经济预测与决策3.3非线性回归分析法

βk k
y β x x x e
β1 β2 0 1 2
对 ln x2 βk ln xk 再采用前述代换的形式建立线性模型。 如：著名的柯布——道格拉斯（Cobb—Douglas）生 产函数就是其中一个典型。
Q AL K e
度量在资本投入保持不变时，劳动投入增加1%时，产 出增加的百分比。
表示规模报酬。
表示规模报酬不变，即1倍的投入带来 1， 倍的产出。 表示规模报酬递减，即1倍的投入带来少 1，
于1倍的产出。
表示规模报酬递增，即1倍的投入带来大 1， 于1倍的产出。
ij 1 ij ij
i=1,2,…, p
δ为一很小的值, δ小到何种程度,根据需要而定. 五、如第四步得的点列不收敛，这时再选一组新的 初始系数值，重新作逐次线性近似估计。
最后，需要说明非线性回归应注意的几个问题 第一，对非线性模型来说：首先，我们不能从回归 残差中得出随机项方差的无偏估计量。其次，由于 非线性模型中的参数估计量同随机项不成线性关系， 所以它们不服从正态分布，其结果使得t检验和F检 验都不适用。 第二，我们用上面的方法得出的样本回归方程，可以 用来预测未来某个时期的因变量值，其计算公式如下：
2、然后对这一线性方程应用OLS法，得出一组新的参 数估计值； 3、使非线性方程在新参数估计值附近线性化，对新 的线性方程再应用OLS法，又得出一组新的参数估
计值；
4、不断重复上述过程，直至参数估计值收敛时为止。
设有模型
y f ( x1, x2 ,, xk ; 1, 2 ,..., p )
（2）在工作文件窗口双击序列C，并在序列窗口中直接 输入参数的初始值（注意序列C中总是保留着刚建立模 型的参数估计值，若不重新设定，系统自动将这些值作
为参数的默认初始值）。
⒉ 估计非线性模型 （1）命令方式 在命令窗口直接键入:NLS 非线性函数表达式 例如，对于非线性模型 Y AK L ，其估计命令格式为 NLS y=c(1)*k^c(2)*L^c(3) 其中， c(1)、c(2)、c(3)表示待估计的三个参数 。回车后，系统会自动给出迭代估计的参 A、 、 数估计值。
非线性化方法
ls Y c(1)* K ^ c(2)* L ^ c(3)
注：用非线性最小二乘法估计参数操作与普通最小二 乘法基本相同，只是方程估计窗口或命令行中，模型 必须以方程的形式出现，没有简化相形式。
新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。
任何一连续函数都可用分段多项式来逼近，所以 在实际问题中，不论变量y与其他变量的关系如 何，在相当宽的范围内我们总可以用多项式来拟 合。
2. 双曲线模型
1 y 0 1 x
令 Z 1 原模型可化为线性形式
x
y 0 1Z
ˆ i ) min Q (yiy
2
的一组参数值。 1、求偏导为零，得未知参数的非线性方程组，一 般用Newton 迭代法求解。 2、直接极小化残差平方和，求出未知参数的非线 性最小二乘估计。
3、将非线性模型转化为线性模型再采用最小二 乘估计。 常用的转化方法：
直接变换法、对数变换法、泰勒级数展开法等
3.3 非线性回归分析法 1 可化为线性的回归模型 2 不可化为线性的回归模型 3 非线性回归应用的几个问题 4 预测实例
学习目标
• 了解：非线性回归模型的一般形式 • 理解：可线性化的非线性回归的形式变换、不可线性化的参 数估计方法。
• 掌握：应用Eviews软件进行非线性趋势预测
1 可化为线性的回归模型
4. 三角函数回归模型
y a b sin x
y a b cos x
令 x sin x 或 x cos x, y y 则
y a bx
这类变换本身不涉及模型参数，其参数估计 就是原模型的参数估计。
二、非线性模型的间接代换（对数变换法） 1. 指数曲线模型
即可利用线性回归分析的方法处理了。
3. 半对数函数模型和双对数函数模型 半对数函数模型
ln y 0 1x
双对数函数模型
y ln x
ln y 0 1 ln x
令 y* ln y x* ln x 原模型可化为线性形式
y* 0 1x*
y f f x1 f , x2 f , ..., xkf ; b1 , b2, ..., bp
这里应该指出，由于已经不再是随机项的线性函 数，因此，已经不具备线性回归中估计值的最佳、线 性、无偏的性质，置信区间也无法构造了。
三、迭代估计法的Eviews软件实现
⒈ 设定代估参数的初始值，可采用以下两种方式： （1）使用param命令。命令格式为param 初始值1 始值2 初始值3 …… 初
对C-D生产函数，我们可以按两种形式设定随机误差项 （1）乘性误差项 Y AK L e （2）加性误差项 Y AK L 乘性误差项，可以线性化 两边取对数 线性形式 线性回归
加性误差项，不可以线性化 用非线性最小二乘法求解
参数估计
线性化方法：
ls log(Y ) c log( K ) log( L)
2 不可转换成线性的趋势模型
一、不可线性化模型
1、不可线性化模型：无论采取什么方式变换都不可 能实现线性化的模型。 2、常用的处理方法：一般采用高斯一牛顿迭代 法进行参数估计，即借助于泰勒级数展开式 进行逐次的线性近似估计。
二、迭代估计法
基本思路是：
1、通过泰勒级数展开使非线性方程在某一组初始参数 估计值附近线性化；
三、模型的比较
1、首先应从经济学角度考虑，因为数据分析的目的 是解释经济现象。所以要重视经济学理论和行为规 律提供的理由。 2、从统计分析角度来比较，最重要是残差分析。如 果残差平方和最小，并且看起来残差最随机，这样的 模型应当选择。
3.4 预测实例
例：柯布——道格拉斯（Cobb—Douglas）生产函数
p p 2
取式右边的前二项，略去 f 展开式第三项及以后 所有项，即高阶项，作非线性模型的线性近似。
y f ( x1 , x2 , , xk ; 10 , 20 ,..., p 0 ) f f i 0 [ ]i 0 i [ ]i 0 i i i 1 i 1
一、非线性回归模型的直接代换 1. 多项式函数模型
2 k y=0 +1x1 +2 x2 +...+k xk
2 k z x , z x , z x 令 1 1 2 2 k k
原模型可化为线性形式
y 0 1z1 2 z2 ... k zk
即可利用线性回归分析的方法处理了。
Y AK L
其中，Y为产出，K(资本)，L(劳动力)为两个投入要素。
A 0为效率系数； , 为K和L的产出弹性。
: 是产出对资本投入的弹性系数。
度量在劳动投入保持不变时，资本投入增加1%时， 产出增加的百分比。
A, , 均为待估参数。
: 是产出对劳动投入的弹性系数。
注：
在非线性最小二乘法中，一些精确的分布式很 难得到的，在大样本时，可以得到近似分布，因此 可以得到近似的参数的区间估计，显著性检验等回 归诊断。
二、确定非线性模型形式的方法
非线性模型的形式复杂多样，如何根据实际的 数据选择合适的模型时建模的关键 1、根据散点图来确定类型 2、根据一定得经济知识背景 如：商品的销售量与广告费用之间的关系。S型曲线
式中，k为自变量的个数，p为参数的个数，f 为 非线性函数。 利用泰勒级数展开式，将模型展开作线性逼近 一、将非线性函数 f 对系数 1 , 2 ,..., p 的给定初始值 10 , 20 ,..., p0 展开为泰勒级数
y f ( x1 , x2 , , xk ; 10 , 20 ,..., p 0 ) f 1 f 2 [ ]bi 0 ( i i 0 ) [ 2 ]i 0 ( i i 0 ) 2 i 1 i i 1 i
p p
对上式利用OLS估计出一组系数 11 , 21 ,..., p1 重复对 11 , 21 ,..., p1 作另一次泰勒级数展开， 得到一新的线性近似，利用OLS估计出一组系数
12 , 22 ,..., p 2
如此反复，得出一点列 1 j , 2 j ,..., pj 使其收敛为止，即满足下述条件
2. 幂函数曲线回归模型
y aX
b
对数变换
ln y ln a b ln x ln
模型变换涉及 参数，估计参 数后要还原。
令 z1 ln y, z2 ln x, 0 ln a, 1 b, ln 原模型可化为线性形式
z1 0 1 z2
（2）菜单方式 在数组窗口，点击Procs→Make Equation，在弹出 的方程描述对话框中，输入非线性函数表达式： y=c(1)*k^c(2)*L^c(3) 选择估计方法为最小二乘法后，点击OK按钮。
3.3
非线性回归应用的几个问题
一、参数估计
非线性回归模型参数估计的基本思想可以类似 于线性估计，也是设法找到使