2017年高考真题——理科数学(福建卷)解析版

2017年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（理工农医类）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一．选择题
1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D
【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．
3．双曲线2
214
x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A ．
25 B ．4
5
C
D
【答案】C
【解析】 22
14x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204
x y -=，即20x y ±=．带入点
到直线距离公式
d =
． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480
C ．450
D ．120
【答案】B
【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道
(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=
故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．
5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）
A ．14
B ．13
C ．12
D ．10 【答案】B
【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论
①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对
②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．
(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．
6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）
A ．计算数列{}
12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{
}
21n -的前9项和
【答案】C
【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==< …．．第九循环：9
21,10,10S i i =-==．第十循环：10
21,11,10S i i =-=>，输出S ．
根据选项，101(12)12
S -=-，故为数列1
2n -的前10项和．故答案A ．
7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）
A B ． C ．5 D ．10
【答案】C
【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=
11
(****)(*)22
AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出
，则算出S=5．故答案C
8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤
B ．0x -是()f x -的极小值点
C ．0x -是()f x -的极小值点
D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D
【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点． B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是
()f x -的极大值点
C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是
()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．
D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确
9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++
*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）
A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m
q B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2m
q C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为m
m q
【答案】C
【解析】等比数列{}n a 的公比为q,
同理可得
22
22222,m m m m
m m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,
m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，
2221212211212............m
m m m m m m m m m
a a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：
(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个
集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
A ．*
,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D
【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；
令5
5(13)
()22
8
(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2
f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．
二．填空题
11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“
310a ->”发生的概率为________ 【答案】
23
【解析】
13103
a a ->∴>
a 产生0~1之间的均匀随机数1
(,1)3
a ∴
∈1
123
13p -
∴==
12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如
图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________
【答案】12π
【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个
棱长为2的
正方体，
2412R S R ππ∴====球表
13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin 3BAC AB AD ∠=
==
则BD 的长为_______________
【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=
∴根据余弦定理可得222
cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=
∙
BD ==
14．椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线
)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于
__________
1
【解析】由直线方程)y x c =
+⇒直线与x 轴的夹角1223
3
MF F π
π
∠=
或
，且过点
1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴
122123
MF F MF F π
∠=∠=
即
12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得
21
c a c a =∴==-
15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x
+++++=
- 两边同时积分得：
111112
222220
00
1
1.......1n
dx xdx x dx x dx dx x
+++++=-⎰
⎰⎰⎰⎰
从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212
n n +⨯
+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：
122311111111()()...()_____2223212
n
n n n n n
n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+
【答案】
113
[()1]12
n n +-+ 【解析】由01221......(1)n n
n n n n n C C x C x C x x +++++=+
两边同时积分得：
1
11112
222220
00
1......(1).n
n n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰
⎰⎰⎰⎰
从而得到如下等式：
122311*********()()...()[()1]222321212
n n n n n n n
n n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题
16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方
案甲的中奖率为
23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为2
5
，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭
分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；
（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？
本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能
力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为
23，小红中奖的概率为2
5
，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，
224(5)3515==
⨯=P X ，11
()1(5)15
∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为
11
15
． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X
由已知：12
~(2,)3X B ，22~(2,)5
X B
124()233∴=⨯
=E X ，224()255
=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212
(3)3()5==E X E X
12(2)(3)>E X E X
∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．
17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．
本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方
程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-
a f x x
． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2
()1(0)'=-
>f x x x
， (1)1,(1)1'∴==-f f ，
()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，
即20+-=x y ．
（Ⅱ）由()1,0-'=-
=>a x a f x x x x
可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；
(0,)∈x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x
()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．
综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值
当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．
18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，
点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和
129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．
（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；
（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为
4:1，求直线l 的方程．
本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，过*
(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i
(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10
=
i
y x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩
x i
i y x 得：2110=y x ，即2
10=x y ，
∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y
（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx
由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y
得2
101000--=x kx 此时2
100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N
设：1122(,)(,)M x y N x y ，则1212
10100+=⎧⎨⋅=-⎩x x k
x x
4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x
又
120⋅<x x ，∴124=-x x
分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y
，解得3
2=±k
直线l 的方程为3
+102
=±
y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y
19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，
//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．
（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面
（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为
6
7
，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱
柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出
()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）
本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE
//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==
在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q
222BE CE BC ∴+=
90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥ 1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，
CD ∴⊥平面11ADD A
（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur
的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标
系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k
所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r
设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由10
0AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r
得460
30kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩
取2y =，得(3,2,6)n k =-
设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||
AA n
AA n AA n θ=〈〉=⋅uuu r
uuu r uuu r
6
7
=
=
，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案
2
257226,018
()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨
⎪+>
⎪⎩
20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的
一个对称中心为(
,0)4
π
，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐
标不变），在将所得图像向右平移
2
π
个单位长度后得到函数()g x 的图像．
（1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(
,)64
x ππ
∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存
在，请确定0x 的个数； 若不存在，说明理由．
（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2017个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4
π
，(0,)ϕπ∈
故()sin(2)04
4
f ππ
ϕ=⨯
+=，得2
π
ϕ=
，所以()cos 2f x x =
将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π
个单位长度后得到函数()sin g x x =
（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<10cos 22
x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>
问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(
,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64
x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ
内单调递增
又1()064
G π
=-<，()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(
,)64ππ内存在唯一零点0x ， 即存在唯一的0(,)64
x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=
当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x a x =-
，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin x h x x
=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况
22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32
x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表
当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞
当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞
当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞
当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞
故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=
综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点
21．（本题满分14分）
（1）（本小题满分7分）矩阵与变换
已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；
（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，求点p 的坐标． 本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．
解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''
由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩
又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=
依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11
a b =⎧⎨=-⎩ （Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩
解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x =
故点P 的坐标为(1,0)
（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的
极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4
a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩
，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系． 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．
解：
（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a π
ρθ-=
上，可得a = 所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=
从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=
（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22
(1)1x y -+=
所以圆心为(1,0)，半径1r =
以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*
2()x a a N -<∈的解集为A ，且
32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；
（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．
本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．
解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122
a -≥ 解得1322
a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=
当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。