线性代数经管类(课堂PPT)

说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
定义 由 n2个数aij (i j1 2 n)组成的记号
a11 a12 L D a21 a22 L
MM
a1n
a2n M
a ij
an1 an2 L ann
称为n阶行列式.
说明（1）n阶行列式共有n!项．
0 0 ... a nn
2) 下 三 角 行 列 式
a11 0 ... 0
a 21 ...
a 22 ...
... ...
0 ...
a11a 22 ...a nn
a n1 a n2 ... a nn
3) 主 对 角 行 列 式
1 0 ... 0
0 ...
2 ...
... ...
0 ...
1 2 ... n
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
1 2 -4 例1 计算三阶行 D列 -2式 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
二、三阶行列式
a 11 a 12 a 13
a 21 a 31
a 22 a 32
a 23 a 33
a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132 a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 231
为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则计算。
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
100 D3 0 3 0 ;
102
解： D 13 0 ;D 22 4 ;D 36 ;
§1.2 行列式按行（列）展开
一、余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i行和第 j 列划去后，留下来的 n1 阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作 M ij .
记A ij1ijM i， j 叫做元素 a ij 的代数余子式．
§1.1 行列式的定义
一、二阶行列式
我们用记号 a11 a12 a21 a22
表示代数和a11a22a12a21 称为二阶行列式。
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行下标，第二个下标 j 为列下标。
即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
二阶行列式的计算
对角线法则 （口诀：叉叉相乘来相减）
主对角线 a11
次对角线
a 21
a12 a11a22a12a21.
a 22
说明 （1）二阶行列式共有 2 项，即 2 ! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的 乘积． （3）正负项各占一半.
（4）行列式的本质是数.
例如 1 3
17(2)313
2 7
a a2
b b2
ab2 ba2
同理，称
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 1 1A 1 1a 1 2A 1 2a 1 3A 1 3
a a a 31
32
33 a 2 1A 2 1 a 2 2A 2 2 a 2 3A 2 3
a 3 1A 3 1 a 3 2A 3 2 a 3 3A 3 3
11 2
0a 0 2.计算 D b c d .
0e0
三、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
4 6 3 4 2 8 24 1.4
a10
例 2 当a取何值时，1 a 0 0 ?
411
解解 1 a 1 a 0 0 a 2 1 4 1 1
因此可得：a210当且仅当|a|1
a10
所以，当|a|1时， 1 a 0 0 .
411
练习题
11 0
1.计算 D 2 3 1 .
（2）每项都是位于不同行不同列的n个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
（4）一阶行列式a a 不要与绝对值记号相混淆. （5）行列式的本质是数.
四、几个特殊的行列式
1) 上 三 角 行 列 式
a11 a12 ... a1n
0 ...
Байду номын сангаас
a 22 ...
... a 2n ... ...
a11a 22 ...a nn
a1a 122 a33a12 a23 a31a13 a2a 132 a13a22a31a12a2a 133a1a 12a 33.2
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
当ij偶数时，Aij Mij; 当ij奇数时，Aij Mij;
行列式的每个元 对素 应分 着别 一个余子式 个代数余.子式
1
例1 行列式 3
2
为
A．-2
1 2
0 1 的元素 a 2 3 的代数余子式 A 2 3
47
（A）
B．2 C．-1
D．1
解：
A23(1)23M23
1 2
1
4 2
二、行列式展开定理
0 0 ... n
4) 次 对 角 行 列 式
0 ... 0 1
0 ...
... 2 ... ...
0 ...
n (n1)
( 1) 2 1 2 ... n
n ... 0 0
例1 计算下列行列式的值
1 1 2 3
0 24 6
D1 0
03
; 7
0 0 0 5
0001 0020 D2 0 3 0 0 4000
线性代数
主讲：刘 群
海口经济学院继教学院
2014.5.11---2014.6.22
目录
第一章 行列式 第二章 矩 阵 第三章 向量空间 第四章 线性方程组 第五章 特征值与特征向量 第六章 实二次型
第一章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入 的，但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中，行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法。