高中物理第一章抛体运动第2节运动的合成与分解教学案教科版必修2(new)

第2节运动的合成与分解
1．物体的实际运动为合运动，物体同时参与的几
个运动为分运动。

2．将几个运动合成为一个运动叫做运动的合成;将一
个运动分解为几个运动叫做运动的分解。

运动的合
成与分解包括位移、速度、加速度的合成与分解.
3．合运动的位移、速度、加速度与分运动的位移、速
度、加速度间遵循平行四边形定则。

一、位移和速度的合成与分解
1．合运动与分运动
小船渡河时，同时参与了垂直于河岸的运动和沿河岸顺流而下的运动,这两个运动叫分运动，实际的运动叫合运动.
2．位移的合成与分解
（1）位移的合成：由分位移求合位移。

（2)位移的分解：由合位移求分位移.
(3)位移的合成与分解遵循平行四边形定则。

3．速度的合成与分解
（1）合运动与分运动对应的时间是相同的。

（2）速度的合成与分解也遵循平行四边形定则。

二、运动的合成与分解的应用
1．运动的合成与分解
分运动错误!合运动
2．运动的合成与分解的基本法则与意义
（1)基本法则：平行四边形定则。

（2)意义：物体实际参与的曲线运动可转化为两个方向上的直线运动来处理。

1．自主思考—-判一判
（1)合运动位移、速度、加速度等于各分运动的位移、速度、加速度的代数和.(×）（2）合运动位移、速度、加速度与各分运动的位移、速度、加速度间遵循平行四边形定则。

（√）
（3)一个物体，同时参与的两个分运动方向必须相互垂直。

(×）
(4)合运动的时间一定比分运动的时间长。

（×)
(5)合运动和分运动具有等时性,即同时开始、同时结束。

(√)
2．合作探究——议一议
（1）有些物体的运动较为复杂，直接研究它的运动很难，甚至无法研究,那么，可以采用什么方法来进行研究？
提示：把物体的运动分解为几个较为简单的运动进行研究。

（2）运动的合成与分解为什么都遵循平行四边形定则？
提示：运动的合成与分解其实都是对物体的位移、速度或加速度进行合成与分解，而它们都是矢量，所以运动的合成与分解遵循平行四边形定则。

（3)微风吹来，鹅毛大雪正在缓缓降落，为寒冷的冬天增加了一道美丽的风景线,试问雪花在降落时同时参与了哪两个方向上的运动？
图1.2。

1
提示：雪花同时参与了竖直向下和水平方向上的两个分运动。

合运动与分运动的关
系
1．合运动与分运动的关系
等时性
各分运动与合运动同时发生，同时结束，经历的
时间相同
等效性各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性各分运动之间互不相干，彼此独立,互不影响2
两直线运
动的性质
合运动的性质说明
两个都是匀速直线运动一定是匀速直线运动
当v1、v2互成角度时，v合由
平行四边形定则求解
两个初速度均为0的匀加速直线运动一定是匀加速直线运
动
合运动的初速度为0，a合由
平行四边形定则求解
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动一定是匀变速曲线运
动
合速度由平行四边形定则求
得，合运动的加速度为分运动
的加速度
两个匀变速直线运动匀变速直线运动或者
匀变速曲线运动
当合加速度与合初速度共线
时,合运动为匀变速直线运
动；当合加速度与合初速度不
共线时，合运动为匀变速曲线
运动
[典例］如图1。

2­2为一架直升机运送物资，该直升机A用长度足够长的悬索（其重力可忽略)系住一质量m＝50 kg的物资B。

直升机A和物资B以v＝10 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，某时刻开始将物资放下，在t＝5 s时间内，物资在竖直方向上移动的距离按y＝2t2(单位：m）的规律变化.求:
(1）在t＝5 s时间内物资位移大小;
(2）在t＝5 s末物资的速度大小。

图1­ 2.2
[思路点拨]
(1）物资在水平方向上匀速运动,在竖直方向上加速运动，分别求出水平和竖直方向上的位移的大小，根据平行四边形定则可以求得合位移的大小。

（2)在t＝5 s末物资的速度是物资的合速度的大小，分别求出在水平和竖直方向上的速度,再根据平行四边形定则可以求得合速度的大小.
［解析］（1)由y＝2t2
可知t＝5 s内
y＝50 m
x＝vt＝50 m
因此s＝错误!＝50错误! m＝70.7 m。

（2）由y＝2t2
可知：a＝4 m/s2
t＝5 s时，v y＝at＝20 m/s
v x＝v＝10 m/s
v
＝v x2＋v y2＝10错误! m/s＝22。

4 m/s。

5
［答案］（1）70.7 m （2)22。

4 m/s
（1）利用运动的合成分析问题时，一定要分清分运动和合运动，且各运动的参照物要统一。

（2)运动的分解像力的分解一样，若无约束条件，一个运动可以分解为无数组分运动,但具体分解运动时，常按运动的效果分解或正交分解.
1。

如图1。

2.3所示,帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行,以帆板为参照物（）
图1.2。

3
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为2v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为错误!v
解析：选 D 以帆板为参照物,帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为错误!v，方向朝北偏东45°,故选项D正确.
2．飞机在航空测量，它的航线要严格地从西到东，如果飞机的速度是80 km/h，风从南面吹来,风的速度是40 km/h，那么，
(1）飞机应朝什么方向飞行？
（2）如果所测地区长度为80 错误! km，所需时间是多少？
解析： (1）由题意可知，因风的影响，若飞机仍沿着从西到东，根据运动的合成可知，会偏向北，为了严格地从西到东，则飞机必须朝东偏南方向为θ角度飞行，
则有:v风＝v机sin θ，解得：sin θ＝错误!＝错误!,则有：θ＝30°。

（2)所测地区长度为80 3 km,所需时间是t＝错误! h＝2 h。

答案：(1）飞机应朝东偏南30° 角方向飞行(2）2 h
小船渡河问
题
小船相对于河岸的运动是小船的实际运动，也是合运动，可分解为小船相对静水的运动和随水下漂的运动两个分运动。

此类问题常常讨论以下两个情况：
1．渡河时间最短
若要渡河时间最短,由于水流速度始终沿河道方向，不可能提供指向河对岸的分速度.因此只要使船头垂直于河岸航行即可。

由图 1.2。

4可知,此时t短＝错误!,船渡河的位移s＝错误!，位移方向满足tan θ＝错误!.
图1.2­4
2．渡河位移最短
求解渡河位移最短问题，分为两种情况：
（1)若v水＜v船，最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝
d
v
船
sin θ
，船头与上游夹
角θ满足v船 cos θ＝v水，v合⊥v水，如图1­2。

5所示。

图1。

2­ 5 图1­2。

6
（2）若v水＞v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d,寻找最短位移的方法是：
如图1。

2。

6所示，按水流速度和船静水速度大小的比例，先从出发点A开始作矢量v 水
，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线为船位移最小时的合运
动的方向.这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝v
船
v
水
,最短位移s短＝错误!，即v船⊥v合时位移
最短，过河时间t＝错误!。

[典例］有一小船要渡过一条宽度d＝180 m的河流，已知河水的流速v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度v2＝5 m/s，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河,船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
［思路点拨]
（1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关.
（2）船渡河位移最短值与v船和v水的大小有关。

v船>v水时,河宽即为最短位移；v船<v水时，应利用图解法处理。

[解析］（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。

当船头垂直河岸时，如图甲所示。

合速度为v，垂直分速度v2＝5 m/s t＝错误!
v＝错误!
x＝vt
代入数据得t＝36 s，x＝90错误! m。

（2）欲使船渡河航程最短,应垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸方向成某一夹角α，如图乙所示.
有v2cos α＝v1，得α＝60°
所以当船头指向上游与河岸夹角为60°时航程最短。

x′＝d
t′＝错误!
代入数据得t′＝24错误! s，x′＝180 m。

[答案］(1)船头垂直于河岸36 s 90 5 m (2)船头指向上游与河岸夹角为60°24 错误! s 180 m
小船能到达正对岸即航程等于河宽是有条件的,那就是v船〉v水。

可见求最短航程时应先比较v船与v水的大小关系，不要盲目认为最短航程就等于河宽。

1．(多选)河水的流速随离河岸的距离的变化关系如图1。

2。

7甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河,则（）
图1。

2。

7
A．船渡河的最短时间是60 s
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
解析:选BD 由题中甲图可知河宽300 m，船头始终与河岸垂直时，船渡河的时间最短，则t＝错误!＝错误! s＝100 s，A错、B对。

由于船沿河向下漂流的速度大小始终在变，故船的实际速度的大小、方向也在时刻发生变化，船在河水中航行的轨迹是曲线，C错。

船沿河向下漂流的最大速度为4 m/s，所以船在河水中的最大速度v＝32＋42 m/s＝5 m/s，D对.
2。

如图1­2­8所示，河宽d＝120 m，设船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2，小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动,若出发时船头指向河对岸的上游B点处，经过10 min,小船恰好到达河正对岸的C点，若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min小船到达C点下游的D点处，求：
图1.2­8
（1)小船在静水中的速度v1的大小；
(2）河水的流速v2的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离s CD.
解析：(1)小船从A点出发，若船头指向正对岸的C点,则此时过河时间最短，故有v1＝错误!＝错误! m/s＝0。

25 m/s。

(2）设AB与河岸上游成α角,由题意可知,此时恰好到达正对岸的C点,故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α，此时过河时间为t＝错误!，所以sin α＝错误!＝0.8,cos α＝0。

6,故v2＝v1cos α＝0。

15 m/s.
（3）在第二次过河中小船被冲向下游的距离为s CD＝v2t min＝72 m。

答案:(1）0。

25 m/s (2)0。

15 m/s (3）72 m
“关联"速度的分解问题
1．“关联”速度的特点
绳、杆等相牵连的物体，在运动过程中，两端点的速度通常是不同的，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等.
2．解决“关联”速度问题的关键
(1)物体的实际运动是合运动,要按实际运动效果分解速度.
(2)沿杆（或绳）方向的速度分量大小是相等的。

[典例］(多选）如图1.2。

9所示,将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处),下列说法正确的是(重力加速度为g)（）
图1.2­9
A．小环释放后的极短时间内轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时,重物上升的高度为(2－1)d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于错误!
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于错误!
[思路点拨］
(1)由图中显示的几何关系,可求出重物上升的高度。

（2)小环实际上是沿杆下落，该运动是合运动，沿绳方向的运动是分运动。

（3）绳子绕过定滑轮与重物相连，所以重物上升速度的大小等于小环沿绳方向的分速度的大小.
［解析] 小环释放后，其下落速度v增大,绳与竖直杆间的夹角θ减小，故小环沿绳方向的速度v1＝v cos θ增大,由此可知小环释放后的极短时间内重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg，A项正确；小环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝（错误!－1)d，B项正确；如图所示，将小环速度v进行正交分解，v1＝v cos 45°＝错误!v，所以小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于2,C项错误,D项正确。

［答案] ABD
由于高中阶段研究的绳都是不可伸长的,杆都是不可伸长和不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题的原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆）和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。

1。

均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦。

当直杆滑到如图1­2。

10所示位置时，B球水平速度为v B，A球竖直向下的速度为v A，直杆与竖直方向的夹角为α,下列关于A、B两球速度的式子正确的是（）
图1.2。

10
A．v A＝v B B．v A＝v B tan α
C．v A＝v B sin αD．v A＝v B cos α
解析:选 B B球沿水平方向的运动可分解为沿直杆和垂直于直杆两个方向的分运动，同理A球竖直向下的运动也可分解为沿直杆和垂直于直杆两个方向的分运动，直杆不可伸缩,故A球沿直杆方向的分速度与B球沿直杆方向的分速度相等,即v A cos α＝v B sin α,化简得v A＝v B tan α，故B正确。

2．如图1。

2。

11所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A、B的绳分别与水平方向成α、β角,求此时B物体的速度。

图1。

2。

11
解析:如图所示，对A物体的速度沿着细绳方向与垂直细绳方向进行分解,则有沿着细绳方向的速度大小为v cos α；对B物体的速度沿着细绳方向与垂直细绳方向进行分解，则有沿着细绳方向的速度大小为v B cos β，由于沿着细绳方向的速度大小相等，所以有v cos α＝v B cos β，因此v B＝错误!v，且方向水平向右。

答案：错误!v水平向右
1．关于两个分运动的合运动,下列说法中正确的是（）
A．合运动的速度一定大于两个分运动的速度
B．合运动的速度一定大于一个分运动的速度
C．合运动的方向就是物体实际运动的方向
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
解析：选C 合速度的大小可以大于分速度的大小，也可以小于分速度的大小，还可以等于分速度的大小，故A、B均错；仅知道两个分速度的大小，无法画出平行四边形，也就不能求出合速度的大小，故D错，只有C正确.
2．（多选）关于互成角度（非0°或180°)的两个匀变速直线运动的合运动,下列说法中正确的是( )
A．一定是曲线运动B．可能是直线运动
C．一定是匀变速运动D．可能是匀速直线运动
解析：选BC 由于两个分运动都是匀变速直线运动,所以合加速度是恒定的，如果合初速度与合加速度在一条直线上，物体做匀变速直线运动；如果合初速度与合加速度不共线，物体做匀变速曲线运动，故选BC.
3．小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是（)
A．水速小时，位移小，时间也小
B．水速大时，位移大，时间也大
C．水速大时，位移大，但时间不变
D．位移、时间大小与水速大小无关
解析：选C 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性原理和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船“以一定速率垂直河岸向对岸划去”,故渡河时间一定。

水速大,水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小.
4.竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水,内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。

当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时,使玻璃管水平匀速向右运动,测得红蜡块实际运动方向与水平方向成30°角,如图1所示。

若红蜡块沿玻璃管上升的速度为7 cm/s，则玻璃管水平运动的速度约为( )
图1
A．14 cm/s B．12 cm/s
C．7。

0 cm/s D．3.5 cm/s
解析：选B 红蜡块的水平分运动和竖直分运动均是匀速直线运动，根据平行四边形定则作图,如下：
故v2＝错误!＝错误!≈12 cm/s,故选B。

5。

江中某轮渡站两岸的码头A和B正对，如图2所示，水流速度恒定且小于船速,若要使渡船沿直线往返于两码头之间，则船在航行时应( )
图2
A．往返时均使船垂直河岸航行
B．往返时均使船头适当偏向上游一侧
C．往返时均使船头适当偏向下游一侧
D．从A驶往B时，应使船头适当偏向上游一侧，返回时应使船头适当偏向下游一侧
解析：选B 从A到B,合速度方向垂直于河岸，水流速度水平向右，根据平行四边形定则，则船头的方向偏向上游一侧。

从B到A,合速度的方向仍然垂直于河岸,水流速度水平向右，船头的方向仍然偏向上游一侧，故B正确，A、C、D错误。

6．（多选）如图3所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业.为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。

在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是（)
图3
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时,消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时,消防队员一定做匀变速直线运动
解析：选BC 当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动，选项B正确，A错误。

当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动，选项C正确，D错误.
7．降落伞下落一段时间后的运动近似是匀速的.没有风的时候，跳伞员着地的速度是 5 m/s。

现在有风，风使他以 4 m/s的速度沿水平方向向东移动，问跳伞员将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
解析：跳伞员在有风时着地的速度，为降落伞无风时匀速下降的速度和风速的合速度，如图所示。

由勾股定理求得
v
＝v风2＋v伞2＝42＋52 m/s≈6。

4 m/s
地
设着地速度v地与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝错误!＝错误!＝0.8
查三角函数表得θ≈38.7°。

答案:6.4 m/s 偏东与竖直方向成38.7°夹角斜向下
8.如图4所示,水平面上的小车向左运动，系在车后的轻绳绕过定滑轮，拉着质量为m的物体上升。

若小车以v1的速度匀速直线运动，当车后的绳与水平方向的夹角为θ时，物体的速度为v2，则下列关系式正确的是( ）
图4
A．v2＝v1B．v2＝v1cos θ
C．v2＝0 D．v2＝错误!
解析：选 B 由于细线不可伸长，故细线两端的速度沿着细线方向的分速度是相等的,如图所示:
故v2＝v1cos θ,故选B。

9．如图5所示,船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为（)
图5
A．2 m/s B．2.4 m/s
C．3 m/s D．3.5 m/s
解析：选 B 船参与了两个分运动,沿船头指向的分运动和顺水流而下的分运动,其中,合速度v合方向已知，大小未知，顺水流而下的分运动v水速度的大小和方向都已知，沿船头指向的分运动的速度v船大小和方向都未知，合速度与分速度遵循平行四边形定则（或三角形定则)，如图所示.当v合与v船垂直时，v船最小，由几何关系得到v船的最小值为v船＝v水sin 37°＝2。

4 m/s，故B正确，A、C、D错误。

10．质量为m＝2 kg的物体在光滑的水平面上运动，在水平面上建立xOy坐标系,t＝0时物体位于坐标系的原点O,物体在x轴和y轴方向的分速度v x、v y随时间t变化图线如图6甲、乙所示，求：
图6
(1）t＝0时，物体速度的大小和方向;
(2)t＝8.0 s时，物体速度的大小和方向；（角度可用三角函数表示）
（3）t＝8.0 s时，物体的位置(用位置坐标x、y表示)。

解析:（1）由题目中图可知,t ＝0时刻，v x＝3。

0 m/s,v y＝0。

t＝0时刻，物体的速度大小v
＝3。

0 m/s，方向沿x轴正方向.
(2)t＝8。

0 s时,v x＝3。

0 m/s，v y＝4。

0 m/s，
物体的速度大小v＝错误!＝5 m/s
速度方向与x轴正向夹角设为α，
tan α＝错误!＝错误!
解得：α＝53°。

(3)t＝8。

0 s时，物体的位置坐标x＝v x t＝24 m
y＝错误!a y t2＝16 m
则物体的位置坐标是(24 m，16 m）。

答案:（1）物体速度的大小为3.0 m/s,方向沿x轴正方向
(2)物体速度的大小为5 m/s，方向与x轴正向夹角为53°
（3）物体的位置坐标是(24 m，16 m）
11.一船从河岸的A处出发渡河，小船保持与河岸垂直方向行驶，10 min运动到对岸下游120 m的C处，如图7所示，若小船保持原来的速度逆水向上与河岸成α角方向行驶，经12。

5 min到达正对岸B处,求河的宽度。

图7
解析：小船过河的过程，同时参与了两种运动，一是小船相对水的运动,一是随水流的运动。

船的运动为合运动，设河宽为d，水流速为v水，船速为v船，船两次运动速度合成如图所示。

依题意有，第一次渡河与第二次渡河在垂直岸的方向上位移相等,
则v船t1＝v船·sin α·t2,第一次渡河船在水流方向上位移为BC，则B错误!＝v水t1.
由图可得船的合速度:v2＝v水tan α，所以河的宽度为：d＝v2t2＝v水tan α·t2,
联立解得：sin α＝0。

8，tan α＝错误!,v水＝12 m/min，d＝12×错误!×12。

5 m＝200 m。

答案：200 m
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