(全国通用版)2018-2019版高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法学案 新人教A版选修2-2

§2.3数学归纳法
学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
知识点数学归纳法
对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.
思考1 验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？
答案成立．
思考2 能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？
答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．
梳理(1)数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
(2)数学归纳法的框图表示
1．与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( × ) 2．数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( × ) 3．数学归纳法的两个步骤缺一不可．( √ )
类型一 用数学归纳法证明等式
例1 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2
，其中n ∈N *
. 考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式
证明 (1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22
＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *
)时等式成立， 即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2
， 那么当n ＝k ＋1时，
1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1] ＝k (k ＋1)2
＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]
＝(k ＋1)(k 2
＋4k ＋4)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2
， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈N *
都成立．
反思与感悟 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；二是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形． 跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．
考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝1
2，
右边＝11＋1＝1
2
，左边＝右边．
(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *
)时等式成立， 即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k
＝
1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)
， 则当n ＝k ＋1时，
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12k ＋1－12k ＋2
＝
1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋1
2(k ＋1)
. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．
综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *
，等式成立．
类型二 用数学归纳法证明不等式 例2 求证：
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56
(n ≥2，n ∈N *
)． 考点 用数学归纳法证明不等式 题点 利用数学归纳法证明不等式
证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝57
60，
故左边>右边，不等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *
)时，命题成立， 即
1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56
， 则当n ＝k ＋1时，
1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋1
3(k ＋1)
＝
1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
3k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1
>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1.(*)
方法一 (分析法) 下面证(*)式≥5
6，
即
13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1
k ＋1
≥0， 只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)≥0， 只需证(9k 2
＋15k ＋6)＋(9k 2
＋12k ＋3)＋(9k 2
＋9k ＋2)－(27k 2
＋27k ＋6)≥0， 只需证9k ＋5≥0，显然成立． 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 方法二 (放缩法)
(*)式>⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＋56＝56， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *
均成立． 引申探究 把本例改为求证：
1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1124
(n ∈N *
)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12>11
24
，不等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *
)时，不等式成立， 即
1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k >1124
， 则当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1
2k ＋2
＝
1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1
k ＋1
>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1， ∵12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝2(k ＋1)＋(2k ＋1)－2(2k ＋1)2(k ＋1)(2k ＋1)＝1
2(k ＋1)(2k ＋1)
>0， ∴
1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>11
24
， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．
由(1)(2)知对于任意正整数n ，不等式成立． 反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝a (a >2)，a n ＋1＝a 2n 2(a n －1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明：
a n >2(n ∈N *)．
考点 用数学归纳法证明不等式 题点 利用数学归纳法证明不等式 证明 ①当n ＝1时，a 1＝a >2，命题成立；
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *
)时，命题成立，即a k >2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－2＝a 2k
2(a k －1)
－
2＝(a k －2)2
2(a k －1)
>0， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立． 由①②得，对任意正整数n ，都有a n >2.
类型三 归纳—猜想—证明
例3 已知数列{a n }满足关系式a 1＝a (a >0)，a n ＝2a n －11＋a n －1(n ≥2，n ∈N *
)，
(1)用a 表示a 2，a 3，a 4；
(2)猜想a n 的表达式(用a 和n 表示)，并用数学归纳法证明． 考点 数学归纳法证明数列问题 题点 利用数学归纳法证明数列通项问题 解 (1)a 2＝2a
1＋a
，
a 3＝2a 21＋a 2＝2×
2a 1＋a 1＋
2a 1＋a
＝4a
1＋3a
，
a 4＝2a 31＋a 3＝2×
4a 1＋3a 1＋
4a 1＋3a
＝8a
1＋7a
.
(2)因为a 1＝a ＝20
a
1＋(20
－1)a ， a 2＝21
a
1＋(21
－1)a ，…， 猜想a n ＝2n －1
a
1＋(2n －1
－1)a . 下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，
因为a 1＝a ＝20
a
1＋(20
－1)a ， 所以当n ＝1时猜想成立．
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *
)时猜想成立， 即a k ＝2k －1
a
1＋(2k －1
－1)a ， 所以当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2a k
1＋a k ＝2k
a 1＋(2k －1
－1)a 1＋2k －1
a
1＋(2k －1
－1)a ＝2k
a
1＋(2k －1－1)a ＋2k －1a
＝
2k a
1＋2×2k－1a－a
＝
2(k＋1)－1a
1＋[2(k＋1)－1－1]a
，
所以当n＝k＋1时猜想也成立．
根据①与②可知猜想对一切n∈N*都成立．
反思与感悟“归纳—猜想—证明”的一般步骤
跟踪训练3 考察下列各式
2＝2×1
3×4＝4×1×3
4×5×6＝8×1×3×5
5×6×7×8＝16×1×3×5×7
你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？
考点用数学归纳法证明等式
题点等式中的归纳，猜想、证明
解由题意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…，
猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，
下面利用数学归纳法进行证明．
(1)当n＝1时，猜想显然成立；
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，
那么当n＝k＋1时，
(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)
＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2
＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1)
＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]
所以当n＝k＋1时猜想成立．
根据(1)(2)可知对任意正整数猜想均成立.
1．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *
)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，
由此推算：当n ≥2时，有( ) A ．f (2n )>2n ＋12(n ∈N *
)
B ．f (2n )>2(n ＋1)＋12(n ∈N *
)
C ．f (2n )>2n ＋12(n ∈N *
)
D ．f (2n
)>
n ＋2
2
(n ∈N *
)
考点 利用数学归纳法证明不等式 题点 不等式中的归纳、猜想、证明 答案 D
解析 f (4)>2改写成f (22)>2＋22；f (8)>52改写成f (23)>3＋22；f (16)>3改写成f (24
)>4＋22
；
f (32)>7
2改写成f (25)>
5＋22，由此可归纳得出：当n ≥2时，f (2n )>n ＋22
(n ∈N *
)． 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2
＋…＋a 2n ＋1
＝1－a
2n ＋2
1－a
(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算
所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2
C ．1＋a ＋a 2
＋a 3
D ．1＋a ＋a 2
＋a 3
＋a 4
考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 C
解析 将n ＝1代入a
2n ＋1
得a 3
，故选C.
3．若命题A (n )(n ∈N *
)在n ＝k (k ∈N *
)时成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝
n 0(n 0∈N *)时成立，则有( )
A ．命题对所有正整数都成立
B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立
C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立
D ．以上说法都不正确 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 C
解析 由已知，得n ＝n 0(n 0∈N *
)时命题成立，则n ＝n 0＋1时命题成立， 在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得，n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立， 依此类推，可知选C.
4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2
n －1
＝2n －1(n ∈N *
)的过程如下：
(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21
－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *
)时等式成立，即1＋2＋22
＋…＋2
k －1
＝2k
－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2
＋22＋…＋2
k －1
＋2k
＝1－2k ＋1
1－2
＝2k ＋1
－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任何
n ∈N *，等式都成立．
上述证明，错误是________． 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 未用归纳假设
解析 本题在由n ＝k 成立证明n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式，
而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符． 5．用数学归纳法证明：
12
1×3＋22
3×5＋…＋n 2
(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)(n ∈N *
)． 考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 证明 ①当n ＝1时，左边＝12
1×3＝13，
右边＝1×(1＋1)2×(2×1＋1)＝1
3，
左边＝右边，等式成立．
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *
)时，等式成立． 即12
1×3＋22
3×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)， 当n ＝k ＋1时，
左边＝12
1×3＋22
3×5＋…＋k 2
(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2
(2k ＋1)(2k ＋3)
＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2
(2k ＋1)(2k ＋3)
＝k (k ＋1)(2k ＋3)＋2(k ＋1)22(2k ＋1)(2k ＋3)
＝(k ＋1)(2k 2
＋5k ＋2)2(2k ＋1)(2k ＋3)
＝
(k ＋1)(k ＋2)
2(2k ＋3)
，
右边＝(k ＋1)(k ＋1＋1)2[2(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，
左边＝右边，等式成立． 即对所有n ∈N *
，原式都成立．
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
一、选择题
1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为1
2n (n －3)条时，第一步应验证n 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 C
解析 由凸多边形的性质，应先验证三角形，故选C.
2．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *
)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立
D ．当n ＝4时命题成立 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳第二步：归纳递推 答案 B 3．设S k ＝
1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)
，则S k ＋1为( ) A ．S k ＋1
2k ＋2
B ．S k ＋12k ＋1＋1
2k ＋2
C ．S k ＋12k ＋1－1
2k ＋2
D ．S k ＋12k ＋2－1
2k ＋1
考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 C
解析 因式子右边各分数的分母是连续正整数， 则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)
，① 得S k ＋1＝
1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1
2(k ＋1)
.② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1
k ＋1
＝
12k ＋1－1
2(k ＋1)
. 故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－1
2(k ＋1)
.
4．一个与正整数n 有关的命题中，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立，可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( ) A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 取值无关 D ．以上答案都不对
考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 B
解析 由n ＝k 时命题成立，可以推出n ＝k ＋2时命题也成立，且使命题成立的第一个正偶数
n 0＝2.故对所有的正偶数都成立．
5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2
成立时，总可推出f (k
＋1)≥(k ＋1)2
成立”，那么，下列命题总成立的是( ) A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2
成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2
成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法的定义 答案 D
解析 对于D ，∵f (4)＝25≥42
， ∴当k ≥4时，均有f (k )≥k 2
.
6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n
3a n ＋1(n ∈N *
)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项
表达式为( ) A.2
4n －3 B.26n －5 C.2
4n ＋3
D.22n
－1
考点 数学归纳法证明数列问题 题点 利用数学归纳法证明数列通项问题 答案 B
解析 结合题意，得a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝2
6n －5，故选B.
7．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *
)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B.2k ＋1
k ＋1 C ．2(2k ＋1)
D.
2k ＋3
k ＋1
考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法的第二步：归纳递推 答案 C
解析 当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)． 二、填空题
8．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n
>n 3
”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．
考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 10
9．证明：假设当n ＝k (k ∈N *
)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2
＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2
＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2
＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何
n ∈N *等式都成立．
以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2
＋n (n ∈N *
)”的过程中的错误为_________． 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 缺少步骤归纳奠基
10．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n
)＝
________________________________________________________________________. 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案
12n
＋1＋12n ＋2＋…＋1
2
n ＋1 三、解答题
11．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝
n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝3
4，
右边＝2＋12×2＝34
，
所以左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *
)时等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k
，
那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)
(k ＋1)2 ＝
k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋1
2(k ＋1)
，
即当n＝k＋1时，等式成立．
综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式恒成立．
12．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *
)．
考点 用数学归纳法证明不等式 题点 利用数学归纳法证明不等式 证明 (1)当n ＝2时，左式＝122＝1
4，
右式＝1－12＝1
2
.
因为14<1
2
，所以不等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *
)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ， 则当n ＝k ＋1时，
122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋
1
(k ＋1)2 ＝1－(k ＋1)2
－k k (k ＋1)2＝1－k 2
＋k ＋1k (k ＋1)2<1－
k (k ＋1)k (k ＋1)2 ＝1－
1
k ＋1
， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立． 四、探究与拓展
13．用数学归纳法证明“34n ＋1
＋5
2n ＋2
(n ∈N *)能被14整除”时，当n ＝k ＋1时，3
4(k ＋1)＋1
＋
5
2(k ＋1)＋2
应变形为________________．
考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 34
×(34k ＋1
＋5
2k ＋2
)－5
2k ＋2
×14×4
解析 34(k ＋1)＋1
＋5
2(k ＋1)＋2
＝34
×3
4k ＋1
＋52×5
2k ＋2
＝34×3
4k ＋1
＋34×5
2k ＋2
＋52×5
2k ＋2
－34×5
2k ＋2
＝
34
×(3
4k ＋1
＋5
2k ＋2
)－5
2k ＋2
×(34
－52)＝34
×(3
4k ＋1
＋5
2k ＋2
)－5
2k ＋2
×14×4.
14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *
)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；
(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 考点 数学归纳法证明数列问题 题点 利用数学归纳法证明数列通项问题 解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝1
20
.
(2)猜想：a n ＝
1
n (n ＋1)
.
下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，猜想显然成立．
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *
)时，猜想成立， 即a k ＝
1
k (k ＋1)
，
那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1. 又S k ＝1－ka k ＝k
k ＋1
，
所以
k
k ＋1
＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，
从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1
(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，
即n ＝k ＋1时，猜想也成立． 故由①和②可知猜想成立．。