山东省潍坊市综合高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省潍坊市综合高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）
A．是偶数，B．是奇数，
C. 是偶数，D．是奇数，
参考答案：
D
2. 已知命题:,使得，命题:
,，则下列命题为真命题的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
3. 某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为
人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( )A． B． C． D．
参考答案：
D
4. 一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为( )
A. J
B. J
C. J D． J
参考答案：
C
5. 设函数，则
参考答案：
D
，所以，选D.
6. 集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义，则的子集个数为
( )
A．7 B．12 C．32 D．64
参考答案：
D
7. 函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则函数
在
上的最大值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得，，由此根据求得的值，得到函数解析式即可求最值．
【详解】函数的图象向右平移个单位后，
得到函数的图象，
再根据所得图象关于原点对称，可得，，
∵，∴，，
由题意，得，
∴，
∴函数在区间的最大值为，
故选B．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．
8. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为
，则正四棱柱的高为（）．
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
参考答案：
C
【分析】
建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值．【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，
设，则，0，，，2，，，0，，
则，2，，，0，，，0，，
设平面的法向量为，，，则，
，令可得，1，，
故，．
直线与平面所成角的正弦值为，
，解得：．
故选：．
【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题． 9. 三角形ABC 中A ，B ，C 的对边分别为,且
成等差数列，则B 等于
（ ）
A.30°
B.60°
C.90°
D.120° 参考答案：
B 略
10. 方程
的实根个数是
A.3
B.2
C.1
D.0 参考答案： C 设
，
，由此可知函数的极大值为
，极小值为
，所以方程
的实根个数为1个.选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. △
的三个内角
、
、
所对边的长分别为、、，已知
，
则
的值为
.
参考答案：
12.
.
参考答案：
略
13. 若实数、满足
，则
的最小值为______________.
参考答案：
4
14. 对于三次函数（），定义：设是函数y ＝f (x )的导数y
＝
的导数，若方程
＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．有
同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”
请你将这一发现为条件，函数
，则它的对称中心
为 ；
计算= .
参考答案：
,2012
15. 已知腰长为2的等腰直角
中，
为斜边
的中点，点
为该平面内一动点，若
，则
的最小值是 ．
参考答案：
16. 如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ．
参考答案：
【考点】CF：几何概型．
【分析】先由黄豆试验估计，黄豆落在阴影部分的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．
【解答】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是
矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s
则有
∴s=
故答案为：
17. 函数则的解集为________。

参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，
建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；
（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|?|PB|=1，求实数m的值．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐
标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．
（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|?|PB|=t1t2，即可得出．
【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：
x2+y2=2x．
直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．
（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，
由△＞0，解得﹣1＜m＜3．
∴t1t2=m2﹣2m．
∵|PA|?|PB|=1=|t1t2|，
∴m2﹣2m=±1，
解得，1．又满足△＞0．
∴实数m=1，1．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19. 已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
(1）求证：f(8)＝3 (2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.
参考答案：
（1）由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝
f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)
又∵f(2)＝1 ∴f(8)＝3
(2) 不等式化为f(x)>f(x－2)+3
∵f(8)＝3 ∴f(x)>f(x－2)＋f(8)＝f(8x－16)
∵f(x)是（0，+∞）上的增函数
∴解得2<x<
20. （本小题满分12分）设不等式的解集为集合A，关于x的不等式
的解集为集合B。

（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围。

参考答案：
21. 在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，动点满足：直线与直线
的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹方程；（2）过点作两条互相垂直的射线，与（1）的轨迹分别交于，两点，求面积的最小值.参考答案：
（1）；（2）．
试题分析：（1）由题意得，利用，即，即可求解椭圆的标准方
程；（2）
消去得，，.
∵，∴，∴.
即，把，
代入得，
整理得，所以到直线的距离.（8分）
∵，∴，当且仅当时取“=”号.
由得，∴，
即弦的长度的最小值是.
所以三角形的最小面积为.（12分）
考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆相交问题的转化为直线与椭圆方程联立可得根与系数的关系、弦长关系、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、基本不等式的性质等知识点的综合应用，设计面广，运算量大，属于难题，着重考查了学生的推理与运算能力，此类问题平时要注意积累和总结.
22. 某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量及其分布列；线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）由线性回归方程过点（，），得=﹣，而，易求，且=0.6，从而可得的值，把x=6代入回归方程可得6月份生产的甲胶囊产量数；
（2）ξ=0，1，2，3，利用古典概型的概率计算公式可得P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=2）、P
（ξ=3），从而可得ξ的分布列，由期望公式可求ξ的期望；
【解答】解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，
因线性回归方程=x+过点（，），
∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，
∴6月份的生产甲胶囊的产量数：=0.6×6+3.2=6.8．
（2）ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，
其分布列为
P
所以Eξ==．。