10-02 平面简谐波的波函数xg
10-02 平面简谐波的波函数
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1)以 A 为坐标原点,写出波动方程 ) 为坐标原点,
A = 3×10 m T = 0.5s = 0
2
2
λ = uT = 10 m
x y = (3 × 10 ) cos(4π t )m 5
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
2)以 B 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道 点的振动方程) ) 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道B点的振动方程 点的振动方程)
( 0 .01cm -1 ) x 2 ] = 2 π
λ = x2 x1 = 200 cm
周期为相位传播一个波长所需的时间 周期为相位传播一个波长所需的时间
π [(2.50s-1 )t1 (0.01cm-1 ) x1 ] = π [(2.50s-1 )t2 (0.01cm-1 ) x2 ]
x2 x1 = λ = 200 cm
第十章 波动
y(x,t) = Acos(ωt kx +)
质元的振动速度, 质元的振动速度,加速度
t x y(x,t) = Acos[2 π( ) +] T λ
角波数
k= 2π
y x v = = ωAsin[ω(t ) +] t u 2 y x 2 a = 2 = ω Acos[ω(t ) +] t u
y = A cos(ω t
O
2π
t=0 x=0
y ω
λ
x +)
π = 2
A
y y = 0, v = >0 t
t x π y = (1 . 0 m) cos[ 2 π ( ) ] 2.0s 2.0 m 2
10-2平面简谐波函数
y
0.1m
t t0
u x
o
y0 0.1cos(t )
解:
ห้องสมุดไป่ตู้
y0 0.1cos(t )
2
t 0
2
y
t 0
y0 0.1 cos[ (t t0 )
0.1m
t t0
2
]
u
t t0
A o
2
o x
x
x y ( x, t ) 0.1cos[ (t t0 ) ] u 2
推广至三维空间
2 2 2
2
——波函数
2
1 2 2 2 2 2 x y z u t
任何物理量 ，不管是力学量、电学量、热 普遍 意义 学量或其它的量，只要它与时间和坐标的关 系满足上述方程，这一物理量就以波的形式 传播，而偏导数 2 t 2的系数的倒数的平 方根就是这种波的传播速度。
u
M
o
x t 0 2
x
x
点P在 t 时刻的位移为
y P A cos[ t 0 2
x
]
沿OX轴正向传播的平面简谐波的波函数
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
沿OX轴负向传播的平面简谐波的波函数
y
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
*§10.2 平面简谐波的波函数
平面简谐波：在均匀、无吸收的介质中，当波 源作简谐振动时，在介质中所形成的平面波。 一、波的表达式（波函数）
数学上如何描述简谐波？？
10-2平面简谐波的波函数
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上P点(坐标x), P点比O点的振
动t 落Δ后t 时刻t 的ux,位P移点，在由t此时得刻的位移是O点在
y A
u
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
y
u
A
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
yo
(t
t)
A cos[ (t
x) u
]
对波动方程的各种形式，应着重从
物理意义上去理解从形式上看：波动是波形的传播.
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
大学物理 §§1100--22 平平面简面谐波简的谐波函波数 的波函数
一 平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间各点 x 的振
动 y 随时间 t 变化的表达式。 y Acos[(t x) ]
u
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
y A
u
P
uu
Acos[(t x ) ( x0 )]
理学u院 物理u系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
例4 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
10-02 平面简谐波的波函数
波程差
∆x21 = x2 − x1
∆ϕ = 2π ∆x
∆ϕ12 = ϕ1 −ϕ2 = 2π
x2 − x1
λ
= 2π
∆x21
λ
λ
9
10– 10 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 均变化， 向的运动情况（行波） 向的运动情况（行波）.
y
O
u
t
t + ∆t 时刻 时刻 p Q
x2 − x1 u= = 250 cm ⋅ s −1 t 2 − t1
19
第十章 波动 10– 10 2 平面简谐波的波函数 轴正方向传播， 例1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A = 1.0m ， = 2 . 0 s ， = 2.0m . 在 t = 0 时坐标 T λ 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 1）波动方程 ） 解 写出波动方程的标准式
Y u=0.08m/s P . 0.02
yo = Acos(ω t +ϕ)
ϕ =− π
2
X
-0.04
λ = 0.04 A = 0.04
1 ∴T = = u 2
u = 0.08
λ
3π x π ) y = 0.04cos[4π (t − ) − ] (m) yP = 0.04cos(4πt − 2 )(m16 0.08 2
13
10– 10 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
讨论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 ）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和 x = 0 点的初相位. 点的初相位
2）平面简谐波的波函数为 y = A cos( Bt − Cx ) ） 为正常数，求波长、波速、 式中 A , B , C 为正常数，求波长、波速、波传播方 的两点间的相位差. 向上相距为 d 的两点间的相位差
简谐波的波函数表达式
简谐波的波函数表达式简谐波的波函数表达式通常可以写作y = A*sin(ωt + φ)，其中A 表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
这个波函数描述了物体在振动过程中随时间变化的位置。
下面我们将从不同的角度来探讨这个波函数的含义和应用。
我们来看一下简谐波的特点。
简谐波的波函数是一个正弦函数，它的形状呈现出周期性变化。
振幅A表示了物体在振动过程中的最大偏离距离，角频率ω决定了振动的快慢，初相位φ则表示了物体在振动开始时的位置。
简谐波的周期T可以通过求解ω的倒数得到，即T = 2π/ω。
简谐波的频率f则是周期的倒数，即f = 1/T。
简谐波的波函数表达式在物理学中有广泛的应用。
首先，它可以用来描述弹簧振子的运动。
当一个弹簧被拉伸或压缩后释放，它会以简谐波的形式振动。
振动的频率和振幅可以通过测量弹簧的物理特性来确定，而简谐波的波函数表达式则可以描述弹簧振子的位置随时间变化的规律。
简谐波的波函数表达式还可以应用于声波的描述。
声波是一种机械波，它的传播需要介质的存在。
声波的传播速度和频率决定了声音的音调和音量。
简谐波的波函数表达式可以用来描述声波在空间中的传播和传播过程中的能量变化。
除此之外，简谐波的波函数表达式还可以应用于电磁波的描述。
电磁波是由电场和磁场相互作用产生的波动现象。
电磁波的传播速度是光速，频率则决定了电磁波的能量和颜色。
简谐波的波函数表达式可以用来描述电磁波在空间中的传播和传播过程中的振幅变化。
简谐波的波函数表达式还可以应用于振动系统的分析和设计。
在工程领域，振动系统的设计是一个重要的课题。
通过对简谐波的波函数表达式进行分析，可以确定振动系统的特性和参数，从而实现对振动系统的优化设计。
简谐波的波函数表达式是物理学中的一个重要工具，它可以用来描述物体在振动过程中的特点和行为。
简谐波的波函数表达式在弹簧振子、声波、电磁波以及振动系统的分析和设计等领域都有广泛的应用。
通过对简谐波的波函数表达式的研究和应用，我们可以更好地理解和掌握振动现象的规律，为实际应用提供有力的支撑。
10-2-平面简谐波的波函数
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1
第五版
为坐标原点， (1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程 )
A = 3 ×10−2 m T = 0.5 s ϕ = 0
λ = uT = 10 m
t x y = A cos[ 2π ( − ) + ϕ ] T λ t x −2 y = (3 × 10 m ) cos 2 π ( − ) 0 .5 s 10 m
λ = 10 m
xC − xD
λ
− 22 = −2π = 4.4π 10
9m
u
8m C B 5m
λ = 10 m
波沿 x 轴正向传播
第十章 波动
14
物理学
1010-2 平面简谐波的波函数
第五版
轴正方向传播， 例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A = 1.0 m， = 2 .0 s， = 2.0 m. 在 t = 0 T λ 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 ( )波动方程； ) 波形图； 运动. 运动 求： 1)波动方程；(2)t = 1 . 0 s波形图； (3) x = 0.5 m 处质点的振动规律并作图 处质点的振动规律并作图. ) 解 (1) 写出波动方程的标准式 )
1010-2 平面简谐波的波函数
第五版
点 D 的相位落后于点 A AD −2 ] y D = (3 ×10 m)cos[(4πt ) − 2π λ 9 −2 = (3 × 10 m ) cos[( 4 π t ) − π ] 5
λ = 10 m
u y A = (3 × 10 m ) cos(= 10sm )t λ 4π 8m 5m 9m
物理学
10-02 平面简谐波的波函数1
1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 x 0 点的初相位.
x x ) y A cos(Bt Cx) y A cos (t ) A cos B(t u B/C B 2π 2π d u =B T 2 π dC B C C
式中 A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方 向上相距为 d 的两点间的相位差.
波 函 数
x y A cos[ (t ) ] u 沿 x 轴正向 u
x y A cos[ (t ) ] u 沿x 轴负向 u
§10-2 平面简谐波的波函数 波函数的其它形式
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ y( x, t ) A cos(t kx )
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2π x
y
O
t
则 y A cost
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
§10-2 平面简谐波的波函数
波线上各点的简谐运动图
§10-2 平面简谐波的波函数
A 解： 由A点振动方向得出C的方向为x正 方向 =2/T=(rad· s-1), =40m, u= /T=20(m· s-1) (1) A点： (t- x/u)+ = (0.5-20/20)+ = –/2 = 0 所以O点振动方程为 y = 0.1cos ( t ) m
质点的振动速度，加速度
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
2π 角波数 k
10-2 平面简谐波的波函数
1010-2 平面简谐波的波函数
波线上各 点的简谐 运动图
5
2πx y = Acosωt − +ϕ λ
1010-2 平面简谐波的波函数
2 t 一定 x变化 变化 表示t时刻波上各质点的位移 时刻波上各质点的位移, 时刻的波形（ 曲线 曲线） 表示 时刻波上各质点的位移 即t时刻的波形（y-x曲线） 时刻的波形 y o x
−2
D为原点的波动方程为 为原点的波动方程为
x 9π π 9 −2 yDW = 3×10 cos[4 π(t − ) − ] = 3×10 cos(4 πt − x − π) 20 5 5 5
−2
λ = 10 m
u y A = (3 × 10 m ) cos(= 10sm )t λ 4π 8m 5m 9m
y
3 4 1.0
y/m
3 *
4 2 * 1.0 * 2.0 * t / s 0 O 2 * -1.0*1 1 ω x = 0 .5 m 处质点的振动曲线
10
1010-2 平面简谐波的波函数 沿直线传播， 例2 一平面简谐波以速度 u = 20 m⋅ s-1 沿直线传播， 波线上点 A 的简谐运动方 程 yA = 3×10−2 cos(4 πt)
18
1010-2 平面简谐波的波函数
y1 = Acos(100πt −15.5π ) y2 = Acos(100πt −5.5π )
Qt = 0, x = 0 y = 0 v > 0
π ∴ϕ = − 2 t x π y = cos[2π( − ) − ] (m ) 2.0 2.0 2
O
v A
y ω
8
1010-2 平面简谐波的波函数 (2)求t=1.0 s 波形图 )
波函数
A
y
O
u
P x
x
A
第十章 波动
11
物理学
第五版
10-6
多普勒效应
故P点的振动方程（波动方程）为：
x y yo (t t ) A cos[ (t ) ] u
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播.
(3) x 0.5 m 处质点的振动规律并作图. 解 (1) 写出波动方程的标准式 t x y A cos[ 2π ( ) ] T
第十章 波动
13
物理学
第五版
10-6
多普勒效应
t x y A cos[ 2π ( ) ] T
t 0 x0
π y y 0, v 0 2 t t x π y cos[ 2 π ( ) ] (m) 2.0 2.0 2
2 1
2
1
AC
]
410 πs u y A (3 10 m) cos( m )t 8m 5m 9m
C B
2
1
oA
D
x
20
第十章 波动
物理学
第五版
10-6
多普勒效应
点 D 的相位落后于点 A
AD y D (3 10 m)cos[4 s ]t 2 λ 9 2 1 (3 10 m) cos[( 4 π s )t π] 5
y
o
第十章 波动
x
9
物理学
第五版
10-6
多普勒效应
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
平面简谐波的波函数
解 确定坐标原点的 Y
振动初相0
A
由图知：t=0时， A/2
u=100m /s
x=0处的质点位于
0
1
X(
A/2处 且向位移正方向运动
-A
m)
由图知：t=0时， x=1m处的质点位于平 衡位置处且向位移负方
向运动
第十章 波动
21
物理学
第五版
0
π 3
,
2.4m,
u 100(m/s)
T /u 0.024s
在 理学
第五版
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以 p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第十章 波动
6
物理学
第五版
波函数的几种常用形式
第十章 波动
7
物理学
第五版
演示实验安排
周三 第3节 7班 第4节 8班
第十章 波动
8
物理学
第五版
二 波函数的物理含义
1 x一定，t变化
解
确定坐标原点的振动初相0
由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
第十章 波动
18
物第理五例版学 4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播. 图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方 程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0
t/s
t=5s时质点第一次回到平
第十章 波动
28
物理学
第五版
(1/4) 2A2
o
EP Ek
Y
WpWk x = x0
Tt
y
第十章 波动
t
10-2 平面简谐波的波函数
u
A
9m D
O(B )
x
x xA x A 5m y A cos[ ( t ) ] u x5 2 y ( 3 10 ) cos[4 π(t )] 20
y (3 10 ) cos(4πt 0.2π x π)
第十章 波动
19
2
物理学
第五版
介质中所有质点的振动方程
任一波面上任一质点振动方程通式
任一波线上任一质点振动方程式的通式
2、过程
条件： A、波源在坐标原点，X轴与某一波线重合； B、波是沿着X轴正向传播，传播速度为 u；
C、波源的振动方程为 y=A cos ωt； D、波源相对于介质静止。
第十章 波动
2
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
10-2 平面简谐波的波函数 k=1,2,…
x0 0 ) u
＝2k, T反映了波动的时间周期性
y 0
x =x 0
T
t
第十章
波动
7
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数 2. 如果给定t，即t=t0
相当于对某波动过程照相后的相片，这时
x x y A cos[ ( t0 ) 0 ] A cos( t0 0 ) u u
π a 2
第十章
O
A 0 b y
π c 2
23
O
A
y
波动 A
O
y
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
10-1 10-2 机械波的几个概念 平面简谐波的波函数
10-3 波的能量 能流密度 10-4 10-5 惠更斯原理 驻波 波的衍射和干涉
平面简谐波的波动方程三种形式
一、平面简谐波的概念平面简谐波是一种特殊的波动现象，它具有特定的波动方程和波动特性。
简谐波的振幅随时间以正弦或余弦函数变化，具有周期性和频率性，是物理学中常见的一种波动形式。
二、平面简谐波的波动方程1. 时间域的波动方程在时间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
2. 空间域的波动方程在空间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
3. 复数形式的波动方程在复数形式下，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi) = \Re(Ae^{i(kx - \omega t + \phi)})\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
三、不同形式的波动方程之间的关系1. 时间域的波动方程和空间域的波动方程时间域的波动方程和空间域的波动方程在形式上是相似的，都可以表示为简谐波的位移随时间和空间的变化而发生正弦或余弦函数的周期性振荡。
它们之间通过变量的不同而具有不同的物理意义，但是描述的是同一种波动现象。
2. 复数形式的波动方程和实数形式的波动方程在复数形式下，简谐波的波动方程可以更加简洁地描述，通过复数的指数函数形式可以很方便地进行波动的运算和分析。
复数形式的波动方程和实数形式的波动方程是等价的，可以相互转化，但在不同的数学和物理背景下有着不同的应用优势。
四、平面简谐波的应用领域平面简谐波作为一种特殊的波动形式，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
它在声学、光学、电磁学、机械振动、信号传输等方面有着重要的应用价值，可以用来描述和分析各种复杂的波动现象。
平面简谐波的波函数
y(0) Acos[t0 0 ] y
t=t0
2
( x2
x1 )
0
x
反映了波动的空间周期性 6
例题: P86 4.3.9
解：（1）该波函数为
y Acos(Bt Cx)
而波函数的一般形式为
y
A c os [ (t
x u
)
0
)]
Acos(t
2
x 0)
比较两式可得
振幅为 A
而 B 2 C 所以
周期为 T 2 2 B
频率为
1 T
B
2
波长为 2
C
波速为 u B
TC 7
（2）由波函数 y Acos(Bt Cx) 可得
传播方向上距离波源为 l 处一点的振动方程为
y Acos( Bt Cl )
（3）相距为 d 的两点的波动方程分别为
y1 Acos( Bt Cx ) y2 Acos( Bt Cx Cd )
y(t)
Acos[(t
x0 u
)
0
]
Acos[t 2
x0
0 ]
令
2
x0
0
则
y(t) Acos(t ) ——x0处质点的振动方程
y(x，t) → y(t)
3
y(t) Acos(t ) ——x0处质点的振动方程
x0处的质点，两个时刻的振动相位差
t2
t1
2
t2 t1 T
若 t2-t1=kT, k=1,2,…
练习: P87 4.3.12
相距为 d 的两点的相位差为
Cd
8
0
)
令 t0 0 则y(x)源自A c os (x u
10-02 平面简谐波的波函数(26)
t x y = A cos[ 2π ( − ) + ϕ ] T λ
(1)
10 – 2 平面简谐波的波函数 确定初相角： 确定初相角：∵t
第十章 波动
=0 x=0
O
∂y y = 0, v = >0 ∂t
π ∴ϕ = − 2
A
(2)
y ω
于是有： 于是有： (3)
10 – 2 平面简谐波的波函数 2.求 t = 1 . 0 s 波形图； 求 波形图； 由(3)式令 t = 1 . 0 s 式令
x = 0 .5 m 处质点的振动规律并做图 ； t x π y = (1.0m)cos[2 π( − )− ] 2.0s 2.0m 2 x = 0 .5 m 处质点的振动方程： 处质点的振动方程：
于是有： 于是有：
3 4
O
y = (1.0m) cos[(π s )t − π ]
y
1.0 2 0 -1.0*1 2 *
x x ∆ ϕ = −ω = − 2 π u λ
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
波线上各点的简谐运动图
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
2.令 t 一定：波函数 令 一定：波函数y=y(x)，描述 t 时刻距原点 ， 不同处x 轴上所有质点谐振动的位移分布情况。 不同处 轴上所有质点谐振动的位移分布情况。 时刻波线上各质点相对其平衡位置的位移， 表示 t 时刻波线上各质点相对其平衡位置的位移， 即此刻的波形图： 即此刻的波形图：
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
思路：首先导出简谐波的波函数，然后详细讨论； 思路：首先导出简谐波的波函数，然后详细讨论； 简谐波的波函数 注意导出过程： 解决此类问题的一种途径 解决此类问题的一种途径； 注意导出过程：1.解决此类问题的一种途径； 导出过程 2.有益于波动问题的理解； 有益于波动问题的理解； 有益于波动问题的理解 一.平面简谐波的波函数 平面简谐波的波函数 1.简谐波：谐振动在介质中传播形成的波；是最简单、 简谐波： 简谐波 谐振动在介质中传播形成的波；是最简单、 最基本的波动； 最基本的波动；复杂波动可由不同频率的简谐波叠加 而成； 而成； 2.波函数： 波函数： 波函数 设简谐波以速度u 沿x轴正 向传播， 轴表示 向传播，y轴表示x 轴上各 质点的振动位移； 质点的振动位移；
高二物理竞赛平面简谐波的波函数课件
平面简谐波的波函数（波动方程）
平面波: 波面是平面(一维、能量不损失 理想波)
简谐波: 各点均作相同频率的简谐振动
波函数：介质中任一质点
y
（坐标为x）相对其平衡位
u
置的位移（坐标为y）随时
P
x
间的变化关系，即 y( x, t ) O x
y y(x, t)
各质点相对平 衡位置的位移
o ]
y
Acos[2π( t T
x
)
o
]
沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波函数
例.平面简谐波沿x传播，波长为，若A处质点的
振动方程为y=Acos(t+ 0 )，则B 处质点的振动方
程为
。(坐标分别为xA,
解: B 比 A 相位落后:
2
x x
B
A
x x
B
A
u
y( x , t) Acos[ t 2 ( x x )]
B
0
B
A
讨论 1.波的表达式的物理意义
设
y
y( x, t )
A cos(ω t
kx
φo )（, k
2π
波数）
•①当坐标确定x= x0，表达式变成 y～t 关系
y( x0 , t) Acos(ωt kx0 φo ) —x0 点谐振动方程
•②当时刻 t 确定t = t0，表达式变成 y～x关系
y( x, t0 ) Acos(ωt0 kx φo ) —t0时刻的波形方程
2）以距a点5cm处的b点为坐标原点，写
出波动表达式。
u
y
Acos[
(t
x) u
o
]
b
大学物理(10.2.2)--平面简谐波的波函数
第二讲 平面简谐波的波函数例：横波波形y x uA A -O Px如图，向x 轴正向传播的一列平面简谐波某时刻的波形P 点振动落后于O 点振动，落后的时间为 P 点振动落后于O点振动，落后的位相为x P λπϕϕϕ2O =-=∆ux t t t P =-=∆O()ϕω+=t A y O cos y x uA A -O PxO 点作简谐振动，振动方程为 P 点也作简谐振动，振动方程为()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-=φu x t ωA φt t ωA t t y y O P cos Δcos )Δ( 或者为[]⎤⎡-+=∆-+=x φωt A φωt A y P πϕ2cos cos由于P 为波传播方向上任一点，因此上述方程能描述波传播方向上任一点的振动，具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波函数，又称波动方程。
利用 和 ，可以证明上述两个方程是完全一样的。
νT π2π2==ωuT =λ波函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-=x t A u x t A y λπϕωϕω2cos ])(cos[质元的振动速度，加速度])(sin[ϕωω+--=∂∂=ux t A t y v y ux t A t y a 2222-])(cos[ωϕωω=+--=∂∂=二 波函数的物理含义（波具有时间的周期),(),(T t x y t x y +=()ϕω'+=t A y cos 则ϕλϕ+-='x π2令⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ϕλωx t A y π2cos O y t1 一定， 变化x t 表示 点处质点的振动方程（ 的关系）ty —x波线上各点的简谐运动图C t =+=''ϕωϕ令（定值）⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+-=ϕλx A y π2cos 则 y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=λϕωx t A y π2cos 2 一定 变化x t 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点的位移, 即 t 时刻的波形（ y-x 的关系）方程表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的波形，体现了波的传播.y xuO 3 、 都变x t()ϕω+=t A yOcos y xuAA -OPx如图，设O 点振动方程为u xt =Δ P 点振动比O 点超前了 ,4 沿 轴方向传播的波动方程 x-从形式上看：波动是波形的传播.从实质上看：波动是振动的传播. 故 P 点的振动方程（波动方程）为：])(cos[)(ϕω++=∆+=uxt A t t y y o 同样也可以表示为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x t A y λπϕω2cos例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A=1.0m ,T=2.0s, λ=2.0m. 在t=0 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向运动. 求 ： (1)波动方程； (2) t=1.0s 时的波形图；（3）x=0.5m 处质点的振动规律并作图解 (1) 写出波动方程的标准式])(π2cos[ϕλ+-=xT t A y2π-=ϕ0,0>∂∂==t y y v 0==x t ])(π2cos[ϕλ+-=xT t A y yωAO]2π)0.20.2(π2cos[--=x t y (m)利用初始条件，(2)求 波形图s0.1=t ]π2πcos[0.1x y -=波形方程s0.1=t 0m/y m/x 2.01.0-1.0时刻波形图s0.1=t ]2π)0.20.2(π2cos[0.1--=x t y x πsin =(m)由(3) 处质点的振动规律并作图 m5.0=x ]2π)0.20.2(π2cos[)0.1(--=x t y 处质点的振动方程m 5.0=x ]πcos[π-=t y (m)0m/y 1.0-1.0s /t 2.0O yω******123412341.0由得例2 一平面简谐波以速度u=20m · s -1沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程是y=3 × 10-2cos(4πt), (y, t 的单位分别是m ，s ）求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程；(2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；(3)求传播方向上点C 、D 的简谐运动方程；(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差.uAB CD5 m9 mxo 8 m(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程m10==uT λm1032-⨯=A s5.0=T 0=ϕ)105.0(π2cos 1032x t y -⨯=-])(π2cos[ϕλ+-=xT t A y uAB CD5 m9 mxo 8 m 利用得πλϕϕ==-BA AB x x -π2]ππ4cos[1032+⨯=-t y B ]π)105.0(π2cos[1032+-⨯=-xt y (2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程uABCD5 m9 m xo 8 m B 点的振动比 A 点超前，所以，φB =π。
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第十章 波动
重点
10–2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
一 平面简谐波的波函数 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) 称 为波函数.
y y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
x d y A cos[ ( t ) ] u u
10–2 平面简谐波的波函数 例5
第十章 波动
方法二：
10–2 平面简谐波的波函数 例5
第十章 波动
1)以a为坐标原点 的波动方程为 2)以b为坐标原点 的波动方程为
ya波 yb波
x A cos[ ( t )] u
x d A cos[ ( t ) ] u u
10–2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
例6 一平面简谐波以速度u 20m / s 沿直线传播,波 2 1 线上点 A 的简谐运动方程 y A (3 10 m) cos( 4 π s )t .
8m C B 5m
u
oA
9m D
x
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
2
A 3 10 m T 0.5s 0 x y A cos[ ( t ) ] u x 2 y ( 3 10 m ) cos 4π( t ) 20m/s
x
P
*
yO A cos t
A
x
yO A cos t
点O 的振动状态
P点相位比O点落后
P点的振动方程为 yP 点P 振动方程
A cos(t ) 2x y P A cos( t )
10–2 平面简谐波的波函数 波函数 波函数其它形式
第十章 波动
-1
2 2 T s 0.8 s 2.50
uT 250cm s 0.8s 200cm
-1
第十章 波动 10–2 平面简谐波的波函数 例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A 1.0m ， T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 1）波动方程 解 写出波动方程的标准式
2
10–2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
二
波函数的物理意义
x t x y A cos[ (t ) ] A cos[ 2 π( ) ] u T
1 当 x 固定时， 波函数表示距原点x处质点的 简谐运动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
PO
x ( t x) - ( t ) 2 π λ
2 4 T
10–2 平面简谐波的波函数 2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
2
第十章 波动
1
y A (3 10 m) cos(4 π s )t
8m Cx
BA 5m 2 2 2 u T 20 m / s 0.5s π yB (3102 m) cos[(4π s1 )t π ] x 2 y ( 3 10 m ) cos[ 4π( t ) ] 20m/s
第十章 波动
t x π y (1.0m) cos[ 2 π( ) ] 2.0s 2.0m 2 π 1 t 1.0s y (1.0m) cos[ (π m ) x] 2 波形方程
(1.0m) sin( π m ) x
1
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
10–2 平面简谐波的波函数 y 3 ） 如图简谐波 t =0 A 以余弦函数表示， 求 O、a、b、c 各 a O 点振动初相位.
第十章 波动
3 *
1
1.0
4 *
2.0
*
*
t /s
x 0.5 m 处质点的振动曲线
10–2 平面简谐波的波函数 例3
第十章 波动
例
10–2 平面简谐波的波函数 例4
第十章 波动
例
10–2 平面简谐波的波函数 例4
第十章 波动
10–2 平面简谐波的波函数 例5
第十章 波动
方法一：先求出b点的振动表达式，然后再用“替代 法”或者“插入法”求波动表达式。 求b点的振动表达式也有两法：1)先求出b点比a点超前 的部分相位 ，然后b点的振动表达式为 yb Acos( t ) 2)先b点比a点早振动的时间t1，然后 yb Acos[( t t1 )] 变量替代法：用 t-x/u 替代振动公式里面的 t x 2 π 插入法：在振动公式cos后面插入 λ
x2 x1 x21 12 1 2 2 π 2π
x1 t x1 1 (t ) 2 π ( ) u T x2 t x2 2 (t ) 2 π ( ) u T
距离波源 x1 和 x2 处的相位分别为： 波程差
上面两个波动方程描述的同一列波，是等价的 因为用两个波动方程，求解距离a点右边u处的p点的振 动方程，得到的结果都是 y p振动 A cos[( t 1 )]
10–2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
小结：以某点为原点求波动表达式的思路 1）若已知该点的振动表达式，直接用“变量替代法” 或者“插入法”求波动表达式。 2）若未知，先求出b点的振动表达式，然后再用 “替代法”或者“插入法”求波动表达式。
x y A cos[ ( t ) ] u
O
A
y
t 0 x0
求初相位的两 种方法： y 1)解析法： 2) y 0, v 0 旋转矢量法 t
π 2
t x π y ( 1.0m) cos[ 2 π( ) ] 2.0s 2.0m 2
10–2 平面简谐波的波函数 2）求 t 1.0s 波形图.
x21 x2 x1
2π x
10–2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 向的运动情况（行波）.
y y
O
u
t
时刻
t t 时刻
x
x x
x y A cos ( t ) ( t , x ) ( t t , x x ) u x x x ( t ) ( t t ) x ut 相速 u
1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 x 0 点的初相位.
x y A cos ( t ) y A cos(Bt Cx) u B 2π 2π d u uT BT 2 π dC C C B
式中 A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方 向上相距为 d 的两点间的相位差.
点O 的振动状态
t-x/u时刻点O 的运动
点P 振动方程
x y P A cos (t ) u
x t u
点P
t 时刻点 P 的运动
10–2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
以速度u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波 . 令 原点O 的初相为 零，其振动方程 相位推 迟方法
y A
O
u
B 点的初相位比 A 点早，具体是
BA
10–2 平面简谐波的波函数
2
第十章 波动
1
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u
C
y A (3 10 m) cos( 4 π s )t 10m 8m 5m 9m
B
2
oA
1
D
x
点 C 的相位比点 A 超前
AC yC ( 3 10 m ) cos[ 4 π s ( t )] u 13 2 1 ( 3 10 m ) cos[( 4 π s )t π ] 5
平面简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波 源作简谐运动时，在介质中所形成的波.
10–2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
以速度u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波 . 令 原点O 的初相为 零，其振动方程 时间推 迟方法
y A
O
u
x
P
*
yO A cos t
A
x
yO A cos t
10–2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
考虑到一般情况O点的初相位不等于零。 1）波沿x轴正向传播，波函数为：
x y A cos[ (t ) ] u t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ y( x, t ) A cos(t kx )
u u
10–2 平面简谐波的波函数
-1
第十章 波动
-1
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s )t (0.01cm ) x].
解：（比较系数法）.
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
比较得
1 -1 250 cm s 2.50 s 0.01cm u -1 0.01cm u
2
10–2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
波线上各点的简谐运动图
10–2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点 相对其平衡位置的位移，即 t 时刻的波形图.
x t x y A cos[ (t ) ] A cos[ 2 π( ) ] u T
8m 5m
2