专题05 分式方程(解析版)

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专题05分式方程及应用

【考点1】解分式方程 【例1】〔2021·湖南郴州·中考真题〕解方程：

24111

x x x =+-- 【答案】x=3．

【解析】

【分析】 观察可得方程最简公分母为(x 2-1),去分母,转化为整式方程求解,结果要检验．

【详解】

解：24111

x x x =+-- 去分母得,2(1)41x x x +=+-

解得,x=3,

经检验,x=3是原方程的根,

所以,原方程的根为：x=3．

【点睛】

〔1〕解分式方程的根本思想是“转化思想〞,把分式方程转化为整式方程求解；〔2〕解分式方程一定注意

要检验．

【变式1-1】〔2021·内蒙古通辽·中考真题〕解方程：

232x x

=-. 【答案】6x =.

【解析】

【分析】 首先去掉分母,观察可得最简公分母是x 〔x ﹣2〕,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解,然后解一元一次方程,最后检验即可求解．

【详解】

去分母,得()232x x =-,

去括号,得236x x =-,

移项,合并同类项,得6x -=-,

化x 的系数为1,得6x =,

经检验,6x =是原方程的根,

∴原方程的解为6x =．

【点睛】

此题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的步骤以及考前须知是解题的关键．

【变式1-2】〔2021·山东莘县·初三学业测试〕解方程：

214111x x x

++=--． 【答案】原方程无解．

【解析】

【分析】 观察可得最简公分母是〔x ﹣1〕〔x+1〕,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解．

【详解】

解：方程的两边同乘〔x ﹣1〕〔x+1〕,得

2(1)4(1)(1)x x x +-=+-,解得x=1．

检验：把x=1代入〔x ﹣1〕〔x+1〕=0．

所以原方程的无解．

【点睛】

此题考查解分式方程．

【考点2】分式方程的解,求字母参数的值

【例2】〔2021·临潭县第二中学初三二模〕假设x=4是分式方程213a x x -=-的根,那么a 的值为( ) A ．6B ．－6C ．4D ．－4

【答案】A

【解析】

【分析】

把x =4代入方程进行求解即可.

【详解】

由题意得：24a -=143

-, 解得：a =6,

应选A.

【点睛】

此题考查了分式方程的解,熟练掌握分式方程解的意义是解题的关键.

【变式2-1】假设关于x 的分式方程

1的解为x ＝2,那么m 的值为〔 〕 A ．5B ．4C ．3D ．2

【答案】B

【解析】∵关于x 的分式方程

1的解为x ＝2,

∴x ＝m ﹣2＝2,

解得：m ＝4．

应选：B ． 点睛：此题主要考查了分式方程的解,正确解方程是解题关键．

【考点3】分式方程的特殊解问题

【例3】〔2021·四川眉山·中考真题〕关于x 的分式方程

11222k x x

-+=--的解为正实数,那么k 的取值范围是________．

【答案】2k >-且2k ≠

【解析】

【分析】

利用解分式方程的一般步骤解出方程,根据题意列出不等式,解不等式即可．

【详解】 解：11222k x x

-+=-- 方程两边同乘〔x-2〕得,1+2x-4=k-1, 解得22

k x += 222k +≠,02

2k +> 2k ∴>-,且2k ≠

故答案为：2k >-且2k ≠

【点睛】

此题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法,掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．

【变式3-1】〔2021·四川广元·中考真题〕关于x 的分式方程

2021

m x +=-的解为正数,那么m 的取值范围是_____________．

【答案】m<2且m≠0

【解析】

【分析】 首先解方程求得方程的解,根据方程的解是正数,即可得到一个关于m 的不等式,从而求得m 的范围．

【详解】

解：去分母得：m+4x-2=0,

解得：x ＝24

m -, ∵关于x 的分式方程

2021m x +=-的解是正数, ∴24

m -＞0, ∴m<2, ∵2x-1≠0,

∴22-104

m -⨯≠, ∴m≠0,

∴m 的取值范围是m<2且m≠0．

故答案为：m<2且m≠0．

【点睛】

此题主要考查了分式方程的解的符号确实定,正确求解分式方程是解题的关键．

【变式3-2】〔2021·湖北荆门·中考真题〕关于x 的分式方程2322(2)(3)

x k x x x +=+--+的解满足41x -<<-,且k 为整数,那么符合条件的所有k 值的乘积为〔 〕

A ．正数

B ．负数

C ．零

D ．无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】

先解出关于x 的分式方程得到x=

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k -,代入41x -<<-求出k 的取值,即可得到k 的值,故可求解． 【详解】 关于x 的分式方程2322(2)(3)

x k x x x +=+--+ 得x=217

k -, ∵41x -<<- ∴21471k --<

<- 解得-7＜k ＜14

∴整数k 为-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,

又∵分式方程中x≠2且x≠-3

∴k≠35且k≠0

∴所有符合条件的k 中,含负整数6个,正整数13个,∴k 值的乘积为正数,

应选A ．

【点睛】

此题主要考查分式方程与不等式综合,解题的关键是熟知分式方程的求解方法．

【考点4】分式方程的无解〔增根〕问题

【例4】〔2021·山东潍坊·中考真题〕假设关于x 的分式方程33122

x m x x +=+--有增根,那么m =_________．