11.1 数系的扩充与复数的引入

质疑探究 2:若 z1、z2∈R, z + z =0,则 z1=z2=0, 此命题对 z1、z2∈C 还成立吗? 提示:不一定成立.比如 z1=1,z2=i 满足 z + z =0. 但 z1≠0,z2≠0.
2 1 2 2
2 1
2 2
双基自测
1.若复数(a -3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实 数 a 的值为( B ) (A)1 或 2 (B)2 (C)1 (D)-1
10(3 i) 10 (2)∵a=a3i (3 i)(3 i)
10(3 i) =a10
=(a-3)-i, 由纯虚数定义,知 a-3=0, ∴a=3.故选 D.
考点二 复数代数形式的运算
【例 2】 (1)(2013 年高考浙江卷)已知 i 是虚数单位, 则(-1+i)(2-i)等于( (A)-3+i (B)-1+3i (C)-3+3i (D)-1+i (2)(2013 年高考新课标全国卷Ⅱ)设复数 z 满足 (1-i)z=2i,则 z 等于( (A)-1+i (C)1+i (B)-1-i (D)1-i ) )
2i 4.在复平面内,复数 对应的点的坐标为 1 i
.
2i(1 i) 2i 解析:由于 = =-1+i, 1 i (1 i)(1 i)
所以在复平面内对应的点的坐标为(-1,1). 答案:(-1,1)
考点突破
考点一 复数的基本概念
剖典例 知规律
2 【例 1】 下面是关于复数 z= 的四个命题: 1 i
p1:|z|=2, p2:z =2i, p3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为-1. 其中的真命题为( ) (A)p2,p3 (B)p1,p2 (C)p2,p4
2
(D)p3,p4
思维导引:根据给出的形式对复数进行运算,转化成 z=a+bi(a、b∈R)的形式再进行分析各个命题是否正确.
故选 A.
a b 0, 根据复数相等的充要条件得 b a 2, a 1, 解得 b 1.
∴z=-1+i.故选 A.
反思归纳
(1)复数代数形式的运算类似于多项式的
四则运算,含有虚数单位 i 的看作一类同类项,不含 i 的看作另一类同类项,分别合并即可.但需注意把 i 的 幂写成最简形式. (2)在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高
1 i 1 i 计算速度.①(1±i) =±2i;② =i;③ =-i; 1 i 1 i
2
④-b+ai=i(a+bi).
1 2i 即时突破 2 (2013 年高考新课标全国卷Ⅰ) 等于( 2 (1 i)
)
(A)-1-
1 i 2
(B)-1+
1 i 2
1 (C)1+ i 2
1 (D)1- i 2
于(
) (C) 2 (D)1
(A)2 (B) 3
ai a i a2 1 解析:由 = = =2, i i 1
∴a2=3, 又 a 为正实数,∴a= 3 . 故选 B.
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11.1 数系的扩充与复数的引入
基础梳理
考点突破
基础梳理
知识整合
1.复数的有关概念
抓主干
固双基
(1)复数的定义 形如 a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其中实部是 a,虚部 是 b(i 是虚数单位). (2)复数的分类 实数(b0) 复数z a bi 纯虚数(a 0) (a、b R) 虚数(b0) 非纯虚数(a 0)
即时突破 3 (2013 年高考北京卷)在复平面内,
复数 i(2-i)对应的点位于( (A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限
2
)
解析:因为 i(2-i)=-i +2i=1+2i,所以在复平面 内对应点(1,2)在第一象限.故选 A.
备选例题
ai 【例题】 a 为正实数,i 为虚数单位, =2,则 a 等 i
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
(2)(2013 年高考安徽卷)设 i 是虚数单位,若复数
10 a(a∈R)是纯虚数,则 a 的值为( 3i
)
(A)-3
(B)-1
(C)1 (D)3
4 3i 解析:(1)z= 1 2i
(4 3i)(1 2i) = (1 2i)(1 2i)
10 5i = 5
=2+i,其虚部为 1, 故选 A.
2(1 i) 2 解析:由题意得 z= = =-1-i. 1 i (1 i)(1 i)
所以|z|= 2 ,故 p1 为假命题. z2=(-1-i)2=2i,故 p2 为真命题.
z =-1+i,故 p3 为假命题.
z 的虚部为-1,故 p4 为真命题. 故选 C.
反思归纳
有关复数的概念问题,一般涉
于(
) (B)第二象限 (D)第四象限
(A)第一象限 (C)第三象限
思维导引:由共轭复数 z 求出 z,再判断点所在的象限. 解析:∵ z =1+2i, ∴z=1-2i. ∴z 在复平面内对应的点位于第四象限.故选 D.
反思归纳
判断复数所在平面内的点的位置
的方法:首先将复数化成 a+bi(a、 b∈R)的形式, 其次根据实部 a 和虚部 b 的符号来确定点所在 的象限.
(3)复数相等 a+bi=c+di⇔a=c 且 b=d(a、b、c、d∈R). (4)共轭复数 a+bi 与 c+di 互为共轭复数⇔a=c 且 b=-d(a、b、c、 d∈R). (5)复数的模 向量 OZ 的模叫做复数 z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|, 即|z|=|a+bi|=r= a b (r≥0,a、b∈R).
1 2i 1 2i 1 2i (1 2i)i 1 解析: = = = =-1+ i. 2 2 2i 2 2 (1 i) 1 2i i
故选 B.
考点三 复数的几何意义
【例 3】 (2013 年高考福建卷)已知复数 z 的共轭复数
z =1+2i(i 为虚数单位),则 z 在复平面内对应的点位
z1 a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad 2 i ④除法: = = = 2 2 2 c d z2 c di (c di)(c di) c d
(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1、z2、 z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 质疑探究 1:z1、 z2 为复数,z1-z2>0,那么 z1>z2,这个命 题是真命题吗? 提示:假命题.例如:z1=1+i,z2=-2+i,z1-z2=3>0. 但 z1>z2 无意义,因为虚数无大小概念.
解析:(1)(-1+i)(2-i)=-2+i+2i+1=-1+3i. 故选 B.
2i(1 i) 2i (2)法一 z= = =i(1+i)=-1+i, 1 i (1 i)(1 i)
法二 设 z=a+bi(a,b∈R),则(1-i)(a+bi)=2i, 即(a+b)+(b-a)i=2i.
2 2Βιβλιοθήκη 2.复数的几何意义(1)复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. (2)实轴、虚轴 在复平面内,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴,实轴上的点都 表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数. (3)复数的几何表示
一一对应 复平面内的点 复数 z=a+bi 一一对应 平面向量 OZ . Z(a,b)
2 a 3a 2 0, 解析:由于复数为纯虚数,则 a 1,
2
解得 a=2.故选 B.
2 2.(2013 年高考新课标全国卷Ⅱ) 等于( 1 i
(A)2 2 (B)2 (C) 2 (D)1
C )
2(1 i) 2 2 2i 解析:由 = = =1-i. 2 1 i (1 i)(1 i) 1 i 2 ∴ =|1-i|= 2 .故选 C. 1 i
及到复数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数、 实数、共轭复数等,解决时,一定先看复数是 否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定其实部和 虚部.
即时突破 1 (1)(2013 安徽省高三开年第一考)设 i
4 3i 是虚数单位,则复数 z= 的虚部为( 1 2i
)
(A)1
(B)-1
(C)2 (D)-2
1 3.(2013 梅州二模)复数 z= (i 为虚数单位)的共轭复 1 i
数 z 是( D ) (A)1-i (B)1+i
1 1 1 1 (C) + i (D) - i 2 2 2 2
1 i 1 1 1 解析:z= = = + i, 1 i (1 i)(1 i) 2 2
1 1 z = - i.故选 D. 2 2