物理学27量子4
物理学中的量子概念
物理学中的量子概念本书力求再现1900年到1930年期间，在大量的各种实验数据的推动下，利用各种数学分析工具，创造出量子力学的辉煌历史。
作者是剑桥大学的一位自然哲学教授，卡文迪什（Cavendishi）实验室发展部主任，在物理学与天文学领域深受尊重并获得过许多荣誉。
作者认为量子和量子化是20世纪物理学中最伟大的发现。
尽管量子力学现象并没有对仍为经典物理学所支配的我们的意识世界构成直接冲击，但量子力学已经成了物质和辐射的所有现象的理论基础，而且也将是21世纪文明的一切方面的基础。
作为大学物理学中的主要学科，量子力学的卓越教科书并不鲜见，许多成功的教材采用公理化方法，从一组基本公理出发建立量子力学的理论体系，然后借助于一系列数学步骤发展它的全部推论。
但是量子力学究竟是怎么来的？我们能够理解对于这样一种抽象形式所对应的解释吗？近几十年来关于这些问题的详细讨论有许多著作面世，特别值得一提的是1967年出版的“量子力学起源”（Source of Quantum Mechanics，B.L.van der Waerden 著）和1992年-2001年出版的6卷集“量子理论的历史发展”（The Historical Development of Quantum Theory，Mehra and Rechenberg 著）等，都得到了广泛的好评。
但作者认为这些优秀著作通常内容很深，需要读者具有很强的经典与量子物理的基础。
作者曾于2003年撰写了“物理学中的理论概念”（Theoretical Concepts in Physics）一书，从历史角度重新思考物理学的基础，讨论了到量子发现与被物理学界接受为止的经典物理学和相对论理论概念的发展。
本书是作者对于量子物理继续作出的努力。
作者假定读者熟悉不超过大学二年级水平的物理与数学知识，力求采用的数学不失严格性而尽可能简单，使最后一年的大学生在阅读时不会遇到麻烦。
全书内容分成3个部分，共18章：第1部分量子的发现，含第1-3章：1.1895年的物理学与理论物理学；2.普朗克和黑体辐射；3.爱因斯坦和量子，1900-1911。
量子物理学波粒二象性和不确定性原理
量子物理学波粒二象性和不确定性原理量子物理学是研究微观世界的物理学分支，它揭示了自然界中一系列令人瞩目的现象。
其中最为重要的两个概念是波粒二象性和不确定性原理。
波粒二象性表明微观粒子既可以表现出波动性质，又可以表现出粒子性质，而不确定性原理则阐述了关于粒子的两个关键参数，即位置和动量的测量是具有限制的。
本文将详细探讨波粒二象性和不确定性原理，并对其影响和应用进行分析。
1. 波粒二象性量子物理学的首要发现之一是粒子也可以表现出波动性质，这是由德布罗意提出的德布罗意波理论得出的。
德布罗意波理论指出，与每个粒子相关联的有一个特征波长，这个波长越小，与粒子相关的动量越大。
这一理论在实验中得到了验证，例如电子衍射和干涉实验。
因此，粒子既可以被看作是实体的微小粒子，又可以被看作是传播波动的能量。
2. 不确定性原理不确定性原理由海森堡提出，它阐明了在观测微观粒子时存在的测量限制。
其中最著名的形式是位置-动量不确定性原理。
该原理表明，无法同时精确测量一粒子的位置和动量，其原因是测量过程中的干扰会导致结果的不确定性。
换句话说，越精确地测量位置，就越难以精确测量动量，反之亦然。
这一定律使得我们无法准确预测微观粒子在空间中的位置和速度。
3. 影响和应用波粒二象性和不确定性原理在现代科学、技术和工程领域中有着广泛的应用。
首先，波动性质为物理学家提供了解释和研究微观世界的新角度。
其次，不确定性原理引发了对测量和观测方法的深入研究，推动了测量技术的发展。
它也为量子力学的基本原理奠定了基础，深刻影响了物理学的发展。
此外，波粒二象性和不确定性原理对于微观领域的技术应用，如量子计算和量子通信，都有着重要的指导意义。
4. 未来展望随着科学技术的不断进步，对波粒二象性和不确定性原理的理解也在不断深入。
人们正在努力开发新的观测技术和实验方法，以便突破不确定性的限制，并更好地理解量子世界。
这将为我们揭示更多奇妙的现象，以及在各个领域中的实际应用带来更多可能性。
量子物理学中的基本概念与理论模型
量子物理学中的基本概念与理论模型量子物理学是研究微观世界的物理学分支，它描述了原子和分子的行为以及微观粒子之间的相互作用。
在量子物理学中，存在着一些基本概念和理论模型，这些概念和模型是我们理解量子世界的基石。
本文将介绍一些量子物理学中的基本概念和理论模型。
1. 波粒二象性波粒二象性是指微观粒子既具有粒子的特性，如质量和位置，又具有波动的特性，如频率和波长。
这一概念由德布罗意（de Broglie）提出，并通过实验证实。
根据波粒二象性，微观粒子可以使用波函数描述其运动状态。
波函数是一个复数函数，通过求解薛定谔方程可以得到。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子物理学中的重要概念，由海森堡（Heisenberg）提出。
该原理表明，在测量一个粒子的位置和动量时，我们不能同时精确地知道它们的值。
精确测量一个量会导致对另一个量的测量结果的不确定性增加。
这一原理揭示了微观粒子的局限性和统计性质。
3. 纠缠纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的量子关联，即使它们之间的距离很远，也会同时影响彼此的状态。
纠缠现象违背了经典物理学中的局域性原理，被广泛应用于量子通信和量子计算领域。
量子纠缠是量子物理学中的一个核心概念。
4. 薛定谔方程薛定谔方程是量子物理学的基础方程，描述了波函数随时间演化的规律。
该方程是线性的偏微分方程，将波函数的时间演化与其位置和动量联系起来。
通过解薛定谔方程，我们可以获得粒子的能量、波函数和概率分布等信息。
5. 量子力学量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，由约翰·冯·诺依曼、沃纳·海森堡、埃尔温·薛定谔等人共同建立。
量子力学包括非相对论量子力学和相对论量子力学两个分支。
非相对论量子力学主要用于描述低速粒子的运动，而相对论量子力学适用于高能粒子的描述。
6. 自由粒子和势能场根据量子力学，自由粒子在空间中运动时由平面波描述。
而受到势能场影响的粒子则由波包描述。
什么是量子物理学？
什么是量子物理学？量子物理学是研究微观领域中量子力学的一门学科，它探究的物理现象通常在日常生活中很难直接感知到。
这个领域涉及到的东西是很有道理的，但是对很多人来说可能会有些难以理解。
下面我们来详细地解释一下量子物理学的一些基本概念，希望能让更多的人了解量子物理学。
1.说明量子物理学的概念。
量子物理学是研究微观领域中物体及其相互作用的科学。
它为其他任何领域的科学提供了基础，涉及到基本的粒子和力的互动方式，还探究了能量，动量和角动量的量子性质。
2.量子物理学的研究对象量子物理学的研究对象是微观领域中的物体，涉及到原子、分子及其中的基本粒子-电子、质子、中子等。
这些物体的尺寸非常小，无法用人眼直接观察到，其存在与性质都需要通过精密的仪器和复杂的数学模型进行推导和预测。
3.量子物理学的基本概念量子物理学涉及到一些基本概念，比如量子态、波粒二象性、量子纠缠等。
其中波粒二象性是很有趣的一种现象，说明物质既可以表现为粒子也可以表现为波动。
这种现象也解释了光的二象性，即它既具有粒子的特性，也具有波的特性。
量子态和量子纠缠则是更加复杂的概念，它们涉及到量子力学中相互作用的本质，能够影响到粒子的行为规律。
4.量子物理学的应用虽然量子物理学的研究对象在人类生活的尺度上很小，但是它的应用却是非常广泛的。
比如，量子物理学技术已经在半导体、光伏和探测等领域的创新和发展中发挥了关键作用，它对计算机、通信和安全领域的进展也有着深远的影响。
除此之外，在太空、能源和医疗等领域也有着诸多应用和前景。
5.量子物理学的未来量子物理学作为一门基础学科，其研究在未来将继续得到拓展和发展。
作为科技领域的前沿，量子计算、量子通信、量子模拟等领域的研究将带来更多前沿科技的变革。
此外，我们也期待更多跨学科的交流和合作，以便将技术转化，用于更广泛的应用，并创造出更大的价值。
总体而言，量子物理学虽然是一门比较复杂的学科，但是它的研究成果却在许多领域都发挥着积极的作用，涉及到科学、技术和社会等多个维度。
清华大学物理-量子物理.第27章.薛定谔方程
第二十七章薛定谔方程§27.1 薛定谔方程§27.2 无限深方势阱中的粒子§27.3 势垒穿透§27.4 一维谐振子*§27.5 力学量算符§27.1 薛定谔方程薛定谔方程是决定粒子波函数演化的方程。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，在量子力学中的地位如同牛顿方程在经典力学中的地位。
和牛顿方程一样，薛定谔方程不能由其它的基本原理推导得到，是量子力学的一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。
▲薛定谔方程是线性的，满足解的叠加原理。
▲薛定谔方程关于时间是一阶的，经典波动方程关于时间是二阶的。
▲薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”，是非相对论形式的方程。
若和是方程的解，),(1t r Ψ ),(2t r Ψ 则也是方程的解。
),(),(2211t r Ψc t r Ψc ▲方程含有虚数i ，其解是复函数，不可直接测量，是概率密度，可直接测量。
Ψ2||Ψ一. 一维无限深方势阱模型极限理想化U (x )U =U 0U =U 0E U =0x 0§27.2 无限深方势阱中的粒子表面电子运动限于区间aa金属无限深方势阱U =0EU →∞U (x )x 0U →∞-a /2a /2n 很大时，阱内粒子概率分布趋于均匀| n|2E n-a/2a/2玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系行为向经典过渡。
§27.3 势垒穿透一.粒子进入势垒⎩⎨⎧>≤=)0( , )0( ,0 )(0x U x x U 金属与半导体接触处，势能隆起形成势垒。
势垒的物理模型：xII 区I 区U 0U (x )1.一维势垒模型粒子从x = - 处以特定能量E (E < U 0) 入射，xII 区0I 区U 0U (x )2.问题经典图像：量子图像：粒子无法跃上台阶，只能反射。
粒子具有波动性，波不仅被反射，而且能透射进入势垒区，只要U 0有限。
量子力学概述
量子力学概述量子力学是一门研究微观粒子的物理学科，它的发展始于20世纪早期。
量子力学揭示了微观粒子行为的本质，改变了我们对于宇宙的认知。
本文将概述量子力学的基本概念和原理，并探讨其在科学研究和技术应用中的重要性。
1. 波粒二象性量子力学的核心概念之一是波粒二象性。
实验观察表明，微观粒子既具有粒子特性，又具有波动特性。
例如，光既可以被看作是粒子（光子）也可以被看作是一种电磁波。
这一观点由德布罗意提出，并由实验验证，成为了量子力学的基础。
2. 波函数和叠加原理波函数是量子力学描述微观粒子行为的数学工具。
它能够用来计算和预测微观粒子的性质和行为。
根据叠加原理，微观粒子的波函数可以同时处于多个可能的状态，并在观测之前不确定其具体状态。
观测时，波函数会崩塌为其中一个确定的状态。
3. 测量和不确定性原理量子力学中的测量与经典物理不同。
在经典物理中，测量一个物理量并不会对其他物理量造成干扰。
然而，在量子力学中，测量一个物理量会对其他物理量的测量结果产生影响。
这是由于测量过程本身引入了不确定性。
不确定性原理表明了人们无法同时准确测量微观粒子的位置和动量（或其他共轭变量），这对我们了解微观世界的基本粒子行为有着重要影响。
4. 薛定谔方程和定态薛定谔方程是量子力学中描述系统演化的基本方程。
通过求解薛定谔方程，可以得到系统的定态和能量谱。
定态是指系统处于一种稳定的状态，且不随时间演化。
一个定态可以由一个或多个量子数来描述，每个量子数对应于系统的一个可观测的物理量。
5. 相对论和量子力学的结合相对论和量子力学是现代物理学的两大支柱。
相对论揭示了宏观物体和高速粒子行为的规律，而量子力学揭示了微观粒子行为的规律。
尽管两者各自都能很好地解释和预测实验结果，但在高能物理和宇宙学等领域中，需要将相对论和量子力学结合起来，即量子场论。
量子场论的发展使得我们能够研究更高能量和更小尺度的粒子行为。
6. 应用和前景量子力学是许多科学和技术领域的基石。
量子物理学的基本概念光子与电子的波粒二象性
量子物理学的基本概念光子与电子的波粒二象性量子物理学的基本概念：光子与电子的波粒二象性量子物理学是一门探索微观世界的科学学科，该学科最早形成于二十世纪初，由一系列突破性的实验证据和理论提出而成。
在这个学科中，我们经常遇到光子和电子这两个重要的概念，它们的波粒二象性成为了量子物理学的基础。
本文将会介绍与光子和电子的波粒二象性相关的基本概念。
1. 量子物理学的基本原理量子物理学的基本原理基于量子力学的框架，该框架提出了物质和能量都表现为微粒（或粒子）和波动（或波）的理论基础。
这意味着微观粒子可以同时表现出粒子性和波动性。
2. 光子的波粒二象性光子被认为是电磁波中的基本粒子，其本质是能量的量子。
在光子的波动性方面，光的传播满足波动方程，可以表现出干涉、衍射等波动现象。
而在光子的粒子性方面，它的能量和动量都是离散化的，且光子之间具有能量和动量的量子可能性。
3. 电子的波粒二象性电子是一种带负电的基本粒子，其也具有波粒二象性。
在电子的波动性方面，电子可以被描述为波函数，其演化遵循薛定谔方程。
这一描述方式可以解释电子的干涉、衍射等波动现象。
而在电子的粒子性方面，电子也具有能量和动量的离散化特性，且电子之间存在能量和动量的量子可能性。
4. 波粒二象性实验证据光子和电子的波粒二象性并非只是理论推测，而是经过大量实验证据的支持。
例如，通过双缝干涉实验可以观察到光子和电子的干涉条纹，证明了它们的波动性；而通过光电效应实验证明光子和电子也具有粒子性，因为光电效应结果与光子或电子的能量有关。
5. 应用与展望光子和电子的波粒二象性不仅仅是理论物理学中的概念，它们的实际应用也非常广泛。
例如，基于量子力学的光子学和电子学在信息传输与处理、激光技术、量子计算等领域有着重要的应用。
此外，对于更深入理解微观世界的研究，对光子和电子波粒二象性的探索仍在继续，未来将会进一步挖掘其在科学和技术领域的潜力。
总结：量子物理学的基本概念中，光子和电子的波粒二象性扮演着重要的角色。
量子力学入门概念
量子力学入门概念1. 量子力学的起源20世纪初，人们对微观世界的探索逐渐深入，经典物理学无法完全解释微观粒子的行为。
在这个时候，量子力学诞生了。
量子力学是研究微观粒子的理论物理学分支，奠定了整个现代物理学的基础。
它的诞生标志着经典物理学迈向现代物理学的新纪元。
2. 波粒二象性在量子力学中最重要的概念之一就是波粒二象性。
根据波粒二象性，微观粒子既可以表现出粒子的性质，又可以表现出波的性质。
例如，光既可以被看作是一束光子（粒子），也可以被看作是一束电磁波（波）。
这种波粒二象性颠覆了人们对物质本质的传统认识，是量子力学理论的核心之一。
3. 不确定性原理量子力学引入了著名的海森堡不确定性原理。
该原理指出，在测量一个微观粒子的位置和动量时，无法同时准确知道它们的数值。
换言之，在量子尺度上，测量过程会对系统本身造成干扰，从而导致位置和动量无法同时确定。
这种不确定性原理挑战了经典物理学对测量过程的传统理解。
4. 玻恩统计与费米-狄拉克统计玻恩和费米、狄拉克分别提出了两种描述微观粒子行为的统计方法：玻恩统计和费米-狄拉克统计。
其中，玻恩统计适用于玻色子（如光子），而费米-狄拉克统计适用于费米子（如电子）。
这些统计方法为我们解释微观世界中粒子组成和行为提供了重要参考。
5. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了微观粒子的运动规律。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到微观粒子的波函数，从而推断出其在空间中的分布和运动状态。
薛定谔方程的提出极大地推动了人们对微观世界的认识和探索。
6. 量子纠缠量子纠缠是量子力学中一个令人费解但又不可忽视的现象。
当两个量子系统发生纠缠后，它们之间将建立一种特殊的联系，即使它们在空间上相隔甚远，改变一个系统中粒子的状态都会立刻影响到另一个系统中相关粒子的状态。
这种非局域关联关系挑战了我们对现实世界本质的理解。
7. 量子力学在科技领域应用除了在基础物理学中具有重要地位外，量子力学还在科技领域有着广泛应用。
物理学量子力学与原子物理学
物理学量子力学与原子物理学物理学量子力学是研究微观世界中的物质和能量交互作用的理论。
它涉及到原子、分子和基本粒子的行为，被认为是20世纪最伟大的科学理论之一。
原子物理学是量子力学的一个分支，专注于研究原子、原子核和原子中的电子运动。
1. 量子力学的发展历程量子力学的发展可以追溯到20世纪初。
1900年，普朗克提出了量子假设，认为能量是离散的，存在于不同的固定数值上，称为量子。
随后，爱因斯坦、玻尔等科学家为量子力学的发展做出了重要贡献。
1925年，薛定谔提出了薛定谔方程，奠定了现代量子力学的基础。
2. 量子力学的基本原理量子力学的基本原理包括波粒二象性、不确定性原理和量子叠加原理。
波粒二象性表明微观粒子既可以表现出波动性质，又可以表现出粒子性质。
不确定性原理指出，无法同时准确测量粒子的位置和动量，测量结果存在一定的不确定性。
量子叠加原理描述了微观粒子可能存在的多个状态，直到被观测时才会确定一个具体状态。
3. 原子物理学的研究内容原子物理学主要研究原子的结构和性质。
尤其是电子在原子中的能级结构和电子云分布。
根据波尔模型，原子的电子存在于不同的轨道上，每个轨道对应一个特定的能级。
这些能级可以通过吸收或发射光子的方式实现跃迁。
原子物理学的研究还包括原子光谱、原子碰撞和原子核结构等内容。
4. 量子力学在原子物理学中的应用量子力学为解释原子物理现象提供了有效的理论框架，并且在实际应用上也有广泛的应用。
通过量子力学的计算和模拟，我们可以了解原子的能级结构、原子光谱的特性。
量子力学还为原子物理学中的激光、原子钟、量子计算等领域的研究提供了理论基础。
5. 量子力学的发展挑战与展望尽管量子力学在物理学和应用领域取得了巨大成功，但仍然存在一些未解决的问题和挑战。
例如，量子力学与相对论的统一、量子纠缠、量子计算的可实现性等。
随着科学技术的发展，我们有望揭示更多的量子力学奥秘，并将其应用于更广泛的领域。
总结：物理学量子力学与原子物理学为我们理解微观世界提供了重要的理论基础。
量子物理学的日常应用实例
量子物理学的日常应用实例量子物理学是研究微观世界中粒子和能量交互作用的科学领域。
虽然量子物理学常常被认为是一门深奥晦涩的学科，但它也被广泛应用于我们日常生活的许多领域。
本文将介绍几个量子物理学在日常生活中的实际应用实例。
1. 量子计算机量子计算机是利用量子位和量子比特进行计算的一种创新计算机技术。
传统的计算机以比特为单位存储和处理信息，而量子计算机使用了量子态的叠加和纠缠特性，使其在某些计算任务上具有极高的运算速度。
目前，量子计算机在密码学、化学模拟、优化问题等领域显示出巨大的潜力。
2. 量子通信量子通信是利用量子物理学原理进行信息传输和保护的技术。
量子通信具有高度的安全性，因为通过量子纠缠可以实现信息的加密和解密，使得通信过程中的信息无法被窃听或篡改。
量子密码通信、量子密钥分发和量子隐形传态等技术正在逐渐应用于实际的通信系统中。
3. 量子传感器量子传感器利用量子物理学的特性来测量和检测物理量，如时间、位置、速度和强度等。
与传统传感器相比，量子传感器具有更高的灵敏度和精确度。
例如，利用量子力学原理，我们可以制造出高精度的原子钟，用于导航系统和科学研究。
此外，量子传感器还可以应用于地震监测、生物医学影像、气象预测等方面。
4. 量子光学量子光学是研究光与物质相互作用的量子物理学分支。
它在激光技术、光通信和光信息处理等领域有着重要的应用。
例如，激光在医疗美容、激光打印、通信传输等方面都有广泛应用。
此外，量子光学的研究还为光量子计算和光量子通信等领域的发展提供了理论基础。
5. 量子成像量子成像是利用量子物理学原理进行图像获取和处理的技术。
例如，原子力显微镜（AFM）和扫描隧道显微镜（STM）利用量子隧穿效应来实现对物质表面结构的高分辨率成像。
此外，核医学中的正电子发射断层成像（PET）技术也利用了量子衰变和量子测量原理，用于检测和诊断疾病。
总结起来，量子物理学在日常生活中已经有了许多实际应用实例。
随着对量子物理学的深入研究和进一步技术的发展，我们有理由相信，量子技术将在未来为人类创造更多、更广泛的实用应用。
物理学中的量子力学理论与应用
物理学中的量子力学理论与应用量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观尺度下的物质、能量和相互作用。
量子力学的理论奠定了原子、分子和基本粒子的性质和行为的基础，并为许多重要应用提供了支持。
本文将介绍量子力学的基本原理、主要概念和一些重要应用。
一、量子力学的基本原理量子力学的基本原理包括波粒二象性和不确定性原理。
1. 波粒二象性波粒二象性是指微观粒子既可以表现出粒子的性质，如位置和动量，又可以表现出波的性质，如干涉和衍射。
每一个粒子都可以用波函数描述，波函数表示了粒子的状态和可能出现的位置。
2. 不确定性原理不确定性原理表明，在测量某个物理量时，无法同时准确确定其位置和动量。
这意味着在量子力学中，存在一种固有的局限性，无法同时获得粒子的完整信息。
二、量子力学的主要概念1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了波函数随时间的演化。
这个方程可以求解出粒子的能量和波函数。
2. 算符和观测量量子力学中，物理量由算符表示，而不是经典物理中常用的变量。
通过计算算符在波函数上的作用，可以获得物理量的期望值。
观测量则是由算符所对应的物理量。
3. 波函数坍缩和量子纠缠在测量过程中，波函数会突然坍缩到某个特定的状态，这被称为量子测量。
量子纠缠则是指两个或多个粒子之间的关联，测量一个粒子的状态会立即影响到其他纠缠粒子的状态。
三、量子力学的应用量子力学的应用涵盖了许多领域，包括原子物理、分子物理、凝聚态物理和量子信息等。
1. 原子物理量子力学提供了解析原子结构、能级和跃迁的工具。
通过计算和实验证实，可以获得原子的能谱和光谱线。
2. 分子物理量子力学在分子能级和分子振动、转动等性质的研究中起着重要作用。
通过分子能级的计算，可以确定化学反应的速率和产物。
3. 凝聚态物理在凝聚态物理中，量子力学用于研究固体材料的电子结构、导电性和磁性等特性。
量子调控和量子器件的发展也是凝聚态物理中的重要课题。
4. 量子信息量子信息科学利用量子力学的特性，发展了量子计算和量子通信技术。
物理学中的量子力学和相对论
物理学中的量子力学和相对论量子力学和相对论是现代物理学的两大基石，它们在理论物理和实验物理中都具有重要的地位。
量子力学主要研究微观粒子的行为，而相对论则主要研究宏观物体的运动规律。
本文将详细介绍量子力学和相对论的基本原理、主要内容和应用领域。
一、量子力学1.1 基本原理量子力学的基本原理包括波粒二象性、测不准原理、能量量子化、态叠加和量子纠缠等。
1.波粒二象性：微观粒子既具有波动性，又具有粒子性。
这一点可以通过著名的双缝实验来证明。
2.测不准原理：在同一时间，不能精确测量一个粒子的位置和动量；在同一时间，不能精确测量一个粒子的总能量和粒子的总粒动量。
3.能量量子化：微观粒子的能量是以离散的量子形式存在的，如光子的能量与频率成正比，E=hv。
4.态叠加：一个量子系统的态可以表示为多种可能状态的叠加，如一个电子的态可以同时表示为在上轨道和下轨道的叠加。
5.量子纠缠：两个或多个量子粒子在一定条件下，它们的量子态将相互关联，即使它们相隔很远，一个粒子的状态变化也会瞬间影响到另一个粒子的状态。
1.2 主要内容量子力学的主要内容包括量子态、量子运算、量子测量和量子信息等。
1.量子态：量子态是描述量子系统状态的数学对象，通常用希尔伯特空间中的向量表示。
2.量子运算：量子运算是指在量子系统上进行的计算，如量子比特的基本运算包括量子翻转和量子纠缠。
3.量子测量：量子测量是指对量子系统的状态进行观测，测量结果受到量子态和测量设备的影响。
4.量子信息：量子信息是指利用量子力学原理进行信息传输和处理的方法，如量子通信、量子计算和量子密钥分发等。
1.3 应用领域量子力学的应用领域非常广泛，包括：1.量子计算：利用量子比特进行计算，理论上可以实现比经典计算机更强大的计算能力。
2.量子通信：利用量子纠缠和量子密钥分发实现安全的信息传输。
3.量子密码：利用量子力学原理实现密码学的安全性。
4.量子传感：利用量子系统的高灵敏度进行各种物理量的测量，如重力、磁场、温度等。
量子力学第 4 章
Fmn
δmn
∑
n
Fmn an = bm
(m = 1,2 ⋅⋅⋅)
此联立方程组可写成矩阵方程的形式，
⎛ F11 F12 ····⎞ ⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ = ⎜b ⎟ F F ···· 2 ⎜ 21 22 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ···············⎟ ⎜ · ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎝ ⎠ ⎝· ·⎠ ⎝· ⎠
r ˆ r 在p ˆ 表象中，波函数的自变量是 p 。
2 ↔ | c ( p , t ) | 是 r 的取值概率 是 p 的取值概率。
思考：动量表象的波函数与动量本征函数是一回事吗？ (从物理意义和所满足的方程来看它们的区别) 9
在一般情况下 在 Ô 表象中波函数的自变量是 Ô 的取值 λn (or λ)，
2. 力学量的本征函数在自身表象中的表示 力学量 Ô 的本征函数ϕ 在 Ô 表象的表达形式是什么 样的？ * Ô 本征值分立 cn = ∫ ϕn ϕm dτ = δ mn ,
or
* cλ = ∫ ϕλ ϕλ′ dτ = δ (λ − λ ′),
Ô 本征值连续
当 Ô 表象是分立表象时就有
⎛1 ⎞ ⎜0 ⎟ cϕ1 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · ⎝· ·⎠ ⎛0⎞ ⎜1 ⎟ cϕ2 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · · ⎝ ·⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟ n · ϕn ⎜ ···· c = · ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝· ·⎠
()
()
电子任意的自旋状态，可以表为这两种基本的自旋 状态的线性迭加(本征函数具有完备性),即
0 = a . χ =a 1 + b b 0 1
() () ()
ˆz 表象中，自旋波函数的一般形式。 这就是在 s
量子物理学的现代应用
量子物理学的现代应用量子物理经过多年的研究和实践，已经开始在许多不同的领域得到应用。
这些应用不仅仅是科学研究方面的，还包括计算机科学、医学和环境保护等领域。
本文将探讨一些最新和最有前途的量子物理应用。
1. 量子通信量子通信是一种通过用量子诱发排除所有窃听的技术。
这意味着通信双方可以安全地交流信息，而不用担心信息被窃取或破解。
这种技术现在正在积极地研究和开发，已经得到了商业界和政府部门的广泛关注。
2. 量子计算量子计算机是一种基于量子力学的计算机，可以比传统计算机更快地解决某些问题。
这是因为量子计算机使用量子比特，而不是传统计算机的二进制比特，这使得它们可以同时处理更多的数据。
量子计算机现在已经开始进入商业应用领域，并在某些领域得到了很好的效果。
3. 量子传感器量子传感器是一种可以优化和改进测量技术的传感器。
通过利用量子物理技术，这种传感器可以在各种条件下更精确地测量基本物理量，例如温度、光谱和电场。
这种技术在医疗、环境保护和军事领域中得到了广泛应用。
4. 量子力学在材料学中的应用近年来，科学家们利用量子力学的理论开发出了一些新型材料。
这些材料具有非常优异的特性，例如更高的强度和更好的硬度。
这种材料可以广泛应用于电子设备和航空航天领域。
5. 量子力学在纳米技术中的应用纳米技术是研究和开发纳米级别材料和设备的科学。
许多新型纳米材料和设备都是基于量子力学理论研制而成的。
这些纳米材料广泛应用于医疗、生物学和电子学领域。
总之，随着科学家对量子物理的理解越来越深入，这种技术将继续被应用于更多的领域。
这种应用不仅将改变我们的生活方式，而且有可能影响到未来的科学研究和发展。
物理学中的量子计算是什么
物理学中的量子计算是什么量子计算是一种利用量子力学的规律进行计算的方法。
它利用了量子比特（qubit）的特性，如叠加态和纠缠态，以及量子叠加和量子并行的原理，以实现更为高效的计算能力。
相比传统的经典计算，量子计算能够处理更大规模的问题，且在某些特定情况下能够找到更优解。
1. 量子比特的基本特性量子比特是量子计算的基本单位，类似于经典计算的比特（bit）。
不同的是，量子比特可以同时处于多种状态的叠加态，而经典比特只能处于0或1的状态。
这种叠加态的特性使得量子计算在处理并行计算时具有优势。
2. 量子纠缠的应用量子纠缠是指两个或多个量子比特之间存在一种特殊的关联关系，即它们无论相隔多远，在某些方面保持着相互依赖的关系。
这种关联关系使得量子计算能够同时处理多个相关的问题，极大地提高了计算效率。
3. 量子叠加和量子并行量子叠加是指量子比特可以同时处于多种状态，即具有多个可能性。
这种叠加状态在进行计算时可以同时处理所有可能性，从而实现了量子计算中的量子并行。
相比之下，经典计算需要逐个处理每种可能性，计算复杂度较高。
4. 量子计算的挑战尽管量子计算具有巨大的潜力，但其实现仍然面临许多挑战。
例如，量子比特的稳定性和纠错方法是当前研究的重点。
此外，量子计算在算法设计、硬件制备和量子误差纠正等方面也存在一系列技术难题。
5. 量子计算的应用前景尽管目前量子计算的商业应用还处于起步阶段，但已经有许多领域开始探索其潜力。
例如，在化学和材料科学领域，量子计算可以用于模拟和优化分子结构，加速新材料的研发。
在密码学领域，量子计算可以破解传统加密算法，同时也为新的加密方法提供了思路。
总结起来，物理学中的量子计算是一种利用量子比特和量子力学原理进行计算的方法。
它利用了量子比特的叠加态和纠缠态特性，以及量子叠加和量子并行原理，以实现更高效的计算能力。
尽管面临一些挑战，但量子计算在许多领域具有巨大的应用前景，将对科学、技术和社会产生深远的影响。
物理学中的经典力学与量子力学
物理学中的经典力学与量子力学物理学是一门研究自然现象的学科，它在通过实验与理论相结合的方式来解释物质和能量间的相互作用，进而揭示这些现象背后的规律。
其中，经典力学和量子力学是两个最具代表性的物理领域。
1. 经典力学经典力学又称牛顿力学，是指在平静的、非相对论的场合下，对宏观物体施加的力学规律的总结，是牛顿第二定律的应用。
例如，经典力学可以描述天体运动的规律，如行星绕着太阳的轨道运动。
它揭示了物体间基本的相互作用原理，坚固物理学的基础，是许多现代物理学领域的支柱。
2. 量子力学量子力学则是在位于微观领域中的物质间相互作用的规律的基础上，建立起来的基础性理论。
量子力学的发现是在二十世纪初开始的。
与经典力学不同，量子力学研究的是极小而微观的粒子，如电子、光子、原子等，它采用了不确定性原理、波粒二象性和量子理论等现代物理学的概念，创造出新的物理概念，弥补了经典力学无法解释的问题。
3. 经典力学和量子力学的不同之处经典力学和量子力学虽然都是描述物体间相互作用规律的物理学领域，但两者有明显的不同。
首先，经典力学适用于宏观物体，如人类世界中的物理现象；而量子力学则适用于微观世界中的分子、原子、粒子等粒子。
其次，经典力学依赖于牛顿第二定律，量子力学则使用了不确定性原理、波粒二象性和量子理论等概念。
最后，经典力学中，尺度与时间的尺寸和精度之间存在着基本的限制条件，而量子力学中则不存在这种限制。
4. 物理学中的经典力学和量子力学的重要性经典力学是现代物理学的一个重要支柱。
它为我们提供了准确而简单的物理模型，使我们能够更好地了解自然现象和大多数物理系统。
它对许多其他科学分支的发展和运用也产生了重大影响。
例如，从医学到航空航天行业，经典力学为人类带来了许多机遇。
量子力学的发展则在许多重要的领域产生了深远的影响，包括电子学、光学、物理化学、半导体技术、核物理学和量子计算等。
相对于经典力学，量子力学更具挑战性，它提供了一种新的描述物质相互作用的方式，并在解释微观世界的过程中展示出了惊人的有效性。
量子物理学中的非局域性现象
量子物理学中的非局域性现象量子物理学是研究微观粒子行为的科学领域，它揭示了自然界中一系列奇特的现象和规律。
其中一个引人注目的现象就是非局域性，指的是量子系统中两个或多个粒子之间存在着类似于“神秘联系”的关系，即使它们在空间上相隔很远，仍然可以瞬间产生相互影响。
本文将探讨量子物理学中的非局域性现象及其在科学研究和应用中的意义。
1. 非局域性的基本原理量子物理学认为，微观粒子（如电子、光子等）可以表现出波粒二象性，即既具有粒子的实体性，又具有波动的干涉和衍射特性。
在量子力学理论中，描述粒子状态的工具是波函数，它可以对应粒子的位置、动量等属性，并用于预测和解释实验结果。
在量子力学中，存在一个重要概念叫做“量子态叠加”。
当两个或多个粒子处于“叠加态”时，它们可以被描述为同一波函数的不同分量。
这意味着它们具有一种“纠缠”的关系，它们的状态相互关联。
当对其中一个粒子进行测量时，它的状态将立即“坍缩”，并且另一个粒子的状态也会瞬间改变，即使它们之间在空间上相隔很远。
2. 爱因斯坦-波尔-玻恩争议非局域性现象最早由爱因斯坦、波尔等物理学家提出，并引发了他们之间的争议。
爱因斯坦坚持认为非局域性违背了相对论中的因果律原则，认为不存在通过超过光速的信息传递来实现非局域性的“相互联系”。
而波尔则认为非局域性是量子理论中不可分割的一部分。
这一争议最终在1964年由约翰·贝尔提出的贝尔不等式实验中取得了突破。
贝尔不等式实验证明，非局域性现象无法通过经典物理学的解释来解释，结果支持量子力学的非局域性观点。
3. 暂态态及其应用非局域性现象为科学家提供了探索和利用量子相互关联的可能性。
其中一个重要的应用是量子计算和量子通信领域。
量子计算是基于量子力学原理而设计的一种新型计算方式。
非局域性现象使得量子位与量子位之间的关系可以瞬时传递，因此在量子计算中具有更高效的信息传输和处理能力。
这为解决一些现有计算机难题提供了新的方法。
量子物理学中的基本粒子研究
量子物理学中的基本粒子研究量子物理学是现代物理学的重要分支，研究微观世界中微小而神秘的粒子与能量的运动规律。
在量子物理学中，基本粒子是研究的一大重点。
本文将着重探讨基本粒子的相关知识。
一、什么是基本粒子基本粒子是构成宇宙和物质世界的最基本、最基础的粒子，它们不可再分、不可破坏。
目前，科学家们已经找到了许多基本粒子，这些粒子是构成物质的基本成分。
二、基本粒子的分类基本粒子可分为两类：费米子和玻色子。
1. 费米子：费米子又称费米粒子，它们具有一种叫做费米统计的特殊性质，它们的自旋分数是1/2。
目前已知的费米子包括电子、质子、中子等。
2. 玻色子：玻色子又称玻色粒子，它们具有一种叫做玻色统计的性质，它们的自旋分数是整数。
目前已知的玻色子包括光子、强子等。
三、基本粒子的性质1. 自旋：自旋是基本粒子的一种运动方式，它的大小取决于粒子的自然性质。
自旋一般用量子数 s 表示，费米子的自旋量子数是 1/2，玻色子的自旋量子数是整数。
2. 质量：基本粒子的质量在所有物质中是最小的，但也是非常重要的。
它们的质量决定了它们所携带的能量和运动速度。
电子质量为 9.11×10⁻³¹kg，中子质量为 1.67×10⁻²⁷kg，质子质量为1.67×10⁻²⁷kg，这些基本粒子的质量都非常小。
3. 电荷：基本粒子携带着电荷，它们的电荷决定了它们的相互作用方式。
这些粒子的电荷分为正电荷和负电荷，对于中子来说是中性的。
4. 相互作用力：基本粒子之间存在不同的相互作用，它们通过相互作用力相互影响。
目前已知的相互作用力有电磁作用、弱作用和强作用。
四、基本粒子的发现历程人类对基本粒子的认识不是一蹴而就的。
在很长一段时间内，人们只知道物质由原子组成，但并不知道原子内部的结构。
直到20 世纪初，才开始逐渐揭示基本粒子的本质。
1. 电子的发现：1897 年，汤姆逊利用阴极射线管发现了电子，他还发现了电子的带负电性。
物理学中的量子力学实验
物理学中的量子力学实验量子力学是20世纪最重要的物理学学科之一，也是一门具有深刻科学理论和实验研究的物理学分支。
量子力学中的研究对象是微观领域中足够小的物体，如分子，原子和基本粒子等。
在量子力学中，实验是重要的手段，它不仅验证和证实了理论，也扩展并深化了我们对微观世界的认识。
在这篇文章中，我们将介绍几个量子力学实验。
1. 双缝实验双缝实验被认为是量子力学中最有名的实验之一，它展示出了量子力学的奇妙性质。
该实验需要将一个光源照射到一块有两个小孔的薄片上，使之成为两条光波。
然后，这两条光波会相互干涉，这将导致一些区域出现增强，其他区域则消失。
当这个实验被用于研究量子行为时，研究物质的双缝实验非常有趣，因为它表明粒子在经过双缝时的运动被证明是波动状的。
当粒子的行为转化为波动时，我们观察到了干涉模式，这对我们了解量子世界的本质非常重要。
2. 拉曼散射实验拉曼散射是一种特殊的光谱学技术，它是通过测量样品的散射光谱来确定样品的结构和成分的。
在拉曼散射实验中，我们使用激光给样品提供足够的能量，这会使它发生振动。
当这些分子振动时，它们会重新辐射出能量不同的光，这就是拉曼散射现象。
这些分子的振动被认为是量子物理的本质。
通过这种技术，我们能够更深入地了解物质及其性质，特别是当我们观察到样品发生物理或化学变化时，将会有重要的应用。
3. 斯特恩-格拉赫实验斯特恩-格拉赫实验是对于量子力学中的自旋现象的研究。
斯特恩-格拉赫实验将银原子束通过磁场。
研究人员发现原子被分成了两束，表明了自旋的存在。
实验结果表明，自旋是一个本质不同于经典物理学的概念，因为经典物理学无法解释自旋的原子行为。
4. 博斯-爱因斯坦凝聚实验博斯-爱因斯坦凝聚被认为是量子力学中的第五种状态，它是指粒子以极低的温度和非常高的密度组成的超原子集合。
这种新的物质状态的形成，大大丰富了我们对量子物理世界的认识。
这种物质状态的实现需要控制粒子之间的相互作用，而温度越低，相互作用也越强。
物理学中的量子态系统
物理学中的量子态系统量子态系统是量子力学中的一个重要的概念。
它指的是在量子力学范畴内，具有一定时间属性、空间属性、动量属性等物理属性的体系。
量子态系统与经典力学中的物理体系不同，其属性受到量子力学的严格限制。
本文将从量子态系统的基本定义、特征、应用等几个方面探讨量子态系统的相关知识。
一、量子态系统的基本定义在量子力学中，任何物理系统都有其对应的量子态。
量子态指的是描述量子系统状态的波函数。
波函数是一个复变函数，其绝对值的平方表示量子系统可能出现的各种状态。
这种可能性称为概率幅。
在一定的条件下，各种可能性出现的概率幅会形成波的干涉。
量子体系的物理状态可以通过量子态表示，而量子态可以有多种形式。
根据不同的分类标准，量子态可以分为绝热态、非绝热态、相干态、非相干态、纯态、混合态等。
其中，纯态指的是波函数的表示形式能够唯一地描述一个系统，而混合态则是多个系统波函数的线性组合。
二、量子态系统的特征量子态系统的主要特征有以下几点：（1）离散性：量子态系统的状态空间是离散的，状态之间的转移只能在波函数的干涉下发生。
（2）叠加性：在量子态中，不同状态的波函数可以线性组合，形成叠加态。
（3）干涉性：量子态中的概率幅会发生干涉，两个波函数可以相互补充，也可以相互削弱。
（4）不可分辨性：在量子系统中，相同粒子的交换不改变波函数的符号。
三、量子态系统的应用量子态系统是量子计算、量子通信、量子密钥分发等领域的重要基础。
此外，量子态还有以下应用：（1）量子模拟：量子计算具有仿真研究高能物理、化学反应等领域的优势，可以用量子态系统进行模拟。
（2）量子纠缠：量子态可以出现纠缠态，即量子态间存在的可观测量关系，这种关系对于量子计算、通信、密码学等具有重要意义。
（3）量子测量：量子态可以进行测量，测量过程中，波函数将塌缩到某个特定状态，从而对量子态进行测量。
总之，量子态系统在量子力学中具有重要地位。
对于了解量子力学、量子计算等领域的专业人员来说，掌握相关的量子态系统知识是必不可少的。
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二. 薛定谔方程
(解决低速情况的微观粒子运动问题)
薛定谔方程最初用类比方法推得，过程比较繁琐。 现在我们用逆推法来建立薛定谔方程，简捷方便。
5
1.
薛定谔方程的一般形式
i ( Et Px ) e
(1) 一维自由粒子的薛定谔方程
一维自由粒子的波函数： ( x t ) 0
i E t 2 2 i P P 2 2 x x
2
n x )dx 1 由归一化条件： | | dx A sin ( a 0 o
a 解得： A 1 2
（4）能量：
2mE k 2
2
n a2
2
2
n En 2 2 ma
2 2
2
n1 2 3
能量是量子化的！
令 E1 得
2
2 2
2 ma
2
基态能量
牛顿力学：质点运动的描述 r , P 2 d r dP 基本方程 F m 2 dt dt 方程的解 r r ( t )
量子力学：微观粒子具有波粒二象性，其运动不能用经典 的坐标、动量等概念来精确描述。
16.4
薛定谔方程及应用
必须寻找反映微观粒子波粒二象性并能描述
其运动方程，这就是薛定谔方程。 薛定谔方程的解称为波函数 ( r t ) ，微观粒子 的运动状态则用波函数来描述。
12
n x 即： ( x ) A sin a
a 2
n1 2 3
a 2 2
2 A a 薛定谔方程的解： ( x ) 2 sin n x n 1 2 3 a a (0 x a ) i Et 2 n sin xe ( x ,t ) a a 2 2 n 2 2 x ( x , t ) ( x ) sin （3）波函数模的平方： a a 13
y( x t ) Ae
2
研究：一维自由运动的粒子
y( x t ) Ae
x i 2 ( t )
例如： 粒子不受外力作用，匀速沿X轴方向运动。
若能量为 E，动量为 P，与运动对应的物质波：
E h h P
则：
( x ,t) 0
i ( Et Px ) e
E n n E 1 能量只能取一些分立值
14
说明：
（1）束缚态的能量是量子化的，是不连续的； （2）基态能量 E 1 （3）能级分布：
2 2
2 ma 2
E n 1 E n ( n 1 )2 n 2 2 n 1 En n2 n2
n 时上式 0
能级间隔与能量值比较，能级近似连续。
1
一、波函数
这里用类比的方法，从物质波理论出发，先建立 波函数，然后再建立薛定谔方程。
y( x t ) ( x t )
经典力学：一维（机械波、电磁波）平面简谐行波：
x y( x t ) A cos 2(t )
也可以用复数形式表示
x i 2 ( t )
波强度 I A2
15
2 n x 2 （4）几率分布 | ( x ) | sin ( ) a a
2
n1
时
E E1
| |2
2 2 x | ( x ) | sin ( ) a a o 2 | | n 2 时 E 4 E1
2
x
a
2 2 2x | ( x ) | sin ( ) o 2 a a | | n 3 时 E 9 E1 2 2 2 3x | ( x ) | sin ( ) a a o
一维自由运动粒子的波函数
i [ Et ( Px x Py y Pz z )]
若是三维自由运动的粒子：
则： ( x y z t ) 0e
2 2 物质波的强度 | | = 0=
3
1. 波函数的物理意义：
对于波函数本身无直接的物理意义。 由于某时刻粒子在空间某位置出现的几率与波的强度成 正比，所以在 t 时刻（x y z）位置的体积元 dV=dxdydz 内出现的几率：dW | |2 dV dW 2 几率密度 | | dV | |2表示某时刻粒子在某一位置单位体积内出现的几率。
等式的左边是时间的函数，右边是空间的函数； 只能等于一个与时间和空间都无关的常数 E。
8
1 d 左边 i f(t ) E f ( t ) dt i
方程的解为： 右边
f (t ) e
E t
E 为系统的能量
2 2 ( r ) U( r ) ( r ) E ( r ) 2m
2. 归一化条件:
由于某一时刻在整个空间内粒子出现的几率是1。
| | dxdydz 1
V
2
4
3. 标准化条件
要使波函数具有意义，则波函数必须满足: 有界 某时刻粒子在某位置出现的几率是有限的不可 能无限大。 单值 某时刻粒子在某位置出现的几率是一定的， 它不能是这个值，又是那个值。 连续 由于粒子出现的几率分布，不可能在某一点 发生突变。
2 i ( x , t ) ( x ,t ) t 2m x 2
7、一维无限深势阱的波函数 0 0 x a V( x ) x 0、x a
d2 dx
( x ) K ( x ) 0 2
2
K
2
2 mE 2
2 2
2 nx n 1 ,2 ,3 ,.... ( x ) sin a a 2 n 8、一维无限深势阱中粒子的能级；E n
②实际意义：金属中的自由电子。
U
（1）U 与t 无关，为定态问题的薛定谔方程：
d 2m11
U
（2）解方程：
令：
2mE 2 k 2
U0
1= 0
通解
3= 0
(0 ) 0 B 0 由波函数的连续性：
( x ) A sinkx
2 | ( x , t ) | ③ 波函数模的平方：
几率密度
10
三. 薛定谔方程的应用（一维无限深势阱）
设:质量为m的粒子,只能在 (0 x a ) 范围内自由运动。 无 1= 0 3= 0 限 U=0（0<x<a） 势 深 能 x U = （其他） a 势 0 阱 ①理想模型：
2 2
E=Ek+U=
三维:
P2/2m+U
一维势场中粒子的薛定谔方程
2 2 2 2 2 2 2 x y z
ˆ 2 U 哈密顿算符 H 2m
2
2 2 U i 2m t
得
ˆ H i t
称为薛定谔方程的一般形式
2
a
x
a 16
x
n
时
E n E1
2
| |
2
2 2 nx | ( x ) | sin ( ) a a
2
o
x
a
粒子的空间分布近似相等
17
例题1： 在一维无限深势阱中，求 n=3 对应ψ(x) 时发现 粒子几率最大的位置？
2 3 2 解： | ( x ) | sin x a a
d 2 2 k 0 2 dx
x a 0 ( x ) A sinkx B coskx
B 0
( a ) A sin ka 0 若： A 0 B 0 ( x ) 0 无意义。
sin ka 0
n k a
ka n
n1 2 3
2ma 2 19
2
| ( x ) |2 最大的位置，发现粒子的几率最大。
3 | si n x | 1 a
2
3 x ( 2k 1) a 2
k0 k 1 k2
a x ( 2k 1) 6
a x0 6
a x1 2
5a x2 6
18
6、一维自由粒子的薛定谔方程 2
P2 E Ek 2m
i 2 2m x t
2 2
一维自由粒子的薛定谔方程
6
(2) 一维势场U(x，t)中运动的非自由粒子的薛定谔方程
i E t
P 2 2 x
2 2
U i 2 2m x t
称为定态薛定谔方程 方程解 ( r ) 称定态波函数，与 t 无关。
薛定谔方程的解可以写成如下的形式：
( r ,t ) ( r ) f ( t )
一维定态薛定谔方程
( r ) e
i E t
d ( x ) 2m 2 ( E U ) ( x ) 0 2 9 dx
7
2 2 2. 定态薛定谔方程 U i 2m t 即势能不随时间改变 U U ( x , y , z ) U ( r ) 则波函数可以分离变量 ( r , t ) ( r ) f ( t )
代入薛定谔方程，并整理可得
1 d 2 1 2 i f (t ) ( r ) U( r ) f ( t ) dt 2m ( r )
2
3. 量子力学处理微观粒子的方法
d 2 ( x ) 2m 2 ( E U ) ( x ) 0 2 dx
① 已知粒子的质量 m 及势能 U(x) 的具体形式, 可建立薛定谔方程。 ② 解薛定谔方程，利用波函数满足的标准条件、归一 确定 求出 化条件 薛定谔方程的解 ( x ) 波函数 ( x , t )