔为t，则计算车速v的关系式是= 。
4．有一种农村柴灶风箱，在推、拉活塞时都能向灶内吹风，图中活塞正在向右运动，请你在A、B、C、D各装一个阀门，画出此刻它们的开合状态。
三、(8分)有一卷无木轴的铜导线，需要确定它的长度，但是不能把导线全部拉开；更不能把导线截断。
上海市中学生历届数学知识竞赛
上海市首届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(1991～1992)首届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1991年10月举行．决赛于1992年3月举行．【初赛试题】初赛试题共有十五题，其中一～十题，每题满分为10分；十一～十五题，每题满分为16分．满分为180分．一、小明家前面造了一幢高层楼房，小明在自己楼房的A层测得高层楼房CD的仰角为α，俯角为β；小明又在自己楼房的B层测得高层高层楼房与小明楼房之间的距离d．二、筹建中的天然气管道网设计如图3—2所示，A，B，…，L表示压缩机站，流动主向用箭头表示，每个管道旁的数字表示管段长度．现需要求该网络从起点A到终点L的最短通道，并确定沿最优路径相应的压缩机站所处的节点．三、某厂1989年生产产值是1979年生产产值的8倍(即翻三番)，那么从1979年到1989年产值平均年增长率为多少？按这样速度发展，到了2000年的产值是1989年产值的几倍？(取整数)四、相距40公里的两个城镇A、B之间有一个圆形湖泊，它的圆心落在AB连线的中点O，半径为10公里，如图3—3所示．现要修建一条连结两城镇的公路，问应如何选择公路的路线，使公路最短，并给出证明．五、有一批1米长的合金钢材，现要截成长为23厘米和13厘米两种规格，用怎样方案截取使材料利用率为最高？并求出材料最高利用率．六、四种小商品A、B、C、D的价格分别为0.13元、0.17元、0.22元、0.35元，现在用2元钱恰好买了10件小商品，问买得小商品A、B、C、D各为多少？七、某工厂生产甲、乙两种产品，生产每一吨产品需要电力、煤、劳动力及相应产值如下表所示：该厂的劳动力满员是200人，根据限额每天用电不得超过160千度，用煤不得超过150吨．问每天生产这两种产品各几吨时，才能创造最大的经济价值？八、用两根绳子牵引重为F1＝100kg物体，两根绳子拉力分别为F2、F3，保持平衡，如图3—4所示．如果F2＝80kg，F2与F3夹角α＝135°，求F3的大小和F3与F1的夹角β值．九、在一边长为9m，一边长为16m的长方形的土地内，任意种植49颗树，试证明其中总有两颗树之间的距离不大于2.5m．十、仓库有一种堆垛方式，如图3—5所示，最高一层2盒，第二层6盒，第三层12盒，第四层20盒，第五层30盒……，当堆垛到第n层时，求出总的盒数．十一、数学竞赛给出了A、B、C三道题目，有30个学生参加，每人至少解出一道题．只解出A题的人数比其余解出A题的人数多3人；在没有解出A题的人中，解出B题人数是解出C题人数的3倍；在只解出一题的人中，解出A题的人数是没有解出A题的人数的一半，求至少解出两题的学生人数．十二、根据下列三视图(如图3—6)，画出这个立体的直观图与展开图，并求出它的体积．十三、A、B、C三个工厂，它们之间的距离为AB＝13公里、BC＝14公里、CA＝15公里，要求寻找一个供应站点H，使得它到三个工厂的距离和HA＋HB＋HC为最短，并且求出这最短距离．十四、某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路m公里，B距铁路n公里，在铁路上要建造两火车站C、D，A地矿石先用汽车由公路运到火车站C，然后用火车运输到火车站D，再用汽车运到B地，如图3—7所示，且A、B在铁路MN上投影A＇B＇距离长l公里，若汽车速度每小时u公里，火车速度每小时v公里，这里v＞u，要使运输矿石的时间最短，火车站C，D应该建立在什么地方？十五、将一个母线为2a，底面半径为a的圆锥(有底)的铁皮模型，沿着母线剪开摊平作材料做一个圆柱形罐子(有底无盖)，试问材料如何剪裁，使做出的圆柱形罐子的体积为最大？(这里圆柱侧面不能用两块材料拼接，且不考虑裁剪损耗．)【决赛试题】决赛试题共五题，其中一～三题，每题满分为32分，四、五题，每题满分为42分，总共满分为180分．一、如图3—8，有一块半径为a的圆铁皮，剪去一个圆心角α，将它卷成一个圆锥(无底)，试问：(2)求出这个圆锥的体积最大值．二、A、B、C三厂联营生产同一种产品，产品是哪个厂生产就在产品上盖上那个厂的厂名，如果产品是两个厂或三个厂联合生产，那么产品上就盖上两个厂或三个厂的厂名．今有一批产品，发现盖过A厂、B厂、C厂的厂名的产品分别为18件、24件、30件，同时盖过A、B厂，B、C厂，C、A厂的产品，分别有12件、14件，16件，问这批产品的总数最多有几件？三、某项科学实验显示：实验结果y与实验时的温度t，呈现y＝at2＋bt(a≠0)关系，由实验条件限制，温度t取值范围为｜t｜≤c(c＞0)．试问：当温度t取什么值时，实验结果y达到最小值，并求出其最小值．四、已知某工程中的重点部位计划完工期为14天，预算总费用为63000元(包括每天的管理费1000元)．若对某些工序增加一些费用的投入(如加班或技术改造等费用)，则它的完工时间可以缩短．一个工序的最短完工时间，我们称为该工序的“极限时间”．另外，如该重点部位的完工期能缩短，则相应的管理费可以节省，有关工序流程图与数据如图3—9所示．注：赶工费用率为工序每提前一天耗用的加班或技术改造等费用．试回答下列两个问题：(1)求这个重点部位工程的最低完工费用，并制定相应的施工方案(包括完工期)．(2)求这个重点部位最短完工期，并制定相应的施工方案(包括费用)．五、要对几种药品进行试验，每次选择3种药品作试验，要求这样来安排试验方案，使得任意两种药品都至少有一次被安排在同一次试验中，同时为了节省时间与费用，还要求试验次数尽可能少．我们以C(n)表示对n种药品所作符合上述要求的最少试验次数．例如：当n＝4，记所要作试验的药品为a1，a2，a3，a4，下面的分组试验方案(a1，a2，a3)，(a1，a2，a4)，(a2，a3，a4)，是符合要求的．这个方案共进行了三次试验，因此，C(4)≤3．问题：(1)证明C(4)＜3是不可能的．(2)试确定C(6)的值，并给出证明．(3)试给出C(n)的一个下界．【初赛试题解答要点与参考答案】二、最短通道：A→D→E→G→J→L．4＋3＋2＋1＋4＝14．三、(1＋x)10＝8，x＝23.11％(平均年增长率)．(1＋0.2311)21÷8＝9.48≈10．(2000年产值是1989年产值的10倍)四、过A、B在AB同侧分别作⊙O的切线AA＇、BB＇，则AA＇2)，则4×13＋2×23＝98，即截4段13厘米，2段23厘米，材料利用率为98％．六、设购买A、B、C、D商品数分别为x、y、z、w，则w只可能取0、1、2、3，相应找出z、y、x非负整数值，得到解答列表如下：七、设甲、乙产品分别生产x、y吨，则由题意得：满足上述约束条件的点在下列五条直线2x＋8y＝160，3x＋5y＝150，5x＋2y＝200，x＝0，y＝0所围成的五边形内(包括边界九、将长方形土地平分成48块相等的小长方形，每块长为2m、宽为1.5m，总有一块小长方形土地有两颗树，它的距离不大于对角线：十一、画出集合图如图3—10，只解出A题x人，只解出B题y人，只解出C题z人，解出A、B题w＋t人，解出B题、C题u＋t人，解出A 题、C题v＋t人，解出A题、B题、C题t人．根据题意可列出方程：所以 u＝5，y＝13，x＝7，z＝1．即u＋v＋w＋t＝30－x－y－z＝9(人)十二、直观图，展开图分别如图3—11，3—12．V＝(2a)3÷2＝4a3．十三、H点应取∠AHB＝∠BHC＝∠CHA＝120°时，AH＋BH＋CH为最小，由Fermat-steiner最短线定理可证得(证略)．十五、将圆锥侧面展开为半圆，半圆内裁出圆柱侧面，圆锥底改成圆柱底就可以(如图3—13所示)．【决赛试题解答要点与参考答案】二、由题意得：m(A)＝18，m(B)＝24，m(C)＝30，m(A∩B)＝12，m(B ∩C)＝14，m(C∩A)＝16．当m(A∩B∩C)≤9或m(A∩B∩C)≥13时，与题意有矛盾，所以10≤m(A∩B∩C)≤12．m(A∪B∪C)＝m(A)＋m(B)＋m(C)－m(A∩B)－m(B∩C)－m(C∩A)＋m(A∩B∩C)＝30＋m(A∩B∩C)．当m(A∩B∩C)＝12时，m(A∪B∪C)＝42(件)，故这批产品总数最多为42件．四、从工程网络列表如下：△C1＝2400－3000＝－600，△C2＝2400＋500＋1000＋2800－6000＝700．(1)最优费用方案：工序(1，3)减少3天，赶工费增加 2400，间接费用减少3000，总工期减少3天为11天完成．总费用 C＝63000＋(2400－3000)＝62400(元)．(2)最优时间方案：工序(1，3)减少3天，(3，6)，(5，6)各减少1天，(6，7)减少2天，总工期减少6天共为8天完成．总费用C＝63000＋(2400＋500 ＋ 1000＋ 2800－ 6000)＝63700(元)五、(1)设这4种药品为a1，a2，a3，a4由于每个组包含三种药品，而a1至少与a2，a3，a4相遇一次，因此至少有两个组包含a1，不妨设为｛a1a2a3｝，｛a1a2a4｝，但这里a3、a4没有相遇，因此，至少还应有一组，所以C(4)≥3．(2)设这6种药品为a1，a2，a3，a4，a5，a6，对每一个1≤i≤6，固定i，则包含a i的每次试验，正好还包含两种不同于a i的药品，而每次试验包含3种药品，因此试验总次数不小于6×3÷3＝6，即C(6)≥ 6．我们构造一个用6次试验的方案满足条件：｛a1a2a3｝，｛a1a4a5｝，｛a1a4a6｝，｛a2a3a4｝，｛a2a5a6｝，｛a3a5a6｝因此，C(6)≤6，综合之即得C(6)＝6．(3)设n种药品为a1，a2，…，a n，对任意取定a i(1≤i≤n)，则i≠j 时，a i与a j至少相遇一次，而每一个包含a i的组正好包含两个不3．2 上海市第二届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(1993)上海市第二届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1993年3月举行，决赛在9月举行．【初赛试题】初赛试题共有十五题，其中一～十题，每题满分为10分；十一～十五题，每题满分为16分．满分为180分．一、为测量建造中的上海东方明珠电视塔已达到的高度．小明在学校操场某一直线上选择三点A、B、C，且AB＝BC＝60米，分别在A、B、C三点观察塔的最高点，测得仰角为45°，54.2°，60°，小明身高为1.5米，试问建造中的电视塔现在已达到的高度．(结果保留一位小数)二、已知边长为a的正三角形铁皮材料，剪去三个全等的四边形，如图3—14所示，可制成无盖的正三棱柱的盒子．试问如何剪裁才能使正三棱柱的体积最大？并求出体积最大值和此时材料利用率．三、某布店的一页帐簿上沾了墨水，如下图所示：所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面三个数码7.28，但前面的三个数码看不清楚了，请您帮助查清这笔帐．四、某出口加工区总公司与下属各子公司进行信息联网，已测得各子公司A、B、C、D、E、F、G、H、J之间与总公司S联网费用如图3—15所示(单位：千元)．现拟设计一个联网优化方案，既要求各子公司之间与总公司都能连通，又要使联网费用最省，试问如何联网？费用是多少？五、在下乡劳动中，30个学生，每人拾了一篮稻穗放在田埂旁，每隔5米排成一列，不妨依次叫第1号、第2号、…、第30号，每人将篮中稻穗集中到第n号处(1≤n≤30)，放在一起，然后带着空篮走回原处，试求使大家所走路程总和最小的n值．六、一半径R＝150mm球形工件，打一斜孔如图3—16(a)所示，为了准确测量斜孔两端半径r1和r2，用两精密量球(半径R2＝100mm和R2＝80mm)以如图3—16(b)所示方式测量，测得两球外端水平距离L1＝651.40mm；再将右端量球换为半径R3＝80mm，左端量球不变仍为R2＝80mm，又测得L2＝610.17mm．(1)求r1和r2(结果保留两位小数)；(2)求小孔的斜角α的值(结果保留分)．七、A、B两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价表如下：怎样确定调运方案，使总的运费为最小？八、在机械设计中，已知AB＝AC＝a，CD⊥BD，∠CAD＝θ(图3—17)，当θ为何值时，△BDC面积最大，并求出最大值．九、某一信托投资公司，考虑投资1600万元建造一座涉外宾馆，经预测，该宾馆建成后，每年底可获利600万元，试问三年内能否把全部投资收回？假设银行每年复利计息，利率为10％，若需要在三年内收回全部投资，每年至少应收益多少万元？(结果保留一位小数)十、在正方形铁皮上任意划9条直线，如果每一条直线都将正方形分成两部分面积之比为m∶n(m， n∈N)，那么这样9条直线中至少有3条直线交于一点，对吗，为什么？十一、五种商品价格如下：现在用60元恰好选购10件商品，试问有哪几种选购方式？十二、根据图3—18所示零件的视图，画出它的直观图、展开图(并要留出做成模型的粘贴处)，并求出这个零件的表面积与体积．一个供应站H的位置，使它到四个工厂距离和HA＋HB＋HC＋HD为最小，说明道理，并求出最小值．十四、一个零件模具的底面由甲、乙、丙三个边长均为a的正方形按如下要求叠合而成：甲的一个顶点落在乙的中心上，乙的一个顶点落在丙的中心上，丙的一个顶点落在甲的中心上．求这个模具底面的面积．十五、一煤粉炉球磨机衬板为圆台的侧面，上底半径R1＝270 mm，下底半径R2＝1147 mm，轴截面母线夹角为154°，这圆台侧面是由18块相同的扇环形钢板焊接而成。
小学数学难题解法大全 第五部分 典型难题讲析(七~一) 数的计算
小学数学难题解法大全第五部分典型难题讲析（七之一）数的计算（一）数的计算1．四则计算【基本题】例1 计算7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：本题的两个除数和乘数依次是3.7，2.7，1.7，0.7。
从数字上分析，不能运用简便运算。
所以，只能从左至右依次计算。
结果是850.85。
（1990年江西省“八一杯”小学数学竞赛试题）成假分数之后，分子都含有22的约数，于是可采用分配律计算。
（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：两个分数的分母都是3，所以，可把小数化成分数计算。
【巧算题】（全国第三届“华杯赛”初赛试题）讲析：括号中的三个数如果直接通分，则比较繁琐。
经观察，可将三个分母分解质因数，求出公分母；在求公分母的过程中，不必急于求出具体的数，而可边算边约分，能使计算简便一些。
（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：当把两个带分数化成假分数时，分子都是65。
于是，第一个括号中可提出一个65，第二个括号中可提出一个5，能使计算变得比较简便。
例3 计算：（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：经观察发现，可将整数部分与分数部分分开计算。
这时，每个带分数的分数部分，都可以拆分成两个单位分数之差，然后互相抵消。
计算就很简便了例4 计算：（1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题）除以两数之积，就等于分别除以这两个数。
然后可将它们重新组合计算为法分配律计算。
于是可将10.375分开，然后重新组合。
（1990年小学数学奥林匹克初赛试题）用字母代替去计算。
（长沙市小学数学奥林匹克集训队选拔赛试题）26.3乘以2.5。
这样计算，可较为简便。
原式=2.5×24.7＋29×2.5＋26.3×2.5=2.5×（24.7+29＋26.3）=200。
例8 已知11×13×17×19=46189计算：3.8×8.5×11×39（广州市小学数学竞赛试题）讲析：根据已知条件来计算另一个算式的结果，应尽量将计算式化成与已知条件式相同或相似的式子。
化学奥赛试题例题
无机例题例1次磷酸H3PO2是一种强还原剂，将它加入CuSO4水溶液中，加热到40℃-50℃，析出一种红棕色色的难溶物A。
经鉴定：反应后的溶液是磷酸和硫酸的混合物；X-射线证实A是一种六方晶体，结构类同于纤维锌矿（ZnS），组成稳定；A的主要化学性质如下：①温度超过60℃，分解成金属铜和一种气体；②在氯气中着火；③与盐酸反应放出气体。
试回答：（1）写出A的化学式；（2）写出A的生成反应的化学方程式；（3）写出A与氯气反应的化学方程式；（4）写出A与盐酸反应的化学方程式。
（1997年全国化学奥赛初赛试题）解析：（1）A—CuH，ZnS为AB（1-1）型，A可分解为Cu和一种气体，A是CuSO4被还原的产物（Cu2+→Cu+）。
（2）4CuSO4+3H3PO2+6H2O=4CuH+3H3PO4+4H2SO4（3）2CuH+3Cl2=2CuCl2+2HCl（Cl2是强氧化剂，而Cu+具有一定的还原性）（4）CuH+HCl=CuCl+H2或CuH+2HCl=H[CuCl2]+H2或CuH+3HCl=H2[CuCl3]+H2（氧化还原反应：H-+H+→H2，H-的还原性显然比Cu+强得多，而H+的氧化性显然比Cl2弱得多，故H+不可能将Cu+氧化成Cu2+。
）例2迄今已合成的最重元素是112号，它是用7030Zn高能原子轰击20882Pb的靶子，使锌核和铅核熔合而得。
科学家通过该放射性元素的一系列衰变的产物确定了它的存在，总共只检出一个原子。
该原子每次衰变都放出一个高能α粒子，最后得到比较稳定的第100号元素镄的含153个中子的同位素。
（1）112号元素是第几周期第几族元素？（2）它是金属还是非金属？（3）你认为它的最高氧化态至少可以达到多少？（4）写出合成112号元素的反应式（核素用AZX表示）。
（1998年全国化学竞赛初赛试题）解析：（1）112号元素是第七周期ⅡB 族元素；（2）金属；（3）+2；（4）112号可记为277112M ， 70208277130821120Zn Pb M n +=+。
1991年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
11=S 3S =132=S A BCDEF1991年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1.设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x +--+的值是（）（A）3；（B）13；（C）2；（D）53．2.如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，BC ＝100，那么EF 的值是（）（A）10；（B）12；（C）16；（D）18．3.方程x 2－│x │－1＝0的解是（）（A）251±；（B）251±-；（C）51±或51±-；（D）51±-±．4.已知：)19911991(2111x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-的值是（）（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．5.若1×2×3×……×99×100＝12n M ，其中M 为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则M （）（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．6.若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a ＋b ＝c ，b ＋c ＝d ，c ＋d ＝a ，那么a ＋b ＋c ＋d 的最大值是（）（Ａ）－1；（Ｂ）－5；（Ｃ）0；（Ｄ）1．7.如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知△AOR 、△BOP 和△CRQ 的面积分别是S ₁＝1，S ₂＝3和S ₃＝1，那么，正方形OPQR 的边长是（）（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2；（Ｄ）3．GAB CD EA B CD135°120°8.在锐角△ABC 中，AC ＝1，AB ＝c ，∠A ＝60°，△ABC 的外接圆半径R ≤1，则（）（Ａ）12＜c ＜2；（Ｂ）0＜c ≤12；（C）c ＞2；（D）c ＝2．二、填空题１．E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是．２．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－1和4，那么，2b ＋3ca＝．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x ＞0，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则=++q p n m 22)2(４．四边形ABCD 中，∠ABC ＝135°，∠BCD ＝120°，AB ＝6，BC ＝53CD ＝6，则AD ＝．A BCDEF一、x ＋y ，x －y ，x y ，x y四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x ,y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为n 2个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1．（B）据算术根性质，由右端知y ＜a ＜x ，又由左端知a ≥0且a ≤0，故a ＝0．由此得x ＝－y ，代入所求式算得值为31２．（C）由平行截割定理，有①②①＋②，得∴３．（D）设x ₀是方程的解，则—x ₀也是方程的解，排除（A）、（B）；（D）的两值必是方程的解，否则方程的解也不是（C）．将)51(21-代入方程，左边≠0，排除（C）．４．（D）．（所以 原式， 112112221991)1()1991)19911991(21)199121991(4111-----=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+-+=+n n nn n n n x 5．（A）在1×2×3×…×100的质因数分解中，2的因子有所以，P P 21232100321484897⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ，其中2不整除P ，3不整除P ，因而M ＝2P ．６．（B）(a ＋b )＋(c ＋d )＝c ＋a ，∴b ＝－d ．代入b ＋c ＝d 得c ＝2d ，a ＝c ＋d ＝3d ，故a ＋b ＋c ＋d ＝2d ＋3d ＝5d ＝－5b ≤－5(∵b ≥1)．故a ＝－3，b ＝1，c ＝－2，d＝－1．７．（C）设正方形OPRQ 的边长为x ，即OP ＝PQ ＝QR ＝OR ＝x ．作△ABC 的高AD ，交OR 于F ，在△AOR 中，xOR S AF 221==．如图．８．（A）作CD ⊥AB ，因△ABC 是锐角三角形，故D 在AB 内，从而c ＝AB ＞AD ＝AC cos A ＝cos A ＝21．又由正弦定理，得c ＝AB ＝2R sin C ＜2R ≤2，所以21＜c ＜2．二、填空题1．12由△BEG ∽△DAG ，得DG ∶GB ＝AD ∶BE ＝2∶1，∴DB ＝３GB ．连接DE ，则．2.6设甲将a 看为a ′，由韦达定理得．于是 ． ， 438'6'-===-c b a ca b 由于一次项系数b 的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a 或c 的符号．于是a ’．4=ac由①②得．，，所以 ．另一方面 ，2165)1610(21542222321==+=+++=+++=x x x xx x S S S S SOPRQ ABC． ．所以6126323=+-=+-=ac b ba1234222=⨯=⨯==BGE BDE BCD ABCD S S S S3．9．－，则有再取 ． 为奇数，因此 由于．，则有恒成立，取对一切由于q n n q n m p p m qpn m x m p x x x x -==-===-≠=-=>+=-+2232112321,012,0221210)1(1)1(若n ＞q ，则上式左边为奇数，右边为偶数，矛盾．若n ＜q ，则上式左边为整数，右边为真分数，矛盾．所以，只能是n ＝q ＝1．于是93)2(222==++qp n m ．４．192作AE ∥BC ，交CD 于E ，自B ，C 分别作AE 的垂直线BF 与CG ，F ，G 分别为垂足（如图）．BCGF 为矩形，△AFB 为等腰直角三角形，32===ABAF BF ．在Rt△CEG 中，三、解答题一.由于xy有意义，所以y ≠0，从而x ＋y ≠x －y ．因此x y ＝xy，即x (y 2－1)＝0．所以x ＝0或y ＝±1．（１）若x ＝0，则由x y ＝x ＋y ，或x y ＝x －y ，得y ＝0，这样xy无意义；（２）若y ＝1，则由x y ＝x ＋y 得x ＝x ＋1，或由x y ＝x －y 得x ＝x －1，都导致矛盾；（３）若y ＝－1，则由x y ＝x ＋y 得x ＝12，由x y ＝x －y 得x ＝-12，所以符合要求的数对只有（12，－1）和（-12，－1）．．＝＝＝ ．＝＝ ＝＝所以 ．＝＝，＝，＝ 知＝，由＝ 426613533521330--+-++-︒∠CE CD ED GE FG AF AE BC FG CE GE CG GCE ．所以 ．中应用余弦定理，有，在 又 1927676241636120cos 2120222===++=︒⋅-+=︒=∠=∠AD ED AE ED AE AD AED BCD AED ·二、证法1延长AF 到M ，使FM ＝CF ．连CM 、DF ，在△EBD 与△FCM 中，由于BE ＝BD ，FM ＝CF ，因此△EBD 、△FCM 都是等腰三角形．∵∠EBD ＝∠MFC ，∴∠BED ＝∠CMF ，又∠BED ＝∠BFD ，∴∠CMF ＝∠BFD ，在△BFD 与△AMC 中，∠2＝∠1，∠BFD ＝∠CMF ，BD ＝AC ，∴△BFD ≌△AMC ．∴BF ＝AM ＝AF ＋FM ．又∵FM ＝CF ，∴BF ＝AF ＋CF ．证法2如图，连EF 、DF ∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠4＝∠5，∠5＝∠6，∴∠4＝∠6．∴△AFC ∽△EFD ．于是k CFDFAC DE AF EF ===，即EF ＝k ·AF ，DE ＝k ·AC ，DF ＝k ·CF ．由托勒密定理，知BF ·DE ＝BD ·EF ＋BE ·DF ，即BF ·k ·AC ＝BD ·k ·AF ＋BE ·k ·CF ．但是AC ＝BE ＝BD ≠0，所以BF ＝AF ＋CF .三、证法１用数代表颜色，将红色记为0，蓝色记为1，再将小方格编号，记为1,2,3,…,2n .又记第i 个小方格四个顶点数字之和为i A ,若恰有三个顶点同色,则i A ＝1或3为奇数,否则i A 为偶数.在221n A A A +++ 中,有如下事实:对正方形内部的交点,各加了4次；原正方形边上非端点的交点,各加了2次(含两个0,两个1).因此221n A A A +++ ＝4(内部交点相应的数之和)＋2×(边上非端点的交点相应的数之和)＋2必为偶数.于是，在2,,,21n A A A 中必有偶数个奇数，这就是说，恰有三个顶点同色的小方格必有偶数个．证法2用数代表颜色，红色记为1，蓝色记为－1，将小方格编号，记为l，2，…，2n ．记第i 个小方格四顶点数字之乘积为i A ，若恰有三顶点同色，则1,1=-=i i A A 否则．现在考虑乘积221n A A A ⨯⨯．对正方形内部交点，各点相应的数重复出现4次；A ，B ，C ，D 边上的不是端点的交点相应的数各出现2次；A，B，C，D 四点相应的数的乘积为１×１×（－1）×（－1）＝１．于是221n A A A ⨯⨯＝１．因此，221n A A A ⨯⨯中－１的个数必为偶数，即恰有三顶点同色的小方格必有偶数个．证法3考虑染了色之后，改变一个交点的染色方式，这时以此点为顶点的小方格，要么由三顶点同色变为非三顶点同色，要么由非三顶点同色变成三顶点同色．注意：除A ，B ，C ，D 之外，每一交点必是偶数个小方格的顶点，因此，改变一个交点的染色并不改变三顶点同色小方格数目的奇偶性．当n ＝l 时，结论显然成立．当n ＞1时，每次改变一个交点的染色，最终总可以使B ，D 之外的点皆为红色，这时，三顶点同色的小方格只有两个，为偶数．因此，任意染色之下，三顶点同色的小方格有偶数个．。
奥林匹克数学竞赛简介
奥林匹克数学竞赛简介“奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。
1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克竞赛。
国际数学奥林匹克(IMO)作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题的国际性大赛。
我国奥林匹克数学竞赛由中国科技部下属的中国数学会，奥林匹克数学委员会负责组织和安排。
数学奥林匹克活动在我国已有一段普及的历史，也多次在国际大赛上取得了优异的成绩。
奥林匹克数学研究也已成为数学教育的重要课题。
目前在我国大部分高等师范院校的数学系中，也都开设了“数学竞赛研究”或“奥林匹克数学理论”的必修或选修课。
奥林匹克数学理论正逐渐成为一门独立的数学教育分支。
因此，系统的研究和探讨奥林匹克数学理论，无论对高等师范数学教育，还是对中学数学奥林匹克活动都有十分重要的现实意义和理论意义。
数学奥林匹克国内赛况我国的数学竞赛起步不算晚。
解放后，在华罗庚教授等老一辈数学家的倡导下，从1956年起，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省、市都恢复了中学数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛;1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区全部举办了中学数学竞赛。
此后，全国各地开展数学竞赛的热情有了空前的高涨。
1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。
同时，我国数学界也在积极准备派出选手参加国际数学奥林匹克的角逐。
1985年，开始举办全国初中数学联赛;1986年，开始举办“华罗庚金杯”少年数学邀请赛;1991年，开始举办全国小学数学联赛。
现在.我国的高中数学竞赛分三级：每年10月中旬的全国联赛;次年一月的CMO(冬令营);次年三月开始的国家集训队的训练与选拔.为使我国的数学竞赛活动能广泛而有序、深入而持久地开做好各级各类数学竞赛的培训选拔工作，国内采取了一系列有效措施。
1991年第14届奥地利-波兰数学奥林匹克
1991年第14届奥地利-波兰数学竞赛1.证明：存在无穷多个整数m≧2使得下列方程(m2)=3(n4)2.对某个整数n=n(m)≧4成立。
试给出这样的m之一般公式。
3.试找种有实数三元组(x, y, z) 满足下列方程：(x2-6x+13)y=20；(y2-6y+13)z=20；(z2-6z+13)x=20。
4.已知平面上两个不同的点A1、A2。
试决定一个点A3的所有可能位置且满足下列性质：存在一个整数n≧3，及n个点P1, P2, P3, ....., P n。
(不一定不同的)使得下列各线段P1 P2，P2P3，.....，P n-1P n，P n P1有相同等长度而且它们的中点是按照这样的次序为A1, A2, A3, A1, A2, A3 ,....., A1, A2, A3。
5.设x、y、z为任意的正实数且xyz=1，证明不等式x2+y2+z2+xy+xy+xz≧2(√x+√y+√z)。
6.设P为一实系数多项式且P(x)≧0对所有的实数0≦x≦1。
证明存在多项式P i(x) (i=0,1, 2)使得P i(x)≧0对所有的实数x，及P(x) =P0(x) +xP1(x) +(1-x)P2(x)。
7.假设在一个凸四边形ABCD内存在一点P使得三角形PAB、PBC、PCD、PDA有相同等面积。
证明：ABCD的面积是由其中一条对角线所平分。
8.对固定的一个整数n≧1，试决定下列定义于正实数集合上的函数所取得的极大值，及找出所有这样的正实数x使得f(x)到达极值：f(x)=x+x2+...+x2n-1 (1+x n)2。
9.试找出三元组(x, y, z) 的数目，其中x、y、z为互异的正整数，其中一个是19，并且满足下列同余方程组：xy≡-1(mod z)，yz≡1(mod x)，zx≡1(mod y)。
10.设A={1, 2, 3, ... , n}且n是个正偶数，假设g：A→A是个函数，使得对A的所有元素k 满足g(k)≠k 及g(g(k))=k。
全国小学数学奥林匹克竞赛简介
全国小学数学奥林匹克竞赛简介奥数就是奥林匹克数学的简称，即国际数学竞赛，取名仿自于奥林匹克运动会。
1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。
1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加在布加勒斯特举办的第一届国际数学奥林匹克竞赛。
从此每年一次，至今已举办了50届。
奥数的出题范围超出了所有国家的义务教育水平，有些题目的难度大大超过了大学入学考试，有些题目甚至数学家也感到棘手。
通过这样高水平的比赛，可以及早发现数学人才，然后进行培养，使其脱颖而出。
近年，国内外很多名牌大学和重点中学比较注重奥数人才，通常通过奥数选拔优秀生源。
北京大学、清华大学、复旦大学等高校对奥数优秀的学生偏爱有佳，每年有很多全国高中数学竞赛成绩优异的学生直接免试进入北大数学系。
由于，高校和重点中学对奥数人才的重视，近年来，又出现了小学奥数一词。
小学奥数全称叫"小学奥林匹克数学"，或叫"小学数学奥林匹克"，称呼起源于"数学是思维的体操"它体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更高、更强。
其实它更准确应称为"小学竞赛数学"。
从1986年起，中国中学生在国际数学奥林匹克连续几年取得优异成绩；1990年7月，在我国北京成功地举办了第31届国际数学奥林匹克，我国代表队再次取得总分第一。
中国学生在学习数学上的潜力被发现了，大大激发了全国中、小学生学习数学的兴趣，数学课外活动蓬勃地开展，中、小学数学竞赛活动受到广大师生和家长的欢迎，也得到了社会各界人士的更多关心和支持。
1990年11月，在湖南宁乡召开的中国数学会普及工作委员会第六次全国工作会议上，与会同仁一致认识到，为了顺应群众积极高涨的形势，更要坚持"在普及的基础上不断提高"的方针，要引导数学竞赛这一群众性的课外活动健康地发展，为了统筹安排高中、初中、小学的数学课外活动，处理好相互的衔接关系。
上海市大同杯初中物理竞赛试题1991年初赛解答
上海市第五届初中物理竞赛（1991年）初赛试卷解析(1991年3月24日上午9:00～10:30)说明:(1)每题只有一个正确答案，请把它的代号填入题前括号内。
(2)区(县)、学校、姓名、竞赛证编号填入答案表内,试卷上可不必填写。
(3)试卷全部解答完毕后，将各题答案代号仔细填入答案表，每个学生只交答案表，试卷由自己保存。
1.把高压锅内的水蒸气直接通往100℃的水中，如果水上方气压为一个标准大气压，结果(A)水的质量增加(B)水的质量不变(C)水的质量减少(D)结论和通入的蒸气质量有关【C】因为高压锅炉内的水的沸点要高于100度,所以高压锅炉内的水蒸气的温度也要高于100度,将其接通入100度的水中时将放热，但不会液化，而100度水吸收热量会气化，因而质量减少2.验电器原来带正电，把一个导体靠近验电器小球，结果验电器金属箔的张角减小，这说明(A)导体一定带正电；(B)导体一定带负电；(C)导体一定不带电；(D)导体可能带负电，也可能不带电。
【D】解：验电器原来带正电，张角减小，说明其带的正电荷减少，由此可知正负电荷是发生了中和现象，即导体上的电子中和了验电器上的正电荷．当导体带负电时可以发生这种反应；当导体不带电时，验电器上的正电荷照样可以吸引导体上的电子而发生中和反应，导体由于少了负电荷而带正电．综上分析故选D．3.电阻R1=10欧姆，R2=15欧姆，把它们并联接入电路，在同样时间内(A)电流在R1上做的功多；(B)电流在R2上做的功多；(C)电流在R1、R2上做的功一样多；(D)无法判断。
【A】并联电压相等，W=U2t/R与电阻成反比4.发散光束经过凸透镜折射后(A)一定变成会聚光束；(B)一定变成平行光束；(C)一定变成发散光束；(D)以上情形都有可能。
【D】看发散光束的发散情况和凸透镜的聚光能力（焦距）5.两块质量相同，初温相同的铜块和铁块放入同一盆热水中，经过一段时间(A)铜块温度高；(B)铁块温度高；(C)铜块吸收的热量多；(D)以上说法都不对。
历年全国大学生数学竞赛初赛题目及答案解析全(2009-2019年非数学专业)
程，有 2x 2 2y 1 z 1 0 ，展开化简后有 2x 2y z 5 0.
(4) 设 y y(x) 由方程 xe f (y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则
d2 y
=___________.
dx2
【参考答案】对等式两端分别关于
1 ab
1 b2]
0
523
1 π[
a2
1
a(1
a)
1
4
(1
a)2 ].
53
39
dv 2 1 2 8
5
3
令 π[ a a (1 a)] 0 ，得 a ，代入 b 的表达式 得 b .
da 5 3 3 27
4
2
所以y 0 。
d 2v
22 8 4
5
3
又因
da 2
|
5 a
π[ 5
3
] 27
证：
3
(1) xesiny d y yesinx d x xesiny d y yesinx d x;
L
L
(2) xesin y d y yesin x d x 5 π2 .
2
L
【参考证法一】由于区域 D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.
π
0
π
左边 πesin y d y πesin x d x π (esin x esin x ) d x ，
，
，
u,v
v2
1x y
u
所以由二重积分换元法的积分变换公式，原积分也就等于
D
(x
y)ln1 1x y
y x
dx
dy
2
历届全国初中应用物理知识竞赛汇编90年代
初中应用物理知识竞赛汇编上1991年第一届全国初中应用物理知识竞赛初赛试题一、选择题。
下列各题所列答案中只有一个是正确的。
（共42分，每小题3分）1．30牛顿可能是下列哪个物体所受的重力？ ( )A ．一个小学生B ．一辆汽车C ．一支铅笔D ．一个装满书本的书包2．夏天，打开冰箱门，常可看到白雾。
这是 ( )A ．冰箱内原有的水蒸气B ．冰箱内食物中的水分遇到高温空气后，蒸发形成的水蒸气C ．空气中的水蒸气降温形成的小冰晶D ．空气中的水蒸气降温形成的小水滴3．白炽灯的灯丝断了之后，如果再搭接上，还会发光。
这时的耗电功率与原来相比。
( )A ．增加B ．减少C ．不变D ．耗电功率比原来增加或减少由灯丝搭接的位置决定4．为了比较准确地测出一堆相同规格的小橡胶垫圈的数量（估计为1000个），最好采用下列哪种方法？( )A ．将这些垫圈叠在一起，用刻度尺量出总厚度L ，再量出一个垫圈的厚度L1，L L 1即为垫圈总数 B ．将这些垫圈叠在一起，用刻度尺量出总厚度L ，再量10个垫圈的厚度L 1，10L L 10即为垫圈总数 C ．用天平测出这些垫圈的总质量M ，再测出一个垫圈的质量M1，M M 1即为垫圈总数 D ．用天平测出这些垫圈的总质量M ，再测出10个垫圈的质量M10,10M M 10即为垫圈总数 5．白炽灯泡的灯丝常制成螺旋状，这样做的目的是 ( )A ．便于灯丝散热，防止灯丝熔断B ．尽量减少灯丝的电阻C ．减少灯丝散热，提高灯丝的温度D ．减少灯丝在高温时的升华6．拖拉机的履带是由一块块金属板做成的，每块板上都有一、二条凸起的棱 ( )A ．金属板和它上面的棱都是为了减小对地面的压强B ．金属板和它上面的棱都是为了增大对地面的压强C ．金属板是为了减小对地面的压强；棱是为了增大对地面的压强D ．金属板是为了增大对地面的压强；棱是为了减小对地面的压强7．冬天，把自来水笔从室外带到室内，有时会有墨水流出。
奥数专题-倒推法
练习一（倒推法）A组1、一个数加上1，乘以8，减去8，结果还是8，这个数是。
2、某次数学考试中，小强的分数如果减去6，再除以10，然后加上6再乘以8，正好是120分。
那么小强这次考试的成绩是。
3、甲乙丙三个数，从甲数中取出20加到乙数，然后从乙数中取18加到丙数，最后从丙数中取出25加到甲数，这时三个数都恰好是160。
那么甲数原来是。
4、三堆苹果各有若干个。
先从第一堆中拿出与第二堆个数相同的苹果放入第二堆，再从第二堆中拿出与第三堆个数相同的苹果放入第三堆，最后再从第三堆中拿出与这时第一堆个数相同的苹果放入第一堆。
这时三堆苹果都正好是16个。
原来第一堆苹果有个。
5、三个盒子里的珠宝数不等，第一次从甲盒里拿出一些珠宝放入乙丙两盒内，使乙丙两盒里的珠宝数各增加一倍；第二次从乙盒里拿出一些珠宝放入甲丙两盒内，使甲丙两盒里的珠宝数各增加一倍；第三次从丙盒里拿出一些珠宝放入甲乙两盒内，使甲乙两盒里的珠宝数各增加一倍。
这时三个盒里都是48颗珠宝。
最初甲盒子里有颗珠宝。
6、甲乙丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜板拿出一部分给了乙丙，使乙丙的铜板数各增加一倍，后来乙把自己的铜板拿出一部分给了甲丙，使甲丙的铜板数各增加一倍，最后丙也把自己的铜板拿出一部分给了甲乙，使甲乙的铜板数各增加一倍。
这时三人的铜板数都是8枚。
原来最少的人有枚铜板。
7、现有排成一列的七个数，从第三个数起，每个数都是它前面两个数的乘积。
如果最后两个数分别是16、64，那么第一个数是。
8、池塘水面渐渐被长出的睡莲所覆盖了，睡莲长得很快，每天覆盖的面积增加一倍，30天可覆盖整个池塘。
那么覆盖半个池塘需要天。
9、一种水生植物覆盖某湖面的面积每天增大一倍，18天覆盖整个湖面，那么经过16天覆盖整个湖面的。
（吉林省金翅杯小学生数学竞赛试题）10、一种微生物，每小时可增加一倍，现在一批这样的微生物，10小时可增加到100万个。
那么增加到25万个需要小时。
1991年小学数学奥林匹克初赛试题(A)
1991年小学数学奥林匹克初赛试题（A ）1．计算： 41.2×8.1＋7.3×0.9÷41＝ 。
2．计算：12345678910111213÷31211101987654321，它的小数点后前三位数字是 。
3．用方格纸剪成面积是4的图形，其形状只能有以下七种：如果只用其中的一种图形拼成面积是16的正方形，那么可以用的图形共有 种。
4．甲、乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍，己知一月份甲、乙两厂生产玩具的总件数是98件，二月份甲、乙两厂生产的玩具的总数是106件，那么乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量是在 月份。
5．一个5⨯5的方格纸，每个方格己编了号码（见下图—），在挖去一个方格后，可以剪成8个1⨯3的长方形，那么应该挖去的方格的编号是 。
6．有一列数，第一个数是两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是 。
7．某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，如果由甲、乙两人合作，需48天完成，现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需要做 天。
8．龟兔赛跑，全程5．2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停地跑，但兔子却边跑边玩，它先跑一分钟然后玩十五分钟，又跑二分钟然后玩十五分钟，再跑三分钟然后玩十五分钟，……那么先到达终点的比后到达终点的快 分钟9．在右边表格的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的五个数字依（1） （2） （3）（4）（5） （6） （7）次是 。
10．在正方形里画四个小三角形（如图），三角形I 与II 的面积之比是2∶1;三角形III 、IV 的面积相等；三角形I 、II 、III 的面积之和是41平方米，三角形II 、III 、IV 的面积之和是61平方米，那么这四个小三角形的面积总和是 平方米。
⑨竞赛中的复数问题
Y.P .M 数学竞赛讲座 1竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.一、知识结构1.概念与运算:⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b ∈R);②三角式:z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R);③指数式:z=re i θ(r ≥0,θ∈R);④欧拉公式:e i θ=cos θ+isin θ,θ∈R.⑵共轭与模:①21z z ±=21z z ±;21z z ⋅=21z z ⋅;)(21z z =21z z;②||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|;|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|21z z |= ||||21z z ;③z z =|z|2=|z |2;④z=z ⇔z ∈R;|z|=|Re(z)|⇔z ∈R. ⑶运算法则:①乘法:r 1(cos θ1+isin θ2)r 2(cos θ2+isin θ2)=r 1r 2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法:)sin (cos )sin (cos 222121θθθθi r i r ++=21r r (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ);④开方:z n =r(cos θ+isin θ)⇔z =n r (cosnk πθ2++isinnk πθ2+)(k=0,1,2…,n-1).2.辐角与三角:⑴辐角性质:①定义:若z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R),则θ称为复数z 的辐角,记为Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z 的辐角主值,记为argz;②运算:Argz 1+Argz 2=Arg(z 1z 2);Argz 1-Argz 2=Arg(21z z )=Arg(z 12z );nArgz= Argz n ;③性质:若z=cos θ+isin θ,则1+z=2cos2θ(cos 2θ+isin 2θ);1-z=-2sin 2θ(cos 2θ+isin 2θ). ⑵单位根:①定义:方程x n =1的n 个根叫做n 次单位根,分别记为ωk (k=0,1,2,…,n-1);ωk =(cosn k π2+isin nk π2)(k=0, 1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk =ω1k ;ωk ωj =ωk+j ;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x-ω1n-1)=x n -1.⑶基本结论:①实系数n 次方程的虚根α与其共轭复数α成对出现;②若|z 1|=|z 2|=…=|z n |,且z 1+z 2+…+z n =0,则z 1,z 2, …,z n 对应的点是正n 边形的顶点,且正n 边形的中心在坐标原点;③若复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,且z 1=z 0z 2,则∠Z 1OZ 2=argz 0,或argz 0-π.3.复数与几何:⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi 与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi 与向量OZ =(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,则|Z 1Z 2|=|z 1-z 2|;④旋转公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,向量21z z 绕点Z 1逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量z z 1中的Z 对应的复数z=z 1+r(z 2-z 1)(cos θ+isin θ).⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,点Z 分有向线段21z z 的比为λ(λ≠-1),则z=λλ++121z z ;②三点共线:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,则三点Z,Z 1,Z 2共线的充要条件是:Z=λZ 1+(1-λ)Z 2;③平行条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2∥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4);④垂直条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2⊥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4)i.2 Y.P .M 数学竞赛讲座⑶几何结论:①三角形面积:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3的面积=21×复数(z 13z +z 21z +z 32z )的虚部;②三角形形状:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形的充要条件是:z 12+z 22+z 32=z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1;或z 1+ωz 2+ω2z 3=0;③三角形相似:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,复数w 1,w 2,w 3对应的点分别为W 1,W 2,W 3,则△Z 1Z 2Z 3∽△W 1W 2W 3的充要条件是:1312z z z z --=1312w w ww --;④四点共圆:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则四点Z 1, Z 2,Z 3,Z 4共圆的充要条件是:1413z z z z --:2423z z z z --∈R. 二、典型问题1.复数概念[例1]:(2006年全国高中数学联赛试题)若对一切θ∈R,复数z=(a+cos θ)+(2a-sin θ)i 的模不超过2,则实数a 的取值范围为 .[解析]:[类题]:1.①(2010全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数z 1=m+2i,z 2=3-4i,若21z z 为实数,则实数m 的值为 . ②(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z 2为实数的条件是z 2= .2.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)若3131-+z z 为纯虚数,则|z|= . 3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a 的值为 .4.(1994年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2>c 2,则a 2+b 2-c 2>0;②设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2-c 2>0,则a 2+b 2>c 2.那么下述说法正确的是( )(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确 5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设z 是虚数,w=z+z1,且-1<w<2,则z 的实部取值范围为 . 2.代数形式[例2]:(1995年全国高中数学联赛试题)设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= . [解析]: [类题]:1.①(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i)4+(1-i)4= .②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:！！！！i i i i 100210+⋅⋅⋅+++= .2.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知i 2=-1,在集合{s|s=1+i+i 2+i 3+…+i n,n ∈N}中包含的元素是 .3.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列{a n }满足a 1=0,a n =a n-12+i(n ≥2,i 为虚数单位,则它的前2007项的和= .4.(2000年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{z n }满足z 1=i,z n+1=-z n 2-i,则|z 2000|=5.(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2成为实数的所有x 构成的集合是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 3 3.三角形式[例3]:(1999年全国高中数学联赛试题)给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足:⎪⎩⎪⎨⎧=++===11||||||133221321z z z z z z z z z ,求|az 1+bz 2+cz 3|的值.[解析]: [类题]:1.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)设A 、B 、C 为△ABC 的三内角,则复数Ai A C i C B i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++的虚部是 .2.(1992年湖南高中数学夏令营试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=1,z 1-z 2=cos150+isin150,则21z z = . 3.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)设|z 1|=|z 2|=a(a ≠0),且z 1+z 2=m+mi,其中m 为非零实数.则z 13z 23的值是 . 4.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设|z|=1,则|z 2-z+2|的最小值为 .5.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知复数集合D,复数z ∈D 当且仅当存在模为1的复数z 1,使得|z-2005-2006i| =|z 14+1-2z 12|.则D 中实部和虚部都为整数的复数的个数是 .4.共轭运算[例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=23-i,则z 1z 2= .[解析]: [类题]:1.(1986年全国高中数学联赛试题)为z 为复数,M={z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数} 2.(1985年全国高中数学联赛试题)设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2||1λλ-+ww 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( )(A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 3.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|,且z 1-z 2=2-i,则||2121z z z z 的值为 . 4.(1996年湖南高中数学夏令营试题)z 1,z 2是已知的两个任复数,复数z 满足z ≠0,z+z 2≠0,z z 1+z 2z +z 12z =0,则 arg21z z z z ++= . 5.(1991年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3,|z 1-z 2|=33,则log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|= .5.模的运算[例5]:(2011年全国高中数学联赛新疆初赛试题)复数z 1和z 2满足:|z 2|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,则|(z 1+1)2(z 1-2)|的最大值为 .[解析]: [类题]:1.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)|)52)(32()35)(25)(23(2i i i i i --+++|= .2.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数z 满足|z|(3z+2i)=2(iz −6),则|z|等于 .3.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{z n }是一个复数数列,定义z n =(1+i)(1+2i ) (1)ni ),则∑=+-nn n n z z 11||= .4.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 满足z z -z-z =3,且arg(z-1)=3π,则z= .4 Y.P .M 数学竞赛讲座5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z 是复数,且|z|=1,则u=|z 2-z+1|的最大值与最小值是 .6.乘方运算[例6]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n ≥2007,且n 为使得a n =(22-+i 22+)n取实数值的最小正整数,则对应此n 的a n = .[解析]: [类题]:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:(21i -)1989= .2.①(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z=(3-3i)n,若z 为实数,则最小的正整数n 的值为 . ②(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设n 为使a n =(213++213-i)n取实数的最小自然数,则对应此n 的a n = .3.①(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sin θ+icos θ)n=sinn θ+icosn θ成立,则这种n 的总个数为 .②(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设m 、n 是自然数,且使(3+i)m=(1+i)n成立(其中i 是虚数单位),则乘积mn 的最小值是 .4.(2010年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z 为复数.若|z|=1,|z +i|=1,则当(z+i)n(n 为正整数)为实数时,|z+i|n的最小值为 .5.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)[(23i +)8+1]n当n 取1,2,…,100时,可得 个不同的数值. 7.单位复数[例7]:(1991年全国高中数学联赛试题)设a,b,c 均为非零复数,且ba =cb =ac ,则cb ac b a +--+的值为 .[解析]: [类题]:1.①(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x 1,x 2是方程x 2-x+1=0的两个根,则x 11980+198021x = .②(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知复数m 满足m+m 1=1,则m 2008+20091m= . 2.①(1990年全国高中数学联赛试题)设非零数复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式(y x x +)1990+(yx y +)1990的值是 . ②(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设非零数相异复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式[2))((y x y x xy -+]2006(x2006+y2006)的值是 .3.(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若z ∈C,且x 10=1,则1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010= .4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 满足:z 3=27,则z 5+3z 4+2242= . 5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则f(x)的系数之和是 .8.复数方程[例8]:(1994年全国高中数学联赛试题)x 的二次方程x 2+z 1x+z 2+m=0中,z 1,z 2,m 均是复数,且z 12-4z 2=16+20i,设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=27,求|m|的最大值和最小值.[解析]:Y.P .M 数学竞赛讲座 5 [类题]:1.(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)若虚数z 使2z+z 1为实数,则2z+z1的取值范围是_____. 2.(1993年全国高中数学联赛试题)二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________.3.(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程z 4=z (z 为z 的共轭复数)的根为 .4.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)复数z 满足等式z+z |z|3=0,则z= .5.(2000年全国高中数学联赛试题)设ω=cos5π+isin5π,则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )(A)x 4+x 3+x 2+x+1=0 (B)x 4-x 3+x 2-x+1=0 (C)x 4-x 3-x 2+x+1=0 (D)x 4+x 3+x 2-x -1=09.复数与点[例9]:(1998年全国高中数学联赛试题)设复数z=cos θ+isin θ(00≤θ≤1800),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以线段PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S 到原点距离的最大值是 _.[解析]:[类题]:1.(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若点A,B 分别对应复数z,z -1,z ∉R,则直线AB 与x 轴的交点对应的复数为(用z 和z 表示).3.(2002年湖南高中数学夏令营试题)已知z 为复数,arg(z+3)=1350,则|3||6|1i z z -++取最大值时,z= .4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在复平面内由i1,1-i ,(i-1)3对应的点构成的三角形的最大内角等于 .5.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)如果复数z 满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数f(z)= |(z+1)(z -i)|取最大值时,△ABZ 的形状是 .10.模的意义[例10]:(2002年全国高中数学联赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,若它们所对应向量的夹角为600,则|2121z z z z -+|= . [解析]: [类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设复数z 1=(2-a)+(1-b)i,z 2=(3+2a)+(2+3b)i,z 3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b ∈R,当|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值时,3a+4b= .②(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|≥1,|z 2|≥23,则复数i 1993z 1+i 1995z 2+2z 1z 2的模长的最小值是 .2.(2010年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设z 是复数,则|z-1|+|z-i|+|z+1|的最小值等于__________.3.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设z 是模为2的复数,则|z-z1|的最大值与最小值的和为 . 4.(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为6 Y.P .M 数学竞赛讲座M,m,则mM= . 5.(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 的模为1,则函数|z 2+iz 2+1|的值域是 .11.幅角主值[例11]:(1998年全国高中数学联赛试题)已知复数z=1-sin θ+icos θ(2π<θ<π).求z 的共轭复数z 的辐角主值.[解析]: [类题]:1.(1984年全国高中数学联赛试题)集合S={z 2|argz=a,a ∈R}在复平面的图形是( )(A)射线argz=2a (B)射线argz=-2a (C)射线argz=-a (D)上述答案都不对 2.(1998年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设z 是复数,z+2的幅角为3π,z-2的幅角为65π,则z= . 3.(1993年全国高中数学联赛试题)若z ∈C,arg(z 2-4)=65π,arg(z 2+4)=3π,则z 的值是________. 4.(1992年全国高中数学联赛试题)设z 1,z 2都是复数,且|z 1|=3,|z 2|=5|z 1+z 2|=7,则arg(12z z )3的值是______. 5.(1999年全国高中数学联赛试题)已知θ=arctan125,那么,复数z=i i ++2392sin 2cos θθ的辐角主值是_________.12.几何形状[例12]:(1995年全国高中数学联赛试题)设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z 1,z 2,…,z 20,则复数Z 11995,z 21995,…,z 201995所对应的不同的点的个数是 .[解析]: [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若在复平面上三个点A(0),B(z 0-z),C(z 0+z)构成以A 为直角顶点的等腰直 角三角形,其中z 0=-31+32i,则△ABC 的面积为 . 2.①(1992年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z 1|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设复数z 1、z 2满足z 1z 2=1,z 13+z 23=0,且z 1+z 2≠0.z 1、z 2在复平面内的对应点为Z 1、Z 2,O 为原点,则△Z 1OZ 2的面积是_____.3.(1996年全国高中数学联赛试题)复平面上,非零复数z 1,z 2在以i 为圆心,1为半径的圆上,1z z 2的实部为零,z 1的辐角主值为6π,则z 2=_______.4.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知关于x 的实系数方程x 2-2x+2=0和x 2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m 的取值范围是 .5.(1997年全国高中数学联赛试题)设非零复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++===Sa a a a a a a a a a a a a a a a a a )11111(4543215432145342312,其中S 为实数,且|S|≤2.求证:复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上.Y.P .M 数学竞赛讲座 7 13.解折综合[例13]:(2003年全国高中数学联赛试题)设A,B,C 分别是复数Z 0=ai,Z 1=21+bi,Z 2=1+ci(其中a,b,c 都是实数)对应的不共线的三点,证明:曲线Z ＝Z 0cos 4t+2Z 1cos 2tsin 2t+Z 2sin 4t(t ∈R )与∆ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.[解析]:[类题]:1.(1993年全国高中数学联赛试题)设m,n 为非零复数,i 为虚数单位,z ∈C,则方程|z+ni|+|z -mi|=n 与|z+ni|-|z -mi| -m 在同一复平面内的图形(F 1,F 2为焦点)是( )xx(B) (C) (D) 2.(1989年全国高中数学联赛试题)若M={z|z=t t +1+i tt+1,t ∈R,t ≠-1,t ≠0},N={z|z=2[cos(arcsint)+icos(arccost)],t ∈R,|t|≤1},则M ∩N 中元素的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)43.(1988年全国高中数学联赛试题)复平面上动点z 1的轨迹方程为|z 1-z 0|=|z 1|,z 0为定点,z 0≠0,另一个动点z 满足z 1z=-1,求点z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.4.①(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z,w 满足:|z-1-i|-|z|=2,|w+3i|=1,则|z –w|的最小值= .②(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)x 、y 是实数.z 1=x+11+yi,z 2=x-11+yi(i 为虚数单位),|z 1|+|z 2|=12,令u=|5x −6y −30|,则u 的最大值是_____,u 的最小值是_____.5.(1996年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知满足条件|z 2|+|z 2−1|=7的复数z 在复平面内的所对应的点的集合是一条二次曲线,则该二次曲线的离心率e=_____.14.复数应用[例14]:(2001年全国高中数学联赛试题)若(1+x+x 2)1000的展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2000x 2000,则a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998的值为 .[解析]: [类题]:1.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知sin α+sin β=51,cos α+cos β=31,则)(2sin )(2cos 1)(2sin )cos(21βαβαβαβα+++++++-= .2.(2007年湖北数学奥林匹克夏令营试题)求值:tan700-010cos 1= .3.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)化简arccot2+arctan 31= . 4.(2012年复旦自主招生试题)arctan 31+arctan 51+arctan 71+arctan 81= .Y.P .M 数学竞赛讲座 1竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.一、知识结构1.概念与运算:⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b ∈R);②三角式:z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R);③指数式:z=re i θ(r ≥0,θ∈R);④欧拉公式:e i θ=cos θ+isin θ,θ∈R.⑵共轭与模:①21z z ±=21z z ±;21z z ⋅=21z z ⋅;)(21z z =21z z;②||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|;|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|21z z |= ||||21z z ;③z z =|z|2=|z |2;④z=z ⇔z ∈R;|z|=|Re(z)|⇔z ∈R. ⑶运算法则:①乘法:r 1(cos θ1+isin θ2)r 2(cos θ2+isin θ2)=r 1r 2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法:)sin (cos )sin (cos 222121θθθθi r i r ++=21r r (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ);④开方:z n =r(cos θ+isin θ)⇔z =n r (cosnk πθ2++isinnk πθ2+)(k=0,1,2…,n-1).2.辐角与三角:⑴辐角性质:①定义:若z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R),则θ称为复数z 的辐角,记为Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z 的辐角主值,记为argz;②运算:Argz 1+Argz 2=Arg(z 1z 2);Argz 1-Argz 2=Arg(21z z )=Arg(z 12z );nArgz= Argz n ;③性质:若z=cos θ+isin θ,则1+z=2cos2θ(cos 2θ+isin 2θ);1-z=-2sin 2θ(cos 2θ+isin 2θ). ⑵单位根:①定义:方程x n =1的n 个根叫做n 次单位根,分别记为ωk (k=0,1,2,…,n-1);ωk =(cosn k π2+isin nk π2)(k=0, 1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk =ω1k ;ωk ωj =ωk+j ;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x-ω1n-1)=x n -1.⑶基本结论:①实系数n 次方程的虚根α与其共轭复数α成对出现;②若|z 1|=|z 2|=…=|z n |,且z 1+z 2+…+z n =0,则z 1,z 2, …,z n 对应的点是正n 边形的顶点,且正n 边形的中心在坐标原点;③若复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,且z 1=z 0z 2,则∠Z 1OZ 2=argz 0,或argz 0-π.3.复数与几何:⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi 与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi 与向量OZ =(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,则|Z 1Z 2|=|z 1-z 2|;④旋转公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,向量21z z 绕点Z 1逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量z z 1中的Z 对应的复数z=z 1+r(z 2-z 1)(cos θ+isin θ).⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,点Z 分有向线段21z z 的比为λ(λ≠-1),则z=λλ++121z z ;②三点共线:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,则三点Z,Z 1,Z 2共线的充要条件是:Z=λZ 1+(1-λ)Z 2;③平行条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2∥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4);④垂直条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2⊥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4)i.2 Y.P .M 数学竞赛讲座⑶几何结论:①三角形面积:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3的面积=21×复数(z 13z +z 21z +z 32z )的虚部;②三角形形状:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形的充要条件是:z 12+z 22+z 32=z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1;或z 1+ωz 2+ω2z 3=0;③三角形相似:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,复数w 1,w 2,w 3对应的点分别为W 1,W 2,W 3,则△Z 1Z 2Z 3∽△W 1W 2W 3的充要条件是:1312z z z z --=1312w w ww --;④四点共圆:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则四点Z 1, Z 2,Z 3,Z 4共圆的充要条件是:1413z z z z --:2423z z z z --∈R. 二、典型问题1.复数概念[例1]:(2006年全国高中数学联赛试题)若对一切θ∈R,复数z=(a+cos θ)+(2a-sin θ)i 的模不超过2,则实数a 的取值范围为 .[解析]:|z|≤2⇔(a+cos θ)2+(2a-sin θ)2≤4⇔2acos θ-4asin θ≤3-5a 2⇔-25asin(θ+φ)≤3-5a 2⇔25|a|≤3-5a 2⇔(5|a|-1)(5|a|+3)≤0⇔a ∈[-55,55]. [类题]:1.①(2010全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数z 1=m+2i,z 2=3-4i,若21z z 为实数,则实数m 的值为 . ②(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z 2为实数的条件是z 2= .2.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)若3131-+z z 为纯虚数,则|z|= . 3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a 的值为 .4.(1994年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2>c 2,则a 2+b 2-c 2>0;②设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2-c 2>0,则a 2+b 2>c 2.那么下述说法正确的是( )(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确 5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设z 是虚数,w=z+z1,且-1<w<2,则z 的实部取值范围为 . 解:设z=a+bi ⇒w=a+bi+22ba bi a +-=a+22ba a ++(b-22ba b +)i.由-1<w<2⇒w 为实数⇒b-22ba b +=0⇒b=0,或a 2+b 2=1.当b=0时,a ≠0,w=a+a 1⇒|w|≥2,不符合-1<w<2;当a 2+b 2=1时,w=2a,由-1<w<2⇒-21<a<1. 2.代数形式[例2]:(1995年全国高中数学联赛试题)设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= . [解析]:设α=a+bi(a,b ∈R)⇒β=a-bi ⇒αβ=a 2+b 2∈R,α-β=2bi,|α-β|=23⇒|b|=3,2βα=23)(αβα为实数⇒α3=(a+bi)3=(a 3-3ab 2)+(3a 2b-b 3)i 为实数⇒3a 2b-b 3=0⇒|a|=1⇒|α|=2.[类题]:1.①(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i)4+(1-i)4= .②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:！！！！i i i i 100210+⋅⋅⋅+++= . Y.P .M 数学竞赛讲座 32.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知i 2=-1,在集合{s|s=1+i+i 2+i 3+…+i n,n ∈N}中包含的元素是 .3.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列{a n }满足a 1=0,a n =a n-12+i(n ≥2,i 为虚数单位,则它的前2007项的和= .4.(2000年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{z n }满足z 1=i,z n+1=-z n 2-i,则|z 2000|=5.(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2成为实数的所有x 构成的集合是 .解:复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2为实数⇔[sinx+sin2x+i(2cos 2xsinx-tanx)](cosx+i)为实数⇔sinx+sin2x+(2cos 2xsinx-tanx)cosx=0⇔sin2x+cos 2xsin2x=0⇔sin2x=0⇔sinx=0(cosx ≠0)⇔x=k π.3.三角形式[例3]:(1999年全国高中数学联赛试题)给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足:⎪⎩⎪⎨⎧=++===11||||||133221321z z z z z z z z z ,求|az 1+bz 2+cz 3|的值.[解析]:由|z 1|=|z 2|=|z 3|=1,可设z 1=cos α+isin α,z 2=cos β+isin β,z 3=cos γ+isin γ⇒21z z +32z z+13z z =cos(α-β)+ isin(α-β)+cos(β-γ)+isin(β-γ)+cos(γ-α)+isin(γ-α)=1⇒sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)=0⇒ 2sin2γα-cos22βγα-+-2sin2γα-cos2γα-=0⇒sin2γα-sin2αβ-sin2βγ-=0.当sin2αβ-=0时,β=2k π+α⇒z 1=z 2,由21z z +32z z +13z z =1⇒31z z+13z z =0⇒(13z z )2+1=0⇒13z z =±i ⇒|az 1+bz 2+cz 3|=|(a+b ±ic)z 1|=22)(c b a ++;同理可得:当sin2βγ-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|=22)(a c b ++;当sin2γα-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|=22)(b c a ++.[类题]:1.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)设A 、B 、C 为△ABC 的三内角,则复数Ai A C i C B i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++的虚部是 . 解:A i A C i CB i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++=)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2A i A AC i C C B i B B ++⋅+=2A C B cos cos cos Ai A C B i C B sin cos )sin()cos(-+++=2A CB cos cos cos [(cos(A+B+C)+isin(A+B+C))=-2ACB cos cos cos ,虚部是0.2.(1992年湖南高中数学夏令营试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=1,z 1-z 2=cos150+isin150,则21z z = . 解:设z 1=cos α+isin α,z 2=cos β+isin β⇒z 1-z 2=(cos α-cos β)+(sin α-sin β)i=cos150+isin150⇒cos α-cos β=cos150,sin α-sin β=sin150⇒(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=1⇒cos(α-β)=21,sin α-sin β=±23⇒21z z=cos(α-β)+isin(α-β)=21±23i. 3.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)设|z 1|=|z 2|=a(a ≠0),且z 1+z 2=m+mi,其中m 为非零实数.则z 13z 23的值是 . 解:设z 1=acos α+aisin α,z 2=acos β+aisin β,由z 1+z 2=m+mi ⇒a(cos α+cos β)=m,a(sin α+sin β)=m ⇒cos α+cos β=4 Y.P .M 数学竞赛讲座sin α+sin β⇒2cos2βα+cos2βα-=2sin2βα+cos2βα-⇒cos2βα+=sin2βα+⇒tan2βα+=1⇒α+β=2π⇒z 1z 2=a 2[cos(α+β)+isin(α+β)]=a 2i ⇒z 13z 23=(z 1z 2)3=-a 6i.4.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设|z|=1,则|z 2-z+2|的最小值为 .解:设z=cos θ+isin θ⇒|z 2-z+2|=|cos2θ+isin2θ-cos θ-isin θ+2|=|cos2θ-cos θ+2+(sin2θ-sin θ)i|=θθ2cos 4cos 66+-=87)83(cos 82+-θ≥414. 5.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知复数集合D,复数z ∈D 当且仅当存在模为1的复数z 1,使得|z-2005-2006i| =|z 14+1-2z 12|.则D 中实部和虚部都为整数的复数的个数是 .解:设z 1=cos θ+isin θ⇒|z 14+1-2z 12|=|(z 12-1)2|=|z 12-1|2=|cos2θ-1+isin2θ|2=(cos2θ-1)2+sin 22θ=2-2cos2θ≤4⇒|z-2005-2006i|≤4,设z=x+yi ⇒(x-2005)2+(y-2006)2≤16⇔x 2+y 2≤16共有49个解.4.共轭运算[例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=23-i,则z 1z 2= .[解析]:|z 1|=2,|z 2|=3⇒z 11z =4,z 22z =9⇒23-i=3z 1-2z 2=31z 1z 22z -21z 2z 11z =61z 1z 2(22z -31z )=-61z 1z 2(31z -22z )= -61z 1z 2(23+i)⇒z 1z 2=-1330+1372i.[类题]:1.(1986年全国高中数学联赛试题)为z 为复数,M={z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数}解:(z-1)2=|z-1|2⇔(z-1)2=(z-1)(z -1)⇔z=1,或z=z ⇔M={实数}.2.(1985年全国高中数学联赛试题)设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2||1λλ-+ww 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( )(A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 解:z -λz=w ⇒z-λz =w ⇒z-λ(λz+w)=w ⇒(1-λλ)z=λw+w ⇒z=2||1λλ-+ww .故选(A). 3.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|,且z 1-z 2=2-i,则||2121z z z z 的值为 . 解:设|z 1|=|z 2|=a ⇒z 11z =z 22z =a 2⇒a 2(2-i)=z 1z 22z -z 2z 11z =-z 1z 2(1z -2z )=-z 1z 2(2+i)⇒||2121z z z z =221az z =i i ++-22=543i +-. 4.(1996年湖南高中数学夏令营试题)z 1,z 2是已知的两个任复数,复数z 满足z ≠0,z+z 2≠0,z z 1+z 2z +z 12z =0,则 arg21z z z z ++= . 解:z z 1+z 2z +z 12z =0⇒z z 1+(z+z 1)2z =0⇒z z 1z 2+(z+z 1)2z z 2=0;z z 1+z 2z +z 12z =0⇒z 1z +z z 2+1z z 2=0⇒z z 2+(z+z 2)1z =0⇒z z 1z 2+(z+z 2)1z z 1=0⇒(z+z 1)2z z 2=(z+z 2)1z z 1⇒21z z z z ++=2211z z zz =正实数⇒arg 21z z z z ++=0. 5.(1991年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3,|z 1-z 2|=33,则log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|= . 解:9=|z 1|2=z 11z ,9=|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)(1z +2z )=z 11z +z 22z +z 21z +z 12z ;27=|z 1-z 2|2=(z 1-z 2)(1z -2z )=z 11z +z 22z -(z 21z +z 12z )⇒z 11z +z 22z =18⇒z 22z =9⇒|z 2|=3⇒|z 21z |=|z 12z |=9,z 21z +z 12z =-9,设z 12z =9(cos θ+isin θ)⇒z 21z =9(cos θ-isin θ)⇒cos θ=-21⇒sin θ=±23⇒z 12z =9ω,或ω2⇒log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|=log 3|(9ω)2000+(9ω2)2000|= Y.P .M 数学竞赛讲座 5log 3|92000(ω+ω2)|=4000.5.模的运算[例5]:(2011年全国高中数学联赛新疆初赛试题)复数z 1和z 2满足:|z 2|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,则|(z 1+1)2(z 1-2)|的最大值为 .[解析]: 由4z 12-2z 1z 2+z 22=0⇒3z 12+(z 1-z 2)2=0⇒(z 1-z 2)2=-3z 12⇒z 1-z 2=±3z 1i ⇒z 2=(1±3i)z 1⇒|z 2|=2|z 1|⇒|z 1|=2,设z 1=2(cos α+isin α)⇒|(z 1+1)2(z 1-2)|=|(z 1+1)2||(z 1-2)|=[(2cos α+1)2+(2sin α)2]22)sin 2()2cos 2(αα+-=)cos 88()cos 45(2αα-+≤36(cos α=41). [类题]:1.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)|)52)(32()35)(25)(23(2i i i i i --+++|= .2.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数z 满足|z|(3z+2i)=2(iz −6),则|z|等于 .解:设|z|=r(r>0)⇒z=i r ri 23212+-+⇒r 2=|z|2=|i r ri 23212+-+|2=22|23||212|i r ri +-+=49414422++r r ⇒r 4=16⇒r=2. 3.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{z n }是一个复数数列,定义z n =(1+i)(1+2i ) (1)ni ),则∑=+-nn n n z z 11||= .解:|z n -z n+1|=1.4.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 满足z z -z-z =3,且arg(z-1)=3π,则z= .解:z z -z-z =3⇒(z-1)(z -1)=4⇒|z-1|=2⇒z-1=2(cos3π+isin3π).5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z 是复数,且|z|=1,则u=|z 2-z+1|的最大值与最小值是 . 解:u=|z 2-z+1|=|z 2-z+z z |=|z(z+z -1)|=|z+z -1|.设z=x+yi,则|x|≤1⇒u=|z+z -1|=|2x-1|∈[0,3].6.乘方运算[例6]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n ≥2007,且n 为使得a n =(22-+i 22+)n取实数值的最小正整数,则对应此n 的a n = .[解析]:令tan θ=2222-+(0<θ<2π)⇒tan 2θ=2222-+=3+22⇒tan θ=2+1⇒tan2θ=-1⇒2θ=43π⇒θ=83π⇒ a n =[r(cos83π+isin 83π)]n =r n(cosn 83π+isinn 83π)取实数值,其中r=2⇒sinn 83π=0⇒n 83π=k π⇒3n=8k ⇒n=8m,满足此条件且n ≥2007的最小正整数n 为2008,此时a n =a 2008=22008cos753π=-22008.[类题]:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:(21i -)1989= .2.①(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z=(3-3i)n,若z 为实数,则最小的正整数n 的值为 . 解:令tan θ=-33=-3⇒θ=35π⇒3-3i=23(cos35π+isin 35π)⇒z=(3-3i)n =[23(cos 35π+isin 35π)]n= (23)n[cos(35πn)+isin(35πn)]为实数⇔sin(35πn)=0⇔35πn=k π⇔k=35n⇒最小的正整数n 的值为3. ②(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设n 为使a n =(213++213-i)n取实数的最小自然数,则对应此n 的 6 Y.P .M 数学竞赛讲座a n = .3.①(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sin θ+icos θ)n=sinn θ+icosn θ成立,则这种n 的总个数为 .解:(sin θ+icos θ)n=[i(cos θ-isin θ)]n=i n[cos(-θ)+isin(-θ)]n=i n[cos(-n θ)+isin(-n θ)]=i n[cos(n θ)-isin(nθ)]=i n-1(sinn θ+icosn θ)⇒i n-1=1⇒n-1=4k ⇒n=4k+1(n ≤2003)⇒k ≤500⇒(k=0)这种n 的总个数为501.②(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设m 、n 是自然数,且使(3+i)m=(1+i)n成立(其中i 是虚数单位),则乘积mn 的最小值是 .4.(2010年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z 为复数.若|z|=1,|z +i|=1,则当(z+i)n(n 为正整数)为实数时,|z+i|n的最小值为 .解:由|z|=1⇒z z =1,|z +i|=1⇒(z +i)(z-i)=1⇒(z -z)i=1⇒z-z =i ⇒z=±23+21i ⇒z+i=±23+23i=±3(21± 23i)⇒(z+i)n=(±3)n(21±23i)n,其中w=21±23i 是方程w 2-w+1=0的根⇒w 3=-1⇒n=3时,|z+i|n的最小值为33.5.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)[(23i +)8+1]n当n 取1,2,…,100时,可得 个不同的数值. 解:[(23i +)8+1]n =[(-i)8(231i +-)8+1]n =[(-i ω)8+1]n =(ω2+1)n =(-ω)n,可得6个不同的数值. 7.单位复数[例7]:(1991年全国高中数学联赛试题)设a,b,c 均为非零复数,且ba =cb =ac ,则cb ac b a +--+的值为 .[解析]:设ba =cb =ac =x ⇒a=xb,b=xc,c=xa ⇒abc=x 3abc ⇒x 3=1⇒x=1,x=ω,x=ω2(三次方程有三个根)=0⇒cb a cb a +--+= 1122+--+x x x x =1,或ω,或ω2.[类题]:1.①(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x 1,x 2是方程x 2-x+1=0的两个根,则x 11980+198021x = .解:x i 6=1⇒x 11980=1,198021x =1⇒x 11980+198021x =2;②(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知复数m 满足m+m 1=1,则m 2008+20091m= . 解:m+m 1=1⇒m 2-m+1=0⇒(m+1)(m 2-m+1)=0⇒m 3=-1⇒m 6=1⇒m 2008=m 4=-m,m 2009=m 5=m 1⇒m 2008+20091m=-m+m=0. 2.①(1990年全国高中数学联赛试题)设非零数复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式(y x x +)1990+(yx y +)1990的值是 . 解:x 2+xy+y 2=0⇒(y x )2+y x +1=0.令y x =ω⇒ω2+ω+1=0⇒ω3=1⇒(y x x +)1990+(y x y +)1990=19901990)1(ωω++1990)1(1ω+= 19902)(ωω-+19902)(1ω-=21ωω+=-1. ②(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设非零数相异复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式[2))((y x y x xy -+]2006(x2006+y2006)的值是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 73.(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若z ∈C,且x 10=1,则1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010= .解:若z ∈R,由x 10=1⇒x=±1.当x=1时,1+x+x 2+x 3+…+x2009+x2010=2011;当x=-1时,1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x2010=1;若z ≠±1,由x 10=1⇒(x 2-1)(x 8+x 6+x 4+x 2+1)=0⇒x 8+x 6+x 4+x 2+1=0⇒x 9+x 7+x 5+x 3+x=0⇒1+x+x 2+x 3+…+x 10=0⇒1+x+x 2+x 3+…+x2009+x 2010=1.4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 满足:z 3=27,则z 5+3z 4+2242= . 5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则f(x)的系数之和是 . 解:(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)⇒f(1)+ig(1)=(23+21i)2008=(-i)2008(-21+23i)2008=ω2008=ω=-21+23i ⇒f(1)=-21. 8.复数方程[例8]:(1994年全国高中数学联赛试题)x 的二次方程x 2+z 1x+z 2+m=0中,z 1,z 2,m 均是复数,且z 12-4z 2=16+20i,设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=27,求|m|的最大值和最小值.[解析]:由韦达定理知α+β=-z 1,αβ=z 2+m ⇒28=|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|z 12-4z 2-4m|=|16+20i-4m|⇒|m-(4+5i)|=7⇒m 在以A(4,5)为圆心,7为半圆的圆上⇒|m|≥7-|OA|=7-41;|m|≤7+|OA|=7+41.[类题]:1.(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)若虚数z 使2z+z 1为实数,则2z+z1的取值范围是_____. 2.(1993年全国高中数学联赛试题)二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________.解:设方程有实根x 0,则(x 02+λx 0+1)+(-x 02+x 0+λ)i=0⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++001020020λλx x x x ⇒(x 0+1)(λ+1)=0⇒x 0=-1⇒λ=2;λ=-1⇒x 02-x 0+1=0无实根,综上,λ=2;所以,有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为λ≠2.3.(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程z 4=z (z 为z 的共轭复数)的根为 .解:z 4=z ⇒|z|4=|z |⇒|z|=0,1⇒z=0,z 5=z z ⇒z 5=1⇒z=cos52πk +isin 52πk (k=0,1,2,3,4) 4.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)复数z 满足等式z+z |z|3=0,则z= .解:由z+z |z|3=0⇒z=-z |z|3⇒|z|=|-z |z|3|⇒|z|=|z |||z|3⇒|z|=|z|4⇒|z|=0,1;当|z|=0时,由z+z |z|3=0⇒z=0;当|z|=1时,由z+z |z|3=0⇒z+z =0⇒z 是纯虚数⇒z=±i. 5.(2000年全国高中数学联赛试题)设ω=cos5π+isin5π,则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )(A)x 4+x 3+x 2+x+1=0 (B)x 4-x 3+x 2-x+1=0 (C)x 4-x 3-x 2+x+1=0 (D)x 4+x 3+x 2-x -1=0 解:ω=cos5π+isin5π=cos102π+isin102π⇒ω,ω2,…,ω10是1的10个10次方根⇒(x-ω)(x-ω2)…(x-ω10)=x 10-1;又因ω2,ω4,ω6,ω8,ω10是1的5个5次方根⇒(x-ω2)(x-ω4)…(x-ω10)=x 5-1;两式相除得:(x-ω)(x-ω3)…(x-ω9)=x 5+1,其中ω5=cos π+isin π=-1⇒x-ω5=x+1⇒(x-ω)(x-ω3)(x-ω7)(x-ω9)=115++x x =x 4-x 3+x 2-x+1.选(B). 9.复数与点[例9]:(1998年全国高中数学联赛试题)设复数z=cos θ+isin θ(00≤θ≤1800),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以线段PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S 到原点距离的最大值是 _.[解析]:设点S 对应的复数为ω,由PQSR 为平行四边形⇒ω+z=(1+i)z+2z⇒ω=zi+2z ⇒|ω|2=(zi+2z )(-z i+2z)=5z z +2i(z 2-z 2)=5-4sin2θ≤9,当θ=43π时,等号成立⇒点S 到原点距离的最大值是3. 8 Y.P .M 数学竞赛讲座 [类题]:1.(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若点A,B 分别对应复数z,z -1,z ∉R,则直线AB 与x 轴的交点对应的复数为(用z 和z 表示). 解:设A(a,b)⇒B(22b a a +,-22b a b +)⇒直线AB:y-b=)1()1(2222-+++b a a b a b (x-a),令y=0⇒x=1222++b a a =1++z z z z .3.(2002年湖南高中数学夏令营试题)已知z 为复数,arg(z+3)=1350,则|3||6|1i z z -++取最大值时,z= .解:|3||6|1i z z -++取最大值⇒|z+6|+|x-3i|取最小值⇒z 在线段x-2y+6=0(-6≤x ≤0)上;arg(z+3)=1350⇒z+3在射线y=-x(x ≤0)上⇒z 在射线y=-x-3(x ≤-3)上⇒z=-4+i.4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在复平面内由i1,1-i ,(i-1)3对应的点构成的三角形的最大内角等于 .5.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)如果复数z 满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数f(z)= |(z+1)(z -i)|取最大值时,△ABZ 的形状是 .解:设z=cos θ+isin θ⇒f(z)=|(z+1)(z -i)|=|[(1+cos θ)+isin θ][cos θ-(1+sin θ)i]|=|(1+cos θ)+isin θ||cos θ -(1+sin θ)i|=θcos 22+θsin 22+=2)sin 1)(cos 1(θθ++,为等腰三角形.10.模的意义[例10]:(2002年全国高中数学联赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,若它们所对应向量的夹角为600,则|2121z z z z -+|= . [解析]:设z 1,z 2,z 1+z 2对应的点分别为A,B,C,则四边形OACB 是平行四边形,且∠AOB=600⇒|z 1-z 2|=|AB|=7;|z 1+z 2|=|OC|=19⇒|2121z z z z -+|=7133.[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设复数z 1=(2-a)+(1-b)i,z 2=(3+2a)+(2+3b)i,z 3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b ∈R,当|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值时,3a+4b= .解:易求得z 1+z 2+z 3=8+6i,于是|z 1|+|z 2|+|z 3|≥|z 1+z 2+z 3|=|8+6i|=10,|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值,当且仅当(2-a):(1-b)= (3+2a):(2+3b)=(3-a):(3-2b)=8:6(四向量同向),解得a=37,b=45,所以3a+4b=12. ②(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|≥1,|z 2|≥23,则复数i 1993z 1+i 1995z 2+2z 1z 2的模长的最小值是 . 解:i1993=i,i 1995=-i,|i 1993z 1+i1995z 2+2z 1z 2|=|i(z 1-z 2)+2z 1z 2|≥2|z 1z 2|-|z 1-z 2|≥3-(1+23)=21.。
中国化学奥林匹克初赛试题-311991年全竞赛(初赛)试题与答案
1991年全国化学竞赛初赛试题（时间：180分钟）一、（10分）1．过氧化氢可使Fe(CN)63－和Fe(CN)64－发生相互转化，即在酸性溶液H2O2把Fe(CN)64－转化为Fe(CN)63－，而在碱性溶液里H2O2把Fe(CN)63－转化成Fe(CN)64－。
写出配平的离子方程式。
2．V2O3和V2O5按不同摩尔比混合可按计量发生完全反应。
试问：为制取V6O13、V3O7及V8O17，反应物摩尔比各是多少？二、（8分）**克镁和氧反应生成氧化镁时增重0.64克（1）1.0克镁在空气中燃烧，增重不足0.64克；（2）1.0克镁置于瓷坩埚中，反应后，只增重约0.2克。
请说出（1）、（2）增量低于0.64克的原因。
三、（10分）把单质Fe、Cu置于FeCl3溶液中达平衡后（1）有Cu剩余（无Fe），则溶液中必有；（2）有Fe剩余（无Cu），则溶液中必有；（3）有Cu、Fe剩余，则溶液中必有；（4）无Cu、Fe剩余，则溶液中可能有；（5）以上四种情况都成立吗？分别简述理由。
四、（6分）混合AgNO3溶液和K2CrO4溶液得Ag2CrO4沉淀。
现取等浓度（mol·cm3）AgNO3、K2CrO4溶液按下图所列体积比混合（混合液总体积相同），并把每次混合生成Ag2CrO4沉淀的量（以摩尔计）填入下图，再把这些“量”连接成连续的线段（即把每次混合生成Ag2CrO4量的点连成线）。
五、（8分）1．以同浓度（rnol·dm－3）K4Fe(CN)6代替K2CrO4（混合体积比相同）生成Ag2Fe(CN)6沉淀，按题四要求，画出Ag2Fe(CN)6量的线段。
2．用同浓度（mol·dm－3）NaAc代替K2CrO4，生成AgAc沉淀，也可按相应混合比画出生成AgAc沉淀量的线段。
实践中发现，生成AgAc沉淀量有时明显少于理论量。
原因何在？六、（12分）某106kW火力发电厂以重油为燃料1．以含硫2％重油为燃料，燃烧后烟道气中含SO2多少ppm（体积）？1dm3重油（密度为0.95g·cm－3）燃烧生成14Nm（标准立方米）的烟道气。
小学数学解题方法解题技巧之数的组成
第一章小学数学解题方法解题技巧之数的组成【数字组数】例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成______个质数。
（1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：自然数1至9这九个数字中，2、3、5、7本身就是质数。
于是只剩下1、4、6、8、9五个数字，它们可组成一个两位质数和一个三位质数：41和689。
所以，最多能组成六个质数。
例2 用0、1、2、……9这十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的大。
那么，这五个两位数的和是______。
（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：组成的五个两位数，要求和尽可能大，则必须使每个数尽可能大。
所以它们的十位上分别是9、8、7、6、5，个位上分别是0、1、2、3、4。
但要求五个两位数和为奇数，而1+2+3+4=10为偶数，所以应将4与5交换，使和为：（9+8+7+6+4）×10+（1+2+3+5）=351。
351即本题答案。
例3 一个三位数，如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”。
例如，241被342吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互不被吃掉。
现请你设计出6个三位数，它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉，并且它们的百位上数字只允许取1、2；十位上数字只允许取1、2、3；个位上数字只允许取1、2、3、4。
这6个三位数是_______。
（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：六个三位数中，任取两个数a和b，则同数位上的数字中，a中至少有一个数字大于b，而b中至少有一个数字大于a。
当百位上为1时，十位上可从1开始依次增加1，而个位上从4开始依次减少1。
即：114，123，132。
当百位上为2时，十位上从1开始依次增加1而个位上只能从3开始依次减少1。
1991年全国高中数学联赛试题及解答
一．选择题：1．由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．24 2．设a 、b 、c 均为非零复数，且a b =b c =ca ，则a +b －c a －b +c的值为( )A ．1B ．±ωC ．1，ω，ω2D ．1，－ω，－ω23．设a 是正整数，a <100，并且a 3+23能被24整除，那么，这样的a 的个数为( )A ．4B ．5C ．9D ．104．设函数y=f (x )对于一切实数x 满足f (3+x )=f (3－x )．且方程f (x )=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为( )A ．18B ．12C ．9D ．05．设S={(x ，y )|x 2－y 2=奇数，x ，y ∈R }，T={(x ，y )|sin(2πx 2)－sin(2πy 2)=cos(2πx 2)－cos(2πy 2)，x ，y ∈R }，则( )A ．S ⊂≠TB ．T ⊂≠SC ．S=TD ．S ∩T=Ø 6．方程|x －y 2|=1－|x |的图象为()A.B. C.D.二．填空题： 1．cos 210°+cos 250°－sin40°sin80°= ．2．在△ABC 中，已知三个角A 、B 、C 成等差数列，假设它们所对的边分别为a ，b ，c ，并且c －a 等于AC 边上的高h ，则sin C －A2= ．3．将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n 组有(2n －1)个奇数进行分组：{1}， {3，5，7}， {9，11，13，15，17}，…… (第一组) (第二组) (第三组) 则1991位于第 组．4．19912000除以106，余数是 ．5．设复数z 1，z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3，|z 1－z 2|=33，则log 3|(z 1－z 2)2000+(－z 1z 2)2000|= ． 6．设集合M={1，2，…，1000}，现对M 中的任一非空子集X ，令αX 表示X 中最大数与最小数的和．那么，所有这样的αX 的算术平均值为 ．三．设正三棱锥P —ABC 的高为PO ，M 为PO 的中点，过AM 作与棱BC 平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分的体积比．四．设O 为抛物线的顶点，F 为焦点，且PQ 为过F 的弦．已知|OF |=a ，|PQ |=B ．求△OPQ 的面积． 五．已知0<a <1，x 2+y=0，求证：log a (a x +a y )≤log a 2+18．一．设S={1，2，…，n }，A 为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S 中，且添加S 的其他元素于A 后不能构成与A 有相同公差的等差数列．求这种A 的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列)．二．设凸四边形ABCD 的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于14．三．设a n 是下述自然数N 的个数：N 的各位数字之和为n 且每位数字只能取1、3或4．求证：a 2n 是完全平方数．这里，n=1，2，…．1991年全国高中数学联赛解答第一试一．选择题：1．由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．24 解：每个正方形的顶点对应着一个正三角形．故选B2．设a 、b 、c 均为非零复数，且a b =b c =ca ，则a +b －c a －b +c的值为( )A ．1B ．±ωC ．1，ω，ω2D ．1，－ω，－ω2解：令a b =b c =c a =t ，则a=at 3．由a ≠0得t=1，ω，ω2．且1+ω+ω2=0．故a +b －c a －b +c =1+t 2－t 1－t 2+t =1t ．选C ．3．设a 是正整数，a <100，并且a 3+23能被24整除，那么，这样的a 的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．9 D ．10解：即24|a 3－1，而a ≡0，±1，±2，±3，4，则a 3≡0，±1，0，±3，0．故a －1≡0(mod 8)． 若a ≡0，1，2(mod 3)，则a 3≡0，1，－1(mod 3)，∴ a －1≡0(mod 3)．即a －1≡0(mod 24)．选B ． 4．设函数y=f (x )对于一切实数x 满足 f (3+x )=f (3－x )且方程f (x )=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为( )AA ．18B ．12C ．9D ．0解：该函数图象关于x=3对称．故6个根的和=3×2×3=18．选A ．5．设S={(x ，y )|x 2－y 2=奇数，x ，y ∈R }，T={(x ，y )|sin(2πx 2)－sin(2πy 2)=cos(2πx 2)－cos(2πy 2)，x ，y ∈R }，则( )A ．S ⊂≠TB ．T ⊂≠SC ．S=TD ．S ∩T=Ø解：若x 2－y 2为奇数，则sin(2πx 2)－sin(2πy 2)=cos(2πx 2)－cos(2πy 2)成立，即S ⊆T ． 又若x=y 时，sin(2πx 2)－sin(2πy 2)=cos(2πx 2)－cos(2πy 2)也成立，即得S ⊂≠T ，选A ． 6．方程|x －y 2|=1－|x |的图象为()A.B. C.D.解：∵ |x －y 2|=⎩⎨⎧x －y 2(x ≥y 2)，y 2－x (x <y 2)．故此方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －y 2=1－x ，即y 2=2x －1(x ≥y 2)，y 2－x =1－x ，即y 2=1 (0≤x <y 2)，y 2－x =1+x ，即y 2=2x +1(x <0)． 故选D ．二．填空题： 1．cos 210°+cos 250°－sin40°sin80°= ．解：原式=(cos10°－cos50°)2+cos10°cos50°=sin 220°++cos10°cos50°=12(1－cos40°+cos60°+cos40°)=34．2．在△ABC 中，已知三个角A 、B 、C 成等差数列，假设它们所对的边分别为a ，b ，c ，并且c －a 等于AC 边上的高h ，则sin C －A2= ．解：易知h=c －a=h sin A －hsin C ，⇒sin A sin C=sin C －sin A ，由已知，A +C=120°．∴ 12[cos(C －A )－cos120︒]=2sin C －A 2cos 120︒2，即sin 2C －A 2+sin C －A 2－34=0即sin C －A 2=－32 (舍去)，sin C －A 2=12．3．将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n 组有(2n －1)个奇数进行分组： {1}，{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…… (第一组) (第二组) (第三组) 则1991位于第 组．解：由于1+3+…+(2n －1)=n 2，故第n 组最后一数为2n 2－1，于是解2(n －1)2－1+2≤1991≤2n 2－1，得n=32．即在第32组．4．19912000除以106，余数是 ．解：19912000=(1990+1)2000=19902000+…+C 19972000×19903+C 19982000×19902+C 19992000×1990+1 ≡1000×1999×19902+2000×1990+1≡880001(mod 106)．即余数为880001．5．设复数z 1，z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3，|z 1－z 2|=33，则log 3|(z 1－z 2)2000+(－z 1z 2)2000|= ． 解：由|z 1+z 2|2+|z 1－z 2|2=2(|z 1|2+|z 2|2)，得|z 2|=3．由于|z 1|=|z 2|=|z 1+z 2|=3，故argz 1－argz 2=±120°． ∴|(z 1－z 2)2000+(－z 1z 2)2000|=2×34000|cos(120°×2000)|=34000．故log 3|(z 1－z 2)2000+(－z 1z 2)2000|=4000．6．设集合M={1，2，…，1000}，现对M 中的任一非空子集X ，令αX 表示X 中最大数与最小数的和．那么，所有这样的αX 的算术平均值为 ．解：对于任一整数n (0<n ≤1000)，以n 为最大数的集合有2n －1个，以n 为最小数的集合有21000－n 个，以1001－n 为最小数的集合则有2n －1个，以1001－n 为最大数的集合则有21000－n 个．故n 与1001－n 都出现2n －1+21000－n 次．∴ 所有αx 的和=121000Σn=11001·(2n －1+21000－n ) =1001×(21000－1)．∴ 所求平均值=1001．又解：对于任一组子集A={b 1，…，b k }，b 1<b 2<…<b k (1≤k <1000)，取子集A '={1001－b 1，…，1001－b k }，若A ≠A '，则此二子集最大数与最小数之和=b 1+b k +1001－b 1+1001－b k =2002，平均数为1001．若A=A '，则A 本身的=1001．由于每一子集均可配对．故所求算术平均数为1001．三．设正三棱锥P —ABC 的高为PO ，M 为PO 的中点，过AM 作与棱BC 平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分的体积比．解：M 是PO 中点，延长AO 与BC 交于点D ，则D 为BC 中点，连PD ，由于AM 在平面P AD 内，故延长AM 与PD 相交，设交点为F ．题中截面与面PBC 交于过F 的直线GH ，G 、H 分别在PB 、PC 上．由于BC ∥截面AGH ，∴GH ∥B C ．在面P AD 中，△POD 被直线AF 截，故PM MO ·OA AD ·DF FP =1，但PM MO =1，OA AD =23，∴DF FP =32． ∴PF PD =25，∴S ∆PGH S ∆PBC =425⇒S ∆PGH S HGBC =421．而截面分此三棱锥所成两部分可看成是有顶点A 的两个棱锥A —PGH 及A —HGB C ．故二者体积比=4∶21．O ADCBGF E M HP四．设O 为抛物线的顶点，F 为焦点，且PQ 为过F 的弦．已知|OF |=a ，|PQ |=B ．求△OPQ 的面积． 解：(用极坐标)设抛物线方程为ρ=2a 1－cos θ．设PQ 与极径所成角为α，则4asin 2α=B ．所求面积S=12|OF |·|PQ |sin α=12ab ·2ab=a ab ．五．已知0<a <1，x 2+y=0，求证： log a (a x +a y )≤log a 2+18．解：由于0<a <1，即证a x +a y≥2a 18．由于a x +a y≥2a x +y2．而x +y=x －x 2=x (1－x )≤14．于是ax +y 2≥a 18．∴ a x+a y≥2ax +y 2≥2a 18．故证．第二试一．设S={1，2，…，n }，A 为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S 中，且添加S 的其他元素于A 后不能构成与A 有相同公差的等差数列．求这种A 的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列)．解：易知公差1≤d ≤n －1．设n=2k ，d=1或d=n －1时，这样的A 只有1个，d=2或d=n －2时，这样的数列只有2个，d=3或n －3时这样的数列只有3个，……，d=k －1或k +1时，这样的数列有k －1个，d=k 时，这样的数列有k 个．∴ 这样的数列共有(1+2+…+k )×2－k=k 2=14n 2个．当n=2k +1时，这样的数列有(1+2+…+k )×2=k (k +1)= 14(n 2－1)个．两种情况可以合并为：这样的A 共有n 24 －1+(－1)n －18个(或[14n 2]个)．解法二：对于k=[n2]，这样的数列A 必有连续两项，一项在{1，2，…，k }中，一在{k +1.k +2，…，n }中，反之，在此两集合中各取一数，可以其差为公差构成一个A ，于是共有这样的数列当n=2k 时，这样的A 的个数为k 2=14n 2个；当n=2k +1时，这样的A 的个数为k (k +1)= 14(n 2－1)个．∴ 这样的数列有[14n 2]个．解法一也可这样写： 设A 的公差为d ，则1≤d ≤n －1． ⑴ 若n 为偶数，则当1≤d ≤n2时，公差为d 的等差数列A 有d 个；当n2<d ≤n －1时，公差为d 的等差数列A 有n －d 个． 故当n 为偶数时，这样的A 共有(1+2+…+n 2)+[1+2+…+(n －n 2－1)]= 14n 2个．⑵ 若n 为奇数，则当1≤d ≤n －12时，公差为d 的等差数列A 有d 个；当n +12≤d ≤n －1时，公差为d 的等差数列A 有n －d 个. 故当n 为奇数时，这样的A 共有(1+2+…+n －12)+(1+2+…+n －12)=14(n 2－1)个．两种情况可以合并为：这样的A 共有n 24 －1+(－1)n －18 个(或[14n 2]个)．二．设凸四边形ABCD 的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于14．证明：考虑四边形的四个顶点A 、B 、C 、D ，若△ABC 、△BCD 、△CDA 、△DAB 的面积，设其中面积最小的三角形为△AB D ．⑴ 若S △ABC >14，则A 、B 、C 、D 即为所求．⑵ 若S △ABD <14，则S △BCD >34，取△BCD 的重心G ，则以B 、C 、D 、G 这4点中的任意3点为顶点的三角形面积>14．⑶ 若S △ABD =14，其余三个三角形面积均> S △ABD =14．由于S △ABC +S △ACD =1，而S △ACD >14，故S △ABC <34=S △BC D ．∴ 过A 作AE ∥BC 必与CD 相交，设交点为E ．则∵ S △ABC >S △ABD ，从而S △ABE >S △ABD =14．S △ACE =S △ABE >14，S △BCE =S △ABC >14．即A 、B 、C 、E 四点即为所求．⑷ 若S △ABD =14，其余三个三角形中还有一个的面积=14，这个三角形不可能是△BCD ，(否则ABCD 的面积=12)，不妨设S △ADC = S △ABD =14．则AD ∥BC ，四边形ABCD 为梯形．由于S △ABD =14，S △ABC =34，故若AD=a ，则BC=3a ，设梯形的高=h ，则2ah=1．设对角线交于O ，过O 作EF ∥BC 分别交AB 、CD 于E 、F ．∴ AE ∶EB=AO ∶OC=AD ∶BC=1∶3．∴ EF=a ·3+3a ·11+3=32A ．S △EFB =S △EFC =12·32a ·34h=916ah=932>14．S △EBC =S △FBC =12·3a ·34h=98ah=916>12．于是B 、C 、F 、E 四点为所求．综上可知所证成立．又证：当ABCD 为平行四边形时，A 、B 、C 、D 四点即为所求．当ABCD 不是平行四边形，则至少有一组对边的延长线必相交，设延长AD 、BC 交于E ，且设D 与AB 的距离<C 与AB 的距离，⑴ 若ED ≤12AE ，取AE 中点P ，则P 在线段AD 上，作PQ ∥AB 交BC 于Q ．若PQ=a ，P 与AB 距离=h ．则AB=2a ，S ABQP =34S ABE >34S ABCD =34．ADCB Eh3aaOAD CBFEPQADC EN FRS E B C DA Q P即12(a +2a )h >34，ah >12． ∴ S △APQ =S △BPQ =12ah >14．S △P AB =S △QAB =ah >12>14．即A 、B 、Q 、P 为所求．⑵ 若ED >12AE ，取AE 中点P ，则P 在线段DE 上，作PR ∥BC 交CD 于R ，AN ∥BC ，交CD 于N ，由于∠EAB +∠EBA <π，故R 在线段CD 上．N 在DC 延长线上．作RS ∥AB ，交BC 于S ，则RS=12AB ，延长AR 交BC 于F ，则S △F AB =S ABCN >S ABCD =1．问题化为上一种情况．三．设a n 是下述自然数N 的个数：N 的各位数字之和为n 且每位数字只能取1、3或4．求证：a 2n 是完全平方数．这里，n=1，2，…．证明：设N=_______x 1x 2…x k ，其中x 1，x 2，…，x k ∈{1，3，4}．且x 1+x 2+…+x k =n ．假定n >4．删去x k 时，则当x k 依次取1，3，4时，x 1+x 2+…+x k －1分别等于n －1，n －3，n －4．故当n >4时，a n =a n －1+a n －3+a n －4． ①a 1=a 2=1，a 3=2，a 4=4，可找到规律：⑴ 取f 1=1，f 2=2，f n +2=f n +1+f n ．这是菲波拉契数列相应的项．⎩⎨⎧a 2n =f n 2， ②a 2n +1=f n f n +1．③(n =1，2，3，……) 可用数学归纳法证明②、③成立． 首先，n =1时，a 2=12=f 12，a 3=1⨯2=f 1f 2． n =2时，a 4=22=f 22，a 5=2⨯3=f 2f 3．即n=1，2时②、③成立． 设n=k －1，k 时②、③成立．则由①及归纳假设得a 2(k +1)=a 2k +1+a 2k －1+a 2k －2=f k f k +1+f k －1f k +f k －12= f k f k +1+f k －1(f k +f k －1) = f k f k +1+f k －1f k +1=f k +1(f k －1+f k )=f k +1f k +1=f k +12 a 2(k +1)+1=a 2(k +1)+a 2k +a 2k －1 =f k +12+f k 2+f k －1f k = f k +12+f k (f k +f k －1)= f k +12+f k f k +1=f k +1(f k +1+f k )=f k +2f k +1． 故n=k +1时②、③成立．故对于一切正整数n ，②、③成立．于是a 2n =f n 2(n =1，2，3……)是完全平方数．证明2：(找规律)先用归纳法证明下式成立： a 2n +1=a 2n +a 2n －1． ④ 因a 1=a 2=1，a 3=2，故当n=1时，④成立． 设n=k 时④成立，即a 2k +1=a 2k +a 2k －1．则由①，a 2k +3=a 2k +2+a 2k +a 2k －1=a 2(k +1)+a 2(k +1)－1．故④式对k +1成立，即④对一切n ∈N *成立． ⑵ 再用归纳法证明下式成立：a 2n a 2n +2=a 2n +12 ⑤ 因a 2=1，a 3=2，a 4=4，故当n=1时⑤成立． 设n=k 时⑤成立，即a 2k a 2k +2=a 2k +12．则由①、④，有a 2k +2a 2k +4=a 2k +2(a 2k +3+a 2k +1+a 2k )=a 2k a 2k +2+a 2k +1a 2k +2+a 2k +2a 2k +3(由⑤)=a 2k +12+a 2k +1a 2k +2+a 2k +2a 2k +3=a 2k +1(a 2k +2+a 2k +1)+ a 2k +2a 2k +3=a 2k +1a 2k +3+a 2k +2a 2k +3(由⑤)=a 2k +3(a 2k +1+a 2k +2)=a 2k +32．(本题由于与菲波拉契数列有关，故相关的规律有很多，都可以用于证明本题) 证明2：(用特征方程)由上证得①式，且有a 1=a 2=1，a 3=2，a 4=4，由此得差分方程：λ4－λ3－λ－1=0． ⇒(λ2+1)(λ2－λ－1)=0．此方程有根λ=±i ，λ=1±52．∴ 令a n =αi n +β(－i )n +γ(1+52)2+δ(1－52)2利用初值可以求出a n =2－i 10·i n +2+i 10·(－i )n +15(1+52)n +2+15(1－52)n +2．∴ a 2n ={15[(1+52)n +1－(1－52)n +1]}2．用数学归纳法可以证明b n =15[(1+52)n +1－(1－52)n +1]为整数．(这是斐波拉契数列的通项公式)b 0=1，b 1=1均为整数，设k ≤n 时b k =15[(1+52)k +1－(1－52)k +1]都为整数，则b k +1－b k =15[(1+52)k +2－(1+52)k +1+(1－52)k +1－(1－52)k +2]=15[(1+52)k +1·5－12+(1－52)k +1·1+52]=b k －1．即b k +1=b k +b k －1．由归纳假设b k 与b k －1均为整数，故b k +1为整数．于是可知b n 对于一切n ∈N *，b n 为整数．于是a 2n 为整数之平方，即为完全平方数．证明4．(下标全部变为偶数再用特征方程) 由①得，a 2n +4=a 2n +3+a 2n +1+a 2n =(a 2n +2+a 2n +a 2n －1)+a 2n +1+a 2n =a 2n +2+2a 2n +a 2n +2－a 2n －2(由a 2n +2=a 2n +1+a 2n －1+a 2n－2)令b n =a 2n ，则得b n +2－2b n +1－2b n +b n －1=0．特征方程为λ3－2λ2－2λ+1=0．λ1=－1，λ2，3=3±52．故b n =α(－1)n +β(3+52)n +γ(3－52)n．初始值b 1=a 2=1，b 2=a 4=4，b 3=a 6=9．b 0=－b 3+2b 2+2b 1=1．代入求得α=25，β=3+510，γ=3－510．得a 2n =b n =15[2(－1)n +(3+52)n +1+(3－52)n +1]= 15[(1+52)2(n +1)+(1－52)2(n +1)－2(1+52)n +1(1－52)n +1]={15[(1+52)n +1－(1－52)n +1]}2．记f n =15[(1+52)n +1－(1－52)n +1]，其特征根为μ1，2=1±52．故其特征方程为μ2－μ－1=0．于是其递推关系为f n =f n －1+f n －2．而f 0=1，f 1=1，均为正整数，从而对于一切正整数n ，f n 为正整数．从而a 2n 为完全平方数．。
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1991年上海市第五届初中物理竞赛(初赛)试卷(1991年3月24日上午9:00～10:30)说明:(1)每题只有一个正确答案，请把它的代号填入题前括号内。
(2)区(县)，学校，姓名，竞赛证编号填入答案表内,试卷上可不必填写。
(3)试卷全部解答完毕后，将各题答案代号仔细填入答案表，每个学生只交答案表，试卷由自己保存。
1.把高压锅内的水蒸气直接通往100℃的水中，如果水上方气压为一个标准大气压，结果(A)水的质量增加； (B)水的质量不变；(C)水的质量增加； (D)结论和通入的蒸气有关。
2.验电器原来带正电，把一个导体靠近验电器小球，结果验电器金属箔的张角减小，这说明(A)导体一定带正电； (B)导体一定带负电；(C)导体一定不带电； (D)导体可能带负电，也可能不带电。
3.电阻R 1=10欧姆，R 2=15欧姆，把它们并联接入电路，在同样时间内(A)电流在R 1上做的功多； (B)电流在R 2上做的功多；(C)电流在R 1、R 2上做的功一样多； (D)无法判断。
4.发散光束经过凸透镜折射后(A)一定变成会聚光束； (B)一定变成平行光束；(C)一定变成发散光束； (D)以上情形都有可能。
5.两块质量相同，初温相同的铜块和铁块放入同一盆热水中，经过一段时间(A)铜块温度高； (B)铁块温度高；(C)铜块吸收的热量多； (D)以上说法都不对。
6.滑动变阻器瓷筒上缠绕的合金线应该(A)所有表面都绝缘；(B)所有表面都可以导通；(C)与接线柱相连的线端是导通的，其余部分绝缘；(D)线端、滑片接触处是导通的，其余部分绝缘。
7.如果幻灯机在银幕上放映出字母Ｆ，那末幻灯片在幻灯机中正确放置应是 (A)； (B)； (C)； (D)。
8.质量相同的三杯水，初温分别是t 1，t 2，t 3，而且t 1<t 2<t 3，把它们混合后，不计热损失，则混合温度是 (A)2321t t t ++； (B)3321t t t ++； (C)2132t t t +-； (D)2213t t t +-。
9.在凸透镜成像实验中，当物距ｕ=20厘米时得到一个和物体一样大的像，那么正确的结论是(A)当物距v =20厘米时，得到一个缩小的像；(B)当物距v =15厘米时，得到一个正立的像；(C)当物距v =25厘米时，得到一个倒立的像；(D)当物距v =30厘米时，得到一个放大的像。
10.以下说法正确的是(A)传导只能在固体中进行； (B)传导只能在液体中进行；(C)传导只能在真空中进行； (D)以上说法都不对。
11.一个大冰块放在水里，因为水不够深，所以冰块压到盆的底部，当冰全部熔解后盆内水面(A)上升； (B)下降；(C)位置不变； (D)结论和冰的体积有关。
12.通过放大镜看书上的字，如果放大镜向书渐渐靠近，那么我们看到的字符(A)越来越小； (B)越来越大；(C)先变大，后变小； (D)先变小，后变大。
13.某高寒地区气温长期保持在零下20℃,一个小池塘的水面结了一层厚冰，图1中各点正确的温度应是(A)t a =-20℃；t b =0℃；0℃<t c <4℃；t d =4℃；(B)t A =t B=0℃；t c =2℃；t d =4℃；(C)t a =-20℃；t b =0℃；0℃<t c <4℃；t d =4℃；(D)t a =-20℃；t b =0℃；0℃<t c <4℃；0℃<t d <4℃。
14.两个互相垂直的平面镜组成了激光反射器，如图2所示。
如果入射光线方向不变，反射器绕Ｏ点向顺时针方向转过30°，那么经过反射器两次反射的光线将转过 (A)90°；(B)15°； (C)30°； (D)0°。
15.为了使竖直放置的正方形玻璃管内的水按图3中方向流动，采取冷却的方法，温度降低的位置是(A)a 处； (B)b 处； (C)c 处； (D)d 处。
16.说明光在同一种媒质中不是沿直线传播的例子是(A)平面镜成像； (B)凸透镜成像；(C)光导纤维传播光； (D)海市蜃楼。
17.两个充有不同种气体，而且体积相同、初温相等的气球，一个的白色，一个是黑色，把它们放在相同的低温环境，结果(A)白色气球体积缩小得快； (B)黑色气球体积缩小得快；(C)两个气球体积缩小一样快； (D)以上情况都有可能。
18.不考虑其它地区空气流动的影响，可以判断沿海地区的风向(A)白天从海洋吹向陆地； (B)夜晚从海洋吹向陆地；(C)无论白天、夜晚都是从海洋吹向陆地； (D)无论白天、夜晚都是从陆地吹向海洋。
19.在图4所示电路中(A)当K 1、K 2都闭合时，L 1、L 2都亮；(B)当K 1断开，K 2闭合时，L 1不亮，L 2亮；(C)当K 1闭合，K 2断开时，L 1、L 2都不亮；(D)当K 2断开，K 1闭合时，L 1亮，L 2不亮。
20.三个通草球，任意两个接近时都相互吸引，正确的结论是(A)两个带正电，一个带负电； (B)两个带负电，一个带正电。
(C)一个带电，两个不带电； (D)一个带正电，一个带负电，一个不带电。
图1 图2 图3图421.长度相等，粗细不同的两根金属棒并联后接入电路，设横截面积S 1>S 2，那么通过它们的电流的关系是(A)I 1>I 2； (B)I 1=I 2； (C)I 1<I 2； (D)以上情形都有可能。
22.铅块质量是铜块的2倍，初温相同，吸收相同热量后，再相互接触，结果(A)铅块把热量传给铜块； (B)铜块把热量传给铅块；(C)不发生热传递； (D)末温不知，不能肯定。
23.会聚光束经过一块平面镜反射后(A)变成发散光束； (B)变成平行光束；(C)仍是会聚光束； (D)可能成为会聚光束，也可能成为发散光束。
24.图5中两个反射面成钝角，镜前放一个物体应该产生两个虚像，那末在镜前不能赋时看到两个虚像的区域是(A)Ⅰ；(B)Ⅱ；(C)Ⅲ； (D)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。
25.图6中变阻器的滑片P 向右移动，电源电压不变，则电压表、电流表读数变化情况是(A)电压表、电流表读数都增加；(B)电压表、电流表读数都减少；(C)电压表读数增加，电流表读数减少；(D)电压表读数减少，电流表读数增加。
26.在铝、铜、银、瓷、玻璃、石棉等物质中最不善于传热和最善于传热的物质分别是 (A)瓷和铜； (B)石棉和银； (C)玻璃和银； (D)瓷和铝。
27.甲、乙两个物体，初温相同，甲的比热大，乙的质量小，把它们同时放入同一个冰箱内冷却，经过一段时间(A)甲物体放出的热量多； (B)乙物体放出的热量多；(C)甲、乙两物体放出的热量一样多； (D)以上情况都有可能。
28.电阻R 1、R 2串联，如果R 2两端电压是电路总电压的1/n ，那么R 2:R 1应该是(A)11-n ； (B)11+n ； (C)n -1； (D)n +1。
29.有人用照相机对着平面镜拍照，想摄出平面镜内的人物，结果(A)他不会成功，因为平面镜成的像是虚像；(B)他能摄出镜内的人物，而且和照相机直接对着人物拍摄没有区别；(C)他能摄出平面镜内的人物，但照片的左右与实际相反；(D)他能摄出平面镜内的人物，但照片的上下、左右都与实际相反。
30.图7中R 1=20欧姆，R 2=40欧姆，安培表A 读数为0.3安，则安培表A2读数是(A)0.1安； (B)0.2安； (C)0.3安； (D)0安。
31.为了使光路按图8示要求改变，方框内的一个光学器件应该是(A)凸透镜； (B)凹透镜；(C)平面镜； (D)凹面镜。
图5 图6 图7图832.用一把铜尺去测量一根铁条的长度，一次是在冬天0℃环境中测量，一次是在夏天30℃环境中测量，结果(A)两次测量读数相等； (B)冬天测量的读数较大；(C)夏天测量读数较大； (D)读数不相等，但读数大小关系与测量先后有关。
33.图9中S 表示发光点，S’表示它的像，方框内的光学器件应是(A)凸透镜； (B)凹面镜；(C)凹面镜； (D)凹透镜。
34.联结台灯的双股软线因绝缘损坏而发生短路，其结果是(A)台灯灯泡因电流过大而烧坏； (B)台灯灯泡两端电压增大，但电流很小； (C)因发生短路，灯丝本身电阻减小； (D)流过灯泡的电流几乎等于零。
35.量热器小筒一般用金属制成，主要原因是因为(A)金属比较牢固； (B)金属比热小，导热性好；(C)金属价格较低； (D)金属容易加工。
36.三个电阻，其阻值分别为Ｒ1、Ｒ2、Ｒ3，用不同的连接方法把它们接到同一个电源两端，所能获得的最大总电流和最小总电流之和该是 (A)()321321313221R R R R R R R R R R R R ++++； （B ）()313221321321R R R R R R R R R R R R ++++； (C)3132213213211R R R R R R R R R R R R ++⋅++； (D)3132213213211R R R R R R R R R R R R ++⋅++。
37.煤油灯加灯罩，主要是为了(A)防止风吹动火焰； (B)控制燃烧速度；(C)使光线柔和； (D)使煤油完全燃烧。
38.灯丝被烧断通常发生在开灯的瞬间，这是因为(A)开灯的瞬间电压特别高； (B)开灯的瞬间有振动；(C)开灯的瞬间灯丝绷得较紧； (D)开灯的瞬间灯丝电阻最小。
39.用足够的1000℃的沸水和100℃的水蒸气分别去熔解冰块(A)无论用100℃的水还是100℃的水蒸气都不能使冰变成100℃的水；(B)无论用100℃的水还是100℃的水蒸气都可以使冰变成100℃的水；(C)只有用100℃的水蒸气才能使冰变成100℃的水；(D)只有用100℃的水才能使冰变成100℃的水。
40.按图10所示用伏安法测量电阻，如果考虑到电压表，电流表本身都有一定的电阻，那末测量值和实际值的关系应该是(A)测量值比实际值大； (B)测量值比实际值小；(C)测量值等于实际值； (D)以上情形都有可能。
41.图11中电源电压10伏保持不变，L 1电阻100欧，L 2电阻400欧，当L 1灯丝烧断后，各表读数(A)电流表读数0.025安，V 读数0，V 2读数10伏；(B)电流表读数0，V 2读数0，V 读数0；(C)电流表读数0.02安，V 2读数8伏，V 读数0；(D)电流读数0，V 2读数0，V 读数10伏。
图9 图10图1142.一个电阻R 允许通过的最大电流是I ，为了把它串联到电流是n I 的电路中去(n >1).必须给它并联一个电阻R x ，R x 和R 的阻值之比是 (A)n 1； (B)11+n ； (C)11-n ； (D)11+-n n 。