进才中学2011学年期末考试卷

上海市进才中学2011学年第二学期期终考试（时间90分钟，满分100分）高一数学试卷（2012年6月）1．函数()sin cos f x x x =的最小值是 . 2．已知α锐角，3cos 5α=,则sin 2α= . 3．若31sin =x ，且),2(ππ∈x ，用反正弦表示=x .4．函数tan 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是______ ___.5. 在等比数列}{n a 中，4,2152==a a ，则=n a 。

6.若数列{}n a 的前n 项和n S n n +=2，则=n a 。

7．数列{}n a 的前n 项和()21-=n n S n ，则n S 的最小值为 （结果用数值表示）8．已知数列{}n a 是等差数列，且π41371=++a a a ，则=+)(tan 122a a 。

9.数列{}n a 中，121,4,a a ==()12*n n na a n N a ++=∈，则2012a = .10．2222123lim()1111n nn n n n →∞++++=++++ 。

11.设等比数列{}n a 中，，11=a 公比为0>q ，前n 项和n S ，则1lim +∞→n nn S S = 。

12.函数tan y x =的图象是中心对称图形，记在y 轴右边的对称中心按横坐标从小到大的顺序依次记为123,,,,n P P P P ，则点100P 的坐标是 .二、选择题（每小题3分，共12分）13.已知数列1,cos ,2cos 2αα，其中)(*N k k ∈≠πα，这个数列 （ ） )(A 是等差数列，但不是等比数列 )(B 是等比数列，但不是等差数列)(C 既是等差数列，又是等比数列 )(D 既不是等差数列，又不是等比数列 14.函数sin(3)4y x π=-的图象可由x y 3sin =的图象通过平移得到，这个平移可以是（ ）)(A 向右平移4π个单位 )(B 向左平移4π个单位 )(C 向右平移12π个单位 )(D 向左平移12π个单位15.下面四个判断中,正确的是 ( )(A)式子2*1()n k k k n N ++++∈,当1=n 时恒为1(B)式子21*1()n k k k n N -++++∈,当1=n 时恒为k +1(C)式子*1111()12321n N n ++++∈+,当1=n 时恒为31211++ (D)设*111()()1231f n n N n n n =++∈+++,则431331231)()1(++++++=+k k k k f k f 16.他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将它们称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，∙∙∙这样的数称为正方形数．下列四个数中，既是三角形数又是正方形数的是 ( ) （A ）289 （B ）1024 （C ）1225 （D ）1378三、解答题：本大题共5小题，共52分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本题满分8分）已知数列}{n a 的前n 项和)1(23-=n n a S ，n *∈N ． 求证}{n a 是等比数列, 并写出}{n a 的通项公式；18．（本题满分10分）已知数列{}n a 中,a a 21=, 122--=n n a a a a ()*∈≥N n n ,2，写出432,,a a a ，猜想n a 的表达式, 并用数学归纳法证明.19.（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =∙∙∙ 169 4 1 图2∙∙∙ 10 6 3 1 图1（1）求角C 的大小；（2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．20．（本题满分12分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1) 求第n 年初M 的价值n a 的表达式； (2) 设n S 是数列{}n a 的前n 项之和，求20S21．（本题满分12分）设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*N n ∈，n S 是2na 和n a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在集合k m m M 2{==，Z k ∈，且}15001000<≤k 中，是否存在正整数m ，使得不等式210052nn a S >-对一切满足m n >的正整数n 都成立？若存在，则这样的正整数m 共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m 的值；若不存在，请说明理由； （3）请构造一个与数列{}n S 有关的数列{}n u ，使得()n n u u u +++∞→ 21lim 存在，并求出这个极限值．上海市进才中学2011学年第二学期期末考试（时间90分钟，满分100分）高一数学试卷（2012年6月）命题教师 顾梅华 审题教师 李风芝1．函数()sin cos f x x x =的最小值是 .12- 2．已知α锐角，3cos 5α=,则sin 2α= . 3．若31sin =x ，且),2(ππ∈x ，用反正弦表示=x .31arcsin -π 4．函数tan 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是______ .3,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭5. 在等比数列}{n a 中，4,2152==a a ，则=n a 。

32-n 6.若数列{}n a 的前n 项和n S n n +=2，则=n a 。

⎩⎨⎧>+=-)1(12)1(31n n n7．数列{}n a 的前n 项和()21-=n n S n ，则n S 的最小值为 （结果用数值表示）.110-8．已知数列{}n a 是等差数列，且π41371=++a a a ，则=+)(tan 122a a 。

9.数列{}n a 中，121,4,a a ==()12*n n n a a n N a ++=∈，则2012a = .410．2222123lim()1111n n n n n n →∞++++=++++ 。

1211.设等比数列{}n a 中，，11=a 公比为0>q ，前n 项和n S ，则1lim +∞→n n n S S = 。

⎪⎩⎪⎨⎧>≤<11,10,1q qq ，．12.函数tan y x =的图象是中心对称图形，记在y 轴右边的对称中心按横坐标从小到大的顺序依次记为123,,,,n P P P P ，则点100P 的坐标是 . ()50,0π二、选择题（每小题3分，共18分） 13.已知数列1,cos ,2cos 2αα，其中)(*N k k ∈≠πα，这个数列 （ A ） )(A 是等差数列，但不是等比数列 )(B 是等比数列，但不是等差数列)(C 既是等差数列，又是等比数列 )(D 既不是等差数列，又不是等比数列 14.函数sin(3)4y x π=-的图象可由x y 3sin =的图象通过平移得到，这个平移可以是（ C ）)(A 向右平移4π个单位)(B 向左平移4π个单位)(C 向右平移12π个单位)(D 向左平移12π个单位15.下面四个判断中,正确的是 ( C ) (A)式子2*1()n k k k n N ++++∈,当1=n 时恒为1 (B)式子21*1()n k k k n N -++++∈,当1=n 时恒为k +1(C)式子*1111()12321n N n ++++∈+,当1=n 时恒为31211++ (D)设*111()()1231f n n N n n n =++∈+++,则431331231)()1(++++++=+k k k k f k f 16.他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将它们称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，∙∙∙这样的数称为正方形数．下列四个数中，既是三角形数又是正方形数的是 ( C ) （A ）289 （B ）1024 （C ）1225 （D ）1378三、解答题：本大题共5小题，共52分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本题满分8分）已知数列}{n a 的前n 项和)1(23-=n n a S ，n *∈N ． 求证}{n a 是等比数列，并写出}{n a 的通项公式； 证明：因为)1(23-=n n a S ，n *∈N ，所以)1(2311-=++n n a S ． 两式相减，得)(2311n n n n a a S S -=-++，即)(2311n n n a a a -=++，∴n n a a 31=+，n *∈N ．------------------------------------------------4分又)1(2311-=a S ，即)1(2311-=a a ，所以31=a ．∴}{n a 是首项为3，公比为3的等比数列，从而}{n a 的通项公式是n n a 3=，n *∈N ．--------------------------------8分 18．（本题满分10分）已知数列{}n a 中,a a 21=, 122--=n n a a a a ()*∈≥N n n ,2，写出432,,a a a , 猜想n a 的表达式, 并用数学归纳法证明. 解：a a a a a a 45,34,23432===，猜想a nn a n 1+=。

用数学归纳法证明.略∙∙∙ 169 4 1 图2∙∙∙ 10 6 3 1 图119.（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =（1）求角C 的大小；（2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．（II ）由（I ）知3.4B A π=-于是 cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时 2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==20．（本题满分12分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1) 求第n 年初M 的价值n a 的表达式； (2) 设n S 是数列{}n a 的前n 项之和，求20S 解：(1) 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6，因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，n ∈N *，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7，n ∈N *.(2) 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得S 20＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a 20)＝570＋70×34×4×14314⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=768.75万元21．（本题满分12分）设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*N n ∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在集合k m m M 2{==，Z k ∈，且}15001000<≤k 中，是否存在正整数m ，使得不等式210052nn a S >-对一切满足m n >的正整数n 都成立？若存在，则这样的正整数m 共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m 的值；若不存在，请说明理由；（3）请构造一个与数列{}n S 有关的数列{}n u ，使得()n n u u u +++∞→ 21lim 存在，并求出这个极限值．解：（1）由题意得，n n n a a S +=22 ①，当1=n 时，12112a a a +=，解得11=a ，……（1分）当2≥n 时，有12112---+=n n n a a S ②， ①式减去②式得，12122---+-=n n n n n a a a a a于是，1212--+=-n n n n a a a a ，111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a ，……（2分）因为01>+-n n a a ，所以11=--n n a a ，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，……（3分） 所以{}n a 的通项公式为n a n =（*N n ∈）．……（4分）（2）设存在满足条件的正整数m ，则210052)1(2n n n >-+，10052>n，2010>n ，……（6分）又2000{=M ，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}， 所以2010=m ，2012，…，2998均满足条件，它们组成首项为2010，公差为2的等差数列．……（8分）设共有k 个满足条件的正整数，则2998)1(22010=-+k ，解得495=k ．……（10分） 所以，M 中满足条件的正整数m 存在，共有495个，m 的最小值为2010．……（12分）（3）设nn S u 1=，即)1(2+=n n u n ，……（15分），则)1(232221221+++⨯+⨯=+++n n u u u n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111211*********n n n ，其极限存在，且()21112lim lim 21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++∞→∞→n u u u n n n ．……（18分） 注：n n S c u =（c 为非零常数），121+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=n S c n nu （c 为非零常数），1+⋅=n S c n n qu （c 为非零常数，1||0<<q ）等都能使()n n u u u +++∞→ 21lim 存在．。