线性代数总复习及典型例题 ppt课件
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线性代数总复习
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1
第一章 行列式
ppt课件
2
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
a11 a12 a13 a11 a12 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
第三节 行列式按行(列)展开
引理 一个n阶行列式，如果第i 行所有元素除
aij 外都为零，那么这个行列式等于 aij 与它的代
数余子式的乘积，即 D aij Aij .
定理1.3 行列式的某行(列)的所有元素与其对应 的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。行列 式某行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子 式乘积之和等于零。
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3. 方阵的行列式及其性质
定义2.1 由n阶方阵A的元素按原相对位置所构成 的行列式，称为方阵A的行列式，记作 A 或 det A.
方阵的行列式满足下列规律： （设A、B为n阶方阵，为数）
（1） AT A
（2） A n A;
（3） AB A B
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18
1. 基本概念
三、逆矩阵.列标
排成的m行n列的数表
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
称为m行n列矩阵,简称 m 矩n阵. 其中 m 个n 数称为矩阵A的元素，数
A的第i 行第j 列的元素.ppt课件
aij 称为矩阵
13
二、矩阵的运算
1. 矩阵的基本运算：
加法
数与矩阵相乘
矩阵与矩阵相乘 方阵的幂
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10
行列式按行（列）展开法则是把高阶行 列式的计算化为低阶行列式计算的重要 工具.
n
D ,当i j,
aki Akj
k 1
0
,当
i
j;
n aik Ajk
k 1
D ,当i
0
,当i
j, j;
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11
第二章 矩阵及其运算
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12
一、矩阵的概念
1. 矩阵的基本概念
定义2.1 由 m 个n数 aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且AB 1 B1 A 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 AT 1 A1 T.
定理2.2 设A为n阶方阵，则
A可逆 A 0 , 且 A1 1 A ,
A 其中A是A的伴随阵.
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
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3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
性质1.2 行列式的某一行（列）中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面． 推论1 行列式的某一行（列）中的所有元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 推论2 如果行列式中有一行(列)为零，那么行列
式为零。
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性质1.3 对换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）完全相同， 则此行列式为零. 性质1.4 如果行列式中有两行（列）对应成 比例，那么行列式为零．
定义2.8 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B
使得
AB BA E
则称B是A的逆矩阵，并称矩阵A是可逆矩阵或满秩
矩阵，或非奇异矩阵,记为 A1.
说明 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
注意 不能将 A1写成 1 . A
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定义2.9 设有n阶方阵 A (aij )nn , 由行列式 A 中
n ppt课件
12 n n
4
a11 L M
4. D am1 L
*L M
*L
a 11
L
M
a1m
M
0
a mm
* b11 L b1k
MM
M
* bk 1 L bkk
a 1m
b11 L
b1k
MM
M.
am1 L
amm
b k1
L
b kk
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第二节 行列式的性质
性质1.1 行列式与它的转置行列式相等.
转置矩阵
对称及反对陈矩阵 方阵的行列式
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14
2. 矩阵的运算规律：
加法：
1交换律：A B B A; 2 结合律：A B C A B C .
数乘：
1 结合律 : A A;
2分配律 : A A A; A B A B.
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15
乘法：
1 ABC ABC ;
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21pap3t课3件 a13a22a31.
3
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22 L ann
0 0 ann
1
2.
2
1
3.
2
n( n1)
(1) 2 12 n
各元素aij 的代数余子式Aij 构成如下n阶方阵
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
Βιβλιοθήκη Baidu
An1 An2 Ann
称为矩阵A的伴随矩阵.
注意:伴随阵 A* 与原矩阵A元素位置的对应关系.
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2. 基本定理
定理2.1 设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，则 AA A A A E.
an1 an2 anpnpt课件 an1 an2 ann
8
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
计算行列式常用方法： (1)利用定义; (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式， 从而算得行列式的值．
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7
性质1.5 如果行列式的某一行（列）的元素都是
两数之和，例如第i 行的元素都是两数之和
a11
a12
a1n
D bi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
D bi1 bi 2 bin ci1 ci 2 cin
2 AB AB AB
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
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转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
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第一章 行列式
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2
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
a11 a12 a13 a11 a12 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
第三节 行列式按行(列)展开
引理 一个n阶行列式，如果第i 行所有元素除
aij 外都为零，那么这个行列式等于 aij 与它的代
数余子式的乘积，即 D aij Aij .
定理1.3 行列式的某行(列)的所有元素与其对应 的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。行列 式某行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子 式乘积之和等于零。
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3. 方阵的行列式及其性质
定义2.1 由n阶方阵A的元素按原相对位置所构成 的行列式，称为方阵A的行列式，记作 A 或 det A.
方阵的行列式满足下列规律： （设A、B为n阶方阵，为数）
（1） AT A
（2） A n A;
（3） AB A B
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1. 基本概念
三、逆矩阵.列标
排成的m行n列的数表
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
称为m行n列矩阵,简称 m 矩n阵. 其中 m 个n 数称为矩阵A的元素，数
A的第i 行第j 列的元素.ppt课件
aij 称为矩阵
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二、矩阵的运算
1. 矩阵的基本运算：
加法
数与矩阵相乘
矩阵与矩阵相乘 方阵的幂
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10
行列式按行（列）展开法则是把高阶行 列式的计算化为低阶行列式计算的重要 工具.
n
D ,当i j,
aki Akj
k 1
0
,当
i
j;
n aik Ajk
k 1
D ,当i
0
,当i
j, j;
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第二章 矩阵及其运算
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一、矩阵的概念
1. 矩阵的基本概念
定义2.1 由 m 个n数 aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且AB 1 B1 A 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 AT 1 A1 T.
定理2.2 设A为n阶方阵，则
A可逆 A 0 , 且 A1 1 A ,
A 其中A是A的伴随阵.
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
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3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
性质1.2 行列式的某一行（列）中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面． 推论1 行列式的某一行（列）中的所有元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 推论2 如果行列式中有一行(列)为零，那么行列
式为零。
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性质1.3 对换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）完全相同， 则此行列式为零. 性质1.4 如果行列式中有两行（列）对应成 比例，那么行列式为零．
定义2.8 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B
使得
AB BA E
则称B是A的逆矩阵，并称矩阵A是可逆矩阵或满秩
矩阵，或非奇异矩阵,记为 A1.
说明 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
注意 不能将 A1写成 1 . A
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定义2.9 设有n阶方阵 A (aij )nn , 由行列式 A 中
n ppt课件
12 n n
4
a11 L M
4. D am1 L
*L M
*L
a 11
L
M
a1m
M
0
a mm
* b11 L b1k
MM
M
* bk 1 L bkk
a 1m
b11 L
b1k
MM
M.
am1 L
amm
b k1
L
b kk
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第二节 行列式的性质
性质1.1 行列式与它的转置行列式相等.
转置矩阵
对称及反对陈矩阵 方阵的行列式
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14
2. 矩阵的运算规律：
加法：
1交换律：A B B A; 2 结合律：A B C A B C .
数乘：
1 结合律 : A A;
2分配律 : A A A; A B A B.
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乘法：
1 ABC ABC ;
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21pap3t课3件 a13a22a31.
3
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22 L ann
0 0 ann
1
2.
2
1
3.
2
n( n1)
(1) 2 12 n
各元素aij 的代数余子式Aij 构成如下n阶方阵
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
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An1 An2 Ann
称为矩阵A的伴随矩阵.
注意:伴随阵 A* 与原矩阵A元素位置的对应关系.
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2. 基本定理
定理2.1 设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，则 AA A A A E.
an1 an2 anpnpt课件 an1 an2 ann
8
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
计算行列式常用方法： (1)利用定义; (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式， 从而算得行列式的值．
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性质1.5 如果行列式的某一行（列）的元素都是
两数之和，例如第i 行的元素都是两数之和
a11
a12
a1n
D bi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
D bi1 bi 2 bin ci1 ci 2 cin
2 AB AB AB
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
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转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .