诱导公式的应用

sin cos sin cos sin cos sin cos 1.
当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)，
原式

sin 2m cos2m sin［2m 2 ］cos［2m
1
2
2.sin(-210°)·cos(-210°)的值为_______.
【解析】sin 210

sin
210

sin 180 30

1， 2
cos210 cos 210 cos180 30 cos 30 3，
2
所以
sin
210gcos
2
【解析】sin


cos( 2

所) 以ssiinnα,≤0,
所以角α的集合为{α|π+2kπ≤α≤2π+2kπ,k∈Z}.
答案：{α|π+2kπ≤α≤2π+2kπ,k∈Z}
cos( ) sin cos
5.化简：
cos(
2 3

)

sin(
2 2.
(2)sin(- 55π)= -sin 55π= -sin(8π+ 7π)
6
6
6
=
-sin
7π= 6
-sin(π+π)= 6
sinπ= 6
1 2
.
(3)sin 5πcos(-π)+ sin 11πcos 5π
6
4
6
4
= sin(π-π)cosπ+ sin(2π-π)cos(π+π)
6
4
6
4
对于任意角α，下列关系式成立：
sin(2k ) sin , cos(2k ) cos （1.8）
sin( ) sin , cos( ) cos
（1.9）
sin(2 ) sin , cos(2 ) cos
sin( ) sin , cos( ) cos
类型 三 利用诱导公式化简三角函数式
sin(2 ) cos(3 ) cos(3 )
例3
化简
2 sin( )sin(3 ) cos( )
(-sinα)cos(π+α)cos(π+π+α)
解：原式
=
2 [-sin(π-α)]sin(π-α)cos[-(α+π)]
33
变式训练：
若cos 15，则cos(2π-α)的值为( )
A. 1
B. 1
C. 2 2
5
5
5
【解析】选A.因为 cos 所 以15 ,
所以
cos

2



cos



1 5
.
D. 2 2
5
即cos


1 5
,
cos 1 , 5
【拓展提升】解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的 角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变 形向已知式转化.


)

sin



.
2
2
【解析】原式 sin sin cos 1.
sin cos sin
课堂小结： 作业：课本习题1-4 A组7、 8 B组1 、3
4.3 诱导公式
一、三维目标：
1、理解利用单位圆和正弦、余弦函数的定义推导正弦、余弦函数的诱导公式的方法； 2、理解诱导公式的作用； 3、掌握诱导公式并能运用诱导公式进行三角函数的求值、化简及其简单的三角恒等式的证明。
二、新课导入：
上节课由单位圆和正弦余弦函数的定义，推导了- ， 2 ，2k ，五组诱导公式，我们能否类比得出 的
210

1 2
g(
3) 2
3. 4
答案：
3 4
3.已知 cos 1，则 sin( 3 ) _______.
3Байду номын сангаас
2
【解析】sin(
3 2


)

sin[

(
2

)]
sin( ) cos 1.
2
3
答案：
1 3
4.若 sin cos( )，则角α的集合为_______.
2
正弦余弦函数的公式？
角α与

2


的正弦函数、余弦函数关系
如图，利用单位圆作出任意锐角α与单位圆相交于点
P(a，b),
角 的终边与单位圆交于点P′，由平面几何知识可知,
2
Rt△OPM≌Rt△POM,不难证明P坐标为b,a .
sin( ) cos 2
cos( ) sin 2
【思考题】设k为整数，化简：
sin k cos［k 1 ］ sin［k 1 ］cosk .
【解析】当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，
sin k cos［k 1 ］ sin 2m cos［2m 1 ］ sin［k 1 ］cosk sin［2m 1 ］cos(2m )
=
(-sinα)(-cosα)[-cos(π+α)] 2
=
sinα=
1.
(-sinα)sinα(-cosα)
sinα
变式训练：
化简：sin sin 2



cos cos

2


sin



_______
.
【拓展提升】化简三角函数式的策略 (1)化简时要使函数类型尽量少,角的弧度数(或角度数)的绝对 值尽量小,特殊角的正弦、余弦函数要求出值. (2)要认真观察有关角之间的关系,根据需要合理选择诱导公 式变角.

］

sin cos sin cos


sin sin
cos
cos


1.
综上，原式=-1.
课堂练习： 1.sin 330°等于( )
A. 3 2
B. 1 2
C. 1
D. 3
2
2
【解析】选B.sin 330 sin 360 30 sin 30 1 .
3
cos(195°+α)的值.
【解析】165°-α=180°-(α+15°)，
195°+α=180°+(α+15°)，
所以cos(165°-α)+cos(195°+α)
=cos［180°-(α+15°)］+cos［180°+(α+15°)］
cos 15 cos 15 2 1 2 .
思考：如何得到下列两个等式
sin( ) cos 2
cos( ) sin 2
提示:
sin(
2

)

sin
2

()

cos()

cos

cos(
2

)

cos

2

()

sin()

sin

以上两组诱导公式口诀:“函数名改变,符号看象限.”
= sinπcosπ+(-sinπ)(-cosπ)
64
6
4
=
1 2

2 2
+
1 2

2 2
2 2.
【变式训练】求下列三角函数值.
(1)sin 780°.(2)cos(-1 440°)+sin 390°.
【解析】(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°
(2)cos(-1 440°)+sin 390°=cos 1 440°+sin 390°
=cos(4×360°+0°)+sin(360°+30°)
cos 0 sin 30 1 1 3 . 22
3. 2
【拓展提升】求任意角的正弦、余弦函数值的一般步骤
类型 二 利用诱导公式处理给值(或式)求值问题
例2已知 cos 15 1，求cos(165°-α)+
2.对诱导公式的记忆
3.诱导公式的应用☺（给角求值）
例1 求下列函数值：
(1)sin(5 ). 24
(2)sin( 55). 6
(3)sin 5 cos( ) sin 11 cos 5 .
6
4
6
4
解： (1)sin(5π+π)= sin(π+π)= cosπ=
24
24
4
sin( ) sin , cos( ) cos

sin(
) cos , cos(
)

sin
2
2

sin(
)

cos , cos(
)

sin
2
2
（1.10） （1.11） （1.12） （1.13）
（1.14）
1.对诱导公式的理解 (1)在角度制和弧度制下，公式都成立； (2)公式中的角α可以是任意角； (3)诱导公式的基本思路是将求任意角的三角函数值转化为0° 到90°上的三角函数值求解，体现了化归思想.