2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷.文)含答案

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

全卷共150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、集合P ＝｛x 」x 2－16<0｝,Q ＝｛x 」x ＝2n ，n ∈Z ｝,则P Q ＝A.｛-2,2｝B.｛－2，2，－4，4｝C.｛2，0，2｝D.｛－2，2，0，－4，4｝ 2、已知非零向量a 、b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则=baA. 41B. 4C. 21D. 2 3、已知2sin 23A =＝32，A ∈（0，π），则sin cos A A +=B ．．53 D ．53-4、在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9A. 81B. 27527C.3 D. 2435、甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么A. 甲是乙的充分但不必要条件B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 6、关于直线m 、n 与平面α与β，有下列四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中真命题的序号是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③7、设f(x)＝x x -+22lg，则)2()2(xf x f +的定义域为 A. ），（），（－4004 B.(－4,－1) (1，4) C. (－2,－1) (1，2) D. (－4,－2) (2，4)8、在2431⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的有 A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项9、设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，若1,2且⋅=，则点P 的轨迹方程是A. )0,0(123322>>=+y x y x B. )0,0(123322>>=-y x y xC.)0,0(132322>>=-y x y x D.)0,0(132322>>=+y x y x 10、关于x 的方程()011222=+---k x x ，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 一、选择题：1.C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.A 二、填空题：11.2312. 0.94 13. (0，34) 14. 7815.（34πR 3）`＝4πR 2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。

答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

11、在∆ABC 中，已知433=a ，b ＝4，A ＝30°，则sinB ＝ . 12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 。

（精确到0．01）13、若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .14、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答)15、半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1， ○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子： ○2 ○2式可以用语言叙述为： 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分12分）设向量a ＝(sinx ，cosx )，b ＝(cosx ，cosx )，x ∈R ，函数f(x)＝a·(a ＋b).（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f(x)≥23成立的x 的取值集。

17、（本小题满分12分）某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。

在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。

登山组的职工占参加活动总人数的41，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。

为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。

试确定（Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； （Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。

18、（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝2C 1N.（Ⅰ）求二面角B 1－AM －N 的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B 1到平面AMN 的距离。

19、（本小题满分12分）设函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 在x ＝1处取得极值－2，试用c 表示a 和b ，并求f(x)的单调区间。

20、（本小题13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数y ＝3x －2的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m 。

21、（本小题满分13分）设,A B 分别为椭圆22221(,0)x y a b a b +=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线。

（Ⅰ）、求椭圆的方程；（Ⅱ）、设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内。

（此题不要求在答题卡上画图）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10．A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分25分。

11．2 12．0.9413．（0，43） 14．7815．324()'43R R ππ=．球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

三、解答题16．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的基本知识，以及运用三角函数的图像和性质的能力。

解：（Ⅰ）∵()()222sin cos sin cos cos 1131sin 2cos 21)22224f x a a b a a a b x x x x xx x x π=+=+=+++=+++++ （）＝∴()f x 的最大值为322+，最小正周期是22ππ=。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知()333)sin(2)022*******,488f x x x k x k k x k k Zππππππππππ≥⇔+≥⇔+≥⇔≤+≤+⇔-≤≤+∈即()32f x ≥成立的x 的取值集合是3|,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 17．本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、c ，则有40%310%347.5%,10%44x xb x xcx x++== ，解得b=50%,c=10%.故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、50％、10％。

（Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为320040%604⨯⨯=（人）；抽取的中年人数为 32004⨯⨯50％＝75（人）；抽取的老年人数为32004⨯⨯10％＝15（人）。

18．本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。

考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法1：（Ⅰ）因为M 是底面BC 边上的中点，所以AM ⊥BC ，又AM ⊥C 1C ,所以AM ⊥面BC 1C 1B ，从而AM ⊥1B M , AM ⊥NM ，所以∠1B MN 为二面角，1B —AM —N 的平面角。

又1B==,MN56==,连1B N ，得1B N3==，在∆1B MN 中，由余弦定理得222111152510cos 2B M MN B N B MN B M MN +-+-===故所求二面角1B —AM —N的平面角的余弦值为5（Ⅱ）过1B 在面11BCC B 内作直线1B H MN ⊥，H 为垂足。

又AM ⊥平面11BCC B ，所以AM ⊥1B H 。

于是1B H ⊥平面AMN ，故1B H 即为1B 到平面AMN 的距离。

在11R B HM ∆中，1B H ＝1BM 1sin 1B MH ==。

故点1B 到平面AMN 的距离为1。

解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则1B （0，0，1），M （0，12，0）,C(0,1,0), N (0,1,23) , A (1,022-)，所以，(2AM = ，11(0,,1)2MB =- ,12(0,,)23MN = 。

因为1100()0102MB AM =+⨯-+⨯= 所以1MB AM ⊥ ,同法可得MN AM ⊥ 。

故﹤1,MB MN﹥为二面角1B —AM —N 的平面角∴cos ﹤1,MB MN﹥＝115MB MNMB MN⋅==⋅故所求二面角1B —AM —N（Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN 的一个法向量，则由,n AM n MN ⊥⊥得0024120323x x y z y z =⎧=⎪⎪⇔⎨⎨=-⎪⎪+=⎩⎪⎩ 故可取3(0,,1)4n =- 设1MB 与n 的夹角为a，则115cos MB n a MB n⋅===⋅所以1B 到平面AMN的距离为1cos 1MB a ⋅== 。