第三节 齐次方程7-3
齐次方程
dx + c
∫ p ( x ) dx 得 (1)的通解为： 第四步：将 u ( x ) 代入 y = u ( x ) e ∫ p ( x ) dx ⎡ q ( x )e ∫ p ( x ) dx dx + c ⎤ y=e ⎢∫ ⎥ ⎣ ⎦
−
1. 形式： 一、一阶线性方程 ′ + p ( x) y = q ( x)叫做一阶线性非齐次微分方程； y
②线性方程：
y =u ( x)e
−
y′ + p(x) y = q(x)
→
∫
p ( x ) dx
u =
∫
∫ q ( x )e
p ( x ) dx
dx
③ Bernoulli 方程：
z= y
2. α举例：下页补充一个例子 1−
′ + p( x) y = q( x) y α y
→ z ′ + (1 − α ) z = (1 − α ) q ( x )一阶线性
∫
x=e
−
∫
1− 2 y y2
dy
⎛ 1 ⎞ ⎜ e dy+c⎟ = y e (e +c) = y2(1+ce ) =y e ∫ 2 ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠
1 2 y 1 − y 1 2 y 1 − y 1 y
1 1 ⎛ ∫ 1− 22 y dy ⎞ + 2 ln y ⎛ − − 2 ln y ⎞ y y y ⎜ e ⎜ e dy + c ⎟ = e dy + c ⎟ ⎜∫ ⎟ ⎜∫ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
dy y ⇔ + 2 = 0 — —它不是 y的一阶线性微分方程 dx y + x
dx x 但原方程又 ⇔ + = − y — —它却是以 x为未知函 dy y 数的一阶线性微分方程
第03节 齐次方程
作变换 x X 1, y Y 2 原方程化为
dY du Y u X ，则 再令 u dX dX X
代入并整理，得
dX du X u2 1
2u
两边积分得
u 1 (u 1) u 2 1
C1 X
将变量还原得
y x3
y x 1 y 2
可以证明，一阶微分方程满足下列条件： dy f x, y 中，f x, y 是零次齐次函数； 在 dx 或在 P x, y dx Q x, y dy 0 中 P x, y 与 Q x, y
是同次 齐次函数时，该一阶微分方程是齐次方程。
解法：
十、课堂练习题
dy 1．解方程 x y ln y ln x dx
dy 2 y x 5 2．解方程 dx 2 x y 4
十一、课堂练习题解
dy y y ln 1．解：原方程化为 dx x x y 这是齐次方程，令 u ，即 y xu x dy du ux 故 dx dx du ux u ln u 代入得： dx du 1 分离变量： u ln u 1 x dx
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 分离变量 ，并两边积分，得：
故
1 du dy y u eu
1 eu
ln(u eu ) ln y ln c
x y
所以，原方程通解为 ：ye x c
三、可化为齐次方程的方程
形如
ax by c dy f 的一阶 dx a1x b1 y c1
并求通解.
十三、自测题题解
y du 一、1．解 设 u ，则 y u x x dx
同济大学高等数学第六版第七章第三节齐次方程
y2 C2
2y v C
1
( y v)2 1 v2 C
得 y2 2C ( x C ) (抛物线)
故反射镜面为旋转抛物面.
2
第十一页，编辑于星期六：十四点 十三分。
说明:
y2
2C
(
x
C 2
)
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
顶到底的距离为 h , 则将
代入通解表达式得 C d 2 8h
这时旋转曲面方程为
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
第三页，编辑于星期六：十四点 十三分。
例1. 解微分方程 y y tan y . xx
解: 令 u y , 则y u x u, 代入原方程得 x
u x u u tan u
分离变量
cosu d u dx
sin u
x
两边积分
cos u sin u
dxdy代入原方程得dxdudxdzdxdu两边积分后得dxdudxdy代入原方程dxdu例求方程通解ydxxdyduydxdu三小结齐次方程dxdyk次齐次函数和k次齐次方程的概念若对于任意的xyz和任意的实数t总有ftxtytztkfxyz对于代数线性方程aubvc0称ab为系数c为自由项
第三节 齐次方程
求解过程中丢失了.
第五页，编辑于星期六：十四点 十三分。
例 1 求解微分方程 dy 2 y y dx x x
例 2 求解微分方程 (x y)dy (x y)dx 0
例 3 求解微分方程 dy y tan y dx x x
第六页，编辑于星期六：十四点 十三分。
例 4 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
dx 2x 4z 3
第3,4节 齐次方程, 一阶线性微分方程
y
2(1ex ), 2(e 1) ex ,
0
x
x 1 1
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方程，
其中
P(
y)
1
2 y2
y
,
它的自由项 Q(y) = 1.
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
x
e
12 y2
y dy
C
e
12 y2
y
dy
dy
1
1
1
y2e y (C e y ) y2(1 Ce y ),
即所求通解为
1
x y2(1 Ce y ).
两边积分，得
dy P( x)dx, y
ln y P( x)dx lnC,
所以，方程的通解公式为
y Ce P( x)dx .
例 3 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 则
P( x)dx sin xdx cos x,
u
2
(x
3
1) 2
C
3
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内容小结
. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
y e P(x)dx Q(x) e P(x)dx dx C
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思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
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例1. 解微分方程y y tan y .
7-3线性ODE解的结构_50560744
n
( n1) (t0 ),, k (k (t0 ), k (t0 )) ek . 于是W[1, 2 ,, n ](t0 ) det I n 1 0,由Thm3知 1,2 ,,n为(1)在区间I 上的n个线性无关的解. 一方面,由解的叠加原理,若 x(t ) c11 (t ) c22 (t ) cnn (t ),
上式两边对t求导,则c1 , c2 , , cm满足方程组 c1e1t c2e2t cmemt 0, 1c1e1t 2c2e2t mcmemt 0, m1 1t 2t mt m1 m1 1 c1e 2 c2e m cme 0.
2 , , n , 使得x(t )为(1)的解当且仅当 x(t ) c11 (t ) c22 (t ) cnn (t ),
其中c1 , c2 , , cn为常数.
Proof:取 中自然基e1, e2 ,, en .记k (k 1,2,, n) 为(1)的满足以下初值条件的解 :
a1 (t ) x
( n 1)
an1 (t ) x an (t ) x f (t ) (2)
的一个特解 ?
先解决第一个问题,为此,需要引入函数组线性 相关与线性无关的概念.
2.函数组的线性相关与线性无关
Def. 设1 , 2 , , m是定义在区间I 上的函数,如果 存在不全为0的常数c1 , c2 , , cm , 使得t I , c11 (t ) c22 (t ) cmm (t ) 0, 则称1 , 2 , , m在区间I 上线性相关, 否则称1 , 2 , , m在区间I 上线性无关.
m
2 m 1 1 2 m (t ). det ( m 1) ( m 1) ( m 1) 2 m 1
高等数学同济五版123齐次方程
对于方程 $frac{dy}{dx} = frac{y}{x}$，通过引入参数 $lambda = frac{y}{x}$，我们 可以得到参数方程 $xlambda' = y'$，进一步求解得到 $x^2 = lambda y$。
幂级数法
总结词
通过将齐次方程转化为幂级数形式，求解齐次方程。
详细描述
幂级数法是将齐次方程转化为幂级数形式，然后通过求解幂级 数得到原方程的解。这种方法适用于某些难以直接求解的齐次
方程。
举例
对于方程 $frac{dy}{dx} = frac{y}{x}$，通过幂级数法，我 们可以得到 $y = x^n$，其中 $n$ 是待求的幂级数系数。
03
齐次方程的应用
在物理中的应用
投资组合优化
在投资组合优化问题中，投资者需要选择一组资产进行投资 ，以实现收益的最大化和风险的最小化。在这个问题中，可 以通过建立齐次方程来描述资产之间的相关性，从而帮助投 资者进行投资决策。
在工程中的应用
机械振动
在研究机械振动问题时，常常需要用到 齐次方程来描述振动的规律。例如，在 研究桥梁、建筑物的振动问题时，可以 通过建立齐次方程来描述振动的频率和 振幅。
齐次方程的特点
齐次方程的每一项都是$y$的整数次幂之和，且每一项的次数都相 同。
齐次方程的性质
齐次方程的解的性质
如果$(y_{1}, y_{2}, ldots, y_{m})$是齐次方程的一个解，那么$k(y_{1}, y_{2}, ldots, y_{m})$也是该方程的解，其 中$k$为任意非零常数。
齐次方程的分类
按照指数分类
根据指数的不同，可以将齐次方程分 为线性齐次方程、二次齐次方程、三 次齐次方程等。
齐次法的使用技巧
齐次法的使用技巧齐次法是一种常用的数学解题方法，常用于解决线性方程组和求解齐次线性微分方程等问题。
以下将从几个具体问题的解决过程中介绍齐次法的使用技巧。
1. 解决线性方程组：对于线性方程组的齐次方程Ax = 0，其中A 是一个系数矩阵，x 是未知矩阵。
我们可以利用齐次法来求解这个方程组。
首先，我们需要将系数矩阵A 化为行简化阶梯矩阵R。
然后，我们观察 R 矩阵中的零行的个数 k，以及非零行的个数 r（r = 列数 - k）。
如果 k = 列数，即零行的个数等于矩阵的列数，那么方程组只有零解。
如果 k < 列数，即零行的个数小于矩阵的列数，那么我们可以将 R 矩阵拆分为两个部分：R = [I_k | B]，其中 I_k 是一个 k 阶单位矩阵，B 是一个 r 阶矩阵。
我们可以将 x 表示为 x = [x_1 x_2 ... x_n]^T，其中 x_i 是未知变量。
从 R 矩阵中可以得到以下等式组：x_j = -sum(B_ij * x_i)，其中 B_ij 是矩阵 B 的元素。
对于每个非自由变量 x_i，我们可以从这个等式组得到一个解决方案。
对于自由变量x_i，我们可以任意地选择取值。
因此，在有 r 个自由变量的情况下，方程组的解的个数为 2^r。
2. 求解齐次线性微分方程：对于形如 y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 的齐次线性微分方程，我们可以利用齐次法来求解。
首先，我们假设 y = e^(rx) 是方程的一解。
将这个解代入齐次方程中，我们可以得到：r^2e^(rx) + p(x)re^(rx) + q(x)e^(rx) = 0。
为了使这个等式成立，我们需要使得 e^(rx) 不等于零，因此我们可以约去 e^(rx)。
剩下的方程可以写成：r^2 + p(x)r + q(x) = 0。
这个方程就是一个普通的二次方程，我们可以使用求根公式解出 r 的值。
第三节 齐次方程
第三节 齐次方程
1. 齐次方程 dy y g 的形式, 如果一阶微分方程可以写成 dx x 代入 则称之为 齐次方程. dy du y y ux , u x 作变量代换 u , 即 x dx dx du u g ( u). 即 得到 u 满足的方程 x dx
x 1) x ( y y
dx x f 齐次方程 dy y
可分离变量方程
一阶微分方程
1 du ( u 1) u y u dy 1 e u 1 e 1 分离变量 u du dy y ue
两边积分 ln(u e u ) ln y lnC 即
y (vdy ydv ) y(v v 2 1)dy , ydv v 2 1dy ,
化简得 分离变量
可分离变量的方程
dv dy . 2 v 1 y
一阶微分方程
两边积分
得
dv dy . 2 v 1 y
ln(v v 2 1) ln y ln C , y 2 v v 1 . 即 C 2 y 由上式可得 v v 2 1, C y 2 2 yv 1, 即 2 C C C x 2 以 v 代入上式,得 y 2C x . 2 y 这就是曲线L的方程,它是以x轴为对称轴,焦点 在原点的抛物线.
即
Y 2 2 XY X 2 C ,
X
将 X x 1,Y y 2 代回，
得原方程的通解
( y 2) 2( x 1)( y 2) ( x 1) C ,
2 2
或
x 2 xy y 2 x 6 y C1 .
2 2
自修作业
7-3 齐次方程(高等数学)
教 学 基 本 指 标
教学课题
第7章第3节齐次方程
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒ห้องสมุดไป่ตู้结合
教学重点
齐次方程
教学难点
齐次方程
参考教材
同济七版《高等数学》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
齐次方程。
教学内容：
一．齐次方程
1.定义：形如 的一阶微分方程称为齐次方程．
2.齐次方程的解法：令 ，转化为 或 这是一个可分离变量方程，分离变量后积分即可.
第七章微分方程
34
第三节 齐次方程
三 节
齐 次 方 程
若有 f ( t x , t y ) = t f ( x , y ),
k
次齐次函数。 则称 f (x, y) 为 k 次齐次函数。 当 k = 0, 即 f ( t x, t y ) = f (x, y), 称为零次齐次函数 零次齐次函数， 则 f (x, y) 称为零次齐次函数，且有 y y y f ( x , y ) = f ( x , x ) = f ( 1, ) = ϕ ( ) . x x x
y = y( x , C1 ,L, C n ), 或 F ( x , y , C1 ,L , , C n 相互独立 )
(2) 确定了通解中任意常数的解称为微分 方程的特解 特解。 方程的特解。
12
4. 由实际情况提出的可确定通解中任意常数 的条件称为初始条件 初始条件。 的条件称为初始条件。 初始条件个数 = 任意常数个数 = 方程阶数
( n)
y x= x
) = 0.
x = x0 ( = y 0n－1) .
0
′ y = y0 ， ′ x = x = y0 , L , y ( n－1)
0
14
注意1， 注意 ，不能认为方程的解简单地加上一个 任意常数后还是方程的解， 任意常数后还是方程的解， 例如： 例如：
15
注意2， 注意 ，通解中的任意常数必须实质上是任意的 如：y = c1+ c2x +c3x2 c1 , c2 , c3 任意 而 y = c1x + c2x c1 , c2 不任意
y 2 PA = x − x − + ( y − 0) = a y′ ±y . ⇒ y′ = 2 2 a −y
《齐次方程》课件
偏微分齐次方程
总结词
偏微分齐次方程是偏微分方程中的一类重要方程，其解法涉及到偏微分方程的基本理论 和数值计算。
详细描述
偏微分齐次方程通常出现在物理、工程和金融等领域。其解法包括分离变量法、有限元 方法和谱方法等。这些方法能够处理复杂的偏微分方程，并给出精确或近似解。偏微分 齐次方程在解决实际问题中具有重要的作用，例如描述波动现象、流体动力学或金融衍
非线性齐次方程
总结词
非线性齐次方程是线性代数中的一类重要方 程，其解法涉及到非线性分析和数值计算。
详细描述
非线性齐次方程的解通常需要使用迭代法、 摄动法或数值分析中的其他方法。这些方法 能够处理非线性问题，并给出近似解。非线 性齐次方程在物理、化学和工程等领域有广 泛的应用，例如描述化学反应的动力学行为 或预测工程结构的稳定性。
定性。
04
齐
高阶齐次方程是线性代数中一类重要的 方程，具有高度的数学美感和实际应用 价值。
VS
详细描述
高阶齐次方程是二阶或更高阶的线性方程 ，其解法通常涉及到复杂的代数运算和矩 阵理论。通过对方程进行因式分解、降阶 或使用特殊矩阵，可以求解高阶齐次方程 。此外，高阶齐次方程在物理、工程和经 济学等领域有广泛的应用。
在工程中的应用
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
建筑设计
在建筑设计中，齐次方 程被用来解决各种结构 分析和设计问题，如分 析建筑结构的稳定性、 优化建筑材料的用量等 。它能够确保建筑的安 全性和经济性。
机械设计
在机械设计中，齐次方 程被用来描述和分析各 种力学问题，如分析机 械零件的应力分布、预 测机械系统的运动轨迹 等。它能够提高机械设
03
3. 解齐次方程的方法是 将其化为标准形式，然 后利用代数方法求解。
7-3可化为变量可分离方程的方程
例4. 在制造探照灯反射镜面时, 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点, 取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,
y
由光的反射定律: 入射角 = 反射角
说明:
y 2C ( x C ) 2
A
2
y
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
顶到底的距离为 h , 则将
2
o h
d
x
( C , 0)
d2 代入通解表达式得 C 8h 这时旋转曲面方程为
2 2 d d y2 z2 x 4h 16h
可得 OMA = OAM =
M
T
y
从而 AO = OM y 而 AO AP OP y cot x x y
A o P
x
OM x 2 y 2
于是得微分方程 :
y x x2 y2 y
利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0, 于是方程化为
(齐次方程)
代回原变量得通解
求解过程中丢失了.
x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
y y *例3 ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
解 （易知，是齐次方程）
y 令u ， 则 dy xdu udx， x
第三节 齐次方程
一、齐次方程
第七章
一、齐次方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
7.3 齐次方程
去绝对值符号，得：
y
Cx 2 y 中取 C 0 ；当 u 1 时，即 y x ，它显然也是原微分方程的解， 1 Cx x Cx 2 中，需要单独列出 1 Cx
2
但 y x 不包含在通解 y
dy y (2 x y ) 2 y y Cx 2 于是，微分方程 的通解为 y x ，或者 y ，其 dx x2 x x 1 Cx
x, y 两个变量
y 代回到 上述通解即可得到我们想要的通解 ，此时的通解包含 x
还需要注意一点，在分离变量时，作为分母，我们要求 (u ) u 0 ，所以最后还 需要补充考虑 (u ) u 0 时的情况，比方说 (u0 ) u0 0 ，则 u u0 显然也是微 分方程 x
dy du y y (u ) u 的解， 因此当 u0 时， 即 y u0 x 也是微分方程 dx x dx x
的解，但它不一定包含在通解中
y ，将齐次方程变为可分离变量 x y 的微分方程；分离变量；求不定积分；将换元 u 代回到通解，即令 u
中 C 为任意常数 例 2：解微分方程 y 2 x 2
dy dy xy 。 dx dx
2
1 y dy y dy 等号两边同时乘以 2 ，得： x x dx x dx
y dy y 移项，得： 1 x dx x
1 y y 2 2 dy y xy y xy x 2 x x 2 2 1 y dx x xy x xy 1 x2 x
2
2. 齐次方程的解法：设
dy y ，即它是一个齐次方程。 dx x
《高等数学Ⅰ》教学大纲
《高等数学Ⅰ》课程教学大纲一、课程简介课程名称：高等数学Ⅰ课程编号：4660123课程类别：通识课学分： 6学时：96授课系：基础部先修课程初等数学考核方式及各环节所占比例考试课：期末成绩占70%，平时成绩占30%课程概要高等数学是高等工科院校最重要的基础课程之一，又是重要的工具课．是培养学生理性思维和计算的重要载体，是提高学生文化素质和学习有关专业知识的重要基础。
通过本课程的教学，不但使学生具备学习后续其他数学课程和专业课程所需要的基本数学知识，而且还使学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和理解抽象事物、认识和利用数形规律的初步能力。
为本科生的后继课程及各专业课程打下必要的数学基础。
教学目的及要求通过各个教学环节，逐步培养学生具有抽象概括问题能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力，使学生具有比较熟悉的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
教材及主要参考书本课程选用同济大学数学系主编的《高等数学》（第六版，2007年）一书为教材；教学参考书选用：同济大学数学系主编的《高等数学习题全解指南》；二、课程章节主要内容及学时分配第一章函数与极限（讲课 18 学时，实验学时）内容：映射与函数；数列的极限；函数的极限；极限的运算；无穷大和无穷小；函数的连续性重点：用两个重要极限求极限。
掌握：函数的概念和的性质；基本初等函数的性质及其图形；极限四则运算法则；用两个重要极限求极限；无穷小的比较；函数连续的概念；会判断间断点类型了解：反函数和复合函数的概念；极限的ε-N，ε-δ定义；两个极限存在准则（夹挤准则，单调有界准则），无穷小、无穷大的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
内容：导数的概念与求导法则；高阶导数；隐函数及参数方程所确定函数的导数；函数的微分重点：初等函数的一、二阶导数掌握：导数和微分的概念；导数和微分的运算法则和导数的基本公式；初等函数的一、二阶导数；隐函数和参量方程确定的函数一、二阶导数了解：导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；能用导数描述一些物理量；高阶导数的概念第三章微分中值定理与导数的应用（讲课 14 学时，实验学时）内容：微分中值定理；罗必塔（L′Hospital）法则；泰勒公式；函数的单调性与曲线的凹凸性；函数的极值与最值；函数图形的描绘重点：函数的极值、增减性、罗必塔（L′Hospital）法则掌握：罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）定理；罗必塔（L′Hospital）法则；函数的极值概念及求法；简单的最大值和最小值的应用问题了解：柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）公式；函数图形的凹凸性；函数图形的拐点；描绘函数图形第四章不定积分（讲课 12 学时，实验学时）内容：不定积分的概念与性质；不定积分的换元积分与分部积分法；有理函数的积分重点：不定积分的换元法和分部积分法掌握：不定积分的概念及性质，不定积分的基本公式；不定积分的换元法和分部积分法了解：较简单的有理函数的积分。
第三节 齐次线性方程组
第三节 齐次线性方程组定理 n 元齐次线性方程组Ax=0()R A n ⇔<(1) 有非零解秩 ()R A n ⇔=(2) 没有非零解秩一:齐次线性方程组Ax=0解的结构(一) 齐次线性方程组Ax=0解的结构记S={x |Ax =0}表示齐次线性方程组Ax =0解的全体，则集合S 具有如下性质 ： （1） 若ξ1，ξ2∈S ，那么ξ1＋ξ2∈S 。
即两个解的和还是方程组的解 （2） 若ξ∈S ，k ∈R ，那么 k ξ∈S 。
即一个解的倍数还是方程组的解定理1 ： n 个未知量的齐次线性方程组Ax=0的解向量集S 构成R n 的一个子空间 。
(二) 相关概念:解空间、基础解系、通解定义1: 称子空间S 是齐次线性方程组Ax=0的解空间。
解空间S 的任意一个基（即S 的极大无关组）称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系。
注: (1) 齐次线性方程组Ax=0解的个数情况? 齐次线性方程组Ax=0有非零解,其解是否必有无穷个?(2) 设12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则对任意常数12,,,r k k k ,其线性组合1122r r k k k ξξξ+++是方程的解,12,,,r ξξξ 的所有线性组合就为方程所有解.定义2: 称1122r r k k k ξξξ+++ 为齐次线性方程组Ax=0的通解,其中12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, 12,,,r k k k 为任意常数.(三) 齐次线性方程组Ax=0的主要定理定理2 设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A 是m ×n 阶矩阵，且R(A)=r ，则方程组Ax=0的基础解系中有n-r 个向量，即解空间S 的维数dim S=n-r 。
证明 (1)对矩阵A 作初等行变换得到矩阵 A，两个方程组0Ax =与0Ax = 是同解的方程组 .(2) 因为R(A)=r ，利用矩阵的初等行变换将A 化为阶梯形矩阵，进一步化为简单阶梯形矩阵，不妨有111212121~n n m mn a a a a a A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 111,212,1,100010010000000000n r n r r r n r b b b b b b ---⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭称简单阶梯矩阵每一行的第一个非零元所对应的未知数(这里为12,,r x x x 称为非自由变量),其余的成为自由变量.故方程组同解于11111221,22112222,1122, 0(3) 0r r n r n r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩把上式改写为11111221,221122221122, (4) r r n r n r r ,n r nr r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-=----⎧⎪=----⎪⎨⎪⎪=----⎩令12r r n x x x ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 分别取n r -组数100010, , ....,001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭代入(4)可依次确定12r x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 为1,11122,2122,12, , ..., n r n r r n r r r b b b b b b b b b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而得到0Ax =的n-r 个解1,11122,212212,12 - , , , 1 0 0 0 1 0 0 0 1n r n r r r r n r n r b b b b b b b b b ξξξ-----⎛--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ,⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭显然12,,,n r ξξξ- 为齐次线性方程组Ax=0的n-r 个线性无关解 (3)最后，证明Ax=0的任意一个解都可由12,,,n rξξξ- 线性表示。
1.3 齐次方程
齐次方程判断方法：1.利用定义（3.1） 2.利用零次齐次等价定义
具体说来，过程如下：
y u= , 作变量代换 x dy du ∴ = u+ x , dx dx
代入原式
即
即 y = xu,
du u+x = g (u ), dx
du g (u ) − u = . dx x
可分离变量的方程
当 g (u ) − u ≠ 0时,
0
x = α 得解 , y = β
X = x −α 2 作变换 , 方程化为 Y = y − β dY a1 X + b1Y = g ( Y ) = X dX a2 X + b2Y
0
Y 3 再经变换u = , 将以上方程化为变量分离方程 X
0
4 求解
0
50 变量还原
dy x + y − 1 例7 求微分方程 = 的通解. dx x − y + 3
将变量分离后得
(1 − u )du dX = 2 1+ u X
1 两边积分得: arctan u − ln(1 + u 2 ) = ln X + c 2
变量还原并整理后得原方程的通解为
y−2 2 2 arctan = ln ( x + 1) + ( y − 2) + c. x +1
注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.
令u = a2 x + b2 y, 则方程化为
du dy = a2 + b2 f (u ) = a2 + b2 dx dx
这就是变量分离方程
3
a1 a2 ≠ 0且c1与c2不同时为零的情形 b1 b2
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y 令u ， 则 dy xdu udx， x
原方程化为
( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu) 0, dx 可分离变量为 cos udu , x 积 分 ， 得 sinu ln | x | C , y 还原，得原方程的通解为 sin ln | x | C . x
令 z ax by,
dz dy 1 dz zc 则 a b ， ( a) f ( ). 可分离变量. dx dx b dx z c1
dy x y 1 例4 求 的通解. dx x y 3
解
1 1 2 0, 1 1
h k 1 0 方程组 h 1, k 2, h k 3 0,
du ln x C f ( u) u du 还原 , 得原方程的通解 ( ) y ln x C . f ( u) u u x
分离变量，积分，得（ 1）的通解
y y 例1 求解 ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
解（易知，是齐次方程）
得原方程的通解
( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C , 或 x 2 xy y 2 x 6 y C1 .
2 2
例5 求解微分方程
( x 2 sin y 3)dx ( 2 x 4 sin y 3) cos ydy 0
当c c1 0时, 为齐次方程. 否则为非齐次方程.
2.解法 令x X h,（其中h和k是待定的常数）
y Y k， dx dX , dy dY dY aX bY ah bk c f( ) dX a1 X b1Y a1h b1k c1
2
1 1 1 2 1 dx ) ]du , 分 离 变 量[ ( 2 u 2 u u 2 u1 x
积分
3 1 ln | u 1 | ln | u 2 | ln | u | ln | x | C , 2 2 u 1 即 ln | | C , 3 u ( u 2) 2 x u 1 C 即 e x, 3 u ( u 2) 2
dx dy 例2 求解 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
解 原方程改写为
2
2 y / x ( y / x ) dy 2 y xy y , 2 , 2 令u 2 dx x xy y 1 ( y / x ) y / x x dy du 则 x u, dx dx 2 2u u (2) 原 方 程 化 为u xu 2 1 u u 1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 分离变量 2 u 2 u u 2 u1 x
化为可分离变量的方程。
第三节 齐次方程
教学内容 1 齐次方程的定义； 2 齐次方程的解法； 教学重点 齐次方程的解法 本节考研要求 会解齐次微分方程，会用简单的变量代换 解某些微分方程。
dy y 1.定义 可写成 f ( ) ——齐次方程. dx x 2.判断 x、y的一阶微分方程是齐次 方程 对t 0，分别 以tx、ty代替x、y后方程不变。 例如 ( xy y 2 )dx ( x 2 2 xy)dy 0 可 写 成 2 2 dy xy y y y/x ( y/x) f( ) 2 x dx x 2 xy 1 2( y/x) 2 2 或 ((tx)(ty) (ty) )dx ((tx) 2(tx)(ty))dy 0 可消去 t，得原方程 . 原方程为齐次方程。
解 ( x 2 sin y 3)dx ( 2 x 4 sin y 3)d (sin y ) 0
dz x 2 z 3 , 令 sin y z dx 2 x 4 z 3 du 6 再令 x 2z u , dx 3 2u
两边积分后得 3u u2 6 x C , 变量还原得 3( x 2 sin y ) ( x 2 sin y ) 6 x C .
令 x X 1, y Y 2.
dY X Y , dX X Y
代入原方程得
Y 令u ， X
方程变为
du 1 u u X , dX 1 u
分离变量法得
X 2 ( u2 2u 1) C ,
即 Y 2 2 XY X 2 C ,
将 X x 1,Y y 2 代回，
ah bk c 0, a1h b1k c1 0, a b (1) 0, 有唯一一组解. a1 b1
dY aX bY X x h, f( ) 得通解代回 dX a1 X b1Y Y y k，
( 2) 0,
未必有解, 上述方法不能用.
1 u 4 CX , 两边同时积分得 5 (1 u)
变量还原后得通解
x y 3 C ( x y 1) ( x 2) .
2 2 2 2 5 2 4
三、小结
dy y 1. 齐次方程的定义 可写成 f ( ). dx x
2. *齐次方程的判定
3. 齐次方程的解法
y 做因变量代换 u x
令 x , y ,
2 2
d 2 3 7 , d 3 2 8
2h 3k 7 0 h 2 由 , 3h 2k 8 0 k 1
令
X 2, Y 1 Y dY 2 X 3Y 2 3 X , Y dX 3 X 2Y 3 2 X Y 3 2u dX 令u du 2 X 2(1 u ) X
2
2 x 3 xy 7 x . 例6 求解微分方程 y 2 3 3x y 2 y 8 y
3 2
ydy 2 x 2 3 y 2 7 2 , 解 2 xdx 3 x 2 y 8 d( y2 ) 2x2 3 y2 7 2 , 2 2 d( x ) 3x 2 y 8
当b1 0时, a1与b中必至少有一个为零.
若 b 0,
dy ax by c 方程可化为 f ( ), dx (ax by ) c1
可分离变量的微分方程. dy 1 dz 若 b 0, a1 0, 令 z ax by , ( a ), dx b dx 1 dz zc ( a) f ( ) 可分离变量的微分方程. b dx c1 a1 b1 当b1 0时, 令 , a b
即
u 1 u ( u 2)
3 2
e x,
C
又 u 1 也是（ 2）的解， u 1 （2） 的 解 为 3 Cx . u ( u 2) 2
还原，得原方程的解为
( y x ) Cy( y 2 x ) .
2 3
二、可化为齐次的方程
dy ax by c 1.定义 形如 f ( )的微分方程 dx a1 x b1 y c1
一、齐次方程
3.解法： 作因变量代换化为可分离变量的方程
dy du y u x , 令 u , 即 y xuf ( ) 化 为u x 代入原式 dx dx x du f ( u) u 可分离变量 即 . dx x