线性代数总复习及典型例题 ppt课件
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线性代数 线代复习ppt课件
解
14
解：
R(A)=2
15
例5 1,2,3,4, 1, 1 , 1 , 1 , A T ,
2 3 4
B T ,求A, B, An, R(An ), n N
1
1
1
1
解
1
A
T
432
1
B T 1 1
2
1 2
1 3
1 3
1 4 1
2 3 4
1 4
2 3 4
26
定理2 设有非齐次线性方程组（1） Amn X , 0
设rA r,如果rA rA r n,则 1方程组AX 必有无穷多解； 2设是AX 的一个特解, 设1,2, ,nr是AX 0的基础
则AX 的通解为：
X k11 k22 knrnr ,k1,k2, ,knr R
）．
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ 0 ） ．
３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（ 0, 1 ） ．
31
4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ 都不可逆，则Ａ的特征值为（ 1, -1, 3 ）．
５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，
则｜Ａ－５Ｅ｜＝（ -72 ）。
6、单位矩阵E 的特征值，特征向量（
4
2 1 3 2 2
3 2 3
1
4 3
4 1
2
3
4 1
An (T )n1( T ) 4n1 A.
R( An ) 1 16
向量组的线性相关性
一. 向量组的线性相关性
1. 向量间的线性运算：加法、数乘。 2. 线性组合、线性表示
(1) 判断向量 可由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示的常用方法
14
解：
R(A)=2
15
例5 1,2,3,4, 1, 1 , 1 , 1 , A T ,
2 3 4
B T ,求A, B, An, R(An ), n N
1
1
1
1
解
1
A
T
432
1
B T 1 1
2
1 2
1 3
1 3
1 4 1
2 3 4
1 4
2 3 4
26
定理2 设有非齐次线性方程组（1） Amn X , 0
设rA r,如果rA rA r n,则 1方程组AX 必有无穷多解； 2设是AX 的一个特解, 设1,2, ,nr是AX 0的基础
则AX 的通解为：
X k11 k22 knrnr ,k1,k2, ,knr R
）．
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ 0 ） ．
３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（ 0, 1 ） ．
31
4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ 都不可逆，则Ａ的特征值为（ 1, -1, 3 ）．
５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，
则｜Ａ－５Ｅ｜＝（ -72 ）。
6、单位矩阵E 的特征值，特征向量（
4
2 1 3 2 2
3 2 3
1
4 3
4 1
2
3
4 1
An (T )n1( T ) 4n1 A.
R( An ) 1 16
向量组的线性相关性
一. 向量组的线性相关性
1. 向量间的线性运算：加法、数乘。 2. 线性组合、线性表示
(1) 判断向量 可由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示的常用方法
线性代数总复习PPT 很全!.ppt
m
x11 x22 xmm 0有非零解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
0非零解
xm
R1,2, ,m m m是向量个数
判别法 1
n个n元1,2 ,
,
线性
n
相关
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
n个n元1,2 ,
,
线性无关
n
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
判别法 2
n阶方阵A可逆 A 0 A E
存在方阵B，使AB E,或BA E 秩 Ann n
A的行(列)向量组线性无关。 齐次线性方程组Ann X 0仅有零解 A的特征值全部 0
可逆矩阵的性质
设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则
1
A1 1 A,
3 AB 1 B 1 A1
线性相关,则必可由1,2 ,
,
线性
m
表示，
并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩
定理
向量
可由1,2 ,
,
线性表示
m
x11 x22 xmm 有解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
有解
xm
R1,2 , ,m R1,2 , ,m，
定理
向量组1,2 ,
,
线性相关
证明 设 x11 x22 x33 0
1.
即
x11 2 3 x21 2 x32 3 0
x1 x2 1 x1 x2 x3 2 x1 x3 3 0
因为1
,2
,3
线性无关,所以
x1 x1
x2 x2
x3
x11 x22 xmm 0有非零解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
0非零解
xm
R1,2, ,m m m是向量个数
判别法 1
n个n元1,2 ,
,
线性
n
相关
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
n个n元1,2 ,
,
线性无关
n
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
判别法 2
n阶方阵A可逆 A 0 A E
存在方阵B，使AB E,或BA E 秩 Ann n
A的行(列)向量组线性无关。 齐次线性方程组Ann X 0仅有零解 A的特征值全部 0
可逆矩阵的性质
设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则
1
A1 1 A,
3 AB 1 B 1 A1
线性相关,则必可由1,2 ,
,
线性
m
表示，
并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩
定理
向量
可由1,2 ,
,
线性表示
m
x11 x22 xmm 有解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
有解
xm
R1,2 , ,m R1,2 , ,m，
定理
向量组1,2 ,
,
线性相关
证明 设 x11 x22 x33 0
1.
即
x11 2 3 x21 2 x32 3 0
x1 x2 1 x1 x2 x3 2 x1 x3 3 0
因为1
,2
,3
线性无关,所以
x1 x1
x2 x2
x3
线性代数(含全部课后题详细答案)4-3PPT课件
线性代数(含全部课后题详细答 案)4-3ppt课件
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 向量空间与线性变换 • 行列式与矩阵运算 • 特征值与特征向量 • 课后习题详解 • 课程总结与拓展延伸
01
课程介绍与教学目标
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个分支， 研究线性方程组、向量空间、 矩阵等概念和性质。
简要介绍数值计算中常用的迭代法、插值 法、逼近法等基本方法，培养学生运用计 算机解决实际问题的能力。
简要介绍数学建模的基本思想和方法，通 过实例展示数学建模在解决实际问题中的 应用和价值。
THANK YOU
感谢聆听
05
课后习题详解
习题类型及解题思路
计算题
主要针对线性代数中的基本运算，如矩阵的加减、数乘和乘法等。解题思路通常是按照运算规则逐步进行，注意保持 矩阵的维度一致。
证明题
主要考察学生对线性代数基本定理和性质的理解和掌握。解题思路一般是从已知条件出发，结合相关定理和性质进行 推导，最终得出结论。
应用题
行列式性质
行列式具有线性性、交换性、倍加性 等基本性质，这些性质在行列式的计 算和证明中起到重要作用。
矩阵运算规则
矩阵加法
两个矩阵相加，要求它们具有相同的行数和列数， 对应元素相加。
矩阵数乘
一个数与矩阵相乘，将该数与矩阵中的每一个元素 相乘。
矩阵乘法
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行 数，列数等于第二个矩阵的列数。
将线性代数的知识应用于实际问题中，如求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等。解题思路是首 先建立数学模型，将实际问题转化为线性代数问题，然后利用相关知识进行求解。
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 向量空间与线性变换 • 行列式与矩阵运算 • 特征值与特征向量 • 课后习题详解 • 课程总结与拓展延伸
01
课程介绍与教学目标
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个分支， 研究线性方程组、向量空间、 矩阵等概念和性质。
简要介绍数值计算中常用的迭代法、插值 法、逼近法等基本方法，培养学生运用计 算机解决实际问题的能力。
简要介绍数学建模的基本思想和方法，通 过实例展示数学建模在解决实际问题中的 应用和价值。
THANK YOU
感谢聆听
05
课后习题详解
习题类型及解题思路
计算题
主要针对线性代数中的基本运算，如矩阵的加减、数乘和乘法等。解题思路通常是按照运算规则逐步进行，注意保持 矩阵的维度一致。
证明题
主要考察学生对线性代数基本定理和性质的理解和掌握。解题思路一般是从已知条件出发，结合相关定理和性质进行 推导，最终得出结论。
应用题
行列式性质
行列式具有线性性、交换性、倍加性 等基本性质，这些性质在行列式的计 算和证明中起到重要作用。
矩阵运算规则
矩阵加法
两个矩阵相加，要求它们具有相同的行数和列数， 对应元素相加。
矩阵数乘
一个数与矩阵相乘，将该数与矩阵中的每一个元素 相乘。
矩阵乘法
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行 数，列数等于第二个矩阵的列数。
将线性代数的知识应用于实际问题中，如求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等。解题思路是首 先建立数学模型，将实际问题转化为线性代数问题，然后利用相关知识进行求解。
线性代数知识点全面总结.ppt
初
等
变
换
与
初等方阵
线
性
方
程
组
矩 阵的 秩
线 性 方程 组
矩阵的初等变换
1.对换矩阵的i, j两行（列）.
概念
2.用k≠0乘矩阵的第i行（列）.
3.把某i行（列）的k倍加到另一行 （列）的对应元素上去.
1.初等变换不改变矩阵的秩.
性质
2.对A经过有限次初等变换得到B，
则A等价B.
~ ~ 求逆，
行
三、重要公式
1、矩阵的秩
(1) r(A) = r(AT) ;
(2) r(A+B) ≤ r(A) + r(B)
(3) r(AB) ≤ min{ r(A) r(B)}
(4) 若P、 Q可逆，则r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)= r(A)
r(A), k ≠ 0 ,
(5) r(kA) =
0 , k = 0;
|A| = 0 , A不可逆 . AB = E , A与B互逆. 反证法.
二、重要定理
1、设A、B是n阶矩阵，则|AB|=|A||B|。
2、若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵惟一。
3、n阶矩阵A可逆⇔ |A| ≠ 0 ⇔ R(A)=n ⇔ A为满秩矩阵。
4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵，则AT ＝A 。 6、若A为反对称矩阵，则AT＝－A 。
一、向量组的线性相关性主要知识网络图
运算
概念
n 线性表示
维
判定
向 量 组 的 线
向 量 线性相关
概念
判定 概念
充要条件 充分条件
性 相
线性无关
线性代数知识点全面总结PPT课件
一、向量组的线性相关性主要知识网络图
运算
概念
n 线性表示
维
判定
向 量 组 的 线
向 量 线性相关
概念
判定 概念
充要条件 充分条件
性 相
线性无关
判定
充要条件
6、n阶方阵的行列式 (1) |AT| = |A|;
(3) |AB| = |A||B| ; (5) |A*| = |A|n-1 .
(2) |kA| = kn|A| ; (4) |A-1| = |A|-1 ;
第6页/共61页
四、典型例题
1、方阵的幂运算 2、求逆矩阵 3、解矩阵方程 4、A*题
第7页/共61页
2.对A经过有限次初等变换得到B， 则A等价B.
~ ~ 求逆，
行
A E E
A1
A E E 列 A1
用途
求矩阵A的秩、最简型、标准形. 求线第性20方页/程共6组1页的解.
概念 性质
初等方阵
对单位矩阵实施一次初等变换而得到的 矩阵称为初等方阵.
三种初等变换对应三种初等方阵.
初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同 种的初等矩阵.
4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵，则AT ＝A 。 6、若A为反对称矩阵，则AT＝－A 。
第4页/共61页
三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
(1) A + B = B + A ; (2) (A + B ) + C = A + ( B + C ); (3) A + O = O + A = A; (4) A + (－A) = O; (5) k(lA) = (kl)A ; (6) (k+l)A = kA+ lA ; (7) k( A + B )= kA + kB ; (8) 1A = A, OA = O 。
线性代数总复习讲义PPT课件
在金融学中，线性代数用于描述资产价格和风险等经济量，以及计算收益 率和波动率等金融指标。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
《线性代数总复习》PPT课件_OK
aA 0或B 0 bBA 0 c A 0或 B 0 d A可逆时, B 0
e如果 A 0,则B 0 f 秩A 秩B n g如果秩A n,则B 0
消去律一般不成立
AB不一定等于BA A B AB O 0
B A1 AB A10
此时A可逆
有秩的结论
此时A可逆
2021/8/31
-7-
例5 2）设A、B都是n阶方阵，则 e
a( A B)2 A2 2AB B2 b A B B A c If A 1,then : A 1
当AB BA时,成立
A B 1n B A
A 1A 1n A
d A2 B2 ( A B)( A B) 当AB BA时,成立
(1) 对齐次线性方程组AX=0来说,以下哪个结论正确?
1当m n时, AX 0仅有零解;
2当m n时, AX 0必有非零解;
2)
3当m n时, AX 0必有惟一解;
41,2,3都不对. (2) 对非齐次线性方程组AX=来说,以下哪个结论正确?
1当m n时, AX 必无解; 2当m n时, AX 必有无穷多解; 3当m n时, AX 必有惟一解;
的根为 2,3,4
1 2 22 23 解： 1 3 32 33 2( x 2)( x 3)( x 4)
1 4 42 43 1 x x2 x3
2021/8/31
-5-
例3. 设 A,B为三阶矩阵，且 A 3, B 2, A1 B 2, 求： A B1 解： A( A1 B ) E AB
a22 x2
a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
的非零 解向量, 试判断 1,2 ,,r , 的线性相关性?
(完整版)《大学线性代数》PPT课件
下特页点
结束
a11 a12 … a1n
a21
…
a22 … a2n … ……
=
(-1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn 。
an1 an2 … ann
n阶行列式共有n!项，且冠以正号的项和冠以负号的 项各占一半。
在行列式中，a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行不同列
结束
例2．计算 n 阶下三角形行列式D的值： a11 0 0 … 0 a21 a22 0 … 0
D = a31 a32 a33 … 0 … … … …… an1 an2 an3 … ann
其中aii0(i=1, 2, , n)。
解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，
第一行只能取a11，第二行只能取a22，第三行只能取a33， ， 第 n 行只能取ann。 这样不为零的乘积项只有
结束
对换：
在一个排列i1isitin中，将两个数码 is与it对调， 就得到另一个排列 i1 it is in ，这样的变换称为一个 对换，记为对换(is , it)。
例如，排列 21354 经对换(1, 4)，得到排列24351。 提问：
排列 21354 经对换 (1, 4)，得到的排列是 24351， 排列的奇偶性有无变化？ 提示：
的 n 个元素的乘积。
a1 j1 a2 j2 anjn 之前的符号是 (-1) N(j1 j2 jn) 。
行列式有时简记为| a ij |。一阶行列式|a|就是a。
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四阶行列式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
线性代数总结精华ppt课件
c.单位矩阵：对角数为1的对角矩阵。记为E
d数量矩阵：有数量的对角矩阵 记作 E .
第二章 矩阵
e.三角矩阵：分为上三角和下三角 f.负矩阵：原矩阵乘上负一 g.行最简型，行阶梯型，标准型 4.多元线性方程组与矩阵 a.系数矩阵与增广矩阵 5.矩阵的运算，加法，减法，数乘，乘法，转置，对称阵与反对称阵、 6.方阵行列式（这里要注意方阵行列式的运算规则) 7.伴随矩阵（注意运算规律） 8.共轭矩阵（不太重要）
第三章 向量 用向量的知识解构与重构矩阵
1.向量的定义，向量、向量组和矩阵的关系
2.向量组的线性相关1 a 12 a 2 m a m
3.向量的线性表示：
a.一个向量被向量组线性表示b 1 a 1 2 a 2 m a m
b.一个向量组被另一个向量组线性表示 B=§A 定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充要条件是 R(A) = 联系上一章节学习的线性方程 R(B) , 其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ), B = ( a1 , a2 ,……, am ,b ) . 组的是知识
b.线性方程组解的空间指的是由线性方程组的解的向量满足空间线性运算 及元素线性无关所组成的空间，其次线性方程组的解向量就是一个解空间
定理 6 n 元齐次线性方程组
Ax = 0
⑴
的解空间的维数为 n - r ，即 ⑴ 的基础解系含 n - r 个解，其中
R(A) = r.
第三章 向量
1向量的线性表示（主要是线性表示的概念，单个向量、向量组与向量组的 线性表示）
端木奈良 更多学习资源请加QQ：2119658018
线性代数复习指导
The Review Lesson To Linear Algebra
d数量矩阵：有数量的对角矩阵 记作 E .
第二章 矩阵
e.三角矩阵：分为上三角和下三角 f.负矩阵：原矩阵乘上负一 g.行最简型，行阶梯型，标准型 4.多元线性方程组与矩阵 a.系数矩阵与增广矩阵 5.矩阵的运算，加法，减法，数乘，乘法，转置，对称阵与反对称阵、 6.方阵行列式（这里要注意方阵行列式的运算规则) 7.伴随矩阵（注意运算规律） 8.共轭矩阵（不太重要）
第三章 向量 用向量的知识解构与重构矩阵
1.向量的定义，向量、向量组和矩阵的关系
2.向量组的线性相关1 a 12 a 2 m a m
3.向量的线性表示：
a.一个向量被向量组线性表示b 1 a 1 2 a 2 m a m
b.一个向量组被另一个向量组线性表示 B=§A 定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充要条件是 R(A) = 联系上一章节学习的线性方程 R(B) , 其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ), B = ( a1 , a2 ,……, am ,b ) . 组的是知识
b.线性方程组解的空间指的是由线性方程组的解的向量满足空间线性运算 及元素线性无关所组成的空间，其次线性方程组的解向量就是一个解空间
定理 6 n 元齐次线性方程组
Ax = 0
⑴
的解空间的维数为 n - r ，即 ⑴ 的基础解系含 n - r 个解，其中
R(A) = r.
第三章 向量
1向量的线性表示（主要是线性表示的概念，单个向量、向量组与向量组的 线性表示）
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线性代数复习指导
The Review Lesson To Linear Algebra
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第三节 行列式按行(列)展开
引理 一个n阶行列式，如果第i 行所有元素除
aij 外都为零，那么这个行列式等于 aij 与它的代
数余子式的乘积，即 D aij Aij .
定理1.3 行列式的某行(列)的所有元素与其对应 的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。行列 式某行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子 式乘积之和等于零。
定义2.8 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B
使得
AB BA E
则称B是A的逆矩阵，并称矩阵A是可逆矩阵或满秩
矩阵，或非奇异矩阵,记为 A1.
说明 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
注意 不能将 A1写成 1 . A
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19
定义2.9 设有n阶方阵 A (aij )nn , 由行列式 A 中
性质1.2 行列式的某一行（列）中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面． 推论1 行列式的某一行（列）中的所有元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 推论2 如果行列式中有一行(列)为零，那么行列
式为零。
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6
性质1.3 对换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）完全相同， 则此行列式为零. 性质1.4 如果行列式中有两行（列）对应成 比例，那么行列式为零．
n ppt课件
12 n n
4
a11 L M
4. D am1 L
*L M
*L
a 11
L
M
a1m
M
0
a mm
* b11 L b1k
MM
M
* bk 1 L bkk
a 1m
b11 L
b1k
MM
M.
am1 L
amm
b k1
L
b kk
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第二节 行列式的性质
性质1.1 行列式与它的转置行列式相等.
线性代数总复习
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1
第一章 行列式
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2
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
a11 a12 a13 a11 a12 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
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行列式按行（列）展开法则是把高阶行 列式的计算化为低阶行列式计算的重要 工具.
n
D ,当i j,
aki Akj
k 1
0
,当
i
j;
n aik Ajk
k 1
D ,当i
0
,当i
j, j;
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第二章 矩阵及其运算
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一、矩阵的概念
1. 矩阵的基本概念
定义2.1 由 m 个n数 aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
转置矩阵
对称及反对陈矩阵 方阵的行列式
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14
2. 矩阵的运算规律：
加法：
1交换律：A B B A; 2 结合律：A B C A B C .
数乘：
1 结合律 : A A;
2分配律 : A A A; A B A B.
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乘法：
1 ABC ABC ;
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且AB 1 B1 A 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 AT 1 A1 T.
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7
性质1.5 如果行列式的某一行（列）的元素都是
两数之和，例如第i 行的元素都是两数之和
a11
a12
a1n
D bi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
D bi1 bi 2 bin ci1 ci 2 cin
2 AB AB AB
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
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转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
an1 an2 anpnpt课件 an1 an2 ann
8
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
计算行列式常用方法： (1)利用定义; (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式， 从而算得行列式的值．
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定理2.2 设A为n阶方阵，则
A可逆 A 0 , 且 A1 1 A ,
A 其中A是A的伴随阵.
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
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3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21pap3t课3件 a13a22a31.
3
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22 L ann
0 0 ann
1
2.
2
1
3.
2
n( n1)
(1) 2 12 n
排成的m行n列的数表
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
称为m行n列矩阵,简称 m 矩n阵. 其中 m 个n 数称为矩阵A的元素，数
A的第i 行第j 列的元素.ppt课件
aij 称为矩阵
13
二、矩阵的运算
1. 矩阵的基本运算：
加法
数与矩阵相乘
矩阵与矩阵相乘 方阵的幂
各元素aij 的代数余子式Aij 构成如下n阶方阵
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2 Ann
称为矩阵A的伴随矩阵.
注意:伴随阵 A* 与原矩阵A元素位置的对应关系.
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2. 基本定理
定理2.1 设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，则 AA A A A E.
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3. 方阵的行列式及其性质
定义2.1 由n阶方阵A的元素按原相对位置所构成 的行列式，称为方阵A的行列式，记作 A 或 det A.
方阵的行列式满足下列规律： （设A、B为n阶方阵，为数）
（1） AT A
（2） A n A;
（3） AB A B
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1. 基本概念
三、逆矩阵.列标