大学物理Ⅰ动量矩和动量矩守恒定律

5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
力的时间累积效应 冲量、动动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的动量矩定理和动量矩守恒定律
质点运动状态的描述
p
刚体定轴转动运动状态的描述
0, p 0
LmvJ0E,kpEkm0vJ222
2
pi
p j
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
3.光滑水平面有一静止的细杆,在其动两端施加一对大
小相等,方向相反的力,细杆运动中其动量是否守恒?
对中心的角动量是否守恒?动能是否守恒?
F
动量守恒,角动量
F
O
不守恒,动能不守
恒.
4.均匀细杆可绕杆的一端其垂直于杆的水平轴无摩擦转动.若
细杆竖直悬挂,现有一弹性小球水平飞来与细杆发生完全非弹
mgS 0 1 mv 2 S v2
2
2g
S 3M 2l
2(3m M )2
解:弹性碰撞E守恒,且L守恒
mvo
l 2
mv
l 2
J
1 J Ml 2
12
1 2
mv
2 o
1 2
mv 2
1 2
J 2
v (3m M )vo (3m m)
m,vo l
12mvo (3m M ) g
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
例3.长为l质量为M的均匀直杆一端动悬挂并可绕其
顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度
。已知棒长为l,质量为M.
解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹
有: fdt
m(v
v0 )
3 4
mv0
子弹对棒的反作用力对棒的冲量
M l
矩为：
f ldt l f dt J
v0
mv
ff
3mv0l 9mv0 这里J 1 Ml 2
4J 4Ml
1 质点的动量矩
v 质量为 m的质点以速度 在 空间运动，某时刻相对原点 O 的位
r 矢为 ，质点相对于原点o的动量
矩（角动量）
Lo r p r mv
大小： Lo L rmvsin
方向：符合右手螺旋定则.
r 思考：质点以角速度 作半径为
的圆运动，相对圆心的角动量
Lo mr 2 J
3
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
系统的角动量守
恒:
mvol
mvl
1 3
Ml
2
v vo 4
第五章 刚体的定轴转 动
9mvo 4Ml
例2.长为l质量为M的均匀直杆在光滑水平面上可绕通过其 中心且垂直水平面的竖直轴转动,质量为m的小球以vo水平 冲击杆的一端,发生弹性碰撞后小球的v =?,杆的ω=?
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
t
动
t0 M zdt (J z)t (J z)t0
t
冲量矩 M t0 z dt
定轴转动刚体的动量矩在某一时间间隔内的增量，
等于同一时间间隔内作用在刚体上的冲量矩。——积分形 式的动量定理
3.非刚体定轴转动的动量矩定理
t2
t1
Mdt
J 22
J11
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
有许多现象都可以 用角动量守恒来说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
第五章 刚体的定轴转 动
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
思考题：1.相对射入的两子弹,圆盘动ω改变否?如何变?
在竖直平面自由转动,杆从水平位置无初速落下,
在竖直位置与质量为m的物体A发生非弹性碰撞,
碰后在摩擦系数μ的水平面上A滑行S=?
解:下落过程中机械能守恒
碰撞过程角动量守恒
1 J 2 Mg l
2
2
1 J Ml 2
3
3g l
A
J J'mvl 由动能定理:
v l'
v Ml M 3gl
3m M 3m M
Mo
质点动量矩定理——在惯性系中，质
点对任意固定点 O 的动量矩对时间的导 数，等于作用在质点上所有力的合力对
同一点O的力矩.
5 – 4 动量矩和动量矩守恒 动量矩定理另一种表达形式
t2 t1
Modt
Lo2
Lo1
MHale Waihona Puke o第动 五dL章o
dt
刚体的定轴转
冲量矩
t2
M t1
o
dt
3 质点的角动量守恒定律 Mo 0, Lo 恒矢量
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第五章 刚体的定轴转
t
动
刚体定轴转动的角动量定理 to
M zdt
( J z)t
(J z)t0
4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若M z 0 ，则 Lz J z 常量
讨论
➢ 守 恒条件
Mz 0
若 J z不变， 不变；若 J z变， 也变，但Lz J z 不变.
性碰撞,在碰撞过程中球、杆组成的系统的动量是否守恒?对转
轴的角动量是否守恒?机械能是否守恒?
动量不守恒,角动量守恒,机械能不 守恒.
质点与刚体碰撞组成的系统一
般情况下动量不守恒,而角动 量守恒.
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平动速度射入一静止悬于
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢量.
注意: 1).MO为合外力矩; 2).MO、LO均对同一参考点(转轴); 3).质点受有心力的作用,其LO必守恒.
有心力:力的作用线通过给定点且力的大小依赖于质点与给定点的距离.
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
二 刚体定轴转动的动量矩定理和动动量矩守恒定律
1 刚体定轴转动的动量矩
Lz miri vi ( miri2 )
i
i
Lz J z
2 刚体定轴转动的动量矩定理
dLz dt
d( J z)
dt
Jz
Mz
Mz
d dt
(J z)
dLz dt
z
O ri
vi
mi
绕定轴转动刚体对z轴的动量矩对时间的导数，等于作用 在刚体上所有外力对z轴的力矩的代数和。——动量矩定理
第动L 五章z刚r体的m定v轴转
xo
y
L
v
r
L
p
o
m r
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第五章 刚体的定轴转
2
L质od点Lo的r动d量p (矩rdd（pt角p)动m量r）dd定vtdp理动Fdr,
dLo dt
p
?
dr
dt
v
,
dt
Mo
dLo dt
dt
v
p
0
dt dLo
dt
dt
r
F
m,v
ω
m,v
L J Lo Lo J''
J' 2md 2 J
'
2.做匀速直线运动的质点角动量是否一定为零?一 定守恒? 做匀速圆周运动的质点的角动量是否一定守恒?
对直线外的任一点的角动量不为零,一定 守恒.
做匀速圆周运动的质点相对圆心的角动量守恒,而 对圆心以外的其它点的角动量不守恒.
5 – 4 动量矩和动量矩守恒