2、3-1-2复数的几何意义

3.1.2复数的几何意义
一、选择题
1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是()
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
[答案] B
[解析]在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y 轴对称．
2．复数i＋i2在复平面内表示的点在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[答案] B
[解析]∵i＋i2＝－1＋i，
∴复数i＋i2对应的点在第二象限．
3．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则()
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．b＞0，a∈R D．a＞0，b∈R
[答案] D
[解析]复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．4．复数z与它的模相等的充要条件是()
A．z为纯虚数B．z是实数
C．z是正实数D．z是非负实数
[答案] D
[解析]∵z＝|z|，∴z为实数且z≥0.
5．复数1＋cosα＋i sinα(π＜α＜2π)的模为()
A．2cos α
2
B．－2cos
α
2
C．2sin α
2
D．－2sin
α
2
[答案] B
[解析] 所求复数的模为
(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝
4cos 2α2
， ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2
＜π， ∴cos α2
＜0， ∴4cos 2α2＝－2cos α2. 6．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )
A ．a ≠2或a ≠1
B ．a ≠2或a ≠－1
C ．a ＝2或a ＝0
D ．a ＝0 [答案] C
[解析] 由题意知a 2－2a ＝0，
解得a ＝0或2.
7．当23
<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 [答案] D
[解析] ∵23
<m <1，∴2<3m <3. ∴3m －2>0，m －1<0.
8．(2010·福州高二检测)已知复数z 满足|z |＝2，则|z ＋3－4i |的最小值是( )
A ．5
B ．2
C ．7
D ．3 [答案] D
[解析] |z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i |表示圆上的点到(－3,4)这一点的距离，故|z ＋3－4i |的最小值为(－3)2＋42－2
＝5－2＝3.
二、填空题
9．(2010·合肥高二检测)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝x OA →＋y O B →
(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是______．
[答案] 5
[解析] 由复数的几何意义可知 O C →＝xOA →＋yOB →即
3－2i ＝x (－1＋2i )＋y (1－i )
∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i
由复数相等可得
⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝32x －y ＝－2解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1y ＝4 ∴x ＋y ＝5
10．设(1＋i )sin θ－(1＋i cos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________．
[答案] 12
[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，
∴tan θ＝12
11．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________.
[答案] 76
－4i [解析] 设复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，
则⎩⎨⎧ a ＝a 2＋b 2－3b ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝76
b ＝－4∴z ＝76－4i . 12．已知f (z )＝|1＋z |－z 且f (－z )＝10＋3i ，则复数z 为________．
[答案] 5＋3i
[解析] 设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则f (－z )＝|1－x －yi |＋(x ＋yi )＝10＋3i ，∴⎩⎨⎧ (1－x )2＋y 2＋x ＝10，y ＝3.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，y ＝3.∴z ＝5＋3i . 三、解答题
13．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i (m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．
[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＞0，4m 2－8m ＋3＞0， 解得m ＜－1－52或m ＞32
， 即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32
.
14．已知复数z 1＝1＋cos θ＋i sin θ，z 2＝1－sin θ＋i cos θ，且两数的模的平方和不小于2，求θ的取值范围．
[解析] 由已知，得
|z 1|2＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2＋2cos θ，
|z 2|2＝(1－sin θ)2＋cos 2θ＝2－2sin θ.
|z 1|2＋|z 2|2≥2，
即2＋2cos θ＋2－2sin θ≥2，
cos θ－sin θ≥－1
cos(θ＋π4)≥－22
， 所以2kx －π≤θ≤2kπ＋π2
，k ∈Z . 所以θ的取值范围是[2kπ－π，2kπ＋π2
]，k ∈Z . 15．已知a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？
[分析] 根据复数与复平面上点的对应关系知，复数z 对应的点在第几象限，与复数z 的实部与虚部的符号有关，所以本题的关键是判断(a 2－2a ＋4)与－(a 2－2a ＋2)的符号．
求复数z 对应点的轨迹问题，首先把z 表示成z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )的形式，然后寻求x 、y 之间的关系，但要注意参数限定的条件．
[解析] 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，
－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，
∴复数z 的实部为正数，复数z 的虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限． 设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2) 消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)．
∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．
[点评] 对于求复数z 的轨迹方程问题，关键是要设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，利用复数相等的充要条件转化为动点(x ，y )关于a 的参数方程，在消去参数a 时，注意观察到a 2－2a 是一个整体，这样可以简化消参数的过程．
16．复数z 满足|z ＋3－3i |＝3，求|z |的最大值和最小值．
[解析] 解法一：|z ＋3－3i |≥||z |－|3－3i ||， |z ＋3－3i |≤|z |＋|3－3i |.
又∵|z ＋3－3i |＝3，|3－3i |＝12＝23，
∴||z|－23|≤3，即3≤|z|≤3 3.
解法二：|z＋3－3i|＝3对应的复数z在复平面内所表示的图形为以－3＋3i对应的点P为圆心，以3为半径的圆，|z|则表示圆上的点z到原点的距离(如图所示)，O、P的连线交此圆于A、B两点，显然，|OA|为最大距离，|OB|为最小距离，即|z|
＝|OP|＋3＝
最大
33；|z|最小＝|OP|－3＝ 3.。