高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

/目录
01
目录
⁠
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）
（A＞0，ω＞0）
振幅
周期
频率
A
2
T＝
ω
1
ω
f＝ ＝
T 2
相位
初相
ωx＋φ
φ
⁠
目录
2.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找
区间.如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
目录
⁠
1.如图，函数y＝ 3tan 2 +
△DEF的面积为
（
π
A.
4
π
B.
2
C.π
D.2π
π
6
的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则
）
解析：A 在y＝ 3tan 2 +
π
6
中，令x＝0，可得y＝1，所以D（0，1）；令y＝
π
π
0，解得x＝ － （k∈Z），故E
,0
6
2
12
12
D. −
5π
,0
12
.
A.8π
π
−
2 6
1
图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，则所得函数的最
2
）
B.4π
C.2π
解析：C 所得函数解析式为y＝sin
π
−
6
D.π
，周期为2π.
目录
1
3
4.函数y＝ sin
3
2
1
答案：
3
4π
3
π
+
4
的振幅为
第五节
函数y＝Asin（ωx＋φ）的
图象及应用
⁠
1.了解y＝Asin（ωx＋φ）的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，
了解参数的变化对函数图象变化的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周
期变化的数学模型.
CONTENTS
01
知识·逐点夯实
02
考点·分类突破
，周期为
⁠
.
⁠
π
4
5.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ） > 0,|| <
＝
，初相为
⁠
π
2
的部分图象如图所示，则ω
.
⁠
π
解析：设f（x）的最小正周期为T，根据题图可知， ＝ ，所以T＝π，故ω＝2.
2 2
答案：2
目录
⁠
函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
1
2,−
2
π
π
π
2，则 ＝2，即ω＝ ，∴f（x）＝sinቀ

2
2
1
，因此sin（π＋φ）＝－ ，即sin
2
π
π
π
π
≤φ≤ ，故φ＝ ，∴f（x）＝sin
2
2
6
2
答案：sin
1
2
π
2
π

2
+
+
π
6
+
1
φ＝ ，而－
2
.
π
6
目录
三角函数图象与性质的综合应用
考向1 图象与性质的综合问题
【例3】 （多选）已知函数f（x）＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ 0 < <
（1）五点法作图：用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）的简图，主要是通过变量
π
3
代换，设X＝ωx＋φ，由X取0， ，π， π，2π来求出相应的x，通过列表，计算
2
2
得出五点坐标，描点后得出图象；
（2）变换法作图：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象
有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
为
π
,0
6
π
π
π
π
π
，∴2× ＋φ＝ ＋kπ，k∈Z，∴φ＝ ＋kπ，k∈Z.∵0＜φ＜ ，∴φ＝ .
6
2
6
2
6
则f（x）＝cos 2 +
π
6
.∵f
5π
12
＝cos 2 ×
5π
12
+
π
6
函数f（x）的图象的一条对称轴，故A正确；当x∈
∴函数f（x）在
π
0,
6
∈
π 7π
,
6 6
π
0,
6
π
时，2x＋
6
,
6 6
.
列表如下：

6

2
x
f（x）

2x＋
6
π
3
2
2π
13
6
0

6
5
12
2
3
11
12
π
1
2
0
－2
0
1
目录
描点、连线得图象：
目录
（2）函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解
π
6
（2）将y＝sin x的图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到函数y
＝sin +
目录
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）图象变换的两个注意点
（1）由y＝sin

ωx的图象到y＝sin（ωx＋φ）的图象的变换：向左平移 （ω＞0，

φ＞0）个单位长度而非φ个单位长度；
（2）如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式
化为同名函数，另ω为负时应先变成正值.
目录
⁠
2
3
2
1
1
（k∈Z），得ω＝2k＋ （k∈Z）.因为ω＞0，所以ωmin＝ .故选C.
3
3
目录
求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
【例2】 已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ） > 0, > 0,0 < || <
象如图所示，则
（
A.f（x）＝2sin 2
π
+
3
B.f（x）＝2sin
的部分图
五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ

2
0
x
φ
－
ω
y＝Asin（ωx＋φ）
0
⁠

φ
－
2ω ω
A
2π
−φ
ω
3
2
3 φ
2ω－ω
2−φ
ω
0
－A
π
⁠
⁠
0
⁠
目录
3.函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的
两种途径
目录
提醒 （1）两种变换的区别：①先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的
π
π
＜｜φ｜＜ ，解得φ＝ ，所以f（x）＝2sin
2
3
2
π
+
3
，故选A.
目录
法二：由题图知，A＝2.由五点作图法知， −
π
,0
6
π
− · + = 0,

6
点与第四个点，所以ቐ 7π
3π 解得൝
· + = ,
12
2
= 2,
π 所以f（x）＝2sinቀ2 +
= ,
，
7π
,−2
12
π
6
的图象，再将y＝sin +
π
6
1
来的 （纵坐标不变），得到函数y＝sin
2
sin 2 +
π
6
的图象上所有点的横坐标缩短到原
2 +
π
6
的图象，再将y＝
上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到f
（x）＝2sin 2 +
π
6
的图象.
目录
｜解题技法｜
1.作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种方法
7π 13π
,
6
6
7π 13π
,
6
6

2
π
6

π
＝ ，∵x∈ ,π
2
2
，则sin t＝ 在t∈
7π 13π
,
6
6
，∴2x
上有两个不

与y2＝ 的图象有两个不同的交点，如图.由
2

1
图象可知，－1＜ ＜－ ，即－2＜m＜－1.∴m的取值范围是（－2，－1）.
2
2
答案 （－2，－1）
目录
｜解题技法｜
巧用图象解决三角函数中的零点（方程根）问题
旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是
π
5
π
15
，所以要得到函数y＝2sin 3x的
π
15
的图象上所有的点向右平移 个单
位长度，故选D.
目录
02
目录
⁠
函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与变换
【例1】 已知函数f（x）＝2sin 2
π
+
6
.
（1）作出f（x）在[0，π]上的图象；
目录
解
π
（1）因为x∈[0，π]，所以2x＋
6
∈
π 13π
的一个对称中心为
π
,0
6
，则下列说法正确的是
（
π
2
的图象
）
5π
A.直线x＝ 是函数f（x）的图象的一条对称轴
12
B.函数f（x）在
π
0,
6
上单调递减
π
C.函数f（x）的图象向右平移 个单位长度可得到y＝cos
6
D.函数f（x）在
π
0,
2
2x的图象
上的最小值为－1
目录
解析 ∵f（x）＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ＝cos（2x＋φ）的图象的一个对称中心
目录
｜解题技法｜
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键
首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后根据数形结合
思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）.
目录
考向2 三角函数的零点（方程根）
【例4】
已知关于x的方程2sin2x－
的实数根，则m的取值范围是
3sin 2x＋m－1＝0在x∈
π
−
4
π
的图象向左平移 个单位长度，再将所得曲线
3
上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f（x）的图象，所以y＝sin −
将其图象向左平移π3个单位长度
象
y＝sin +
所有的横坐标扩大到原来的2倍
f（x）＝sin

2
π
12
的图象
+
π
12
π
4
的图象.
目录
的图
2.（2022·全国甲卷）将函数f（x）＝sin +
2
12
1
5π
×
2
12
π
+
12
π
− ,0
12
，F
5π
,0
12
.所以△DEF的面积为
π
×1＝ .
4
目录
2.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ） >
π
0,−
2
≤≤
与它相邻的一个最低点的距离为2 2，且过点 2,−
＝
的图象上的一个最高点和
，则函数f（x）
.
⁠
22
解析：依题意得
+
π 2
＝2

ቁ，由于该函数图象过点
π
,π
2
上有两个不同
.
⁠
目录
解析 ∵2sin2x－ 3sin 2x＋m－1＝0，∴1－cos 2x－ 3sin 2x＋m－1＝0，即cos
2x＋ 3sin 2x－m＝0，∴2sin 2 +
π
6
＋ ∈
7π 13π
,
6
6
π
6
，设2x＋ ＝t，t∈
同的实数根，即y1＝sin t，t∈
π
6
＝m，即sin 2 +
3sin 2
π
+
4
.（
π
2x的图象向左平移 个单位长度后所得图象的解析式是y＝
4
）
答案：（1）×
（2）利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的
长度一致.
（
）
答案：（2）×
目录
（3）函数y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称

中心之间的距离为 .
分别为第一个
3
π
ቁ，故选A.
3
答案 A
目录
｜解题技法｜
已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的图象，确定其解析式的
步骤：
−
+
（1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝
，B＝
；
2
2
2π
（2）求ω，确定函数的周期T，则ω＝ ；

（3）求φ，将图象上的已知点代入解析式，求解时注意点在上升区间还是下降
量是｜φ｜个单位长度；②先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是
||

（ω＞0）个单位长度.
（2）变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即
图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看“角ωx＋φ”的变化.
目录
⁠
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）将函数y＝3sin
π
3
π
（ω＞0）的图象向左平移 个
2
单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是
1
A.
6
1
B.
4
1
C.
3
1
D.
2
（
解析：C 记曲线C的函数解析式为g（x），则g（x）＝sin +
sin +
π

2
+
π
3
）
π
2
+
π
3
＝
π
π
π
.因为函数g（x）的图象关于y轴对称，所以 ω＋ ＝kπ＋
）
π
2−
3
C.f（x）＝2sin +
D.f（x）＝2sin
π
2
π
6
1
π
−
2
6
目录
解析
3
7π
法一：由题图知，A＝2， T＝ －
4
12
π
−
6
3
＝ π（T为f（x）的最小正周
4
2π
期），所以T＝π，所以ω＝ ＝2，所以f（x）＝2sin（2x＋φ）.把点