淋雨量数学模型-参考模板

论文题目：雨中行走淋雨量分析
雨中行走淋雨量分析
摘要
本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中奔跑时淋雨多少与奔跑速度、降雨方向等因素的关系。

其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

利用MATLAB软件对各个问题进行了求解。

针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

人以最大速度奔跑1000m，用MATLAB求解可得淋雨
量近似为0.00243
m。

针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量W与跑步速度v之间的函
v时，淋雨量最少。

并计算出当雨与人体的夹数关系。

分析表明当跑步速度为max
角θ=0时，淋雨量近似为0.00123m；当θ=30°时，淋雨量近似为0.00163m。

针对问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。

列出函数关系式分析并求解，可知当人速度v=2m s时淋雨量最少，α=30°时的总淋雨量近似为0.2405556E-033m。

针对问题四，列出淋雨量W和跑步速度v之间的函数关系式，利用MATLAB 画出α分别为0°，10°，….90°的曲线图。

针对问题五，雨线与人跑步方向不在同一平面内，则考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶。

分别列式表示，总的淋雨量即为三者之和。

关键词
淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；
一、 问题重述
生活中我们常常会遇到下雨却没有遮雨工具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往很多人会在雨中快走或奔跑以使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。

当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量，将人体简化成一个长方体，高a =1.5米，宽b =0.5米，厚c =0.2m ，跑步距离d =1000m ，跑步最大速度
max
v =5m/s ，雨速
u =4m/s ，降雨量w =2㎝/h =6
5.55610/m s -⨯，记跑步速度为ν 。

1.当我们不考虑雨的方向时，假设降雨会淋遍全身，这时如果我们最大速度奔跑会淋多少雨？
2.雨从迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度ν及参数a b c d u ω θ之间的关系。

问速度ν多大，总淋雨量最少。

计算θ=0°，θ=30°时的总淋雨量。

3.雨从背面吹来，设雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，建立总淋雨量与速度ν及参数a b c d u w α之间的关系。

问速度ν多大，总淋雨量最少。

计算 α=30°时的总淋雨量。

4.以总淋雨量为纵轴，速度ν为横轴对第3问作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

5.若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？
二、问题分析
2.1 问题一分析
若不考虑雨的方向，雨以降雨量w均匀地淋遍全身。

将人体简化成长方体，求出人接受雨的总面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量W。

2.2 问题二分析
雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为θ，如图1所示。

根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个方向上。

雨迎面吹来时，由于雨相对于人的速度有变化，因此人单位时间内接收雨量变化，且与相对速度成正比。

据此，推算出前后侧上单位时间接受雨量。

同理，头顶部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。

分别计算出头顶侧与前后侧单位时间接雨量，并分别乘以各自面积以及时间d/t,即得到头顶及两侧淋雨的总量。

在人体总的淋雨量.据此可得W与v之间关系，并能求出θ=0和θ=30°时的总淋雨量。

图1
2.3 问题三分析
雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为α，如图2所示。

w与雨速垂直方向上的分左右方向上淋雨量为0。

头顶上单位时间内接收雨的量
1
量成正比，
1W 为头顶面积bc 与时间的d/v 以及1w 之积。

当sin v u θ<时，前方不受雨，前后
方向上单位时间内淋雨量2w 与人前进方向上人相对于雨的速度（usin θ-v ）成正比，据此推算出2W ；而当sin v u θ<时，后方不受雨，由于人速已经高于雨速，这时前面会向前撞上雨滴，即2w 与sin v u θ-成正比。

2W 为人体前面积ab 和跑步时间d/v 顶淋雨量以及2w 之积。

由此可计算出总的淋雨量。

12W W W =+
据此可得W 与v 之间关系，并能求出α=30°时的总淋雨量。

图2
2.4 问题四分析
以总淋雨量W 为纵轴、速度ν为横，针对问题三的求解，利用MATLAB 作出当α分别为0°，10°，20°，30°，40°，50°，60°，70°，80°，90°时的曲线图并加以分析。

2.5 问题五分析
图3 俯视图
如图三，为人体模型的俯视图。

需要分三部分计算，在前后面上，雨垂直方向分速度为cos u β，相对速度为sin cos v u θβ-，乘上垂直受雨的面积ab 以及时
间
d
v
即为前后侧受雨量2W 。

因为垂直于左右面人的分速度为0，左右两面上相对速度为sin sin u θβ乘上面积ac 以及时间d
v 极为左右受雨量3W .而头顶受雨与
雨速和人速的夹角大小无关，因此1W 仍按（2）、（3）问的算法做。

由
123W W W W =++可得雨量求法公式。

二、 模型假设
1. 人在奔跑过程中，ν大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

2. 对问题1人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

3. 对问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。

在此过程中左右两次因与雨速平行而不沾雨。

4. 假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变
5. 假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。

6. 将人体理想化为一个长、宽、高、已知的长方体模型，且人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。

三、 符号说明
a 人体高度
b 人体宽度
c 人体厚度
d 跑步距离 u 雨速 w 降雨量
θ 雨迎面吹来时与人体的夹角 β
俯视图中雨速与人速的夹角 max
v
跑步最大速度 W
总淋雨量 1s 头顶面积 2s 人前或后表面积
1
u 雨点相对人头顶速度的垂直分量 2u 雨点相对人前后面速度的垂直分量
1w 头顶单位时间接收雨量 2w 前后面单位时间接收雨量 1W 头顶接收雨量 2
W
人体前后面接收雨量 3W
人体左右面接收雨量
五、 模型建立与求解
5.1问题一
不考虑雨的方向，因为降雨量w 均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W 的求解公式如下： ()max
22d
W ab bc ac w
v =++
利用MATLAB 编程求解（见附录一），可得：
0.0024W ≈3m
5.2问题二
根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，1s （顶部）2s
（前面），人
体接收的雨量和头顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量
1
u 、行走时间有关。

列式求解如下：
头顶：
11cos u u s bc
==θ
假设降雨量w 与与点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以：
111111cos cos cos w u w w d bcdw W w s t w bc
v v
∝====θθθ
正面：
2sin v v u
=+θ
而
222222212sin sin sin sin v u u
w v w w
v u
w w u v abd
W w s t w
u v bd av W W W w c a v u +∝=+=
⎛⎫== ⎪⎝⎭
⎛⎫=+=
++ ⎪⎝⎭θθθ+1θ
利用MATLAB 编程求解（见附录二），可得： 当v =5m/s 时，淋雨量W 最小； 当θ=0°时，W =0.0012
3
m
当θ=30°时，W =0.00163
m
5.3问题三
根据题意，根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，1s （顶部）2
s
（前后两面），1s 面积为1s bc
= 假设：1w 与雨点密度，雨点与人的相对速度成正
比而雨点均匀分布。

头顶：
11
1111cos cos cos w v v u w w d
s w t bcw v
ααα
∝=∴===1W
正面：
当sin u v α<时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面
22
22sin sin w v v u v v u w w u
αα
∝-=-∴=
2sin v u d
W wab u v
α-=
当sin u v ≥θ时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的后面
22
22sin sin w v u v v u v
w w u
αα∝-=-∴=
2sin u v d
W wab u v
α-=
因为12W W W =+
所以[]
[]
cos sin sin cos sin sin bcw d u v d wab u v v u v
W bcw d v u d wab u v v u v αααααα⨯⨯-⎧+⨯⎪⎪=⎨
⨯⨯-⎪+⨯≤⎪⎩
>
用lingo 编程（见附录三）求解可得：
当v =2m/s 时，总淋雨量最少;
雨线方向与人体夹角为30°时，淋雨量为0.2405556E-033m 。

图4
5.4问题四
根据问题三的结论，列出总的淋雨量W 和人速度v 之间的关系式，利用MATLAB
画出α取不同值时的函数图像如下：
00.51 1.52 2.5
3 3.5
4 4.5-0.01-0.005
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
v 轴W 轴
分析图像可知，当v=2时，总淋雨量最少。

5.5问题五
应用（3）中的结论
cos d bcw v
=1W θ 前后侧，当sin cos v u θβ≤时，相对速度 sin cos v u θβ-，
2sin cos v u d W wab u v θβ-=
可总结为
2sin cos v u d W wab u v
θβ-= 同理，可得左右侧接收雨量
3sin sin u d W wac u v
θβ= 三者相加得
sin cos sin sin cos v u u d d d W bcw wab wac v u v u v
θβθβ-=+θ+
六、 模型评价
通过对本题的分析求解，可知道人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有
关，还与雨线与人跑步方向的夹角，雨速以及人跑步速度等因素有关。

本文忽略
了降雨密度不均匀，风向不稳定等次要因素，以便更好的对问题进行分析和研究。

但在实际问题中的限制性因素远远超过这些，因此此文的分析方法仍存在一定的
局限性，有待改进和提高。

参考文献
[1] 薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB 求解.北京：清华大学出版社，
2008年10月。

[2] 陈杰.MATLAB 宝典.北京：电子工业出版社，2007年。

附录
附录1：问题一求解程序
clear;
a=1.5;
b=0.5;
c=0.2;
w=0.02/3600;
d=1000;
Vm=5;
W=(2*a*b+2*a*c+b*c)*w*d/Vm
W=
0.0024
附录2：问题二求解程序
附录2.1：分析当v=v m时总淋雨量最小程序
clear;
syms t v;
a=1.5;
b=0.5;
c=0.2;
w=0.02/3600;
d=1000;
u=4;
minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/u;
h=diff(minss,'v') %导数
h =
-(1/1800*cos(t)+1/240*sin(t))/v^2
%h=-(1/1800*cos(t)+1/240*sin(t))/v^2恒小于零，原函数为减函数附录2.2：当θ=0时总淋雨量程序
clear;
t=0;
v=5;
a=1.5;
b=0.5;
c=0.2;
w=0.02/3600;
d=1000;
u=4;
minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/u
minss =
0.0012
附录2.3：当θ=30°时总淋雨量
clear;
t=pi/6;
v=5;
a=1.5;
b=0.5;
c=0.2;
w=0.02/3600;
d=1000;
u=4;
minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/u
minss =
0.0016
附录3：问题三中α=30°时总淋雨量
程序一：
min=0.5*0.2*1.732/2*1000/v*0.02/3600+(2-v)/2*1.5*0.5*0.02/3600*1000/v;
v>=0;
v<=2;
运行结果
Local optimal solution found at iteration: 8
Objective value: 0.2405556E-03
Variable Value Reduced Cost
V 2.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.2405556E-03 -1.000000
2 2.000000 0.000000
3 0.000000 0.1161944E-02
程序二：
min=0.5*0.2*1.732/2*1000/v*0.02/3600+(v-2)/2*1.5*0.5*0.02/3600*1000/v;
v>=2;
v<=5;
运行结果：
Local optimal solution found at iteration: 8
Objective value: 0.2405556E-03
Variable Value Reduced Cost
V 2.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.2405556E-03 -1.000000
2 0.000000 -0.9213884E-03
3 3.000000 0.000000
附录4：问题四的程序
t=sin(t0);
v1=0:0.1:t(1);
v11=t(1):0.1:5;
y1=(5.556e-4.*cos(t(1))+41.67e-4.*sin(t(1)))./v1-4.167e-3/4;
y11=(5.556e-4.*cos(t(1))-41.67e-4.*sin(t(1)))./v11+4.167e-3/4;
plot(v1,y1,'r');
hold on
plot(v11,y11,'r');
xlabel('vÖá');
ylabel('WÖá');
v2=0:0.1:t(2);
v22=t(2):0.1:5;
y2=(5.556e-4.*cos(t(2))+41.67e-4.*sin(t(2)))./v2-4.167e-3/4;
y22=(5.556e-4.*cos(t(2))-41.67e-4.*sin(t(2)))./v22+4.167e-3/4;
plot(v2,y2,'g-.');
hold on
plot(v22,y22,'g-.');
v3=0:0.1:t(3);
v33=t(3):0.1:5;
y3=(5.556e-4.*cos(t(3))+41.67e-4.*sin(t(3)))./v3-4.167e-3/4;
y33=(5.556e-4.*cos(t(3))-41.67e-4.*sin(t(3)))./v33+4.167e-3/4;
plot(v3,y3,'k:');
hold on
plot(v33,y33,'k:');
v4=0:0.1:t(4);
v44=t(4):0.1:5;
y4=(5.556e-4.*cos(t(4))+41.67e-4.*sin(t(4)))./v4-4.167e-3/4;
y44=(5.556e-4.*cos(t(4))-41.67e-4.*sin(t(4)))./v44+4.167e-3/4;
plot(v4,y4,'b');
hold on
plot(v44,y44,'b');
v5=0:0.1:t(5);
v55=t(5):0.1:5;
y5=(5.556e-4.*cos(t(5))+41.67e-4.*sin(t(5)))./v5-4.167e-3/4;
y55=(5.556e-4.*cos(t(5))-41.67e-4.*sin(t(5)))./v55+4.167e-3/4;
plot(v5,y5,'c');
hold on
plot(v55,y55,'c');
v6=0:0.1:t(6);
v66=t(6):0.1:5;
y6=(5.556e-4.*cos(t(6))+41.67e-4.*sin(t(6)))./v6-4.167e-3/4;
y66=(5.556e-4.*cos(t(6))-41.67e-4.*sin(t(6)))./v66+4.167e-3/4;
plot(v6,y6,'y');
hold on
plot(v66,y66,'y');
v7=0:0.1:t(7);
v77=t(7):0.1:5;
y7=(5.556e-4.*cos(t(7))+41.67e-4.*sin(t(7)))./v7-4.167e-3/4;
y77=(5.556e-4.*cos(t(7))-41.67e-4.*sin(t(7)))./v77+4.167e-3/4;
plot(v7,y7,'m');
hold on
plot(v77,y77,'m');
v8=0:0.1:t(8);
v88=t(8):0.1:5;
y8=(5.556e-4.*cos(t(8))+41.67e-4.*sin(t(8)))./v8-4.167e-3/4;
y88=(5.556e-4.*cos(t(8))-41.67e-4.*sin(t(8)))./v88+4.167e-3/4;
plot(v8,y8,'k');
hold on
plot(v88,y88,'k');
v9=0:0.1:t(9);
v99=t(9):0.1:5;
y9=(5.556e-4.*cos(t(9))+41.67e-4.*sin(t(9)))./v9-4.167e-3/4;
y99=(5.556e-4.*cos(t(9))-41.67e-4.*sin(t(9)))./v99+4.167e-3/4;
plot(v9,y9,'m-.');
hold on
plot(v99,y99,'m-.');
v10=0:0.1:t(10);
v1010=t(10):0.1:5;
y10=(5.556e-4.*cos(t(10))+41.67e-4.*sin(t(10)))./v10-4.167e-3/4; y1010=(5.556e-4.*cos(t(10))-41.67e-4.*sin(t(10)))./v1010+4.167e-3/4;
plot(v10,y10,'k');
hold on
plot(v1010,y1010,'k');
legend('y1','y11','y2','y22','y3','y33','y4','y44','y5','y55','y6','y 66','y7','y77','y8','y88','y9','y99','y10','y1010');t0=0:pi/10:pi/2;
---精心整理，希望对您有所帮助。