第6章 线性空间(解答题)(65题)

1．什么是线性空间?
答:设V 是一个非空集合,P 是一个数域,在V 中定义了一个加法运算,在P 和V 的元素之间定义了一个数量乘法运算.如果上述两种运算满足以下规则,那么就称V 为P 上的一个线性空间(或称向量空间).
1).+=+αββα；
2).++=++αβγαβγ（）（）
； 3).V 中有一个元素0，V α∀∈都有+0=αα，0称为V 的零元素； 4).V α∀∈，存在V β∈，使得+=0αβ，β称为α的负元素； 5).1=αα； 6).()()k l kl αα=； 7).()k l k l ααα+=+； 8).(+)=+k k k αβαβ；
其中α，β，γ表示V 中的任意元素；k ，l 表示P 中的任意数．
2．非空集合Ｖ在定义了加法和数乘运算之后成为P 上的一个线性空间，V 能否再定义另外
的加法和数乘运算成为P 上的另一个线性空间？ 答：有可能．例如，全体二元实数列构成的集合
{(,)|,}V a b a b R =∈．
1).定义(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k a b ka kb ⊕=++=，则V 成为R 上的一个线性空间 2).定义2
(1)(,)(,)(,),(,)(,)k k a b c d a c b d ac k a b ka kb a z
+⊕=+++=+，则V 成为R 上的另一个线性空间.
3．线性空间V 有哪些简单性质与结论？ 答：1）零元素是唯一的；
2）α的负元素是唯一的；
3）000k k αα=⇔==或；
4）=αα-
-（）； 5）=k k k ααα-=--（）（）（）； 6）()k a b ka kb -=-；
7）,V αβ∀∈，存在唯一的V γ∈，使得=αγβ+.
证明：容易验证1）—3），
4）因为+=0αα-（），所以α为（α-）的负元，即=αα--（）.
5）
()(()0,()()k k k k k k ααααα+-=+-=∴-=-.另一式子可类似证明.
6）()(())()=()=k k k k k k k k αβαβαβαβαβ-=+-=+-+--. 7）
(),+=αβαβγβααχβ+-=∴=-是方程的解.又若1γ也是+=αχβ的解，
则1+=+αγαγ.两边左加α-，有1=γγ.所以方程+=αχβ在V 中有唯一解.
4．判断一个非空集合M 不是线性空间有哪些基本方法？ 答：1）M 是至少含两个元的有限集；
2）M 关于定义的某一运算不封闭； 3）M 不满足8条规则中的任一条.
5．线性空间的例子.
答：1）数域P 按照数的加法和乘法构成自身上的一个线性空间.特别的，实数域R 和复数域 C 按照数的加法和乘法都是自身上的线性空间.
2）已知数域⊆P 数域P ，按照数的加法和乘法，P 构成P 上的线性空间.
3）三维空间中与已知向量的全体再添加零向量，对于向量的加法与数乘运算构成一个 实线性空间.
4）分量属于数域P 的全体n 元数组，对于n 元数组的加法与数乘构成P 上的一个线性 空间，记作n
P .
5）无穷实数列的全体：
12={()|1,2}i I x x x i ∞∈=，，R ，，对于
121211221212()()()=(),x x y y x y x y k x x kx x k R +=++∈，，，，，，，（，，），k ，构成
一个实线性空间.
6）n 元齐次线性方程组0x =A 的解向量的全体，对于n 维向量的加法和数乘构成P 上的线性空间（为n
P 的子空间）.
7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体，对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.
8）数域P 上全体n 阶对称（反对称，上三角）矩阵对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.
9）设m n ⨯∈A P
，则全体与A 可交换的矩阵的集合，对于矩阵的加法与数乘构成m n
⨯P
的
一个线性空间.
10）数域P 上全体满足条件trA=0（trA 表示A 的迹，即A 的主对角线元素之和）的n 阶矩阵的集合，对于矩阵的加法和数乘构成P 上的一个线性空间.
11）数域P 上全体一元多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，记作x P[].
12）次数小于n 的一元多项式及零多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘
法构成P 上的线性空间，记作n x P[].
13）集合W={()|()(1)0}n f x f x x f ∈=R[]且对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成R 上的线性空间.
14）数域P 上形如352113521n n a x a x a x a x +++++
+的多项式的全体，对于多项式的加
法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间.
15）数域P 上多项式()g x 的倍式的全体：W={()|()|()}f x g x f x ，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间. 16）由0及数域P 上的m 元n 次多项式
1212
11212
(,)()m m m k k k m k k k m k k n
f x x x a x x
x k ++==
∑
，，为正整数的全体，对于多项式的加
法及数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，其中12
m
k k k a P ∈.
17）对于在区间[,]a b 上的实函数的全体，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.[,]a b 上的连续实函数全体为其子空间，记作[,]C a b .
18）全体形如
1122sin cos sin 2cos 2sin cos 2
n n a a t b t a t b t a nt b nt +++++++的
实函数，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.
6．下列集合关于指定运算均不构成线性空间：
1）起点在原点，终点在不经过原点的直线上的空间向量的全体，按向量的加法与数乘运算；
2）非齐次线性方程组AX=b(b ≠0)的解向量的全体，按向量的加法与数乘运算； 3）数域P 上次数不低于定数n 的多项式的全体并添上零多项式，按多项式的加法与数乘运算；
4）有理数域定义运算：,;2
k k βαβ∂∂⊕=+∂= 5）设P 为有理数域，对整数集定义运算：
1,k βαβ∂⊕=+-∂=∂.
证：1）集合不含零向量，所以不是线性空间.
2）如果集合是空集，则不是线性空间. 如果集合非空，则由于不含零向量，所以也 不是线性空间.
3）因两个次数不低于n 的多项式之和的次数可能低于n ，即关于多项式的加法不封闭，所以不是线性空间.
4）因1(0)2
∂
∂=≠∂∂≠不满足线性空间定义中的规则5），所以不是自身上的线性空间.
5）取3,1,k l ∂===则()3,k l +∂=而5k l ∂⊕∂=.故()k l +∂≠
（k l ∂⊕∂），不满足线性空间定义中的规则7），所以集合不是线性空间.
7.什么叫做向量的线性相关和线性无关？ 答:设V 是数域P 上的线性空间,且()1,
,,1i a V i s s ∈=≥，如果存在一组不全为零的数
()1,,i k P i s ∈=，使得()11220s s k a k a k a +++=， （1）
那么称向量组1,,s a a 是线性相关的，否则，称它们是线性无关的.
注 ○
1一个向量不是线性相关,就一定是线性无关,两者必居其一且仅居其一. ○21
,,s a a 线性无关 ⇔（1）式仅当10s k k ===成立.
8.设1,
,n αα线性相关,是否对任意一组不全为零的1,,n k k 都有110n n k k αα++=？
答:不一定，比如0α=是线性相关的，它对一切非零数k 都有0k α=.而
()()1,0,2,0βγ==就不可能对一切非零数12,k k 使得120k k βγ+=.
9.什么叫线性表出？什么叫做两个向量等阶？ 答：设12,,
,,m αααβ都是数域P 上的n 维向量，如果有P 中的m 个数1,,m k k ，使
1122m m k k k βααα=++
+，
那么称β是12,,
,m ααα的线性组合，或称β可以由12,,
,m ααα线性表出（线性表示）.
如果向量组12,,,r ααα中每个向量都可以由向量组12,,
,s βββ线性表出，且
12,,,s βββ中的每个向量都可以由12,,,r ααα线性表出，那么称向量组12,,,r ααα与
向量组12,,
,s βββ是等价的.
10.向量组之间的等价是不是一种等价关系？ 答：是的.不难证明以下三条成立：
1） 反身性：每一个向量组都与自身等价. 2） 对称性：如果12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，那么12,,,s βββ也与12,,,r ααα等
价.
3） 传递性：如果12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，而12,,,s βββ与12,,,t γγγ等价，
那么12,,
,r ααα与12,,,t γγγ等价.
11.向量的线性相关性有哪些主要性质？ 答：容易证明的有：
1） 零向量是线性相关的.含零向量的向量组也是线性相关的 2） 单个非零向量是线性无关的. 3） 设向量组()12,,,2m m ααα≥，则它们线性相关⇔至少存在一个向量，它可以由其
余向量线性表出.
4） 向量组()I 中如果有部分向量线性相关，则()I 一定线性相关. 5） 向量组()I 线性无关，则()I 的任意一个部分组必线性无关. 6） 向量组12,,
,r ααα可以由向量组12,,,s βββ线性表出，则12,,,r ααα线性无关
r s ⇔≤.
7） 任意1n +个n 维向量必线性相关.
8） 两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量. 12.
(){}12,,,|.n n i P c c c c P =∈()1,,,1,2,,n i i in a a P i m
α=∈=，则
12,,,m ααα线性相关'0A x ⇔=有非零解，其中()()'
1,,ij m m n A a x x x ⨯==.
7.
设
()()
1,1,
,,,
,1,2,
,n i i ik i k in a a a a P i m α+=∈=，令
()1,,i ik βαα=()1
,2,,i m =则 1）若12,,
,m ααα线性相关⇒12,,,m βββ线性
相关；
2）若12,,
,m ααα线性无关⇒12,,
,m βββ线性无关.
证：1）若存在不全为零的数1,
,m l l ，
使110m m l a l a ++=，
则当然有110m m l l ββ++=.
2）用反证法.若12,,,m ααα线性相关，则由1）知12,,,m βββ也线性相关，矛盾.
13.如果12,,
,m ααα线性无关，但12,,,,m αααβ线性相关，那么β可由12,,,m ααα线
性表出，且表示法唯一.
证：由假设存在一组不全为零的数11,,m k k +使1110m m m k k k ααβ++++=.
若10m k +=，则由110m m k k αα++=，可证10m k k ===.这与假设矛盾，故10m k +≠，
于是11m m l a l a β=+
+，其中
1/,1,2,
,i i m l k k i m +=-=.
即β可由12,,,m ααα线性表出. 若
1111m m m m l a l a s a s a β=+
+=+
+，则
()()1110m m
m l s l
s αα
-++-=.由
12,,,m ααα线性无关，得()1,2,,i i l s i m ==，即表示法是唯一的.
14.什么叫做极大线性无关组？ 答：如果向量组的一个部分组满足 1） 此部分组线性无关；
2） 原向量组每个向量都可由这个部分组线性表出，则称此部分组是原向量组的一个极大线
性无关组.
注：向量组与极大线性无关组是等价的.
15.一个向量组的极大线性无关组是否唯一？
答：一般不唯一.比如，()()()0,0,1,0,2,0αβγ===，
则β是,,αβγ的极大线性无关组；γ也是,,αβγ的一个极大线性无关组.
注：○1一个向量组有多个极大线性无关组时，这些极大线性无关组之间也互相等价.
○
2由5.可知两个极大线性无关组虽可不同，但它们所含向量的个数相等.
16.什么叫做向量组的秩？ 答：向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩.只含零向量的向量组，规定它的秩为0.
17.设V 是数域P 上的线性空间，1,
,n αα，1,,s V ββ∈，且1,,n αα线性无关，
()()11,
,,
,s n A ββαα=，其中(),i j i j n s A P αα⨯=∈，再设()1,
,s A c c =，其中
1,
,s c c 为A 的n 维向量.若A k =秩，
且1,,i ik c c 为()1,
,s A c c =的一个极大线性无
关组，则
1）由（1）式知()12,,,,1,2,
,i n i c i s βααα==. （2）
○1先证1,
,i ik ββ线性无关.设110i k ik l l ββ+
+=，那么
110i k ik l l ββ=+
+
()()112112,,
,,,,n i k n ik
l c l c αααααα=++
()()1211,,
,,,.n i k ik l c l c ααα= （3）
因为12,,,n ααα线性无关，由（3）知11,,0i k ik l c l c = （4） 在n
P 中，1,
,i ik c c 线性无关，由（4）知10k l l =
==.
○2其次，再任取
{}12,,,s ββββ∈，那么i c 可由1,,i ik c c 线性表出，即
11i i k ik c m c m c =+
+，于是()12,,
,i n i c βααα= ()()1211,,
,n i k ik m c m c ααα=+
+
()()112112,,,,,,n i k n ik m c m c αααααα=++
11i k ik m m ββ=+
+.
综合○1、○2，即知1,,i ik ββ为1,,s ββ的一个极大线性无关组.
2）由1）即得{}1,
,=s k A ββ=秩秩.
注：这解决了求抽象线性空间V 的向量组的秩的问题.同时还把求极大线性无关组的问题转化为求n
P 中一个向量组的极大线性无关组的问题（而这是已知的）. 18.
设
()4321642
f x x x x x =++-+，
()422234
f x x x x =++-，
()4323491622f x x x x x =+--+，()43473f x x x x =+-+，求()1f x ，()2f x ，()3f x ，()4f x 的极大线性无关组.
解：把()i f x 都看成[]5P x 中元素，取[]5P x 中一组基2
3
4
1,,,,x x x x ，那么
()()234
123461
174041,,,1,,,,12901316124223f f f f x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭
（1）
令
123461174041,,,,12901316124223C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可求出1234,,,C C C C 的一个极大线性无关组为234,,C C C .于是（1）式中相应的
()()()234,,f x f x f x 为()()()()1234,,,f x f x f x f x 的一个极大线性无关组.
19.设1103301121,,,,24127142056A B C D F --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
为线性空间
22
R ⨯的一组基，那么()()111221221031
213011,,,,,,,.217254
2140
6A B C D F E E E E ⎛⎫ ⎪--
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
而10312130113217254
2140
6⎛⎫ ⎪--
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
秩，所以向量组,,,,A B C D F 的秩等于3. 20.设1,
,s αα的秩为r ，1,
,r i i αα是1,
,s αα中r 个向量，使得1,,s αα中每个向
量都可被它们线性表出，则1
,,r
i i
αα是1,,s αα的一个极大线性无关组.
证：由假设可知1,
,s αα可由1,,r i i αα线性表出，但1,,r i i αα可由1,
,s αα线
性表出是显然的，从而彼此等价.那么{
}
{}11,
,=,
,=r i i s r αααα秩秩.
1,,r i i αα∴线性无关.
21.如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩.
证：当向量组()II 的秩为无穷时，结论显然成立.当()II m =秩时，由假设()I 的极大线性无关组也可由()II 的极大线性无关组线性表出，那么由5.之6）可证()()I II m ≤=秩秩. 注：由此可知等价的向量组具有相同的秩.
22.设12,,
,n n P ααα∈，n 维标准单位向量()()11,0,,0,,0,0,,1n εε==可被它们
线性表出，则12,,,n ααα线性无关.
证：1,
,n αα显然可被1,,n εε线性表出，又1,,n εε可被1,,n αα线性表出，从而它们
等价，于是由15.的注知()()11,,=,,=n n n ααεε秩秩.即知1,
,n αα线性无关.
注：○1这个命题的逆命题也是对的.
○
2在抽象的n 维线性空间V 中，此命题可改为：设
1,,n ββ为V 的一组基，
1,,r V αα∈且1,,n ββ可由1,,n αα线性表出，则1,,n αα也是V 的一组基.
○
3也可改述为：设1,,n αα是线性空间V 中的一组n 维向量，则1,,n αα线性无关
⇔V 中任一n 维向量都可被它们线性表出.
23.证明：向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组. 证：设n 维向量组()I 中一个线性无关组()12II :,,
,s ααα，
如果()I 中每个向量可经()II 线性表出，则()II 为()I 的一个极大无关组.否则至少有一个向量()I α∈不能由()II 线性表出，将添到()II 中成为向量组()III ，则()III 中向量是线性无关的.这样继续下去，经过有限步（不大于n ）后，向量组()II 即可扩充为()I α∈的一个极大无关组.
24.设向量组12,,,m ααα线性无关，12,,,,,m αααβγ线性相关.证明：或者β与γ中至
少有一个可由12,,,m ααα线性表出，或者12,,
,,m αααβ与12,,
,,m αααγ等价.
证：因12,,
,,,m αααβγ线性相关，所以存在不全为零的数12,,
,,,m k k k b c 使
110m m k k b c ααβγ+
+++=.
显然，,b c 不全为零，否则与12,,,m ααα线性无关矛盾.当0,0b c ≠=时，β可由
12,,,m ααα线性表出；当0,0b c ≠≠时，β可由12,,,,m αααγ线性表出，γ可由
12,,,,m αααβ线性表出，因而12,,,,m αααβ与12,,,,m αααγ等价.
25.设12,,
,n n P ααα∈且线性无关，则12,,
,n A A A ααα线性无关⇔()=A n 秩.其中A
是数域P 上的n n ⨯矩阵. 证：令()12,,
,n B ααα=.因1,
,n αα线性无关，所以0B ≠.
必要性 设12,,,n A A A ααα线性无关，即
()()11,,,
,0n n A A A AB A B αααα===≠.
所以0A ≠，即()=A n 秩.
充分性 设()=A n 秩，即0A ≠，从而
()()11,
,,,0n n A A A AB A B αααα===≠.
所以12,,,n A A A ααα线性无关.
26. 设向量组12,,
,s ααα的秩为r ，在其中任取m 个向量12,,
,m
i i i ααα，则
{
}
12,,
,m i i i r m s ααα≥+-秩.
证：设12,,,m i i i ααα的秩为t ，现将它的一极大无关组（含t 个向量）扩充为1,,s αα的
一个极大无关组（含s 个向量）.因此扩充的线性无关向量的个数为r t -.因1,,s αα除向量
组1,,m i i αα外，还有s m -个向量，因此，r t s m -≤-，即t r m s ≥+-.
27.设123r βααα=+++，213r βααα=+++，
，121r r βααα-=++
+，则
1）1,,r ββ与1,
,r αα有相同的秩；
2）1,
,r αα的任意一个极大线性无关组也是11,
,,,
,r r ααββ的极大线性无关组.
证：1）由假设知1,,r ββ可由1,
,r αα线性表出.但是
()()1212+=1r r r βββααα++-+++
()
()12121
=
+1r r r αααβββ++
+++- （1）
用（1）式减去假设的每一个式子，可得
11221212211
,11
1121,
111112.11
1
r r r r r r r r r r r r r r r r αβββαβββαβββ-⎧=+++
⎪---⎪
-⎪=+++⎪---⎨⎪⎪
-⎪=+++
⎪⎩--- 即1,
,r αα也可由1,
,r ββ等价，所以{}{}11,
,,,r r r ββαα=≤秩秩.
2） 由1）知1,,r αα与11,,,,
,r r ααββ等价，可知1,,r αα的一个极大线性无关组就
是11,,,,,r r ααββ的一个极大线性无关组.
28.设向量组1,
,s αα中10α≠且每个()2,3,,i i s α=都不能由11,
,i αα-线性表出，则
1,,s αα线性无关.
证：用反证法.如果1,
,s αα线性相关，那么有不全为零的数12,,,s k k k 使
1122=0s s k k k ααα++
+ （1）
从右至左，设第一个不为零的数是l k ，而10l s k k +=
==，则（1）式为
1122=0l l k k k ααα++
+.
因10α≠，所以1l ≠，故1
1212111
1
l l l k k k
k k k αααα--=-
---
.即l α可由121,,,l ααα-
线性表出，此与题设矛盾.所以1,,s αα线性无关.
29.如果()()()123,,f x f x f x 是线性空间[]P x 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么它们线性无关.
证：用反证法.如果它们线性相关，即存在不全为零的数123,,k k k ，使
()()()1122330k f x k f x k f x ++=.
不妨设10k ≠，则()()()32
12311
=
k k f x f x f x k k --+. 此式说明()()23,f x f x 的最大公因式就是()1f x 的因式，即
()()()()()()()1
2
3
2
3
,=,f x f x f x f x f x .
此与()()()()
123,=1f x f x f x 及()()()
23,1f x f x ≠矛盾，所以()()()123,,f x f x f x 线性无关.
30.设12,,
,m ααα线性无关，则122311,,,,m m m αααααααα-++++线性无关的充分必
要条件是m 为奇数.
证：令112223111,,
,,m m m m m βααβααβααβαα--=+=+=+=+，由题设得
()()1212,,,,,
,m m A βββααα=，其中10
11
00
1
1n m
A ⨯⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 按第一行展开，
()
1
2,110,m m A m +⎧=+-=⎨
⎩为奇数；
为偶数，
而12,,,m βββ线性无关的充分必要条件是0A ≠，即m 为奇数
31.设向量组12,,,m ααα线性相关，但其中任意1m -个向量都线性无关，则 1）等式1122=0m m k k k ααα+++中的系数()1,
,i k i m =或者全为0，或者全不为0.
2）当存在两个等式
1122=0m m k k k ααα+++ （1） 1122=0m m l l l ααα++
+ （2）
其中10l ≠时，（1），（2）的对应系数成比例：
12
12
m
m
k k k l l l ===
. 证：1）当()1,
,i k i m =全为0时，恒为等式的解.以下设有一个i k 不等于0，不失一般性，
设10k =.此时其余的()2,
,i k i m =都不为0.若等式化为()100j j j i
k k α≠=≠∑，于是这
1m -个向量线性相关，此与题设矛盾.
2） 由于10l ≠，由1）知: 2,
,m l l 均不为0.如果()1,,i k i m =全为0，那么结论成立.
否则i k 全不为0，()()112i l k ⨯-⨯，得()()11212211100m m r l k k l l k k l ααα-+-++-=.
由
1），因
1α的系数为0，所以2,,m αα的系数全为0，即
121210m m l k k l l k k l =-==-，即
12
12
m
m
k k k l l l ===.
32.求向量组()11,2,2,3α=-，()22,4,1,3α=--，()31,2,0,3α=-，()40,6,2,3α=，
()52,6,3,4α=-的一个极大线性无关组.
解1（初等变换法）以12345,,,,ααααα为列作矩阵A ，对A 施行初等变换为阶梯型矩阵B ：
121
0212102242660322121023000313333400000A B ----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪---
⎪ ⎪
=→= ⎪ ⎪---
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 由B 可知：124,,ααα；134,,ααα；125,,ααα；135,,ααα均为原向量组的极大无关组. 注：用这种方法可以找到向量间的全部极大无关组.
解2（子式法）因矩阵A 的4阶子式均为0，而3阶子式1
102
2
61202
2
--=-≠，所以134,,ααα为一极大无关组.
解3（逐一扩充法）因10α≠，所以1α线性无关，又因12,αα对应分量不成比例，故12,αα线性无关.因123,,ααα线性相关（这可由123,,ααα作成的矩阵的所有3阶子式为0看出），所以3α不收入.再观察124,,ααα，由于124,,ααα作成的矩阵有非零的3阶子式，所以
124,,ααα线性无关，又因1245,,,αααα线性相关，所以124,,ααα为一极大无关组.
33.什么叫做线性空间的基于维数？
答：如果数域P 上的线性空间V 有n 个线性无关的向量12,,
,n ααα，而且V 中每个向量
都可以由它们线性表出，那么称这组向量为V 的一组基（基底）.也称12,,,n ααα生成（或
张成）线性空间V .12,,
,n ααα为V 的一组生成元.基中所含向量的个数n 称为V 的维数，
记作dim V n =或()V n =维.称V 为维线性空间.
如果V 中有任意多个线性无关的向量，那么称V 为无限维线性空间，记为dim V =∞.如果{}0V =，那么称V 是零维的，记为dim 0V =.
注：○1线性空间V 的基，实际上就是V 的一个极大线性无关组.
○
2一个线性空间V 有一组基1,
,n αα，取
()
ij n n
A α⨯=，当0A ≠时，令，其中
为的列向量，令()1,,n A c c =，其中1,
,n c c 为A 的列向量，令
()1,,i n i c βαα=()1,2,,i n =则可知1,,n ββ也是V 的一组基.由此可知V 的基不是
唯一的.
○
3两组基之间是互相等价的，因为向量组的两个极大线性无关组是互相等价的.
34.几类重要的线性空间的维数与基是什么？
答：1）数域P 看成自身上的线性空间，则1是它的一组基，dim 1P =. 2）复数域C 看成实数域R 上的线性空间，1,i 是C 的一组基，dim 2P =.
3）实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，则dim P =∞.事实上，21,,,ππ是线性
无关的.因为如果2
1,,,
,n πππ线性相关的话，那么π是代数数了，而π是超越数.故对一
切自然数n ，向量组21,,,
,n πππ都线性无关，由n 的任意性，故dim P =∞.
4）全体正实数R +
，定义a b ab ⊕=，k
k a a =，则R +
为R 上的1维线性空间.任何
一个非零向量都是其一组基.因1是其零向量，取定(),1,1R R
a ββα++
∈≠∀∈≠，有
()log log βα
βαβ
αβ==，即α可由β线性表出，所以是一维的.
5）数域P 上的全体n 元数组构成的线性空间n
P 是n 维的，()11,0,,0ε=，
()20,1,,0ε=，，()0,,0,1n ε=是一组基.
6）n 元齐次线性方程组0Ax =（A 为m n ⨯矩阵，()=A r 秩）的解空间是n r -维的，其基础解系是它的一组基.
7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体m n
P
⨯的维数是mn .以ij E 表示第i 行第j 列元素
为1，其余元素为0的m n ⨯矩阵，则()1,2,
,;1,2,
,ij E i m j n ==为m n P ⨯的一组基.
8）实数域上全体n 级实对称矩阵构成的线性空间的维数是
()
12
n n +.()1ij ij E E i j n +≤≤≤为一组基. 9）实数域上全体n 级反对称矩阵构成的线性空间的维数是
()
12
n n -.()1ij ij E E i j n -≤≤≤为一组基. 10）实数域上全体n 级上三角矩阵构成的线性空间的维数是()
12
n n +.()1ij E i j n ≤≤≤为一组基.
11）全体形如1
230n n
X P X X ⨯⎛⎫∈
⎪⎝⎭
的矩阵（1X 为r r ⨯矩阵）构成的线性空间，因零块有()r n r -个元素，所以线性空间的维数是()2
n r n r --.()
,;,1,2,,ij E i r j r i r j n ≤≤≥=为一组基.
12）全体n n
A P
⨯∈且满足0trA =（A 的迹为0）的矩阵构成的线性空间的维数是
()()2
211n
n n n -+-=-，除nn E 外的一切,,1,2,
,ij E i j n =为一组基.
13）次数小于n 的一元多项式的全体加上零多项式构成的线性空间[]n P x 的维数是n ，且2
11,,,
,n x x x -为一组基.
14）线性空间()()[](){}
|10
n W f x f x R x f =∈=且的维数是1n -.且
121,1,,1n n x x x -----是W 的一组基.
15）数域P 上m 元n 次齐次多项式
()()
12
12
11212
,,,m
m
m k k k m k k
k m i k k n
f
x x x x x x k α+
+==
∑
为正整数和零多项式构成的线性空间的维数是
()()()()1211n n n m m +++--!
，
12
12m
k k k m
x x x 1m i i k n =⎛⎫
= ⎪⎝⎭
∑为一组基.事实上，上述向量组线性无关是显然的，它的个数实际上是从m 种元素中每次取n 个元素的有重复的组合数，即()12n
m x x x ++
+展开后不同类的项数：
()()()()1
111211n n m m n m n m n n n m C C C m -+-+-+++-===
-!
.
16）分量属于复数域的全体n 元数组构成实数域R 上的线性空间的维数是
2n .()11,0,,0ε=，()20,1,
,0ε=，
，
()0,,0,1n ε=，()11,0,,0η=，
()20,1,,0η=，，()0,
,0,1n η=为一组基（为虚数单位）.
17）线性空间V 中m 个向量生成的子空间()1,
,m L αα的维数等于1,
,m αα的秩，
1,,m αα的任一极大无关组都是()1,,m L αα的一组基.
36.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中
210000,00A ωωω⎛⎫
⎪
== ⎪ ⎪
⎝⎭
解：因为212ω-=，31ω=，所以21,3;
,31;,3 2.
n
n k n k n k ωωω=⎧⎪==+⎨⎪=+⎩
从而
2232100,3;
00,,,31;00,3 2.
n E n k A A E A A n k A n k ωω=⎛⎫⎧⎪ ⎪
====+⎨ ⎪⎪ ⎪
=+⎝⎭⎩
设21230k A k A k E ++=，得1232
123212300,0.
k k k k k k k k k ωωωω++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
，
（1）
因系数行列式不为零，所以方程组（1）只有零解：1230k k k ===.说明2
,,E A A 线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是2
,,E A A 的线性组合，所以V 的维数是3. 2,,E A A 是V 的
一组基.
37.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中
()12
0,,0
i j i
n a a A a a i j a R a ⎛⎫
⎪
⎪=≠≠∈ ⎪ ⎪⎝⎭
.
解：易证对正整数k ，有
11201
100k k
n n k n a a A k E k A k A a --⎛⎫ ⎪
⎪==++
+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
. （1）
事实上，由矩阵的相等得，
101111110121221011,
,
.
n k n n k
n n k n n n n k k a k a a k k a k a a k k a k a a ------⎧++
+=⎪
+++=⎪⎨⎪⎪++
+=
⎩ （2）
（2）式的系数行列式D 是范德蒙行列式，故()10j
i i j n
D a
a ≤≤≤=-≠∏.
所以方程组有唯一解011,,,n k k k -.这就证明了（1）.
再令
10110n n k E k A k A --++
+= （3）
（3）式为（2）式右端为零的情形.由于0D ≠，所以只有零解：0110n k k k -====，
说明1,,
,n E A A -线性无关.
由于A 的实系数多项式()f A 是2
1,,,
,n E A A A -的线性组合，所以dim V n =，
21,,,
,n E A A A -为一组基.
38.设V 为数域P 上的线性空间，V 为从V 中任取m 个元素组成的向量()12,,,m ααα的
集合.
1）按向量的加法和数乘运算，V 为P 上的线性空间； 2）当V 为无限维时，V 也是无限维； 3）当V 为n 维时，求V 的维数和一组基. 证：1)
()0=00V ∈，，，V ∴非空.另外，V 关于加法和数乘运算封闭，且满足定义中的
8条规则，所以V 是域P 上的线性空间. 2）当V 是无限维时，取
12,,,n βββ为V 的n 个线性无关的向量，令
(),0,,0i i ηβ=()1,2,,i n =，则12,,,n ηηη线性无关.由n 的任意性知，V 有任意个
线性无关的向量，即V 是无限维的.
3）当dim V n =，可推得dim V mn =. 事实上，设12,,
,n εεε为V 的一组基.令()1,0,,0i i ηε=，()20,,,0i i ηε=，
，
()0,0,,n
i i ηε=，1,2,,i n =，则这个m n ⨯个向量均线性无关.
()12,,
,m V αααα∀=∈，因()1
1,2,
,n
j ij i i k j m αε=∀==∑，
所以
()12121
11,,
,,,
,m n
n
n
m i i i i i i i i i k k k αααεεε===⎛⎫
= ⎪⎝⎭
∑∑∑
()()()
1211
1
,0,
,00,,
,00,0,
,n
n
n
i i i i i i im i i i i i k k k εεεεεε====++
+∑∑∑11221
1
1
n
n
n
i i i i im im i i i k k k ηηη====++
+∑∑∑.
即α可由mn 个向量()1,
,;1,,ij i n j m η==线性表出，所以它们是V 的一组基，
dim V mn =.
39.什么叫做向量的坐标？
答：设V 为数域P 上的n 维线性空间，1,
,n αα为V 的一组基.设V β∈，则
()111221,
,n n n n k k k k k βααααα⎛⎫ ⎪=++
+= ⎪ ⎪⎝⎭
.
称()1,
,n k k 为β在基1,
,n αα下的坐标.
注：○1同一个向量β，在不同基下的坐标一般是不相同的.
○
2同一个β，当基1,
,n αα排列顺序不同时，坐标也不同.比如V 的一组基为
123,,ααα，令12335βααα=++，那么β在基123,,ααα下的坐标为()1,3,5，而在下的
坐标为()1,5,3.
○
3这里的坐标概念是解析几何中坐标概念的推广.在平面解析几何中，相当于取基
()11,0e =，()20,1e =，在空间解析几何里，相当于取基()11,0,0η=，()20,1,0η=，
()30,0,1η=.而代数中是把它们抽象化，并把上述情形作为特例. V 中的基1,,n αα相当
于建立一个坐标系.β的坐标()12,,
,n n k k k P ∈，相当于β在坐标系12,,
,n ααα下的坐
标.
40.什么叫过渡矩阵？
答：过渡矩阵相当于n 维线性空间V 的两组基之间的变换公式.下面给出定义.
设1,
,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，那么
()1,,i n i c βαα=，1,2,,k n =. （1）
其中
12,,1,2,
,i i i ki ni c P k n αα
αα⎛⎫ ⎪ ⎪=∈= ⎪ ⎪⎝⎭
.
把（1）式改写为
()()11,
,,
,n n A ββαα=. （2）
其中
()
()1,
,n n ij n n n
A c c P α⨯⨯==∈.
称A 为基1,
,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵，并称（2）为基变换公式.
注：○1如果0A ≠，即A 为可逆矩阵.
○2由（2）式知()()111,,,,n n A ααββ-=， （3）
即1
A -为基1,
,n ββ到基1,,n αα的过渡矩阵.
○
3求1,,n αα到1,
,n ββ的过渡矩阵A ，只要求出每个i β在基1,
,n αα下的坐标
（1）即可.
41.什么叫坐标变换公式？ 答：设1,
,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，由基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵为A .
向量γ在基1,,n αα下的坐标为()1,,n x x .设γ在基1,,n ββ下的坐标为()1,,n y y ，
那么
111n n y x A y x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （1） 公式（1）称为坐标变换公式.
42.设1,
,n αα为线性空间V 的一组基.
1）1121212,,,n n βαβααβααα==+=++
+也是V 的一组基.
2）当向量α在基1,,n αα下的坐标为(),1,,2,1n n -时，求α在基1,
,n ββ下的坐标.
证：1）因为()()11,
,,,n n A ββαα=，其中
1101A ⎛⎫ ⎪
=
⎪ ⎪⎝
⎭
，1A =， 所以1,,n ββ线性无关，从而为V 的一组基.
2）设α在基1,
,n ββ下的坐标为()1,
,n x x ，由坐标变换公式知
12111
0111112201111n n n x n n x A x -⎛⎫
⎛⎫
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
. 43.在[]3P x 中，求2
2
1,,x x x x ++到基2
2
1,,x x x x -+的过渡矩阵. 解：因为2
1,,x x 为[]3P x 的基，所以
()()()2222
1001,,1,,1101,,111x x x x x x x x A ⎛⎫
⎪++=-= ⎪ ⎪-⎝⎭
. （1） 于是
()()()2221221001,,1,,=1,,110111x x x x x x A x x x x -⎛⎫
⎪
=++++- ⎪ ⎪-⎝⎭
. （2） 又
()()()2222
1001,,1,,0111,,011x x x x x x x x B ⎛⎫
⎪-+== ⎪ ⎪-⎝⎭
， （3） 将（2）代入（3）得
()()()22221221001,,1,,1,,111120x x x x x x x x A B x x x x -⎛⎫
⎪
-+=++=++- ⎪ ⎪-⎝⎭
. 所以100111120C ⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
为所求的过渡矩阵.
44.已知
()()(
)()12341,1,1,1,1,1,1,1,
1,1,1,1,1,1,1,1,εεεε=⎧⎪
=--⎪⎨
=--⎪⎪=--⎩
()()(
)()12341,2,3,1,2,1,0,1,
1,1,0,1,2,1,1,2,ηηηη=⎧⎪
=⎪⎨
=--⎪⎪=-⎩
分别是4
P 的两组基，求i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵.并求()1,1,0,1δ=-关于基
1234,,,ηηηη的坐标.
解：因为()11,0,0,0δ=，()20,1,0,0δ=，()30,0,1,0δ=，()40,0,0,1δ=是4
P 的基，由
i δ到()1,2,3,4i i ε=的过渡矩阵A 以及由δ到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵B 分别为
1111111111111111A ⎛⎫ ⎪--
⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭， 1212211130011112B ⎛⎫
⎪- ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭
由i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵为1
A B C -=，
1
741212141103443212C A B --⎛⎫
⎪
- ⎪
==
⎪ ⎪
--⎝⎭
. 令δ关于基()1,2,3,4i i η=的坐标为()1234,,,x x x x ，则
121341112105413x x B x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 45.什么叫做线性子空间？
答：设W 是数域P 上线性空间V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算（加法和数量乘
法）也构成线性空间，则称W 为V 的一个线性子空间，简称子空间.
46.什么叫做V 的平凡子空间？
答：V 中仅含单个零向量的子空间称为零子空间，V 本身也是V 的一个子空间，这两个子空间称为V 的平凡子空间，V 除平凡子空间外的子空间（如果存在的话），称为V 的非平凡子空间.
47.什么叫做生成子空间？
答：V 中任意m 个向量的所有可能的线性组合
(){}111,,|,1,2,,m m m i L k k k P i m αααα=+
+∈=
构成V 的一个子空间，称为由1,
,m αα张成（或生成）的子空间.
注：这一记号非常重要.设V 是n 维的，若()1,,n V L αα=，则1,
,n αα为V 的一组基.
48.怎样判别子空间？
答：设W 是V 的一个非空子集，则W 为V 的子空间的充要条件是：W 对于V 的两种运算是封闭的，即
○
1,W αβ∀∈都有W αβ+∈； ○
2,W k P α∀∈∀∈，都有k W α∈. 条件○1与○2可以合并成一条：,W αβ∀∈及12,k k P ∀∈都有12k k W αβ+∈.
49.生成子空间有哪些主要结论？ 答：1）()()11,
,,,s t L L ααββ=的充分必要条件是1,,s αα与1,,t ββ等价.
2）()()()1111,,,
,,
,,,
,s t s t L L L ααββααββ+=.
3）()1,
,s L αα的维数{}1,,s αα=秩
4）n 维线性空间V 的子空间的一组基必可扩充为V 的一组基.
50.常见到子空间有哪些?
答：1）V 的两个平凡子空间.
2）全体实函数组成的线性空间中，由所有实系数多项式组成一个子空间.
3）[]n P X 是线性空间[]P X 的n 维子空间.
4）线性变换:V V σ→的值域V σ是V 的子空间.设线性变换在某一组基下矩阵为A ，则其维数等于A 秩，σ的核()1
0σ
-是V
的子空间，其维数等于dim V A -秩
5）线性变换:V V σ→的属于特征值λ的特征向量的全体添上零向量是V 的特征子空间，记作V λ.若dim V n =，设σ在某一组基下的矩阵为A ，则()dim V n E A λλ=--秩
6）数域P 上n 元齐次线性方程组0AX =的解空间W 是n
P 的子空间，
dim W n A =-秩.
7. 设
1,,n εε为数域P 上线性空间V 的一组基，m n A P ⨯∈，A r =秩，
()'
1
1,
,n n c c P
α⨯=∈则()'
11|,
,0n
i i n i W c A c c ε=⎧⎫==⎨⎬⎩⎭
∑是V 的n r -维子空间.
证：1）先证W 是V 的子空间.其0W ∈知W 非空（这时取()()1,,0,
,0n c c =即可）.
任取()11,
,n n c c βεε⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭，()11,
,n n d W d γεε⎛⎫ ⎪
=∈ ⎪ ⎪⎝⎭
，
那么
10n c A c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，10n d A d ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
. 12,k k P ∀∈，则
()1112112,
,n n n c d k k k k c d βγεε⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=+ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭，
111112120n n n n c d c d A k k k A k A c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
所以12k k W βγ+∈，从而W 为V 的子空间.
2）设0Ax =的解空间为1W ，则
1dim dim W W n A n r ==-=-秩.
51.什么叫做交空间？
答：设V 是数域P 上的线性空间，()V I λλ∈都是V 的子空间，则I
V λλ∈⋂也是V 的子空间，
并称它为()V I λλ∈的交空间. 注:○1显然I
V λλ∈⋂也是V λ的子空间.
○2子空间的交是线性空间的一种运算.
52. 子空间的交有哪些性质？
答：1）适合交换律：1221V V V V ⋂=⋂；
2）适合结合律：()()123123V V V V V V ⋂⋂=⋂⋂；
3）A ,B 分别为m n ⨯与s n ⨯矩阵，A C B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.设123,,V V V 分别为0Ax =，0Bx =，
0Cx =的解空间，则312V V V =⋂.
53.什么叫做和空间？
答：子空间的和是线性空间的第二种运算.设1V ，2V 都是V 的子空间，则
{}121122|,V V ααααα=+∈∈
也是V 的子空间，记作12V V +.
一般的，设1,
,n V V 都是V 的子空间，它们的和空间定义为
{}1212+
+|,1,2,
,n n i i V V V V i n ααααα++
+==+∈=.
注：○112112V V V V V ⋂⊆⊆+，12212V V V V V ⋂⊆⊆+.
○
2设W 是线性空间，且()W V I λλ⊆∈，则I
W V λλ∈⊆⋂.
○
3设1V W ⊆，2V W ⊆，W 是线性空间，则12V V W +⊆.
54.子空间的和有什么性质？ 答：1）1221V V V V +=+；
2）()()123123V V V V V V ++=++； 3）下面三条等价 （i ）12V V ⊆，
(ii)121V V V ⋂=， （iii ）122V V V +=，
55设1V ，2V 是V 的两个子空间，则1V È2V =1V +2V Û1V Í2V 或2V Í1V 。

证：充分性 显然。

必然性 用反证法。

若1V Ë2V 且2V Ë1V ，那么存在a 1V Î，2V a Ï，2V b Î，1V b Ï，令,g a b =+则12V V g ?。

但1V g Ï且2V g Ï，从而1
2V V g 先。

矛盾。

56设123,,V V V 为V 的三个子空间,若21V V Í,则1231213()V V V V V V V ?=??.
证:先证左Í右.123(),V V V a "吻+则1,,,V a a
b g ?+其中23,V V b g 挝,由21V V Í,
则11,V V b g
a b ?-?,从而121
3,.V V V V b g 吻吻所以1
213V V +.V V a 吻? 再证右Í左.1213V V +V V a "吻I ,则=+a b g ,其中121
3
V V V V b g 吻吻，.所以1123V V V V b g
b g 挝挝，，，,故123=+V =+V +V a b g a b g 挝，,即123V V +V a 吻（）
.
57设12V V ，是n 维线性空间V 的两个子空间，并且满足dim(12V +V )=dim 12)1,V ?（V 证明：
证：1）122
1V V V V 屯或
2）121212{V +V V V }={V V }Ç，，。

证：1）设dim 112212V =r ,dim ,dim()V r V V m =?，则由题设有1
1.m r m ＃+
i)当112
11121
2V V V V =V V V V .r m =峭\峭Q 时，，，
i)1112121V =V +V V V .r m =+\?Q 当时，， 2)
121
21122V V V V =V V +V =V 颓当时，，，故
（1）式成立。

211
22121V V V V =V V +V =V 颓当时，，，
（1）式也成立。

58设m n ´矩阵A 的秩为r ，AX=0的基础解系为1212,,.,,).n r n r b b b b b b --L L 令B=(设
'0B X =的解空间为W ，则
1)dim A W =秩;
2)设'1212A (,,),W=L ).m m g g g g g g =L L 则（，
证1）因为'''i 0(1,2,3,,),0,B 0,=01,2,,).i A i n r AB A B i m b g ==-===L L 故从而（因为B 是()n n
r ?矩阵，'B ´为(n-r)n 矩阵，那么dim () A.W n B n nr r =-=-==秩秩
'''''1211(,,)0,0(1,2,,).{,,}A ,(,,).
m i m m B A B B i m A r W L g g g g g g g g ==\=====\=L L L L 秩秩秩
59.n P 的任一子空间至少一个n 元齐次线性方程组的解空间。

证 设w 是n P 任一子空间。

1）若w={0}，则w 是齐次方程组EX=0的解空间。

2）若
12{0}dim ,,,r
W W
r a a a ?L ，设取为W 的一组基。

令12(,,,),A AX=r A n r a a a =?L 则矩阵为矩阵.秩A=r,得0
的
基
础
解
系
为
'121.B (,).0n r n r W B X b b b b b --==L L ，，，令则为的解空间.
60设11,,,n s t P a a b b L L 与是的两组线性无关的向量.令1121(,,),(,,).s t V L V L a a b b ==L L 再设
齐
次
线
性
方
程
组
AX=0的解空间为W ，其中
1112(,,,,,)
,
d i
m
(
)
d
i
m
.
s t A V V W
a a
b b =?L L 则 证：因为A 为()n s t ?矩阵，故
11121212dim ,,,,,}dim dim dim()dim().
s t W s t A s t V V V V V V a a b b =+-=+-=+-+=?L L 秩秩{
61.求1123212(,,),(,)V L V L a a a b b ==的和与交的基与维数，其中123
1
2(1,2,1,2),(3,1,1,1),(1,0,1,1),(
(1,
2,7,3);a a a b b =--==--=--=-- 解1212312123121232,,,,),{,,,,}4,,,,V V L a a a b b a a a b b a a a b +==Q （而秩其中为极大线性无关组，所以12321212,,,.dim() 4.V V V V a a a b ++=是的一组基
1231212,,,,,V V a a a b b 因为和分别是的基1
21122331122,,V V k k k l l g g a a a b b "吻=++=+
11223311220k k k l l a a a b b ++--=即
按分量展开的系数矩阵的子式
1
3112
1
02011
1
7
2113
--¹----，所以系数矩阵的秩为 4.即
1212
dim() 1.,V V V V ?中任一非
零向量均是一组基。

令
12
11
2
11,0.l l V V V V
b ==吻?可得故且为的一组基
62设12(,,,)n f x x x L 是秩为r 的n 元半正定二次型。

证明：12(,,,)n f x x x L =0的全部实数解构成1.n R n r V -上的维子空间
证 设A 为二次型f 对应的实对称矩阵。

令W 为AX=0的解空间.应A 为半正定矩阵，故存在半正定矩阵B '1.V .A B B W ==使下证 实际上，'000001 1.,0,0,X W AX X A X X V W
V "?=瓮则那么即
反之，
''''0100
0000,X 0,0()()(),
X V AX X B B X BX BX ?==那么'0001
10,0,0,,W.,BX B BX AX X W V V W \===瓮=即故即得1n V R 为的子空间。

其次，
有1dim dim .
V W n A n r ==-=-秩
62令'
'12{/},{/},n n n
n
W A P A A W A P A A 创=?=?-
证明：1212,=.n n
n n
W W P P W W 创Å都是的子空间，且
证：因为
'1212
12
1
1
20,,,,,,,
(
W W W W A
W k k
p ?挝+=所以非空.A A A ''11221122112211.W n n k k k k k k W p ´+=++?A A A A 所以A A 。

为的子空间.
同理，'
1221
2
1
12
2
1
12
2
1122
,,,()(
)W k k P k k k k k k "挝
+=--=-+A ,A A
A A
A A A
,所以112222
(),P n n k k W W ´+?
A A
为的子空间.。