高中数学 第一章 立体几何初步 学业分层测评11 柱、锥

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一章 立体几何初步 学
业分层测评11 柱、锥、台的体积 北师大版必修2
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( ) A ．955π B ．955 C ．355π
D ．355
【解析】 设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr ＝6π，∴r ＝3. 设圆锥的高为h ，则h ＝82
－32
＝55， ∴V 圆锥＝13πr 2
h ＝355π.
【答案】 C
2．如图1­7­23所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1­ACD 的体积是( )
图1­7­23
A.16
B.13
C.12
D ．1
【解析】 三棱锥D 1­ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×1
2×1×1×1
＝1
6
. 【答案】 A
3．某几何体的三视图如图1­7­24所示，则它的体积是( )
图1­7­24
A ．8－2π3
B ．8－π3
C ．8－2π D.2π3
【解析】 由几何体的三视图，可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是V ＝23－13×π×12
×2＝8－2π3
.
【答案】 A
4．某几何体的三视图(单位：cm)如图1­7­25所示，则该几何体的体积是( )
【导学号：10690032】
图1­7­25
A ．72 cm 3
B ．90 cm 3
C ．108 cm 3
D ．138 cm 3
【解析】 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体， 如图所示．
V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝1
2
×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3)．
【答案】 B
5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )
A ．1∶2∶ 3
B ．6∶23∶ 3
C ．6∶23∶3
D ．3∶23∶6
【解析】
设Rt△ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，求得斜边上的高CD ＝
32
，旋转所得几何体的体积分别为V 1＝13π(3)2
×1＝π，V 2＝13π×12×3＝33π，V 3＝13π⎝ ⎛⎭
⎪
⎫322
×2＝12π.V 1∶V 2∶V 3＝1∶33∶1
2
＝6∶23∶3.
【答案】 C 二、填空题
6．已知圆锥的母线长为5 cm ，侧面积为15π cm 2
，则此圆锥的体积为________cm 3
. 【解析】 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则有πrl ＝15π，知r ＝3，∴h ＝52
－32
＝4，
∴其体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13×π×32
×4＝12π.
【答案】 12π
7．(2016·西安高一检测)棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是______．
【解析】 设棱台高为2h ，上底面面积为S ，则下底面面积为9S ，中截面面积为4S ， V 上V 下＝1
3S ＋S ·4S ＋4S h 1
3
S ＋4S ·9S ＋9S
h
＝719
. 【答案】
719
8．已知某个几何体的三视图如图1­7­26，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．
图1­7­26
【解析】 此几何体的直观图如图，ABCD 为正方形，边长为20 cm ，
S 在底面的射影为CD 中点E ，SE ＝20 cm ， V S －ABCD ＝13
S ABCD ·SE ＝
8 0003
cm 3
. 【答案】
8 0003
cm 3
三、解答题
9.如图1­7­27所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm ，高为3 cm ，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm ，高为2 cm ，现从中间挖去一个直径为2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．
图1­7­27
【解】 V 六棱柱＝
34
×42×6×2＝483(cm 3
)， V 圆柱＝π·32×3＝27π(cm 3)， V 挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm 3)，
∴此几何体的体积：
V ＝V 六棱柱＋V 圆柱－V 挖去圆柱＝(483＋22π)(cm 3)．
10．如图1­7­28，四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.
图1­7­28
(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD ­A 1B 1D 1的体积． 【解】 (1)证明：由题设知，BB 1═∥DD 1， ∴BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊆/平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1.
∵A 1D 1═∥B 1C 1═∥BC ，∴A 1BCD 1
是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C .
又A 1B ⊆/平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.
(2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD ­A 1B 1D 1的高． 又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2
＝1.
又∵S △ABD ＝1
2
×2×2＝1，∴VABD ­A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.
[能力提升]
1．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图1­7­29，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(
)
图1­7­29
A.18
B.17
C.16
D.15
【解析】 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为
V 1＝1
3×12×1×1×1＝16
，
剩余部分的体积V 2＝13
－16＝56.
所以V 1V 2＝1656＝1
5
，故选D.
【答案】 D
2．如图1­7­30，三棱台ABC ­A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，则三棱锥A 1­ABC ，B ­A 1B 1C ，C ­A 1B 1C 1
的体积之比为( )
图1­7­30
A ．1∶1∶1
B ．1∶1∶2
C ．1∶2∶4
D ．1∶4∶4
【解析】 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1
＝4S ，
∴V
A 1－ABC ＝13
S △ABC ·h ＝1
3Sh ，
V
C －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1
·h ＝4
3Sh .
又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝7
3Sh ，
∴V
B －A 1B 1
C ＝V 台－V
A 1－ABC
－V
C －A 1B 1C 1＝73
Sh －Sh 3－4Sh 3＝2
3Sh ，∴体积比为1∶2∶4.
【答案】 C
3．如图1­7­31，在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．
图1­7­31
【解析】 设AC ＝a ，CC 1＝b ，则BD 2＝DC 21＝a 2＋14b 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋14b 2×2＝a 2＋b 2，得b 2
＝2a 2，又12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2＋14b 2＝6，∴a 2＝8，b 2
＝16，∴V ＝34×8×4＝8 3.
【答案】 8 3
4．若E ，F 是三棱柱ABC ­A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A ­BEFC 的体积．
【解】 如图所示，连接AB 1，AC 1.
∵B 1E ＝CF ，
∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积． 又四棱锥A ­BEFC 的高与四棱锥A ­B 1EFC 1的高相等， ∴V A ­BEFC ＝V
A ­
B 1EF
C 1＝12V A ­BB 1C 1C
. 又V
A ­A 1
B 1
C 1＝1
3S △A 1B 1C 1·h ，V ABC ­A 1B 1C 1
＝m ， ∴V
A ­A 1
B 1
C 1＝m
3
，
∴V
A ­B
B 1
C 1C ＝V
ABC ­A 1B 1C 1
－V
A ­A 1
B 1
C 1＝2
3
m ，
∴V A ­BEFC ＝12×23m ＝m 3，即四棱锥A ­BEFC 的体积是m
3.。