广东省七校2020届高三第二次联考理科数学试题Word版含解析

广东省七校2020届高三第二次联考理科数学试题一、选择题：共12题1. 已知集合,则A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，故选B.2. 已知且若为实数,则实数的值为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】因为且是实数,所以,则，故选D.3. 已知为奇函数,,则=A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】已知为奇函数，，令可得，即，则，令可得，故选C.4. 若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点,则该双曲线方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】依题意,由椭圆的方程可得双曲线的顶点与焦点坐标分别为与，则,所以,所以双曲线的方程为，故选A.5. 已知,则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，则，则，故选C.6. 若执行如图所示的程序框图,则输出的k值是A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】运行程序:；；；；，此时满足条件,循环结束,输出的值为，故选B.7. 下列说法正确的是A. “若,则”的否命题是“若,则”.B. “若,则”的逆命题为真命题.C. ,使成立.D. “若,则”是真命题.【答案】D【解析】对于A. “若，则”的否命题是“若，则”,故A错误;对于B.“若,则”的逆命题为“若,则”,当时, ,故B错误;对于C.因为,所以C错误;对于D.“若，则”是真命题，故选D.8. 若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数过点,所以,解得,所以不可能过点,排除A：不可能过点,排除C：不可能过点,排除D.故选B.点睛：本题主要考查对数函数、指数函数、幂函数的图象的判断等基础知识,意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键:一是从已知函数图象过特殊点,列出关于参数的方程,从而求出参数的值;二是利用特殊点法来判断图象.本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象.总之,有关函数的图象判断题,利用“特殊点”与“函数的性质”,即可轻松破解.9. 已知实数满足, 则使的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，可知表示半径为的圆,周长为，又点到直线的距离为，所以直线被圆所截的弧所对的圆心角为,由几何概型的概率公式可得使的概率为，故选C.10. 如图,网格纸上小正方形的边长为l,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体是由一个三棱柱切割得到的,则该几何体外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】A则此外接球的直径为,所以其表面积为，故选A.11. P、Q为三角形ABC中不同两点,若,,则为A. B. C. D.【答案】B【解析】令为的中点,化为,即,可得,且点在边上,则,设点分别是的中点,则由可得,设点是的中点,则,设点是的中点,则,因此可得,所以，故选B.12. 设定义在R上的函数,对任意的,都有, 且,当时,,则不等式的解集为A. B.C. D.【答案】A【解析】由可知,关于中心对称；当时,可知在上单调递增,且,所以时,时,,于是可得时,时, ,又由关于中心对称可知时,时,,故选A.点睛：本题主要考查导数、函数的性质,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.二、填空题：共4题13. 在△ABC中,＝3,b＝,c＝2,那么B等于_______.【答案】【解析】由题意可得，所以.14. 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中,乙所得为_______钱.【答案】【解析】由题意,设这五人所得钱分别为，则，且，所以，所以乙所得为钱.15. 已知函数,则=________.【答案】【解析】由题意，，表示以原点为圆心,以为半径的圆的一段弧与轴所围成的图形的面积,其面积为.点睛：本题考查了微积分定理的应用，解答中涉及到定积分的计算和定积分的几何意义求解曲边形的面积，对于定积分的计算中，正确的找到被积函数的原函数是计算定积分的关键，同时定积分的几何意义表示所围成的曲边形的面积也是求解定积分的一个重要的方面.16. 已知与函数若,使得等式成立,则实数的取值集合是________.【答案】【解析】，则，所以；，则，所以，因为，都有，使得等式成立，所以，所以，则，所以实数的取值集合为.本题主要考查三角函数的性质,考查了转化思想、恒成立问题与存在问题、逻辑推理能力与计算能力，本题的解答中正确理解含有全称量词和存在性量词的命题之间的关系，转化为集合之间的运算时解答的关键.三、解答题：共7题17. 设数列{}满足(1)求{}的通项公式;(2)数列满足,求数列的前n项和【答案】(1)(2).【解析】试题分析：(1)时,，两式相减,即可得数列的通项公式；(2),利用等比数列的前项和公式求和即可.试题解析：(1)数列{a n}满足．当n≥2时,．∴(2n﹣1=2．∴．当n=1时,=2,上式也成立．∴．(2)由=得,+1++==∴数列的前项和.18. 网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍4人积极参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去淘宝网购物,掷出点数小于5的人去京东商城购物,且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物.(1)求这4个人中恰有2人去淘宝网购物的概率;(2)求这4个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率:(3)用X,Y分别表示这4个人中去淘宝网购物的人数和去京东商城购物的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.【答案】(1) (2) (3)【解析】试题分析：(1) 每个人去淘宝网购物的概率为，去京东商城购物的概率为，再利用二项分布的概率公式求解即可；(2)利用二项分布的概率公式求即可；(3)可取，求出每一个变量的概率,即可得分布列.试题解析：(1)每个人去淘宝网购物的概率为,去京东商城购物的概率为,∴这4个人中恰有2人去淘宝网购物的概率为.(2),这4个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率为.(3)可取0,2,4,,,随机变量的分布列为∴19. 已知长方体中,为的中点,如图所示.(1) 证明:平面;(2) 求平面与平面所成锐二面角的大小的余弦值.【答案】(1)见解析(2) .【解析】试题分析：(1)连接交于,易知,可得平面；(2) 平面即是平面,过平面上点作的垂线于,过点作直线的垂线于,连接,证明即是平面与平面所成锐二面角的平面角,求解易得结果；向量法:(1) 以所在直线分别为轴,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量,证明，则可得结论；(2)求出平面的一个法向量,再利用向量的夹角公式求解即可.试题解析：(1)连接交于,因为在长方体中,所以为的中点,又为的中点所以在中是中位线,所以,又平面平面,所以平面;(2)因为在长方体中,所以,平面即是平面,过平面上点作的垂线于,如平面图①,平面图①因为在长方体中,平面平面,所以,,所以平面于.过点作直线的垂线于,如平面图②,平面图②连接,由三垂线定理可知,.由二面角的平面角定义可知,在中,即是平面与平面所成锐二面角的平面角.因长方体中,,在平面图①中,,,在平面图②中,由相似可知,所以=2,,所以平面与平面所成锐二面角的大小的余弦值为.20. 已知椭圆的上、下、左、右四个顶点分别为x轴正半轴上的某点满足.(1)求椭圆的方程;(2)设该椭圆的左、右焦点分别为,点在圆上,且在第一象限,过作圆的切线交椭圆于,求证:△的周长是定值．【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：(1) 设点的坐标为可知，可得椭圆方程;(2)法一:设，结合椭圆方程可得，在圆中,是切点,，同理可得,则易得结论;法二:设的方程为，联立椭圆方程,由根与系数的关系式,结合弦长公式求出，再求出，则结论易得.试题解析：(1)设点G的坐标为,可知,.因此椭圆的方程是.(2)方法1:设,则,=,∵,∴,在圆中,是切点,∴==, ∴,同理,∴,因此△的周长是定值．方法2:设的方程为,由,得,设,则,∴===,∵与圆相切,∴,即, ∴,∵, ∵,∴,同理可得,∴,因此△的周长是定值．点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,考查了弦长公式与方程思想、逻辑推理能力与计算能力. 解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21. 设函数(1)求函数的单调增区间;(2)当时,记,是否存在整数,使得关于的不等式有解?若存在,请求出的最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：(1)，讨论可得函数的单调性；(2)，判断函数的单调性并求出最值,则易得结论.试题解析：(1当时,由,解得;当时,由,解得;当时,由,解得;当时,由,解得;综上所述,当时,的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为;(2)方法一:当时,,在单调递增,,所以存在唯一实数,使得,即,=记函数,则,在上单调递增,所以,即.,且为整数,得,所以存在整数满足题意,且的最小值为0.方法二:当时,,由得,当时,不等式有解,下面证明:当时,不等式恒成立,即证恒成立.显然,当时,不等式恒成立.只需证明当时,恒成立.即证明,令,,由,得.当;当;=, 当时;恒成立.综上所述,存在整数满足题意,且的最小值为0.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.22. 已知直线(为参数),曲线(为参数).(1)设与相交于两点,求;(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点P是曲线上的一个动点,求它到直的距离的最小值.【答案】(1)(2) .【解析】试题分析：(1)消去参数求出直线与曲线的普通方程,再联立求出交点坐标,用两点间的距离公式即可求出结果；(2)的参数方程为为参数),故点P的坐标是，从而点到直线的距离是再利用三角函数的知识求解即可.试题解析：(1)的普通方程为,的普通方程为联立方程组,解得与的交点为,则.(2)的参数方程为(为参数),故点P的坐标是,从而点P到直线的距离是,由此当时d取得最小值,且最小值为.23. 设.(1)求的解集;(2)若不等式,对任意实数恒成立,求实数x的取值范围.【答案】(1) (2.【解析】试题分析：(1)分情况讨论去绝对值求解即可；(2)整理,再结合绝对值三角不等式可得，再解不等式即可.试题解析：(1)由有或或解得,所求解集为.(2=,当且仅当时取等号.由不等式对任意实数恒成立,可得,解得.。