线性代数总复习PPT 很全!

解 由已知，得 AXB-XB=C，得 由已知， - = 则得 ， 则
( A− E)XB = C 显然A-E、B均可逆，并且 X = ( A − E)−1 C B−1 均可逆， 显然 均可逆
−1
(1)
( A − E)
1 1 1 − 1 = = 0 1 , 0 1
−1
−1
利用展开定理， 利用展开定理，高阶行列式计算可以转化为低 一阶行列式的计算。 一阶行列式的计算。
特殊关系式
1)
2)
n
, 是数， 设 A, B 是 n 阶方阵 k 是数，则
kA = k A,
A
−1
− A = (− 1) A
n
1 , = A
A = A
*
n−1
,
3)
AB = BA,
A 0 = AB C B
三向量组的线性关系
定义 等价定义
重点） （重点）
定义 极大无关组、等价 极大无关组、
结论: 结论: 1、矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系
注意：求极大无关组、 注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法； 。
2、 设向量组 1 ,α2 ,L,αm线性无关， 1 ,α2 ,L,αm , β 线性无关， α α
(1) 0 (3) E
(2) -E (4) E+α Tα
例
(1) 计算 (4A) , A (2)设 A = ( A1 , A2 , A3 ), B = ( A1 , B2 , A3 ), 计算 A + B
−1 *
3. 设 A, B 都是3 阶方阵，如果 A = 2, 阶方阵，
B = 1,
解
(1)
(2)
(
)
求方阵A的逆矩阵的方法 5、求方阵 的逆矩阵的方法
1 1)如果 A ≠ 0, 则A可逆, 且A = A* A 2)如果存在方阵 , 使 AB = E, 或 BA = E, 则 B A可逆，且 A−1 = B 可逆，
−1
行变换 3)如果( AM E) →( EM∗), 则A可逆，且 −1 = ∗ 可逆， A
A ⇔齐次线性方程组 n×n X = 0仅有零解 ⇔ A的特征值全部 0 ≠
可逆矩阵的性质 都是n 是非零数， 设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则 都是 阶可逆矩阵， 是非零数
1) 3)
( AB)−1
(A )
−1 −1
= A, = B−1 A−1
2) 4)
(kA)
−1
(A )
T −1
1 −1 = A k −1 T = A
, α 线性表示， 线性相关则β必可由 1 ,α2 ,L,αm线性表示， 并且表法惟一。 并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩 ）
定理
向量β 可由α1 ,α2 ,L,αm线性表示 ⇔ x1α1 + x2α2 +L+ xmαm = β 有解 x1 ⇔ 线性方程组(α1 ,α2 ,L,αm ) M = 有解 x m
A 为n阶对称矩阵 A 为n阶反对称矩阵
正交矩阵 A T =A -1
正定矩阵
阶梯阵A与行最简阶梯阵 阶梯阵 与行最简阶梯阵B 与行最简阶梯阵
1 − 2 0 0 A= 0 0 0 0
3 1 5 3 4 7 0 6 1 0 0 0
1 − 2 0 0 B= 0 0 0 0
∴所以A− 2E 可逆, 并且 ( A− 2E)
−1
1 = (2A − E) 10
满足： 例：设矩阵 X 满足：AXB = XB+C，求X，其中 重点） ， ， （重点）
2 0 0 2 1 2 1 0 , C = 1 0 − 1 A= , B = 0 1 1 0 2 0 0 − 1
2) R( A来自百度文库 = 0 ⇔ A = 0
R( A) = R AT
(
)
2) 设 P、Q分别是 阶、 阶可逆矩阵， 是m× n矩阵 m n阶可逆矩阵， A R( A) = R( PA) = R( AQ) = R( PAQ) 则 3) 设 A是n阶方阵，则R( A) = n ⇔ A ≠ 0 ⇔ A可逆 阶方阵，
显然 A+E可逆, 于是
( A − E )B = E
以下的做法有多种,比如 求B = (A - E)-1
求A 的特征值, ⇒ A - E 的特征值 ⇒ B的特征值
例
初等 变换
R(A) =2
重点） （重点）
1 1 1 例 α = (1,2,3,4), β = 1, , , , A= αT β , 2 3 4 B = βαT , 求A, B, An , n∈ N 1 1 1 1 2 3 4 1 2 1 2 1 解 2 1 1 1 T 3 2 A = α β = 1 = 3 3 3 2 3 4 3 1 2 4 4 1 4 2 4 1 3 1 1 1 2 T B = βα = 1 = 4 2 3 4 3 4
(2)特别AB = 0, r( A) + r(B) ≤ n
(3)若r( A) = n, 且AB = 0, 则B = 0 r (4)A, B均为 × n阵，则 ( A ± B) ≤ r( A) + r(B) m (5)A为n阶方阵 n ≥ 2,则 n, r( A) = n. , 1, r( A) = n − 1. * r( A ) = 0, r( A) ≤ n − 2.
（2）CBA = E （4）BCA = E
选择题 －3 设A, B都是n阶非零矩阵，且 AB = 0 ，则A, B的秩为： （2） （1）必有一个等于零 （2）都小于 n
(3) 一个小于n ,一个等于n (4) 都等于n ,一
选择题－4
1 1 设n维列向量α =( ,0,0L , ), 矩阵A = E − α Tα , B = E + 2α Tα 2 2 其中 E为n阶单位矩阵 , 则AB = （3）
秩的求法： 秩的求法：
1)R（ ）： 的不等于0的子式的最大阶数。 ）：A的不等于 1) （A）： 的不等于0的子式的最大阶数。 2）初等变换法： A →阶梯形 ,R（A）=T的阶梯数 初等变换法： T （ ） 的阶梯数
可逆， 3）若P可逆，则 R( A) = R( AP),常需先验证 可逆 可逆 常需先验证P可逆
1 −1 1 3 (4A) = A = A−1 = 1 , A* = A 3−1 = 4 4 128 4 ＋ A+ B = ２A , A2 B2 , A3 = 4 A , A2 B2 , A3 ＋ ２ 1 1
−1
= 4( A , A2 , A3 + A , B2 , A3 ) = 4(2 + 1) = 12 1 1
例题
计算下列行列式
解
例题 设α 1 ,α 2 , α 3 ,α 4 , β 1 ,β 2 均为4维列向量 且 四阶 行列 式 α 1 α 2 α 3 则 α 3 α 2 α1
β 1 =m , α 1 α 2 α 3
β 2 =n
β 1 +β 2 =?
例题
解方程
此为范德蒙行列式
二、矩阵 一、矩阵运算中注意的几点
关于秩的重要结论： 3、关于秩的重要结论： 1) 矩阵的初等变换不改变 矩阵的秩； 矩阵的秩；
R( A) < n ⇔ A = 0
定理 重要结论
r( AB) ≤ min( r( A), r(B)) 设A = (aij )m×n , B = (bij )n×t , 则
(1)r( A) + r(B) − n ≤ r( AB)
0 0 5 1 0 3 0 1 2 0 0 0
可逆矩阵 阶方阵A可逆的充要条件 n 阶方阵 可逆的充要条件 n阶方阵A可逆⇔ A ≠ 0 ⇔ A→ E 阶方阵 可逆 →
⇔ 存在方阵 ，使AB = E, 或BA = E ⇔ 秩( An×n ) = n B
)向量组线性无关。 ⇔ A的行(列向量组线性无关。
部分相关，整体必相关；整体无关， 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关
等价的向量组的秩相等； 等价的向量组的秩相等； 秩相等
判别法3 判别法
α 即α j 添上一个分量后得向量b j .若向量组 A： 1 ,α 2 ,
满足2A 5A0， 可逆， 例：设方阵 A满足2A2-5A-8E = 0，证明 A-2E 可逆， 满足 -
求
分析
( A − 2E)
−1
（重点） 重点）
关键： 2E） 关键：寻求方阵 B，使（A-2E）B = E 原式可写为 ( A− 2E)(2A− E) − 10E = 0
1 ∴( A − 2E) (2A − E) = E 10
⇔ R(α1 ,α2 ,L,αm ) = R(α1 ,α2 ,L,αm，β )
定理
向量组 1 ,α2 ,L,αm线性相关 α
⇔ x1α1 + x2α2 +L+ xmαm = 0有非零解 x1 ( ⇔ 线性方程组α1 ,α2 ,L,αm ) M = 0非零解 x m (m是向量个数) ⇔ R(α1 ,α2 ,L,αm ) < m
X = ( A − E)
1 2 0 0 B−1 = − 1 1 0 0 0 − 1
CB = L
−1
例
设三阶方阵A、B满足 A2 B − A − B = E， 1 0 1 A = 0 2 0 ，则 B ＝？ −2 0 1 解： A2 B − A − B = E，⇒ A + E)(A - E)B - (A + E) = 0 由 （
一、行列式 要求：会用其性质与展开定理， 要求：会用其性质与展开定理， 计算低阶及特殊的行列式。 计算低阶及特殊的行列式。
两个重要概念： 两个重要概念： 余子式, 余子式 代数余子式
Aij = (−1)
i+ j
Mij
上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积 三角行列式的值= 是计算行列式的中心环节， 性质 是计算行列式的中心环节， 利用性质将行列式化为三角形行列式， 利用性质将行列式化为三角形行列式， 化为三角形行列式 然后计算是计算行列式的重要方法。 然后计算是计算行列式的重要方法。
特别： 特别：
AA = A A = A En
* ∗
A∗ = A A−1
A =A
∗ n−1
1 A = A
−1
矩阵的初等变换,初等方阵 矩阵的初等变换,
相当于对 A 作初等行 用初等方阵左（ 用初等方阵左（右）乘 A， （列）变换得到的矩阵， 变换得到的矩阵，
矩阵A的标准型 矩阵A
矩阵的秩
）：A的不等于 1、R（A）： 的不等于0的子式的最大阶数。 （ ）： 的不等于0的子式的最大阶数。 2、秩的基本关系式： 秩的基本关系式： 1) R( Am×n ) ≤ m {m, n} in ;
展开定理及其应用
设 A = aij
( )
, Aij n×n
, 是 aij 的代数余子式则
A 当i = j = 0 ,当i ≠ j A 当i = j = 0 ,当i ≠ j
ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 +L+ ain Aj 2
a1i A j + a2i A2 j +L+ ani Anj 1
4） 用 矩 阵 的 秩 和 矩 阵 对 应 的 其 次 方 程 组 的 解 的 关 系 利
5）利用相似矩阵的秩 （矩阵的秩＝n-0特征秩的重数） n-0特
选择题 －1
设 A、B 都是 n 阶方阵，则 阶方阵， e
选择题－2
（4） 设n阶方阵A, B,C 满足关系式ABC = E , 则必有：
ACB = E （1） (3) BAC = E
判别法 1
n个n元α1 ,α2 ,L,αn线性相关⇔ α1 ,α2 ,L,αn = 0 n个n元α1 ,α2 ,L,αn线性无关⇔ α1 ,α2 ,L,αn ≠ 0 ⇔ r(α1 ,α2 ,L,αn ) < n
⇔ r(α1 ,α2 ,L,αn ) = n
判别法 2
n+ 1 个 n 元向量必线性相关 + .
Am×s Bs×n = Cm×n = (cij )m×n
(1) AB ≠ BA 交换律不成立 (2) AB = 0 不能推出 A = 0 或B = 0 (3) AB = BC 不能推出 B = C 消去律不成立 转置矩阵的运算律
特殊矩阵： 特殊矩阵： 若 AT = A 若 AT = − A 若
A T A=E