线性代数PPT全集
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《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数总复习PPT 很全!.ppt
m
x11 x22 xmm 0有非零解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
0非零解
xm
R1,2, ,m m m是向量个数
判别法 1
n个n元1,2 ,
,
线性
n
相关
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
n个n元1,2 ,
,
线性无关
n
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
判别法 2
n阶方阵A可逆 A 0 A E
存在方阵B，使AB E,或BA E 秩 Ann n
A的行(列)向量组线性无关。 齐次线性方程组Ann X 0仅有零解 A的特征值全部 0
可逆矩阵的性质
设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则
1
A1 1 A,
3 AB 1 B 1 A1
线性相关,则必可由1,2 ,
,
线性
m
表示，
并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩
定理
向量
可由1,2 ,
,
线性表示
m
x11 x22 xmm 有解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
有解
xm
R1,2 , ,m R1,2 , ,m，
定理
向量组1,2 ,
,
线性相关
证明 设 x11 x22 x33 0
1.
即
x11 2 3 x21 2 x32 3 0
x1 x2 1 x1 x2 x3 2 x1 x3 3 0
因为1
,2
,3
线性无关,所以
x1 x1
x2 x2
x3
x11 x22 xmm 0有非零解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
0非零解
xm
R1,2, ,m m m是向量个数
判别法 1
n个n元1,2 ,
,
线性
n
相关
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
n个n元1,2 ,
,
线性无关
n
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
判别法 2
n阶方阵A可逆 A 0 A E
存在方阵B，使AB E,或BA E 秩 Ann n
A的行(列)向量组线性无关。 齐次线性方程组Ann X 0仅有零解 A的特征值全部 0
可逆矩阵的性质
设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则
1
A1 1 A,
3 AB 1 B 1 A1
线性相关,则必可由1,2 ,
,
线性
m
表示，
并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩
定理
向量
可由1,2 ,
,
线性表示
m
x11 x22 xmm 有解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
有解
xm
R1,2 , ,m R1,2 , ,m，
定理
向量组1,2 ,
,
线性相关
证明 设 x11 x22 x33 0
1.
即
x11 2 3 x21 2 x32 3 0
x1 x2 1 x1 x2 x3 2 x1 x3 3 0
因为1
,2
,3
线性无关,所以
x1 x1
x2 x2
x3
线性代数ppt
A 其中A是A的伴随阵.
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且 1
1 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 A A .
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22
ann
0 0 ann
1
2.
2
12 n
1
n
3.
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MMM
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且 1
1 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 A A .
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22
ann
0 0 ann
1
2.
2
12 n
1
n
3.
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MMM
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
线性代数PPT
a21 L a2,n1 M N an,1
a1,na2,n1 Lan,1.
a2,n1 an,1 N M L an,n1
a1,n a2n M ann
= (1)
n(n1) 2
a1,n a2,n1 Lan,1.
以上各种形式是计算行列式的常用形式,应该对 这几种形式加以注意并加强对它们的理解和应用.
1.4 行列式的性质
a21 a22 L a2n an1 an2 L ann
a12 M a1n
称行列式 DT 为行列式 D 的转置行列式.
性质1 性质 行列式与其转置行列式相等,即
a11 a21 L an1 a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n a12 a22 L an2 D= = M M M M M M an1 an2 L ann a1n a2n L ann
1 2 n
p1 ≠ 1则 a1p 必为零, 从而这个项也必为零,因此只须考虑 p1 = 1
1
的项.同理只须考虑 p2 = 2, p3 = 3,L, pn = n,也即行列式的展开式 中只有 a11a22 Lann(其他的项乘积均为零),而 τ (12Ln) = 0
因而其符号为正.因此
a11 a22 O ann = a11a22 Lann.
ai1 + kaj1 ai 2 + kaj 2
例6 计算行列式 D的值,其中
D= 1 3 2 2 3 1 0 3 2 0
2 5
5 0
4 2 4 3
解:
1 3 2 5 2 3 1 0 r2 2r1 0 3 5 10 r4 +2r2 = D= = 0 3 4 2 r4 +2r1 0 3 4 2 r3 +r2 2 0 4 3 0 6 8 13 1 3 2 5 r4 2r2 0 3 5 10 = 1× (3) × (1) ×17 = 51 = 0 0 1 12 0 0 0 17
线性代数完整版ppt课件
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
线性代数PPT
0 1 x 0
0 0 0 x
0 0 0 1 a1
43
.
a n 2 a2
例：计算行列式(p15例11)
a D2 n c a b d 2n c d . b
有时，行列式的计算要导出递推公式。
2013-7-22 44
a i 1 , j 1 a i 1 , n a i 1, j 1 a i 1,n a n , j 1 ann
29
2013-7-22
例: 求元素a12 ,a31, a33的余子式和代数余 子式. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
j 1,2,, n.
注意与定义 的区别
2013-7-22 31
定理2：行列式中某一行（列）的元 素与另一行（列）对应元素的代数 余子式的乘积之和为零，即
a
k 1
n
ik
A jk 0 或 aki Akj 0 i j .
k 1
n
2013-7-22
32
n阶行列式的定义2：(递归定义)
2013-7-22
40
二.按行(列)展开法
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n ,
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
j 1,2,, n.
2013-7-22 41
例：计算6阶行列式
Aij 1
i j
M ij称为元素aij的代数余子式
Mij为D中划去aij所在行所在列后剩下的
n-1阶行列式 (aij的余子式) a11 a
线性代数全套课件
2
它们的和
j1 jn
J 1 a1 j a2 j
1
2
anjn
称为n阶行列式。
a11 a12 a1n
记为
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
aij 称为行列式的元素
行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为 零（即i≠j时元素aij＝0）的行列式称为对角行列式， 它等于对角线上元素的乘积。
例 证明
a a n 1 ,1 a n1 a a n 1, 2 an 1
n ( n 1 ) 2
a1n a2,n1 an1, 2 an1
i1 i p i q i n 与 i1 iq i p in 只经过一次对换
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
此式称为n阶行列式的 展开式或行列式的值
D
j1 jn
1
J
a1 j1 a2 j2 anjn
例
计算4阶行列式
a11 D
0
0 0 a 33 a43
0 0 0 a44
a 21 a 22 a 31 a 32 a41 a42
解： 根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一 项的乘积 a1 j1 a2 j 2 a3 j3 a4 j中只要有一个元素为 0，乘积 n 就等于0，所以只需展开式中不明显为0 的项。
它们的和
j1 jn
J 1 a1 j a2 j
1
2
anjn
称为n阶行列式。
a11 a12 a1n
记为
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
aij 称为行列式的元素
行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为 零（即i≠j时元素aij＝0）的行列式称为对角行列式， 它等于对角线上元素的乘积。
例 证明
a a n 1 ,1 a n1 a a n 1, 2 an 1
n ( n 1 ) 2
a1n a2,n1 an1, 2 an1
i1 i p i q i n 与 i1 iq i p in 只经过一次对换
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
此式称为n阶行列式的 展开式或行列式的值
D
j1 jn
1
J
a1 j1 a2 j2 anjn
例
计算4阶行列式
a11 D
0
0 0 a 33 a43
0 0 0 a44
a 21 a 22 a 31 a 32 a41 a42
解： 根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一 项的乘积 a1 j1 a2 j 2 a3 j3 a4 j中只要有一个元素为 0，乘积 n 就等于0，所以只需展开式中不明显为0 的项。
线性代数知识点全面总结PPT课件
一、向量组的线性相关性主要知识网络图
运算
概念
n 线性表示
维
判定
向 量 组 的 线
向 量 线性相关
概念
判定 概念
充要条件 充分条件
性 相
线性无关
判定
充要条件
6、n阶方阵的行列式 (1) |AT| = |A|;
(3) |AB| = |A||B| ; (5) |A*| = |A|n-1 .
(2) |kA| = kn|A| ; (4) |A-1| = |A|-1 ;
第6页/共61页
四、典型例题
1、方阵的幂运算 2、求逆矩阵 3、解矩阵方程 4、A*题
第7页/共61页
2.对A经过有限次初等变换得到B， 则A等价B.
~ ~ 求逆，
行
A E E
A1
A E E 列 A1
用途
求矩阵A的秩、最简型、标准形. 求线第性20方页/程共6组1页的解.
概念 性质
初等方阵
对单位矩阵实施一次初等变换而得到的 矩阵称为初等方阵.
三种初等变换对应三种初等方阵.
初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同 种的初等矩阵.
4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵，则AT ＝A 。 6、若A为反对称矩阵，则AT＝－A 。
第4页/共61页
三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
(1) A + B = B + A ; (2) (A + B ) + C = A + ( B + C ); (3) A + O = O + A = A; (4) A + (－A) = O; (5) k(lA) = (kl)A ; (6) (k+l)A = kA+ lA ; (7) k( A + B )= kA + kB ; (8) 1A = A, OA = O 。
线性代数总复习讲义PPT课件
在金融学中，线性代数用于描述资产价格和风险等经济量，以及计算收益 率和波动率等金融指标。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
(完整版)《大学线性代数》PPT课件
下特页点
结束
a11 a12 … a1n
a21
…
a22 … a2n … ……
=
(-1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn 。
an1 an2 … ann
n阶行列式共有n!项，且冠以正号的项和冠以负号的 项各占一半。
在行列式中，a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行不同列
结束
例2．计算 n 阶下三角形行列式D的值： a11 0 0 … 0 a21 a22 0 … 0
D = a31 a32 a33 … 0 … … … …… an1 an2 an3 … ann
其中aii0(i=1, 2, , n)。
解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，
第一行只能取a11，第二行只能取a22，第三行只能取a33， ， 第 n 行只能取ann。 这样不为零的乘积项只有
结束
对换：
在一个排列i1isitin中，将两个数码 is与it对调， 就得到另一个排列 i1 it is in ，这样的变换称为一个 对换，记为对换(is , it)。
例如，排列 21354 经对换(1, 4)，得到排列24351。 提问：
排列 21354 经对换 (1, 4)，得到的排列是 24351， 排列的奇偶性有无变化？ 提示：
的 n 个元素的乘积。
a1 j1 a2 j2 anjn 之前的符号是 (-1) N(j1 j2 jn) 。
行列式有时简记为| a ij |。一阶行列式|a|就是a。
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四阶行列式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
线性代数课件
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数 第一章 行列式
11
定义 设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
it 这种变换称为对换，记作（ i s ，）
定理1.1 任一 排列经过一次对换后奇偶性发生改变。
定理1.2
n! n级排列共有 n! 个，其中奇、偶排列相等，各为 2
线性代数 第一章 行列式
10
2
a11 a21 a31
n 阶行列式的定义
a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
主讲
田立芳
统计与数学学院
目录 线性代数 第一章 行列式 退出
1
目
录
行列式 矩阵 线性空间 线性方程组 矩阵的特征值 二次型
线性代数 第一章 主页 行列式 线性代数
退出
2
第一章 行列式
§1 n 阶行列式的定义
§2 行列式的性质 §3 行列式的计算 §4 克莱姆法则
线性代数 第一章 行列式
3
§1.1
线性代数 第一章 行列式
18
性质1 对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置行列式相等） 证
D
T
将DT记为
于是有 bij a ji ( i , j 1,2, , n) 按行列式的定义
j1 j2 jn
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数 第一章 行列式
11
定义 设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
it 这种变换称为对换，记作（ i s ，）
定理1.1 任一 排列经过一次对换后奇偶性发生改变。
定理1.2
n! n级排列共有 n! 个，其中奇、偶排列相等，各为 2
线性代数 第一章 行列式
10
2
a11 a21 a31
n 阶行列式的定义
a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
主讲
田立芳
统计与数学学院
目录 线性代数 第一章 行列式 退出
1
目
录
行列式 矩阵 线性空间 线性方程组 矩阵的特征值 二次型
线性代数 第一章 主页 行列式 线性代数
退出
2
第一章 行列式
§1 n 阶行列式的定义
§2 行列式的性质 §3 行列式的计算 §4 克莱姆法则
线性代数 第一章 行列式
3
§1.1
线性代数 第一章 行列式
18
性质1 对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置行列式相等） 证
D
T
将DT记为
于是有 bij a ji ( i , j 1,2, , n) 按行列式的定义
j1 j2 jn
线性代数相关知识培训教程PPT课件( 93页)
那末 A称为对称阵.
例如A162
6 8
1 0
为对称. 阵
1 0 6
说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相
等.
同型矩阵与矩阵相等
1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
Aij (1)i j Mij, Aij叫做元素 aij的代数余子.式
A a i1 A i1 a i2 A i2 a iA n in ( i 1 ,2 , ,n ) A a i1 A j1 a i2 A j2 a iA n jn ( i j)
例1 3 1 1 2 5 1 3 4
p1p2pn
列取 . 和
N阶行列式是一个数,该数是n!项的代数和, 每项为取自表中不同行不同列n个元素的乘 积,符号由这n个元素列标排列的逆序数决定 (行标按自然顺序排列),奇排列带负号,偶排 列带正号.
2. 行列式的性质
1)行列式与它的转置行式列相等,即D DT. 2)互换行列式的两行 (列),行列式变号. 3)如果行列式有两行 (列)完全相同,则此行列式 等于零. 4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k,等于用数k 乘此行列式.
6）逆矩阵
伴随矩阵定义
行列式 A 的各个元素的代数余子式A ij 所
构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 An1 A22 An2 A2n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
伴随矩阵性质
AA A AA E .
逆矩阵定义
例如A162
6 8
1 0
为对称. 阵
1 0 6
说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相
等.
同型矩阵与矩阵相等
1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
Aij (1)i j Mij, Aij叫做元素 aij的代数余子.式
A a i1 A i1 a i2 A i2 a iA n in ( i 1 ,2 , ,n ) A a i1 A j1 a i2 A j2 a iA n jn ( i j)
例1 3 1 1 2 5 1 3 4
p1p2pn
列取 . 和
N阶行列式是一个数,该数是n!项的代数和, 每项为取自表中不同行不同列n个元素的乘 积,符号由这n个元素列标排列的逆序数决定 (行标按自然顺序排列),奇排列带负号,偶排 列带正号.
2. 行列式的性质
1)行列式与它的转置行式列相等,即D DT. 2)互换行列式的两行 (列),行列式变号. 3)如果行列式有两行 (列)完全相同,则此行列式 等于零. 4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k,等于用数k 乘此行列式.
6）逆矩阵
伴随矩阵定义
行列式 A 的各个元素的代数余子式A ij 所
构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 An1 A22 An2 A2n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
伴随矩阵性质
AA A AA E .
逆矩阵定义
线性代数ppt
Rn 的正交基
• 定义2.19 模：‖α‖=√（α,α）=
•
√αTα=√（a12+a22+……+an2）
• 模性质：（1）‖α‖≥0且‖α‖=0≒α=0
• •
（2）‖kα‖=∣k∣‖α‖ （3）∣αTβ∣≤‖α‖‖β‖且 ∣αTβ∣=‖α‖‖β‖ ≒ α,β线性相关，其中α,β为Rn 中的任意向量，k∈R；
线性关系
• 15、如果向量组 α1 ,α2 ,……，αs 可由向量组β1,β2 ,……， βt 线性表出 → r(α1 ,α2 ,……，αs )≤r(β1,β2 ,……，βt )； • 16、如果{α1 ,α2 ,……，αs }≌{β1,β2 ,……，βt } • → r(α1 ,α2 ,……，αs )=r(β1,β2 ,……，βt )； • 17、 Rｎ 中的任意n+1个向量一定线性相关；
• 18、初等变换不改变矩阵的行秩与列秩；
• 19、矩阵的行秩与列秩相等，并且为矩阵的秩。
线性方程组解的结构
• 一、齐次线性方程组
• 性质1 如果η1，η2是齐次线性方程组的两个解， • 则η1+η2也是该方程组的解； • 性质2 如果η是齐次线性方程组的解， • 则对任意常数c , c η也是该方程组的解；
矩阵的特征值和特征向量
• 1. Aα=λ0α(α≠0), • λ0为A的一个特征值； • α为A的属于特征值λ0一个特殊向量
• 2. ∣λE-A∣为特征多项式 • ∣λE-A∣=0为A的特征方程 •
矩阵的特征值和特征向量
求A的λ和α • （1）计算∣λE-A∣并简化至可因式分解； • （2）求∣λE-A∣=0的所有根，即求A的全部特征值 • λ1，λ2，……，λn（可能有重根或复根）； • （3）对于A的每一个特征值λi，求其所对应的齐次线性 • 方程组（λE-A）X=0的一个基础解系αi1,αi2,……， • αis,则A的属于λi的全部特征向量为： • c1αi1+c2αi2+……+csαis(cj≠0,j=1,2,……,s)
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D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.
11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
思考题
求一个二次多项式f x,使 f 1 0, f 2 3, f 3 28.
它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上 既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁 琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加 强这些方面的训练。
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换
及线性方程组
第四章 向量组的线性相关性
基础
基本内容
用向量的观点讨论 基本问题并介绍向 量空间的有关内容
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22 a12a21.
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
(2)a12:
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
如果三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
课程简介
线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系 问题. 线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式 来表达的. 最简单的线性问题就是解线性方程组.
行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具， 也推动了线性代数的发展. 向量概念的引入，形成了向 量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加 以讨论. 因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系 的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容.
b1 , b2 ,
D3
a11 a21
a12 a22
b1 b2 .
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a31 a32 b3
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
第五章 相似矩阵及二次型
矩阵理论
第一章 行列式
§1.1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元(一次)线性方程组:
a11 x1 a12 x2 b1
(1)
a21 x1 a22 x2 b2
(2)
(1)a22:
a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
定义: 在一个排列 i1 i2 ···is ···it ···in 中, 若数 is>it, 则称这两个数组成一个逆序.
定义: 把 n 个不同的元素排成一列, 叫做这 n 个 元素的全排列(或排列).
n 个不同的元素的所有排列的种数, 通常用 Pn 表 示, 称为排列数.
Pn = n (n–1) (n–2) ··· 2 1 = n!
二、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序. 以 n 个不 同的自然数为例, 规定由小到大为标准次序.
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
思考题解答
解 设所求的二次多项式为
f x ax2 bx c, 由题意得 f 1 a b c 0, f 2 4a 2b c 3, f 3 9a 3b c 28,
得一个关于未知数 a, b, c 的线性方程组, 又 D 20 0, D1 40, D2 60, D3 20. 得 a D1 D 2, b D2 D 3, c D3 D 1
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
故所求多项式为
f x 2x2 3x 1.
§1.2 全排列及其逆序数 一、全排列
引例: 用1, 2, 3三个数字, 可以组成多少个没有重 复数字的三位数？
这是一个大家熟知的问题, 答案是: 3! = 6. 将此问题推广: 把n个不同的元素按先后次序排成 一列, 共有多少种不同的排法.
1 2 1
D 2 1 3 11 1 2 3 1
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
a11 b1 D2 a21 b2
a31 b3
a13 a23 , a33
则三元线性方程组的解为:
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
.
4 6 32 4 8 24 14.
11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
思考题
求一个二次多项式f x,使 f 1 0, f 2 3, f 3 28.
它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上 既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁 琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加 强这些方面的训练。
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换
及线性方程组
第四章 向量组的线性相关性
基础
基本内容
用向量的观点讨论 基本问题并介绍向 量空间的有关内容
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22 a12a21.
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
(2)a12:
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
如果三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
课程简介
线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系 问题. 线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式 来表达的. 最简单的线性问题就是解线性方程组.
行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具， 也推动了线性代数的发展. 向量概念的引入，形成了向 量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加 以讨论. 因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系 的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容.
b1 , b2 ,
D3
a11 a21
a12 a22
b1 b2 .
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a31 a32 b3
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
第五章 相似矩阵及二次型
矩阵理论
第一章 行列式
§1.1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元(一次)线性方程组:
a11 x1 a12 x2 b1
(1)
a21 x1 a22 x2 b2
(2)
(1)a22:
a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
定义: 在一个排列 i1 i2 ···is ···it ···in 中, 若数 is>it, 则称这两个数组成一个逆序.
定义: 把 n 个不同的元素排成一列, 叫做这 n 个 元素的全排列(或排列).
n 个不同的元素的所有排列的种数, 通常用 Pn 表 示, 称为排列数.
Pn = n (n–1) (n–2) ··· 2 1 = n!
二、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序. 以 n 个不 同的自然数为例, 规定由小到大为标准次序.
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
思考题解答
解 设所求的二次多项式为
f x ax2 bx c, 由题意得 f 1 a b c 0, f 2 4a 2b c 3, f 3 9a 3b c 28,
得一个关于未知数 a, b, c 的线性方程组, 又 D 20 0, D1 40, D2 60, D3 20. 得 a D1 D 2, b D2 D 3, c D3 D 1
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
故所求多项式为
f x 2x2 3x 1.
§1.2 全排列及其逆序数 一、全排列
引例: 用1, 2, 3三个数字, 可以组成多少个没有重 复数字的三位数？
这是一个大家熟知的问题, 答案是: 3! = 6. 将此问题推广: 把n个不同的元素按先后次序排成 一列, 共有多少种不同的排法.
1 2 1
D 2 1 3 11 1 2 3 1
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
a11 b1 D2 a21 b2
a31 b3
a13 a23 , a33
则三元线性方程组的解为:
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
.