高考高中数学基础知识归纳和常用公式及结论

高考高中数学基础知识归纳第一部分 集合1、理解集合中元素的意义．．．．．就是解决集合问题的关键:元素就是函数关系中自变量的取值？还就是因变量的取值？还就是曲线上的点？…2 、数形结合．．．．就是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决3、(1) 元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉、(2)德摩根公式: ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I 、(3)A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U注意:讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况、(4)集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空真子集有2n–2个、4.φ就是任何集合的子集,就是任何非空集合的真子集、第二部分 函数1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一、2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元法 ; ⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、 绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(x a 、x sin 、x cos 等);⑨平方法;⑩ 导数法3.复合函数的有关问题:(1)复合函数定义域求法:① 若f(x)的定义域为［a,b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域、(2)复合函数单调性的判定:①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数:内函数)(x g u =与外函数)(u f y =②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性、4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。

5.函数的奇偶性:⑴函数的定义域关于原点对称就是函数具有奇偶性的必要条件．．．．⑵)(x f 就是奇函数)()(x f x f -=-⇔;)(x f 就是偶函数)()(x f x f =-⇔、⑶奇函数)(x f 在0处有定义,则0)0(=f⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性6.函数的单调性:⑴单调性的定义:①)(x f 在区间M 上就是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <;②)(x f 在区间M 上就是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >;⑵单调性的判定:①定义法:一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法注:证明单调性主要用定义法与导数法。

7.函数的周期性:(1)周期性的定义:对定义域内的任意x ,若有)()(x f T x f =+ (其中T 为非零常数),则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。

(2)三角函数的周期:①π2:sin ==T x y ;②π2:cos ==T x y ;③π==T x y :tan ; ④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ;⑤||:tan ωπω==T x y (3)与周期有关的结论: )()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 28.基本初等函数的图像与性质:㈠、⑴指数函数:)1,0(≠>=a a a y x ;⑵对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ;⑶幂函数:αx y = ()R ∈α ;⑷正弦函数:x y sin =;⑸余弦函数:x y cos = ;(6)正切函数:x y tan =;⑺一元二次函数:02=++c bx ax (a ≠0);⑻其它常用函数: ① 正比例函数:)0(≠=k kx y ;②反比例函数:)0(≠=k x k y ;③函数)0(>+=a x a x y ㈡、⑴分数指数幂:mn a =1mn mn a a -=(以上0,,a m n N *>∈,且1n >)、⑵、①b N N a a b =⇔=log ; ②()N M MN a a a log log log +=; ③N M N M a a a log log log -=; ④log log m n a a n b b m=、⑶、对数的换底公式:log log log m a m N N a =、对数恒等式:log a N a N =、 9.二次函数:⑴解析式:①一般式:c bx ax x f ++=2)(;②顶点式:k h x a x f +-=2)()(,),(k h 为顶点;③零点式:))(()(21x x x x a x f --= (a ≠0)、⑵二次函数问题解决需考虑的因素:①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。

二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程就是ab x 2-=,顶点坐标就是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。

10.函数图象:⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法⑵图象变换:① 平移变换:ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=,)0(>a ———左“+”右“－”;ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”;② 对称变换:ⅰ))(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=;ⅱ))(x f y =−→−=0y )(x f y -=; ⅲ) )(x f y =−→−=0x )(x f y -=; ⅳ))(x f y =−−→−=xy ()x f y =; ③ 翻折变换:ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———(去左翻右)y 轴右不动,右向左翻()(x f 在y 左侧图象去掉); ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———(留上翻下)x 轴上不动,下向上翻(|)(x f |在x 下面无图象);11.函数图象(曲线)对称性的证明:(1)证明函数)(x f y =图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性,即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在)(x g y =的图象上,反之亦然。

注:①曲线C 1:f(x,y)=0关于原点(0,0)的对称曲线C 2方程为:f(－x,－y)=0;曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C 2方程为:f(－x, y)=0;曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C 2方程为:f(x, －y)=0;曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C 2方程为:f(y, x)=0②f(a+x)=f(b－x) (x∈R)⇔y=f(x)图像关于直线x=2b a +对称; 特别地:f(a+x)=f(a －x) (x∈R)⇔y=f(x)图像关于直线x=a 对称、③()y f x =的图象关于点(,)a b 对称⇔()()b x a f x a f 2=-++、特别地:()y f x =的图象关于点(,0)a 对称⇔()()x a f x a f --=+、④函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称;函数)(x a f y +=与函数()y f a x =-的图象关于直线0=x 对称。

12.函数零点的求法:⑴直接法(求0)(=x f 的根);⑵图象法;⑶二分法、(4)零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形1.⑴角度制与弧度制的互化:π弧度ο180=,1801π=ο弧度,1弧度ο)180(π='1857ο≈ ⑵弧长公式:R l θ=;扇形面积公式:22121R lR S θ==。

2.三角函数定义:角α终边上任一点(非原点)P ),(y x ,设r OP =||则:,cos ,sin r x r y ==ααxy =αtan 3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦;(简记为“全s t c ”)4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号瞧象限”5.⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴:令2x k πωϕπ+=+,得;Λ=x 对称中心:))(0,(Z k k ∈-ωϕπ; ⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴:令πϕωk x =+,得ωϕπ-=k x ;对称中心:))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ;⑶周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数,且A ≠0)、②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数,且A ≠0)、 6.同角三角函数的基本关系:x x x x x tan cos sin ;1cos sin 22==+ 7.三角函数的单调区间及对称性:⑴sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,单调递减区间为32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦,对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈、 ⑵cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈,单调递减区间为[]2,2k k k Z πππ+∈, 对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈、 ⑶tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πk ()Z k ∈、 8.两角与与差的正弦、余弦、正切公式:①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m 、 ②22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-;22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-、③sin cos a b αα+)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限 决定,tan b aϕ= )、 9.二倍角公式:①αααcos sin 22sin =、2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(升幂公式)、 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==(降幂公式)、 10.正、余弦定理:⑴正弦定理:R Cc B b A a 2sin sin sin === (R 2就是ABC ∆外接圆直径 ) 注:①C B A c b a sin :sin :sin ::=;②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===;③CB A c b aC c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。