专题02 垂直平分线与角平分线(解析版)八年级数学下册期末综合复习专题提优训练(北师大版)

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题02 垂直平分线与角平分线
【典型例题】
1．如图，△ABC 中，△ABC ＝25°，△ACB ＝55°，DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，E ，G 分别为垂足； （1）直接写出△BAC 的度数；
（2）求△DAF 的度数；
（3）若BC 的长为30，求△DAF 的周长．
【答案】(1)100BAC ∠=︒；（2）20DAF ∠=︒；（3）30DAF C =
【分析】 （1）由题意直接根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）由题意根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；
（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：（1）△△ABC +△ACB +△BAC ＝180°，
△△BAC ＝180°﹣25°﹣55°＝100°；
（2）△DE 是线段AB 的垂直平分线，
△DA ＝DB ，
△△DAB ＝△ABC ＝25°，
△FG 是线段AC 的垂直平分线，
△AF ＝CF ，
△△F AC ＝△ACB ＝55°，
△△DAF ＝△BAC ﹣△DAB ﹣△F AC ＝100°﹣25°﹣55°＝20°；
（3）△BC =30，
由（2）可知， AD ＝BD ，F A ＝FC ，
△C △DAF =AD +DF +F A ＝BD +DF +FC ＝BC ＝30．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，等腰三角形性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【专题训练】
一、选择题
1．如图，在Rt ABC 中，90,B AD ∠=︒平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若1BD =，则DE 的长为（ ）
A ．12
B ．1
C ．2
D ．6
【答案】B
【分析】
根据△B =90°，AD 平分△BAC ，DE △AC ，再根据角平分线的性质得到DE =BD =１．
【详解】
△90B ∠=︒，△DB AB ⊥，又△AD 平分BAC ∠，DA AC ⊥，△由角平分线的性质得1DE BD ==． 故选：B
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，灵活运用角平分线的性质处理问题．
2．如图，在ABC 中，直线ED 是线段BC 的垂直平分线，直线ED 分别交BC 、AB 于点D 、点E ，已知BD =3，ABC 的周长为20，则AEC 的周长为（ ）
A ．14
B ．20
C ．16
D ．12
【答案】A
【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到EC =EB ，BC =2BD =6，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
△ED 是线段BC 的垂直平分线，
△EC =EB ，BC =2BD =6，
△△ABC 的周长为20，
△AB +AC +BC =20，
△AB +AC =14，
△△AEC 的周长=AC +AE +EC =AC +AE +EB =AC +AB =14，
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3．如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，BD DE =，若ABC 的周长为26cm ，5AF =cm ，则DC =（ ）
A ．8cm
B ．7cm
C ．10cm
D ．9cm
【答案】A
【分析】
根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，能推出2DE+2EC=16，即可求解．
【详解】
解：△AD△BC，BD=DE，EF垂直平分AC
△AB=AE=EC
△△ABC周长是26cm，AF=5cm
△AC=10cm
△AB+BC=16cm
△AB+BE+EC=16cm
即2DE+2EC=16cm
△DE+EC=8cm
△DC=DE+EC=8cm
故选A．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等时解题的关键．
4．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE平分△ABC，CD△AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（）
A．1B．4
3
C．
5
3
D．2
【答案】B
【分析】
过点E作EG△AB于点G，由EG△AB，CD△AB，可得EG△CD，由平行线的性质可得△GEB=△EFC；在Rt△ABC 中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定Rt△EBC△Rt△EBG，由全等三角形的性质可得△CEB=△EFC及AG 的值，进而可判定CF=CE．设CF=EG=EC=x，则AE=3-x，在Rt△AEG中，由勾股定理得关于x的方程，解
得x 的值即为CF 的长．
【详解】
解：过点E 作EG △AB 于点G ，如图：
△CD △AB 于D ，
△EG △CD ，
△△GEB ＝△EFC ，
△在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，
△EC △CB ，
又△BE 平分△ABC ，EG △AB ，
△EG ＝EC ．
在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，
△AB ＝5．
在Rt △EBC 和Rt △EBG 中，
EB EB EC EG
=⎧⎨=⎩， △Rt △EBC △Rt △EBG （HL ），
△CEB ＝△GEB ，BG ＝BC ＝4，
△△CEB ＝△EFC ，AG ＝AB ﹣BG ＝5﹣4＝1，
△CF ＝CE ．
设CF ＝EG ＝EC ＝x ，则AE ＝3﹣x ，
在Rt △AEG 中，由勾股定理得：
（3﹣x ）2＝x 2+12，
解得x ＝43
△CF 的长是
43
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理及等腰三角形的判定等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，△B=15°，△C=30°，MN是AB的垂直平分线，PQ是AC的垂直平分线，已知S△ANQ
则BC的长为（）
A B．3C．3D．2+
【答案】B
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得出AQ=CQ，BN=AN，根据等腰三角形的性质和已知条件得出△BAN=△B=15°，△CAQ=△C=30°，根据三角形外角性质得出△ANQ=△B+△BAN=30°，△AQN=△C+△CAQ=60°，求出△NAQ=90°，再根据三角形的面积求出AQ，最后求出BC即可．
【详解】
解：△MN是AB的垂直平分线，PQ是AC的垂直平分线，
△AQ=CQ，BN=AN，
△△B=15°，△C=30°，
△△BAN=△B=15°，△CAQ=△C=30°，
△△ANQ=△B+△BAN=15°+15°=30°，△AQN=△C+△CAQ=30°+30°=60°，
△△NAQ=180°﹣△ANQ﹣△AQN=90°，
△NQ=2AQ，AN==，
△S△ANQ=
，
2
△12⨯AQ 解得：AQ =1（负数舍去），
即CQ =AQ =1，AN =BN NQ =2AQ =2，
△BC =BN +NQ +CQ 2+1=3
故选：B ．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
二、填空题
6．如图，在△ABC 中，△C =90°，AP 平分△CAB ，且PC =3，PB =5，则点P 到边AB 的距离是 ______________
【答案】3
【分析】
作PH △AB 于H ．直接根据角平分线的性质求解即可．
【详解】
解：作PH △AB 于H ，如图，
△AP 平分△CAB ，且△C =90°，
△3PH PC ==，即点P 到边AB 的距离是3．
故答案为3．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线性质定理是解答此题的关键．
7．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，DE 垂直平分斜边AB ，分别交AB 、BC 于D 、E ，若△CAB ＝△B +28°，则△CAE
＝__．
【答案】28︒
【分析】
先根据直角三角形的两锐角互余可得31,59B CAB ∠=︒∠=︒，再根据垂直平分线的性质可得AE BE =，然后根据等腰三角形的性质可得31B BAE ∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得．
【详解】
解：△在ABC 中，90C ∠=︒，
△90CAB B ∠+∠=︒，
又△28CAB B ∠=∠+︒，
△31,59B CAB ∠=︒∠=︒，
△DE 垂直平分斜边AB ，
△AE BE =，
△31BAE B ∠=∠=︒，
△593128CAE CAB BAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故答案为：28︒．
【点睛】
本题考查了直角三角形的两锐角互余、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题关键．
8．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝11，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点D 、E ，AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点F 、G ，则△AEG 的周长为__．
【答案】11．
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，GA＝GC，所以可求出△AEG的周长．
【详解】
解△DE是线段AB的垂直平分线，
△EA＝EB，
同理，GA＝GC，
△△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
9．如图，在四边形ABCD中，△A=90°，AD= 6，连接BD，BD△CD，△ADB=△C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为__________．
【答案】6
【分析】
根据垂线段最短得出当DP△BC时，DP的长度最小，求出△ABD=△CBD，根据角平分线的性质得出AD=DP=6，即可得出选项．
【详解】
解：△BD△CD，
△△BDC=90°，
△△C+△CBD=90°，
△△A=90°
△△ABD+△ADB=90°，
△△ADB=△C，
△△ABD=△CBD，
当DP△BC时，DP的长度最小，
△AD△AB，
△DP=AD，
△AD=6，
△DP的最小值是6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP△BC时，DP的长度最小是解此题的关键．
10．如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边BC为12，点P在边BC上，且BP：PC＝3：1，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDP周长的最小值为___________．
【答案】8．
【分析】
如图作AH△BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA＝DC，推出DP+DC＝AD+DP，可得当A、D、P共线时，DP+DC的值最小，最小值就是线段AP的长,此时，△CDP周长的最小,求出AP的长即可．【详解】
解：如图作AH△BC于H，连接AD．
△EG垂直平分线段AC，
△DA＝DC，
△DP+DC＝AD+DP，
△当A、D、P共线时，DP+DC的值最小，最小值就是线段AP的长，
△1
2
×12•AH＝24，
△AH＝4，
△AB＝AC，AH△BC，△BH＝CH＝6，
△BP：PC＝3：1，△CP＝PH＝3，
△AP5，
△DP+DC的最小值为5．
△△CDP周长的最小值为5+3＝8；
故答案为：8．
【点睛】
本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE平分△ABC，DE△BC，交AB于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝DE；
（2）若△DEB＝30°且DE＝3，求AD的长度．
【答案】（1）见解析；（2）3．
【分析】
（1）由BE平分△ABC，DE△BC可得△DBE＝△DEB，可得结论；
（2）通过证明△ADE为等边三角形，可得AD＝DE＝3．
【详解】
证明：（1）△BE平分△ABC，
△△ABE＝△EBC，
△DE△BC，
△△DEB＝△EBC，
△△DBE＝△DEB，
△BD＝DE；
（2）△△DEB＝△DBE＝30°＝△EBC，
△△ABC＝60°，
△AB＝AC，
△△ABC是等边三角形，
△△ABC＝△ACB＝△A＝60°，
△DE△BC，
△△ADE＝△ABC＝60°，△AED＝△C＝60°，
△△ADE是等边三角形，
△AD＝DE＝3．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
，的垂直平分线交于点P．
12．如图，ABC中，边AB BC
==．
（1）求证：PA PB PC
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）在，理由见解析
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，P A=PB，PB=PC，则P A=PB=PC．
（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上．
【详解】
解：（1）证明：△边AB、BC的垂直平分线交于点P，
△P A=PB，PB=PC．
△P A=PB=PC．
（2）△P A=PC，
△点P 在边AC 的垂直平分线上．
【点睛】
此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
13．如图，AD 为△ABC 的角平分线，DE △AB 于点E ，DF △AC 于点F ，连接EF 交AD 于点O ．
（1）求证：△DEF ＝△DFE ；
（2）求证：AD 垂直平分EF ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据角平分线的性质证明即可得解；
（2）根据已知条件证明Rt △AED △Rt △AFD （HL ）和△△DEO DFO ≅即可得解；
【详解】
（1）△AD 为△ABC 的角平分线，DE △AB ，DF △AC ，
△DE ＝DF ，
△△DEF ＝△DFE ；
（2）根据已知条件可得△AED ＝△AFD ＝90°，
在Rt △AED 和Rt △AFD 中，DE DF AD AD
=⎧⎨
=⎩， △Rt △AED △Rt △AFD （HL ），
△△ADE ＝△ADF ；
在△DEO 和△DFO 中， DEO DFO DE DF
EDO FDO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， △△△DEO DFO ≅，
△EO FO =，EOD FOD ∠=∠，
△∠EOD +∠FOD ＝180°，
△∠EOD =∠FOD ＝90°，
△AD 垂直平分EF ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的垂直平分线的判定与性质，结合等三角形证明是解题的关键．
14．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于M ，交AC 于N ．
（1）若70ABC ∠=︒，求A ∠的度数；
（2）连接NB ，若8cm AB =，NBC 的周长是14cm ，求BC 的长．
【答案】（1）40°；（2）6cm
【分析】
（1）由AB =AC 可得△C =△ABC =70°，由三角形内角和可得△A =40°；
（2）由（1）可知BN =AN ，由此可得BN +NC =AN +NC =AC =AB =8cm ，再由C △BNC =BN +CN +BC =14cm ，可得BC =14-8=6（cm ）．
【详解】
解：（1）△AB =AC ，
△△ABC =△ACB =70°，
△△A =180°-70°-70°=40°；
（2）MN 是AB 的垂直平分线，
△AN =BN ，
△BN +CN =AN +CN =AC ，
△AB =AC =8cm ，
△BN +CN =8cm ，
△C △BNC =BN +CN +BC =14（cm ），
△BC =14﹣8=6（cm ）．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质，三角形内角和，线段垂直平分线性质，三角形周长，掌握等腰三角形性质，三角形内角和，线段垂直平分线性质，三角形周长是解题关键．
15．如图，△ABC 中，AD 平分△BAC ，DG △BC 且平分BC ，DE △AB 于E ，DF △AC 于F ．
（1）求证：BE =CF ；
（2）如果AB =8，AC =6，求AE ，BE 的长．
【答案】（1）证明见解析，（2）AE ＝7，BE ＝1．
【分析】
（1）连接DB 、DC ，先由角平分线的性质就可以得出DE ＝DF ，再证明△DBE △△DCF 就可以得出结论； （2）由条件可以得出△ADE △△ADF 就可以得出AE ＝AF ，进而就可以求出结论．
【详解】
解：（1）证明：
连接DB 、DC ，
△DG △BC 且平分BC ，
△DB ＝DC ．
△AD 为△BAC 的平分线，DE △AB ，DF △AC ，
△DE ＝DF ．
在Rt △DBE 和Rt △DCF 中
DB DC DE DF =⎧⎨=⎩
， Rt △DBE △Rt △DCF （HL ），
△BE ＝CF ．
（2）在Rt △ADE 和Rt △ADF 中
AD AD DE DF =⎧⎨=⎩
，
△Rt△ADE△Rt△ADF（HL）．
△AE＝AF．
△AC+CF＝AF，
△AE＝AC+CF．
△AE＝AB﹣BE，
△AC+CF＝AB﹣BE，
△AB＝8，AC＝6，
△6+BE＝8﹣BE，
△BE＝1，
△AE＝8﹣1＝7．
即AE＝7，BE＝1．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
16．如图，已知Rt△ABC中，△ACB＝90°，CD△AB于点D，△BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．（1）试说明△CEF是等腰三角形；
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若AC＝2.5，求△ABE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）AB＝2AC，理由见解析；（3）
12
【分析】
（1）求出△B＝△ACD，根据三角形的外角性质求出△CFE＝△CEF，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）求出△B＝△CAE＝△BAE，根据三角形内角和定理求出△B＝30°，再求出答案即可；
（3）求出高EM的长，求出AB的长，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：（1）△CD△AB，
△△CDB＝90°，
△△B+△BCD＝90°，
△△ACB＝90°，
△△ACD+△BCD＝90°，
△△ACD＝△B，
△AE平分△BAC，
△△CAE＝△BAE，
△△ACD+△CAE＝△B+△BAE，
即△CFE＝△CEF，
△CF＝CE，
即△CEF是等腰三角形；
（2）AB＝2AC，
理由是：△E在线段AB的垂直平分线上，
△AE＝BE，
△△B＝△BAE，
△△CAE＝△BAE，△ACB＝90°，
△3△B＝90°，
△△B＝30°，
△AB＝2AC；
（3）△AC＝2.5，
△AB＝2AC＝5，
由（2）得，△CAB=60°，
△AE平分△CAB，
△△CEA =30°，设CE 为x ，则AE 为2x ,
AC ，
x ，
过E 作EM △AB 于M ，
△EM ＝CE ＝6
，
△△ABE 的面积S ＝
12AB EM ⋅＝12⨯5． 【点睛】
本题考查勾股定理、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质，解题关键是熟练运用所学知识，整合已知条件，解决综合问题．
17．如图1，在△ABC 中，AD △BC ，垂足为D ，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，△ABC ＝45°，FD ＝CD ． （1）请写出BE 与AC 的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，连接DE ，求证：△BED ＝△DEC ；
（3）若AD ＝4，CD ＝2，在直线BC 上方的平面内是否存在点P ，使得△BFP 为等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P 到直线BC 的距离．
【答案】（1）BE △AC ，见解析；（2）见解析；（3）存在，4或6或3
【分析】
（1）证明△BDF △△ADC ，得到△DBF ＝△DAC ，由△BFD ＝△AFE 证得△BDF ＝△AEF ＝90°，即可得到结论；
（2）过点D 作DM △AC ，DN △BE ，根据△BDF △△ADC ，得到BF =AC ，BDF ADC S
S =，推出DM =DN ，证得
ED 平分△BEC ，由此得到结论；
（3）根据勾股定理求出AC 由△BDF △△ADC ，得到BF ＝AC ＝DF ＝DC ＝2，BD ＝AD ＝4，分三种情况：当△PBF ＝90°，BP ＝BF 时， 当△P ′FB ＝90°，P ′F ＝BF 时， 当△BP ″F ＝90°，BP ″＝FP ″时， 根据等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解】
（1）证明：如图①中，
△AD △BC ，
△△ADB ＝90°，
△△ABC ＝45°，
△△ABD ＝△BAD ＝45°，
△BD ＝DA ，
△DF ＝DC ，△BDF ＝△ADC ＝90°，
△△BDF △△ADC （SAS ）．
△△DAC =△CBE ，
△△BFD ＝△AFE ，
△△BDF ＝△AEF ＝90°，
△BE △AC ．
（2）解：如图，过点D 作DM △AC ，DN △BE ，
△△BDF △△ADC ，
△BF =AC ，BDF ADC S
S =，
△DM =DN ，
△ED 平分△BEC ，
△△BED ＝△DEC ；
（3）解：如图2－1中，满足条件的点P 有3个．
在Rt △ADC 中，
△AD ＝4，CD ＝2，
△AC ，
△△BDF △△ADC ，
△BF ＝AC ＝DF ＝DC ＝2，BD ＝AD ＝4，
当△PBF ＝90°，BP ＝BF 时，作PM △CB 交CB 的延长线于M ． 易证△PMB △△BDF ，
△PM ＝BD ＝4，
△点P 到直线BC 的距离为4；
当△P ′FB ＝90°，P ′F ＝BF 时，作P ′H △BC 于H ，FG △P ′H 于G ． 易证：P ′G ＝BD ＝4，GH ＝DF ＝2，
△P ′H ＝4＋2＝6，
△P ′到直线BC 的距离为6；
当△BP ″F ＝90°，BP ″＝FP ″时，作P ″N △BC 于N ．
易证P ″N ＝2
PM DF +＝3，
△P″到直线BC的距离为3，
综上所述，满足条件的点P到直线BC的距离为4或6或3．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定及性质，熟记各定理并熟练应用解决问题是解题的关键．
18．在△ABC中，若AD是△BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE△AB，垂足为E，DF△AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：
①△AED+△AFD＝180°；②DE＝DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是△BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若△AED+△AFD＝180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．（2）若DE＝DF，则△AED+△AFD＝180°是否成立？（只写出结论，不证明）
【答案】（1）DE＝DF，理由见解析；（2）不一定成立
【分析】
（1）过点D作DM△AB于M，DN△AC于N，DM＝DN，△DME△△DNF，DE＝DF；
（2）如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立；
【详解】
（1）DE＝DF．
理由如下：
过点D作DM△AB于M，DN△AC于N，
△AD平分△BAC，DM△AB，DN△AC，
△DM＝DN，
△△AED+△AFD＝180°，△AFD+△DFN＝180°，
△△DFN＝△AED，
△△DME△△DNF（AAS），
△DE＝DF；
（2）不一定成立．
如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立，
经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立，
所以不一定成立．
．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，难点在于熟练和灵活的应用角平分线要点；
19．根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分△BAC，△B+△C=180°，△B=90°，易知：DB____DC．
(2) 如图②，AD平分△BAC，△ABD+△ACD=180°，△ABD<90°，求证：DB=DC．
(3)如图③，四边形ABCD中，△B=45°△C=135°，DB=DC AB−AC=________．
【答案】（1）=；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）利用HL判断出△ADC△△ADC，即可得出结论；
（2）先构造出△ACD△△AED，得出DC=DE，△AED=△C，在判断出DE=DB，即可得出结论；（3）利用（2）结论得出DE=DB，再判断出△BDE=90°，利用勾股定理求出BE即可得出结论．【详解】
解：证明：（1）△△B+△C=180°，△B=90°，
△△C=90°，
△AD平分△BAC，
△△DAC=△BAD，
△AD=AD，
△△ACD△△ABD（AAS），
△BD=CD；
（2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE，
△AD平分△BAC，
△△CAD=△EAD，
△AD=AD，AC=AE，
△△ACD△△AED（SAS），
△DC=DE，△AED=△C，
△△C+△B=180°，△AED+△DEB=180°，
△△DEB=△B，
△DE=DB，
△DB=DC；
（3）如图③，连接AD，在AB上取一点E使AE=AC，
同（2）的方法得，AE =AC ，CD =DE =BD =2，
△△DEB =△B =45°，
△△BDE =90°，
根据勾股定理得，BE =，
△AB -AC =BE =
故答案为：
【点睛】
本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
20．如图①，△ABC 中，△ABC ，△ACB 的平分线交于O 点，过O 点作BC 平行线交AB ，AC 于E ，F ． （1）试说明：EO ＝BE ；
（2）探究图①中线段EF 与BE ，CF 间的关系，并说明理由；
（3）探究图②，△ABC 中若△ABC 的平分线与△ABC 的外角平分线交于O ，过点O 作BC 的平行线交AB 于E ，交AC 于F ，这时EF 与BE ，CF 的关系又如何？请直接写出关系，不需要说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）EF BE CF =+，理由见解析；（3）EF BE CF =-
【分析】
（1）由题意易得△EOB =△EBO ，△ABO =△OBC ，则有△EOB =△ABO ，进而问题得证；
（2）由题意易得△FOC =△OCB ，△FCO =△OCB ，则有△FCO =△FOC ，然后可得CF =OF ，由（1）得BE =OE ，进而问题可求解；
（3）同理（1）（2）可得：BE=OE，CF=OF，然后问题可求解．
【详解】
证明：（1）△EF△BC，
△△EOB=△EBO，
△BO平分△ABC，
△△ABO=△OBC，
△△EOB=△ABO，
△BE=OE；
=+，理由如下：
（2）解：EF BE CF
△EF△BC，
△△FOC=△OCB，
△CO平分△ACB，
△△FCO=△OCB，
△△FCO=△FOC，
△CF=OF，
由（1）得：BE=OE，
△EF=BE+CF；
（3）解：EF=BE-CF，理由如下：
同理（1）（2）可得：BE=OE，CF=OF，
△EF=OE-OF=BE-CF．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键，也要熟练掌握“双平等腰”模型．。