黑龙江省哈尔滨市第六中学近年届高三数学上学期开学阶段性考试(8月)试题理(2021年整理)

黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三数学上学期开学阶段性考试（8月）试题理
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哈尔滨市第六中学2019届开学阶段性总结
高三理科数学试卷
考试说明:本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题)两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
(1)答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂， 非选择题必须使用0。

5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清
楚;
（3）请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效; （4）保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1．已知集合{}{}4|log (1)1,|21,A x x B x x k k Z =+≤==-∈，则A B =( ） A ．{}1,1,3- B ．{}1,3 C ．{}1,3- D ．{}1,1-
2
3,则[](6)2f f -=（ ) A ．1 B ．2 C ．
1
2018
D ． 2018 3．一个扇形的弧长与面积都为6，则这个扇形圆心角的弧度数为( ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．3
2
4．如果向量(,1),(4,)a k b k ==共线且方向相反，则实数k 的值为（ ） A ．2± B ．2 C ．2- D ．0
5．已知函数()sin()(0)ωφω=+>f x x 满足12()1,()0=-=f x f x ，且12||-x x 的最小值为则ω等于（ )
A ． 2
B ． 1
C 2
． 无法确定
6．已知向量m n 、
满足||||3,||
17m n m n =-
==2,，则||m n +=（ ） A ．3 B C ．9
7．若函数20.9()log (54)f x x x =+-在区间(1,1)a a -+上递增，且0.9lg 0.9,2b c ==，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a b c << D ．b a c << 8．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωφωφπ=+>><<部分图象如图所示，且
()1,(0,)3f παα=∈，则5cos(2)6
π
α+=
（ ）
A ．1
3
B ．223±
C ．
223 D ．22
3
- 9．函数()(22)cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递减,若()()321f x x a f x -+<+对[]1,2x ∈-恒成立，则a 的取值范围为( ）
A ． ()3,-+∞
B ． (),3-∞-
C ． ()3,+∞
D ． (),3-∞ 11．下列四种说法中正确的个数是( ）
①若()y f x =和g()y x =都是定义在R 上的函数，则“()y f x =与g()y x =同是奇函数”是“()y f x =g()x 是偶函数”的充要条件
②命题,20x x R ∀∈>“”的否定是,20x x R ∀∈≤“”
③命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆命题是“若2320x x -+=，则2x =”
④若已知命题p ：“在ABC ∆中，若cos2cos2A B =，则A B =”；命题q ：“在ABC ∆中，若sin sin >A B ，则>A B ”
；则p q ∧为假命题 A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 12．设函数'()f x 是奇函数()()∈f x x R 的导函数，当0>x 时，1
'()ln ()<-
f x x f x x
,则使得2(4)()0->x f x 成立的x 的取值范围是（ ）
A ．()
()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞ D ．()(),20,2-∞-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置
13，则sin 2=x _____________
14．已知()sin (3sin 4cos )()=+∈f x x x x x R 的最大值为A ，最小正周期为T ，则-=A T _____________
15．已知函数()g x 的图像是由函数()sin 2=f x x 的图像先向左平移
6
π
个单位,再纵坐标不变横坐标变为原来的2倍得到的，则函数()g x 的单调递增区间为
16. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =()()()1g x x f x π=--在区间[],3ππ-上所有零点之和为___________
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、．向量(,3)m a =，
(cos ,sin )n A B =且//m n . （1）求A ；
（2）若3a =，求ABC ∆周长的最大值．
18．(本小题满分12分）．
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级100名学生中进行了抽样调查，发现喜欢甜品的占70%,这100名学生中南方学生共80人，南方学生中有20人不喜欢甜品。

(1）完成下列22⨯列联表：
（2)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方
面有差异”；
（3）已知在被调查的南方学生中有6名数学系的学生，其中2名不喜欢甜品；有5名物理系的学生，其中1名不喜欢甜品。

现从这两个系的学生中，各随机抽取2人,记抽出的4人中不喜欢甜品的人数为X ，求X 的分布列和数学期望。

附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++。

20()P K k ≥
0。

15 0.100 0.050 0.025 0。

010 2。

072 2。

706 3。

841 5。

024 6。

635
已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，（如图）120BCD ∠=，AP BP = （1)求证：PC AB ⊥；
（2）若3
4,42,cos 4
PC PD PCB ==∠=,求二面角B PC D --的余弦值。

20. （本小题满分12分)
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点与抛物线243y x =的焦点相同，且过点13,2P ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭.
(1)求椭圆C 的标准方程；
（2)不过原点的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，已知OM ，直线,l ON 的斜率12,,k k k 成等比数列，记以,OM ON 为直径的圆的面积分别为12,S S ，试探究12S S +的值是否为定值，若是,求出此值；若不是，说明理由.
21．（本小题满分12分)
已知函数2()()(21)f x lnx a x lnx x =+-+
（1)当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 的图象与x 轴有且仅有一个交点，求实数a 的值；
0k
（3）在(2）的条件下，对任意的1x e e ≤≤，均有21
()()(3)2
f x x x m ≥-+-成立，求正实数m 的取
值范围.
22. (本小题满分10分）
以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为
1
2(sin cos )ρθθρ=++.
（1）写出曲线C 的参数方程；
（2)在曲线C 上任取一点P ,过点P 作x 轴,y 轴的垂线，垂足分别为,A B ,求矩形OAPB 的面积的最大值.
高三理科数学答案
1——-5 BCBCA; 6---10 ABDDC 11--—12 BD 13。

7
25
-
14。

4-
π
15。

5
2,2,
66
k k k Z
ππ
ππ
⎡⎤
-++∈
⎢⎥
⎣⎦ 16.
4π
17。

（1)
3
A
π
=
当
3
B
π
=时，周长最大值是9.
18．（1）
喜欢甜品
不喜欢甜
品
合计
南方学生602080
北方学生101020
合计7030100
（2)由题意，，
∴有的把握认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”。

(3）的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为
0123
所以的数学期望
19.（1）证明：设中点为,连接，
依题意，，
为等边三角形；
；
平面
又，
（2)解：由(1）知：，，
中，,由余弦定理得,，
由（1)知,,，
又，平面
以为坐标原点，以向量分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，，,
设是平面的一个法向量，令，
设是平面的一个法向量，令，
设二面角的平面角为,则
又二面角为钝角
二面角的余弦值为
27
20.(1）依题意得椭圆的右焦点为(
)
3,0F
,则左焦点为()
3,0F '-
17
2422
a PF PF =
+'=+=，即2,3,1a c b === ∴椭圆C 的方程为2
214
x y +=
（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠， ()()1122,,,M x y N x y
由2
2{ 1
4
y kx m
x y =++=得()()22248410x k x kmx m +++-=，
∴()
2121222
418,1414m km
x x x x k k --+==
++. 由题设知， ()()122
12121212
kx m kx m y y k k k x x x x ++===
()2122
12km x x m k x x ++=+， ∴()2
120km x x m ++=,∴22228014k m m k -+=+,∵0
m ≠,∴2
14
k =. 则()
()2
2
2
222121122
4
4
S S OM
ON
x y x y π
π
+=
+=+++ 22
22
121
211444x x x x π⎛
⎫=+-++- ⎪⎝⎭
222
2121
211444x x x x π⎛
⎫=+-++- ⎪⎝⎭
()()222
121212332162162x x x x x x ππππ⎡⎤=++=+-+⎣⎦ ()
(
)222
22
28136416142
14m k m k k ππ⎡⎤-⎢⎥=-+⎢⎥++⎣
⎦
()
22
354411624m m πππ⎡⎤=
--+=⎣
⎦ 故12S S +为定值，该定值为54π
.
21。

（1)时，
，
，，，
所以切线方程为
，即。

（2）令
,令 ,
易知
在
上为正,
递增；
在
上为负，
递减,
，又∵时，；时，，所以结合图象可得.
(3)因为,所以，
令,由或。

（i）当时，（舍去），所以,
有时,；时，恒成立,得，所以;（ii）当时，，则时,；时，，时,，所以,则，综上所述，。

22。

（1）12cos
xθ
=+
=+（θ是参数）
yθ
12sin
(2)当2
s=+
t=时，322。