线性代数课件1.5
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《线性代数》1.5第五节 克莱姆法则
按第一行展开. 由于第一行第 j 1 列的元素 aij 的代数 余子式为
b1 A1 j 1 1
1 j 1
a11 a21 an1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1n a2 n ann
b2 bn
把 A1 j 1 的第1列依次与第2列、第3列、…、第j列 互换，有 所以有
现在验证（2）式是方程组（1）的解，也就是要证明
ai1
D1 D D ai 2 2 ain n bi , D D D
(i 1,2, , ,n)
即 ai1 D1 ai 2 D2 ain Dn bi D 考虑有两行相同的 n 1 阶行列式
bi b1 B b2 bn ai1 a11 a21 an1 ain a1n a2 n 0, ann (i 1, 2, , n)
D1
2 4 1 4 1 2 3 1
1 0 2 2 1 0 2 2
1 2 1 4 1 1 2 4 1 4 0 2 2 4 0 2
＝ 2，D2＝
1 2 3 1 1 2 3
2 4 1 4 1 0 2 2 1 1 1
1 2 1 4 1 1 2 4 1 0 2
线 性 代 数
(第二版)
第五节 克莱姆法则
现在，我们应用 n阶行列式来解含有n个未知量的 n 个线性方程的方程组. 一、克莱姆（Cramer）法则 定理1.5.1（克莱姆法则）若线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .
§1.5 行列式的性质
§1.5 行列式的性质行列式是矩阵最为基础的性质之一，它具有众多的特性、定理和性质。
行列式在线性代数、微积分、算法设计、物理、统计学等众多学科中都有着广泛的应用。
了解行列式的性质可以帮助我们更好地掌握矩阵的相关知识，在各个领域更为灵活地应用数学知识。
行列式的性质包括：1. 矩阵中任意两行（列）交换，行列式的值变号，即 $det(A) = - det(A^T)$，其中$A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵。
2. 矩阵中某一行（列）加上另一行（列）的若干倍，行列式的值不变。
3. 矩阵中某一行（列）乘以一个非零常数 $k$，行列式的值乘以 $k$。
5. 对于$n$阶矩阵，行列式可以按任意一行（列）展开，展开后的行列式值等于该行列式中所有元素的代数余子式乘以对应元素的余子式。
6. 若矩阵中有两行（列）的对应元素成比例，则该矩阵的行列式为 $0$。
7. 若矩阵 $A$ 是可逆的，则其行列式值不为 $0$，并且$det(A^{-1})=\dfrac{1}{det(A)}$。
8. 对于矩阵 $A$ 和 $B$，$det(AB)=det(A)det(B)$，其中 $A$ 和 $B$ 的阶数应当相同。
9. 对于 $n$ 级单位矩阵 $I_n$，其行列式的值为 $1$。
这些性质并不是行列式的全部，但是是最基本的性质。
它们在计算行列式的各种方法和技巧中发挥了重要的作用。
掌握这些性质可以使我们更加熟练地应用行列式进行矩阵运算和分析问题。
接下来，我们将对一些常用的性质和定理进行详细的讲解。
对于$n$级方阵$A$，若将它的任意两行交换，则其行列式$det(A)$的值变号。
这意味着行列式具有交换性和反对称性。
对于$n$级矩阵$A$，如将它的第$i$行与第$j$行交换，则有：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix}$$使用这一方法可以将行列式划分成多个简单的子项，方便进行计算。
线性代数1.5 (1)矩阵的初等变换
1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0
0
0
1
,
0
0 0
0
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
0
,
0 0
0
0
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0
0
0
,
1 0 0
0 问题，读者将会在学习完第三章第3.3.1 节之后有深入的理解和答案．所有与矩阵 A 等价 的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准 形是这个等价类中最简单的矩阵.
Linear Algebra
BUCT
小结
Chapter 1 Matrix
初等变换的定义 化矩阵为行阶梯形的初 等变换法 矩阵的等价及其标准形
4
6 4
r2 3r1
r3 r1
r2 3r1
r3 r1
1 0 0
2 4 0
3 8 0
4
6 0
1 2 3 4
14 r2
0
1
2
3
@B,
4r2
0
0
0
2 0
显然，以上每一步 变换都是可以逆回 去的，具体如下：
0 0 0
1 0 0 0 0
0 c4 c1 c4 2c2 0 c5 3c1 c5 8c2 0 c5 6c3
1 0 0
0
0
0
@N
1 0 0
0 0 0
线性代数完整教学课件
2020/10/12
线性代数
2020/10/12
课程简介:
线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程， 它具有较强的抽象性和逻辑性，是高等学校各专业的 一门重要的基础理论课。对线性方程组的讨论，在理 论上和历史上都是线性代数这门学科的起点。由于线 性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线 性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本 课程所介绍的思想和方法广泛地应用于各个学科。
ann
或 diag(a11, a22,…, ann)
ann
2020/10/12 这里当然允许主对角线上的元为零.
2、数量矩阵
定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线上的元都相等，则称 此矩阵为n阶数量矩阵 (scalar matrix).
即
a
A
a O
O
或
a
a
a
a
或 diag(a, a,…, a)
2020/10/12
线性方程组的系数与常数项按原来位置可排
为矩形阵列
a11 a21 an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
b1 b2 bn
对线性方程组的
研究可转化为对 这张表的研究.
这就是矩阵
2020/10/12
二、矩阵概念
定义1.2 由 m n个数aij(i=1,2,…m;j=1,2,…,n)排成一个m行
2020/10/12
引言
矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数 学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发 展，成为在经济学、物理学、生物学、地理学等中 有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学 中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西 勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远， 可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算 术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵， 所用的解法就是矩阵的初等变换。
线性代数
2020/10/12
课程简介:
线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程， 它具有较强的抽象性和逻辑性，是高等学校各专业的 一门重要的基础理论课。对线性方程组的讨论，在理 论上和历史上都是线性代数这门学科的起点。由于线 性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线 性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本 课程所介绍的思想和方法广泛地应用于各个学科。
ann
或 diag(a11, a22,…, ann)
ann
2020/10/12 这里当然允许主对角线上的元为零.
2、数量矩阵
定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线上的元都相等，则称 此矩阵为n阶数量矩阵 (scalar matrix).
即
a
A
a O
O
或
a
a
a
a
或 diag(a, a,…, a)
2020/10/12
线性方程组的系数与常数项按原来位置可排
为矩形阵列
a11 a21 an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
b1 b2 bn
对线性方程组的
研究可转化为对 这张表的研究.
这就是矩阵
2020/10/12
二、矩阵概念
定义1.2 由 m n个数aij(i=1,2,…m;j=1,2,…,n)排成一个m行
2020/10/12
引言
矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数 学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发 展，成为在经济学、物理学、生物学、地理学等中 有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学 中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西 勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远， 可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算 术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵， 所用的解法就是矩阵的初等变换。
线性代数 幻灯片PPT
• 定义8 设有两个n
• 如果向量组A中每一个向量都能由向量组B 线性表示，那么称向量组A能由向量组B线 性表示.
53
线性代数
• 定理6 设有两个n维向量组
•证
出版社 科技分社
54
线性代数
出版社 科技分社
• 因为A组可由B组线性表示，所以存在矩阵
• 使 A=KB.
• 推论 等价的线性无关向量组所含向量个数 相等.
• 2.7 方 阵 的 • 定义12 对n阶方阵A，如果存在一个n阶方
阵B，使AB=BA=E，那么称A是可逆阵，称B 为A的逆阵，记为B=A-1. • 性质1 如果A可逆，那么逆阵惟一. • 证明 设A有两个逆阵B,C
43
线性代数
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44
线性代数
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45
线性代数
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• 定义11 由单位阵经过一次初等变换得到的 方阵称为初等方阵.
• 3种初等变换对应了3类初等方阵.
• 第1类初等方阵：对调E
39
线性代数
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40
线性代数
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41
线性代数
出版社 科技分社
42
线性代数
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• 定理3 设A=(aij)m×n，对A施行初等行变换， 相当于对A左乘相应的m阶初等方阵，对A施 行初等列变换，相当于对A右乘相应的n阶 初等方阵.
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线性代数 课件
本PPT课件仅供大家学习使用 请学习完及时删除处理 谢谢！
1
线性代数
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第1章 行列式
• 1.1 预 备 知 • 设有二元一次方程组
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• 如果向量组A中每一个向量都能由向量组B 线性表示，那么称向量组A能由向量组B线 性表示.
53
线性代数
• 定理6 设有两个n维向量组
•证
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54
线性代数
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• 因为A组可由B组线性表示，所以存在矩阵
• 使 A=KB.
• 推论 等价的线性无关向量组所含向量个数 相等.
• 2.7 方 阵 的 • 定义12 对n阶方阵A，如果存在一个n阶方
阵B，使AB=BA=E，那么称A是可逆阵，称B 为A的逆阵，记为B=A-1. • 性质1 如果A可逆，那么逆阵惟一. • 证明 设A有两个逆阵B,C
43
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• 定义11 由单位阵经过一次初等变换得到的 方阵称为初等方阵.
• 3种初等变换对应了3类初等方阵.
• 第1类初等方阵：对调E
39
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• 定理3 设A=(aij)m×n，对A施行初等行变换， 相当于对A左乘相应的m阶初等方阵，对A施 行初等列变换，相当于对A右乘相应的n阶 初等方阵.
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第1章 行列式
• 1.1 预 备 知 • 设有二元一次方程组
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线性代数完整版ppt课件
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
1.5 线性方程组和克莱姆法则 PPT课件
为非齐次线性方程组.显然，x1 0, x2 0, , xn 0是 齐次线性方程组（2）的解，并称为（2）的零解
《线性代数》课题组
当m=n时
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n x2 b2 叫做n阶线性方程组.
a1n xn 0 a2n xn 0
ann xn 0
1. 如果n阶线性方程组的系数行列式 D 0 ， 则方程组有惟一解.
2. 若n阶齐次线性方程组的系数行列式 D 0 ，则方程组只有零解. 3. 若n阶齐次线性方程组有非零解 ，则系数行列式 D 0.
《线性代数》课题组
1 1 1 2 2 0 1 4 D 3210 1 2 1 2
2 3 1 2 c1 3c3 5 2 3 4 c2 2c3 0 0 1 0
2432
《线性代数》课题组
2 3 1 2
2 3 2
010
5
2
3
4
按第三行展开
1 (1)33 5
2
4 r1 r3 5 2 4
0010
242
242
2432
54
2 0
22
所以，方程组有唯一解
2 1 1 2 2 1 1 2
4 D1 1
0 2
1 1
44
0
3
0 0
4 1 4 1 4
3 3 4 2 3 4
4 2 1 2
0 1 2 0 0 1 2
《线性代数》课题组
同理可求得,
1 2 1 2
2 4 1 4
D2 3 1 1
4 0
线性代数1.5-克拉默法则
, 有
ai 1 a11 ai 1 an1
ai 2 a12 ai 2 an 2
ain bi a1n b1 0, ain bi ann bn
ai 1 a11 ai 1 an1
ai 2 a12 ai 2 an 2
本次课[3]的教学要求
1、理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解 线性方程组。
2、通过练习巩固行列式的性质和运算。
第五节 克拉默法则
方形非齐次线性方组与方形齐次线性方程组的概念
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为方形
非齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零, 此时称方程组为方形齐次线性方程组.
一、克拉默(Cramer)法则 如果方形线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
于是
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D ,
Dx j D j j 1,2,, n.
D1 D2 D3 Dn x1 , x2 , x3 , , x n , D D D D
3
当 D 0 时, 方程组3 有唯一的一个解
Dj D1 Dn 另外，可以证明 ai 1 aij ain bi D D D Dj D1 Dn x1 , , x j , , x n D D D
ai 1 a11 ai 1 an1
ai 2 a12 ai 2 an 2
ain bi a1n b1 0, ain bi ann bn
ai 1 a11 ai 1 an1
ai 2 a12 ai 2 an 2
本次课[3]的教学要求
1、理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解 线性方程组。
2、通过练习巩固行列式的性质和运算。
第五节 克拉默法则
方形非齐次线性方组与方形齐次线性方程组的概念
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为方形
非齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零, 此时称方程组为方形齐次线性方程组.
一、克拉默(Cramer)法则 如果方形线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
于是
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D ,
Dx j D j j 1,2,, n.
D1 D2 D3 Dn x1 , x2 , x3 , , x n , D D D D
3
当 D 0 时, 方程组3 有唯一的一个解
Dj D1 Dn 另外，可以证明 ai 1 aij ain bi D D D Dj D1 Dn x1 , , x j , , x n D D D
线性代数 课件
例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
解： 1) (13 pq ) a11a23a3 p a4 q , pq为24的全排列 ( 所以： 1) (1324) a11a23a32 a44 a11a23a32 a44 ( ( 1) (1342) a11a23a34 a42 a11a23a34 a42 例6 若 a13a2i a32 a4 k , a11a22 a3i a4 k , ai 2 a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号， 后一项带负号。
n(n 1) ( p1 p2 ... pn ) ( pn pn1... p1 ) C 2 n(n 1) ( pn pn1... p1 ) k 2
2 n
例4 求排列(2k ) k 1)2(2k 2)...( k 1) k 1(2 的逆序数, 并讨论奇偶性。 解：2k 的逆序数为 2k 1 ； 的逆序数为 0 1 (2k 1) 的逆序数为 2k 3 ； 的逆序数为0 2 (2k 2) 的逆序数为 2k 5 ； 的逆序数为0 3 ............ (k 1) 的逆序数为 1 ；k的逆序数为0
( p1 p2 ... pn ) (n, n 1,..., 2,1)
1 2 ... ( n 2) ( n 1)
n
0 0 12 ...n ...
n (n 1) 2
1
0 (1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
2.三角行列式 1) 下三角行列式 a11 a21 ... an1 2) 上三角行列式 a11 0 ... 0
自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,…n)，如 果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有τi个，就说
线性代数讲义 (5)
一、初等变换的引入----线性方程组的同解变换
我们来分析用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
x1 2x2 x3 0 3x1 x2 1
1 2
(I)
x1 x2 2x3 1 3
解 2 31
x1 2 5x2
x2 x3 0 3x3 1
1 2
3 1 x2 3 x3 1
所以可以称矩阵A 与 B 等价，记作A ~ B．
例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
三、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 I 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列；
2.以数 0 乘某行或某列；
~ 2
3 5
r2
(
1) 3
r23 (5)
~ 1
0
2
1
c12 ( 2)
0
1
0 0
0
1 0
I2 O
标准形
于是，根据初等变换与初等矩阵的对应关系，有
R23 (5) R2 (
1 3)R13(4)R12(2)R12 AC12(2)
I2 O
根据初等矩阵的逆矩阵仍是初等阵，即得
A
R23 (5) R2
1.5 初等变换和初等矩阵
一、初等变换的引入 方程组的 同解变换
二、矩阵的初等变换 三、初等矩阵的概念 四、初等矩阵的应用 五、小结、思考题
学习思路
本节首先从用消元法解线性方程组入手， 引出方程组的三类可逆的同解变换；再将这三 类变换限制到单位矩阵I 上，得到三类初等矩 阵,并介绍初等变换与初等矩阵之间的关系；最 后介绍了如何用初等行变换来求逆矩阵。
线性代数第一章 矩阵1.5 可逆矩阵
2、A为3阶方阵，A ＝2，求 4A1 A*
3、若n阶方阵A满足A2 2A E 0,证明：
A E可逆，且求其逆.
例5
设有分块矩阵A
பைடு நூலகம்
A11 O
A12
A22
其中A11, A12分别为s阶和r阶可逆矩阵，试证明
A可逆，并求A-1
山东财政学院
注： 设Amm , Bnn均为可逆矩阵，则
推论: 设A, B均为n阶矩阵,并且满足AB E,则A, B都可逆,
且A1 B, B1 A
可逆矩阵有以下性质： 性质1 设A, B均为n阶可逆矩阵,则AB可逆,且
AB 1 B1A1.
山东财政学院
性质2 如果矩阵A可逆，则其转置矩阵也可逆，并且
( AT )1 ( A1)T .
性质3 如果矩阵A可逆，则对于非零常数k, kA也可逆，并且 (kA)1 1 A1. k
性质4 如果矩阵A可逆，则 det A1 1 . det A
补: 由AA* A*A A E,可得
1、A可逆，则A*可逆，且
A*
1
A
A
2、A* A n1
山东财政学院
补例：1、A为5阶方阵，且 A 3,试求：A-1 , A2 , A* , A AT
0
山东财政学院
1.5 可逆矩阵
定义1.10 对于数域F上的矩阵A，如果存在数域F上的矩阵B，
使得AB=BA=E,则称A是可逆的，B为A的逆矩阵， 且A-1 B.
对于一般的方阵A,如何判断A是否可逆呢？下面给出A可逆的 充要条件.
定义1.11 如果n阶矩阵A的行列式detA 0，则称A是非奇异矩阵 （或非退化矩阵），否则称A是奇异矩阵（或退化矩阵）
线性代数 1.5 行列式按 k 行(列)展开——拉普拉斯(Laplace)定理
(1)kr A B (1)kr ab.
. #;
请同学们自己计算下面的行列式：
00ab 00ba ba00 ab00
按第 1，2 行展开 a b (1)(12)(34) b a
ba
ab
(a2 b2 )(b2 a2 ) (a 2 b2 )2
. #;
二、小结
按第 i 行展开 按第 j 列展开
(a 2 b2 )2 D2(n2) (a 2 b2 )n1 D2
(a2 b2 )n1 a b (a2 b2 )n . ba
证明二：（数学归纳法）见课本 P34 .
. #;
a1 0 b1 0 例 计算 4 阶行列式 : 0 c1 0 d1 .
b2 0 a2 0 0 d2 0 c2
. #;
作业
课本 P36：题3 课本 P40：题1. (3) 课本 P41：题5
按第 i1, i2, …, ik 行展开 按第 j1, j2, …, jk 列展开
. #;
思考题
a1 a2 a3 a4 a5
b1 b2 b3 b4 b5
计算行列式 c1 c2 0 0 0 .
d1 d2 0 0 0
e1 e2 0 0 0
思考题解答
等于0. 根据拉普拉斯定理，按照第 3, 4, 5 行展开.
B 为 r 阶矩阵, C为任意 k r 或 r k 矩阵, O 为零矩阵.
. #;
例 设 A 为 k 阶矩阵, B 为 r 阶矩阵, 且已知 A a, B b, 求行列式 O A 的值.
BC
解 将行列式按前 k 行展开 :
O A A (1) B (12k )[(r 1)(r 2)(r k )] BC
. #;
拉普拉斯定理适合于计 算形如
. #;
请同学们自己计算下面的行列式：
00ab 00ba ba00 ab00
按第 1，2 行展开 a b (1)(12)(34) b a
ba
ab
(a2 b2 )(b2 a2 ) (a 2 b2 )2
. #;
二、小结
按第 i 行展开 按第 j 列展开
(a 2 b2 )2 D2(n2) (a 2 b2 )n1 D2
(a2 b2 )n1 a b (a2 b2 )n . ba
证明二：（数学归纳法）见课本 P34 .
. #;
a1 0 b1 0 例 计算 4 阶行列式 : 0 c1 0 d1 .
b2 0 a2 0 0 d2 0 c2
. #;
作业
课本 P36：题3 课本 P40：题1. (3) 课本 P41：题5
按第 i1, i2, …, ik 行展开 按第 j1, j2, …, jk 列展开
. #;
思考题
a1 a2 a3 a4 a5
b1 b2 b3 b4 b5
计算行列式 c1 c2 0 0 0 .
d1 d2 0 0 0
e1 e2 0 0 0
思考题解答
等于0. 根据拉普拉斯定理，按照第 3, 4, 5 行展开.
B 为 r 阶矩阵, C为任意 k r 或 r k 矩阵, O 为零矩阵.
. #;
例 设 A 为 k 阶矩阵, B 为 r 阶矩阵, 且已知 A a, B b, 求行列式 O A 的值.
BC
解 将行列式按前 k 行展开 :
O A A (1) B (12k )[(r 1)(r 2)(r k )] BC
. #;
拉普拉斯定理适合于计 算形如
线性代数第一章第一节PPT课件
01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利 用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是 当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大 大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量 空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列 式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空 间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性 代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩 阵中的每一行可以看作是一 个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切 相关的概念，矩阵可以看作 是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计 算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、 分配律等。
向量可以用有向线段、坐 标系中的点或有序数对来 表示。
向量有大小和方向两个基 本属性，大小表示向量的 长度，方向表示向量的指 向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，表示二维数组。
数学线性代数教学课件PPT
都相等。
01
用克莱姆法则求解方程组实 际上相当于用逆矩阵的方法 求解线性方程组，克莱姆法
则常用于理论证明。
02
03
当方程组有解时，将其中单 位列向量对应的未知量取为 非自由未知量，其余的未知
量取为自由未知量。
04
克莱姆法则。用克莱姆法则 求解方程组有两个前提，一 是方程的个数要等于未知量 的个数。二是系数矩阵的行
线性代数定义
01
矩阵的行数和列数可以不一 样，行列式的行数与列数一 致。只能乘以行列式的一行。
02
03
行列式相等，就是值相等， 行和列数目不必相等，数据
也不必相等。
04
矩阵是一个数表，行列式是 一个数值，n阶的方阵。 矩 阵是用括号表示的，行列式
是用双竖线表示的。
一个数乘以矩阵，矩阵的 每个元素都要乘上这个数。 两个矩阵相等是指对应元素
现代线性代数已经扩展到研究任意 或无限维空间。一个维数为 n 的向 量空间叫做n 维空间。
线性算子将线性空间的元素映射到 另一个线性空间，保持向量空间上 加法和标量乘法的一致性。
每一个线性空间都有一 个基。矩阵非奇异（可 逆）当且仅当它的行列 式不为零。矩阵非奇异 当且仅当它代表的线性 变换是个自同构。
对一个 n 行 n 列的非 零矩阵 A，如果存在一 个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵）， 则 A 为非奇异矩阵（ 或称可逆矩阵），B为 A的逆阵。
矩阵半正定当且仅当它 的每个特征值大于或等 于零。矩阵正定当且仅 当它的每个特征值都大 于零。解线性方程组的 克拉默法则。
Real battle
列式要不等于零。
矩阵消元法。将线性方程 组的增广矩阵变换化为行简 化阶梯形矩阵 ，简化阶梯 形矩阵为增广矩阵的线性方
01
用克莱姆法则求解方程组实 际上相当于用逆矩阵的方法 求解线性方程组，克莱姆法
则常用于理论证明。
02
03
当方程组有解时，将其中单 位列向量对应的未知量取为 非自由未知量，其余的未知
量取为自由未知量。
04
克莱姆法则。用克莱姆法则 求解方程组有两个前提，一 是方程的个数要等于未知量 的个数。二是系数矩阵的行
线性代数定义
01
矩阵的行数和列数可以不一 样，行列式的行数与列数一 致。只能乘以行列式的一行。
02
03
行列式相等，就是值相等， 行和列数目不必相等，数据
也不必相等。
04
矩阵是一个数表，行列式是 一个数值，n阶的方阵。 矩 阵是用括号表示的，行列式
是用双竖线表示的。
一个数乘以矩阵，矩阵的 每个元素都要乘上这个数。 两个矩阵相等是指对应元素
现代线性代数已经扩展到研究任意 或无限维空间。一个维数为 n 的向 量空间叫做n 维空间。
线性算子将线性空间的元素映射到 另一个线性空间，保持向量空间上 加法和标量乘法的一致性。
每一个线性空间都有一 个基。矩阵非奇异（可 逆）当且仅当它的行列 式不为零。矩阵非奇异 当且仅当它代表的线性 变换是个自同构。
对一个 n 行 n 列的非 零矩阵 A，如果存在一 个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵）， 则 A 为非奇异矩阵（ 或称可逆矩阵），B为 A的逆阵。
矩阵半正定当且仅当它 的每个特征值大于或等 于零。矩阵正定当且仅 当它的每个特征值都大 于零。解线性方程组的 克拉默法则。
Real battle
列式要不等于零。
矩阵消元法。将线性方程 组的增广矩阵变换化为行简 化阶梯形矩阵 ，简化阶梯 形矩阵为增广矩阵的线性方
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1 r1 r2 0 ~ 0 0
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0 1 2 1 2 6 0 1 1 0 0 0
1 r1 r3 r2 2 r3 0 ~ 0 0
0 0 3 1 0 8 =C 0 1 1 0 0 0
第一章
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第一章
同样可以得到与初等列变换相应的初等矩阵。显 然对单位矩阵E作一次初等列变换所得的初等矩阵也 包括在上面所列举的这三类矩阵当中。因此, 这三类 矩阵就是全部的初等矩阵。
关于初等矩阵, 我们有下列性质： 性质1.10 初等矩阵都是可逆的, 它们的逆矩阵还是 同类型的初等矩阵： 1)E(i, j)-1=E(i, j)； 2)E(i(k))-1=E(i(k-1))； 3)E(i, j(k))-1=E(i, j(-k))
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第一章
看成线性方程组
x3 2 x1 x x x 4 1 2 3 6 x1 2 x2 2 x3 4 6 x1 9 x2 7 x3 47
所对应的增广矩阵, 则上述阶梯形矩阵B、行最 简形矩阵C就是上述线性方程组所对应的行阶梯形线 性方程组、行最简形线性方程组的增广矩阵。
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第一章
下面我们继续对刚才得到的矩阵C= 作初等列变换：
1 0 C= 0 0 0 0 3 3 c4 8c12 c4 c 1 0 8 ~ c4 c3 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 3 1 0 8 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 0 1 2 1 3 则 E3(1, 2)A 1 0 0 2 1 3 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1
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第一章
即用E3(1, 2)左乘矩阵A, 相当于对A进行初等行变换, 交 换了A的第1行和第2行, 又
第一章
1 1 1 1 4 r 5 r 0 r3 r2 0 1 2 6 ~ ~ r4 3 r2 0 0 1 1 0 0 0 5 5 0 矩阵B具有以下特点：
4 3
1 1 4 1 2 6 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 =F 0 1 0 0 0 0
矩阵F的左上角是一个单位矩阵E, 其余元素全 为0, 这样的矩阵F称为矩阵A的标准形。
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第一章
与上述计算过程类似, 对任意一个矩阵Am×n, 经过 有限次的初等行变换可以化为行阶梯形矩阵和行最 简形矩阵。在行最简形矩阵的基础上再作初等列变 换可得标准形F。标准形可表示为
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第一章
于是, 例1.1的解题过程可以写成下面的形式：
2 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 2 1 r12r1r4 2 1 1 2 r 0 1 0 1 6 r4 r2 0 ~ ~ r3 r1 0 r4 r3 0 1 2 1 4 r r 2 0 1 1 4 4 1 1 1 2 8 0 1 1 3 15 0 8 1 0 -1 -6 0 1 -1 -4 0 0 -5 -25 1 1 2
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第一章
• 在线性代数中, 矩阵的初等行(列)变换是一 种基本的运算手段, 它可以用来解决诸如矩 阵的秩、线性方程组的求解、行列式的计 算等各类计算问题, 可以大大简化计算过程, 减少计算量。在解决某些重要问题, 如线性 相关、矩阵的逆时, 它也是一种重要的手段。 • 这一节我们将建立矩阵的初等行(列)变换与 矩阵乘法的联系, 并在这个基础上, 给出用 初等变换求逆矩阵的方法。
第一章
2.E的第i行乘数k0, 得初等矩阵
1 第i行 E(i(k)) k 1
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第一章
3.E的第j行乘数k加到第i行上, 得初等矩阵
1 第i 行 1 k E(i, j(k)) 第j 行 1 1
定理1.4 可逆矩阵的标准型是单位矩阵。
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第一章
定义1.15 若矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B, 则称矩阵A与矩阵B行等价；如果矩阵A经过有限次初 等列变换变成矩阵B, 则称矩阵A与矩阵B列等价；矩阵 的行、列等价统称为矩阵等价, 记作A~B。 性质1.9 矩阵之间的等价, 具有下列基本性质： 1)自反性A~A； 2)对称性若A~B, 则B~A；
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第一章
与上面例题类似, 我们可以直接验证下述定 理成立。 定理1.5 设A是一个m×n的矩阵, 对A进行一次 初等行变换, 相当于对A左乘相应的m阶初等矩阵； 对A进行一次初等列变换, 相当于对A右乘相应的n 阶初等矩阵。
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第一章
1 0 1 例1.19 若有矩阵 A 2 1 3 , 计算E3(1, 2)A、 0 1 1 AE3(3, 1(2))。
解
0 1 0 1 0 0 E3(1, 2) 1 0 0 , E3(3, 1(2)) 0 1 0 ， 0 0 1 2 0 1
选择节次
第一章
1.交换E的i, j行, 得初等矩阵
1 1 0 1 第i行 1 E(i, j) 1 1 0 第j行 1 1 选择节次
=B
1)每一行非零首元的下方(同一列)都是零； 2)每一行非零首元的列标不小于行标；
3)零行在最后；
具有这些特点的矩阵B称为矩阵A的行阶梯形矩阵。
选择节次
第一章
对例1.18中的所得到的矩阵B再作初等行变换：
4 1 1 1 4 1 1 1 r2 ( 1) B= 0 1 2 6 ~ 0 1 2 6 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
初等行变换：
选择节次
第一章
1 1 1 4 1 2 1 0 r r 1 2 4 A= 1 1 1 1 0 1 2 6 2 2 4 ~1 3 1 1 2 r3 2 6 9 7 47 6 9 7 47
1 r2 r1 r3 3 r1 0 ~ r4 6 r1 0 0
选择节次
4 1 2 6 2 2 14 3 1 23
1 1
1 1 1 4 1 r3 ( ) 2 0 1 2 6 ~ 0 1 1 7 0 3 1 23
3)传递性若A~B, B~C, 则A~C。
选择节次
第一章
数学中, 把某类事物之间具有上述三条性质的关系称 为等价关系。 因此矩阵之间等价的关系是一种等价关系, 线性方程 组之间的同解关系也是一种等价关系。 定义1.16 对单位矩阵E作一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵。 显然, 初等矩阵都是方阵。有三类初等行变换、三类 初等列变换, 可得到三种初等矩阵。
1 0 1 1 0 0 1 0 1 AE3(3, 1(2)) 2 1 3 0 1 0 8 1 3 0 1 1 2 0 1 2 1 1
即用E3(3, 1(2))右乘矩阵A, 相当于对A进行初等列变换, 将A的第3列乘2加到第1列。
1 r4 5 r3 r4 0 ~ r2 r4 0 r1 r4 2 0
选择节次
1 1 0 -2 1 1 0 0 -1 r1 r3 1 0 ~ 0 1 0 1 r1 r2 1 0 0 0 1 5 0
Er F= O
O O mn
与定理1.2对应的, 我们有
选择节次
第一章
定理1.3 矩阵的行最简形是唯一的。 由于行阶梯形矩阵中非零行的行数=行最简形中非零 行的行数=标准形中1的个数, 因此：标准形中m、n、r 是唯一确定的。我们将在第二章中证明：r就是矩阵A 的秩。 对于可逆矩阵, 我们不加证明的给出下述定理：
选择节次
第一章
综上所述, 消元法解线性方程组的三种运算实际 上就相当于对线性方程组的增广矩阵施以相应的初等 行变换。
因此, 在解线性方程组的时候, 我们可以先写出 线性方程组的增广矩阵, 然后用初等行变换将增广矩 阵化为行阶梯形矩阵, 如果有矛盾方程出现, 则原方程 无解。否则继续化成行最简形矩阵, 直接写出原线性 方程组的解即可。
0 0 0 2 1 0 0 1 D 0 1 0 1 0 0 1 5
第一章
与D对应的线性方程组为
x1 2 x2 x3 1 1 x4 5
即原方程组的解为
x1 2 x 1 2 x3 1 x4 5 第来自章第五节初等矩阵
一、初等变换与初等矩阵
二、初等矩阵的应用
选择节次
第一章
• 一、初等变换与初等矩阵 • 初等变换包括： • 线性方程组的初等行变换、矩阵的初等行 (列)变换和行列式的初等行(列)变换。 • 线性方程组的初等行变换在第一节里已经 详细介绍过了, 本节介绍矩阵的初等行(列) 变换, 行列式的初等行(列)变换将在下一章 中学习。
矩阵C具有以下特点： 1) C是阶梯形矩阵； 2)每一行非零首元为1； 3)非零首元所在的列除了这个1以外, 其余全为零。 具有这些特点的矩阵C称为矩阵A的行最简形矩阵。
1 2 1 0 实际上, 如果我们将矩阵A= 1 1 1 4 6 2 2 4 6 9 7 47
选择节次
第一章
• 用消元法求解线性方程组用到三种同解初 等行变换, 把这三种变换移植到矩阵上就得 到矩阵的三种初等行变换。 • 定义1.14 下面的三种变换称为矩阵的初等 行变换： • 1)互换两行(互换i, j两行, 记作ri rj)； • 2)以一个非零的数k乘某一行中的所有元素 (第i行乘数k, 记作kri或ri×k)； • 3)把某一行所有元素乘k后加到另一行对应 元素上去(第j行乘k加到第i上去, 记作ri+krj)。