2013年高考文科数学全国大纲卷试题与答案word解析版

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2013年高考文科数学全国大纲卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013大纲全国，文1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则U A ＝( )．A ．{1,2}B ．{3,4,5}C ．{1,2,3,4,5}D ．∅ 2．(2013大纲全国，文2)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )．A ．1213-B ．513-C ．513D ．12133．(2013大纲全国，文3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，文4)不等式|x 2－2|＜2的解集是( )．A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2)5．(2013大纲全国，文5)(x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( )．A ．28B ．56C ．112D ．2246．(2013大纲全国，文6)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )．A ．121x -(x ＞0)B ．121x -(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x－1(x ＞0)7．(2013大纲全国，文7)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，243a =-，则{a n }的前10项和等于( )．A ．－6(1－3－10)B ．19(1－310) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)8．(2013大纲全国，文8)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )．A ．22x ＋y2＝1B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=9．(2013大纲全国，文9)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω＝( )．A ．5B ．4C ．3D ．210．(2013大纲全国，文10)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )．A ．9B ．6C ．－9D ．－611．(2013大纲全国，文11)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B． C． D ．1312．(2013大纲全国，文12)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ·MB ＝0，则k ＝( )．A ．12 B．2 C．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，文13)设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝______.14．(2013大纲全国，文14)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，文15)若x ，y 满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z ＝－x＋y 的最小值为______．16．(2013大纲全国，文16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，文17)(本小题满分10分)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9.(1)求{a n }的通项公式； (2)设1n nb na =，求数列{b n }的前n 项和S n .18．(2013大纲全国，文18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin A sin C，求C．19．(2013大纲全国，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求点A到平面PCD的距离．20．(2013大纲全国，文20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在，各局比赛的结果相互独立，下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．21．(2013大纲全国，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a=f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．22．(2013大纲全国，文22)(本小题满分12分)已知双曲线C：22221x ya b-=(a ＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：由题意得U A ＝{3,4,5}．故选B ． 2．答案：A解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝1213==-.故选A ． 3．答案：B解析：∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝0. ∴|m |2－|n |2＝0，即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0. ∴λ＝－3.故选B ． 4．答案：D 解析：|x 2－2|＜2⇒－2＜x 2－2＜2⇒0＜x 2＜4⇒0＜|x |＜2⇒－2＜x ＜0或0＜x ＜2.故选D ． 5．答案：C解析：T 2＋1＝28C x 8－2·22＝112x 6.故选C ． 6．答案：A解析：由y ＝f (x )＝21log 1x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⇒1＋1x ＝2y⇒x ＝121y-. ∵x ＞0，∴y ＞0. ∴f －1(x )＝121x -(x ＞0)．故选A ． 7．答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0⇒a n ＋1＝13-a n ， ∴{a n }是以13-为公比的等比数列．又∵a 2＝43-，∴a 1＝4.∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C ． 8．答案：C解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得 |AF 1|＝2a －32.①在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝232⎛⎫ ⎪⎝⎭＋22.②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆C 的方程为22143x y +=，应选C ．9．答案：B解析：∵由题中图象可知x 0＋π4－x 0＝2T .∴π2T =.∴2ππ2ω=.∴ω＝4.故选B ． 10．答案：D解析：由题意知y ′|x ＝－1＝(4x 3＋2ax )|x ＝－1＝－4－2a ＝8，则a ＝－6.故选D ． 11．答案：A解析：如图，设AA 1＝2AB ＝2，AC 交BD 于点O ，连结OC 1，过C 作CH ⊥OC 1于点H ，连结DH .∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1. ∵CH ⊂平面ACC 1A 1，∴CH ⊥BD ．∴CH ⊥平面C 1BD ．∴∠CDH 为CD 与平面BDC 1所成的角．OC 1==. 由等面积法得OC 1·CH ＝OC ·CC 1，22CH =.∴CH ＝23.∴sin ∠CDH ＝22313CH CD ==.故选A ．12．答案：D解析：设AB ：y ＝k (x －2)，代入y 2＝8x 得： k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则∴x 1＋x 2＝2248k k+，x 1x 2＝4.(*)∵MA ·MB ＝0，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0，即(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.∴x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.① ∵11222,2,y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)，②y 1·y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]．③ 由(*)及①②③得k ＝2.故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：－1解析：∵f (x )是以2为周期的函数，且x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1. 14．答案：60解析：分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果．故共有123653C C C 60=(种)可能的结果． 15．答案：0解析：z ＝－x ＋y ⇒y ＝x ＋z ，z 表示直线y ＝x ＋z 在y 轴上的截距，截距越小，z 就越小．画出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示)，当直线过点A (1,1)时，z min ＝0.16．答案：16π解析：如图，设MN 为公共弦，长度为R ，E 为MN 中点，连结OE ，EK ，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN .∴∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角． ∴∠OEK ＝60°.又△OMN 为正三角形，∴OE.∵OK ＝32，且OK ⊥KE ， ∴OE ·sin 60°＝32.∴3222R ⋅=. ∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则 a n ＝a 1＋(n －1)d . 因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=(+)⎩解得a 1＝1，12d =.所以{a n }的通项公式为12n n a +=. (2)因为22211n b n n n n ==-(+)+，所以2222222122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cosA cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sinA sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝1+22故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°.19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD ．因此PB ⊥CD ．(2)解：取PD 的中点F ，连结OF ，则OF ∥PB ．由(1)知，PB ⊥CD ，故OF ⊥CD ．又OD ＝12BD OP故△POD 为等腰三角形，因此OF ⊥PD ．又PD ∩CD ＝D ，所以OF ⊥平面PCD ．因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以AE ∥平面PCD ．因此O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而OF ＝12PB ＝1，所以A 到平面PCD 的距离为1. 20．解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)记B 1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，B 2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B ＝1B ·B 3＋B 1·B 2·3B ＋B 1·2B . P (B )＝P (1B ·B 3＋B 1·B 2·3B ＋B 1·2B ) ＝P (1B ·B 3)＋P (B 1·B 2·3B )＋P (B 1·2B ) ＝P (1B )P (B 3)＋P (B 1)P (B 2)P (3B )＋P (B 1)P (2B )＝111484++＝58. 21．解：(1)当a =f (x )＝x 3－2＋3x ＋1， f′(x )＝3x 2－x ＋3.令f ′(x )＝0，得11x =，21x .当x ∈(1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1)是增函数；当x ∈11)时，f ′(x )＜0，f (x )在11)是减函数；当x ∈1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在1，＋∞)是增函数．(2)由f (2)≥0得54a ≥-. 当54a ≥-，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥25312x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝312x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22．(1)解：由题设知3c a =，即2229a b a+=，故b 2＝8a 2. 所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，并求得x =由题设知，=a 2＝1.所以a ＝1，b =(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝2268k k -，x 1·x 2＝22988k k +-.于是|AF 1|＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝23-. 故226283k k =--，解得245k =，从而x 1·x 2＝199-.由于|AF2|＝1－3x1，|BF2|＝3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．教你如何用WORD文档(2012-06-27 192246)转载▼标签：杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•大纲版）设集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅2．（5分）（2013•大纲版）若α为第二象限角，sinα＝，则cosα＝（）A．B．C．D．3．（5分）（2013•大纲版）已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）（2013•大纲版）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）5．（5分）（2013•大纲版）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．2246．（5分）（2013•大纲版）函数f（x）＝log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）＝（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）7．（5分）（2013•大纲版）已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝0，a2＝﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）8．（5分）（2013•大纲版）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）（2013•大纲版）若函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω＝（）A．5B．4C．3D．210．（5分）（2013•大纲版）已知曲线y＝x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a ＝（）A．9B．6C．﹣9D．﹣611．（5分）（2013•大纲版）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．12．（5分）（2013•大纲版）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k＝（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•大纲版）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）＝x ﹣2，则f（﹣1）＝．14．（5分）（2013•大纲版）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）15．（5分）（2013•大纲版）若x、y满足约束条件，则z＝﹣x+y的最小值为．16．（5分）（2013•大纲版）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2013•大纲版）等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）（2013•大纲版）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）＝ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sin A sin C＝，求C．19．（12分）（2013•大纲版）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．20．（12分）（2013•大纲版）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．21．（12分）（2013•大纲版）已知函数f（x）＝x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a＝时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．22．（12分）（2013•大纲版）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•大纲版）设集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁U A，即可选出正确选项【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5，}，集合A＝{1，2}所以∁U A＝{3，4，5}故选：B．【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键2．（5分）（2013•大纲版）若α为第二象限角，sinα＝，则cosα＝（）A．B．C．D．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．（5分）（2013•大纲版）已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴＝（2λ+3，3），．∵，∴＝0，∴﹣（2λ+3）﹣3＝0，解得λ＝﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）（2013•大纲版）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．5．（5分）（2013•大纲版）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．224【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．【解答】解：（x+2）8展开式的通项为T r+1＝x8﹣r2r令8﹣r＝6得r＝2，∴展开式中x6的系数是22C82＝112．故选：C．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（5分）（2013•大纲版）函数f（x）＝log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）＝（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【分析】把y看作常数，求出x：x＝，x，y互换，得到y＝log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y＝log2（1+），把y看作常数，求出x：1+＝2y，x＝，其中y＞0，x，y互换，得到y＝log2（1+）的反函数：y＝，故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．7．（5分）（2013•大纲版）已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝0，a2＝﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n＝0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1＝4由等比数列的求和公式可得，S10＝＝3（1﹣3﹣10）故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题8．（5分）（2013•大纲版）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为（）A．B．C．D．【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得＝1．再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|＝3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a2＝4，b2＝3，从而得到椭圆C的方程．【解答】解：设椭圆的方程为，可得c＝＝1，所以a2﹣b2＝1…①∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|＝3∴可得A（1，），B（1，﹣），代入椭圆方程得，…②联解①②，可得a2＝4，b2＝3∴椭圆C的方程为故选：C．【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．9．（5分）（2013•大纲版）若函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω＝（）A．5B．4C．3D．2【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T＝2（）＝，所以T＝＝，所以ω＝＝4．故选：B．【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．10．（5分）（2013•大纲版）已知曲线y＝x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a ＝（）A．9B．6C．﹣9D．﹣6【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．【解答】解：∵y＝x4+ax2+1，∴y′＝4x3+2ax，∵曲线y＝x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a＝8∴a＝﹣6故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）（2013•大纲版）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】设AB＝1，则AA1＝2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设＝（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ＝||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB＝1，则AA1＝2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），＝（1，1，0），＝（1，0，﹣2），＝（1，0，0），设＝（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取＝（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ＝||＝，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．12．（5分）（2013•大纲版）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k＝（）A．B．C．D．2【分析】斜率k存在，设直线AB为y＝k（x﹣2），代入抛物线方程，利用＝（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）＝0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2＝8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y＝k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2＝4+，x1x2＝4．∴y1+y2＝，y1y2＝﹣16，又＝0，∴＝（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）＝＝0∴k＝2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•大纲版）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）＝x ﹣2，则f（﹣1）＝﹣1．【分析】利用函数的周期，求出f（﹣1）＝f（1），代入函数的解析式求解即可．【解答】解：因设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）＝x﹣2，则f（﹣1）＝f（1）＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期的应用，函数值的求法，函数的定义域是解题的关键，考查计算能力．14．（5分）（2013•大纲版）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有60种．（用数字作答）【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，第二步，再决出2名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：共有•＝60种方法．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．15．（5分）（2013•大纲版）若x、y满足约束条件，则z＝﹣x+y的最小值为0．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝﹣x+y对应的直线进行平移，可得当x＝y＝1时，目标函数z取得最小值，从而得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（0，），C（0，4）设z＝F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z＝﹣x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z＝F（1，1）＝﹣1+1＝0最小值故答案为：0【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝﹣x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（5分）（2013•大纲版）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于16π．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC＝，CK＝在△OCK中，OC2＝OK2+CK2，即∴r2＝4∴球O的表面积等于4πr2＝16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2013•大纲版）等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（I）由a7＝4，a19＝2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求a n （II）由＝＝，利用裂项求和即可求解【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7＝4，a19＝2a9，∴解得，a1＝1，d＝∴＝（II）∵＝＝∴s n＝＝＝【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18．（12分）（2013•大纲版）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）＝ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sin A sin C＝，求C．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cos B，将关系式代入求出cos B的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sin A sin C的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）＝（a+c）2﹣b2＝ac，∴a2+c2﹣b2＝﹣ac，∴cos B＝＝﹣，又B为三角形的内角，则B＝120°；（II）由（I）得：A+C＝60°，∵sin A sin C＝，cos（A+C）＝，∴cos（A﹣C）＝cos A cos C+sin A sin C＝cos A cos C﹣sin A sin C+2sin A sin C＝cos（A+C）+2sin A sin C＝+2×＝，∴A﹣C＝30°或A﹣C＝﹣30°，则C＝15°或C＝45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）（2013•大纲版）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE，证明PB⊥OE，OE∥CD，即可证明PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，即可求得点A到平面PCD的距离．【解答】（I）证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD∴OA＝OB＝OD，即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD，∴PB⊥OE∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD∴PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，则OF∥PB由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，∵，＝∴△POD为等腰三角形，∴OF⊥PD∵PD∩CD＝D，∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊈平面PCD，∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF＝∴点A到平面PCD的距离为1．【点评】本题考查线线垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生转化的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2013•大纲版）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．【分析】（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”，可得A＝A1•A2．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．可得B＝，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”．则A＝A1•A2．P（A）＝P（A1•A2）＝．（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B＝，则P（B）＝P（）＝+＝+＝．【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键．21．（12分）（2013•大纲版）已知函数f（x）＝x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a＝时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（I）把a＝代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x＝﹣，或x＝﹣，判断函数在区间（﹣∞，﹣），（﹣，﹣），（﹣，+∞）的正负可得单调性；（II）由f（2）≥0，可得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈[2，+∞）时，有f（x）≥f（2）≥0成立，进而可得a的范围．【解答】解：（I）当a＝时，f（x）＝x3+3x2+3x+1，f′（x）＝3x2+6x+3，令f′（x）＝0，可得x＝﹣，或x＝﹣，当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（﹣，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（II）由f（2）≥0，可解得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，f′（x）＝3（x2+2ax+1）≥3（）＝3（x﹣）（x﹣2）＞0，所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，综上可得，a的取值范围是[，+∞）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．22．（12分）（2013•大纲版）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a 表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2＝，，再利用|AF1|＝|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2所以C的方程为8x2﹣y2＝8a2将y＝2代入上式，并求得x＝±，由题设知，2＝，解得a2＝1所以a＝1，b＝2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2＝8①由题意，可设l的方程为y＝k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2＝，，于是|AF1|＝＝﹣（3x1+1），|BF1|＝＝3x2+1，|AF1|＝|BF1|得﹣（3x1+1）＝3x2+1，即故＝，解得，从而＝﹣由于|AF2|＝＝1﹣3x1，|BF2|＝＝3x2﹣1，故|AB|＝|AF2|﹣|BF2|＝2﹣3（x1+x2）＝4，|AF2||BF2|＝3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1＝16因而|AF2||BF2|＝|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．。

2013年全国高考(文科)数学试卷(大纲卷)【已整理】

2013年全国高考数学试题（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合}5 , 4 , 3 , 2 , 1{=U ，集合}2 , 1{=A ，则=A C U （）A ．}2 , 1{B ．}5 , 4 , 3{C ．}5 , 4 , 3 , 2 , 1{D ．∅2、已知α是第二象限角，135sin =α，则=αcos （） A ．1213- B ．513- C ．513 D ．12133、已知向量)1 , 1(+=λm ，)2 , 2(+=λn ，若)()(n m n m -⊥+，则=λ（）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-14、不等式2|2|2<-x 的解集是（）A ．)1 , 1(-B ．)2 , 2(-C ．)1 , 0()0 , 1( -D ．)2 , 0()0 , 2( -5、在8)2(+x 的展开式中6x 的系数是（）A ．28B ．56C ．112D ．2246、函数)11(log )(2x x f +=（0>x ）的反函数=-)(1x f （）A ．121-x （0>x ）B ．121-x （0≠x ） C ．12-x （R x ∈） D ．12-x （0>x ） 7、已知数列}{n a 满足031=++n n a a ，342-=a ，则}{n a 的前10项和等于（） A ．)31(610--- B ．)31(9110-- C ．)31(310-- D ．)31(310-+ 8、已知)0 , 1(1-F 、)0 , 1(2F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于A 、B 两点，且3||=AB ，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y += 9、若函数)sin(ϕω+=x y （0>ω）的部分图象如图，则=ω（）A ．5B ．4C ．3D ．210、已知曲线124++=ax x y 在点)2 , 1(+-a 处的切线斜率为8，则=a （）A ．9B ．6C ．-9D ．-611、已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，则CD 与平面1BDC所成角的正弦值等于（） A ．32 B ．33 C ．32 D ．31 12、已知抛物线x y C 8:2=与点)2 , 2(-M ，过C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点，若0=⋅MB MA ，则=k （）A ．21B ．22 C ．2 D ．2 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．13、设)(x f 是以2为周期的函数，且当)3 , 1[∈x 时，2)(-=x x f ，则=-)1(f _________． 14、从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有_________种（用数字作答）．15、若x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x ，则y x z +-=的最小值为_________．16、已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，23=OK ，且圆O 与圆K 所在平面所成角为︒60，则球O 的表面积等于___________．三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分10分）等差数列}{n a 中，47=a ，9192a a =．（1）求}{n a 的通项公式；（2）设nn na b 1=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．18、（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ac c b a c b a =+-++))((．（1）求B ；（2）若413sin sin -=C A ，求C ．19、（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，︒=∠=∠90BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ∆与PAD ∆都是边长为2等边三角形．（1）证明：CD PB ⊥；（2）求点A 到平面PCD 的距离．20、（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为21，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（1）求第4局甲当裁判的概率；（2）求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．21、（本小题满分12分）已知函数133)(23+++=x ax x x f ．（1）求2=a 时，讨论)(x f 的单调性；（2）若) , 2[∞+∈x 时，0)(≥x f ，求a 的取值范围．22、（本小题满分12分）已知双曲线1:2222=-by a x C （0>a ，0>b ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为3，直线2=y 与C 的两个交点间的距离为6．（1）求a 、b ；（2）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于A 、B 两点，且||||11BF AF =，证明：||2AF 、||AB 、||2BF 成等比数列．。

2013年高考真题——数学文(全国卷大纲版)解析版

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅（2）已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213（3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1（4）不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1U （D ）()()-2,00,2U（5）()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224（6）函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210xx ->（7）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（8）已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=（9）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（10）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6（11）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B ）33 （C ）23 （D ）13（12）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==u u u r u u u rg 两点,若则（A ）12（B ）22 （C 2 （D ）2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， .（14）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）（15）若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为.（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =o ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若31sin sin , C.4A C -=求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆o中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I）求第4局甲当裁判的概率；（II）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()2f ;a x =时，讨论的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2 6.y C =与的两个交点间的距离为（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且 11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列。

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}2．（5分）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n=2a n﹣1B．S n=3a n﹣2C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n 7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2B．2C．2D．49．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）A．10B．9C．8D．511．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。

2013年高考文科数学试题(全国课标1)解析版

2013年高考文科数学试题（全国课标1）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1. 已知集合A ={1,2,3,4}，B =2{|,}x x n n A =∈，则A B ⋂=A .{1,4}B .{2,3}C .{9,16}D .{1,2}【命题意图】本题主要考查集合的运算，是容易题. 【解析】B ={1,4,9,16}，故A B ⋂={1,4}，故选A . 2.212(1)ii +-=A .112i --B .112i -+C .112i +D .112i -【命题意图】本题主要考查复数的运算，是容易题. 【解析】212(1)i i +-=122i i+-=112i -+，故选B . 3. 从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是A .12 B .13 C .14 D .16【命题意图】本题主要考查古典概型的计算，是容易题.【解析】从1,2,3，4中任取两个有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6种不同取法，其中取出的2个数之差的绝对值为2的由{1,3}，{2,4}2种，故其概率为26=13，故选B .4. 已知栓曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>）的离心率为2，则C 的渐近线方程为A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，c a =54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C . 5. 已知命题p ：,23x x x R ∀∈<；命题q ：32,1x R x x ∃∈=-，则下列命题中为真命题的是A .p q ∧B .p q ⌝∧C . p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝【命题意图】本题主要考查特称命题、全称命题真假的判定及复合命题真假判断，是容易题. 【解析】由题意知p 为假命题，q 为真命题，∴p ⌝数真命题，∴p q ⌝∧为真命题，故选B .6. 设首项为1，公比为23的等比数列{n a }的前n 项和为n S ，则 A .n S =21n a - B .n S =32n a - C .n S =43n a - D .n S =32n a -【命题意图】本题主要考查等比数列前n 项和公式，是容易题.【解析】n S =213213na --=32n a -,故选D . 7. 运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当[1,1)t ∈-时，3s t =[3,3)∈-，当[1,3]t ∈时，24s t t =-[3,4]∈， ∴输出s 属于[-3,4]，故选A .8. O 是坐标原点，F 是抛物线C：2y =的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=POF 的面积为A .2 B. C. D .4【命题意图】本题主要考查抛物线的定义，是容易题.【解析】由抛物线焦半径公式得P x P x=||P y=， ∴△POF 的面积为1||||2P OF y=12C . 9. 函数()f x =(1cos )sin x x -在[,]ππ-的图像大致为【命题意图】本题主要考查三角函数函数的图像与性质及利用导数研究初等函数的图像与性质，是中档题.【解析】显然()f x 是奇函数，故排除B,当0x π-<<时，()f x ＜0，故排除A ，∵()f x '=22sin cos cos x x x +-=22cos cos 1x x -++，由()f x '≥0解得1cos 2x -≤，又∵x ππ-≤≤，∴3344x ππ-≤≤，同理，由()f x '≤0解得，34x ππ-≤≤-或34x ππ≤≤，∴()f x 在[－π,－34π]上是减函数，在[－34π，34π]上是增函数，在[34π,π]上是减函数，∴当x =34π时，()f x 取最小值3()4f π-=π，故选C . 10. 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，223cos cos 20A A +=，a =7，6c =，则b =A .10B .9C .8D .5【命题意图】本题主要考查二倍角公式、正余弦定理，是中档题. 【解析】由223cos cos 20A A +=及△ABC 是锐角三角形得cos A =15， ∵a =7，6c =，∴222176265b b =+-⨯⨯，即2512650b b --=，解得5b =或b =135-（舍），故选D .11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A .168π+B .88π+C .1616π+D .816π+【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A .12. 已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是A .(,0]-∞B .(,1]-∞C .[-2,1]D .[-2,0]【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。

2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷I)数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )．A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}（2） = ( )（A）-1 - i （B）-1 + i （C）1 + i （D）1 - i3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A．12 B．13 C．14 D．164．已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)C的渐近线方程为( )．A． B．C．12y x=± D ．5．已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )．A．p∧q B．⌝p∧qC．p∧⌝q D．⌝p∧⌝q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛a n｝的前n项和为S n，则（）（A）S n=2a n-1 （B）S n =3a n-2 （C）S n=4-3a n（D）S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．A．[－3,4]B．[－5,2] C．[－4,3]D．[－2,5]8．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为( )．A．2 B．．．49．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为( )．10．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )．A．10 B．9 C．8 D．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A．16＋8πB．8＋8π C．16＋16πD．8＋16π12已知函数f(x)＝22,0,ln(1),0.x x xx x⎧-+≤⎨+>⎩若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，则t ＝______.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______．15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．16．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.星期一已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．星期二如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．星期三为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.12.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.22.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？星期四已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 星期五已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．星期六（三选一）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(Ⅰ)证明：DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1，BC= ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

2013年全国大纲高考数学文科试卷带详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,U U A A ===集合则ð ( )A.{}1,2B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅ 【测量目标】集合的补集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】B【试题解析】依据补集的定义计算. {}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，∴ U A =ð{3,4,5}. 2．已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则（） A.1213- B.513- C.513 D.1213【测量目标】同角三角函数基本关系.【考查方式】直接给出角的象限和正弦值，求余弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角，所以12cos .13α==-3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n （）A.-4B.-3C.-2D.1- 【测量目标】平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标公式等.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量坐标运算的垂直关系，求未知数.λ 【参考答案】B【试题解析】利用坐标运算得出+-与m n m n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ，因为()()23,3,1,1,λ+=+-=--m n m n 由()(),+⊥-m n m n 可得()()()()23,31,1260,λλ+-=+--=--= m n m n (步骤1)解得 3.λ=- (步骤2)4．不等式222x -<的解集是（）A.()1,1-B.()2,2-C.()()1,00,1-D.()()2,00,2- 【测量目标】含绝对值的一元二次不等式的解.【考查方式】给出绝对值不等式，求出满足不等式的解集. 【参考答案】D【试题解析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.由222,x -<得2222,x -<-<即204,x <<(步骤1)所以20x -<<或02,x <<故解集为()()2,00,2.- (步骤2)5．()862x x +的展开式中的系数是（）A.28B.56C.112D.224 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数. 【参考答案】C【试题解析】写出二项展开式的通项，从而确定6x 的系数.该二项展开式的通项为88188C 22C ,r r r r r r r T x x --+==(步骤1)令2,r =得2266382C 112,T x x ==所以6x 的系数是112. (步骤2)6．函数()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数1()f x -= ( ) A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数的求解方法，函数的值域求法. 【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数.. 【参考答案】A【试题解析】由已知函数解出,x 并由x 的范围确定原函数的值域，按照习惯把,x y 互换，得出反函数. 由21log 1y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1)把x 和y 互换，即得()11.21x f x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21xf x x -=>-(步骤3) 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 ( )A.()10613---B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3-【测量目标】等比数列的定义及等比数列前n 项和.【考查方式】给出一个数列{n a }、它的前后项的关系，判断是否为特殊数列，从而求出它的前n 项和. 【参考答案】C【试题解析】先根据等比数列的定义判断数列{}n a 是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算. 由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =(步骤2)所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤3)8．()()1221,0,1,0,F F C F x -已知是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】给出椭圆焦点，由椭圆与直线的位置关系，利用待定系数法求椭圆的标准方程. 【参考答案】C【试题解析】设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且1,c =可设C 的方程为()22221,1x y a a a +>-(步骤1)由过2F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长3,AB =知点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭必在椭圆上，(步骤2)代入椭圆方程化简得4241740,a a -+=所以24a =或214a =（舍去）. (步骤3) 故椭圆C 的方程为221.43x y +=(步骤4) 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2第9题图【测量目标】根据函数的部分图象确定函数解析式.【考查方式】给出正弦函数的未知解析式及正弦函数的部分图象.根据图象求出T ，确定ω的值.【参考答案】B【试题解析】根据图象确定函数的最小正周期，再利用2πT ω=求.ω设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知0ππ=,244T x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以π.2T =(步骤1)又因为2π,T ω=可解得 4.ω=(步骤2)10．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， ( )A.9B.6C.9-D.6- 【测量目标】导数的几何意义及求导公式等知识.【考查方式】已知曲线在未知点处的切线斜率，利用导数的几何意义求未知数a . 【参考答案】D【试题解析】先对函数求导，利用导数的几何意义得出点()1,2a -+处的切线斜率，解方程所得.342,y x ax '=+由导数的几何意义知在点(1,2)a -+处的切线斜率1|428,x k y a =-'==--=解得 6.a =-11．已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 ( )A.23 D.13 【测量目标】直线与平面所成角和线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点C 在平面1BDC 上的射影位置，确定线平面角，并划归到直角三角形中求解.如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2）在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3）第11题图连接DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与1BDC 所成的角.（步骤4）设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5） 12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = ( )A ．12 D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【参考答案】D【试题解析】联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0MA MB =进行坐标运算解未知量k .抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+=所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 【测量目标】函数周期的应用及根据函数解析式求值.【考查方式】给出函数()f x 的周期及取值范围，代入解析式求函数值.【参考答案】1-【试题解析】利用周期将自变量转化到已知解析式中x 的范围内，代入解析式计算 . 由于()f x 的周期为2，且当[)1,3x ∈时，()2,f x x =-(步骤1)()2,f x x =-()()()112112 1.f f f -=-+==-=-(步骤2)14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）【测量目标】简单的排列组合知识的应用. 【考查方式】直接利用排列组合知识列式求解. 【参考答案】60【试题解析】利用排列组合知识列式求解. 由题意知，所有可能的决赛结果有12365354C C C 61602⨯=⨯⨯=（种）.15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= 16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式等知识. 【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【参考答案】16π 【试题解析】根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到三角形中计算，进而求得球的表面积.如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥ 所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.KOM ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM == (步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和【测量目标】等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和.【考查方式】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式.（2）已知通项公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11.n a a n d =+-因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以()11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩(步骤1)解得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以{}n a 的通项公式为1.2n n a +=(步骤2) （2）因为()222,11n b n n n n ==-++所以2222222.122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(步骤3) 18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B（II）若1sin sin 4A C =，求C . 【测量目标】余弦定理解三角形，三角恒等变换公式及其应用.【考查方式】已知三角形的三边及三边关系.（1）由已知关系式展开，利用余弦定理求角. （2）三角形内角和得出A C +,由给出的sin sin A C 的形式，联想构造与已知条件相匹配的余弦公式,求出角C .【试题解析】（1）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a cb B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（2）由（1）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=(步骤1) 故30A C -=或30,A C -=- 因此15C =或45.C =(步骤2) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，==90ABC BAD ∠∠，BC =2AD ,△P AB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形. 图（1）（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【测量目标】空间垂直关系的证明和点到平面距离的求解.第19题图【考查方式】已知四棱锥，底面为特殊的直角梯形，侧面为特殊三角形（1）借助线线、线面垂直求解.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段，再求解.【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABCD 为正方形. 过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 图（2）由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,O A O B O D ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥从而.P B O E ⊥(步骤2)因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解：取PD 的中点F ，连接OF ，则//.OF PB 由（1）知，,PB CD ⊥故.OF CD ⊥(步骤4)又12OD BD ==OP ==故POD △为等腰三角形，(步骤5) 因此.OF PD ⊥又,PD CD D = 所以.OF PCD ⊥平面(步骤6)因为//,AE CD CD PCD ⊂平面，,AE PCD ⊄平面所以//.AE PCD 平面(步骤7) 因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，(步骤8) 而112OF PB ==，所以点A 到平面PCD 的距离为1. (步骤9) 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【测量目标】相互独立事件同时发生的概率，互斥事件概率加法公式的应用.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12.A A A = ()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(2)记1B 表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙参加比赛，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局中乙参加比赛时，结果为乙胜”，B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”，则1312312.B B B B B B B B =++ （步骤2）()()1312312P B P B B B B B B B =++=()()()1312312P B B P B B B P B B ++=()()()()()()()1312312P B P B P B P B P B P B P B ++=111+484+ =5.8(步骤3) 21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性；（II ）若[)()2,0,x f x ∈+∞时，…求a 的取值范围. 【测量目标】导数在研究函数中的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x （1）对()f x 求导，得出()f x =0时的根，根据导数性质讨论函数单调性.(2)利用特殊值法和放缩法求a 的范围.【试题解析】（1）当a =()3231,f x x x =-++()23 3.f x x '=-+(步骤1)令()0,f x '=得121, 1.x x ==(步骤2)当()1x ∈-∞时，()0,f x '>()f x 在()1-∞上是增函数；当)1x ∈时，()0,f x '<()f x 在)1上是减函数；当)1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 在)1,+∞上是增函数. (步骤3) （2）由()20f …得4.5a -…当45a -…，()2,x ∈+∞时， ()()225321312f x x ax x ⎛⎫'=++-+ ⎪⎝⎭… =()1320,2x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以()f x 在()2,+∞上是增函数，(步骤4)于是当[)2+x ∈∞，时，()()20f x f 厖.综上，a 的取值范围是4,.5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(步骤5) 22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF = 证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的方程、性质，直线与双曲线的位置关系，等比中项等性质.【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出a,b 值.(2)由直线方程和双曲线方程，利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的等比关系.【试题解析】（1）解：由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3)（2）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=○1(步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.k x k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ==-+123 1.BF x ==+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===- 故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10)()221212=39116,AF BF x x x x +--= 因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11).。

2013年高考全国Ⅰ文科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅰ，文1，5分】已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈，则A B =（）（A ）{}1,4 （B ）{}2,3 （C ）{}9,16 （D ）{}1,2 【答案】A【解析】∵{}21,4,9,}1{|6B x x n n A ∈＝＝，＝，∴{}1,4A B ⋂＝，故选A ．（2）【2013年全国Ⅰ，文2，5分】212i1i +=(-)（）（A ）11i 2-- （B ）11i 2-+ （C ）11i 2+ （D ）11i 2-【答案】B【解析】212i 12i 12i i 2i 11+i 1i 2i 222++(+)-+====-(-)-，故选B ．（3）【2013年全国Ⅰ，文3，5分】从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A ）12 （B ）13（C ）14 （D ）16【答案】B【解析】由题意知总事件数为6，且分别为()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13，故选B ．（4）【2013年全国Ⅰ，文4，5分】已知双曲线C ：()2222=10,0x y a b a b->>，则C 的渐近线方程为（）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C【解析】∵e =c a =，即2254c a =．∵222c a b ＝＋，∴2214b a =．∴12b a =．∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，∴渐近线方程为12y x =±，故选C ．（5）【2013年全国Ⅰ，文5，5分】已知命题:p x R ∀∈，23x x<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（）（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】由0023=知，p 为假命题．令()321h x x x =-+，∵()010h =-<，()110h =>，∴3210x x -+=在()0,1 内有解．∴x ∃∈R ，321x x =-，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题，故选B ．（6）【2013年全国Ⅰ，文6，5分】设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =- 【答案】D【解析】1121133221113nnn n na a a q a q S a q q --(-)====----，故选D ．（7）【2013年全国Ⅰ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（）（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-【答案】A【解析】当11t -≤<时，3s t =，则,3[)3s ∈-．当13t ≤≤时，24s t t =-．∵该函数的对称轴为2t =，∴该函数在[]1,2上单调递增，在[]2,3上单调递减．∴4max s =，3min s =．∴[]3,4s ∈．综上知,4[]3s ∈-，故选A ．（8）【2013年全国Ⅰ，文8，5分】O 为坐标原点，F为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =则POF ∆的面积为（）（A ）2 （B）（C）（D ）4 【答案】C【解析】利用P PF x =+=，可得P x．∴P y =±．∴1=2POF P S OF y ∆C ．（9）【2013年全国Ⅰ，文9，5分】函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】C【解析】由()()1cos sin f x x x =-知其为奇函数．可排除B ．当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >，排除A ．当0()x π∈,时，()()22sin cos 1cos 2cos cos 1f x x x x x x '=+-=-++．令()0f x '=，得2π3x =．故极值点为23x π=，可排除D ，故选C ．（10）【2013年全国Ⅰ，文10，5分】已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos20A A +=，7a =，6c =，则b =（）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 【答案】D【解析】由223cos cos20A A +=，得22c o s 15A =．∵π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1cos 5A =．∵23649cos 26b A b +-=⨯，∴5b =或135b =-(舍)，故选D ．（11）【2013年全国Ⅰ，文11，5分】某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ 【答案】A【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．212482V ππ=⨯⨯=半圆柱，42216V =⨯⨯=长方体．所以所求体积为168π+，故选A ．（12）【2013年全国Ⅰ，文12，5分】已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x a x ≥，则a 的取值范围是（）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ （C ）[2,1]- （D ）[2,0]- 【答案】D【解析】可画出()f x 的图象如图所示．当0a >时，y ax =与()y f x =恒有公共点，所以排除B ，C ；当0a ≤时，若0x >，则()f x ax ≥恒成立．若0x ≤，则以y ax =与 22y x x =-+相切为界限，由22y ax y x x=⎧⎨=-⎩得()220x a x -+=．∵()220a ∆=+=， ∴2a =-．∴[]2,0a ∈-，故选D ．第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2013年全国Ⅰ，文13，5分】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c a b t t ，若0⋅=b c ，则t = ．【答案】2【解析】∵0⋅=b c ，1==a b ，,60=︒a b 〈〉，∴111122⋅=⨯⨯=a b ．∴[](1)0⋅=+-⋅=b c a b b t t ，即()2·10t t +-=a b b ．∴1102t t +-=．∴2t =．（14）【2013年全国Ⅰ，文14，5分】设,x y 满足约束条件1310x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为．【答案】3【解析】画出可行域如图所示．画出直线20x y -=，并平移，当直线经过点()3,3A 时，z 取最大值，且最大值为2333z =⨯-=．（15）【2013年全国Ⅰ，文15，5分】已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为．【答案】92π【解析】如图，设球O 的半径为R ，则23R AH =，3ROH =．又∵2·EH ππ=，∴1EH =．∵在Rt OEH ∆中，222+13R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴298R =．∴2π249S R π==球．（16）【2013年全国Ⅰ，文16，5分】设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= ．【答案】【解析】∵()()sin 2co s f x x x x ϕ=-=-，其中sin ϕ=cos 5ϕ=．当2)2(x k k πϕπ-=+∈Z 时，()f x 取最大值．即22()k k πθϕπ-=+∈Z ，22()k k πθπϕ=++∈Z．∴πcos =cos sin 2θϕϕ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅰ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．解：（1）设{}n a 的公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+．由已知可得113305105a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11a =，1d =-．故{}n a 的通项公式为2n a n =-．（2）由（1）知212111111321222321n n a a n n n n -+⎛⎫==- ⎪(-)(-)--⎝⎭，从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为： 111111121113232112nn n n⎛⎫-+-++-=⎪----⎝⎭．（18）【2013年全国Ⅰ，文18，12分】为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A 药，B 药）的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h ），试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解：（1）设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y ．由观测结果可得()10.6 1.2 1.2 1.5 1.5 1.8 2.2 2.3 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.5 2.320x =+++++++++++++++++++= ()10.50.50.60.80.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.5 2.6 2.7 3.2 1.620y =+++++++++++++++++++= 由以上计算结果可得x y >，因此可看出A 药的疗效更好．（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2，3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0，1上，由此可看出A 药的疗效更好．（19）【2013年全国Ⅰ，文19，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =， 160BAA ∠=．（1）证明：1AB AC ⊥；（2）若2AB CB ==，1A C =111ABC A B C -的体积．解：（1）取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ．因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥．因为1OCOA O =，所以AB ⊥平面1OAC ．又1A C ⊂平面1OAC ，故1AB AC ⊥．（2）由题设知ABC ∆与1AA B ∆都是边长为2的等边三角形，所以1OC OA ==又1A C =，则12212A C OC OA =+，故1OA OC⊥．因为OC AB O =，所以1OA ⊥平面ABC ，1OA 为三棱柱111ABC A B C -的高．又ABC ∆的面积ABC S ∆=故三棱柱111ABC A B C -的体积13ABC V S OA ∆=⨯=．（20）【2013年全国Ⅰ，文20，12分】已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．1（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值．解：（1）()()24x f x e ax a b x '=++--．由已知得()04f =，()04f '=．故4b =，8a b +=．从而4a =，4b =．（2）由（1）知，()()2414x f x e x x x =+--，()()()14e 22442e 2x x f x x x x ⎛⎫'=+--=+⋅- ⎪⎝⎭．令()0f x '=得，ln2x =-或2x =-．从而当()(n2)2l x ∈-∞--+∞，，时，()0f x '>；当l 2(2n )x ∈--，时，()0f x '<．故()f x 在()2-∞-，，ln2()-+∞，上单调递增，在2n2()l --，上单调递减．当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为()()2241f e --=-．（21）【2013年全国Ⅰ，文21，12分】已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长是，求||AB ．解：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =．设圆P 的圆心为()P x y ，，半径为R ．（1）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=．由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为()22=1243x y x +≠-．（2）对于曲线C 上任意一点()P x y ，，由于222PM PN R -=-≤，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为()2,0时，2R =．所以当圆P 的半径最长时，其方程为()2224x y -+=．若l 的倾斜角为90︒，则l 与y 轴重合，可得AB =．若l 的倾斜角不为90︒，由1r R ≠知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得()4,0Q -，所以可设()4l y k x =+：．由l 与圆M1=，解得k =．当k时，将y x 22=143x y +，并整理得27880x x +-=，解得1,2x =，所以21187AB x -=．当k =时，由图形的对称性可知187AB =．综上，AB =或187AB =．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2013年全国Ⅰ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D ．（1）证明：DB DC =；（2）设圆的半径为1，BC CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径．解：（1）连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，90DCE ∠=︒，DB DC =．（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连结BO ，则60BOG ∠=︒．从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆．（23）【2013年全国Ⅰ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<)．解：（1）将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程()()224525x y -+-=，即221810160C x y x y +--+=：．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=．由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，所以1C 与2C交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（24）【2013年全国Ⅰ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+．（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．解：（1）当2a =-时，()()f x g x <化为212230x x x -+---<．设函数21223y x x x =-+---，则y =15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示．从图像可知，当且仅当()0,2x ∈时，0y <．所以原不等式的解集是{}2|0x x <<．（2）当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时，()1f x a =+．不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+．所以2x a ≥-，对1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈都成立．故22a a -≥-，即43a ≤．从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦．。

2013年全国统一高考大纲版文科数学试卷及参考答案与解析

2013年全国统一高考大纲版文科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{1,2},则∁UA＝( )A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅2.(5分)若α为第二象限角,sinα＝,则cosα＝( )A. B. C. D.3.(5分)已知向量＝(λ＋1,1),＝(λ＋2,2),若(＋)⊥(－),则λ＝( )A.－4B.－3C.－2D.－14.(5分)不等式|x2－2|＜2的解集是( )A.(－1,1)B.(－2,2)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－2,0)∪(0,2)5.(5分)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )A.28B.56C.112D.2246.(5分)函数f(x)＝log2(1＋)(x＞0)的反函数f－1(x)＝( )A. B. C.2x－1(x∈R) D.2x－1(x＞0)7.(5分)已知数列{an }满足3an＋1＋an＝0,a2＝－,则{an}的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)8.(5分)已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,且|AB|＝3,则C的方程为( )A. B. C. D.9.(5分)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图,则ω＝( )A.5B.4C.3D.210.(5分)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,a＝( )A.9B.6C.－9D.－611.(5分)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.12.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,点M(－2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k＝( )A. B. C. D.2二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝.14.(5分)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有种.(用数字作答)15.(5分)若x、y满足约束条件,则z＝－x＋y的最小值为.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }中,a7＝4,a19＝2a9,(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Sn.18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC＝,求C.19.(12分)如图,四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠BAD＝90°,BC＝2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(Ⅰ)证明：PB⊥CD；(Ⅱ)求点A到平面PCD的距离.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率；(Ⅱ)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1. (Ⅰ)求a＝时,讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x∈[2,＋∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.22.(12分)已知双曲线C：＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b；(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|＝|BF1|,证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.2013年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.A＝( )1.(5分)设集合U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{1,2},则∁UA.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅A,即可选出正确选项【分析】由题意,直接根据补集的定义求出∁U【解答】解：因为U＝{1,2,3,4,5,},集合A＝{1,2}A＝{3,4,5}所以∁U故选：B.【点评】本题考查补集的运算,理解补集的定义是解题的关键2.(5分)若α为第二象限角,sinα＝,则cosα＝( )A. B. C. D.【分析】由α为第二象限角,得到cosα小于0,根据sinα的值,利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值.【解答】解：∵α为第二象限角,且sinα＝,∴cosα＝－＝－.故选：A.【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.3.(5分)已知向量＝(λ＋1,1),＝(λ＋2,2),若(＋)⊥(－),则λ＝( )A.－4B.－3C.－2D.－1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出.【解答】解：∵,.∴＝(2λ＋3,3),.∵,∴＝0,∴－(2λ＋3)－3＝0,解得λ＝－3.故选：B.【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.4.(5分)不等式|x2－2|＜2的解集是( )A.(－1,1)B.(－2,2)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－2,0)∪(0,2)【分析】直接利用绝对值不等式的解法,去掉绝对值后,解二次不等式即可.【解答】解：不等式|x2－2|＜2的解集等价于,不等式－2＜x2－2＜2的解集,即0＜x2＜4, 解得x∈(－2,0)∪(0,2).故选：D.【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查转化思想与计算能力.5.(5分)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )A.28B.56C.112D.224【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r＋1项,令x的指数为6求出x6的系数.【解答】解：(x＋2)8展开式的通项为Tr＋1＝C x 8－r2 r令8－r＝6得r＝2,∴展开式中x6的系数是2 2C82＝112.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.6.(5分)函数f(x)＝log2(1＋)(x＞0)的反函数f－1(x)＝( )A. B. C.2x－1(x∈R) D.2x－1(x＞0)【分析】把y看作常数,求出x：x＝,x,y互换,得到y＝log2(1＋)的反函数.注意反函数的定义域.【解答】解：设y＝log2(1＋),把y看作常数,求出x：1＋＝2y,x＝,其中y＞0,x,y互换,得到y＝log2(1＋)的反函数：y＝,故选：A.【点评】本题考查对数函数的反函数的求法,解题时要认真审题,注意对数式和指数式的相互转化.7.(5分)已知数列{an }满足3an＋1＋an＝0,a2＝－,则{an}的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)【分析】由已知可知,数列{an }是以－为公比的等比数列,结合已知可求a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3an＋1＋an＝0∴∴数列{an}是以－为公比的等比数列∵∴a1＝4由等比数列的求和公式可得,S10＝＝3(1－3－10)故选：C.【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题8.(5分)已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,且|AB|＝3,则C的方程为( )A. B. C. D.【分析】设椭圆的方程为,根据题意可得＝1.再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|＝3算出A、B的坐标,代入椭圆方程得,两式联解即可算出a2＝4,b2＝3,从而得到椭圆C的方程.【解答】解：设椭圆的方程为,可得c＝＝1,所以a2－b2＝1…①∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴,且|AB|＝3∴可得A(1,),B(1,－),代入椭圆方程得,…②联解①②,可得a2＝4,b2＝3∴椭圆C的方程为故选：C.【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长,求椭圆的方程.着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识,属于基础题.9.(5分)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图,则ω＝( )A.5B.4C.3D.2【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值,求出函数的周期,然后求解ω.【解答】解：由函数的图象可知,(x0,y)与,纵坐标相反,而且不是相邻的对称点,所以函数的周期T＝2()＝,所以T＝＝,所以ω＝＝4.故选：B.【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法,考查学生的视图用图能力.10.(5分)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,a＝( )A.9B.6C.－9D.－6【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得a的值.【解答】解：∵y＝x4＋ax2＋1,∴y′＝4x3＋2ax,∵曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,∴－4－2a＝8∴a＝－6故选：D.【点评】本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题.11.(5分)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.【分析】设AB＝1,则AA1＝2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设＝(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ＝||,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即可.【解答】解：设AB＝1,则AA1＝2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示：则D(0,0,2),C1(1,0,0),B(1,1,2),C(1,0,2),＝(1,1,0),＝(1,0,－2),＝(1,0,0),设＝(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,则,即,取＝(2,－2,1),设CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ＝||＝,故选：A.【点评】本题考查直线与平面所成的角,考查空间向量的运算及应用,准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键.12.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,点M(－2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k＝( )A. B. C. D.2【分析】斜率k存在,设直线AB为y＝k(x－2),代入抛物线方程,利用＝(x1＋2,y1－2)•(x2＋2,y2－2)＝0,即可求出k的值.【解答】解：由抛物线C：y2＝8x得焦点(2,0),由题意可知：斜率k存在,设直线AB为y＝k(x－2), 代入抛物线方程,得到k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0,△＞0,设A(x1,y1),B(x2,y2).∴x1＋x2＝4＋,x1x2＝4.∴y1＋y2＝,y1y2＝－16,又＝0,∴＝(x1＋2,y1－2)•(x2＋2,y2－2)＝＝0∴k＝2.故选：D.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝－1 . 【分析】利用函数的周期,求出f(－1)＝f(1),代入函数的解析式求解即可.【解答】解：因设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.故答案为：－1.【点评】本题考查函数的周期的应用,函数值的求法,值域函数的定义域是解题的关键,考查计算能力.14.(5分)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有60 种.(用数字作答)【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法,2名二等奖,种方法,利用分步计数原理即可得答案.【解答】解：依题意,可分三步,第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法,第二步,再决出2名二等奖,有种方法,第三步,剩余三人为三等奖,根据分步乘法计数原理得：共有•＝60种方法.故答案为：60.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,掌握分步计数原理是解决问题的关键,属于中档题.15.(5分)若x、y满足约束条件,则z＝－x＋y的最小值为0 .【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z＝－x ＋y对应的直线进行平移,可得当x＝y＝1时,目标函数z取得最小值,从而得到本题答案.【解答】解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,1),B(0,),C(0,4)设z＝F(x,y)═－x＋y,将直线l：z＝－x＋y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值∴z最小值＝F(1,1)＝－1＋1＝0故答案为：0【点评】题给出二元一次不等式组,求目标函数z＝－x＋y的最小值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于16π.【分析】正确作出图形,利用勾股定理,建立方程,即可求得结论.【解答】解：如图所示,设球O的半径为r,AB是公共弦,∠OCK是面面角根据题意得OC＝,CK＝在△OCK中,OC2＝OK2＋CK2,即∴r2＝4∴球O的表面积等于4πr2＝16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }中,a7＝4,a19＝2a9,(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Sn.【分析】(I)由a7＝4,a19＝2a9,结合等差数列的通项公式可求a1,d,进而可求an(II)由＝＝,利用裂项求和即可求解【解答】解：(I)设等差数列{an}的公差为d∵a7＝4,a19＝2a9,∴解得,a1＝1,d＝∴＝(II)∵＝＝∴sn＝＝＝【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用,试题比较容易18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC＝,求C.【分析】(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利用余弦定理表示出cosB,将关系式代入求出cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；(II)由(I)得到A＋C的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A－C),变形后将cos(A ＋C)及2sinAsinC的值代入求出cos(A－C)的值,利用特殊角的三角函数值求出A－C的值,与A＋C的值联立即可求出C的度数.【解答】解：(I)∵(a＋b＋c)(a－b＋c)＝(a＋c)2－b2＝ac,∴a2＋c2－b2＝－ac,∴cosB＝＝－,又B为三角形的内角,则B＝120°；(II)由(I)得：A＋C＝60°,∵sinAsinC＝,cos(A＋C)＝,∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝,∴A－C＝30°或A－C＝－30°,则C＝15°或C＝45°.【点评】此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.19.(12分)如图,四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠BAD＝90°,BC＝2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(Ⅰ)证明：PB⊥CD；(Ⅱ)求点A到平面PCD的距离.【分析】(I)取BC的中点E,连接DE,则ABED为正方形,过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA,OB,OD,OE,证明PB⊥OE,OE∥CD,即可证明PB⊥CD；(II)取PD的中点F,连接OF,证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,即可求得点A到平面PCD的距离.【解答】(I)证明：取BC的中点E,连接DE,则ABED为正方形,过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA,OB,OD,OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD∴OA＝OB＝OD,即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD,∴PB⊥OE∵O是BD的中点,E是BC的中点,∴OE∥CD∴PB⊥CD；(II)取PD的中点F,连接OF,则OF∥PB由(I)知PB⊥CD,∴OF⊥CD,∵,＝∴△POD为等腰三角形,∴OF⊥PD∵PD∩CD＝D,∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD,CD⊂平面PCD,AE⊈平面PCD,∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF＝∴点A到平面PCD的距离为1.【点评】本题考查线线垂直,考查点到面的距离的计算,考查学生转化的能力,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率；(Ⅱ)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【分析】(I)设A1表示事件“第二局结果为甲胜”,A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”,A表示事件“第四局甲当裁判”,可得A＝A1•A2.利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；(II)设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”,B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”,B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”.可得B＝,利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出.【解答】解：(I)设A1表示事件“第二局结果为甲胜”,A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”,A表示事件“第四局甲当裁判”.则A＝A1•A2.P(A)＝P(A1•A2)＝.(II)设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”,B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”,B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”. 则B＝,则P(B)＝P()＝＋＝＋＝.【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键.21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(Ⅰ)求a＝时,讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x∈[2,＋∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.【分析】(I)把a＝代入可得函数f(x)的解析式,求导数令其为0可得x＝－,或x＝－,判断函数在区间(－∞,－),(－,－),(－,＋∞)的正负可得单调性；(II)由f(2)≥0,可得a≥,当a≥,x∈(2,＋∞)时,由不等式的证明方法可得f′(x)＞0,可得单调性,进而可得当x∈[2,＋∞)时,有f(x)≥f(2)≥0成立,进而可得a的范围.【解答】解：(I)当a＝时,f(x)＝x3＋3x2＋3x＋1,f′(x)＝3x2＋6x＋3,令f′(x)＝0,可得x＝－,或x＝－,当x∈(－∞,－)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增,当x∈(－,－)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减,当x∈(－,＋∞)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增；(II)由f(2)≥0,可解得a≥,当a≥,x∈(2,＋∞)时,f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3()＝3(x－)(x－2)＞0,所以函数f(x)在(2,＋∞)单调递增,于是当x∈[2,＋∞)时,f(x)≥f(2)≥0,综上可得,a的取值范围是[,＋∞)【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,涉及函数的最值问题,属中档题.22.(12分)已知双曲线C：＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b；(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|＝|BF1|,证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.【分析】(I)由题设,可由离心率为3得到参数a,b的关系,将双曲线的方程用参数a表示出来,再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；(II)由(I)的方程求出两焦点坐标,设出直线l的方程设A(x1,y1),B(x2,y2),将其与双曲线C的方程联立,得出x1＋x2＝,,再利用|AF1|＝|BF1|建立关于A,B坐标的方程,得出两点横坐标的关系,由此方程求出k的值,得出直线的方程,从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|,再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论.【解答】解：(I)由题设知＝3,即＝9,故b2＝8a2所以C的方程为8x2－y2＝8a2将y＝2代入上式,并求得x＝±,由题设知,2＝,解得a 2＝1所以a ＝1,b ＝2(II)由(I)知,F 1(－3,0),F 2(3,0),C 的方程为8x 2－y 2＝8 ① 由题意,可设l 的方程为y ＝k(x －3),|k|＜2代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≤－1,x 2≥1,x 1＋x 2＝,,于是 |AF 1|＝＝－(3x 1＋1), |BF 1|＝＝3x 2＋1, |AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1,即故＝,解得,从而＝－由于|AF 2|＝＝1－3x 1,|BF 2|＝＝3x 2－1,故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4,|AF 2||BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16 因而|AF 2||BF 2|＝|AB|2,所以|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系,考查了运算能力,题设条件的转化能力,方程的思想运用,此类题综合性强,但解答过程有其固有规律,一般需要把直线与曲线联立利用根系关系,解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性,给以后解答此类题提供借鉴.。

2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

1 的前 n 项和 a2 n −1a2 n +1
2
令8 (以代令3 课标全文令8)(本小题满令以 )为了比较两种治疗失症的药( 别为 ∪ 药 B 药)的疗效随机地选取以代位患者服用 ∪ 药以代位患者服用 B 药这 4代位患者在服用一段时间后记录他们日均增加的睡时间(单位 h) 试验的观测结果如服用 ∪ 药的以代位患者日均增加的睡时间代.6 令.以以.7 令.5 以.8 令.8 以.以以.3 3.以 3.5 以.5 以.6 令.以以.7 令.5 以.9 3.代 3.令以.3 以.4 服用 B 药的以代位患者日均增加的睡时间 3.以令.7 令.9 代.8 代.9 以.4 令.以以.6 令.3 令.4 令.6 代.5 令.8 代.6 以.令令.令以.5 令.以以.7 代.5 (令) 别计算两组数据的均数从计算结果看哪种药的疗效更好 (以)根据两组数据完成面茎从茎看哪种药的疗效更好
文 4)已知双曲线叶
x2 y2 5 − 2 =1 (a 代 b 代)的离心率为 2 a b 2
1 ± x 2
则叶的渐近线方程
∪ y 5 (以代令3 课标全命题的是( ) ∪ p∧q 6 (以代令3 课标全 ) 以an 令
1 ± x 4
B y 叶 y 号 y ±x x x 3 文 5)已知命题 p ∀x∈R,以 3 命题 q ∃x∈R x 令 B
以
以
以
以
4
请考生在第(以以)、(以3)、(以4) 题中任选一题做答注意只能做所选定的题目如果多做则按所做的第一个题目计做答时请用以B 铅笔在答题卡将所选题后的方框涂黑以以 (以代令3 课标全文以以)(本小题满令代 )选修 4—令几何证明选讲如直线 ∪B 为圆的线点为 B 点叶在圆 ∠∪B叶的角线 B∵ 交圆于点 ∵ 号B 垂直 B∵ 交圆于点号.

2013年高考全国1卷文科数学试题及答案(详细解析版,精校版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）文科数学一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1,2,3,4}，B ={x |x =n 2,n ∈A }，则A ∩B =A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}2．212i 1i +(-)= A ．1-1-i 2 B ．1-1+i 2 C ．11+i 2 D ．11-i 23．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是A ．12B ．13C ．14D ．164．已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A ．y=14x ± B ．y=13x ± C ．y=12x ± D ．y=±x 5．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1-x 2，则下列命题中为真命题的是A ．p ∧qB ．﹁p ∧qC ．p ∧﹁qD ．﹁ p ∧﹁q6．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则A ．S n =2a n -1B ．S n =3a n -2C ．S n =4-3a nD ．S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[-1,3]，则输出的S 属于A ．[-3,4]B ．[-5,2]C ．[-4,3]D ．[-2,5]8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=的焦点，P 为C 上一点，若|PF |=POF 的面积为A ．2B ．C ．D ．49．函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图像大致为10．已知锐角ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ， 23cos 2A +cos2A =0， a =7，c =6，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π12．已知函数f (x )=22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是A ．(-∞,0]B ．(-∞,1]C ．[-2,1]D ．[-2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c =t a +(1-t )b . 若b ·c =0，则t =____.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z =2x -y 的最大值为______. 15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH :HB =1:2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______.16．设当x =θ时，函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值，则cos θ=______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0，S 5=－5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB=CB=2，A1C，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．21．(本小题满分12分)已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB=DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求ΔBCF外接圆的半径.23 ．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|，g(x)=x+3.(1)当a=-2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>-1，且当x∈1[,)22a-时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年高考全国1卷文科数学参考答案12．解：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=11+i 2- 3．解：依题所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，满足条件的事件数是2种，所以所求的概率为13. 4．解：依题2254c a =. ∵c 2=a 2＋b 2，∴2214b a =，∴12b a =. ∴渐近线方程为12y x =± 5．解：由20=30知，p 为假命题．令h (x )=x 3-1+x 2，∵h (0)=-1<0，h (1)=1>0， ∴h (x )=0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3=1-x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．6．解：121(1)/133n n n a a q S a q -==--=3-2a n 7．解：当－1≤t <1时，s =3t ，则s ∈[-3,3)．当1≤t ≤3时，s =4t -t 2. ∵该函数的对称轴为t =2，∴s max =4，s min =3. ∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[-3,4]8．解：利用|PF |=P x =x P =∴y P =±∴S △POF =12|OF |·|y P |=9．解：由f (x )=(1-cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π(0,)2时，f (x )>0，排除A. 当x ∈(0,π)时，f ′(x )=sin 2x +cos x (1-cos x )=-2cos 2x +cos x +1.令f ′(x )=0，可得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 10．解：由23cos 2A +cos 2A =0，得cos 2A =125. ∵A ∈π(0,)2，∴cos A =15. ∵cos A =236491265b b +-=⨯，解得b =5或135b =-(舍)．故选D. 11．解：该几何体为一个半圆柱的上面后方放一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱=12π×22×4=8π，V 长方体=4×2×2=16. 所以体积为16＋8π. 故选A 12．解：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a >0时，y =ax 与y =|f (x )|恒有公共点，所以排除B,C;当a ≤0时，若x >0，则|f (x )|≥ax 恒成立；若x ≤0，则以y =ax 与y =x 2-2x 相切为界限，联立y =ax 与y =x 2-2消去y 得x 2-(a +2)x =0. ∵Δ=(a +2)2=0，∴a =-2. ∴a ∈[-2,0]．故选D.二、填空题：13．2 1 4．3 15．9π216．5- 13．解：依题a ·b =111122⨯⨯=，b ·c = t a ·b +(1-t )b 2 =0，∴12t +1-t =0. ∴t =2. 14．解：作出可行域如图所示．画出初始直线l 0:2x -y =0，l 0平移到l ，当直线l 经过点A (3,3)时z 取最大值，z =2×3-3=3.15．解：如图，π·EH 2=π，∴EH =1，设球O 的半径为R ，则AH =23R ， OH =3R . 在RtΔOEH 中，R 2=22()+13R ， ∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2=9π2. 16．解：∵f (x )=sin x -2cos x x +φ)，其中tan φ=-2，φ是第四象限角.当x +φ=2k π+π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ=2k π+π2-φ(k ∈Z )， ∴cos θ=πcos()2ϕ-=sin φ=5-. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n =1(1)2n n na d -+. 则11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ …2分解得a 1=1，d =-1. …4分故{a n }的通项公式为a n =2-n . …6分(2)由(1)知21211n n a a -+=1111()321222321n n n n =-(-)(-)--， …8分从而新数列的前n 项和为111111[(11)(1)()][1]23232122112n n T n n n n =--+-++-=--=---- …12分 18．解： (1)设A 药数据的平均数为x B 药观测数据的平均数为y . x =(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3 +2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9 +3.0+3.1+3.2+3.5)/20=2.3，…3分 y ＝+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)/20=1.6. …6分由以上计算结果可得x >y ，因此可看出A 药的疗效更好．(2)绘制茎叶图如图： … 9分从茎叶图可以看出，A 药疗效数据有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效数据有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．… 12分19． (1)证：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .由于AB =AA 1，∠BAA 1=60°，故ΔAA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 又CA =CB ，所以OC ⊥AB . …3分因为OC ∩OA 1=O ，所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，所以AB ⊥A 1C . …6分(2)解：依题ΔABC 与ΔAA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC =OA 1又A 1C，则A 1C 2=OC 2+OA 12，故OA 1⊥OC ，又OA 1⊥AB ，OC ∩AB =O ，所以OA 1⊥平面ABC ， …9分OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高．又ΔABC 的面积S △ABC故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ×OA 1=3. …12分20．解：(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 依题f (0)=4，f ′(0)=4. …3分故b =4，a +b =8. 从而a =4，b =4. …6分(2)由(1)知，f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x ，f ′(x )=4e x (x +2)-2x -4=2(x +2)·(2e x -1).令f ′(x )=0得，x =-ln 2或x =-2. …8 分所以在(-∞，-2)与(-ln2，+∞)上，f ′(x )>0；f (x )单调递增．在(-2，-ln 2) 上，f ′(x )<0. f (x )单调递减． …10 分当x =-2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (-2)=-4e －2+4． …12 分21．解：(1)由已知得圆M 的圆心为M (-1,0)，半径r 1=1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2=3. 设圆P 的圆心为P (x ,y )，半径为R .依题， |PM |=R +1. |PN |=3-R . 所以|PM |+|PN |=4. …3 分由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，且a =2，c =1，∴b∴C 的方程为22=143x y +(x ≠-2)． …6 分 (2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y )，由于|PM |-|PN |=2R -2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R =2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x -2)2+y 2=4. …7 分若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|= …8 分若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，可设l 与x 轴的交点为Q (m ,0)，由1||222||1QP R m QM r m-===--即，解得m =-4. 所以Q (-4,0)，故可设l ：y =k (x ＋4)．由l 与圆M=1，解得k=4±.当k=4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2+8x -8=0，解得x=47-±，所以|AB|x 2-x 1|=187. …10分当k=4-时，由图形的对称性可知|AB |=187. 综上，|AB|=|AB |=187. …12 分 22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE =∠BCE . 而∠ABE =∠CBE ，故∠CBE =∠BCE ，所以BE =CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，所以∠DCE =90°，由勾股定理可得DB =DC . …5分(2)解：由(1)知，∠CDE =∠BDE ，DB =DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG =60°. 从而∠ABE =∠BCE =∠CBE =30°，所以CF ⊥BF ，故RtΔBCF. …10分 23．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x -4)2+(y -5)2=25，将x=ρcos θ, y=ρsin θ代入整理得C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. …5分(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0. 联立C 1的方程x 2+y 2 -8x -10y +16=0，解得交点为(1,1)与(0,2)，其极坐标分别为π)(2,)42π与. …10分 24．解：(1)当a =-2时，不等式f (x )>g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3，则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}． …5分(2)当a >-1，且x ∈1[,)22a -时，f (x )=1+a . 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3. 所以x ≥a -2对x ∈1[,)22a -都成立．故2a -≥a -2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是4(1,]3-. …10分。

2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版 (2)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1,2,3,4}}4,3,2,1{=A ，},|{2A n n x x B ∈==，则=B A I ( )．A ．}4,1{B ．}3,2{C ．}16,9{D ．}2,1{ 2．=-+2)1(21i i( )． A ．i 211-- B ．i 211+- C ．i 211+ D ．i 211-3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．21B ． 31C ．41D ．614．已知双曲线C ：2222=1x y a b-)0,0(>>b a 的离心率为5，则C 的渐近线方程为( )．A ．x y 41±=B ．x y 31±=C ．x y 21±= D ．x y ±=5．已知命题x x R x P 32,:<∈∀；命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q 6．设首项为1，公比为23的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则( )． A ．12-=n n a S B ．23-=n n a S C ．n n a S 34-= D ．n n a S 23-= 7．执行下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的s 属于( )．A ．]4,3[-B ．]2,5[-C ．]3,4[-D ．]5,2[-8．O 为坐标原点，F 为抛物线x y C 24:2=的焦点，P 为C 上一点，若24||=PF ，则POF ∆的面积为( )．A ．2B ．22C ．32D ．4 9．函数x x x f sin )cos 1()(-=在],[ππ-的图像大致为( )．10．已知锐角ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,6,7,02cos cos 232===+c a A A ,则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．π816+B ．π88+C ．π1616+D ．π168+12．已知函数=)(x f 22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是( )．A ．]0,(-∞B ．]1,(-∞C ．]1,2[-D ．]0,2[-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为060，c t =a )1(t -+b .若b ·c 0=，则=t .14．设y x ,满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则y x z -=2的最大值为．15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，2:1:=HB AH ，⊥AB 平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为．16．设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则=θcos . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足5,053-==S S . (1)求}{n a 的通项公式； (2)求数列}1{1212+-n n a a 的前n 项和．18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．20．(本小题满分12分)已知函数x x b ax e x f x 4)()(2--+=,曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为44+=x y . (1)求b a ,的值；(2)讨论)(x f 的单调性，并求)(x f 的极大值．21．(本小题满分12分)已知圆1)1(:22=++y x M ，圆9)1(:22=+-y x N ，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于B A ,两点，当圆P 的半径最长时，求||AB .请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：A解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}． 2．答案：B 解析：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-. 3．答案：B解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13.4．答案：C解析：∵e =c a =2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =.∵双曲线的渐近线方程为by x a=±， ∴渐近线方程为12y x =±.故选C.5．答案：B解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2， ∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0， ∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B. 6．答案：D解析：11211321113nnn n a a a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n，故选D. 7．答案：A解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2. ∵该函数的对称轴为t ＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴s max ＝4，s min ＝3. ∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A. 8．答案：C解析：利用|PF |＝P x =x P＝∴y P＝±∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝故选C.9．答案：C解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A.当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 10．答案：D解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125. ∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A ＝15.∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．故选D. 11．答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝12π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A. 12．答案：D解析：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ；当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2解析：∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=.∴b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0.∴12t ＋1－t ＝0. ∴t ＝2. 14．答案：3解析：画出可行域如图所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.15．答案：9π2解析：如图，设球O 的半径为R ，则AH ＝23R ， OH ＝3R . 又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1.∵在Rt △OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫⎪⎝⎭，∴R 2＝98.∴S 球＝4πR 2＝9π2. 16．答案：5-解析：∵f (x )＝sin x －2cos xx －φ)，其中sin φ，cos φ当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z )．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝5-.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)2n n na d -+. 由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭，从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111211132321n n ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭L ＝12nn-. 18．解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得x＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3，y＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．19．(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1.又A 1C ，则A 1C 2＝OC 2＋21OA ，故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABC ，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.20．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．21．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M＝1，解得k＝当k＝4时，将4y x =+22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±，所以|AB |x 2－x 1|＝187. 当k＝4-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013高考文科数学(全国卷大纲版)解析版全word版

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅ 【答案】B【解析】由补集定义易得{}3,4,5U C A =,故选B. 【考点定位】补集的概念 2、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213 【答案】A【解析】因为α是第二象限角，∴12cos 13α===-，故选A. 【考点定位】考查同角三角函数基本关系式3、已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1 【答案】B【解析】∵()(),+⊥-m n m n ∴()()0+⋅-=m n m n ∴220-=m n即()()2211[24]0λλ++-++=∴3λ=-，故选B. 【考点定位】考查向量垂直，数量积坐标运算.4、不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,2【答案】D【解析】22|2|2222x x -<⇒-<-<2040||2x x ⇒<<⇒<<2002x x ⇒-<<<<或，故选D.（也可用排除法）【考点定位】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法5、()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224 【答案】C【解析】26262+18=2112T C x x ⋅=，故选C【考点定位】二项式定理的通项公式 6、函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 【答案】A【解析】由()2111log 11221yy y f x x x x ⎛⎫==+⇒+=⇒= ⎪-⎝⎭， ∵0x >∴0y >∴()11(0)21xfx x -=>-，故选A. 【考点定位】考查求反函数，指数式和对数式的互化. 7、已知数列{}n a 满足12430,,3n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 【答案】C【解析】∵130,n n a a ++=∴113n n a a +=-，∴数列{}n a 是以13-为公比的等比数列.∵24,3a =-∴14a = ∴10101014[1()]33(13)113S ---==-+，故选C.【考点定位】考查等比数列的通项与求和.8、已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=第 3 页共 10 页【答案】C【解析】如图，21213||||,||222AF AB F F ===,由椭圆定义得， 13||22AF a =-○1在Rt △12AF F 中， 2222212123||||||()22AF AF F F =+=+○2由○1○2得，2a =∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=，故选C. 【考点定位】椭圆方程的求解9、若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题中图象可知0042T x x π+-=,∴2T π= ∴22ππω=∴4ω=，故选B【考点定位】三角函数的图象与解析式10、已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6 【答案】D【解析】由题意知311|(42)|428x x y x ax a =-=-'=+=--=，则6a =-.故选D 【考点定位】导数的几何意义11、已知正四棱锥1111ABCD A BC D -中，12,AA AB =则CD 与平面1BDC 所成的角的正弦值等于（A ）23 （B）3 （C）3（D ）13【答案】A【解析】如图，在正四棱锥1111ABCD A BC D -中，连结AC 、BD 记交点为O ,连结1OC ,过C 作CH ⊥1OC 于点H,∵BD ⊥AC ，BD ⊥1AA ，∴BD ⊥平面11ACC A ∵CH ⊂平面11ACC A∴CH ⊥BD,∴CH ⊥平面1C BD ∴∠CDH 为CD 与平面1BDC 所成的角.1OC=. 由等面积法得，1OC ·CH=OC ·1CC ，∴222CH ⋅= ∴23CH =∴223sin 13CH CDH CD ∠===，故选A【考点定位】线面角的定义求法12、已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点，若0MA MB =，则k =(A)12 （B）2（C（D ）2 【答案】D【解析】设直线AB 方程为(2y k x =-），代入28y x =得2222(48)40k x k x k -++=设1122(,),(,)A x y B x y ，则212248k x x k++=，124x x =（*） ∵0MA MB ⋅=∴1122(2,2)(2,2)0x y x y +-⋅+-= 即1212(2,)(2)(2)(2)0x x y y +++--=即121212122()42()40x x x x y y y y ++++-++=○1 ∵1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩∴1212(4)y y k x x +=+-○22212121212(2)(2)[2()4]y y k x x k x x x x =--=-++○3 由（*）及○1○2○3得2k =，故选D 【考点定位】直线与抛物线相交问题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、设()f x 是以2为周期的函数，且当[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1f -= .第 5 页共 10 页【答案】1-【解析】∵()f x 是以2为周期的函数，且[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1(12)(1)121f f f -=-+==-=- 【考点定位】函数的周期性，函数求值14、从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）【答案】60【解析】分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果,故共12365360C C C =有种可能的结果.【考点定位】组合问题15、若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为 .【答案】0【解析】z x y =-+y x z ⇒=+，z 表示直线y x z =+在y 轴上的截距，截距越小，z 就越小.画出题中约束条件表示的可行域（如图中阴影部分所示），当直线过点A(1，1)时，min 0z =【考点定位】线性规划求最值16、已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【答案】16π【解析】如图，设MN 为公共弦，长度为R,E 为MN 的中点，连结OE,则OE ⊥MN,KE ⊥MN.∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角.∴∠OEK=60°. 又∵△OMN 为正三角形.∴OE=2R . ∵OK=32且OK ⊥EK ∴3sin 602OE ⋅︒=∴3222R ⋅=∴R=2.∴2416S R ππ==【考点定位】二面角与球的表面积三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a ==⎧⎨⎩，所以11164182(8)a d a d a d +=+=+⎧⎨⎩解得11a =，12d =，所以{}n a 的通项公式为12n n a +=. （Ⅱ）2)1122(1n n a n n b n n n ==-++=所以2222222)()()122311(n n n S n n -+-++-=+=+ 【考点定位】等差数列通项公式和裂项求和方法18．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A,B,C的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+= （Ⅰ）求;B （Ⅱ）若1sin sin ,4A C =求C. 【解析】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a cb ac +-=-由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此B=120°. （Ⅱ）由(Ⅰ)知A+C=120°，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+coscos sin sin 2sin sin AC A C A C =-+=cos()2sin sin A C A C ++=122+=第 7 页共 10 页故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此C=15°或C=45°.【考点定位】考查余弦定理、两角和与差的公式以及求角问题，考查学生的转化能力和计算能力19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【解析】(Ⅰ)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=0B=OD,即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD,从而PB ⊥OE.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD,因此;PB CD ⊥（Ⅱ）解：取PD 的中点F ，连结OF,则OF ∥PB ，由(Ⅰ)知，;PB CD ⊥，故OF ⊥CD.又12OD BD ==OP == 故△POD 为为等腰三角形，因此OF ⊥PD.又PD ∩CD=D ，所以OF ⊥平面PCD. 因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD 的，AE ⊄平面PCD,所以AE ∥PCD. 因此，O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而112OF PB ==. 所以A 到平面PCD 的距离为1.【考点定位】(1)解题的关键是辅助线的添加，取BC 的中点E 是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）求点面距离的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适应的方法是比较棘手的问题 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【解析】(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”，则12A A A =⋅,12()()P A P A A =⋅12()()P A P A ⋅14= （Ⅱ）记1B 表示事件“第1局结果为乙胜”2B 表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判” 则1312312B B B B B B B B =⋅+⋅⋅+⋅，所以1312312()()()()P B P B B P B B B P B B =⋅+⋅⋅+⋅1312312()()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B P B =⋅+⋅⋅+⋅ 11154848=++= 【考点定位】考查独立事件和互斥事件的概率问题以及离散型数学期望，考查分析问题和计算能力21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()f ;a x =的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【解析】(Ⅰ)当a =()32=3 1.f x x x -++ ()2=33f x x '-+.令()0f x '=，得121,1x x =.当(1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(1)-∞上是增函数；当1)x ∈时，()0f x '<，()f x 在1)上是减函数；当1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在1,)+∞上是增函数；（Ⅱ）由(2)0f ≥得54a ≥-. 当54a ≥-，(2,)x ∈+∞时， ()22251=3633(21)3(1)3()(2)22f x x ax x ax x x x x '-+=-+≥-+=--所以()f x 在(2,)+∞是增函数，于是当[2,)x ∈+∞时，()f x (2)0f ≥≥.第 9 页共 10 页综上，a 的取值范围是5[,)4-+∞【考点定位】考查利用导数求解函数的单调性与参数范围问题 22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列【解析】(Ⅰ)由题设知3c a =，即2229a b a+=，故228b a =. 所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知，=21a =. 所以1a =，b =（Ⅱ）由(Ⅰ)知，1(3,0)F -，2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=○1 由题意可设的l 方程为(3)y k x =-，||k <，代入○1并化简得，2222(8)6980k x k x k -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，11x ≤-，21x ≥则212268k x x k +=-，2122988k x x k +=-于是11||(31)AF x ===-+12||31BF x ===+由11||||AF BF =得123(1)31x x -+=+，即1223x x +=-故226283k k =--解得245k =从而12199x x =-由于21||13AF x ===-22||31BF x ===-故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--= 因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以22||,||,||AF AB BF 成等比数列.【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查设而不求的思想及就是能力。

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)逐题详解_(纯word解析版)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1,2,3,4}}4,3,2,1{=A ，},|{2A n n x x B ∈==，则=B A ( )．A ．}4,1{B ．}3,2{C ．}16,9{D ．}2,1{1．答案：A解析：≧B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，≨A ∩B ＝{1,4}．2．=-+2)1(21i i ( )． A ．i 211-- B ．i 211+- C ．i 211+ D ．i 211- 2．答案：B 解析：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．21 B ． 31 C ．41 D ．61 3．答案：B解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13.4．已知双曲线C ：2222=1x y a b -)0,0(>>b a 的离心率为C 的渐近线方程为( )．A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±= D ．x y ±=4．答案：C解析：≧e =ca =2254c a =.≧c 2＝a 2＋b 2，≨2214b a =.≨12b a =. ≧双曲线的渐近线方程为by x a =±， ≨渐近线方程为12y x =±.故选C.5．已知命题x x R x P 32,:<∈∀；命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是()．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q5．答案：B解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2，≧h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0，≨x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．≨∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B.6．设首项为1，公比为23的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则( )．A ．12-=n n a SB ．23-=n n a SC ．n n a S 34-=D ．n n a S 23-=6．答案：D 解析：11211321113n nn n aa a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n ，故选D.7．执行下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的s 属于( )．A ．]4,3[-B ．]2,5[-C ．]3,4[-D ．]5,2[-7．答案：A解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.≧该函数的对称轴为t ＝2，≨该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．≨s max ＝4，s min ＝3.≨s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A.8．O 为坐标原点，F 为抛物线x y C 24:2=的焦点，P 为C 上一点，若24||=PF ，则POF ∆的面积为( )．A ．2B ．22C ．32D ．48．答案：C解析：利用|PF |＝P x =x P ＝≨y P ＝±≨S △POF ＝12|OF |·|y P |＝故选C.9．函数x x x f sin )cos 1()(-=在],[ππ-的图像大致为( )．9．答案：C解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A.当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C.10．已知锐角ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,6,7,02cos cos 232===+c a A A ,则b ＝()．A ．10B ．9C ．8D ．510．答案：D解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125.≧A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，≨cos A ＝15.≧cos A ＝2364926b b +-⨯，≨b ＝5或135b =-(舍)．故选D.11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．π816+B ．π88+C ．π1616+D ．π168+11．答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝12π×22×4＝8π，V 长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.12．已知函数=)(x f 22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是( )．A ．]0,(-∞B ．]1,(-∞C ．]1,2[-D ．]0,2[-12．答案：D解析：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ；当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ≧Δ＝(a ＋2)2＝0，≨a ＝－2.≨a ∈[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为060，c t =a )1(t -+b .若b ·c 0=，则=t .13．答案：2解析：≧b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，≨a ·b ＝111122⨯⨯=. ≨b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0. ≨12t ＋1－t ＝0. ≨t ＝2.14．设y x ,满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则y x z -=2的最大值为．14．答案：3解析：画出可行域如图所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，2:1:=HB AH ，⊥AB 平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为．15．答案：9π2解析：如图，设球O 的半径为R ，则AH ＝23R ， OH ＝3R . 又≧π·EH 2＝π，≨EH ＝1.≧在Rt △OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，≨R 2＝98. ≨S 球＝4πR 2＝9π2.16．设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则=θcos .16．答案：解析：≧f (x )＝sin x －2cos x x －φ)，其中sin φcos φ当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z )． ≨cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－sin φ＝. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足5,053-==S S .(1)求}{n a 的通项公式；(2)求数列}1{1212+-n n a a 的前n 项和． 17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)2n n na d -+. 由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭，从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111211132321n n ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭＝12n n-.18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？18．解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3，y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2) ＝1.6. 由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好．19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ABC －A 1B 1C 1的体积．19．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1又A 1C ，则A 1C 2＝OC 2＋21OA ，故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABC ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.20. (本小题满分12分)已知函数x x b ax e x f x 4)()(2--+=,曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为44+=x y .(1)求b a ,的值；(2)讨论)(x f 的单调性，并求)(x f 的极大值．20．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x ⎛⎫-⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2. 从而当x ∈(－≦，－2)∪(－ln 2，＋≦)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－≦，－2)，(－ln 2，＋≦)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．21．(本小题满分12分)已知圆1)1(:22=++y x M ，圆9)1(:22=+-y x N ，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于B A ,两点，当圆P 的半径最长时，求||AB . 21．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M＝1，解得k＝4±当k ＝4时，将4y x =22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±，所以|AB ||x 2－x 1|＝187.当k ＝4-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a-≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2} 2．（5分）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n=2a n﹣1B．S n=3a n﹣2C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n 7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2B．2C．2D．49．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）A．10B．9C．8D．511．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H 为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f （0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。

2013年高考文科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷II新课标）第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2013课标全国Ⅱ，文1）已知集合M＝{x|－3＜x＜1｝，N＝｛－3，－2，－1，0，1}，则M∩N＝( )．A．｛－2，－1,0，1} B．{－3，－2，－1,0} C．｛－2，－1，0} D．．{－3，－2,－1}2．（2013课标全国Ⅱ，文2）21i+＝( )．A． B．2 CD．．13．（2013课标全国Ⅱ,文3）设x,y满足约束条件10,10,3,x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则z＝2x－3y的最小值是( )．A．－7 B．－6 C．－5 D．－34．(2013课标全国Ⅱ,文4）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c,已知b＝2，π6B=，π4C=，则△ABC的面积为( ）．A． BC．2 D15．(2013课标全国Ⅱ，文5）设椭圆C：2222=1x ya b+(a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )．A． B．13 C．12 D．6．（2013课标全国Ⅱ，文6)已知sin 2α＝23，则2πcos4α⎛⎫+⎪⎝⎭＝( ）．A．16 B．13 C．12 D．237．（2013课标全国Ⅱ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的N＝4,那么输出的S ＝( ）．A ．1111+234++B ．1111+232432++⨯⨯⨯C ．11111+2345+++D ．11111+2324325432+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯8．(2013课标全国Ⅱ，文8)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ）．A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b9．（2013课标全国Ⅱ，文9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是（1,0,1)，（1,1,0),（0，1，1)，(0,0,0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．10．(2013课标全国Ⅱ，文10)设抛物线C :y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点．若|AF ｜＝3｜BF ｜，则l 的方程为（）．A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．)1(3-±=x yC ．y ＝(1)3x -或y ＝(1)3x -- D ．y ＝(1)2x -或y ＝1)2x --11．(2013课标全国Ⅱ，文11)已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是（ )．A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f （x)的图像是中心对称图形C ．若x0是f(x ）的极小值点，则f （x ）在区间(－∞,x0)单调递减D ．若x0是f （x)的极值点，则f ′(x0）＝012．（2013课标全国Ⅱ，文12)若存在正数x 使2x（x －a ）＜1成立，则a 的取值范围是（）．A ．（－∞,＋∞）B ．(－2，＋∞)C ．(0,＋∞)D ．（－1，＋∞）第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13．（2013课标全国Ⅱ，文13)从1，2,3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．14．(2013课标全国Ⅱ，文14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅＝__________。

【纯Word版解析】2013年普通高等学校招生统一考试——文科数学(大纲卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅ 【答案】B【解析】由补集定义易得{}3,4,5U C A =,故选B. 【考点定位】补集的概念 2、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213【答案】A【解析】因为α是第二象限角，∴12cos 13α===-，故选A. 【考点定位】考查同角三角函数基本关系式3、已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1 【答案】B【解析】∵()(),+⊥-m n m n ∴()()0+⋅-=m n m n ∴220-=m n即()()2211[24]0λλ++-++=∴3λ=-，故选B. 【考点定位】考查向量垂直，数量积坐标运算.4、不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,2【答案】D【解析】22|2|2222x x -<⇒-<-<2040||2x x ⇒<<⇒<<2002x x ⇒-<<<<或，故选D.（也可用排除法）【考点定位】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法5、()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224 【答案】C【解析】26262+18=2112T C x x ⋅=，故选C【考点定位】二项式定理的通项公式 6、函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 【答案】A【解析】由()2111log 11221yy y f x x x x ⎛⎫==+⇒+=⇒= ⎪-⎝⎭， ∵0x >∴0y >∴()11(0)21xfx x -=>-，故选A. 【考点定位】考查求反函数，指数式和对数式的互化.7、已知数列{}n a 满足12430,,3n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 【答案】C【解析】∵130,n n a a ++=∴113n n a a +=-，∴数列{}n a 是以13-为公比的等比数列.∵24,3a =-∴14a = ∴10101014[1()]33(13)113S ---==-+，故选C.【考点定位】考查等比数列的通项与求和.8、已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=【答案】C【解析】如图，21213||||,||222AF AB F F ===,由椭圆定义得，13||22AF a =-○1在Rt △12AF F 中， 2222212123||||||()22AF AF F F =+=+○2由○1○2得，2a =∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=，故选C. 【考点定位】椭圆方程的求解9、若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题中图象可知0042T x x π+-=,∴2T π= ∴22ππω=∴4ω=，故选B【考点定位】三角函数的图象与解析式10、已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6 【答案】D【解析】由题意知311|(42)|428x x y x ax a =-=-'=+=--=，则6a =-.故选D 【考点定位】导数的几何意义11、已知正四棱锥1111ABCD A BC D -中，12,AA AB =则CD 与平面1BDC 所成的角的正弦值等于（A ）23 （B ）3 （C ）3（D ）13【答案】A【解析】如图，在正四棱锥1111ABCD A BC D -中，连结AC 、BD 记交点为O ,连结1OC ,过C 作CH ⊥1OC 于点H,∵BD ⊥AC ，BD ⊥1AA ，∴BD ⊥平面11ACC A ∵CH ⊂平面11ACC A∴CH ⊥BD,∴CH ⊥平面1C BD ∴∠CDH 为CD 与平面1BDC 所成的角.1OC=. 由等面积法得，1OC ·CH=OC ·1CC ，∴222CH ⋅= ∴23CH =∴223sin 13CH CDH CD ∠===，故选A【考点定位】线面角的定义求法12、已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点，若0MA MB =，则k =(A)12 （B（C（D ）2 【答案】D【解析】设直线AB 方程为(2y k x =-），代入28y x =得2222(48)40k x k x k -++=设1122(,),(,)A x y B x y ，则212248k x x k++=，124x x =（*） ∵0MA MB ⋅=∴1122(2,2)(2,2)0x y x y +-⋅+-= 即1212(2,)(2)(2)(2)0x x y y +++--=即121212122()42()40x x x x y y y y ++++-++=○1 ∵1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩∴1212(4)y y k x x +=+-○22212121212(2)(2)[2()4]y y k x x k x x x x =--=-++○3 由（*）及○1○2○3得2k =，故选D 【考点定位】直线与抛物线相交问题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、设()f x 是以2为周期的函数，且当[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1f -= .【答案】1-【解析】∵()f x 是以2为周期的函数，且[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1(12)(1)121f f f -=-+==-=- 【考点定位】函数的周期性，函数求值14、从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）【答案】60【解析】分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果,故共12365360C C C =有种可能的结果.【考点定位】组合问题15、若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为 .【答案】0【解析】z x y =-+y x z ⇒=+，z 表示直线y x z =+在y 轴上的截距，截距越小，z 就越小.画出题中约束条件表示的可行域（如图中阴影部分所示），当直线过点A(1，1)时，min 0z =【考点定位】线性规划求最值16、已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【答案】16π【解析】如图，设MN 为公共弦，长度为R,E 为MN 的中点，连结OE,则OE ⊥MN,KE ⊥MN.∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角.∴∠OEK=60°. 又∵△OMN 为正三角形.∴OE=2R . ∵OK=32且OK ⊥EK ∴3sin 602OE ⋅︒=∴3222R ⋅=∴R=2.∴2416S R ππ==【考点定位】二面角与球的表面积三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a ==⎧⎨⎩，所以11164182(8)a d a d a d +=+=+⎧⎨⎩解得11a =，12d =，所以{}n a 的通项公式为12n n a +=. （Ⅱ）2)1122(1n n a n n b n n n ==-++=所以2222222)()()122311(n n n S n n -+-++-=+=+ 【考点定位】等差数列通项公式和裂项求和方法18．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A,B,C的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+= （Ⅰ）求;B （Ⅱ）若1sin sin ,4A C =求C. 【解析】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a cb ac +-=-由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此B=120°. （Ⅱ）由(Ⅰ)知A+C=120°，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+coscos sin sin 2sin sin AC A C A C =-+=cos()2sin sin A C A C ++=122+=故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此C=15°或C=45°.【考点定位】考查余弦定理、两角和与差的公式以及求角问题，考查学生的转化能力和计算能力19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【解析】(Ⅰ)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=0B=OD,即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD,从而PB ⊥OE.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD,因此;PB CD ⊥（Ⅱ）解：取PD 的中点F ，连结OF,则OF ∥PB ，由(Ⅰ)知，;PB CD ⊥，故OF ⊥CD.又12OD BD ==OP == 故△POD 为为等腰三角形，因此OF ⊥PD.又PD ∩CD=D ，所以OF ⊥平面PCD. 因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD 的，AE ⊄平面PCD,所以AE ∥PCD. 因此，O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而112OF PB ==. 所以A 到平面PCD 的距离为1.【考点定位】(1)解题的关键是辅助线的添加，取BC 的中点E 是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）求点面距离的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适应的方法是比较棘手的问题 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【解析】(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”，则12A A A =⋅,12()()P A P A A =⋅12()()P A P A ⋅14= （Ⅱ）记1B 表示事件“第1局结果为乙胜”2B 表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判” 则1312312B B B B B B B B =⋅+⋅⋅+⋅，所以1312312()()()()P B P B B P B B B P B B =⋅+⋅⋅+⋅1312312()()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B P B =⋅+⋅⋅+⋅ 11154848=++= 【考点定位】考查独立事件和互斥事件的概率问题以及离散型数学期望，考查分析问题和计算能力21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()f ;a x =的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【解析】(Ⅰ)当a =()32=3 1.f x x x -++ ()2=33f x x '-+.令()0f x '=，得121,1x x =.当(1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(1)-∞上是增函数；当1)x ∈时，()0f x '<，()f x 在1)上是减函数；当1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在1,)+∞上是增函数；（Ⅱ）由(2)0f ≥得54a ≥-. 当54a ≥-，(2,)x ∈+∞时， ()22251=3633(21)3(1)3()(2)22f x x ax x ax x x x x '-+=-+≥-+=--所以()f x 在(2,)+∞是增函数，于是当[2,)x ∈+∞时，()f x (2)0f ≥≥.综上，a 的取值范围是5[,)4-+∞【考点定位】考查利用导数求解函数的单调性与参数范围问题 22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列【解析】(Ⅰ)由题设知3c a =，即2229a b a+=，故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知，=21a =. 所以1a =，b =（Ⅱ）由(Ⅰ)知，1(3,0)F -，2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=○1由题意可设的l 方程为(3)y k x =-，||k <，代入○1并化简得，2222(8)6980k x k x k -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，11x ≤-，21x ≥则212268k x x k +=-，2122988k x x k +=-于是11||(31)AF x ===-+12||31BF x ===+由11||||AF BF =得123(1)31x x -+=+，即1223x x +=-故226283k k =--解得245k =从而12199x x =-由于21||13AF x ===-22||31BF x ===-故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--= 因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以22||,||,||AF AB BF 成等比数列.【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查设而不求的思想及就是能力。

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}2．（5分）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B ．C ．D ．4．（5分）已知双曲线C ：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n=2a n﹣1B．S n=3a n﹣2C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2B．2C．2D．49．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A ．B ．C ．D．10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）A．10B．9C．8D．511．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t +（1﹣t ）．若•=0，则t=．14．（5分）设x ，y 满足约束条件，则z=2x ﹣y 的最大值为．15．（5分）已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ：HB=1：2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为．16．（5分）设当x=θ时，函数f （x ）=sinx ﹣2cosx 取得最大值，则cosθ=．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0，S 5=﹣5．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和．18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A 药，B 药）的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h ）实验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°（Ⅰ）证明：AB ⊥A 1C ；（Ⅱ）若AB=CB=2，A 1C=，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积．20．（12分）已知函数f （x ）=e x （ax +b ）﹣x 2﹣4x ，曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处切线方程为y=4x +4．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）讨论f （x ）的单调性，并求f （x ）的极大值．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。

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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013大纲全国，文1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则U A ＝( )．A ．{1,2}B ．{3,4,5}C ．{1,2,3,4,5}D ．∅ 2．(2013大纲全国，文2)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )．A ．1213-B ．513-C ．513D ．12133．(2013大纲全国，文3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，文4)不等式|x 2－2|＜2的解集是( )．A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2)5．(2013大纲全国，文5)(x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( )．A ．28B ．56C ．112D ．2246．(2013大纲全国，文6)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )．A ．121x -(x ＞0)B ．121x -(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x－1(x ＞0)7．(2013大纲全国，文7)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，243a =-，则{a n }的前10项和等于( )．A ．－6(1－3－10)B ．19(1－310) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)8．(2013大纲全国，文8)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )．A ．22x ＋y2＝1B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=9．(2013大纲全国，文9)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω＝( )．A ．5B ．4C ．3D ．210．(2013大纲全国，文10)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )．A ．9B ．6C ．－9D ．－611．(2013大纲全国，文11)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B． C．3 D ．1312．(2013大纲全国，文12)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ·MB＝0，则k ＝( )．A ．12 B．2 C．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，文13)设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝______.14．(2013大纲全国，文14)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，文15)若x ，y 满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z ＝－x＋y 的最小值为______．16．(2013大纲全国，文16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，文17)(本小题满分10分)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9.(1)求{a n }的通项公式； (2)设1n nb na =，求数列{b n }的前n 项和S n .18．(2013大纲全国，文18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin A sin C，求C．19．(2013大纲全国，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求点A到平面PCD的距离．20．(2013大纲全国，文20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在，各局比赛的结果相互独立，下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．21．(2013大纲全国，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a=f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．22．(2013大纲全国，文22)(本小题满分12分)已知双曲线C：22221x ya b-=(a ＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：由题意得U A ＝{3,4,5}．故选B ． 2．答案：A解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝1213==-.故选A ． 3．答案：B解析：∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝0. ∴|m |2－|n |2＝0，即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0. ∴λ＝－3.故选B ． 4．答案：D 解析：|x 2－2|＜2⇒－2＜x 2－2＜2⇒0＜x 2＜4⇒0＜|x |＜2⇒－2＜x ＜0或0＜x ＜2.故选D ． 5．答案：C解析：T 2＋1＝28C x 8－2·22＝112x 6.故选C ． 6．答案：A解析：由y ＝f (x )＝21log 1x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⇒1＋1x ＝2y⇒x ＝121y-. ∵x ＞0，∴y ＞0. ∴f －1(x )＝121x -(x ＞0)．故选A ． 7．答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0⇒a n ＋1＝13-a n ， ∴{a n }是以13-为公比的等比数列．又∵a 2＝43-，∴a 1＝4.∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C ． 8．答案：C解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得 |AF 1|＝2a －32.①在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝232⎛⎫ ⎪⎝⎭＋22.②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆C 的方程为22143x y +=，应选C ．9．答案：B解析：∵由题中图象可知x 0＋π4－x 0＝2T .∴π2T =.∴2ππ2ω=.∴ω＝4.故选B ． 10．答案：D解析：由题意知y ′|x ＝－1＝(4x 3＋2ax )|x ＝－1＝－4－2a ＝8，则a ＝－6.故选D ． 11．答案：A解析：如图，设AA 1＝2AB ＝2，AC 交BD 于点O ，连结OC 1，过C 作CH ⊥OC 1于点H ，连结DH .∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1. ∵CH ⊂平面ACC 1A 1，∴CH ⊥BD ．∴CH ⊥平面C 1BD ．∴∠CDH 为CD 与平面BDC 1所成的角．OC 1==. 由等面积法得OC 1·CH ＝OC ·CC 1，22CH =.∴CH ＝23.∴sin ∠CDH ＝22313CH CD ==.故选A ．12．答案：D解析：设AB ：y ＝k (x －2)，代入y 2＝8x 得： k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则∴x 1＋x 2＝2248k k+，x 1x 2＝4.(*)∵MA ·MB＝0，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0，即(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.∴x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.① ∵11222,2,y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)，②y 1·y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]．③ 由(*)及①②③得k ＝2.故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：－1解析：∵f (x )是以2为周期的函数，且x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1. 14．答案：60解析：分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果．故共有123653C C C 60=(种)可能的结果． 15．答案：0解析：z ＝－x ＋y ⇒y ＝x ＋z ，z 表示直线y ＝x ＋z 在y 轴上的截距，截距越小，z 就越小．画出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示)，当直线过点A (1,1)时，z min ＝0.16．答案：16π解析：如图，设MN 为公共弦，长度为R ，E 为MN 中点，连结OE ，EK ，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN .∴∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角． ∴∠OEK ＝60°.又△OMN 为正三角形，∴OER.∵OK ＝32，且OK ⊥KE ， ∴OE ·sin 60°＝32.∴3222R ⋅=. ∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则 a n ＝a 1＋(n －1)d . 因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=(+)⎩解得a 1＝1，12d =.所以{a n }的通项公式为12n n a +=. (2)因为22211n b n n n n ==-(+)+，所以2222222122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C＝11+224⨯＝2，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°.19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD．因此PB⊥CD．(2)解：取PD的中点F，连结OF，则OF∥PB．由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD．BD，OP=又OD＝1故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD．又PD∩CD＝D，所以OF⊥平面PCD．因为AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊄平面PCD，所以AE∥平面PCD．PB＝1，因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF＝12所以A到平面PCD的距离为1.20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝1.4(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B＝B·B3＋B1·B2·3B＋B1·2B.1P(B)＝P(B·B3＋B1·B2·3B＋B1·2B)1＝P(B·B3)＋P(B1·B2·3B)＋P(B1·2B)1＝P(B)P(B3)＋P(B1)P(B2)P(3B)＋P(B1)P(2B)1＝111++484.＝5821．解：(1)当a=f(x)＝x3－2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－＋3.令f ′(x )＝0，得11x =，21x =.当x ∈(1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1)是增函数；当x ∈11)时，f ′(x )＜0，f (x )在11)是减函数；当x ∈1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在1，＋∞)是增函数．(2)由f (2)≥0得54a ≥-. 当54a ≥-，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥25312x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝312x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22．(1)解：由题设知3c a=，即2229a b a +=，故b 2＝8a 2. 所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，并求得x =由题设知，=a 2＝1.所以a ＝1，b =(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝2268k k -，x 1·x 2＝22988k k +-.于是|AF 1|＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝23-. 故226283k k =--，解得245k =，从而x 1·x 2＝199-.由于|AF 2|＝1－3x 1，|BF 2|＝3x 2－1，故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2，所以|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．。