2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案：1.7 正切函数 Word版

§7 正切函数 7．1 正切函数的定义 7．2 正切函数的图像与性质 7．3 正切函数的诱导公式
1．理解任意角的正切函数的定义．
2．能画出y ＝tan x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图像．(重点)
3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2内
的单调性．(重点)
4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 正切函数的定义、图像及性质
阅读教材P 36～P 38“动手实践”以上部分，完成下列问题． 1．正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠π
2＋k π(k ∈Z )，且角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么比值b
a 叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠π
2＋k π(k ∈Z )．
2．正切线
如图1－7－1所示，线段AT 为角α的正切线．
图1－7－1
3．正切函数的图像与性质
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数y ＝tan x 的定义域为R .( ) (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期为π.( ) (3)正切函数y ＝tan x 是奇函数．( )
(4)正切函数y ＝tan x 的图像关于x 轴对称．( ) 【解析】 (1)y ＝tan x
的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α⎪
⎪⎪
x ≠π
2＋k π，k ∈Z . (2)y ＝tan x 的周期为k π(k ∈Z )，最小正周期为π. (3)因为y ＝tan x
的定义域⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠π
2＋k π，k ∈Z
关于原点对称，且tan(－x )
＝－tan x ，故为奇函数．
(4)由图知，正切函数图像既不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 教材整理2 正切函数的诱导公式
阅读教材P 38～P 39例1以上部分，完成下列问题． 正切函数的诱导公式
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2－α＝cot α.( )
(2)正切函数的诱导公式中的角为任意角．( ) (3)tan(k π－α)＝－tan α.( )
【解析】 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α＝
tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－α＝cot α，所以(1)正确． (2)无论角α是哪个象限的角，诱导公式都适合，故(2)正确． (3)tan(k π－α)＝－tan α，故(3)正确． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
如图P ，Q 是单位圆
上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π
6，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)．
图1－7－2
(1)若已知角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，求tan θ； (2)若已知Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
35，45，试求tan α.
【精彩点拨】求出角的终边与单位圆的交点后，利用正切函数的定义求解． 【自主解答】 (1)∵角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，且P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，12， 故θ的终边与单位圆交于P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫
32
，－12，
则tan θ＝
－12
32
＝－33. (2)∵∠AOQ ＝α且Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫
35，45，
∴tan α＝4
535
＝4
3.
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝b
a .
2．已知角终边上的一点M (a ，b )(a ≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．
3．
tan α＝sin α
cos α知其中两个，可求另一个．
[再练一题]
1．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－3
5，求tan α的值.
【导学号：66470022】
【解】 由题意知cos α＝－b
b 2＋42
＝－35，∴b ＝±3.又cos α＝－35<0，
∴P 在第二象限，∴b ＝3. ∴tan α＝－4
3.
(1)化简：sin (π＋α)·cos (π－α)·tan ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
－3π2－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2＋α；
(2)求值：
tan 3π4－tan 2π
3
1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3·tan ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－π4.
【精彩点拨】 解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．
【自主解答】 (1)原式＝ (－sin α)·(－cos α)·tan ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2－α(－cot α)·sin α
＝sin αcos α·cot α
(－cot α)·sin α＝－cos α. (2)原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4－tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫π－π31＋tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫π＋π3tan π4
＝
－tan π4＋tan π
31＋tan π3
＝3－13
＋1＝2－ 3.
在使用诱导公式化简时，一定要记准诱导公式中名称变还是不变以及准确判断角所在象限．一般地，我们将α看作锐角(实质上是任意角)，那么π－α，π＋α，2π－α，π2
＋α，π
2－α分别是第二、三、四、二、一象限的角．
[再练一题]
2．(1)化简：tan (540°－α)tan (α－270°)tan (α＋180°)
tan (α－180°)tan (810°＋α)tan (－α－360°)；
(2)若a ＝cos (α＋π)sin 2(3π＋α)
tan (4π＋α)tan (π＋α)cos 3
(－α－π)
，求a 2＋a ＋1的值．
【解】 (1)
tan (540°－α)tan (α－270°)tan (α＋180°)
tan (α－180°)tan (810°＋α)tan (－α－360°)
＝
tan (－α)tan (α－90°)tan αtan αtan (90°＋α)tan (－α)
＝
(－tan α)(－cot α)tan αtan α(－cot α)(－tan α)
＝tan α·cot α·tan α
tan α·
cot α·tan α＝1. (2)a ＝
cos (α＋π)sin 2(3π＋α)tan (4π＋α)tan (π＋α)cos 3
(－α－π)
＝(－cos α)sin 2αtan α·tan α(－cos 3α)＝－cos α·sin 2α
sin αcos α·sin αcos α·
(－cos 3α)
＝
－cos 3αsin 2α
sin 2α(－cos 3α)＝1，
∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3.
利用正切函数的图像作出y ＝|tan x |的图像，并写出使y ＝3的x 的
集合．
【精彩点拨】 先化成分段函数，再借助正切函数的图像作图． 【自主解答】 ∵当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π时，y ＝tan x ≤0， 当x ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫k π，k π＋π2时，y ＝tan x >0，
∴y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
－tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤
k π－π2，k πk ∈Z ，tan x ，x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .
如图所示．
使y ＝3的x
的集合为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＝k π±π3，k ∈Z .
1．三点两线画图法
“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2.在
三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪
⎫
－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．
3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等．
[再练一题]
3．求下列函数的定义域． (1)y ＝
1
1＋tan x
；
(2)y ＝tan x ＋lg(1－tan x )．
【解】 (1)由⎩⎨
⎧
1＋tan x ≠0，
x ≠k π＋π
2(k ∈Z )，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ≠k π－π
4(k ∈Z )，x ≠k π＋π
2(k ∈Z )，
∴函数的定义域为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≠k π＋π2且x ≠k π－π
4，k ∈Z .
(2)要使函数y ＝tan x ＋lg(1－tan x )有意义．
则⎩⎪⎨⎪⎧
tan x ≥0，1－tan x >0
⇒0≤tan x <1.由正切函数的图像可得k π≤x <k π＋π4，k ∈Z .∴原函数的定义域为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |k π≤x <k π＋π
4，k ∈Z .
[探究共研型]
探究1 【提示】 不是，正切函数的定义域是
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π
2，k ∈Z
.正切曲线在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是
增加的，但在整个定义域上不是增加的．
探究2 函数y ＝tan x 的周期是多少？y ＝|tan x |的周期呢？ 【提示】 y ＝tan x 的周期是π，y ＝|tan x |的周期也是π. 探究3 函数y ＝tan x 的图像有什么特征？
【提示】 正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π
2(k ∈Z )所隔开的无穷支曲线组成的，是间断的，无对称轴，只有对称中心．
已知f (x )＝－a tan x (a ≠0)． (1)判断f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π3，π3上的奇偶性；
(2)求f (x )的最小正周期； (3)求f (x )的单调区间；
(4)若a >0，求f (x )在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
π4，π2上的值域．
【精彩点拨】 通过f (－x )与f (x )的关系判断奇偶性，求单调区间时注意a 的符号．
【自主解答】 (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π3，π3，
∴f (－x )＝－a tan(－x )＝a tan x ＝－f (x )． 又定义域⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π3，π3关于原点对称，
∴f (x )为奇函数． (2)f (x )的最小正周期为π.
(3)∵y ＝tan x 在⎝ ⎛
⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递增， ∴当a >0时，f (x )在⎝ ⎛
⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上单调递减，
当a <0时，f (x )在⎝ ⎛
⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上单调递增．
(4)当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫
π4，π2上单调递减，
故x ＝π
4时，f (x )max ＝－a ，无最小值． ∴f (x )的值域为(－∞，－a ]．
1．由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像． 2．由函数的图像又可以直观地总结函数的性质．函数的主要性质包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
[再练一题]
4．画出函数y ＝tan |x |的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性． 【解】 由y ＝tan |x |得，
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
tan x ，x ≥0且x ≠π
2＋k π(k ∈Z )，－tan x ，x <0且x ≠π2＋k π(k ∈Z ).
根据y ＝tan x 的图像，作出y ＝tan |x |的图像如图所示：
由图像可知，函数y ＝tan |x |是偶函数．
单调增区间为：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋k π，3π2＋k π(k ＝0,1,2,3，…)；
单调减区间为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－3π2＋k π，－π2＋k π(k ＝0，－1，－2，－3，…)．
[构建·体系]
1．tan 5π
6的值为( ) A ．3 B ．－ 3 C.33
D ．－3
3
【解析】 tan 5π6＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫π－π6＝－tan π6＝－33.
【答案】 D
2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4的定义域是( )
A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠－π
4
B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠π
4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π－π
4，k ∈Z
D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π＋π
4，k ∈Z
【解析】 由题意得x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π＋π
4，k ∈Z . 【答案】 D
3．已知角α的终边上一点P (－2,1)，则tan α＝________. 【解析】 由正切函数的定义知tan α＝1－2
＝－1
2. 【答案】 －1
2
4．函数y ＝tan x ，x ∈
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π4的值域是________. 【导学号：66470023】
【解析】 函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π4上是增加的，所以y max ＝tan π4＝1，y min ＝tan
0＝0.
【答案】 [0,1] 5．求以下各式的值．
(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2)
tan 225°＋tan 750°tan (－30°)－tan (－45°)
.
【解】 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°
＝0－3×1＋1＝－2.
(2)原式＝tan (180°＋45°)＋tan (2×360°＋30°)－tan 30°＋tan 45°
＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30° ＝1＋3
31－33
＝2＋ 3.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。