小学奥数数论专题数位与进制
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24．① ________；
④ ________；
⑤假定 ，那么 ________．
25．① ；
②在八进制中， ________；
③在九进制中， ________．
26．在几进制中有 ？
27．在几进制中有 ？
28．算式 是几进制数的乘法？
29．将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？
30．二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
39．计算 除以26的余数．
40．计算 除以7的余数．
41．在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？
42．正整数 的八进制表示为 ，那么在十进制下， 除以7的余数与 除以9的余数之和是多少？
参考答案
1．a-c
【解析】此题属于基础型题型。我们无妨设a＞b＞c。
( - 〕÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c；
14．5917
【解析】设组成这个四位数的四个数码为 ， ， ， ( )，
那么有 ，
可得 ，
那么 ， ， ， ， ，且M的四位数字区分为1、 、 、9，由于 的个位数字为7，所以 ， 中有一个为7，但 ，所以 不能为7，故 ， ， ．
15．1234
【解析】原式：1111a＋111b＋11c＋d＝1370，所以a＝1，那么111b＋11c＋d＝1370－1111.
16．一个四位数加上它的各位数字之和后等于2021，那么一切这样的四位数之和为多少．
17．有一个两位数，假设把数码3加写在它的前面，那么可失掉一个三位数，假设把数码3加写在它的前面，那么可失掉一个三位数，假设在它前后各加写一个数码3，那么可失掉一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于 ．求原来的两位数．
18．1234，1
【解析】设这个数为x，那么10x+5-x= ，化简得9x= ，等号左边是9的倍数，实验可得A=1，x=1234。
19．8571428
【解析】设 ，那么 ， ，依据题意，有 ，得 ，所以 ．
20．999999
【解析】由于是把六位数 的末位 调到首位构成了新六位数 ，所以无妨把 看成一个全体，设 ，那么依据位值原理可知〝迎春数〞是 ，并满足关系式： ．对等式化简得： ．
31．将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
32．某数在三进制中为12120210190110121121，那么将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?
33．现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
34．在6进制中有三位数 ，化为9进制为 ，求这个三位数在十进制中为多少?
22．记四位数 为 ，由它的四个数字a,b,c,d组成的最小的四位数记为 ，假设 ，那么这样的四位数 共有_______个．
23．将4个不同的数字排在一同，可以组成24个不同的四位数( )．将这24个四位数按从小到大的顺序陈列的话，第二个是5的倍数；按从大到小陈列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大陈列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中最大的那个．
35．在7进制中有三位数 ，化为9进制为 ，求这个三位数在十进制中为多少？
36．一团体的年龄用十进制数和三进制数表示，假定在十进制数末尾添个〝0〞就是三进制数，求此人的年龄．
37．N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四次方．
38．试求(2 -1)除以992的余数是多少?
由于将 能够的值逐一代入停止检验有些费事，可以将其停止如下变形后再停止：
，所以 ，那么 是整数．
设其为 ，那么 是整数，所以 是999999的约数．
当 ，2，3，4，5，6，7，8，9时， 区分为9，19，29，39，49，59，69，79，89，由 容易知道其中只要9和39是999999的约数，此时 区分为1和4．这样的六位数有111111和102564．
2．a-b
【解析】( - 〕÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b；
3．a+b
【解析】( + 〕÷11=[(10a+b)+(10b+a)]÷11=(11a+11b)÷11=a+b。
4．94
【解析】设原来的两位数为 ，交流后的新的两位数为 ，依据题意，
， ，原两位数最大时，十位数字至少为9，即 ， ，原来的两位数中最大的是94．
所以： ．
由于 是五位数， 是一位数，所以 可以为4，5，6，7，8，9．
而〝迎春数〞 ，
那么，一切〝迎春数〞的总和是： ．
21．111111,102564
【解析】令 ，那么： ， ，所以 ，可得 ．此时可将 ，2，3，4，5，6，7，8，9逐一代入停止检验，可妥事先 ， ；事先 ， ．只要这两个数满足条件．
10．159,951
【解析】设这三个数字区分为a、b、c。由于每个数字都区分有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为222×〔a＋b＋c〕＝3330，推知a＋b＋c＝15。所以，当a、b、c取1、5、9时，它们组成的三位数最小为159，最大为951。
11．652
【解析】由 ， ， 组成的六个数的和是 ．由于 ，所以 ．
5．1099
【解析】设原数为 ，那么新数为 ，
依据题意，有 ， ．
推知 ， ，失掉 ， ， ， ，原数为1099．
6．19、29、39、49、59、69、79、89、99
【解析】设这个巧数为 ，那么有ab+a+b=10a+b，a(b+1)=10a，所以b+1=10，b=9。
满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。
小学奥数数论专题数位与进制
1．某三位数 和它的反序数 的差被99除，商等于______与______的差；
2． 与 的差被9除，商等于______与______的差；
3． 与 的和被11除，商等于______与______的和。
4．(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交流，失掉一个新的两位数．假设原来的两位数和交流后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？
13．一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交流后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交流所得的三位数。
14．将四位数的数字顺序重新陈列后，可以失掉一些新的四位数．现有一个四位数码互不相反，且没有0的四位数 ，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．
18．假设把数码5加写在某自然数的右端，那么该数添加 ，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。
19．某八位数形如 ，它与3的乘积形如 ，那么七位数 应是多少？
20．一个六位数 ，假设满足 ，那么称 为〝迎春数〞(例如 ，那么102564就是〝迎春数〞)．请你求出一切〝迎春数〞的总和．
21．设六位数 满足 ，请写出这样的六位数．
16．3988
【解析】设这样的四位数为 ，那么 ，即 ，那么 或2．
⑴假定 ，那么 ，得 ， ， ；
⑵假定 ，那么 ，由于 ，所以 ，所以 ，故 为9， ，那么 为偶数，且 ，故 ，由 为偶数知 ， ， ；
所以，这样的四位数有2021和1985两个，其和为： ．
17．14
【解析】设原来的两位数是 ，那么失掉的两个三位数区分为 和 ，四位数为 ，由题知 ，即 ， ，故 ．
10．从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。假定这六个三位数之和是3330，那么这六个三位数中最小的能够是几？最大的能够是几？
11．a，b，c区分是 中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，假设其中五个三位数
之和是2234，那么另一个三位数是几？
12．在两位自然数的十位与个位中间拔出0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间拔出某个数码后变成的三位数，恰恰是原来两位数的9倍。求出一切这样的三位数。
假定 ，那么所求数为 ，但 ，不合题意．
假定 ，那么所求数为 ，但 ，不合题意．
假定 ，那么所求数为 ， ，契合题意．
假定 ，那么所求数为 ，但 ，不合题意．
假定 ，那么所求数 ，但所求数为三位数，不合题意．
所以，只要 时契合题意，所求的三位数为652．
12．405,315,225,135
【解析】由于原两位数与失掉的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。假设个位数是0，那么无论拔出什么数，失掉的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。设原两位数是 ，那么b=5，变成的三位数为ab5，由题意有100a＋10b＋5＝〔10a＋5〕×9，化简得a＋b＝4。变成的三位数只能是405，315，225，135。
假设 、 、 、 组成的最小的四位数 末位数字是0，显然 的百位、十位都是0，此时 、 、 、 无法组成其它的四位数，不合题意．
由于每一个 对应一个 ，所以满足条件的四位数 共有48个．
23．7543
【解析】从题中可以看出，这4个数都不为0．设这4个不同的数从小到大依次为a,b,c,d，它们组成的24个四位数中，第二小的是 ，是5的倍数，又 不为0，所以 ．
13．11
【解析】设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a；第三个为100a+b；由题意：(100a+b)-〔10b+a〕=(10b+a)-〔10a+b)；化简可以推得b=6a，0≤a,b≤9，得a=1，b=6；即每小时走61-16=45；〔601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交流所得的三位数。
关于其中恣意一种组合，由于 是由四个数字 组成的最小的四位数，区分思索 、 中有0的状况(能够两个都为0；假定只要一个0，那么 ， )；以及 、 都不为0的状况(此时 )，可知两种状况下各有3种能够，共6种能够： ， ， ， ， ， ．比如以 ， 为例， 能够的取值有3004，3034，3044，3334，3344，34444这6个数．依据乘法原理，满足条件的四位数一共有 种．
所以 ，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽能够地小，由于十位
数与个位数之和一定，故个位数应尽能够地大，最大为9，此时十位数为 ，所以所
有这样的6个三位数中最小的三位数为 ．
9．573.5
【解析】卡片〝9〞倒过去看是〝6〞。作为卡片〝9〞，由第3题的结果可知，1，9，7可组成的六个不同的三位数之和是〔1＋9＋7〕×222；同理，作为卡片〝6〞，1，6，7可组成的六个数之和是〔1＋6＋7〕×222。这12个数的平均值是：［〔1＋9＋7〕＋〔1＋6＋7〕］×222÷12＝573.5。
7．有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，假设这6个三位数的和是1554，那么这3个数字区分是多少？
8．有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求一切这样的6个三位数中最小的三位数．
9．用1，9，7三张数字卡片可以组成假定干个不同的三位数，一切这些三位数的平均值是多少？
5．将一个四位数的数字顺序颠倒过去，失掉一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．
6．假设一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为〝巧数〞。例如，99就是一个巧数，由于9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，一切的巧数都是两位数。请你写出一切的巧数。
22．48
【解析】 失掉 ，所以假设 、 、 、 组成的四位数 末位数字不是0，那么 等于将 的千位数字加1，个位数字减1，反过去 等于 的千位数字减1，个位数字加1，所以 为 ，与 比拟， 和 位置没有换，交流的是 和 ， 表示为 ，可以失掉等式 ，即 ．所以 和 的取值组合，只要2和1，3和2，……，9和8，共8种状况．
7．4,1,2
【解析】设这六个不同的三位数为 ，
由于 ， ，……，它们的和是： ，所以 ，由于这三个数字互不相反且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而 ，所以最大的数最大为4；又 ，所以最大的数大于 ，所以最大的数为4，其他两数区分是1，2．
8．139
【解析】设三个数字区分为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为：
④ ________；
⑤假定 ，那么 ________．
25．① ；
②在八进制中， ________；
③在九进制中， ________．
26．在几进制中有 ？
27．在几进制中有 ？
28．算式 是几进制数的乘法？
29．将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？
30．二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
39．计算 除以26的余数．
40．计算 除以7的余数．
41．在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？
42．正整数 的八进制表示为 ，那么在十进制下， 除以7的余数与 除以9的余数之和是多少？
参考答案
1．a-c
【解析】此题属于基础型题型。我们无妨设a＞b＞c。
( - 〕÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c；
14．5917
【解析】设组成这个四位数的四个数码为 ， ， ， ( )，
那么有 ，
可得 ，
那么 ， ， ， ， ，且M的四位数字区分为1、 、 、9，由于 的个位数字为7，所以 ， 中有一个为7，但 ，所以 不能为7，故 ， ， ．
15．1234
【解析】原式：1111a＋111b＋11c＋d＝1370，所以a＝1，那么111b＋11c＋d＝1370－1111.
16．一个四位数加上它的各位数字之和后等于2021，那么一切这样的四位数之和为多少．
17．有一个两位数，假设把数码3加写在它的前面，那么可失掉一个三位数，假设把数码3加写在它的前面，那么可失掉一个三位数，假设在它前后各加写一个数码3，那么可失掉一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于 ．求原来的两位数．
18．1234，1
【解析】设这个数为x，那么10x+5-x= ，化简得9x= ，等号左边是9的倍数，实验可得A=1，x=1234。
19．8571428
【解析】设 ，那么 ， ，依据题意，有 ，得 ，所以 ．
20．999999
【解析】由于是把六位数 的末位 调到首位构成了新六位数 ，所以无妨把 看成一个全体，设 ，那么依据位值原理可知〝迎春数〞是 ，并满足关系式： ．对等式化简得： ．
31．将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
32．某数在三进制中为12120210190110121121，那么将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?
33．现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
34．在6进制中有三位数 ，化为9进制为 ，求这个三位数在十进制中为多少?
22．记四位数 为 ，由它的四个数字a,b,c,d组成的最小的四位数记为 ，假设 ，那么这样的四位数 共有_______个．
23．将4个不同的数字排在一同，可以组成24个不同的四位数( )．将这24个四位数按从小到大的顺序陈列的话，第二个是5的倍数；按从大到小陈列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大陈列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中最大的那个．
35．在7进制中有三位数 ，化为9进制为 ，求这个三位数在十进制中为多少？
36．一团体的年龄用十进制数和三进制数表示，假定在十进制数末尾添个〝0〞就是三进制数，求此人的年龄．
37．N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四次方．
38．试求(2 -1)除以992的余数是多少?
由于将 能够的值逐一代入停止检验有些费事，可以将其停止如下变形后再停止：
，所以 ，那么 是整数．
设其为 ，那么 是整数，所以 是999999的约数．
当 ，2，3，4，5，6，7，8，9时， 区分为9，19，29，39，49，59，69，79，89，由 容易知道其中只要9和39是999999的约数，此时 区分为1和4．这样的六位数有111111和102564．
2．a-b
【解析】( - 〕÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b；
3．a+b
【解析】( + 〕÷11=[(10a+b)+(10b+a)]÷11=(11a+11b)÷11=a+b。
4．94
【解析】设原来的两位数为 ，交流后的新的两位数为 ，依据题意，
， ，原两位数最大时，十位数字至少为9，即 ， ，原来的两位数中最大的是94．
所以： ．
由于 是五位数， 是一位数，所以 可以为4，5，6，7，8，9．
而〝迎春数〞 ，
那么，一切〝迎春数〞的总和是： ．
21．111111,102564
【解析】令 ，那么： ， ，所以 ，可得 ．此时可将 ，2，3，4，5，6，7，8，9逐一代入停止检验，可妥事先 ， ；事先 ， ．只要这两个数满足条件．
10．159,951
【解析】设这三个数字区分为a、b、c。由于每个数字都区分有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为222×〔a＋b＋c〕＝3330，推知a＋b＋c＝15。所以，当a、b、c取1、5、9时，它们组成的三位数最小为159，最大为951。
11．652
【解析】由 ， ， 组成的六个数的和是 ．由于 ，所以 ．
5．1099
【解析】设原数为 ，那么新数为 ，
依据题意，有 ， ．
推知 ， ，失掉 ， ， ， ，原数为1099．
6．19、29、39、49、59、69、79、89、99
【解析】设这个巧数为 ，那么有ab+a+b=10a+b，a(b+1)=10a，所以b+1=10，b=9。
满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。
小学奥数数论专题数位与进制
1．某三位数 和它的反序数 的差被99除，商等于______与______的差；
2． 与 的差被9除，商等于______与______的差；
3． 与 的和被11除，商等于______与______的和。
4．(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交流，失掉一个新的两位数．假设原来的两位数和交流后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？
13．一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交流后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交流所得的三位数。
14．将四位数的数字顺序重新陈列后，可以失掉一些新的四位数．现有一个四位数码互不相反，且没有0的四位数 ，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．
18．假设把数码5加写在某自然数的右端，那么该数添加 ，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。
19．某八位数形如 ，它与3的乘积形如 ，那么七位数 应是多少？
20．一个六位数 ，假设满足 ，那么称 为〝迎春数〞(例如 ，那么102564就是〝迎春数〞)．请你求出一切〝迎春数〞的总和．
21．设六位数 满足 ，请写出这样的六位数．
16．3988
【解析】设这样的四位数为 ，那么 ，即 ，那么 或2．
⑴假定 ，那么 ，得 ， ， ；
⑵假定 ，那么 ，由于 ，所以 ，所以 ，故 为9， ，那么 为偶数，且 ，故 ，由 为偶数知 ， ， ；
所以，这样的四位数有2021和1985两个，其和为： ．
17．14
【解析】设原来的两位数是 ，那么失掉的两个三位数区分为 和 ，四位数为 ，由题知 ，即 ， ，故 ．
10．从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。假定这六个三位数之和是3330，那么这六个三位数中最小的能够是几？最大的能够是几？
11．a，b，c区分是 中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，假设其中五个三位数
之和是2234，那么另一个三位数是几？
12．在两位自然数的十位与个位中间拔出0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间拔出某个数码后变成的三位数，恰恰是原来两位数的9倍。求出一切这样的三位数。
假定 ，那么所求数为 ，但 ，不合题意．
假定 ，那么所求数为 ，但 ，不合题意．
假定 ，那么所求数为 ， ，契合题意．
假定 ，那么所求数为 ，但 ，不合题意．
假定 ，那么所求数 ，但所求数为三位数，不合题意．
所以，只要 时契合题意，所求的三位数为652．
12．405,315,225,135
【解析】由于原两位数与失掉的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。假设个位数是0，那么无论拔出什么数，失掉的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。设原两位数是 ，那么b=5，变成的三位数为ab5，由题意有100a＋10b＋5＝〔10a＋5〕×9，化简得a＋b＝4。变成的三位数只能是405，315，225，135。
假设 、 、 、 组成的最小的四位数 末位数字是0，显然 的百位、十位都是0，此时 、 、 、 无法组成其它的四位数，不合题意．
由于每一个 对应一个 ，所以满足条件的四位数 共有48个．
23．7543
【解析】从题中可以看出，这4个数都不为0．设这4个不同的数从小到大依次为a,b,c,d，它们组成的24个四位数中，第二小的是 ，是5的倍数，又 不为0，所以 ．
13．11
【解析】设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a；第三个为100a+b；由题意：(100a+b)-〔10b+a〕=(10b+a)-〔10a+b)；化简可以推得b=6a，0≤a,b≤9，得a=1，b=6；即每小时走61-16=45；〔601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交流所得的三位数。
关于其中恣意一种组合，由于 是由四个数字 组成的最小的四位数，区分思索 、 中有0的状况(能够两个都为0；假定只要一个0，那么 ， )；以及 、 都不为0的状况(此时 )，可知两种状况下各有3种能够，共6种能够： ， ， ， ， ， ．比如以 ， 为例， 能够的取值有3004，3034，3044，3334，3344，34444这6个数．依据乘法原理，满足条件的四位数一共有 种．
所以 ，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽能够地小，由于十位
数与个位数之和一定，故个位数应尽能够地大，最大为9，此时十位数为 ，所以所
有这样的6个三位数中最小的三位数为 ．
9．573.5
【解析】卡片〝9〞倒过去看是〝6〞。作为卡片〝9〞，由第3题的结果可知，1，9，7可组成的六个不同的三位数之和是〔1＋9＋7〕×222；同理，作为卡片〝6〞，1，6，7可组成的六个数之和是〔1＋6＋7〕×222。这12个数的平均值是：［〔1＋9＋7〕＋〔1＋6＋7〕］×222÷12＝573.5。
7．有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，假设这6个三位数的和是1554，那么这3个数字区分是多少？
8．有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求一切这样的6个三位数中最小的三位数．
9．用1，9，7三张数字卡片可以组成假定干个不同的三位数，一切这些三位数的平均值是多少？
5．将一个四位数的数字顺序颠倒过去，失掉一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．
6．假设一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为〝巧数〞。例如，99就是一个巧数，由于9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，一切的巧数都是两位数。请你写出一切的巧数。
22．48
【解析】 失掉 ，所以假设 、 、 、 组成的四位数 末位数字不是0，那么 等于将 的千位数字加1，个位数字减1，反过去 等于 的千位数字减1，个位数字加1，所以 为 ，与 比拟， 和 位置没有换，交流的是 和 ， 表示为 ，可以失掉等式 ，即 ．所以 和 的取值组合，只要2和1，3和2，……，9和8，共8种状况．
7．4,1,2
【解析】设这六个不同的三位数为 ，
由于 ， ，……，它们的和是： ，所以 ，由于这三个数字互不相反且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而 ，所以最大的数最大为4；又 ，所以最大的数大于 ，所以最大的数为4，其他两数区分是1，2．
8．139
【解析】设三个数字区分为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为：