齐次线性方程组的解

齐次线性方程组基础解

齐次线性方程组基础解
齐次线性方程组是数学中最基本的方程组，它由一组有关未知量的线性方程组成，其中每个等式都乘以一个非零常数，它们的解可以用向量表示。

齐次线性方程组的基本解是指满足方程组的所有解的一个特殊解，它可以用矩阵表示。

齐次线性方程组的基本解的求解方法有很多，其中最常用的是高斯-约旦消元法，它可以将方程组转换为一个上三角矩阵，然后利用反向消元法来求解。

另外，也可以使用行列式或矩阵分解的方法来求解齐次线性方程组的基本解。

齐次线性方程组的基本解是指满足方程组的所有解的一个特殊解，可以用矩阵表示，可以使用高斯-约旦消元法、行列式或矩阵分解的方法来求解。

齐次线性方程组解的结构

crn kn 1kr 2 0kn
kn 0kr 1 0kr 2 1kn
于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 22
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr是方程组的基础解系.
a21 x1
a22
x2
L LL
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
（2）
称为非齐次线性方程组(
b1 ,b2 ,L ,bm 不全为0).
如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组，简称导出组.
定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一个特解与其导出方程组的解之和。
11
则
x
1
21
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
n1
Ax 0.
就是该显方然程齐组次的线一性个方解程，组这总个是解有叫解做，零解，若方程组还x有1其他解0，, x那2么这些0解,L就叫,做x非n零解.0
方程组 Ax 有非0零解的充要条件是
齐次线性方程组的解有如下的性质
。
LL
xr cr ,r1xr 1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr 2
0, 1,
, 0,
xn
0 0
1
可得从而得到(1)的n-r个解

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r (A )=r <n ,若AX =0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ,且满足：(1),,,n r -12ξξξ线性无关;(2)AX =0的)任一解都可由这组解线性表示. 则称ξ称齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系(1)(2)（注：1于n -2程组（1）（2（3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解；（4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。

1、求AX =0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3)写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…,k n-r 为任意常数.【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵式：注：解：可得r 12x x =⎧⎨=⎩令3x 令3x 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.二、非齐次线性方程组的解法求AX =b 的解（,()m n r r ⨯=A A ）用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()0rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥A b 行其中0(1,2,,),ii c i r ≠=所以知(1)r d +(2)r d (3)r d +,,n r k -为任意常数。

3-4齐次线性方程组解的结构

信息系刘康泽
x 1 b1, r 1 k 1 b1, r 2 k 2 b1 n k n r x 2 b 2 , r 1 k 1 b 2 , r 2 k 2 b 2 n k n r x r b r , r 1 k 1 b r , r 2 k 2 b rn k n r 即有： x k1 r 1 x k2 r2 x knr n
解：对系数阵 A 作行初等变换：
1 3 A 0 5
1 2 1 4
1 1 2 3
1 1 2 3
1 1 3 0 0 6 1 0
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 2 2
1 6 6 6
信息系刘康泽
解系。
证明：设 1 , 2 , , t 是 A x 0 的一个基础解系，而
1 , 2 , t 是 A x 0 的任意 t 个线性无关的解向量，因此
只需证明 A x 0 的任意一个解可由 1 , 2 , t 线性表示即可。
封闭的。
信息系刘康泽
二、齐次线性方程组解的结构
【定理】设 A 是 m n 矩阵， r ( A ) r n ，则方程组
Ax 0 必有 n r 个线性无关的解向量 1 , 2 , , n r ，
使得 Ax 0 的任意一个解都是 1 , 2 , , n r 的线性组合，并且当 k 1 , k 2 , , k n r 遍取任何数时，
故 1 , 2 , 3 为所求的基础解系。

齐次线性方程组基础解

齐次线性方程组基础解
齐次线性方程组基础解，也称为线性代数系统，是一类在众多领域，如土木工程、信号处理、金融模式等中都重要且常用的数学模型。

齐次线性方程组由一组线性方程所组成，以及相应的非齐次方程组。

对齐次线性方程组而言，它们的解可以用“解析解和特解”的方式表达，解析解是指所有可能的通用解，而特解则指的是所有的私有解。

求解齐次线性方程组的关键是分析形式，即求解变量x1, x2, x3和xn之间的关系，而这些变量之间的关系可以用矩阵乘法的方式表达。

因此，对于齐次线性方程组，基础解可以通过以下步骤来获得：
1. 令Ax=0，其中A是系数矩阵，x是未知数。

2.行列式求解方程A，以求出A的行列式值等于零，即A＝0，求出行列式值等于零时，系数矩阵A的解叫做齐次线性方程组的基础解。

3.A系数矩阵的行列式值不为零，即行列式值有非零解，则该齐次线性方程组没有解，或者有不唯一的解。

这里的基础解所指的是所有的满足行列式值等于零的解，而这些解实际上是系数矩阵A的所有可能解中的一部分。

因此，获得齐次线性方程组的基础解，可以通过对系数矩阵A的行列式值求解来实现，或者通过求解得到的基础解，可以构造出方程组的所有通用解。

有了基础解，我们可以计算出方程组的特解，特解可以用来表示所有的私有解，特解的计算也可以通过线性代数的一些基本概念来实现，比如运用向量的乘法和秩的定义，可以计算出方程组的所有特解。

总结以上，在求解齐次线性方程组时，需要先求出它的基础解，然后再构造出所有特解。

首先，可以通过行列式求解运算来实现，其次，也可以运用基本的线性代数概念来构造特解。

齐次线性方程组

0
0
1
,
,
0 .
0
1
分别
代入
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr
br1 xr1
br ,nr xn
依次得x1 Fra bibliotekb11
,
b12
,
,
b1 ,n r
.
xr br1 br 2
br
,n r
从而求得原方程组的 n r 个解：
b11
Ax 0只有零解 A 0; Ax 0有非零解 A 0.
证（1）Ax 0只有零解 V 0 dimV n r( A) 0
n r( A).
Ax 0有非零解 V 0 dimV n r( A) 0
n r( A).
当m n时，必有r( A) minm, n m n,此时Ax 0必有
br 1
1 1 ,
0
解系，证明：1 2 3 , 2 1 32 23 , 3 21
一
2
定
是Ax
0的
基
础
解
系.
证根据已知条件可以写出矩阵等式：
1 1 2
（1， 2， 3）（1，2，3）1 3 1，
0 2 0 记为B A.因为表出矩阵的行列式
112 P 1 3 1 2 0，
是Ax
0
的基础解系。证毕。
２.齐次线性方程组的通解的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，并不妨设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A通过初等变换可化为
1
0
b11
b1,n r
0 A~

一,齐次线性方程组解的性质

二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
1,2 , ,t称为齐次线性方程组Ax 0的基础
解系, 如果
(1)1 ,2 , ,t是Ax 0的一组线性无关的解; (2)Ax 0的任一解都可由1,2 , ,t线性表
出.
如果1 ,2 , ,t为齐次线性方程组 Ax 0
的一组基础解系,那么, Ax 0 的通解可表示为
br
2
br
,n
r
cr
r1 1 r2 0 n 0 r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1
b11 xr1 b1,nr xn
x
r
br1 xr1
br ,nr xn
系(此时解空间只含一个零向量,为0维向量空间); 当R( A) r n时,方程组必有含n r个向量的
基础解系 1, 2 , , nr ,此时,方程组的解可表示为
x k1 1 k2 2 knr nr ,
其中k1, , knr 为任意实数,解空间可表示为
S x k1 1 knr nr k1, , knr R .
故得基础解系
1 2 1 2
,
线
n
性
表
示;
向量组1, 2 ,
,
与向量
n
组1
,
2
,
, n , b等价;
矩阵A 1,2 , ,n 与矩阵B 1,2 , ,n , b
的秩相等.
４．线性方程组的解法
（1）应用克莱姆法则
特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．

齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1

1 2 4 ~ 2 −1 3 A= − 1 1 − 1 5 1 11
1 2 0 − 5 0 3 0 − 9
4 −5 3 −9
1 2 0 1 0 0 0 0
4 1 0 0
三、向量组间的线性表示 1.定义：设有两向量组 A:α1,α2,···,αs；B:β1,β2,···,βt 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 A B 向量组等价。 2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B 可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示。(传递性）
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + knα n = O
1.定义：对于向量组:α1,α2,···,αs，如果存在一组不全为零的数k1,k2,···,ks, 使得： k1α1+k2α2+···+ksαs=O 则称向量组α1,α2,···,αs 线性相关；如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向量组α1,α2,···,αs 线性无关。例 α1=(1,1)T,α2=(2,2) T 线性相关。 2α1－α2=O 例 n维单位向量组 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 线性无关。若 k1ε1 + k2ε 2 + ⋯ + knε n = O = (k1 , k2 ,⋯, kn )T 则： 1 = k2 = ⋯ = kn = 0 k
练习： 1.α=(1,1,1)T, β=(1,3,0)T, γ =(2,4,1)T, 试将α表示为β, γ的线性组合。性相关性。线性相关性。 4.课本96页第7题。 α=－β＋γ 线性相关线性相关 2.讨论α1=(1,2,1)T, α2=(4,－1,－5)T, α3 =(2,1,－1)T 的线 3.若α1,α2, α3线性无关，讨论α1－α2,α2－α3 ,α3－α1的

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理)

线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解。

其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =；（3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解；（4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.注：此法仅对n 较小时方便【例题2】解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（,()m n r r ⨯=A A ）用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。

齐次线性方程组的解的结构

(2)
其中 cii 0, i 1,, r, r n . (2)可变形为
c11 x1 c1r xr c1,r 1 xr 1 c1n xn crr xr cr ,r 1
这里 xr 1 , xn是自由未知量。分别取 ( xr 1, xn ) 为 (1,0,,0),,(0,0,,1), 由(3)得(1)的解为
1 2 0 0
1 2 0 0
1 6 0 0
故原方程组等价于
x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5 0 即 x2 2 x3 2 x4 6 x5 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0
x1 x2 x3 x4 x5 0 例求齐次线性方程组 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 0 的解集。 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0 5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 0
解：
1 3 0 5 1 2 1 4 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 6 0 1 1 3 0 0 2 6 0 1 2 2 6 0 1 2 2 6 3 1 0 0
齐次线性方程组解的结构
关于齐次线性方程组
a11 x1 a1n xn 0 a x a x 0 1n n s1 1
(1)
有以下结论
1)它一定有解，因为零向量 0 (0, , 0) 为解； 2)两个解 1 (b1 ,, bn ),2 (c1 ,, cn ) 的和
从而基础解系为
1 (1, 2,1,0,0),2 (1, 2,0,1,0),3 (5, 6,0,0,1)

齐次线性方程组基础解

齐次线性方程组基础解
本文主要讨论齐次线性方程组的基本解的概念，并分析了三种常见的解法方法，诸如高斯消元法、克莱默法等，以便让读者更好地理解求解齐次线性方程组的基本解的基本步骤。

首先，什么是“齐次线性方程组”？齐次线性方程组是指由n 个线性方程组组成的方程组，即：a1x1 + a2x2+...+anxn=0齐次线性方程组的n个未知数x1，x2...，xn的一组解称为它的基本解，我们可以将它表示为x=(x1，x2，...，xn)。

接下来，我们来讨论求解齐次线性方程组的基本解的基本步骤。

主要有：
（1）高斯消元法：此方法是由德国数学家高斯在19世纪发明的，它是最简单、最常用的求解齐次线性方程组基本解的方法。

在此方法中，将所有未知数按先后次序，依次用高斯算法和高斯切线法解出。

（2）克莱默法：这是另一种求解齐次线性方程组基本解的方法，克莱默法采用矩阵分解的思想，将一个齐次线性方程组拆分成两个矩阵，分别为系数矩阵和常数项矩阵，通过矩阵分解求解基本解。

（3）其他方法：除了上述的两种解法外，另外还有一些求解齐次线性方程组基本解的方法，如凯莱默法、乔姆斯基降幂法，还有一些基于数值计算的方法，如Gauss-Seidel迭代法、SOR （Successive Over Relaxation）方法等。

最后，本文就以齐次线性方程组基本解为标题，介绍了三种求解齐次线性方程组基本解的方法，希望能对读者有所帮助。

齐次线性方程组解的结构

都是向量组 () 的极大无关组.
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的基础解系．
证：设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量，考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn

第三章线性方程组第5节齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

因为 r ( A) 2 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为 x2 , x4 ，
x1 2 x 2 x3 x4 0 原方程组与方程组同解 7 x3 5 x 4 0 x2 1 对自由未知量分别取 , x = 4 0
因为 r ( A) 2 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为
2 x x2 x3 x4 0 同解 x2 , x3 ，原方程组与方程组 1 x4 0
1 0 对自由未知量为 x2 , x3 分别取和，代入上式得到方程组的一个基础解系 0 1
即 1 2 是其导出组 AX=0 的解。定理 2：如果 0 是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的全部解，则 0 是非齐次线性方程组的全部解。由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为：
A(CX 0 ) C ( AX 0 ) C 0 0
即 C X 0 也是齐次线性方程组(1)的解。由性质(1),(2)可得： (3) 如果 X 1 , X 2 ,, X s 都是齐次线性方程组 (1) 的解，则其线性组合
C1 X 1 C2 X 2 Cs X s 也是它的解。其中 C1 , C2 ,, C s 都是任意常数。
因为 r ( A) 3 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为 x4 ，原
4
x1 x3 0 方程组与方程组 x 2 3 x3 x 4 0 同解 3 x3 x 4 0 4
取自由未知量 x 4 =1 ，代入上式得齐次线性方程组的一个基础解系为：

齐次线性方程组的解的向量形式

1 0
,
2 2
,
1
2
.
齐次方程组的一个基础解系为方程组的通解为
将其所中得x112方 , x4程, x组5为中 02自含由自未由知未数01知. 数的项都c1移ξ1到 c等2ξ式2 右c3边ξ3得 ,
ξ1
0 0 0
x, ξ1 2x2
x3 =
10222xx,44ξ3
x5
2x5
3.13 非齐次线性方程组的解的向量形式
非齐次线性方程组有解的条件设 A是 F 上的m n 矩阵, 1,2, ,n 是 A的列向量组,
那么下列论断等价:
(1) 线性方程组 AX 有解; (2) r( A) r( A, ); (3) R( A) L(1,2 , ,n ); (4) {1,2 , ,n } {1,2 , ,n , }.
推论设 A是 F 上的m n 矩阵, 则 A的行空间 R( AT )
的维数与零空间N ( A)的维数满足: dim R( AT ) dim N ( A) n . ▌
定义齐次线性方程组AX 0的解空间的基称为方程组的基础解系.
如果 ξ1, ξ2, , ξt 是 F 上的齐次线性方程组 AX 0 的基础解系, 那么 AX 0 的通解可以表示为
γ γ0 c1ξ 1 c2ξ 2 ctξ t . 由此可得
γ γ0 c1ξ 1 c2ξ 2 ctξ t .
如果 c1 , c2, , ct 是F 中的任意常数, 那么, 根据引理5, γ γ0 c1ξ 1 c2ξ 2 ctξ t
是线性方程组 AX 的解.因此,
γ γ0 c1ξ 1 c2ξ 2 ctξ t
1
1
令
ξ1
γ1
γ3

齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组的解具有特定的结构，其中解向量是方程组解的重要组成部分。通过线性组合，可以得到方程组更多的解。而基础解系则是解集合中的一个极大线性无关组，它包含了方程组解组的系数矩阵进行初等行变换，化为标准阶梯形。然后，根据阶梯形矩阵确定自由未知量，并通过代入法求解得到基础解系。基础解系中的解向量个数等于未知量个数减去非零行数，即n-r。通过具体例子，可以清晰地展示求解齐次线性方程组基础解系的整个过程，包括系数矩阵的初等行变换、自由未知量的确定、基础解系的求解以及通解的表示。

齐次方程组的解的三种情况

齐次方程组的解的三种情况
一个齐次线性方程组的解可能出现三种情况：唯一解、无解和无穷解。

1. 唯一解：当一个齐次线性方程组的系数矩阵满秩且行数等于未知数个数时，方程组存在唯一解。

此时,每个未知数都有一个唯一的解。

2. 无解：当一个齐次线性方程组的系数矩阵的秩小于方程组未知数的个数时，方程组无解。

此时所有未知数没有解。

3. 无穷解：当一个齐次线性方程组的系数矩阵的秩小于方程组未知数的个数时，方程组的解可能是无穷个。

此时，至少有一个未知数可以取任意实数。

齐次线性方程组的解_线性代数_[共3页]

线性方程组解的理论和求解方法是线性代数学的核心内容. 在第1章中介绍的克拉默法则只适用讨论方程个数与未知量个数相同的线性方程组. 本章将利用在第3章中介绍的向量理论，建立线性方程组的解的理论：解的存在性和解的结构，并给出它的通解表示法.对于一般的线性方程组，解有3种可能：（1）仅有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解.我们研究一般的线性方程组需要解决以下3个问题.（1）一个线性方程组在什么条件下有解，在什么条件下无解；（2）若有解，是有唯一解还是有无穷多个解，即线性方程组解的判定问题；（3）若有无穷多个解，则如何利用有限个解来表示方程组的全部解，即线性方程组解的结构问题.下面分别从齐次线性方程组和非齐次线性方程组来讨论.4.1齐次线性方程组4.1.1 齐次线性方程组的解讨论含有m 个方程，n 个未知量的齐次线性方程组1111221211222211220,0,......0,n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩""" （4.1.1）写成矩阵形式为=AX 0，其中111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ""###"，12n x x x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠#X . 由于=X 0总是齐次线性方程组（4.1.1）的解向量，因而，以下主要讨论方程组（4.1.1）是否有非零解以及如何表示这无穷多个非零解.先讨论齐次线性方程组的解的性质.性质4.1.1 若12,==X ηX η是齐次线性方程组（4.1.1）的两个解，则（1）12=+X ηη也是方程组（4.1.1）的解；（2）1k =X η也是方程组（4.1.1）的解，其中k 为任意实数.证由条件得，12,==A ηA η00，于是第4章线性方程组。

齐次线性方程组的解

齐次线性方程组基础解

齐次线性方程组解的结构

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

3-4齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组基础解

齐次线性方程组

一,齐次线性方程组解的性质

齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理)

齐次线性方程组的解的结构

齐次线性方程组基础解

齐次线性方程组解的结构

第三章 线性方程组 第5节 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

齐次线性方程组的解的向量形式

齐次线性方程组解的结构

齐次方程组的解的三种情况

齐次线性方程组的解_线性代数_[共3页]

第三章线性方程组第5节齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构